MATA KULIAH: GEOMETRI TRANSFORMASI

KELAS : VII C

KELOMPOK : VIII

ANGGOTA :

1. IHSAN SUDIRMAN 206120579

2. KAMARIAH 206120591

3. IRAMAYANTI 206120604

4. MUSDALIFAH 206120615

5. CHAIRUDDIN 204120253

Dosen Pembina : Dra. NURHAEDA P, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PAREPARE(UMPAR)

2009

1

PEMBAHASAN

SIMILARITAS (KESEBANGUNAN)

A. Transformasi Similaritas

Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai pasangan dua benda yang

bangunannya sama hanya besarnya yang berbeda. Suatu bangun gedung dengan maket

perencanaannya, suatu pesawat terbang dengan miniaturnya. Juga dalam bidang dijumpai

pasfoto dari orang yang sama dalam beberapa ukuran. Mereka dikatakan saling sebangun

atau similar. Membawa dari satu gambar kepasangannya disebut memperbesar atau

memperkecil ukuran.

Dalam geometri dikenal pula bahwa dua buah bujur sangkar selalu saling sebangun,

juga dua buah segitiga dengan sudut-sudut berpasangan saling sama disebut sebangun.

Transformasi yang membawa gambar ke gambar lain yang sebangun disebut

kesebangunan atau similaritas.

Definisi : Suatu tranformasi L adalah suatu similaritas bila terdapat bilangan

positif k sehingga untuk setiap pasangan titik P dan Q dipenuhi

P’Q’ = k.PQ dengan P’ = L (P) dan Q’ = L (Q).

Similaritas di atas disebut similaritas dengan faktor k dan dilambangkan dengan Lk.

Bilangan k disebut faktor similaritas (faktor kesebangunan).

Dari definisi jelas bahwa untuk k=1 similaritas akan merupakan isometri. Isometri

adalah kejadian khusus similaritas. Jelas juga bahwa Lk mempunyai invers yang juga

merupakan similaritas dengan faktor 1/k.

Dalil 3.1.1. Similaritas adalah suatu kolineasi.

Bukti (disingkat, sejalan dengan bukti pada isometri).

2

Gambar 3.1.1

Diketahui similaritas Lk dan akan dibuktikan bahwa oleh garis lurus akan dibawa

menjadi garis lurus lagi.

Ambil sebarang garis t dengan dua titik A dan B padanya. Jika A’ = Lk (A) dan B’

= Lk (B) maka harus dibuktikan bahwa Lk (t) = A'B'suuur

a) Dengan kontraposisi dan pertidaksamaan segitiga dibuktikan bahwa untuk sebarang C

pada t maka Lk (C) terletak pada A'B'suuur

, berarti Lk (t) A'B'⊂suuur

b) Dengan cara yang sama dengan diatas dibuktikan bahwa untuk sebarang titik D’ pada

A'B'suuur

pasti ada D dengan D’ = Lk (D) yang terletak pada t, berarti A'B' t⊂suuur

dengan demikian terbukti bahwa Lk (t) = A'B'suuur

.

Dalil 3.1.2. Hasilkali similaritas Lk dan similaritas Lm adalah similaritas lagi dengan

faktor km.

Bukti Bukti untuk dalil ini dapat diturunkan langsung dari definisi.

Dalil 3.1.3. Similaritas mempertahankan besar sudut.

Bukti : Ambil < ABC

'

'

'

Misalkan A = Lk(A)

B = Lk(B)

C = Lk(C)

' ' ' ' ' '

' ' '

' ' '

maka A B = k AB; B C = k BC; C A = k CA

Darisifat kesebangunan dua segitiga diperole h bahwa A BCΔ ABC

sehingga m A B C m ABC. Terbukti.

∆

∠ = ∠

:

Akibat Similaritas mempertahankan ketegaklurusan.

