Geometri - MAT 2500

Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad

29. juni 2012

1 Innledning

Dette er et kompendium i Euklidsk plan og romgeometri satt sammen til bruk i kursetMAT 2500. Det starter med symmetrier i planet og i rommet tolket som isometrier. Spesieltundersøker vi polyedre med mange symmetrier.

Den andre delen starter med en setning til Menelaos og ender med en setning til Pas-cal. Setningene gjelder punkter, linjer, trekanter, sirkler og kjeglesnitt, og argumentenevarierer mellom syntetiske og analytiske. Hensikten er a vise et rikt tilfang av metoder ogsammenhenger i denne geometrien. Vi starter i det affine planet og gir deretter en innføringi geometri i det projektive planet.

Kapittlene 2 og 3 starter med isometrier og forklarer hvordan disse danner ei gruppe,og viser sa undergrupper av denne som bestemmer mønstre i planet og regulære polyedre.Fra kapittel 4 gar vi sa løs pa plangeometri og starter med Menalaos’ og Cevas setninger fortrekanter. Disse brukes til a vise Pappos’ setning. Det fortsetter med kjente setninger frasirkelgeometri som ender med bevis for Pascals setning for sirkler. Kjeglesnitt introduseressom geometriske steder og med koordinater. Kompendiet avsluttes med introduksjon tilgeometri i det projektiv plan og bevis av Pascals setning for kjeglesnitt.

Kompendiet er organisert i 13 kapitler.Etter denne innledningen følger to kapitler om symmetrier i planet og i rommet. Disse

brukes til a klassifisere mønstre i planet og til a beskrive de Platonske legemene. Deretterfølger tre kapitler i koordinatfri (syntetisk) geometri. I denne delen legges grunnlaget forde geometriske resonnementene som brukes senere. Bade setningen om periferivinkler ogsymmetriegenskapene til kjeglesnitt, er drøftet her, men ogsa andre relevante setningermed utgangspunkt i Menelaos’ og Cevas setninger er tatt med.

I kapitlene 7-10 innføres koordinater. Her behandles den analytiske teorien om geome-triske steder generelt, med ligninger for kjeglesnitt spesielt. Flere geometriske steder asso-siert til kjeglesnitt er tatt med, samt ulike praktiske anvendelser av denne teorien.

I de tre avsluttende kapitlene 11-13 behandles projektiv plangeometri. Kjeglesnitt i detprojektive planet behandles først med likninger og deretter som ulike snitt av en kjegle.Avslutningsvis vises Pascals setning for kjeglesnitt.

1

2 Isometri og symmetri i planet

2.1 Euklidske rom og isometrigruppen

Vi vil presisere hvor vi foretar elementær Euklidsk geometri. Vi trenger et sted der be-grepene avstand og vinkel har mening. Vi setter En = Rn som mengde, men utstyrtmed en avstandsfunksjon indusert fra prikkproduktet. Nemlig, hvis x = (x1, . . . , xn) ogy = (y1, . . . , yn) slik at x · y =

∑xiyi, definerer vi normen til x som ‖x‖ =

√x · x og

avstanden fra x til y som d(x,y) = ‖x − y‖. Det euklidske rommet En er da Rn meddenne bestemte avstandsfunksjon. Vi kaller E2 det euklidske planet og E3 det euklidskerommet.

Vi kan na ogsa definere vinkelen θ mellom x og y ved

θ = cos−1(

x · y‖x‖‖y‖

).

Som vanlig tenker vi pa x noen ganger som et punkt og noen ganger som en vektor. I dettetilfelle har vi egentlig definert vinkelen i det spesielle punktet origo, O = (0, 0, . . . , 0),mellom vektorene x og y. Dette vil ogsa være vinkelen i skjæringspunktet mellom to linjermed retningsvektor x og y.

Det er naturlig a se pa figurer opptil kongruens, dvs at vi vil oppfatte geometriskefigurer i euklidsk geometri som like hvis de har samme størrelse og form. For a gjøre dettepresist definerer vi en isometri (ogsa kallt stiv bevegelse) til a være en bijektiv funksjonm : En → En som bevarer avstand. Det betyr at d(m(x),m(y)) = d(x,y). La Isomn væremengden av alle isometrier pa En.

Merk at hvis vi setter sammen to isometrier m og m′ til m ◦m′, sa er m ◦m′ ogsa enisometri. Identitetsavbildningen id(x) = x er en isometri. Siden m er bijektiv har den eninvers funksjon m−1 og

d(x,y) = d(m ◦m−1(x),m ◦m−1(y)) = d(m−1(x),m−1(y))

sa m−1 er ogsa en isometri. Alt dette betyr at Isomn med sammensetning danner det somkalles en gruppe.

Grupper er viktige objekter i matematikken som man lærer om i et kurs i algebra. Ladet være nok her i første omgang a gi definisjonen. En binær operasjon pa en mengde G eren funksjon G×G→ G som vi skriver (g, h) 7→ gh. En mengde G med en binær operasjoner en gruppe hvis

(i) Binær operasjonen er assosiativ, dvs (g1g2)g3 = g1(g2g3).

(ii) Det fins et identitetselement e ∈ G med egenskapen eg = ge = g for alle g ∈ G.

(iii) Hvert element g ∈ G har en invers g−1 ∈ G med egenskapen gg−1 = g−1g = e.

2

I Isomn er id identitetselementet. I trad med gruppenotasjonen skriver vi na sammenset-ningen som produktet mm′.

Vi skal se nærmere pa hvordan en isometri ser ut. Husk fra linær algebra at en n ×n matrise A er ortogonal hvis AAt = I, der At er den transponerte matrisen og I eridentitetsmatrisen. Vi sier at en linær operator T er ortogonal hvis dens standard matriseer ortogonal. I linær algebra viser man at en operator T er ortogonal⇔ T (x) ·T (y) = x ·yfor alle x and y ⇔ søylene i standardmatrisen til T er en ortonormal basis. Det følger aten ortogonal operator er en isometri.

Et fikspunkt for en funksjon f : En → En er et punkt p med f(p) = p. Det er entype isometri som ikke har noen fikspunkt, nemlig translasjoner med en vektor. Hvis a ervektoren sa er translasjonen gitt ved ta(x) = x + a.

Setning 2.1. Hvis m ∈ Isomn sa er m = taT for en vektor a og en ortogonal operator T .

Bevis. Anta først at O er et fikspunkt for m. Vi skal vise at da ma m være en ortogonallineær operator. Merk først siden m bevarer avstand, ma den ogsa bevare prikkproduktet.Dette fordi

(m(x)−m(y)) · (m(x)−m(y)) = m(x) ·m(x)− 2m(x) ·m(y) +m(y) ·m(y)

= x · x− 2m(x) ·m(y) + y · y

siden m(O) = O. Pa den andre siden er

(x− y) · (x− y) = x · x− 2 x · y + y · y

sa siden de er like, ma m(x) ·m(y) = x · y.La e1, . . . , en være standardbasisen. Da ma m(ei) ·m(ej) = ei · ej, sa m(e1), . . . ,m(en)

er en ortonormal basis. La T være linær operatoren med standardmatrisen som har søylerm(e1), . . . ,m(en). Da ma T være ortogonal. Den inverse er ogsa ortogonal sa den sammen-satte funksjonen T−1m er en funksjon som bevarer prikkproduktet og har e1, . . . , en somfikspunkter.

Vi pastar at den eneste slik funksjon er identiteten. Husk at (x1, . . . , xn) ·ei = xi, derforvil x ·ei = y ·ei for alle i medføre at x = y. Hvis f bevarer prikkproduktet og har e1, . . . , ensom fikspunkter da er

f(x) · ei = f(x) · f(ei) = x · eisa f(x) = x. Det følger at T−1m = id sa m = T .

For en generell m la a = m(O). Da er t−am en isometri med O som fikspunkt og erderfor lik en ortogonal operator T . Vi far da m = taT .

Vi kan definere orientering ved hjelp av denne maten a skrive en isometri. Determi-nanten til en ortogonal operator ma være ±1. Vi sier at m = taT er orienteringsbevarendehvis detT = 1 og orienteringsreverserende hvis detT = −1. Siden produktet av to ortogo-nale matriser er igjen ortogonal ser man at mengden av ortogonale operatorer danner engruppe, som vi kaller O(n). Undergruppen av orienteringsbevarende ortogonale operatorerkalles den spesielle ortogonale gruppen og benevnes SO(n)

3

Likesidet trekant Likebeint trekant Generell trekant

Figur 1: Trekanter med forskjellige symmetrigrupper.

Sammensetning av isometrier i de to forskjellige klassene oppfører seg som multipli-kasjon i {1,−1}. Sammensetningen av to orienteringsbevarende eller to orienteringsrever-serende isometrier er orienteringsbevarende, mens sammensetningen av en orienteringsbe-varende og en orienteringsreverserende (og visa versa) gir orienteringsreverserende. Dettefølger av at taTta′T ′ = ta+T (a′)TT

′.Hvis G er en gruppe og H ⊆ G er en undermengde som er lukket under binær ope-

rasjonen og a ta inverser, dvs h1, h2 ∈ H ⇒ h1h2 ∈ H og h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H, sa er Hogsa en gruppe med den samme operasjonen. Slike H kalles undergrupper av G. Hvis enisometri m tar en delmengde F ⊆ En pa seg selv, dvs bilde av F , m(F ) er lik F , sa sier viat m er en symmetri av F . Mengden av symmetrier av F er en undergruppe av Isomn (seoppgavene) og den kalles symmetrigruppen til F .

Som et eksempel pa en symmetrigruppe kan vi ta for oss en likesidet trekant. Manfar 6 symmetrier: identiteten, rotasjon om senteret med vinkler 2π/3 og 4π/3 og de trespeilingene om linjene gjennom et hjørne og midtpunktet pa motsatte kant. En likebeinttrekant som ikke er likesidet har bare en ikke triviell symmetri, nemlig speilingen om linjagjennom midtpunktet pa grunnlinjen og motsatt hjørne. Alle andre trekanter har triviellsymmetrigruppe. Se figur 1.

Generelt sier man at en mangekant er regulær hvis kantene er like lange og hjørnevinkleneer alle like. Symmetrigruppen til en regulær n-kant kalles den dihedrale gruppen og benev-nes Dn. Den bestar av n−1 ikke trivielle rotasjoner med vinklene 2kπ/n for k = 1, . . . , n−1og n speilinger. Hvis n er odde vil speilingslinjene være gjennom et hjørne og midtpunketpa motstaende kant. Hvis n er like vil speilingslinjenene være gjennom motstaende hjørnerog midtpunktene av motstaende kanter. Derfor har Dn alltid 2n elementer.

2.2 Isometrier av planet

Vi begynner med a liste opp 4 viktige typer isometrier av E2 (se ogsa tegningene i figur2).

4

Translasjon med vector a. Rotasjon om p med vinkel θ.

Speiling om en linje l. Glidepeiling om en linje l med vektor a.

Figur 2: De fire isometriene av planet.

5

(i) Translasjon, ogsa kallt parallellforskyving, gitt ved ta(x) = x+a for en vektor a ∈ R2.

(ii) Rotasjon med vinkel θ om et punkt p som vi noterer ρθ,p. Punktet x blir flyttet i pos-tive omdreiningsretning langs sirkelen med sentrum i p til punktet der sirkelsektorendet danner med x har vinkel θ.

(iii) Speiling om en linje l som vi noterer sl. Punktet x blir flyttet langs en linje vinkelrettpa ` til punktet pa den andre siden av ` som har lik avstand til ` som x.

(iv) Glidepeiling der man først speiler om en linje l og sa translaterer med en vektorparallell til l. Hvis a er en retningsvektor for l vil dette være pa formen tasl.

Merk at translasjoner og rotasjoner er orienteringsbevarende, mens speilinger og glidespei-linger er orienteringsreverserende.

Vi skriver ρθ for ρθ,O. Merk at standardmatrisen til ρθ er(cos θ − sin θsin θ cos θ

)som er ortogonal med determinant 1. Det betyr at rotasjoner er orienteringsbevarende.

Setning 2.2. Hvis m er en isometri av planet som er orienteringsbevarende og har O somfikspunkt sa er m en rotasjon.

Bevis. Vi vet fra Setning 2.1 at m = T er en ortogonal operator med determinant 1. La θvære vinkelen mellom (1, 0) og T (1, 0). Siden ‖T (1, 0)‖ = 1 vil ρθ(1, 0) = T (1, 0). Videre erρ−1θ T en ortogonal operator med determinant 1 og ρ−1θ T (1, 0) = (1, 0). La A være standardmatrisen til ρ−1θ T . Søylene i A ma være en ortonormal basis og første søyle er (1, 0)t. Hvis(a, b)t er andre søylen i A ma (1, 0) · (a, b) = 0 og a2 +b2 = 1. Det betyr at a = 0 og b = ±1.Men detA = 1 sa b = 1 og A = I. Det følger at ρ−1θ T = id og m = T = ρθ.

Vi seier at en mengde M av elementer i en gruppe G genererer G hvis alle elementer i Gkan skrives som produkter av elementer i M . For eksempel er undergruppen av rotasjoner iDn generert av ett element, nemlig rotasjon med 2π/n. Vi skal liste generatorer for Isom2.Se pa disse spesielle isometrier:

(i) Translasjonene ta.

(ii) Rotasjone om O, ρθ.

(iii) Speilingen om x1 aksen, som vi kaller s gitt ved s(x1, x2) = (x1,−x2).

Setning 2.3. En hver orienteringsbevarende isometri av planet kan skrives pa formenm = taρθ for en 0 ≤ θ < 2π og en a ∈ R2. En hver orienteringsreverserende isometri avplanet kan skrives pa formen m = taρθs for en 0 ≤ θ < 2π og en a ∈ R2.

6

Bevis. Vi skriver m ∈ Isom2 som m = taT som før. Hvis detT = 1 følger det fra Setning2.2 at m = taρθ for en θ. Hvis detT = −1 sa er determinanten til Ts lik 1 og sidenTs(O) = O, sa er Ts = ρθ for en θ. Men s−1 = s og derfor T = ρθs og m = taρθs. Dermedhar vi greid a skrive alle m pa den ønskede formen.

Vi er na i stand til a bevise hovedsetningen om isometrier i planet.

Setning 2.4. En isometri av planet er enten en translasjon, en rotasjon, en speiling elleren glidespeiling.

Bevis. Vi pastar først at hvis m er orienteringsbevarende og har et fikspunkt sa ma mvære en rotasjon. Vi vet fra Setning 2.3 at m er pa formen taρθ. Hvis fikspunktet er x maa = x− ρθ(x). Man regner ut at tx−ρθ(x)ρθ = txt−ρθ(x)ρθ = txρθt−x som er en rotasjon omx.

Vi vil vise at en orienteringsbevarende isometri som ikke er en translasjon ma væreen rotasjon. Fra det foregaende er det nok a vise at den har et fikspunkt. Skriv igjenm = taρθ. Sidenm ikke er en translasjon ma θ 6= 0. Vi ma løse taρθ(x1, x2) = (x1, x2), som erρθ(x1, x2)+(a1, a2) = (x1, x2) eller (id−ρθ)(x1, x2) = (a1, a2). Matrisen til likningssystemeter (

1− cos θ sin θ− sin θ 1− cos θ

)som har determinant 1 − 2 cos θ + cos2 θ + sin2 θ = 2(1 − cos θ) 6= 0 nar θ 6= 0. Det følgerat systemet har entydig løsning og vi har funnet et fikspunkt.

Det gjenstar a vise at en orienteringsreverserende isometri enten er en speiling ellerglidespeiling.Merk først at

ρθs(cos1

2θ, sin

1

2θ) = (cos θ cos

1

2θ+sin θ sin

1

2θ, sin θ cos

1

2θ−cos θ sin

1

2θ) = (cos

1

2θ, sin

1

2θ)

sa, siden den er linær, vil ρθs fiksere hele linjen l gjennom (0, 0) og (cos 12θ, sin 1

2θ) og er

derfor en speiling sl. Setning 2.3 forteller oss at en orienteringsreversende isometri er paformen m = taρθs. Sa vi kan na skrive den som m = tasl.

La α = θ/2 slik at v = (cosα, sinα) er en retningsvektor for l med ‖v‖=1, dvs atl = {λv|λ ∈ R}. La v⊥ = (− sinα, cosα). Fra linær algebra vet vi at vi kan dekomponerea = (a · v)v + (a · v⊥)v⊥. La w1 = (a · v)v være den parallelle delen og w2 = (a · v⊥)v⊥

den ortogonale delen.La l′ være linja {1

2w2 + λv|λ ∈ R}. Vi pastar at tasl = tw1sl′ som er en glidespeiling

siden w1 er parallell til retningsvektoren v for l′. Dette følger fra utregningen

tw1sl′ = tw1t 12w2slt− 1

2w2

= tw1t 12w2t 12w2sl = tw1+w2sl = tasl .

7

2.3 Diskrete undergrupper av Isom2

Ideen er a bruke en klassifikasjon av symmetrigrupper til a studere symmetriene til repete-rende mønster, figurer osv i planet. For eksempel de som kommer fram i veggtapeter ellerved flislegging. Der er derfor naturlig a se pa grupper som virker diskret, i motsetning tilkontinuerlig. Vi kaller en undergruppe G ⊆ Isom2 for diskret hvis det eksisterer et reelttall ε > 0 slik at

(i) ta ∈ G, a 6= O ⇒ ‖a‖ ≥ ε.

(ii) ρθ,p ∈ G, θ 6= 0⇒ |θ| ≥ ε.

Vi deler analysen av slike G i to og ser først pa translasjons undergruppen, LG = {ta ∈G}. Generelt er et gitter av rang n en gruppe som er isomorf med den additive gruppenZn. For oss konkret betyr det at LG er et gitter det samme som at LG er en av følgendetyper:

(i) LG = {0}.

(ii) Det fins a 6= O slik at LG = {tma : m ∈ Z}.

(iii) Det fins linært uavhengige a,b slik at LG = {tma+nb : m,n ∈ Z}.

Disse gitterne har henholdsvis rang 0,1 og 2. Det er ikke vanskelig a vise, men vil ta formye plass her, at hvis G er diskret sa ma translasjonsgruppen LG være et gitter.

Det er klart at en endelig G vil være diskret (med LG = {0}) og disse kan man enkeltklassifisere.

Setning 2.5. Hvis G er en endelig undergruppe av Isom2 da er G enten den sykliskerotasjonsgruppen Cn bestaende av alle rotasjoner om ett punkt med vinkler 2πk/n eller dendihedrale gruppen Dn for passende n.

Bevis. Først skal vi se at G har et fikspunkt, dvs et felles fikspunkt for alle elementer i G.La tyngdepunktet til en endelig mengde av punkter {x1, . . . ,xr} være

p =1

r

r∑i=1

xi .

Hvis m = taT er en isometri og p er tyngdepunktet til {x1, . . . ,xr}, da er

m(p) =

(1

r

r∑i=1

T (xi)

)+ a =

1

r

r∑i=1

(T (xi) + a) =1

r

r∑i=1

m(xi) ,

dvs at m(p) tyngdepunktet til {m(x1), . . . ,m(xr)}.Velg et vilkarlg punkt x og se pa banen Gx = {g(x) : g ∈ G}. Denne mengden er

endelig sa la p være tyngdepunktet. Hvis h ∈ G sa vil {h(y) : y ∈ Gx} = Gx og derfor vilh(p) = p for alle h ∈ G og vi har funnet et fikspunkt.

8

Etter en translasjon kan vi anta at G fikserer O. Anta først at G bare bestar av rotasjo-ner og la θ være den minste positive rotasjonsvinkel for elementene i G. Hvis ρα ∈ G, skrivα = kθ + β for k positivt heltall og 0 ≤ β < θ. Siden G er en gruppe ma ρ−kθ = ρ−kθ ∈ G,men da er ρβ = ραρ−kθ ∈ G. Ved minimaliteten til θ ma β = 0 sa ρα = ρkθ. Det betyrat alle elementene i G er pa formen ρkθ og før eller siden ma ρnθ = id for en n. Derfor erθ = 2π/n.