3

A’

B’

AC

Bt

A

C

B

B’

C’

A’

Gambar 3.1.2

Gambar 3.1.3

Catatan: Similaritas mempertahankan ketegaklurusan, artinya bahwa oleh similaritas L

dua garis yang saling tegak lurus akan dibawa menjadi dua garis yang tegak lurus lagi.

Dalil 3.1.4 Similaritas mempertahankan kesejajaran.

Bukti. Ambil dua buah garis t, r dengan t // r. titik P di luar t dan r. tarik dua garis melalui P

yang memotong t di A dan di B, dan memotong r di C dan di D. Misalkan similaritas Lk

membawa gambar ini menjadi gambar yang lain dengan:

'

'

'

'

'

' ' '

' ' '

' ' '

' ' '

' ' ' '

' ' ' '

' '

A = Lk (A) ;

B = Lk (B) ;

C = Lk (C) ;

D = Lk (D) ;

P Lk (P)

maka dari dalil 3.1.1. P ,A ,C akan segaris.

P ,B ,D akan segaris

A B = t ;

C D = r

PA PBkarena t // r maka =

PC PD

P A kPA PA PB kPB P B= = = = =

P C kPC PC PD kPD P D

P Ajadi

P

suuuur

suuur

' '

' ' ' '

' '

P B=

C P D

berarti t // r (terbukti)

Karena besar sudut tidak berubah dan kesejajaran tidak berubah, maka suatu

gambar akan dibawa ke gambar lain yang sebangun. Itulah maka transformasi ini disebut

kesebangunan atau similaritas.

Akibat. Oleh similaritas segitiga akan dibawa ke segitiga lain yang sebangun dengan

segitiga yang pertama.

Kejadian khusus : Tarikan (Np, k)

Jika dalam himpunan isometri ada transformasi yang menjadi sentral ialah

pencerminan, maka dalam himpunan similaritas ada transformasi khusus yang menjadi

kunci ialah tarikan.

4

Gambar 3.1.4

P

A

B

C

D

t

r

A’ B ‘

C’ D’

P’

t’

r’

Definisi. Untuk suatu titik P dan bilangan positif k, transformasi ,p kN disebut tarikan

terhadap P dengan faktor k bila

p,k

'p,k

(i) N (P) = P

(ii) untuk Q P, N (Q) =Q'dipenuhi PQ = kPQ≠

Bilangan k disebut faktor tarikan sedang p disebut pusat tarikan.

Dengan mudah dibuktikan bahwa N ini adalah kejadian khusus dari similaritas dan

kadang-kadang juga disebut juga similaritas radial.

Disimpulkan :

Dalil 3.1.5. Tarikan merupakan suatu similaritas. Faktor tarikan merupakan faktor

similaritas.

Catatan Istilah ”tarikan”adalah terjemahan dari “stretch” tetapi ternyata dalam bahasa

Inggrispun istilah ini belum baku. Beberapa buku lain menggunakan ”dilation” ’radial

transformation’ (’radial similarity’) dsb. Lepas dari itu, Bila k memungkinkan bernilai

negatif (jadi asal 0k ≠ ) maka transformasi terkait juga mendapatkan bermacam nama ‘

dilation’ ,’dilatation’, ‘similitude’ dsb. Dalam naskah ini transformasi tersebut terakhir ini

tidak didefinisikan dan bila diperlukan dapat dianggap sebagai hasil kali tarikan ,p kN dan

setengah putaran Hp.

Di samping itu ada lagi transformasi D yang memenuhi sifat ( ) //D g g untuk

sebarang g. Untuknya ada yang memberi nama ‘dilation’ atau juga ‘homothecy’. Maka dua

gambar sebangun yang pasangan garisnya saling sejajar disebut saling homotetik (seletak).

5

Gambar 3.1.5

Q’ R’

P

QR

Gambar 3.1.6

Dalil 3.1. 6 . Untuk suatu garis g dan g’ = Np, k (g) berlaku:

(i) g’= g jika p terletak pada g

(ii) g' // g jika P di luar g.

(Buktikan sendiri).

Dalil 3.1.7 Paling banyak ada hanya satu similaritas yang membawa tiga titik tak

segaris A, B, C ke tiga titik tak segaris lain A’, B’, C’, berturut-turut.

Bukti Misalkan ada dua similaritas L1 dan L2 yang memenuhi maka hasilkali L2L1-1akan

membuat ketiga titik kembali ketempat semula, berarti bahwa L1 = L2 (karena

invers transformasi adalah tunggal), jadi paling banyak hanya ada satu similaritas

membawa A ke A’, B ke B’, C ke C’ Terbukti.

Dalil 3.1.8. Hasilkali suatu tarikan dan suatu isometri akan menghasilkan suatu

similaritas. Sebaliknya, setiap similaritas selalu dapat dianggap sebagai

hasilkali suatu tarikan dengan suatu isometri.

Bukti. a). suatu isometri U akan mempertahankan panjang jarak, suatu tarikan ,p kN akan

mengalikan jarak tersebut menjadi k kali. Jadi hasilkalinya merupakan suatu

similaritas Lk.

b) diketahui suatu L dan tiga titik tak segaris A’, B’ , C’ karena L suatu

transformasi, pasti adalah tiga titik A, B, C yang juga tak segaris sehingga L(A) =

A’; L(B) = B’; L(C) = C’ dan

%

' '

' '

ABC A'B'C'(lihatgambar3.1.7)

TentukanC''padaA B sehinggaA'C''=AC

Tentukan B''pada A B sehinggaA'B''=AB

sehingga A'B''C'' ABCdan

A'B'=kA'B"

A'B'=kA'B"

A'C'=kA'C"

∆ ∆

∆ =∆

:suuuur

suuuur

6 Gambar 3.1.7

AB

C

A’

B ‘

C’C”

B”

Maka (dalil 2.9.5) terdapat suatu isometri U untuk membawa ABC keΔ A'B"C"∆

juga terdapat suatu tarikan ialah ,A kN yang membawa

A,kA'B"C"keΔ A'B'C', sehingga dapat ditulis Lk = U N∆

(Untuk Lk = N U buktinya sejalan dengan bukti diatas ) terbukti.

Dalil 3. 1.9

Untuk sepasang segitiga yang saling sebangun ABCΔA'B'C '∆ : terdapat tepat

satu similaritas L yang membawa A ke A', Bke B' dan C keC' .

Bukti lihat gambar 3.1.7. dianggap diketahui:

' '

' '

ABC:ΔA'B'C 'akan dibuktikan bahwa selalu ada similaritas L yang memenuhi

L(A)=A';L (B)=B';L (C)=C'

karena m BAC = m B'A'C' tentu terdapat B"pada A B sehingga A'B''= AB;

juga terdapat c"pada A C sehingga A'C'sehingg

∆

∠ ∠suuuur

suuuur

±A,k

a A'C''= AC,maka

ΔABC = A'B"C".akhirnya suatu tarikan dapat diturunkan ialah N

A'B'yang membawa A'B"C"ke A'B'C'dengan k= .

AB

Bahwa tidak lebih dari suatu similaritas yang memenuhi sudah dijamin oleh dalil 3.1.7

(terbukti).

Dalil 3.1.10 Himpunan similaritas menyusun grup.

(Buktikan sendiri)

Dari dalil ini dapat disimpulkan bahwa himpunan similaritas merupakan grup

bagian dari himpunan kolineasi, sedang himpunan isometri menjadi himpunan bagian

himpunan similaritas ini.