Hvis G inneholder en speiling kan vi rotere koordinater og derfor anta at G inneholdervar spesielle speiling s om x1 aksen. Hvis H ⊆ G er undergruppen av rotasjoner i G vet vina at H = Cn for en n. Men da er alle ρ2πk/ns ogsa med i G sa Dn ⊆ G. Na vet vi at etelement g ∈ G er enten en rotasjon eller speiling. Hvis g er en rotasjon sa er g ∈ Cn ⊂ Dn.Hvis g er en speiling kan vi skrive den g = ραs. Men gs ∈ G og gs = ραs

2 = ρα, saρα = ρ2πk/n for passende k og g = ρ2πk/ns ∈ Dn. Dermed har vi vist at G = Dn.

Vi skal na konsentrere oss om det tilfelle at rangen til LG er 2. Et fundamentalomradefor en gruppe av isometrier, G ⊆ Isom2, er en lukket delmengde D ⊆ E2 der randa er enstykkevis glatt kurve og slik at

(i) E2 =⋃g∈G g(D).

(ii) Det indre av g(D) ∩ h(D) er tom nar g 6= h.

En gruppe kan ha mange forskjellige fundamentalomrader. For eksempel hvis LG ={tma+nb : m,n ∈ Z}, se pa mengden av gitterpunkter i planet, MG = {ma+nb : m,n ∈ Z}.Vi kan anta, etter en evt translasjon av a og b, at

(i) vinkelen mellom a og b er spiss (dvs mindre eller lik π/2),

(ii) ‖a‖ ≤ ‖c‖ for alle c 6= O in MG,

(iii) ‖b‖ ≤ ‖c‖ for alle c 6= O in MG som har spissvinkel med a.

Hvis a og b tilfredstiller disse kriteriene kaller vi parallellogrammet med hjørner O, a,b, a+b for et standard parallellogram for MG. Det vil være et fundamentalomrade for LG, menvi skal lage et omrade som skildrer forskjellen mellom de forskjellige LG bedre.

Dirichlet omradet til G er

DG = {p ∈ E2 : d(p,O) ≤ d(p, q) for alle q ∈MG, q 6= O} .

Vi kan beskrive DG ved hjelp at et standard parallellogram pa følgende vis. Se pa 6-kantenmed hjørner

a,b,−a + b,−a,−b, a− b .

og dann de 6 trekantene some alle har et hjørne i O og en kant fra 6-kanten. Ta na de 6omsentrene til disse trekantene og forbind to av dem med en kant hvis deres trekanter ernaboer. Mangekanten man far pa denne maten er DG. En tegning finner man i figur 3.Man kan vise (se oppgavene) at DG er et fundamentalomrade for LG.

9

Standard parallellogrammet P . Dirichlet omradet D.

Figur 3: To fundamentalomrader for LG.

Merk at ρπ tar ma + nb til −ma− nb ∈MG, sa ρπ er en symmetri av MG. Det følgerat ρπ er i symmetrigruppen til DG. Generellt vil DG være en heksagon, og siden den erρπ symmetrisk ma motsatte kanter være parallelle og like lange. I det spesial tilfelle dervinkelen mellom a og b er π/2 vil trekantene være rettvinklete og omsenteret vil ligge pahypotenusen. Da vil DG bli en rektangel.

Den andre ingrediensen i analysen av diskrete G er punktgruppen. Fra Setning 2.1 vetvi at en isometri kan skrives taT med T ortogonal. Vi far en funksjon G → O(2) vedg = taT 7→ T . Merk at gg′ = taTta′T ′ = tatT (a′)TT

′ 7→ TT ′, sa funksjonen bevarer de togruppestrukturer. Det følger at bildet av G, G, er en gruppe. Den kalles punktgruppen tilG. Det er en diskret undergruppe av O(2) og derfor endelig (se oppgavene). Vi skal na seat det er ikke mange grupper den kan være.

Setning 2.6. Hvis G er en diskret undergruppe av Isom2 og rangen til LG er 2, da vilpunktgruppen G ta Dirichlet omradet DG pa seg selv.

Bevis. Vi viser først at G virker pa MG, dvs vi ma vise at hvis g ∈ G og ta ∈ G sa ertg(a) ∈ G. Na er g bildet av en g ∈ G og vi pastar at tg(a) = gtag

−1 som er i G. Vi vet atg = tbg for en tb og vi regner ut

gtag−1 = tbgtag

−1t−b = tbtg(a)gg−1t−b = tbtg(a)t−b = tg(a) .

Husk at DG = {p ∈ E2 : d(p,O) ≤ d(p, s) for alle s ∈ MG, s 6= O}. Vi har d(g(p),O) =d(g(p), g(O)) = d(p,O) og siden g er en isometri med g(MG) = MG er

{d(g(p), s) : s ∈MG, s 6= O} = {d(g(p), g(s)) : s ∈MG, s 6= O}= {d(p, s) : s ∈MG, s 6= O} .

og vi ser at g(p) ∈ DG hvis p ∈ DG.

10

Figur 4: Mursteinsmønsteret i eksempel 2.8.

Setningen betyr at punktgruppen er en undergruppe av symmetri gruppen til DG. SidenDG er enten en rektangel eller er en heksagon far vi det sakallte krystallografiske restriksjon

Setning 2.7. Punktgruppen til en diskret undergruppe av Isom2 med rangen til LG lik 2 eren undergruppe av D4 eller D6. Det betyr at punktgruppen er en av gruppene Cn, Dn medn = 1, 2, 3, 4, 6.

Det er dette resultatet som gjør det mulig a vise at det bare fins 17 rang 2 diskreteundergrupper av Isom2. Det kalles ofte veggtapet gruppene eller bedre de to dimensjonalekrystallografiske gruppene. Det vil sprenge grensene for kurset a ga inn i detaljene i denneklassifikasjon, men Setning 2.6 er et nyttig verktøy for a finne symmetrigruppen til etrepeterende mønster slik vi har gort pa forelesningene.

Oppskriften er a finne først gitteret, sa regne ut DG og dens symmetrigruppe og til sluttavgjøre hvilken symmetrier løfter til G. En rotasjon i G løftes til en rotasjon med sammevinkel men man ma være nøye med a finne de forskjellige fikspunktene. En speiling løftestil en speiling om en parallell linje eller en glidespeiling.

Eksempel 2.8. Vi skal beregne symmetrigruppen G til mursteinsmønster i figur 4 (somer tenkt a fortsette i det uendelige). Først finner vi LG. Vi kan velge O slik at en horisontalmurstein har hjørner

(0, 0), (2, 0), (2, 1), (0, 1)

og den vertikale murstein til venstre for den har hjørner

(0, 0), (0, 2), (−1, 2), (−1, 0) .

Da blir LG generert av translasjoner med a = (1, 1) og b = (−2, 2). Disse bestemmer etstandard parallellogram, vinkelen mellom dem er π/2 og man regner ut at DG er rektangeletmed hjørner

(3

2,−1

2), (−1

2,3

2), (−3

2,1

2), (

1

2,−3

2) .

11

Derfor vil punktgruppen være en undergruppe av D2 som konkret i dette tilfelle bestar avidentiteten, ρπ og speilingene om linjene `1 = {(t, t) : t ∈ R} og `2 = {(t,−t) : t ∈ R}.

Det gjenstar a finne ut om disse løfter til symmetrier av figuren og beskrive disse. Frabeskrivelsen av punktgruppen følger det at de eneste orienteringsbevarende symmetrienesom ikke er translasjoner ma være rotasjoner med vinkel π. For en slik rotasjon er det letta se at senteret ikke kan ligge pa kantene til mursteinene, sa det ma eventuelt være i detindre av en murstein og ma derfor ta denne mursteinen pa seg selv. Pa den andre siden servi at hvis vi lar p være sentrum i en av mursteinene (der hvor midtnormalene til kanteneskjærer) sa vil ρπ,p være en symmetri av mønsteret. Vi far derfor at alle rotasjoner i G erpa formen ρπ,p der p er sentrum i en av mursteinene.

De orienteringsreverserende symmetriene ma være speilinger eller glidespeilinger omlinjer parallell med `1 eller `2. En hver speiling av en horisontal murstein om en linjeparallell med `1 bringer den til en vertikal murstein. Vi ma derfor legge speilingslinjen slikat speilingen etterfulgt av en translasjon i retning (1, 1) bringer en horisontal murstein tilen vertikal som er i mønsteret. Hvis vi tar utgangspunkt i mursteinen med hjørner

(0, 0), (2, 0), (2, 1), (0, 1)

finner man at hvis linjen er

` = (3

2, 0) + t(1, 1) og v = (−1

2,−1

2)

sa vil glidespeilingen tvs` være en slik symmetri. Alle de andre glidespeilingene parallellmed `1 kommer fram ved a ta en rotasjon eller translasjon i G og sette sammen med denne.

Tilsvarende finner vi at alle glidespeilinger parallell med `2 er rotasjoner eller transla-sjoner av tvs` med

` = (1, 1) + t(−1, 1) og v = (1,−1) .

Dermed har vi beskrevet alle symmetrier av mønsteret.

12

3 Symmetri i rommet

3.1 Konvekse polyedre og Eulers formel

En delmengde K ⊆ En er konveks hvis for alle to punkter x,y ∈ K, sa er linjestykketmellom dem ogsa inneholdt i K. Husk at linjestykket kan beskrives som {λx + (1− λ)y :0 ≤ λ ≤ 1}. Gitt en vilkarlig delmengde M ⊆ En definerer man den konvekse innhyllingentil M som den minste konvekse mengden som inneholder M . Hvis M er en endelig mendgdeav punkter {x1, . . . ,xr} sa vil den konvekse innhyllingen av M være

{λ1x1 + · · ·+ λrxr : λi ≥ 0,r∑i=1

λi = 1} .

Et (konvekst) polyeder er den konvekse innhyllingen av et endelig antall punkter. Vi skalalltid mene et konvekst polyeder nar vi skriver polyeder.

Det er lett a se i rommet at et polyeder P kunne ogsa defineres som et begrenset snittav halvrom. (Et plan deler rommet i to og et halvrom er en av de to delene.) Det betyrmere presist at det eksisterer vektorer a1, . . . , am ∈ E3 og tall d1, . . . , dm slik at

P = {x ∈ E3 : x · ai ≤ di for alle i = 1, . . . ,m}

og slik at P er en begrenset delmengde. Dette er ogsa sant i høyere dimensjoner men ikkeenkelt a bevise. Fra na av ser vi bare pa polyedre i rommet.

Hvis vi luker ut overflødige halvrom fra beskrivelsen far vi at planene x ·ai = di snitterP i sideflater som er polygoner. En sideflate snitter en annen enten i et linjestykket somvi kaller en kant av P , eller et punkt som heter et hjørne. Kantene snitter i hjørner. Detkunne tenkes at P la i et plan i E3, og da vil P være en polygon, et linjestykke eller etpunkt. Hvis ikke dette er tilfelle sier vi at dimensjonen til P er 3.

For a studere et polyeder er det ofte nyttig a se pa dens Schlegel diagram. Velg ensideflate σ i P og et plan H i rommet parallell med σ men pa den “andre siden” av P , dvsat P ligger mellom planet utspent av σ og H. Velg sa et punkt p som ligger utenfor P menlike over σ. La P ′ være det som er igjen nar vi fjerner det indre av P og det indre av σ fraP . Projiser na P ′ pa H fra p. Det betyr for alle punkter x ∈ P ′ ta linja som gar gjennomp og x og la snittpunktet mellom denne linja og H være projp(x). Dette gir en funksjonprojp : P ′ → H.

Hvis man har valgt avstanden mellom p og σ liten nok, vil bildet av projp besta av enstor mangekant som var randa til σ med alle de andre sideflatene tegnet inn i den. Spesieltvil bildet av kantene danne en plan graf, dvs en graf tegnet i planet uten at kantene krysserhver andre. Dette bildet heter et Schlegel diagram. Et er tegnet i figur 5.

La v være antall hjørner i P , e antall kanter og f antall sideflater. Følgende setningheter Eulers formel.

Setning 3.1. Hvis P er et 3 dimensjonalt konvekst polyeder sa er v − e+ f = 2.

13

Som den konvekse innhyllingen av{(cos(kπ5 ), sin(kπ5 ), (−1)kh) : 0 ≤ k ≤ 9}med h =

√12 (cos(π5 )− cos( 2π

5 )).

Schlegel diagrammet.

Figur 5: Rett antiprisme pa en femkant.

Bevis. Se pa kantgrafen til et Schlegel diagram av P i planet. Her kan vi tolke f som antallomrader grafen deler planet i (inkludert det ubegrensete omradet “utenfor” grafen somsvarer til sideflaten vi fjernet). Merk at denne grafen er sammenhengende, dvs vi kan gafra et vilkarlig valgt hjørne til et annet langs kanter i grafen. Sa vi kan like godt beviseresultatet for sammenhengende plane grafer med denne tolkningen av tallet f .

Vi viser formelen med induksjon pa e. Hvis e = 0 sa bestar grafen av bare ett hjørneog vi har v = 1, e = 0, f = 1 og formelen stemmer. Hvis e = 1 ma v = 2 og f = 1 ogformelen stemmer. Anta na at formelen er sann for alle slike grafer med e ≤ n og la Γ væreen sammenhengende plan graf med n + 1 kanter. Hvis vi fjerner en kant fra Γ (men ikkehjørnene pa kanten) far vi en graf Γ′ med n kanter, men to ting kan skje. Enten er den nyegrafen Γ′ sammenhengende eller ikke.

Hvis Γ′ er sammenhengende sa ma kanten vi fjernet ha vært en del av grensen mellomto omrader grafen delte planet i. Vi far derfor antall hjørner v′ = v, antall kanter e′ = e−1og antall omrader planet er delt i f ′ = f−1. Det viser at v−e+f = v′−(e′+1)+(f ′+1) =v′ − e′ + f ′ = 2.

Hvis Γ′ ikke er sammenhengende sa ma kanten vi fjernet ha hatt det ubegrenseteomradet pa begge sider. Den nye grafen vil besta av to sammenhengende grafer Γ1 ogΓ2 med tallene vi, ei, fi. Vi har v = v1 + v2, e = e1 + e2 + 1 og f = f1 + f2 − 1 (si-den vi teller det ubegrensete omradet to ganger i f1 + f2). Vi far igjen e − v + f =(v1+v2)−(e1+e2+1)+(f1+f2−1) = (v1−e1+f1)+(v2−e2+f2)−2 = 2+2−2 = 2.

Vi trenger enda et resultat om grafer i fortsettelsen. For et hjørne p i en graf la deg pvære antall kanter som har p som hjørne.

Setning 3.2. For en graf er 2e =∑

deg p, der summen er tatt over alle hjørner i grafen.

14

Bevis. Vi teller opp antall elementer i mengden {(k, p) : k en kant, p et hjørne i k} pa tomater. Hver kant inneholder 2 hjørner sa tallet er 2e, men hvert hjørne p er inneholdt ideg p kanter, sa tallet er ogsa

∑deg p.

3.2 De platonske legemene

Vi beskriver na fem spesielt symmetriske polyedre som kalles de Platonske legemene. Nav-net stammer fra Platons dialog Timaios der han bruker dem til a forklare dynamikkenmellom de fire elementene vann, luft, jord og ild.

Det er tre standard “byggeklosser” for polyedre. For det første har vi rette prismersom bestar av to regulære n-kanter forbundet med n kvadrater. For det andre har vi retteantiprismer der vi igjen starter med to regulære n-kanter som ligger over hverandre, menna vrir man den ene med vinkel π/n. Hvis vi na trekker kanter mellom hjørnene til deto n-kantene har vi laget en polyeder med de to n-kantene som sider samt 2n likebentetrekanter. Hvis vi na retter pa avstanden mellom n-kantene kan vi fa trekantene til a blilikesidede og resultatet kalles en rett antiprisme. Et eksempel er tegnet i figur 5.

For det tredje har vi rette pyramider som har en regulære n-kant som grunnflate og derhøyden er slik at de n trekantene er alle likesidede. Setter vi sammen to rette pyramidermed samme grunnflate far vi en rett bipyramide.

De Platonske legemene er tetraederet, kuben, oktaederet, ikosaederet og dodekaederet.Tetraederet er den rette pyramiden med trekant som grunnflate. Kuben er den rette prismenpa en kvadrat. Oktaederet er den rette bipyramiden pa en kvadrat. Det kan ogsa beskrivessom den rette antiprismen pa en trekant. Man kan lage ikosaederet ved først a danne enrett antiprism pa en pentagon. Sa pa hver av de to 5-kantene legger man en rett pyramidemed pentagonet som grunnflate.

Dodekaderet krever en litt lengre beskrivelse. Start med 6 like regulære pentagoner. Iplanet plasser en i midten og de andre 5 slik at de har en felles kant med den i midten. Irommet brett de 5 ytre pentagonene opp langs felleskanten med den i midten til nabokantermøtes og man har en “bolle” med hakkete rand bestaende av 10 kanter. Gjør dette en gangtil slik at det er to “boller”. De vil kunne settes sammen langs randa til en dodekader.

Tegninger av de platonske legemene er allestedsnærværende i geometrilitteraturen ogpa internettet. Det er en nyttig oppgave a tegne dem selv.

Vi sier at et 3 dimensjonalt polyeder er regulært hvis sideflatene er like regulære mange-kanter som treffes like mange ganger i et hjørne. Til et regulært polyeder kan man tilordneSchlafli symbolet {p, q} der sideflatene er regulære p-kanter og q av dem møtes i hverthjørne. Det er klart at Schlafli symbolet bestemmer det regulære polyederet opptil ska-lering. Et regulært polyeder P har en dual regulær polyeder P∨, nemlig ta den konvekseinnhyllingen av midpunktene i alle sideflatene til P . Det er klart at hvis Schlafli symbolettil P er {p, q} sa er Schlafli symbolet til P∨ lik {q, p}. Merk at de Platonske legemene erregulære polyeder. Kombinatorikken deres er beskrevet i Tabell 1.

Setning 3.3. De 5 platonske legemene er de eneste 3 dimensjonale regulære (konvekse)polyedre.

15

Navn flatetype hjørner kanter flater Schlafli symbolTetraeder Trekant 4 6 4 {3, 3}Kube Kvadrat 8 12 6 {4, 3}Oktaeder Trekant 6 12 8 {3, 4}Dodekaeder Pentagon 20 30 12 {5, 3}Ikosaeder Trekant 12 30 20 {3, 5}

Tabell 1: Platonske legemer data.

Trekant som ligger i en oktaedertrekant. Trekant med to hjørner pa en ekvator.

Figur 6: Ikosaederet og det gyldne snitt.

Bevis. La P være et regulært polyeder med Schlafli symbol {p, q}. Siden q mangekantermøtes i et hjørne vil ogsa hjørnet tilhøre q kanter. Fra Setning 3.2 far vi 2e = qv. Videreer det p kanter i hver sideflate og nar vi summerer det over alle sideflater har vi tellt hverkant to ganger, sa 2e = pf . Eulers formel gir da

2 = v − e+ f = v(1− q

2+q

p) ⇒ v =

4p

2p+ 2q − pq> 0 .

Men det betyr at 2p + 2q − pq = 4 − (p − 2)(q − 2) > 0. Siden p, q ≥ 3 er det bare 5muligheter:

{p, q} = {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3} eller {3, 5} .

Dette er Schlafli symbolene til hhv tetraederet, kuben, oktaederet, dodekaederet og ikosae-deret.

Man bør strengt talt realisere de platonske legemene som konvekse innhyllinger i rom-met. Dette er gjort i oppgaver, men vi tar med en spesiell vakker konstruksjon av ikosae-deret.

16

Anta at man har konstruert oktaederet (f.eks. som den konvekse innhyllingen av de 6hjørnene (±1, 0, 0), (0,±1, 0), (0, 0,±1)). Man kan lage et “sjakkbrett” pa oktaederet, dvsfargelegge hver sideflate hvit eller svart slik at ingen med samme farge har en felles kant.Dette gir en veldefinert retning til hver kant, man beveger seg slik at hvit alltid er tilhøyre og svart til venstre. Derfor vil et forhold a : b, der a + b er den felles kantlengden,bestemme entydig 12 punkter, 1 pa hver kant. Nemlig fra starthjørnet pa kanten ga lengdena i retningen langs kanten og plasser punktet der.