7

CONTOH-CONTOH 3.1

p,2

p,2

1.Lukislahsebarang ΔABCdan titikPdiluarnya .lukis ΔA'B'C'= N (ΔABC)kemudian

jugaΔA"B"C" Hp(ΔA'B'C')perlihatkanbahwa ha silkaliHpN

jawab:

lihatgambar3.1.8.daridefinisidansifat-si fat Hdan Nmaka haruslah

A,A',A''

:

,2 0 0 0 0 0 0

segaris

B,B',B''segaris

C,C',C''segaris

sisibersesuaiansalingsejajardan ΔA'B''C'' ΔABCdenganfaktor2

bahwa Hp ,ambil ( ),maka '' ; '' ; ''

dan // ;

p

o o o o

N A B C Hp ABC A AA B BB C CC

A B AB B C

∆ = ∆ ∈ ∈ ∈

:suuuur suuuur suuuur

suuuur suur0 0

,2 0 0 0 ,2 ,2

// ; // . karena tetapi " " ' ' 2

jadi " " 2 , jadi '' '' '' ( )sehingga .terbuktio o

o o p p p

BC C A CA A B AB A B A B AB

A B A B A B C N A B C N Hp HpN

= = == ∆ = ∆ =

suuuur suur suuuur suur

2. Lukislah bujur sangkar ABCD dengan panjang sisi 3, juga bujursangkar A'B'C'D'

dengan sisi 2 seperti dalam gambar 3.1.9. tentukan similaritas Lk sehingga

A'B'C'D'= Lk (ABCD).Lukislah.

8

Gambar 3.1.8

AC

B

A”

B”

C”

B0

C0

A0

A’

B’

C’

(diusahakan rangkaian yang sesingkat mungkin).

Dari gambar terlihat bahwa Lk searah dan tidak dapat disusun dengan S N atau N

S. maka haruslah Lk berupa R N atau N R.

Pilih Lk = R N lukis bujursangkar

%B,2/3A''B''C''D''= N (ABCD) hingga bujursangkar A''B''C''D''= bujursangkar A'B'C'D'.

Carilah pusat putaran sebagai titikpotongsumbu A'A'' dan sumbu B'B'' .

Dengan demikian putaran tertentu.

suuuur suuuur

3.DiketahuiΔABC ΔA'B'C'dengan arah sudut ter balik. tentukan L yang paling

ringkas yang membawaΔABC keΔA'B'C'.

jawab:

karena arah sudut terbalik maka L harus berupa M N atau N M.pilih yang MN.

untuk ini lebih mudah bila lukisan dikerja

:

kan mundur.

1.Lukislah R (OA ,O'A'), maka (OA ,O'A') = DRC'

2.lukislah garis g ialah garis yang membagi dua samasudut tadi

3.CerminkanΔA'B'C' terhadapsebarang garis h ,h // g.(disini h diambil melalui C').

terd

∠ ∠suuur suuur suuur suuur

p,2

apatΔA''B''C'' yangsudah homotetik dengan ΔA BC, sehingga pasti ada tarikan

yang menghubungkannya.

A'B'4.Pusat tarikan P ditemukan sebagai P (B"B ,A''A), sedang faktornya k =

ABsehingga L = Mp N

suuuur suuur

9

Gambar 3.1.9

A’B’

D

A

C

B = B”

C”

D”

A”C’D’

3.2. Rumus-rumus Similaritas

Rumus tarikan

Agar penjabaran menjadi ringkas akan digunakan notasi vektor dan matrix.

Misalkan titik P dibawa oleh ,B kN menjadi P

10

A”

h

Gambar 3.1.10

B”

C

AB

B’

A’

C” = C’

gD

R

X

0

Y

Y

X

X

P

B

B

Gambar 3.2.1

G

X

( )

( )

Dengancaratuliskomponen

1 (8)

1ataudengancaratulisskalar (8)

(1 )

jikarumus isometri(7)disingkatdengan

'

dandisusulkankepadatarikandiatasdiperole h

ax xk k

by y

x kx k a

y ky k b

X VX H

X V

= + −

= + −

= + −

= +

= ( )

2 2 2

( 1 )

(1 )

dengan (1 ) suatuvektorgeserbaru.

diperoleh rumusUmumsimilaritas.

'(9)

'

dengan 0

kX k B H

kVX V k B H

kVX Q

Q V k B H

x a b x c

y b a y d

a b k

+ − += + − += +

= − +

= + ± ±

+ = ≠

Tanda atas untuk yang searah, tanda bawah untuk similaritas yang berlawanan.