Ta na den konvekse innhyllingen av disse 12 punkter. Man far noe som kombinatorisker et ikosaeder, men sideflate trekantene er ikke alle likesidet. Det er to typer trekanter(se figur 6), den første typen ligger i en trekant som var sideflaten til oktaederet. Den erlikesidet, og f eks fra cosinussetningen regner man ut at kantlengden er

√a2 + b2 − ab. De

andre 12 trekantene har to kanter i sideflatene til oktaederet, og er derfor likebent medden felles kantlengde

√a2 + b2 − ab. Den tredje kanten ligger i et kvadrat der randa er en

ekavator for oktaederet. Det følger at denne kantlengden er√

2a.Dette betyr at vi far et ikosaeder hvis vi velger forholdet a : b slik at

√a2 + b2 − ab =√

2a. En enkel utregning gir at dette er det samme som at

a+ b

b=b

a

som er presist definisjonen av det gyldne snitt.

3.3 Rotasjons undergruppen av Isom3

Det ville føre for langt i dette kurset a beskrive alle isometrier av rommet. Vi skal kun sepa en viktig type nemlig rotasjoner. En rotasjon av E3 bestar av en linje (rotasjonsaksen)` og en vinkel θ. Virkningen av rotasjonen er følgende. Et punkt x ligger i et entydig planortogonal til `. Betrakt snittet av ` med planet som origo og roter x med vinkel θ om origo.

A skrive en rotasjon i matriseform er rimelig komplisert, men etter et basis skifte kanvi anta ` er x1 aksen. Da blir matrisen1 0 0

0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

. (3.1)

Sammenhengen mellom rotasjoner og orienteringsbevarende isometrier med fikspunkt erdet samme som for planet.

Setning 3.4. En operator T er i SO(3) hvis og bare hvis T er en rotasjon.

Bevis. I en bestemt basis er matrisen til en rotasjon gitt ved (3.1) som er ortogonal meddeterminant 1. Dvs at alle rotasjoner er i SO(3).

For a vise den andre implikasjonen la A være standard matrisen til T . Da er AtA = Iog detA = detAt = 1. Vi vil først vise at A har 1 som egenverdi, som er det samme soma vise at det(A− I) = 0. Merk at At(A− I) = (I − At) = (I − A)t. Vi har

det(A− I) = detAt · det(A− I) = detAt(A− I) = det(I − A) = det(−(A− I)) .

17

akse gjennom vinkler # akser # rotasjoner

Tetraedergruppen et hjørne og midtpunktet pamotstaende flate

2π3, 4π

34 8

midtpunktene pa en kant ogmotstaende kant

π 3 3

Orden 12

Oktaedergruppen et hjørne og motstaendehjørne

π2, π, 3π

23 9

midtpunktene pa en kant ogmotstaende kant

π 6 6

midtpunktene pa en flate ogmotstaende flate

2π3, 4π

34 8

Orden 24

Ikosaedergruppen et hjørne og motstaendehjørne

2π5, 4π

5, 6π

5, 8π

56 24

midtpunktene pa en kant ogmotstaende kant

π 15 15

midtpunktene pa en flate ogmotstaende flate

2π3, 4π

310 20

Orden 60

Tabell 2: Rotasjonsgruppene til de Platonske legemene.

Men hvis B er en 3× 3 matrise sa er det(−B) = − detB. Derfor ma det(A− I) = 0.Velg en egenvektor v1 for egenverdien 1 med ‖v1‖ = 1. Velg en ortonormal basis {v2, v3}

for planet gjennom origo som er ortogonal til v1. Da blir {v1, v2, v3} en ortonormal basisfor R3 og hvis P er matrisen med søyler v1, v2, v3 sa er P ortogonal. Da ma A′ = P−1APogsa være ortogonal med detA′ = detA = 1.

Na er

A′ =

1 0 00 a b0 c d

.

der(a bc d

)ma være en ortogonal 2× 2 matrise med determinant 1. Men da sier Setning 2.2

at (a bc d

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)for en θ og vi har vist at T er en rotasjon.

Rotasjonsgruppene til de Platonske legemene gir oss eksempler pa endelige undergrup-per av SO(3). Det er en oppgave a vise at P og dens duale har den samme rotasjonsgruppen,sa vi far 3 grupper pa denne maten. De er beskrevet i Tabell 2.

18

3.4 Ekvivalensrelasjoner, partisjoner og en telleformel

Vi skal bestemme alle endelige rotasjonsgrupper men først en nødvendig digresjon. Enekvivalensrelasjon pa en mengde X er et forhold mellom elementer i X som vi skriverx ∼ y som er

(i) Refleksiv, dvs at x ∼ x.

(ii) Symmetrisk, dvs at x ∼ y ⇒ y ∼ x.

(iii) Transitiv, dvs at x ∼ y og y ∼ z ⇒ x ∼ z.

Med en ekvivalensrelasjon lager man ekvivalensklasser som er delmengder av X. Ekviva-lensklassen til x ∈ X, som vi skriver [x], er definert som [x] = {y ∈ X : x ∼ y}.

Hjelpesetning 3.5. Det er en likhet av mengder [x] = [y] hvis og bare hvis x ∼ y.

Bevis. Hvis x ∼ y skal vi først vise at [x] ⊆ [y]. Vi har z ∈ [x]⇔ x ∼ z og ved transitivitetma da z ∼ y sa z ∈ [y]. Helt symmetrisk viser man [y] ⊆ [x] sa de er like. Det er klart aty ∈ [y] siden y ∼ y, sa hvis [x] = [y] ma y ∈ [x] og derfor x ∼ y.

En viktig konsekvens av dette er at hvis [x] 6= [y] ma [x]∩[y] = ∅. Dette fordi z ∈ [x]∩[y]betyr at x ∼ z og y ∼ z, sa ved symmetri og transitivitet ma x ∼ y. Men da sier Lemma3.5 at [x] = [y].

Det er en nøye sammenheng mellom ekvivalensrelasjoner og partisjoner. En partisjonav X er en mengde av ikke-tomme delmengder Xi ⊆ X med X = ∪Xi og Xi∩Xj = ∅ hvisi 6= j. A lage partisjoner av endelige mengder er ofte nyttig hvis man vil telle. Hvis |X| ersymbolet for antall elementer i X og {Xi} er en partisjon ma |X| =

∑i |Xi|.

Det følger fra Lemma 3.5 at for en ekvivalensrelasjon vil {[x] : x ∈ X} være en partisjonav X. Dette er det vi trenger, men det er et sterkere resultat som vi ikke tar tid til a beviseher.

Setning 3.6. Funksjonen ∼ 7→ {[x] : x ∈ X} gir en 1-1 korrespondanse mellom ekviva-lensrelasjoner pa X og partisjoner av X.

En gruppevirkning pa en mengde X er en generalisering av det vi har kalt for symme-trier, man sier f eks at symmetrigruppen til en figur F i En virker pa F . En gruppevirkninger en funksjon G×X → X som vi skriver (g, x) 7→ gx der vi krever for identitetselementete ∈ G at ex = x og at g(hx) = (gh)x (produktet pa høyre siden er produktet i G). Spesieltvil funksjonene φg : X → X gitt ved φg(x) = gx være bijeksjoner.

Hvis G virker pa X kan vi lage en ekvivalensrelasjon pa X ved a si at

x ∼ y hvis det fins en g ∈ G med y = gx. (3.2)

Den er refleksiv siden x = ex, symmetrisk siden y = gx ⇒ x = g−1y og transitiv sideny = gx og z = hy ⇒ z = h(gx) = (hg)x.

19

Hvis G virker pa X kaller vi mengden Gx = {gx : g ∈ G} for banen til x. Medekvivalensrelasjonen (3.2) er ekvivalensklassene det samme som banene til G. Vi skal nalage ekvivalensrelasjoner pa G for hvert element i X. Hvis G virker pa X og x ∈ X definer

g ∼x h hvis gx = hx.

Det er lett a se at dette er en ekvivalensrelasjon.Merk at ekvivalensklassen til e mht ∼x er stabilisatorgruppen til x, Gx = {g ∈ G : gx =

x}. Dette er en undergruppe av G men de andre klassene er ikke det. Men det er dog ensterk forbindelse

Hjelpesetning 3.7. Hvis [g]x er klassen til g mhp ∼x sa er funksjonen Gx → [g]x gittved h 7→ gh bijektiv. Spesielt hvis G er endelig vil alle ekvivalensklasser ha like mangeelementer, nemlig |Gx|.

Bevis. Vi ma først sjekke om funksjonen er veldefinert, dvs om gh ∈ [g]x nar h ∈ Gx. Men(gh)x = g(hx) = gx sa gh ∈ [g]x. Den er injektive siden gh = gh′ ⇒ h = h′. Hvis g′ ∈ [g]xda vil (g−1g′)x = g−1(g′x) = g−1(gx) = x sa g−1g′ ∈ Gx. Men g(g−1g′) = g′ og dette viserat funksjonen er ogsa surjektiv.

Setning 3.8. Hvis en endelig gruppe G virker pa en mengde X sa vil

|G| = |Gx| · |Gx|

for alle x ∈ X.

Bevis. Vi vet na fra Setning 3.6 at mengden av ekvvalensklasser for ∼x danner en partisjonav G. Fra Lemma 3.7 vet vi at alle disse klassene har |Gx| elementer. Sa

|G| = |Gx| · (antall distinkte ekvivalensklasser for ∼x) .

Vi setter opp en 1-1 korrespondanse mellom {ekvivalensklasser for ∼x} og banen Gx. Sepa funksjonen [g]x 7→ gx. Den er veldefinert siden fra Lemma 3.5 vet vi at [g]x = [h]x ⇒g ∼x h⇒ gx = hx. Den er per definisjon av de forskjellige mengder injektiv og surjektiv.Det følger at antall distinkte ekvivalensklasser for ∼x = |Gx| og vi er ferdig.

3.5 Endelige undergrupper av SO(3)

En rotasjon om en akse gjennom origo fikser nøyaktig to punkter pa enhetsfæren i R3,nemlig snittet mellom rotasjonsaksen og sfæren. Vi kaller disse to punktene polene tilrotasjonen. Hvis G ⊂ SO(3) er en endelig undergruppe sett P = {p : p en pol for en g ∈G, g 6= id}. Dvs mengden av alle poler for elementene i G.

Hjelpesetning 3.9. Gruppen G virker pa P .

20

Bevis. Hvis p er en pol for g ∈ G og h et vilkarlig annet element i G, ma vi vise at hp eren pol for et tredje element i G. Na vil hp ogsa ligge pa sfæren sa det er nok a vise at hper et fikspunkt for et element i G. Se pa hgh−1 ∈ G og regn ut (hgh−1(hp) = (hg)p = hp.Dvs at hp er fikspunkt for hgh−1.

Vi er na i stand til a klassifisere de endelige rotasjonsgruppene i rommet.

Setning 3.10. De eneste endelige undergrupper av SO(3) er de sykliske rotasjonsgrupperCn, de dihedrale gruppene Dn og de tre rotasjonsgruppene til de platonske legemene.

Bevis. For hver pol p la rp = |Gp| være antall elementer i stabilisatorgruppen til p. Allerotasjoner i Gp ma ha samme rotasjonsakse siden de har p og O som fikspunkter. Dvs at Gp

er en endelig rotasjonsgruppe i planet ortogonalt pa denne aksen. Men vi vet fra Setning2.5 at da ma Gp være en syklisk rotasjonsgruppen Crp bestaende av alle rotasjoner medvinkler 2πk/rp. Merk at rp > 1 for ellers ville ikke p være en pol.

La N = |G| og np = |Gp| være antall elementer i banen til p. Setning 3.8 sier atN = rp ·np for alle poler p. Hvis p og p′ er i samme bane ma Gp = Gp′ siden banene utgjøren partisjon. Da ma np = np′ , men siden N = rp · np ma ogsa rp = rp′ !

Na teller vi opp elementer i {(g, p) : g ∈ G, p en pol for g } pa to mater. Antall ele-menter i G med p som pol er rp− 1 sa tallet er

∑p∈P (rp− 1). Pa den andre siden har hver

g ∈ G som ikke er identiteten to poler, sa tallet er ogsa 2(N − 1). La O1, . . . , Om være dedistinkte banene i P , ni = |Oi| og ri den felles rp for p ∈ Oi.

Tellingen var ovenfor gir∑

i ni(ri − 1) = 2(N − 1). Del med N = rini pa begge siderog vi far

2− 2

N=

m∑i=1

(1− 1

ri) .

Venstresiden er mindre enn 2, mens hvert ledd pa høyre siden er større eller lik 1/2. Dama m ≤ 3, dvs det kan ikke være mer enn 3 distinkte baner av poler. Det er fort gjort ase at m = 1 er umulig.

Hvis m = 2 regner man ut at2

N=

1

r1+

1

r2.

Vi har ri ≤ N og hvis si r1 < N vil høyre siden være ekte større enn 2/N , sa vi ma har1 = r2 = N . Men da ma n1 = n2 = 1 og vi har bare 2 poler for hele gruppen og de maligge pa samme akse. Dvs at hele gruppen fikser denne aksen og vi kan argumentere somfør for at G er den sykliske rotasjons gruppen CN .

Hvis m = 3 regner man ut at

2

N=

1

r1+

1

r2+

1

r3− 1 .

Ordne indeksene slik at r1 ≤ r2 ≤ r3. Hvis r1 ≥ 3 er høyresiden ≤ 0 sa r1 = 2. Vi deler ito tilfeller.

21

Først anta ogsa r2 = 2. Da ma N = 2r3 sa n3 = 2. Det betyr det fins en bane med bareto poler, igjen ma de ligge pa samme akse. Elementene i G ma enten holde disse begge fikseller bytte pa dem. Hvis g har dem som fikspunkter er g en rotasjon i planet ortogonaltpa aksen. Hvis g bytter dem, ma g være en rotasjon med vinkel π om en linje som ligger idette planet. Men dette er det samme som a være en speiling i planet. Vi konkludere medat G er den dihedrale gruppen Dr3 .

Anta na at r2 ≥ 3. Vi har2

N=

1

r2+

1

r3− 1

2.

Hvis r2 ≥ 4 er høyresiden ≤ 0, sa r3 = 3. Vi har da

2

N=

1

r3− 1

6

sa 3 ≤ r3 ≤ 5. Dvs at det er bare tre mulig tripler:

(2, 3, 3), N = 12 (2, 3, 4), N = 24 (2, 3, 5), N = 60 .

Hvis man sammenligner med analysen av rotasjonsgruppene til de platonske legemene iavsnitt 3.3 ser man at dette er (r1, r2, r3) for hhv tetraedergruppen, oktaedergruppen ogikosaedergruppen.

Det gjenstar a vise at disse invariantene tvinger gruppene til a bli disse. Det er ikke savanskelig, men vil ta for mye plass her.

22

4 Trekanter; Menelaos’ og Cevas setninger

Vi begynner var studie av trekanter med to setninger som pa en slaende mate kombinerergeometriske egenskaper med algebraiske relasjoner. Denne kombinasjonen er selve styrkeni analytisk geometri. Disse setningene kan nærmest sees pa som forløpere til analytiskgeometri, selv om bare den ene er det i tid. De bruker ikke koordinater, men allikevellengder av linjestykker, til og med med fortegn.

I første omgang bruker vi altsa ikke koordinater, men som ordet geometri antydermaler vi lengder pa linjestykker og størrelser pa vinkler. Dette gir mening, selv om ikkemalestokken er oppgitt, sa lenge vi bare bruker de relative størrelsene.

Linjestykket mellom punktene A og B i planet kaller vi AB, og med linja gjennom ABmener vi linja gjennom punktene A og B. Lengden til linjestykket mellom A og B betegnervi ogsa med AB.

Fortegnsmal for linjestykker: Noen ganger velger vi en orientering langs ei linje. Etlinjestykke AB er da positivt eller negativt ettersom retningen fra A til B følger oriente-ringen eller ikke. Lengden til linjestykket AB med fortegn, bestemt av retningen fra Atil B, betegner vi med AB. Tallverdien |AB| betegner vi pa samme mate som linjestykketselv med AB.

Den grunnleggende egenskapen til fortegnsmalet er at

AB +BC = AC

uavhengig av orientering, rekkefølge og om noen av punktene er like. Spesielt er

AB +BA = AA = 0.

For tre kollineære punkter A,B,C, det vil si tre punkter som ligger pa samme linje,er

AB +BC + CA = AC + CA = 0.

Tilsvarende far vi for hvert punkt O pa linja gjennom AB

AB = OB −OA.

Fortegnsmal for linjestykker gir en nyttig definisjon av delingsforholdet som et punktpa ei linje deler et linjestykke pa linja i:

Hvis A,B, P er tre forskjellige kollineære punkter, sier vi at P deler AB i forholdet

AP

PB.

Med denne definisjonen ser en lett at forholdet er negativt dersom P ligger utenfor linje-stykket AB (deler AB utvendig) og positivt dersom P ligger mellom A og B (deler ABinnvendig). Denne definisjonen har en naturlig utvidelse til hele linja dersom en tillater ∞som verdi. Det skal vi la ligge her. Viktigere er

23

C

B

A

D

A'

E

B'

F

C'

Figur 7: Menelaos’ setning

Hjelpesetning 4.1. Et punkt P pa linja gjennom AB er entydig bestemt av delingsfor-holdet AP

PB.

Bevis. La P og Q være to punkter pa linja gjennom AB med

AP

PB=AQ

QB.

Legg til 1 pa begge sider:AP

PB+PB

PB=AQ

QB+QB

QB,

da far viAB

PB=AB

QB.

Dermed er PB = QB, og setningen følger.

Dersom tre punkter A,B,C ikke er kollineære, betegner vi trekanten med hjørner idisse punktene med 4ABC. Et punkt pa linja gjennom AB som ikke faller sammen mednoen av hjørnene, kalles et Menelaos-punkt til trekanten for siden AB.

Setning 4.2. (Menelaos). Tre Menelaos-punkter D,E, F for sidene BC,CA,AB til tre-kanten 4ABC er kollineære hvis og bare hvis

BD

DC· CEEA· AFFB

= −1.

24

Bevis. . Anta at Menelaos-punktene D,E, F ligger pa linje. Da vil ett eller alle tre punkte-ne ligge utenfor trekanten. Derfor vil enten ett eller tre av punktene dele sin side negativt,sa produktet av delingsforholdene er ogsa negativt. I resten av beviset kan vi derfor kon-sentrere oss om absoluttverdiene til delingsforholdene.

Trekk høydene fra hjørnene i trekanten ned til linja gjennom D,E, F og kall skjærings-punktene for A′, B′ og C ′. Da er 4BB′D og 4CC ′D formlike siden de er rettvinklede og itillegg har en vinkel felles. Tilsvarende er ogsa 4AA′E og 4CC ′E, og 4AA′F og 4BB′Fformlike. Dermed er

BD

DC=BB′

CC ′,

CE

EA=CC ′

AA′,

AF

FB=AA′

BB′.

Da blirBD

DC· CEEA· AFFB

=BB′

CC ′· CC

′

AA′· AA

′

BB′= 1

og bare hvisdelen av setningen følger.Anta pa den andre siden at D, E og F er Menelaos-punkter for sidene BC,CA,AB og

atBD

DC· CEEA· AFFB

= −1.

La F ′ være skjæringspunktet mellom linja gjennom DE og linja gjennom AB.(Hvis disse linjene er parallelle er det lett a vise at

AF

FB= −1.

Dette delingsforholdet forekommer ikke uten at vi utvider linja med et uendelig fjerntpunkt. Dette kommer vi tilbake til i nest siste kapittel.)

Med punktet F ′ vet vi av første delen at

BD

DC· CEEA· AF

′

F ′B= −1.

Ved a forkorte far vi derfor atAF

FB=AF ′

F ′B.

Men av setningen over er punktene F og F ′ pa linja gjennom AB derfor like, og Menelaos’setning følger.

Dersom linja gjennom D og E er parallell med halveringslinja til vinkelen C er DC =EC. Nar denne linja nærmer seg C vil derfor produktet

BD

DC· CEEA

=BD

EA

nærme segBC

CA.

25

A B

C

D

D'

D''

GF''F'F

E

E'

E''

Sa nar linja gjennom CF halverer vinkelen C sa far vi som et grensetilfelle av Menelaos’setning

BC

CA=FB

AF.

Dette er en del av en

Setning 4.3. (Setning om halveringslinjer). I en trekant 4ABC vil ei linje gjennomhjørnet C dele linjestykket AB innvendig i forholdet AC

CBhvis og bare hvis linja halverer

vinkelen i C. Tilsvarende vil ei linje gjennom hjørnet C dele linjestykket AB utvendig iforholdet −AC

CBhvis og bare hvis linja halverer den utvendige vinkelen i hjørnet C.

Bevis. . La D være skjæringspunktet mellom linja gjennom C og linja gjennom AB. Trekklinja gjennom A parallelt med BC. Denne skjærer linja gjennom CD i E. Da er trekantene4ADE og 4BDC formlike, sa

AD

DB=AE

BC.

Men AE = AC hvis og bare hvis linja gjennom CD halverer vinkelen i C, sa setningenfølger. For den utvendige halveringslinja er beviset helt tilsvarende. La D′ være skjærings-punktet mellom linja gjennom C og linja gjennom AB som ligger utenfor trekanten. Lapunktet E ′ være skjæringspunktet mellom linja gjennom A parallelt med BC og linjagjennom CD′. Erstatt na E med E ′ og D med D′ i beviset over.

Ei linje gjennom et hjørne i en trekant 4ABC, som ikke faller sammen med linja tilnoen av sidene i trekanten, kalles ei Ceva-linje til trekanten gjennom dette hjørnet . Ei

26

A

B

C

E

D

E'

D'

Figur 8: Setning om indre og ytre halveringslinje

Ceva-linje gjennom A skjærer linja gjennom BC i Menelaos-punktet D (hvis den ikkeer parallell med BC). Ceva-linja identifiseres derfor ofte med linja gjennom AD. En finanvendelse av Menelaos’ setning er

Setning 4.4. (Ceva) Dersom tre Ceva-linjer AD,BE,CF til trekanten 4ABC er kon-kurrente, d.v.s. møtes i et felles punkt, sa er

BD

DC· CEEA· AFFB

= 1.

Omvendt, dersom denne relasjonen holder, er Ceva-linjene parallelle eller konkurrente.

Bevis. . Dersom Ceva-linjene er konkurrente, vil enten to eller ingen av delingsforholdenevære negative, derfor er produktet av dem positivt og vi kan konsentrere oss om absolutt-verdien til dette produktet.

La P være skjæringspunktet mellom Ceva-linjene AD,BE og CF . Ved a anvendeMenelaos’ setning pa 4ABD og 4ADC far vi

BC

CD· DPPA· AFFB

=DB

BC· CEEA· APPD

= −1

Produktet av de to sidene blir 1 og flere faktorer kan forkortes:

BC

CD· DPPA· AFFB· DBBC· CEEA· APPD

27

AB

C

D

F

P

E

Figur 9: Cevas setning

=BD

DC· CEEA· AFFB

= 1

sa første del av setningen følger.Anta omvendt at produktet av delingsforholdene er 1 og at Ceva-linjene ikke er pa-

rallelle (hvis de er parallelle, vis at produktrelasjonen holder (oppgave refprod)). Trekklinja gjennom C og skjæringspunktet mellom Ceva-linjene AD og BE til skjæring F ′ medsiden AB. Da er AF ′ en ny Ceva-linje gjennom A. Helt tilsvarende beviset for andre del avMenelaos’ setning bruker vi produktrelasjonen innsatt F og F ′ til a vise at F og F ′ delerAB i samme forhold. Av setningen om entydighet av slike delingsforhold konkluderer vi atF og F ′ ma være samme punkt. Dermed følger ogsa andre delen av setningen.

En annen fin anvendelse av Menelaos’ setning er

Setning 4.5. (Pappos) Dersom A,B,C og A′, B′, C ′ er to tripler av kollineære punkterpa to forskjellige linjer, sa er skjæringspunktene C ′′, A′′, B′′ mellom linjene gjennom AB′

og A′B, BC ′ og B′C, CA′ og C ′A kollineære.

Bevis. . Tegn figur med skjæringspunkt D mellom linjene gjennom BC ′ og CA′, skjærings-punkt E mellom linjene gjennom AB′ og BC ′ og skjæringspunkt F mellom linjene gjennomCA′ og AB′. Menelaos’ setning brukt pa triplene av Menelaos-punkter

28

R

S

P

Q

A

B'

A'

BC

C'

A'' B''

C''

D

E

F

Figur 10: Pappos’ setning

{A,B,C} {A′, B′, C ′} {A,B′′, C ′}, {A′, B, C ′′} og {A′′, B′, C}

til trekanten 4DEF gir

EB

BD· DCCF· FAAE

= −1,

EC ′

C ′D· DA

′

A′F· FB

′

B′E= −1,

EC ′

C ′D· DB

′′

B′′F· FAAE

= −1,

EB

BD· DA

′

A′F· FC

′′

C ′′E= −1

ogEA′′

A′′D· DCCF· FB

′

B′E= −1.

Sammenligner vi produktet av de tre siste venstresidene med produktet av de to første farvi:

EC ′

C ′D· DB

′′

B′′F· FAAE· EBBD· DA

′

A′F· FC

′′

C ′′E· EA

′′

A′′D· DCCF· FB

′

B′E

29

= −EBBD· DCCF· FAAE· EC

′

C ′D· DA

′

A′F· FB

′

B′E

Denne ligningen kan vi redusere til:

DB′′

B′′F· FC

′′

C ′′E· EA

′′

A′′D= −1.

Menelaos-punktene A′′, B′′, C ′′ til trekanten 4DEF er derfor kollineære.

30

O QP

A

B

Figur 11: Setning om periferivinkler

5 Sirkler; punkts potens og Pascal

I dette kapittelet skal vi vise de sentrale setningene i sirkelgeometrien om periferivinklerog punkts potens. Disse anvender vi sammen med Menelaos’ setning i beviset for Pascalssetning for sirkelen. Denne setningen representerer sammen med Pappos’ setning i forrigekapittel to spesialtilfeller av Pascals setning for kjeglesnitt. Beviset for denne i siste kapittelbygger i vesentlig grad pa disse spesialtilfellene.

Dersom punktene A,B,C ikke er kollineære, betegner vi med ∠BAC vinkelen medtoppunkt i A og vinkelbein langs AB og AC.

I en sirkel kalles en vinkel med toppunkt i sentrum av sirkelen for en sentralvinkel.Dersom sentrum er O og vinkelbeina spenner over buen mellom A og B pa sirkelperife-rien, identifiserer vi sentralvinkelen med ∠AOB. En vinkel med toppunkt i periferien ogmed vinkelbein som skjærer periferien i to andre punkter kalles en periferivinkel til sir-kelen. Som grensetilfelle inkluderer vi tilfellet der det ene vinkelbeinet tangerer sirkeleni toppunktet. Dersom toppunktet er P og vinkelbeina spenner over buen fra A til B pasirkelperiferien, identifiserer vi vinkelen med ∠APB.

Setning 5.1. (Periferivinkler) I en sirkel er en sentralvinkel dobbelt sa stor som en peri-ferivinkel som spenner over samme bue. Spesielt er periferivinkler som spenner over sammebue like store.

31

OB

A

D

N

M

Figur 12: Punkts potens

Bevis. Lag figur med en sentralvinkel ∠AOB og en periferivinkel ∠APB, forleng linjagjennom PO til skjæringspunktet Q med periferien.

Vinkelen ∠AOQ er nabovinkel til ∠AOP i 4AOP , og vinkelen ∠BOQ er nabovinkeltil ∠BOP i 4BOP .

Men trekantene 4AOP og 4BOP er begge likebeinte trekante, sa ∠AOQ = 2∠APOog ∠BOQ = 2∠BPO. Derfor er

∠AOB = ∠AOQ− ∠BOQ = 2∠APO − 2∠BPO = 2∠APB

og setningen følger.

Setning 5.2. (Punkts potens) La P være et punkt og la Σ være en sirkel i planet. La lvære ei linje gjennom P med skjæringspunkter A og B med Σ. Da er produktet PA · PBuavhengig av posisjonen til linja l.

Bevis. Tegn figur og trekk linja gjennom P og sentrum O i Σ til skjæringspunkter M og Nmed sirkelen. Trekk linjene NA og MB. I trekantene 4MPB og 4APN er vinkelen i Pfelles. Videre spenner periferivinklene ∠NMB og ∠NAB over samme bue, sa av setningenom periferivinkler er de like. Derfor er 4MPB og 4APN formlike. Men da er

PM

PB=PA

PN,

32

med fortegn til og med (alle linjemalene har samme fortegn dersom P ligger utenfor sirkelen,mens to og to har samme fortegn dersom P ligger inne i sirkelen). Sa

PA · PB = PM · PN

er uavhengig av linja l.

Produktet PA · PB i setningen kalles punktet P ’s potens m.h.p. sirkelen Σ. Leggmerke til at punktet P ’s potens m.h.p. Σ er positiv dersom P ligger utenfor sirkelen, 0dersom P ligger pa sirkelen og negativ dersom P ligger inne i sirkelen.

Setning 5.3. (Pascals setning for en sirkel) La A,B,C,D,E, F være 6 forskjellige punkterpa en sirkel. Da er skjæringspunktene mellom linjene gjennom AB og DE, BC og EF ,FA og CD (dersom ingen av disse parene er parallelle) kollineære.

Bevis. Tegn figur med skjæringspunkter henholdsvis L, M og N . Forleng linjene gjennomAB og CD til skjæringspunktet X, linjene gjennom CD og EF til skjæringspunktet S, oglinjene gjennom AB og EF til skjæringspunktet T .

Menelaos’ setning for triplene av Menelaos-punkter {E,L,D}, {F,A,N} og {M,B,C}til trekanten 4RST sier na at

SE

ET· TLLR· RDDS

= −1,

SF

FT· TAAR· RNNS

= −1

ogSM

MT· TBBR· RCCS

= −1.

Produktet av disse blir

SE

ET· TLLR· RDDS· SFFT· TAAR· RNNS· SMMT

· TBBR· RCCS

= −1,

som vi kan skrive

SM

MT· TLLR· RNNS

= −DSRD· ETSE· ARTA· FTSF· BRTB· CSRC

.

Pa den andre siden sier setningen om et punkts potens m.h.p. sirkelen brukt pa punk-tene R, S, T at

RA ·RB = RC ·RD,

SC · SD = SE · SF

ogTA · TB = TE · TF .

33

A

B

C

D

E

F

T

NR

S

M

L

Figur 13: Pascals setning

Setter vi inn for disse ligningene i høyre siden ovenfor far vi

SM

MT· TLLR· RNNS

= −ESRD· ATSE· CRTA· BTSF· DRTB· FSRC

= −1.

Av Menelaos’ setning anvendt pa Menelaos-punktene M,L,N til trekanten 4RST følgerdet at M,L,N er kollineære.

34

6 Geometriske steder: Linjer og kjeglesnitt

I dette siste kapittelet med koordinatfri geometri studerer vi noen enkle geometriske ste-der. I definisjonene av disse inngar ofte avstanden mellom punkter, disse gis da ved sineabsolutte mal og ikke fortegnsmal som vi ofte brukte i de to første kapitlene.

Mengden av punkter som oppfyller en bestemt geometrisk betingelse kalles det geome-triske stedet for punkter som oppfyller denne betingelsen.

6.1 Eksempler:

1. Det geometriske stedet for punkter som har en gitt fast avstand fra et gitt fast punktO, er en sirkel med sentrum i O og radius den gitte avstanden.

2. Det geometriske stedet for punkter som har samme avstand fra to gitte punkter Aog B, er midtnormalen pa linjestykket AB.

3. Det geometriske stedet for punkter P hvis avstander PA og PB til to faste punkterA og B har et konstant forhold

k =PA

PB≥ 0

er en sirkel med sentrum pa linja gjennom AB. Denne sirkelen kalles Apolloniossirkel.

Det geometriske stedet ligger symmetrisk om linja gjennom AB og har to punkt M ogN pa denne linja siden vi regner med absolutte mal. Et punkt, M , deler linjestykketAB utvendig mens det andre punktet,N , delerAB innvendig. Fra et punkt P pa dettegeometriske stedet utenfor linja, trekker vi linjene PB, PM,PA, PN . I trekanten4ABP er na

PA

PB=NA

NBsa av setningen om halveringslinja til en vinkel i en trekant følger det at PN halverervinkelen i P . Helt tilsvarende følger det at PM halverer den utvendige vinkelen iP . Siden den innvendige og den utvendige vinkelen i P er supplementvinkler, ma dehalve vinklene ∠APM og ∠APN være komplementvinkler. Dermed er ∠MPN enrett vinkel og P ligger pa periferien til sirkelen som har MN som diameter. Dennesirkelen danner derfor det søkte geometriske stedet.

4. Det geometriske stedet for punkter hvis forhold mellom avstandene til to gitte fastelinjer er konstant, er ei linje gjennom skjæringspunktet til de to gitte linjene.

Na er vi ved var første definisjon av kjeglesnittene ellipse, parabel og hyperbel. Denstammer fra Pappos:

35

A B

C

D

P

Figur 14: Apollonios-sirkel

Definisjon 6.1. (Kjeglesnitt - brennpunkt og styrelinje-definisjon) Gitt ei linje l, et punktS utenfor linja og et reelt tall e > 0. Det geometriske stedet for punkter P hvis forholdmellom avstandene til punktet S og til linja l er lik e, er

en ellipse dersom 0 < e < 1,en parabel dersom e = 1og en hyperbel dersom e > 1.

Hvis M er skjæringspunktet mellom normalen til l gjennom punktet P og linja l, sa eraltsa

PS = ePM.

En fellesbetegnelse for disse kurvene er kjeglesnitt, et navn vi skal forklare senere. S kalleset brennpunkt og l kalles ei styrelinje til kjeglesnittet. Størrelsen e kalles eksentrisite-ten til kjeglesnittet.

Vi undersøker symmetriegenskaper til kjeglesnitt. For det første er normalen til styre-linja gjennom brennpunktet opplagt ei symmetrilinje. En ellipse (hhv en hyperbel) har topunkter felles med denne linja, disse kalles toppunktene til ellipsen (hhv hyperbelen).

Symmetrisk om midtpunktet mellom disse toppunktene ligger det et nytt brennpunktog ei ny styrelinje. Ved hjelp av en figur og litt regning skal vi finne det nye brennpunktetog den nye styrelinja og vise at midtnormalen pa linja mellom toppunktene ogsa er ensymmetriakse.

36

b

A

P

ST A'S' T'

M M'

Q

Figur 15: Brennpunkter og styrelinjer til en ellipse

Figuren viser et eksempel med e < 1 (en ellipse), der T er fotpunktet til normalen pastyrelinja l gjennom brennpunktet S. La ST ha lengde m. Siden AS/AT = e far vi

AS =em

e+ 1og AT =

m

e+ 1.

Linja gjennom ST skjærer ellipsen i A og i A′ slik at A′ deler ST utvendig i forholdetA′SA′T

= e. Derfor er

A′S =em

1− eog A′T =

m

1− eog spesielt

AA′ = AS + SA′ =2me

1− e2.

Vi setter av S ′ pa denne linja symmetrisk til S om midtpunktet pa AA′. Da er

SS ′ = SA′ − AS =2me2

1− e2.

Tilsvarende vil linja l′ symmetrisk til l skjære linja gjennom ST i punktet T ′ med

TT ′ = AT + A′T =2m

1− e2.

37

Fra et punkt P pa ellipsen trekker vi linjene PS, PS ′ og normalen gjennom P pa linjagjennom ST til skjæringspunktet Q med denne linja. Videre trekker vi normalen gjennomP pa styrelinja l til skjæringspunktene M med l og M ′ med l′. Trekantene 4SPQ og4S ′PQ er rettvinklede sa vi kan uttrykke PQ ved Pytagoras’ setning pa to mater og fa

(PS)2 − (SQ)2 = (PS ′)2 − (S ′Q)2.

Setter vi PM = x, far vi SQ = x−m og ved definisjon pa ellipsen PS = ePM = ex. Daer

S ′Q =2me2

1− e2− x+m.

Sa

(PS ′)2 =

(2me2

1− e2− x+m

)2

+ e2x2 − (x−m)2

=4m2e4

(1− e2)2− 4me2(x−m)

1− e2+ e2x2

= e2(

4m2

(1− e2)2− 4mx

1− e2+ x2

)= e2(

2m

1− e2− x)2 = (ePM ′)2.

Derfor er ogsa S ′ og l′ et brennpunkt og ei styrelinje for ellipsen. Dette viser symmetrienom midtnormalen pa linja mellom toppunktene. Dessuten far vi en ny karakteristikk avellipsen. Vi far nemlig at summen

PS + PS ′ = ePM + ePM ′ = eMM ′ = eTT ′

er uavhengig av punktet P pa ellipsen.For en hyperbel (e > 1) blir regningen helt tilsvarende, men med et fortegnskifte slik

at|PS − PS ′| = eTT ′.

Definisjon 6.2. (Kjeglesnitt - sum- og differensdefinisjon) En ellipse er det geometriskestedet for punkter hvis avstander til to gitte faste punkter har en gitt fast sum. En hyperbeler det geometriske stedet for punkter hvis avstander til to gitte fast punkter har en gittfast differens.

En parabel har bare ett brennpunkt. Normalen gjennom brennpunktet pa styrelinja erden eneste symmetrilinja til parabelen.

En sekant til et kjeglesnitt er ei linje som skjærer kjeglesnittet i to punkter. Linjestykketmellom skjæringspunktene kalles en korde.

En ellipse har som vi har sett to brennpunkter. Midtpunktet mellom dem kalles sen-trum i ellipsen. En korde til ellipsen gjennom sentrum kalles en diameter.

38

d

A TQ T' A' S'S

P

Figur 16: Brennpunkter og styrelinjer til en hyperbel

Brennpunktene ligger pa en diameter, som kalles den store aksen. Endepunktene tilden store aksen er toppunktene til ellipsen. Diameteren som star normalt pa den storeaksen kalles den lille aksen. Vi har sett at ellipsen er symmetrisk om bade den store ogden lille aksen. Spesielt betyr det at ellipsen er symmetrisk om sentrum.

En hyperbel har ogsa to brennpunkter. Midtpunktet mellom dem kalles sentrum ihyperbelen. En korde til hyperbelen gjennom sentrum kalles en diameter. Brennpunkteneligger pa en sekant gjennom sentrum pa forlengelsen av en diameter. Denne diameterenkalles den reelle aksen. Endepunktene til den reelle aksen er toppunktene til hyperbelen.Sekanten gjennom brennpunktene og linja gjennom sentrum som star normalt pa denneer, som vi har sett, begge symmetriakser for hyperbelen. Derfor er hyperbelen symmetriskogsa om sentrum.

Forholdet mellom avstanden mellom brennpunktene og avstanden mellom toppunktenetil en ellipse (hhv. hyperbel) er eksentrisiteten e som vi brukte i den første definisjonenav kjeglesnitt. Dersom vi holder de to toppunktene fast og lar eksentrisiteten e avta motnull, det vil si at brennpunktene nærmer seg hverandre, ser vi at kjeglesnittet er en ellipsesom blir til en sirkel. Dette passer godt med den første karakteriseringen av sirkelen somet geometrisk sted og sumdefinisjonen av ellipsen.

39

b

T SA

P

Q

M

Figur 17: Brennpunkt og styrelinje til en parabel

7 Koordinater: Linjer og kjeglesnitt

Hittil har vi undersøkt linjer, trekanter og geometriske steder uten a bruke koordinater ogligninger. Undersøkelsene har avklart symmetriegenskaper til kjeglesnitt som vi vil utnyttenar vi velger koordinatsystem og finner ligningen til et kjeglesnitt.

Et koordinatsystem i planet bestemmer koordinater (x, y) for hvert punkt i planet.Disse er bestemt av to orienterte linjer, x-aksen og y-aksen, som star normalt pa hverandre.Skjæringspunktet kalles origo, som har koordinater (0, 0).

Ei linje i planet kan i et koordinatsystem bestemmes med en ligning: Punktene pa linjahar koordinater som oppfyller en lineær ligning

Ax+By = C

for passe konstanter A,B,C (merk at A og B ikke begge kan være lik 0). Om denneligningen blir multiplisert med en konstant k 6= 0, sa bestemmer den fortsatt samme linje,dette er imidlertid eneste mulige forskjell mellom ligninger som bestemmer samme linje.