Contoh 3.2

Buktikan secara analitis bahwa “Homothecy” (D dengan sifat D (g) // g) akan merupakan

N atau , atau S atau hasilkali mereka.

Jawab.

Karena sifat D maka D pastilah berupa similaritas dan karena similaritas yang berlawanan

tidak ada yang mau dipertahankan arah garis maka pasti D berupa similaritas searah.

Rumusnya dapat ditulis sbb.

11

'

'

'

'

' ( ) ' ' 0.

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

' //

x a b x c

y b a y d

atau X ax by c

X bx ay d

Misalkan g D g dengan persamaan px qy r persamaan g menjadi

p ax by c q bx ay d r atau ap bq x bp aq y cp dq r

syaratkan g g akan da

= + −

= + += − + += + + =

+ + + − + + + = − + + + + + =

( )

2 2( ) 0

0

'

'

( ) 0

1

1

'1

' 1

1

pat b p q

berarti b

sehingga transformasi menjadi X ax c

y ay d

i untuk a

bila a maka D merupakan suatu S

bila a maka rumus dapat diubah menjadi

x x e ca a dengane

y y f a

df

aini tidak lain ad

+ ==

= += +

>=≠

= + − = −

=−

, ( ) ( , ).

( ) 0,

' /

' /

,2 2

palah N rumus g dengan pusat P e f

ii untuk a rumus dapat ditulis sebagai

x x c aa

y y d a

c ddanini tak lain adalah hasil kali Hp dan No m dengan P dan m a D

a a

α

<

= − − −

− = − >

SOAL-SOAL3.1 3.2

1. Buktikanlah dalil 3.1.6

2. Buktikan bahwa 1

, ,1/p k p kN N− =

3. Buktikan bahwa

, ,

,

untuk 1

untuk 1

untuk 1buktikan bahwa P,Q, R dan Fsegaris

kerjakan lagi soaldiatas secara analitis bila diberikan sebagai berikut

P (P1, P2),Q(q1, q2).dan tentukan koordinat F.

t p k

p kl

N N

s kl

N kl

kl

α

= = = =

≠

4. Kembalikan dari soal no.3 diatas,buktikanbahwa sebarang SAB selalu dapat ditulis

sebagai ,1/ ,k A kN Nα

5. Diketahui A (0,0). B (0,-1), C (-1,0), A’ (2,1), B’ (4,3), C’ (0,3). Periksalah bahwa

12

ΔABC keΔA'B'C' pertama dengan gambar, keduanya dengan rumus.

6. Tulis rumus untuk ,o kN dan buktikan bahwa garis ax + by + c = 0akan dibawa kegaris

yang sejajar dengan garis semula. Buktikan pula bahwa tarikan mempertahankan titik

tengah ruas garis.

7. Buktikan bahwa similaritas mempertahankan perbandingan garis.

8. Buktikan bahwa oleh Lk luas suatu daerah akan menjadi k2 kalinya.

9. Buktikan bahwa Lk mempertahankan kelas irisan kerucut, artinya misalnya elips akan

tetap menjadi elips lagi dan bukan menjadi parabola atau hiperbola. (kenakan Lk pada

persamaan umum irisan kerucut dan buktikan bahwa tanda determinan

11 12

21 22

a aD

a a= tidak berubah

10. Apa syaratnya bahwa suatu pkberupa NkL dan tentuka koordinat P dan besar faktor K

11. Hasil kali , p,kNpR θ disebut similaritas spiral. Buktikan bahwa , p,k p,k ,N Np pR Rθ θ=

12. Buktikan bahwa similaritas searah akan berupa atau similaritas spiral atau suatu

geresan.

13. Sebagi akibat dari sifat dalam soal 12, bila diberikan ABC∆ sebangun dengan

A'B'C'.∆ Searah dan tidak seletak, temukan lewat lukisan similaritas spiral yang

menghubungkannya.

13