Stigningstallet til ei linje er tangens til vinkelen mellom den positive x-aksen og linja. Forlinja med ligning Ax+By = C er dette stigningstallet lik −A

B. Tangens til vinkelen mellom

to linjer med ligninger Ax + By = C og A′x + B′y = C ′ er bestemt av stigningstallene

40

etter formelen for tangens til en differens av vinkler, sa den er

−AB− (−A′

B′ )

1 + (−AB

) · (−A′

B′ )=−AB′ + A′B

AA′ +BB′.

Linjene star normalt pa hverandre hvis og bare hvis tangens til vinkelen mellom linjeneikke er definert, sa vi ser av denne formelen at linjene star normalt pa hverandre hvis ogbare hvis AA′ + BB′ = 0. Spesielt far vi at hvis stigningstallene for to linjer er k og k′ sastar linjene normalt pa hverandre hvis

k = − 1

k′.

Avstanden mellom to punkter P = (a, b) og Q = (c, d) er selvsagt gitt ved Pytagoras’setning:

PQ =√

(a− c)2 + (b− d)2.

Nar vi na kjenner symmetriegenskaper til kjeglesnitt velger vi et koordinatsystem somutnytter disse. Vi starter med ellipsen med eksentrisitet e og store akse lik 2a:

Legg origo i sentrum for ellipsen, og la x-aksen og y-aksen være linjene gjennom hhv.store og lille akse. Da har brennpunktene koordinater (±c, 0) der c = ea. Dersom (x, y)er et punkt pa ellipsen sa oppfyller koordinatene x og y, pa grunn av sumdefinisjonen avellipsen, ligningen √

(x− c)2 + y2 +√

(x+ c)2 + y2 = 2a.

Denne reduseres ved isolering av et rottegn og kvadrering i steg til

(√

(x+ c)2 + y2 − 2a)2 = (x− c)2 + y2,

4cx+ 4a2 = 4a√

(x+ c)2 + y2

ogc2x2 + 2a2cx+ a4 = a2((x+ c)2 + y2)

som igjen reduseres tilx2

a2+

y2

a2 − c2= 1.

Legg merke til at dersom den lille aksen er 2b, sa er b2 = a2−c2 siden avstanden mellomet brennpunkt og et endepunkt til den lille halvaksen er a. Ligningen for ellipsen blir derfor

x2

a2+y2

b2= 1

der a og b er store og lille halvakse.Tilsvarende far vi for hyperbelen med eksentrisitet e > 1, reell akse lik 2a, sentrum i

origo og brennpunkter i (±c, 0), der c = ea, ligningen√(x− c)2 + y2 −

√(x+ c)2 + y2 = 2a.

41

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

6

4

2

0

-2

-4

-6

c

ab

Figur 18: Ellipse med ligning x2

a2+ y2

b2= 1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

10

5

0

-5

-10

-15

a

b c

Figur 19: Hyperbel med ligning x2

a2− y2

b2= 1

42

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

c

Figur 20: Parabel med ligning y2 = 4cx

Denne reduseres ved isolering av et rottegn og kvadrering til

−cx− a2 = a√

(x+ c)2 + y2

som igjen reduseres tilx2

a2− y2

c2 − a2= 1

som med b2 = c2 − a2 far formenx2

a2− y2

b2= 1.

Til slutt far vi for en parabel med brennpunkt i (c, 0) og styrelinje x = −c ligningen:√(x− c)2 + y2 = x+ c

som etter kvadrering kan reduseres til

y2 = 4cx.

Felles for de ligningene som vi har utledet for ellipser og hyperbler med sentrum i origoog for parabler er at de kan skrives pa formen

αx2 + βy2 + γx+ δy = ε

43

for passende koeffisienter. For ellipser og hyperbler med sentrum i origo er koeffisienteneγ = δ = 0. Nar disse koeffisientene er ulik null kan vi alltid danne fullstendige kvadraterslik at ligningen far formen

α(x− p)2 + β(y − q)2 = µ

eller(y − q)2 = 4ρ(x− p)

eventuelt med x og y byttet rolle. I det første tilfellet definerer ligningen en ellipse ellerhyperbel med sentrum i (p, q) med akser parallelle med koordinataksene, mens ligningeni det andre tilfellet definerer en parabel med toppunkt i (p, q) og akse parallell med x-aksen. Mer generelt vil ogsa en ligning av andre grad i x, y med produktledd xy definere etkjeglesnitt, hyperbelen xy = 1 er et kjent eksempel, disse har akser som ikke er parallellemed koordinataksene. Utledningen kommer vi tilbake til i kapitlene 9-11. Det generellekjeglesnittet i planet har ligningen

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

der minst en av koeffisientene A,B,C er ulik 0. For spesielle verdier av koeffisientene vildenne ligningen definere to linjer, en linje, et punkt eller ingen punkter. Disse kalles gjernedegenererte kjeglesnitt.

Dersom en har gitt 5 punkter i planet P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2), P3 = (x3, y3), P4 =(x4, y4), P5 = (x5, y5) far en ved innsetting i ligningen for det generelle kjeglesnittet 5lineære ligninger i koeffisientene. Dersom ikke 4 av punktene ligger pa linje, er det bare etsett av koeffisienter (opp til multiplikasjon med en konstant), som løser disse ligningene.Det betyr at det er nøyaktig ett kjeglesnitt gjennom de 5 punktene i planet. Vi kommertilbake til dette i kapitlene 9-11.

7.1 Trigonometrisk parametrisering

Med trigonometriske funksjoner kan vi parametrisere ellipser og hyperbler.Vi velger et koordinatsystem som over. Et punkt (x, y) pa ellipsen oppfyller da ligningen

x2

a2+y2

b2= 1,

der 0 < b < a er lille og store halvakse. Ved a utnytte den trigonometriske identiteten

cos2 t+ sin2 t = 1

kan vi settex = a cos t y = b sin t − π ≤ t ≤ π

som er en trigonometrisk parametrisering av ellipsen.Tilsvarende vil et punkt (x, y) pa hyperbelen oppfylle ligningen

x2

a2− y2

b2= 1

44

Figur 21: Hyperbel med asymptoter

der b2 = c2 − a2. Ved a utnytte den trigonometriske identiteten

1

cos2 t− tan2 t = 1

kan vi settex =

a

cos t, y = b tan t, −π ≤ t ≤ π, t 6= ±π

2som er en trigonometrisk parametrisering av hyperbelen.

For hyperbelen ser en at punktet (x, y) gar mot uendelig nar t nærmer seg ±π2. Men

forholdetx

y=

a

b sin t→ ±a

bhvis t→ ±π

2,

sa hyperbelen nærmer seg linjene bx = ±ay mens punktene pa den gar mot uendelig. Disselinjene kalles asymptoter til hyperbelen.

Ligningene til asymptotene er altsa xy

= ±ab, disse kan slas sammen til ligningen

x2

a2− y2

b2= 0,

som er den formen som vi far bruk for senere. Stigningstallene til asymptotene er ± ba

somkan utrykkes trigonometrisk ved hjelp av vinkelen v som en asymptote danner med denreelle aksen med at cos v = 1

e. Asymptotene er svært nyttige nar en skal tegne en hyperbel.

Litt senere skal vi og se at flere geometriske egenskaper er knyttet til asymptotene.

45

8 Implisitt derivasjon og tangentlinjer

Husk i fra 3. kapittel at ei linje som skjærer en kurve i to punkter kalles en sekant tilkurven. Nar en holder det ene punktet fast mens det andre punktet nærmer seg det første,vil sekanten gjennom punktene nærme seg en grenseposisjon som vi kaller en tangent tilkurven.

Klassisk ble en tangent definert som ei linje som passerer gjennom et punkt pa kurvenuten a skjære den.

For en kurve definert av en polynomligning f(x, y) = 0 kan vi og definere en tangenttil kurven som ei linje slik at restriksjonen av f(x, y) = 0 til linja, det vil si substitusjonav en av variablene ved hjelp av ligningen for linja, har ei dobbel rot.

Hver av disse definisjonene passer med tolkningen av den deriverte i et punkt somstigningstallet til tangenten i punktet: For en kurve som er grafen til en funksjon y = f(x)finner vi tangenten ved a derivere, siden stigningstallet til tangenten i et punkt (p, f(p))nettopp er den deriverte f ′(p).

Vi skal bruke den siste definisjonen og derivasjon til a finne ligninger for tangenter tilkjeglesnitt.

Vi har sett at et kjeglesnitt alltid kan defineres av en polynomligning av andre grad.Et kjeglesnitt med sentrum i origo og store/reelle akse langs x-aksen er bestemt av

ligningenαx2 + βy2 = γ.

Ved a avgrense x- og y-verdiene til et lite omrade, kan vi alltid realisere den delen avkjeglesnittet som ligger innenfor dette omradet som grafen til en funksjon y = g(x) (ellerx = h(y)). Ved a tenke pa y som en funksjon av x blir alle variablene i ligningen funksjonerav variabelen x. Disse er polynomer, sa de er alle deriverbare. Ved a derivere begge siderav polynomligningen (dette kalles implisitt derivasjon) far vi derfor:

2αx+ 2βyy′ = 0.

Stigningstallet til tangenten i et punkt (p, q) pa kjeglesnittet er derfor −αpβq

, mens ligningen

til tangenten blir (y − q) = −αpβq

(x− p) som forenkles til

αpx+ βqy = γ

siden (p, q) oppfyller ligningen αp2 + βq2 = γ. For kjeglesnitt pa formen

x2

a2± y2

b2= 1

far tangentligningen formenpx

a2± qy

b2= 1.

46

Figur 22: Pol og polare

8.1 Pol og polare

For et vilkarlig punkt (a, b) i planet har linja αax+ βby = γ ogsa interessante egenskaper.Linja αax + βby = γ kalles polaren til punktet (a, b) med hensyn til kjeglesnittet, mensomvendt punktet kalles polen til linja. Av denne definisjonen ser en at et punkt ligger pasin egen polare hvis og bare hvis punktet ligger pa kjeglesnittet og polaren er tangenten ipunktet.

Den viktigste egenskapen til pol og polare er

Setning 8.1. La linja l = l(P ) være polaren til punktet P med hensyn til et kjeglesnitt. Davil polaren l(Q) til et punkt Q pa l inneholde punktet P , og omvendt vil polen til ei linjegjennom P ligge pa l. Kortere sagt:

Q ∈ l(P ) hvis og bare hvis P ∈ l(Q).

Bevis. La punktet P ha koordinater (a, b). Et punkt Q = (a1, b1) ligger pa polaren l til Pdersom

αaa1 + βbb1 = γ.

Men denne ligningen utrykker samtidig at P ligger pa polaren med ligning

αa1x+ βb1y = γ

til Q. Tilsvarende følger ogsa andre del av setningen.

47

For et punkt P som ikke ligger pa kjeglesnittet skal vi se at polaren l(P ) bestemmereventuelle tangenter til kjeglesnittet som passerer gjennom P . Først sa vi at polaren l(P )ikke vil tangere kjeglesnittet. Det betyr at polaren har enten to eller ingen skjæringspunk-ter med kjeglesnittet. Dersom et punkt Q er et skjæringspunkt mellom polaren til P ogkjeglesnittet, da er tangenten til kjeglesnittet i punktet Q polaren til Q og inneholder der-for P . Omvendt vil hver tangent til kjeglesnittet som passerer gjennom punktet P ha sitttangeringspunkt pa polaren til P . Derfor er det enten to eller ingen tangenter gjennompunktet P og de eventuelle tangeringspunktene er skjæringspunktene mellom polaren tilP og kjeglesnittet.

8.2 Harmonisk konjugerte punkter

Gitt 4 punkter A,B,C,D pa ei linje. Da kalles

(AB,CD) =AC

AD· BDBC

kryssforholdet mellom AB og CD. I et senere kapittel skal vi se pa generelle egenskapertil kryssforholdet. I denne omgang begrenser vi oss til tilfellet at kryssforholdet er −1. I safall sier vi at A,B og C,D er harmonisk konjugerte.

Det fins en enkel geometrisk karakterisering av harmonisk konjugerte punkter.

Setning 8.2. Fire punkter A,B og C,D pa ei linje er harmonisk konjugerte hvis og barehvis det fins fire punkter P,Q,R, S i et plan som inneholder linja, slik at

A = PQ ∩RS,B = PR ∩QS,C = PS ∩ AB,D = QR ∩ AB.

Bevis. Bruk Menelaos pa 4PAB og linja QR og Ceva pa P,A,B, S.

Av Setning 11.1 far vi

Setning 8.3. Gitt tre punkter A,B og C pa ei linje. Da fins det nøyaktig et punkt D palinja slik at A,B og C,D er harmonisk konjugerte. Videre deler C og D linjestykket AB isamme absolutte forhold, men med motsatt fortegn.

Setning 8.4. Gitt et punkt P og et kjeglesnitt. La l være ei linje gjennom P som skjærerkjeglesnittet i to punkter A og B. Da er P og skjæringspunktet Q mellom l og polaren l(P )harmonisk konjugert til A,B.

Beviset for denne setningen er enklest ved hjelp av projektive transformasjoner, sa detutsettes til nest siste kapittel.

48

9 Speilingsegenskaper til kjeglesnitt

I dette kapittelet skal vi bade vise speilingsegenskapene til kjeglesnitt og noen praktiskeanvendelser av disse.

Setning 9.1. (Speilingsegenskapen til en ellipse) Linjene fra et punkt pa en ellipse tilbrennpunktene danner samme vinkel med tangenten til ellipsen i punktet. Det vil si at i etspeil med form som en ellipse, vil lys fra det ene brennpunket bli reflektert mot det andre,og lys utenfra mot det ene brennpunktet vil bli reflektert i retning fra det andre.

Bevis. . Vi velger koordinatsystem som tidligere med origo i sentrum, x−akse langs denstore aksen og brennpunkt i B = (c, 0) go B′ = (−c, 0). Det vil si at ligningen til ellipsener

x2

a2+y2

b2= 1,

med eksentrisitet e = ca

og b2 = a2 − c2. Fra 3. kapittel vet vi at avstanden fra origo tilstyrelinjene er 1

e2· c sa styrelinjene har ligninger

x = ± c

e2= ±a

e.

La P = (p, q) være et punkt pa ellipsen. Da er forholdet mellom avstandene fra P tilbrennpunktene B og B′ og til styrelinjene lik e, sa vi far

PB′ = e(p+a

e) = a+ ep

ogPB = a− ep.

Tangenten til ellipsen i punktet P har ligning

px

a2+qy

b2= 1.

Normalen til denne tangenten gjennom P har stigningstall

qa2

pb2

og ligningq

b2(x− p)− p

a2(y − q) = 0.

Denne skjærer x-aksen i punktet

G = (p(1− b2

a2), 0) = (e2p, 0).

Dermed far vi

B′G = c+ e2p = ea+ e2p = e(a+ ep) = eB′P

49

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

6

4

2

0

-2

-4

-6

BB'

P

G

Figur 23: Speilingsegenskapen til en ellipse

og tilsvarendeBG = c− e2p = ea− e2p = e(a− ep) = eBP.

Av setning 4.3 om halveringsvinkler ma PG halvere vinkelen mellom PB′ og PB sa spei-lingsegenskapen er vist.

Setning 9.2. (Speilingsegenskapen til en hyperbel) Linjene fra et punkt pa en hyperbel tilbrennpunktene danner samme vinkel med tangenten til hyperbelen i punktet. Det vil si ati et speil formet som en hyperbel, vil lys utenfra mot det ene brennpunktet bli reflekterti retning fra det andre, mens lys fra det ene brennpunktet blir reflektert i retning fra detandre.

Beviset er helt analogt med beviset for ellipsen.

Setning 9.3. (Speilingsegenskapen til en parabel) Linjene fra et punkt pa parabelen tilbrennpunktet og parallelt med symmetriaksen danner samme vinkel med tangenten til pa-rabelen i punktet.

Bevis. . Dette er grensetilfellet for ellipsen nar det ene brennpunktet gar mot uendelig.Disse speilingsegenskapene brukes i:

• Parabolantennen for refleksjon av parallelle straler inn mot en mottaker i brennpunk-tet.

50

Figur 24: Speilingsegenskapen til en hyperbel

• Lyskastere med lyskilde i brennpunktet reflekterer lyset i et parabolsk speil til stralerparallelle med aksen.

• Elliptisk refleksjon brukes i medisin til a knuse nyrestein, ved a sende ut ødeleggendestraler fra ett brennpunkt for a knuse nyresteinen i det andre.

• I teleskoper brukes bade parabolske og hyperbolske speil til a konsentrere lyset frastjernehimmelen innpa en liten skjerm. Det parabolske speilet har et hull i toppunk-tet, det reflekterer lyset først mot et hyperbolske speil med samme brennpunkt, der-etter reflekteres lyset mot hyperbelens andre brennpunkt like bakenfor toppunktettil det parabolske speilet. Dette systemet kalles et Cassegrain system.

• Hyperbelen blir brukt i navigasjonssystemet DECCA og det nyere systemet GPS.I begge tilfeller mottar man signaler pa bestemte frekvenser fra ulike faste sende-stasjoner. Disse er kjente stasjoner pa jordoverflaten eller satelitter. Ved maling avfaseforskjeller finner en presis differansen mellom avstandene fra egen posisjon tilsendestasjonene. Denne differansen angir hvilken hyperbel (eller hyperboloide) medsendestasjonene som brennpunkt en ligger pa. Gjentar en malingen fra ulike sende-stajoner far en bestemt egen posisjon med stor nøyaktighet.

Kjeglesnitt opptrer ogsa naturlig som bevegelsesbaner bestemt av tyngdekraften: Ellip-ser er banene til planeter og kometer med sola i det ene brennpunktet. Parabelen er banen

51

Figur 25: Speilingsegenskapen til en parabel

til et prosjektil som pavirkes av en konstant kraft (f.eks tyngdekraften).

52

B'

B

P

Q

Figur 26: P har samme avstand til B som til Q

10 Flere geometriske egenskaper til kjeglesnitt

I dette kapittelet skal vi finne ulike geometriske steder knyttet til kjeglesnitt med og utenbruk av koordinater. De utvalgte egenskapene er bare noen fa blant mange, og de flestegar tilbake til Appolonios. Bevisene som brukes her er valgt med vekt pa a fa en sa storspredning i metoder som mulig, for a vise nytten av de ulike matene som kjeglesnittene erpresentert pa.

Først skal vi gi en ny karakteristikk av ellipser og hyperbler:

Setning 10.1. En ellipse er det geometriske stedet for de punktene som har samme avstandtil en sirkel som til et gitt punkt inne i sirkelen.

Bevis. For en ellipse med brennpunkt i B′ og B og store akse lik 2a, la S være sirkelenmed sentrum i B′ og radius lik 2a. Da vil ethvert punkt P pa ellipsen ha samme avstandtil B som til sirkelen S.

Setning 10.2. Den ene greina til en hyperbel er det geometriske stedet for de punktenesom har samme avstand til en sirkel som til et gitt punkt utenfor sirkelen.

Bevis. For en hyperbel med brennpunkter i B′ og B og reelle akse lik 2a, la S være sirkelenmed sentrum i B′ og radius lik 2a. Da vil ethvert punkt P pa hyperbelgreina nærmest Bha samme avstand til B som til sirkelen S.

53

B'B

P

S

Figur 27: P har samme avstand til B som til S

10.1 Pedalkurver

For en kurve i planet som har en tangent i hvert punkt definerer vi pedalkurven medhensyn til et punkt S utenfor kurven som det geometriske stedet for fotpunktet til en normalfra S pa en tangent til kurven. Vi skal vise at pedalkurven til en ellipse med hensyn til etbrennpunkt er en sirkel.

Vi kaller brennpunktene til ellipsen, B og B′, lar P være et punkt pa ellipsen, og lar Qvære skjæringspunktet mellom tangenten i P og normalen gjennom B til tangentlinja.

La videre R være skjæringspunktet mellom linja gjennom PB′ og linja gjennom BQ. Sepa trekantene 4PQB og 4PQR. Disse har siden PQ felles, som av speilingsegenskapen tilellipsen halverer vinkelen ∠BPR. Videre er begge trekantene rettvinklede, sa de er kongru-ente. Dermed er PR = PB og B′R = 2a. Sentrum O ligger midt mellom brennpunktene,og Q ligger midt mellom B og R sa avstanden mellom sentrum O og Q ma være a. Derforer det søkte geometriske stedet sirkelen med sentrum i sentrum av ellipsen og radius likden store halvakse. Denne pedalkurven til ellipsen kalles ogsa storsirkelen til ellipsen.

10.2 Styresirkelen

Dernest vil vi finne det geometriske stedet for punkter P som er slik at tangentene fra Ptil en gitt ellipse star normalt pa hverandre.

54

B' B

Figur 28: Pedalkurven mht til B er storsirkelen til ellipsen

I kapittel 4 sa vi at to linjer med ligninger

Ax+By − C = 0 og A′x+B′y − C ′ = 0

star normalt pa hverandre hvis og bare hvis

AA′ +BB′ = 0.

Vi velger na koordinatsystem som tidligere slik at ligningen til ellipsen blir

x2

a2+y2

b2= 1.

Dersom de to linjene tangerer ellipsen i henholdsvis (p, q) og (p′, q′), sa er linjene definertav ligningene

px

a2+qy

b2− 1 = 0 og

p′x

a2+q′y

b2− 1 = 0.

Derfor vil tangentene i (p, q) og (p′, q′) star normalt pa hverandre hvis og bare hvis

pp′

a4+qq′

b4= 0.

55

La na (x1, y1) være et punkt pa det søkte geometriske stedet. Da vil polaren til punktetha ligningen

x1x

a2+y1y

b2= 1

og skjære ellipsen i to punkter (p, q) og (p′, q′) slik at

pp′

a4+qq′

b4= 0.

Ved a substituere ligningen for polaren inn i ligningen for ellipsen finner vi utrykk for pp′

og qq′: Først multipliserer vi ligningen for ellipsen med y21/b2 og far

y21x2

a2b2+y21y

2

b4=y21b2,

deretter setter vi inny1y

b2= 1− x1x

a2

og fary21x

2

a2b2+(

1− x1x

a2

)2=y21b2.

Dette er en andregradsligning i x hvis to røtter er p og p′. Derfor er produktet pp′ likkonstantleddet i ligningen nar denne er normalisert med 1 som koeffisient foran x2. Littregning gir (

y21a2b2

+x21a4

)x2 − 2x1

a2x+ 1− y21

b2= 0

sa

pp′ =1− y21

b2

y21a2b2

+x21a4

=a2 − a2y21

b2

y21b2

+x21a2

.

Tilsvarende far vi

qq′ =b2 − b2x21

a2

x21a2

+y21b2

.

Derfor vil tangentene gjennom (x1, y1) sta normalt pa hverandre hvis og bare hvis

pp′

a4+qq′

b4=

1

a4a2 − a2y21

b2

y21b2

+x21a2

+1

b4b2 − b2x21

a2

x21a2

+y21b2

= 0.

Denne ligningen kan vi redusere til

1

a4

(a2 − a2y21

b2

)+

1

b4

(b2 − b2x21

a2

)= 0

som ved multiplikasjon med a2b2 blir til

(b2 − y21) + (a2 − x21) = 0,

56

P

Q

Figur 29: Styresirkelen til ellipsen

det vil six21 + y21 = a2 + b2.

Det søkte geometriske stedet er altsa en sirkel med sentrum i sentrum til ellipsen. Dennesirkelen kalles styresirkelen.

10.3 Diametre og parallelle korder

Vi skal bruke den trigonometrisk parametriseringen til a vise

Setning 10.3. Det geometriske stedet for midtpunktet til parallelle korder i en ellipse eren diameter.

Bevis. Med trigonometrisk parametrisering vil midtpunktet pa korden mellom punktermed parameter t og u ha koordinater

x =1

2(a cos t+ a cosu) = a cos

t+ u

2cos

t− u2

og

y =1

2(b sin t+ b sinu) = b sin

t+ u

2cos

t− u2

.

57

(De trigonometriske formlene som er brukt her kan enklest utledes av formlene for sinusog cosinus til en sum og en differens av vinkler).

Stigningstallet til korden er

m =b sin t− b sinu

a cos t− a cosu=

2b cos t+u2

sin t−u2

−2a sin t+u2

sin t−u2

=−b cos t+u

2

a sin t+u2

mens altsax

y=a cos t+u

2

b sin t+u2

.

Derfor erbx

ay=−amb

ellerb2x+ a2my = 0.

Nar kordene er parallelle, sa er stigningstallet m konstant. Denne ligningen definerer derforei linje, og den er det geometriske stedet vi søker. Denne linja gar gjennom sentrum iellipsen, sa den er en diameter.

Setning 10.4. Det geometriske stedet for midtpunktet til parallelle korder til ei grein aven hyperbel ligger pa en sekant til hyperbelen som gar gjennom sentrum.

Setning 10.5. Det geometriske stedet for midtpunktet til parallelle korder i en parabelligger pa ei linje som er parallell med symmetriaksen.

Beviset for disse setningene er helt analogt med beviset for ellipsen . For en hyperbelskal vi bruke dette resultatet til a vise følgende egenskap:

Setning 10.6. Dersom ei linje skjærer ei grein av en hyperbel i to punkter, sa vil delinjestykkene pa linja som ligger mellom hyperbelen og dens asymptoter være like store.

Bevis. Vi viser dette ved a se pa asymptotene som en degenerert hyperbel. Vi sa i 4.kapittel at asymptotene til hyperbelen

x2

a2− y2

b2= 1

er bestemt av ligningenx2

a2− y2

b2= 0.

Generelt vil ligningenx2

a2− y2

b2= λ

58

Figur 30: Midtpunktet til parallelle korder ligger pa en diameter

definere en hyperbel for hver λ 6= 0 med de samme asymptotene. Nar λ gar mot 0 vilaksene til hyperbelen nærme seg 0 ogsa. Dermed er asymptotene en naturlig grensekurvefor disse hyperblene. Spesielt vil setningen over om det geometriske stedet for midtpunktettil parallelle korder til ei grein av en hyperbel gjelde for alle hyperblene i denne familiensamtidig. Midtpunktet for parallelle korder vil ligge pa ei og samme linje gjennom sentrumfor alle disse hyperblene. Og sentrum er skjæringspunktet origo mellom asymptotene.

For ei generell linje l som skjærer ei hyperbelgrein i to punkter trekker vi først linjak gjennom sentrum til hyperbelen og midtpunktet til denne korden. Da vil linja k ogsahalvere den delen av linja l som ligger mellom asymptotene. Derfor ma ogsa linjestykkenemellom hyperbelen og asymptotene være like store.

10.4 Kjeglesnitt med felles brennpunkter

For kjeglesnitt med felles brennpunkter er det klart fra sum- og differens-definisjoneneat to ellipser eller to hyperbler ikke vil ha felles punkter. Derimot vil en ellipse og enhyperbel alltid ha 4 skjæringspunkter. Vi vil vise at tangentene til de to kjeglesnittene iskjæringspunktet star normalt pa hverandre.

Vi starter med to kvadrater 0 < b2 < a2 og c2 = a2 − b2. Da vet vi at

x2

a2+y2

b2= 1

59

Figur 31: Linjestykkene begrenset av hyperbelen og dens asymptoter er like store

er ligningen til en ellipse med brennpunkter i (±c, 0) og med a og b som store og lillehalvakse. En hyperbel med brennpunkter i (±c, 0) vet vi har ligningen

x2

a21− y2

b21= 1

med c2 = a21 + b21.Legg na merke til at vi kan skrive a21 = a2− λ og b21 = λ− b2, med b2 < λ < a2. Faktisk

far vi med ligningenx2

a2 − λ+

y2

b2 − λ= 1

alle kjeglesnitt med brennpunkt i (±c, 0), nar λ < a2. Vi far ellipser nar λ < b2 og hyperblernar b2 < λ < a2. Anta na at λ1 og λ2 er to verdier slik at de tilsvarende kjeglesnittene haret skjæringspunkt (p, q). Da vet vi at tangentlinjene gjennom (p, q) har ligningene

px

a2 − λ1+

qy

b2 − λ1= 1

gopx

a2 − λ2+

qy

b2 − λ2= 1.

60

B' B

Figur 32: Kjeglesnitt med felles brennpunkt star normalt pa hverandre

Fra kriteriet som vi viste i 4. kapittel vet vi at disse linjene star normalt pa hverandre hvisog bare hvis

p2

(a2 − λ1)(a2 − λ2)+

q2

(b2 − λ1)(b2 − λ2)= 0.

Men setter vi (p, q) inn i ligningene for de to kjeglesnittene far vi

p2

a2 − λ1+

q2

b2 − λ1= 1 og

p2

a2 − λ2+

q2

b2 − λ2= 1.

Ved subtraksjon mellom de to venstresidene far vi

p2(a2 − λ2 − (a2 − λ1))(a2 − λ1)(a2 − λ2)

+q2(b2 − λ2 − (b2 − λ1))

(b2 − λ1)(b2 − λ2)= 0

som vi kan redusere til

(λ1 − λ2)(p2

(a2 − λ1)(a2 − λ2)+

q2

(b2 − λ1)(b2 − λ2)) = 0.

Men dette gir presis den relasjonen vi vil ha nar λ1 og λ2 er forskjellige.

61

11 Projektiv plangeometri

I de siste kapitlene skal vi gjøre et begrepsmessig sprang til projektiv geometri. Først, med idette kapitlet og gi en modell for det projektive planet, og vise noen grunnleggende setnin-ger i denne modellen. I det neste kapitlet vil vi starte med aksiomer og se pa ulike modellerfor det projektive plan. Disse vil sa gi et rikere tilfang av metoder i denne geometrien.

De linjene og planene som vi har brukt sa langt kalles ofte affine linjer og plan. Eiaffin linje, et affint plan og affint rom er karakterisert ved at hvert punkt er bestemt avhenholdsvis en, to og tre koordinater. I var modell for det projektive planet er dette enutvidelse av det affine planet ved a legge til punkter i det uendelig fjerne. I projektivgeometri blir ofte setninger og resonnementer enklere selv om begrepene i første omgangkan være litt vanskelige a fa tak pa. Spesielt skal vi bruke projektiv geometri til a visePascals setning for kjeglesnitt.

Før vi definerer det projektive planet, definerer vi den projektive linja. Da starter vimed et punkt O i et affint plan og definerer punktene pa den projektive linja som linjenegjennom O i det affine planet. Dersom l er ei affin linje i planet som ikke gar gjennom O,kan vi identifisere alle linjer gjennom O som skjærer l med sitt skjæringspunkt pa l. Paden maten er det en en til en korrespondanse mellom punktene pa linja l og alle linjenegjennom O unntatt den linja gjennom O som er parallell med l. Siden en kan tenke segat to parallelle linjer i planet skjærer hverandre i det uendelig fjerne, sier vi at en farden projektive linja fra ei affin linje ved a legge til et punkt i det uendelige. Pa figurenrepresenterer de stiplede linjene punkter pa den projektive linja, mens den heltrukne linjaer ei affin linje.

For a definere det projektive planet starter vi med et punkt O i det affine rommet.Punktene i det projektive planet definerer vi som linjene i rommet gjennom punktet O. Etplan gjennom O definerer ei linje i det projektive rommet; punktene pa denne linja er allelinjene i planet som gar gjennom O, dermed er ei linje i det projektive planet ei projektivlinje.

Dersom Π er et affint plan i rommet som ikke gar gjennom O, kan vi identifisere allelinjer gjennom O som skjærer dette planet med sitt skjæringspunkt med planet. Dermeder det en en til en korrespondanse mellom punkter i det affine planet Π og linjer gjennomO som ikke er parallelle med planet.

De linjene som er parallelle med planet Π ligger alle i planet gjennom O som er paralleltmed Π, sa disse danner ei projektiv linje. Derfor kan vi si at vi far det projektive planetved a legge ei projektiv linje i det uendelig fjerne til et affint plan.

Siden to plan gjennom et punkt i rommet alltid har ei felles linje (gjennom punktet), servi at to projektive linjer i det projektive planet alltid har et felles projektivt punkt, d.v.s. etskjæringspunkt. For to parallelle affine linjer i det affine planet Π finner en skjæringspunkteti den projektive utvidelsen av Π pa den uendelig fjerne linja: Gjennom de to parallellelinjene er det nemlig to plan gjennom O. Den projektive utvidelsen av de parallelle linjene erde projektive linjene definert av linjene gjennom O i disse to planene. Disse planene skjærerhverandre langs ei linje som er parallell med Π. Denne linja representerer skjæringspunktetmellom de to projektive linjene i det uendelig fjerne.

62

Figur 33: Skjæringspunktet mellom to parallelle linjer

I det projektive planet vil en rekke av grensetilfellene for f. eks. Menelaos’ og Cevassetninger kunne formuleres pa en enkel mate. Vi trenger bare a bestemme verdien tilforholdet som det uendelig fjerne punktet deler to andre punkt pa ei projektiv linje i. LaA, B og P være tre forskjellige punkt pa den linja, og la P ga mot uendelig. Da vil forholdet

AP

PB

for det første være negativt siden P ligger utenfor linjestykket AB. Videre vil differansenAP − PB = AB bli liten i forhold til lengdene AP og PB, derfor setter vi forholdet

AP

PB= −1

nar P er det uendelig fjerne punktet. Med denne definisjonen kan vi formulere de plange-ometriske setningene fra første kapittel ogsa for det projektive planet.

Setning 11.1. Et punkt P pa den projektive linja gjennom AB er entydig bestemt avdelingsforholdet AP

PB.

Bevis. I forhold til beviset for den analoge setningen i 1. kapittel gjenstar det a konstatereat

AP

PB= −1

63

hvis og bare hvis P er det uendelig fjerne punktet pa linja.

For en trekant 4ABC i det projektive planet definerer vi Menelaos-punkter som punk-ter pa de projektive linjene gjennom sidekantene som ikke faller sammen med noen avhjørnene.

Setning 11.2. (Menelaos) Tre Menelaos-punkter D,E, F for sidene

BC,CA,AB

til trekanten 4ABC i det projektive planet er kollineære, det vil si ligger pa samme pro-jektive linje, hvis og bare hvis

BD

DC· CEEA· AFFB

= −1.

Beviset er helt analogt med beviset i kapittel 1.Legg merke til at dersom linja gjennom DE er parallell med linja gjennom AB sa følger

det av setningen at F er det uendelig fjerne punktet pa linja gjennom AB. Dermed omfatterdenne setningen for det projektive planet grensetilfeller for den opprinnelige setningen.

Ei Ceva-linje til en trekant i det projektive planet definerer vi som ei projektiv linjegjennom nøyaktig ett hjørne i trekanten. Vi identifiserer ei Ceva-linje med hjørnet ogskjæringspunktet mellom linja og linja gjennom den motsatte siden i trekanten. Vi far da

Setning 11.3. (Ceva) Tre Ceva-linjer AD,BE,CF til trekanten 4ABC i det projektiveplanet er konkurrente, d.v.s. møtes i et felles punkt hvis og bare hvis

BD

DC· CEEA· AFFB

= 1.

Her er beviset nøyaktig som i 1. kapittel. Legg merke til at spesialtilfellet med parallellelinjer na er inkludert i denne formuleringen, fordi dette tilfellet jo er det tilfellet at linjeneskjærer hverandre i det uendelig fjerne.

Med disse setningene kunne vi ha vist den neste setningen:

Setning 11.4. (Desargues) Dersom linjene gjennom AA′, BB′ og CC ′ i de to trekantene4ABC og 4A′B′C ′ er konkurrente, sa er skjæringspunktene mellom linjene gjennom ABog A′B′, AC og A′C ′, BC og B′C ′ kollineære.

Bevis. I stedet for a bruke Menelaos’ og Cevas setninger vil vi føre et mer geometriskresonnement. I beskrivelsen av det projektive planet, som linjene gjennom et punkt O irommet, brukte vi et plan Π som ikke gar gjennom O til vise hvordan en kan identifiserealle punktene i det projektive planet utenom ei projektiv linje med alle punktene i etaffint plan. Ved passe valg av det affine planet Π gjør vi setningen enklere. Først ser vi pafiguren nedenfor hvordan trekantene ser ut i et generelt affint plan: P er skjæringspunktetmellom linjene AA′, BB′ og CC ′, mens l er linja gjennom skjæringspunktene mellom linjenegjennom AB og A′B′, AC og A′C ′, og BC og B′C ′.

64

A

B C

A'

B'

C'

Figur 34: Desargues’ setning

Π slik at skjæringspunktene mellom linjene gjennom AB og A′B′, AC og A′C ′ blirliggende pa den uendelig fjerne linja. Dette oppnar vi nar vi velger Π parallelt med linjenegjennom O som representerer disse projektive skjæringspunktene.

Pa denne figuren ser en at bade trekantene 4PAB og 4PA′B′ og trekantene 4PACog 4PA′C ′ er formlike. Derfor er

PB

PB′=PA

PA′=PC

PC ′

Trekantene4PBC og4PB′C ′, som har en vinkel felles, er dermed ogsa formlike, sa linjenegjennom BC og B′C ′ er parallelle. Det vil si at skjæringspunktet mellom disse linjene ogsaligger pa den uendelig fjerne linja.

65

P

A

BC

A'

IB'

C'

Figur 35: Desargues’ setning ved passe valg av Π

12 Koordinater for det projektive planet

Etter i forrige kapittel a ha sett en modell av det projektive planet skal vi her gi uliketilnærminger og modeller for dette planet. Vi begynner igjen med et forenklet aksiomsystemfor dette planet. Et projektivt plan bestar av et par av mengder (P ,L) - punkter og linjer- der et element ` ∈ L er en undermengde av P . Vi krever at |L| ≥ 2 og for alle ` ∈ L at|`| ≥ 3. De to aksiomene er

(i) Hvis P og Q er forskjellige punkter, sa fins en entydig linje ` med P ∈ ` og Q ∈ `.

(ii) Hvis ` og `′ er i L, da er ` ∩ `′ 6= ∅.

Med dette aksiomsystemet fins det modeller for projektive plan med over vilkarligekropper. Vi skal her holde oss til kroppen av reelle tall. Sa var hovedmodell er det projektiveplan over R som vi kaller P2

R. Hvis vi tenker oss om kjenner vi faktisk en slik model fralineær algebra, nemlig la P være mengden av linjer gjennom O i R3 og la L være mengdenav plan gjennom O i R3. Det er kjent at to forskjellige linjer gjennom origo har to lineærtuavhengige retningsvektorer og at de derfor spenner et entydig bestemt plan. Videre vil toplan gjennom origo snitte i en linje.

For a sette opp en mere handterlig beskrivelse vil vi identifisere alle punktene pa enlinje gjennom origo til ett projektivt punkt. Hvis vi fjerner origo fra R3 er det rettfram a

66

sjekke at relasjonen x ∼ y hvis x og y ligger pa den samme linjen gjennom origo, er enekvivalensrelasjon pa R3\{O}. I koordinater er relasjonen gitt ved (x0, x1, x2) ∼ (y0, y1, y2)hvis det fins ikke-null λ ∈ R slik at xi = λyi.

Det betyr at P2R er ekvivalensklassene til denne relasjonen, dvs P2

R = (R3 \ {O})/ ∼. Viskriver ekvivalensklassen til (x0, x1, x2) ∈ R3 \ {O} som (x0 : x1 : x2). Dette gir projektivekoordinater som vi skriver med kolon for a minne oss om at de er homogene, dvs at(x0 : x1 : x2) = (λx0 : λx1 : λx2). (Indekseringen fra 0 til 2 gjør vi for a huske at dethandler om noe 2-dimensjonalt.) Hvis en vektor er i ekvivalensklassen som er P ∈ P2

R vilvi ofte si at vektoren representerer P .

En linje i P2R vil i disse koordinater være {(x0 : x1 : x2) : ax0 + bx1 + cx2 = 0} for

passende a, b, c ∈ R. Ikke alle a, b, c kan være 0. Vektoren (a, b, c) er normalvektoren til dettilsvarende plan i R3 og det er klart at (λa, λb, λc) bestemmer den samme linja for ikke-nullλ ∈ R. Dette setter opp en dualitet mellom P2

R og mengden av linjer i P2R, som vi kaller

(P2R)∨. Linja definert ved ax0 + bx1 + cx2 = 0 er dual til punktet (a : b : c).Denne dualitet kan formuleres mere geometrisk. To punkter P og Q i P2

R bestemmer enlinje PQ. Det duale punktet til PQ er snittpunktet til den duale linja til P og den dualelinja til Q. For a se dette merk at hvis P = (a0 : a1 : a2) og Q = (b0 : b1 : b2) sa er linjagjennom dem gitt ved

det

x0 x1 x2a0 a1 a2b0 b1 b2

= (a1b2 − a2b1)x0 + (a2b0 − a0b2)x1 + (a0b1 − a1b0)x2 = 0 .

Vi gjenkjenner koeffisientene som kryssproduktet (a0, a1, a2)× (b0, b1, b2) i R3. Dvs at detduale punktet til PQ er bildet av kryssproduktet i P2

R. Dette stemmer med det vi vetfra lineær algebra siden normalvektoren til planet spent av to vektorer i R3 er nettoppkryssproduktet av vektorene. Pa den andre siden er duallinja til P og Q gitt ved a0x0 +a1x1 + a2x2 = 0, hhv b0x0 + b1x1 + b2x2 = 0 sa snittpunktet er løsningen av det homogenelikningssystemet [

a0 a1 a2b0 b1 b2

]x0x1x2

=

[00

].

Denne løsningsmengden er nettopp utspent av kryssproduktet av radene. Sa snittpunkteter dualpunktet til PQ.

Det er selvfølgelig umulig a tegne P2R, men man far et slags bilde av det, i hvert fall

topologisk, ved a merke at en linje gjennom origo er entydig bestemt av et punkt paenhetsfæren S2 = {x ∈ R3 : ‖x‖ = 1}. Na er samme linje bestemt av to punkter, x og sittantipodal −x. Vi far derfor P2

R = S2/ ∼, der relasjonen er na x ∼ −x. For a fa et bildet derbare et punkt representerer et punkt i P2

R kan vi se pa 3 delmengder av S2. Først ta denapne øvre halvsfæren der x2 > 0, sa den apne halvsirkelen der x2 = 0, x1 > 0 og tilsluttpunktet (1, 0, 0). Unionen av disse tre mengder er som mengde bijektiv til punktene i P2

R.Med dette bilde mister vi dog en masse informasjon om det projektive planet og det er

derfor noksa uegnet. For eksempel ma vi huske at hvis vi gar fra den øvre halvsfæren ned

67

pa ekvator er det ikke slutt pa veien, vi kommer ut igjen pa andre siden av ekvatoren ogkan bevege oss videre pa halvsfæren.

En bedre mate a “se” det projektive planet er a se det fra det affine planet. Merk atsiden (0 : 0 : 0) ikke er med i P2

R, sa er P2R “dekket” av de tre mengdene

Ui = {(x0 : x1 : x2) : xi 6= 0}, i = 0, 1, 2 .

Med dekket mener jeg at P2R = U0 ∪ U1 ∪ U2.

La oss se nøyere pa en av dem, f.eks. U2. Siden x2 6= 0 har vi en veldefinert funksjonU2 → A2

R definert ved

(x0 : x1 : x2) 7→ (x0x2,x1x2

) .

Merk at ogsa

(λx0 : λx1 : λx2) 7→ (x0x2,x1x2

)

sa funksjonen er veldefinert. Vi ser at

(x0x2,x1x2

) = (y0y2,y1y2

) ⇒ (y0 : y1 : y2) =y2x2

(x0 : x1 : x2) = (x0 : x1 : x2)

sa funksjonen er injektiv. Videre vil (x : y : 1) 7→ (x, y) sa funksjonen er surjektiv ogsa ogvi har en bijeksjon av punkter U2 → A2

R.Hvis ` er en linje i P2

R gitt ved ax0 + bx1 + cx2 = 0, sa vil ` ∩ U2 være punkter medax + by + c = 0 nar vi bruker koordinatene x = x0/x2, y = x1/x2 som ovenfor. Dvs aten linje i A2

R kommer fra en linje i P2R med denne identifikasjon av U2 med A2

R. Vi tenkeross A2

R dermed som en delmengde av P2R. (Vi kunne ha lagt den inn pa mange forskjellige

mater, men vi velger denne som standard maten.) Derfor vil satser angaende P2R gi oss

(ofte flere) satser i A2R.

Sett fra A2R far vi P2

R ved a legge til en linje `∞ = {x2 = 0}. Siden to parallelle linjeri A2

R ikke treffes ma de treffes pa `∞. La ax + by + c1 = 0 og ax + by + c2 = 0 bestemmeto parallelle linjer. De kommer fra linjene ax0 + bx1 + c1x2 = 0, hhv ax0 + bx1 + c2x2 = 0,i P2

R og begge snitter `∞ i det samme punktet nemlig (−b : a : 0). Merk at −a/b erstigningstallet til linjen. Dette gir opphav til sammenhengen mellom projektiv geometri ogperspektivtegning. En nærmere forklaring ma vi la ligge i denne omgang.

Akkurat som med affine plan kan man lage endelige projektive plan. Hvis vi lager P2F2

farvi 7 punkter P = {(1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 0), (1 : 0 : 1), (0 : 1 : 1), (1 : 1 : 1)}og 7 duale linjer. Hver linje vil inneholde 3 punkter. Dette planet kalles Fano planet.

12.1 Projektive transformasjoner

Vi definerer na gruppen av projektive transformasjoner av P2R som vi kaller PGL2. Geome-

trisk ønsker vi bijeksjoner P2R → P2

R som tar linjer pa linjer. De viser seg a være pa følgendeform. La T være en invertibel lineær operator pa R3. Vi far en bijeksjon pa P2

R ved a de-finere T (x0 : x1 : x2) til a være ekvivalensklassen til T (x0, x1, x2) ∈ R3. Alle projektive

68

transformasjoner er pa denne formen. Merk at hvis matrisen til T er en diagonal matriseλ 0 00 λ 00 0 λ

vil T = id pa P2

R. Merk ogsa at de projektive transformasjoner som tar U2 til U2 vil presistsvare til affine transformasjoner.

En firkant i P2R er 4 punkter der ingen 3 av dem ligger pa en linje.

Setning 12.1. Hvis P,Q,R, S og P ′, Q′, R′, S ′ er to firkanter i P2R, da fins en entydig

projektiv transformasjon T med T (P ) = P ′, T (Q) = Q′, T (R) = R′, T (S) = S ′.

Bevis. Først vil jeg vise at det fins en basis {e1, e2, e3} for R3 slik at i denne basis erP,Q,R, S gitt som (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1). For a gjøre det velgførst representanter v1, v2, v3 ∈ R3 for P,Q,R. De ma være lineært uavhengige. La v4 væreen representant for S. Vi ma ha v4 = a1v1 + a2v2 + a3v3 og ingen av ai = 0 for ellersville S ligge pa linja gjennom 2 av de P,Q,R. La na ei = aivi for i = 1, 2, 3. Da vilP = (a1 : 0 : 0) = (1 : 0 : 0) og tilsvarende for Q og R, mens S = (1 : 1 : 1).

La P ′ = (x0 : x1 : x2), Q′ = (y0 : y1 : y2), R

′ = (z0 : z1 : z2) og S ′ = λP ′ + µQ′ + νR′ idenne basisen og se pa transformasjonen T med matriseλx0 µy0 νz0

λx1 µy1 νz1λx2 µy2 νz2

i denne basisen. Vi far T (P ) = T (1 : 0 : 0) = λ(x0 : x1 : x2) = (x0 : x1 : x2) = P ′ ogtilsvarende for T (Q) og T (R) mens T (S) = T (1 : 1 : 1) = λP ′ + µQ′ + νR′ = S ′.

For a vise entydighet se først pa hvilken T som tar P,Q,R, S pa seg selv. Da maT (1 : 0 : 0) = (1 : 0 : 0) osv sa matrisen til T er pa formenλ 0 0

0 µ 00 0 ν

.

Men da er T (1 : 1 : 1) = (λ : µ : ν) som er lik (1 : 1 : 1) bare hvis λ = µ = ν, dvs at T = idpa P2

R.Na er hver projektiv transformasjon T invertibel, sa hvis T1 og T2 er projektive trans-

formasjoner sa vil T1 ◦ T−12 være en projektiv transformasjon som som tar P,Q,R, S paseg selv. Men da er T1 ◦ T−12 = id som viser at T1 = T2.

12.2 Kryssforholdet

Vi har definert kryssforholdet (AB,CD) til to par av punkter pa ei (affin) linje som

(AB,CD) =AC

AD· BDBC

69

For to par av punkter pa ei projektiv linje gir denne definisjonen ikke umiddelbart mening.I stedet for fortegnsmal, velger vi koordinater for det ene paret av punkter og uttrykkerdet andre paret som lineærkombinasjoner av det første. Mer presist, la A,B,C,D være 4punkter pa en linje i P2

R, der ingen 3 av dem er like. Anta først at A 6= B. Siden punkteneer representert med 4 vektorer i et plan i R3, kan vi skrive C = pA + qB,D = rA + sB.Definer kryssforholdet som

(AB,CD) =qr

ps.

Vi tillater ∞ som verdi og det vil inntreffe nar C = B eller D = A.Det er enkelt a se at kryssforholdet er uavhengig av hvilken vektorer vi velger til a

representere punktene. Hvis ogsa C 6= D vil δA = sC − qD, δB = −rC + pD, der δ =ps− qr. Det følger at (CD,AB) = (AB,CD). Hvis A = B ma C 6= D, sa vi kan definere(AA,CD) = (CD,AA) = 1.

Legg og merke til at definisjonen av kryssforholdet stemmer overens med definisjonen paden affine linja: Vi kan anta at AB = 1. Da er AC = q

p+q, AD = s

r+s, BD = −r

r+s, BC = −p

p+q,

sa

AC

AD· BDBC

=

qp+qsr+s

·−rr+s−pp+q

=qr

ps.

Det er klart fra definisjonene at hvis T er en projektiv transformasjon sa vil (AB,CD) =(T (A)T (B), T (C)T (D)). Pa den andre siden, gitt 3 punkter pa en linje og et bestemtkryssforhold, vil det bestemme hvor det fjerde punktet ma ligge.

Setning 12.2. Hvis A,B,C,X, Y ligger pa en linje og (AB,CX) = (AB,CY ) da erX = Y .

Bevis. Skriv C = pA+ qB,X = r1A+ s1B, Y = r2A+ s2B. Antakelsen sier atqr1ps1

=qr2ps2

sa r1s2 = r2s1. Da blir Y = r2A+ s2B = s1(r2A+ s2B) = s2r1A+ s1s2B = s2X = X.

Kryssforholdet dukker opp i perspektiv tegning pga følgende sats. En perspektivitetmed senter O ∈ P2

R er en avbildning α : ` → `′ mellom to linjer i P2R som sender P ∈ ` til

PO ∩ `′. (Se Oppgave 10.)

Setning 12.3. La α : `→ `′ være en perspektivitet med senter O. Hvis A,B,C,D ∈ `, saer (AB,CD) = (α(A)α(B), α(C)α(D)).

Bevis. La linjene OA,OB,OC,OD ha dual punkter P,Q,R, S. Siden alle linjene gar gjen-nom O, vil P,Q,R, S ligge pa en linje (den duale linjen til O). Jeg pastar at (PQ,RS) =(AB,CD). Kan jeg vise det er setningen dermed bevist siden OA = Oα(A) osv.

La L være dualpunktet til `. Vi har A = ` ∩ OA sa vektoren L × P representererA. Tilsvarende er de andre punktene representert med L×Q, L× R og L× S. Men hvisR = pP+qQ, S = rP+sQ, sa er L×R = p(L×P )+q(L×Q), L×S = r(L×P )+s(L×Q).Pastanden følger na fra definisjonen av kryssforholdet.

70

12.3 Setningene til Pappus og Desargue

Ved hjelp av det vi na vet om P2R kan vi “regne ut” to setninger i geometri. Merk at vi

formulerer dem i P2R men pga inklusjonene A2

R ⊂ P2R har de ogsa mening i A2

R. Jeg henvisertil læreboka for tegninger og mere geometriske beskrivelser av resultatene.

Setning 12.4 (Pappus). La `1 og `2 være to forskjellige linjer i P2R. La Ai, Bi, Ci være tre

distinkte punkter pa `i der ingen av punktene er snittet av linjene. Sett A3 = C1B2∩C2B1,B3 = A1C2 ∩ A2C1 og C3 = A1B2 ∩ A2B1. Da vil A3, B3, C3 ligge pa en linje.

Bevis. Etter en projektiv transformasjon kan vi anta `1 er der x1 = 0 og `2 er der x2 = 0.Siden ingen av punktene ligger pa begge linjene kan vi anta at x1 koordinaten er 1 forA2, B2, C2 og tilsvarende x2 koordinaten lik 1 for A1, B1, C1. Vi far da

A1 = (a1 : 0 : 1) B1 = (b1 : 0 : 1) C1 = (c1 : 0 : 1)

A2 = (a2 : 1 : 0) B2 = (b2 : 1 : 0) C2 = (c2 : 1 : 0)

for passende ai, bi, ci ∈ R. En rett fram utregning viser at

A3 = (b1b2 − c1c2 : b1 − c1 : b2 − c2) B3 = (c1c2 − a1a2 : c1 − a1 : c2 − a2)C3 = (a1a2 − b2b1 : a1 − b1 : a2 − b2) .

Merk at, oppfattet som vektorer i R3, er A3 + B3 + C3 = 0, dvs at de er linært avhengigeog ligger derfor i et plan. Det følger at de tilsvarende punktene i P2

R ligger pa en linje.

Vi sier at to trekanter (ordnete punkter ikke pa en linje) PQR og P ′Q′R′ er i perspektivhvis linjene PP ′, QQ′ og RR′ gar gjennom et felles punkt O.

Setning 12.5 (Desargue). La trekantene PQR og P ′Q′R′ være i perspektiv fra O og settN = PQ ∩ P ′Q′,M = RQ ∩R′Q′ og L = PR ∩ P ′R′. Da vil M,N,L ligge pa en linje.

Bevis. Ingen 3 av de 4 punktene O,P,Q,R ligger pa en linje, sa vi kan som i beviset forSetning 12.1 anta at P = (1 : 0 : 0), Q = (0 : 1 : 0), R = (0 : 0 : 1), O = (1 : 1 : 1). Vi farOP gitt som x1− x2 = 0. Siden P ′ ligger pa OP og er forskjellig fra P , ma P ′ = (p : 1 : 1)for en p ∈ R. Pa samme mate far vi Q′ = (1 : q : 1) og R′ = (1 : 1 : r) for passende q, r.

Man regner ut at PQ er x2 = 0 og P ′Q′ er (1− q)x0 +(1−p)x1 +(pq−1)x2 = 0. Derforer N = (p− 1 : 1− q : 0). Tilsvarende blir L = (1− p : 0 : r− 1) og M = (0 : q− 1 : 1− r).Merk at, oppfattet som vektorer i R3, er L + M + N = 0, dvs at de er lineært avhengigeog ligger derfor i et plan. Det følger at de tilsvarende punktene i P2

R ligger pa en linje.

12.4 Kjeglesnitt

Husk at det er tre typer ikke-degenererte kjeglesnitt: ellipser, hyberbler og parabler. I deteuklidske planet E2 har de standard likninger hhv

x2

k2+y2

l2= 1,

x2

k2− y2

l2= 1, y = kx2

71

for positive tall k, l. Denne standardformen far man ved a foreta et koordinatskifte pa engenerell kvadratisk kurve ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0.

Den rene kvadratiske delen gir en symmetrisk 2 × 2 matrise som har en ortonormalbasis av egenvektorer. Disse bruker man til a foreta et ortogonalt basisskifte (en rotasjon)for a bli kvitt kryssleddet xy og en eventuell speiling for a bytte x og y. Sa kan man brukeen translasjon til a fjerne den lineære delen. Med spraket fra avsnitt 2.2 har man da at allekjeglesnitt er isometriske til en av de tre standardformer.

I A2R har vi flere lovlige transformasjoner og vi kan skalere variablene slik at standard-

formene i A2R er simpilthen

x2 + y2 = 1, x2 − y2 = 1, y = x2 .

I P2R skal vi se derimot at det er bare et ikke-degenert kjeglesnitt.En kvadratisk form (i tre variabler) er et homogent polynom av grad 2, Q(x0, x1, x2) =

ax20 + bx0x1 + cx21 + dx0x2 + ex1x2 + fx22 der a, . . . , f ∈ R. En kvadratisk kurve i P2R er

mengden av (x0 : x1 : x2) der Q(x0, x1, x2) = 0 for en kvadratisk form Q. Merk at dettehar mening siden Q(λx0, λx1, λx2) = λ2Q(x0, x1, x2) = 0 ⇔ Q(x0, x1, x2) = 0. Vi sier atkurven er degenerert hvis Q = L1 ·L2 for to lineære polynomer L1, L2 eller {(x0 : x1 : x2) :Q(x0, x1, x2) = 0} = ∅, ett punkt eller en linje.

Hvis vi snitter en kvadratisk kurve med U2 ' A2R med koordianter x = x0/x2, y = x1/x2

far vi punktene (x, y) med ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, mao et kjeglesnitt. Derforkaller man ogsa kvadratiske kurver for kjeglesnitt. Sett fra A2

R er det pa en mate klartat et kjeglesnitt vil lukke seg til en “ellipse” i P2

R. En ellipse i A2R vil ikke snitte `∞. En

hyperbel x2 − y2 = 1 vil ha to asymptoter y = x og y = −x. Siden parallelle linjer snitterhverandre pa `∞ vil punktene (x,

√x2 − 1), x ≥ 1 og (x,−

√x2 − 1), x ≤ −1 pa hyberbelen

ga mot samme punkt (1 : 1 : 0) og de to grenene av kurven vil forbindes der. Pa sammemate vil den andre asymptoten gi et forbindingspunkt i (1 : −1 : 0). Pa parabelen y = x2

vil tangentlinjene pa begge sider ha retningsvektorer som nærmer seg (0, 1) nar x → ∞.Det betyr at parabelen skulle lukkes med et punkt (0 : 1 : 0) pa `∞. Vi skal gjøre disseuformelle argumenter stringent med algebra.

Hvis Q = ax20 + bx0x1 + cx21 + dx0x2 + ex1x2 + fx22 definer diskriminanten til Q til avære D = b2 − 4ac.

Setning 12.6. En ikke-degenerert kvadratisk kurve C ⊂ P2R vil snitte linja `∞ gitt ved

x2 = 0 i

(i) 0 punkter hvis D < 0. Da er C ∩ U2 en ellipse.

(ii) 1 punkt hvis D = 0. Da er C ∩ U2 en parabel.

(iii) 2 punkter hvis D > 0. Da er C ∩ U2 en hyperbel.

Bevis. Hvis Q = ax20 + bx0x1 + cx21 + dx0x2 + ex1x2 + fx22 vil C ∩ `∞ være punktene(x0 : x1 : 0) med ax20 + bx0x1 + cx21 = 0. Hvis x1 = 0 ma dermed x0 = 0 som er umulig, savi kan anta at punktene er pa formen (x : 1 : 0) med ax2 + bx + c = 0. Men da er D den

72

vanlige diskriminanten til denne annengradslikning og resultatet om antall snittpunkterfølger.

Nar det gjelder type kjeglesnitt er det kjent at det er bestemt av fortegnene til egen-verdier av den symmetriske matrisen (

a 12b

12b c

)som er matrisen til den kvadratiske delen av ax2+bxy+cy2+dx+ey+f . Det karakteristiskepolynomet er

det

(λ− a −1

2b

−12b λ− c

)= λ2 − (a+ c)λ+ (ac− 1

4b2) = (λ− λ1)(λ− λ2)

der λ1, λ2 er egenverdiene. Sa λ1λ2 = −14D.

Hvis D < 0 har egenverdiene samme fortegn og vi har en ellipse. Hvis D = 0 er en avegenverdiene 0 og vi har en parabel. Hvis D > 0 har egenverdiene motsatt fortegn og vihar en hypberbel.

Setning 12.7. Det fins en projektiv transformasjon som tar en vilkarlig ikke-degenerertkvadratisk kurve C ⊂ P2

R til den gitt ved x20 + x21 − x22. Dvs det fins opptil isomorfi bare etikke-degenerert kjeglesnitt i P2

R.

Bevis. Gitt Q = ax20 + bx0x1 + cx21 + dx0x2 + ex1x2 + fx22 la

A =

a 12b 1

2d

12b c 1

2e

12d 1

2e f

være den tilsvarende symmetriske matrisen. Vi kan finne en ortonormal basis av egenvekto-rer for A i R3 og etter den tilsvarende koordinatskifte kan vi anta at Q = λ0x

20+λ1x

21+λ2x

22.

Hvis 2 av egenverdiene er 0, si λ1 = λ2 = 0, er kurven en linje x0 = 0 og er degenerert.Hvis bare λ2 = 0 og λ0 og λ1 har samme samme fortegn, har man etter evt skalering atkurven er gitt ved x20 + x21 = 0 og dette er punktet (0 : 0 : 1) sa C er igjen degenerert.Hvis de to fortegnene er forskjellige kan vi fa Q = x20 − x21 = (x0 − x1)(x0 + x1) som erdegenerert.

Hvis ingen av egenverdiene er 0 kan vi etter evt skalering, multiplikasjon med −1 ogpermutasjon av variablene anta at Q = x20 + x21 + x22 eller Q = x20 + x21 − x22. Den første giren tom kurve og den andre er formen vi ønsket.

Pa samme mate som med kvadratiske former kan man fa kurver i P2R fra former av

høyere grad. Generelt sier man at en n-te grads form er et polynom pa formen

F (x0, x1, x2) =∑

i+j+k=ni,j,k≥0

aijk xi0x

j1x

k2

73

der aijk ∈ R. En n-te grads kurve blir da {(x0 : x1 : x2) : F (x0, x1, x2) = 0}. Studiet avslike tilhører omradet algebraisk geometri. Allerede ved a ga opp til grad 3 er man i et riktfagfelt, studiet av elliptiske kurver.

Vi avslutter med to setninger som omhandler typiske problemstillinger i algebraiskgeometri.

Setning 12.8. En linje i P2R snitter en ikke-degenerert kvadratisk kurve i 0, 1 eller 2

punkter.

Bevis. Etter en projektiv transformasjon kan vi anta at linjen er x2 = 0. Men da ersetningen det samme som Setning 12.6.

Hvis en linje snitter i ett punkt er det en tangent linje til C. Hvis den snitter i topunkter kalles linjen en sekant.

Vi sier at en mengde av forskjellige punkter {P1, . . . , Pn} ⊂ P2R med n ≥ 4 er i generell

posisjon hvis ingen 3 av dem ligger pa en linje.

Setning 12.9. Fem punkter i P2R i generell posisjon ligger pa nøyaktig en kvadratisk kurve.

Bevis. Som i beviset for Setning 12.1 kan vi anta at P1 = (1 : 0 : 0), P2 = (0 : 1 : 0) ,P3 = (0 : 0 : 1) og , P4 = (1 : 1 : 1). La P5 være (y0 : y1 : y2). Vi ma finne en kvadratiskform Q = ax20 + bx0x1 + cx21 + dx0x2 + ex1x2 + fx22 som er 0 pa disse punktene.

Fra uttrykket for P1, P2, P3, P4 ser man at vi ma ha a = c = f = 0 og b + d + e = 0.plugger vi inn P5 far vi betingelsen by0y1 + dy0y2 + ey1y2 = 0. Vi far derfor en entydigkvadratisk kurve hvis likningssystemet[

1 1 1y0y1 y0y2 y1y2

]bde

=

[00

]har en entydig projektiv løsning. Dette er hvis og bare hvis løsningsmengden har dimensjon1 som er igjen hvis og bare hvis rangen til matrisen er 2 som igjen er hvis og bare hvisminst en av 2× 2 minorene er forskjellig fra 0.

Anta alle minorene er 0. Da ma y0y1 = y0y2 = y1y2. Spesielt ma y0(y1 − y2) = 0. Hvisy0 = 0 ma y1y2 = 0, men da er P5 = P2 eller P3 som er umulig. Sa y0 6= 0 og y1 = y2. Hvisna y1 = 0 ma y2 = 0 og P5 = P1, sa alle yi 6= 0. Men da ma y0 = y1 = y2 og P5 = P4 somer umulig. Det følger at en av minorene er 6= 0 og setningen er bevist.

Na som vi vet at 5 punkter bestemmer et kjeglesnitt kan vi finne et eksplisitt utrykkfor den. La de 5 punktene være (αi : βi : γi) og la

Q = det

x20 x0x1 x21 x0x2 x1x2 x22α21 α1β1 β2

1 α1γ1 β1γ1 γ21α22 α2β2 β2

2 α2γ2 β2γ2 γ22α23 α3β3 β2

3 α3γ3 β3γ3 γ23α24 α4β4 β2

4 α4γ4 β4γ4 γ24α25 α5β5 β2

5 α5γ5 β5γ5 γ25

.

74

Det er klart at Q er en kvadratisk form som forsvinner pa de 5 punktene.

75

13 Snitt av kjegler og Pascals setning for kjeglesnitt

I dette siste kapittelet bruker vi sammenhengen mellom projektive plan og affine plan im-plisitt for a vise hvordan kjeglesnittene som vi har definert i tidligere kapitler framkommersom snitt mellom affine plan og en kjegle, og for a gi et enkelt bevis av Pascals setning. Vibruker ikke begrepene projektive linjer og plan eksplisitt. I dette kapittelet er alle linjer ogplan affine.

Punktene (x, y, z) i rommet som oppfyller ligningen x2 + y2 = z2 danner en kjegle medtoppunkt i O = (0, 0, 0). Den har akse langs z-aksen og generatriser som danner en vinkelpa π

4med xy-planet. Ved a skjære denne kjeglen med ulike plan som ikke gar gjennom O, far

en i disse planene kjeglesnitt slik vi har definert dem i tidligere forelesninger. Et plan somdanner mindre enn π

4med xy-planet vil skjære kjeglen i en ellipse, hvis vinkelen er større

enn π4

blir skjæringskurven en hyperbel, og hvis vinkelen er lik π4

sa blir skjæringskurvenen parabel. For a vise dette ser vi pa plan gjennom linja

z = y − 1 = 0.

La vinkelen som dette planet danner med xy-planet være α, da kan vi bruke koordinater(u, v) i dette planet slik at

x = u, y = v cosα + 1 og z = v sinα.

Ved innsetting i ligningen for kjeglen, far vi

u2 + (v cosα + 1)2 = v2 sin2 α

som vi kan skrive pa formen

u2 + v2 cos 2α + 2v cosα + 1 = 0.

Dersom cos 2α = 0, det vil si α = π4, sa blir snittet med kjeglen en parabel, gitt ved

ligningenu2 = −v

√2− 1.

Nar cos 2α 6= 0 kan vi skrive ligningen pa formen

u2

sin2 αcos 2α

+(v + cosα

cos 2α)2

sin2 αcos2 2α

= 1,

Sidencos 2α > 0 hvis α <

π

4

sa definerer ligningen i dette tilfellet en ellipse. Og siden

cos 2α < 0 hvis α >π

4,

76

F'

P A

B F

Figur 36: Plant snitt av et kjeglesnitt med dandelinske kuler

sa definerer ligningen i dette tilfellet en hyperbel.Dette kan ogsa vises geometrisk med sakalte dandelinske kuler. Vi glemmer da koordi-

natene og konsentrerer oss om kjeglen og planet som snitter kjeglen langs en kurve.Ei dandelinsk kule er ei kule som ligger inne i kjeglen og som berører denne langs en

sirkel (tenk pa ei iskremkule i kjeks med form som en kjegle). Anta først at planet bare skjæ-rer den ene halvdelen av kjeglen. Da fins det to dandelinske kuler som berører planet. Enligger mellom planet og toppunktet til kjeglen, og en ligger pa den andre siden av kjeglen.For et punkt P pa kjeglesnittet er na avstanden PF til berøringspunktet til en dandelinskkule med planet lik avstanden PA langs kjeglen til berøringssirkelen mellom denne dande-linske kula og kjeglen. Tilsvarende gjelder for avstandene PF ′ og PB til berøringspunkterpa den andre dandelinske kula. Summen PF+PF ′ er presis lengden AB malt langs linja pakjeglen som gar gjennom punktet pa kjeglesnittet mellom berøringssirklene til de to dande-linske kulene. Men denne avstanden er uavhengig av hvilket punkt vi tar pa kjeglesnittet,sa dette er en ellipse.

Tilfellene for parabel og hyperbel er helt analoge.I alle tilfellene er altsa brennpunktene til kjeglesnittet berøringspunktene til dandelinske

kuler.Vi skal avslutte med a vise

Setning 13.1. (Pascal) Hvis punktene A,B,C,D,E, F ligger pa et kjeglesnitt sa er skjærings-punktene mellom linjene gjennom AB og DE, BC og EF , FA og CD kollineære.

Bevis. Pa kjeglen over kjeglesnittet bestemmer de seks punktene 6 linjer gjennom toppunk-tet. Disse vil igjen snitte en sirkel som danner skjæringen mellom et plan normalt pa aksen

77

Figur 37: Pascals setning for ellipse

i kjeglen og kjeglen. For de 6 punktene pa sirkelen gjelder Pascals setning slik vi sa deti det andre kapittelet. De tre kollineære skjæringspunktene definerer na et plan gjennomtoppunktet i kjeglen. Dette planet skjærer det opprinnelige planet i ei linje gjennom de treskjæringspunktene, og setningen er bevist.

78

14 OPPGAVER

Oppgaver med * er vanskeliger enn de andre.1. Vis at om A,B,C,D er kollineære, sa er

AD ·BC +BD · CA+ CD · AB = 0.

2. Vis følgende generalisering av Menelaos’ setning: For en firkant ABCD vil punkteneA′, B′, C ′, D′ pa linjene gjennom AB, BC, CD og DA være kollineære bare hvis

AA′

A′B· BB

′

B′C· CC

′

C ′D· DD

′

D′A= 1.

3. Vis at halveringslinjene til to vinkler i en trekant og halveringslinja til den utvendigevinkelen i det tredje hjørnet skjærer sine respektive motsatte linjer i trekanten ikollineære punkter.

4. Vis at halveringslinjene til de utvendige vinklene i en trekant skjærer sine respektivemotsatte linjer i trekanten i kollineære punkter.

5. Vis at tangentlinjene til den omskrevne sirkelen til en trekant i hjørnene skjærer sinerespektive motsatte linjer i trekanten i kollineære punkter.

6. For to parallellogrammer ACBD og A′B′CD′ med felles vinkel i C, vis at DD′, A′Bog AB′ er konkurrente.

7. La AD, BE og CF være tre Ceva-linjer til en trekant 4ABC som er konkurrente.Anta at linjene gjennom EF , FD, og DE skjærer linjene gjennom BC, CA og ABrespektivt i punktene D′, E ′ og F ′. Vis at D′, E ′ og F ′ er kollineære.

8. Vis at hvis tre Ceva-linjer til en trekant er parallelle sa er produktrelasjonen mellomdelingsforholdene i Cevas setning oppfyllt.

9. Bruk Cevas setning til a vise at

a) Høydene i en trekant er konkurrente.

b) Medianene i en trekant er konkurrente.

c) Vinklenes halveringslinjer i en trekant er konkurrente.

(Husk

Setning 14.1. (Sinus) I en trekant 4ABC er

AB

sinC=

BC

sinA=

AC

sinB)

79

10. *La S være sentrum for den omskrevne sirkelen til en trekant 4ABC, la T væretyngdepunktet og la O være ortosenteret (skjæringspunktet mellom høydene). Vis atO , S og T ligger pa linje. Denne linja kalles Eulers linje.

11. * Vis at midtpunktet mellom O og S er sentrum i en sirkel som passerer gjennom:Fotpunktene til høydene i trekanten 4ABC, midtpunktene mellom O og hjørnenei trekanten, og midtpunktene pa sidene i trekanten. Denne sirkelen kalles nipunkt-sirkelen til trekanten.

12. * (Skaus vinkelpar-setning) La A,A′, B,B′, C, C ′ være punkter i planet slik atingen utvalg av tre er kollineære. Anta at ∠B′AC = ∠BAC ′ og at ∠C ′BA = ∠CBA′.Da er linjene gjennom AA′, BB′ og CC ′ konkurrente hvis og bare hvis ∠A′CB =∠ACB′.

Et bevis for Skaus vinkelpar-setning er gitt av Killinbergtrø, ( Normat 43, s 162-167),her finner en ogsa følgende generalisering:

Nikantsetningen: I et gitt kjeglesnitt er innskrevet en nikant med hjørner, A,A′, A”,B,B′, B” og C,C ′, C”. La AB og A′B′ skjære hverandre C0, AB” og AB i C1 o.s.v..Da vil AA1, BB1 og CC1 være konkurrente hvis og bare hvis A0, B0, C0 er kollinneære.

13. Begrunn hvorfor en ellipse kan tegnes ved a holde en snor bundet i løkke stram rundtto faste stifter og en bevegelig blyant. Ved a bevege blyanten tegner den en ellipsemed brennpunkt i de to faste stiftene. Bruk denne tegnematen til a vise speilingsegen-skapen til ellipsen ved a tenke deg at figuren holdes loddrett med blyanten erstattetmed et lodd slik at ellipsen tangerer en vannrett bordplate.

14. I et rektangel, kall midtpunktene pa de lengste sidene for X og Y . Del halve kortsi-dene i et like antall like store deler, og del hver halvdel av midtnormalen til XY i likemange like store deler. Vis at linjene gjennom X og delingspunktene pa midtnorma-len og linjene gjennom Y gjennom tilsvarende delingspunkter pa kortsidene skjærerhverandre pa en ellipse hvis akser er midtnormalene i rektangelet.

15. * Start med en sirkulært papir med et gitt fast punkt inne i sirkelen. Fold papiretslik at den brettede periferien passerer gjennom det faste punktet. Gjenta brettingenfra flere kanter. Vis at de brettede kantene vil være tangenter til en ellipse.

16. Klipp ut en trekant4ABC. Tegn to linjer som skjærer hverandre. Beveg na trekantenmens et hjørne ligger pa den ene linja og et annet ligger pa den andre linja. Vis atdet tredje hjørnet vil tegne en ellipse. (Denne metoden ble oppdaget av Leonardo daVinci).

17. Fest to stifter og en blyant pa en linjal. La linjalen bevege seg mens stiftene følgerhver sin rette linje som star normalt pa hverandre. Vis at blyanten vil tegne en ellipse.(Dette er et spesialtilfelle av oppgave ??)

80

18. Hold den ene enden av en linjal fast, og fest en snor i den andre enden av linjalen ogi et annet fast punkt i planet. Hold snoren stram rundt en blyant som kan bevege seglangs linjalen. Vis at ved a rotere linjalen vil blyanten tegne en del av en hyperbelmed et brennpunkt i det faste punktet utenfor linjalen.

19. * Tegn en sirkel og et punkt F utenfor sirkelen. Trekk linjer gjenom F som skjærersirkelen. Tegn normalene til disse linjene gjennom skjæringspunktene med sirkelen.Vis at disse vil tangere en hyperbel med brennpunkt i F .

20. * Tegn to linjer som skjærer hverandre. Merk av like mange punkter pa hver linjefra skjæringspunktet og utover, slik intervallene mellom punktene alle er like store.Nummerer punktene i omvendt rekkefølge pa de to linjene og trekk linjene mellompunkter med samme nummer. Vis at disse linjene vil tangere en parabel.

21. * Klipp ut en rettvinklet likebent trekant. Merk av et fast punkt og ei fast linje iplanet. La hypotenusen til trekanten passere gjennom det faste punktet og la detmotsatte hjørnet ligge pa den faste linja. Vis at katetene vil være tangenter til enparabel med brennpunkt i det faste punktet og styrelinje langs den faste linja.

22. *I en trekant kalles skjæringspunktet mellom høydene for ortosenteret. Vis at enrettvinklet hyperbel som passerer gjennom hjørnene til trekanten og ortosenteret harsentrum pa nipunktsirkelen til trekanten.

23. Finn ligningen til en generell sirkel i planet. Hvor mange punkter trengs for a be-stemme en sirkel?

24. Finn ligningen til en hyperbel med gitte asymptoter symmetrisk om aksene. Hvormange punkter trengs for a bestemme en hyperbel med disse asymptotene?

25. Dersom alle sidene i en trekant tangerer en parabel, sa gar den omskrevne sirkelentil trekanten gjennom brennpunktet til parabelen. Vis dette.

26. Gjennomfør beviset for Menelaos’ og Cevas setninger i det projektive planet.

27. Gjennomfør beviset for Desargues’ setning ved hjelp av Menelaos’ og Cevas setning.

28. Gjennomfør beviset med dandelinske kuler for at snittet mellom et plan som er pa-rallelt med en generatrise og kjeglen er en parabel.

29. Gjennomfør beviset med dandelinske kuler for at snittet mellom et plan som skjærerbegge delene til kjeglen og kjeglen er en hyperbel.

30. Vis at planene til berøringssirklene til de dandelinske kulene som definerer brenn-punktene til snittet mellom kjeglen og et plan, skjærer dette planet langs styrelinjenetil kjeglesnittet.

81

31. Vis at dersom (a, b) er et brennpunkt ti et kjeglesnitt, sa er polaren αax + βby = γden tilhørende styrelinja.

32. Vis at dersom et punkt ligger pa samme side av et kjeglesnittet som et brennpunkttil kjeglesnittet, sa fins det ingen tangenter til kjeglesnittet som passerer gjennompunktet.

33. Gitt to rette linjer definert av ligningene

x+ 3y + 4 = 0 og x+ 3y − 4 = 0.

La l være ei linje gjennom origo som skjærer den første linja i A og den andre iB. Trekk ei linje gjennom A parallell med y-aksen og gjennom B parallell med x-aksen. Finn det geometriske stedet for skjæringspunktet mellom disse parallellenenar l dreier seg om origo.

34. En sirkel med sentrum i origo skjærer x-aksen i A = (−r, 0) og B = (r, 0). La M væremidtpunktet pa normalen fra et punkt P pa sirkelen pa x-aksen. Finn det geometriskestedet for skjæringspunktet mellom AP og BM na P beveger seg pa sirkelen.

35. Gitt ellipsen definert av ligningen

b2x2 + a2y2 = a2b2

der a > b og punktet M = (m, 0). Gjennom M trekker vi ei linje L som skjærerellipsen i punktene P og Q. Finn ligningen til det geometriske stedet for midtpunktetav korden PQ nar l dreier seg om M .

36. Gitt to linjer som star normalt pa hverandre. Ei tredje bevegelig linje flytter seg slikat den sammen med de to faste linjene avgrenser en trekant med konstant areal. Finndet geometriske stedet for midtpunktet av hypotenusen til denne trekanten.

37. Det geometriske stedet for midtpunktet til parallelle korder til ei grein av en hyperbelligger pa en sekant til hyperbelen som gar gjennom sentrum. Vis dette.

38. Det geometriske stedet for midtpunktet til parallelle korder i en parabel er ei linjesom er parallell med symmetriaksen. Vis dette.

Litteratur

• Alfsen og Alfsen: Analytisk plangeometri. Aschehoug, 1955.

• Euklid: Elementer I-IV. Forlaget Trip, Vejle, 1985.

82

• Eves, Howard: Fundamentals of Modern Elementary Geometry. Jones and BartlettPublishers, Boston, 1997.

• Greenberg, Marvin Jay: Euclidean and Non-Euclidean Geometries. 3rd edition. W.H. Freeman and Co, New York, 1993.

• Iden, Oddvar: Geometrien blir til mens du glor: Kompendium til emnet M131-Elementær geometri, Matematisk Institutt, Univ. i Bergen, 1997.

• Jennings George A.: Modern Geometry with Applications. Springer Verlag, New YorkBerlin Heidelberg, 1994.

• Lang, Serge: Geometry: A High School Course. Springer Verlag.

• Maxwell, E. A.: Elementary Coordinate Geometry. 2. edition. Clarendon Press, Ox-ford, 1958.

• Pottage, John: Geometrical Investigations. Addison-Wesley Publishing Co, Reading,1983.

• Salmon, George: A Treatise on Conic Sections. London, 1869.

• Søgaard A. og Tambs Lyche R.: Matematikk for den høgre skolen III, Gyldendal,Oslo 1942

• Thompson, Jan: Matematiken i historien. Studentlitteratur, Lund, 1996.

• Wells, David: The Penguin dictionary of curious and interesting geometry. PenguinBooks, London, 1991.

Adresse:Matematisk Institutt, P.b. 1053 Blindern, 0316 Oslo 3,e-post: ranestad@math.uio.no

83