UN CURSO BREVE DE GEOMETRÍA II

D. Francisco Medrano

3 de abril de 2015

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Índice

1. Espacios métricos, espacios topológicos 3

2. Vecindades, sucesiones, cerrados, adherencia, interior 7

3. Continuidad 11

4. Bases, sistemas fundamentales de vecindades 14Contenido

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1. Espacios métricos, espacios topológicos

Definición 1.1. Una distancia o métrica sobre un conjunto cualquiera Xes una aplicación d : X ×X → R que satisface las propiedades siguientes,∀x,y,z ∈ X:

i) d(x,y) = 0⇔ x = y

ii) d(x,y) = d(x,y) (Simetría)

iii) d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (Desigualdad triangular)

El par (X,d) recibe el nombre de espacio métrico.

Observación 1.1.

1. Se tiene necesariamente que d(x,y) ≥ 0, ∀x,y ∈ X ya que 2d(x,y) =d(x,y) + d(y,x) ≥ d(x,x) = 0.

2. De ii) y iii) se deduce |d(x,y)− d(y,z)| ≤ d(x,z).

3. ii) y iii)⇔ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Ejemplo 1.1.

1) ParaX un conjunto cualquiera, d(x,y) ={

1 si x , y0 si x = y

define la métrica

discreta.

2) X = R, d(x,y) = |x − y|; d′(x,y) = |x−y|1+|x−y| ; d

′′(x,y) =∣∣∣∣ x1+|x| −

y1+|y|

∣∣∣∣.3) X = Rn, p ∈ N∗, dp(x,y) = (

∑ni=1 |xi − yi |p)1/p. El espacio métrico

(R2,d2

)es entonces el espacio euclidiano usual. Para mostrar que son dis-tancias, se utiliza la desigualdad de Minkowski: (

∑ni=1 |xi + yi |)

1/p ≤(∑ni=1 |xi |p)1/p + (

∑ni=1 |yi |p)1/p.

4) X = Rn, d∞ = max1≤i≤n |xi − yi |.

5) X = C0([a,b]), dp(f ,g) =(∫ ba|f (x)− g(x)|pdx

)1/p, para p ∈ N∗.

6) X = C0([a,b]), d∞(f ,g) = supa≤x≤b |f (x)− g(x)|.

Definición 1.2. Sea (X,d) un espacio métrico, a ∈ X y r > 0. El conjuntoB(a, r) = {x ∈ X | d(a,x) < r} es la bola (abierta) de centro a y de radio r.

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Definición 1.3. Sea (X,d) un espaco métrico. Decimos que O ⊆ X es unsubconjunto abierto de (X,d) si

∀x ∈O,∃r > 0 tal que B(x,r) ⊆O.

Ejemplo 1.2. Las bolas B(a, r) son abiertas. En efecto, sea x ∈ B(a, r), enton-ces r − d(a,x) > 0 y B(x,r − d(a,x)) ⊆ B(a, r).

Proposición 1.1. Sea (X,d) un espacio métrico.

(i) ∅ y X son abiertos.

(ii) La reunión de una familia arbitraria de abiertos es abierta.

(iii) La intersección de una familia finita de abiertos es abierta.

Demostración. (i): El conjunto vacio es abierto ya que no hay nada queverificar. El espacio total X es abierto ya que B(x,r) siempre está contenidaen X.(ii): Sea {Oi}i∈I una familia de abiertos y x ∈

⋃i∈IOi . Existe entonces un

i′ ∈ I tal que x ∈Oi′ y por lo tanto ri′ > 0 tal que B(x,ri′ ) ⊆Oi′ , ya que Oi′ esabierto. Luego B(x,ri′ ) ⊆

⋃i∈IOi .

(iii): Sea {Oi}i∈I una familia finita de abiertos y x ∈⋂i∈IOi . Como x ∈ Oi ,

∀i ∈ I , existe ri > 0 tal que B(x,ri) ⊆Oi . No hay más que tomar r = mıni∈I ripara tener B(x,r) ⊆

⋂i∈IOi .

Definición 1.4. Dos distancias d y d′ sobre un conjunto X son equivalentessi ellas dan los mismos subconjuntos abiertos, es decir,

∀x ∈ X,∀r > 0,∃r ′ > 0 tal que Bd′ (x,r′) ⊆ Bd(x,r) y viceversa,

o bien

∀x ∈ X,∀ε > 0,∃ε′ tal que ∀y ∈ X,d(x,y) ≤ ε′⇒ d(x,y) ≤ ε

y simétricamente. Decimos que d y d′ son unifórmemente equivalentes siexisten constantes c,C > 0 tales que:

c · d(x,y) ≤ d′(x,y) ≤ C · d(x,y), ∀x,y ∈ X.

Ejemplo 1.3.

1) Las distancias dp, 1 ≤ p ≤∞, en Rn son unifórmemente equivalentes.En efecto, no es dificil mostrar que d∞(x,y) ≤ dp(x,y) y dp(x,y) ≤ p

√n ·

d∞(x,y).

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2) Las distancias d y d del ejemplo 1.1 son equivalentes pero no unifór-memente equivalentes ya que una de ellas está acotada mientras quela otra no.

Definición 1.5. Sea X un conjunto. Una topología sobre X es una parte Tde P (X) que satisface:

(i) X,∅ ∈ T .

(ii) Oi ∈ T ,∀i ∈ I ⇒⋃i∈IOi ∈ T .

(iii) Oi ∈ T ,∀i ∈ I finito ⇒⋂i∈IOi ∈ T .

Los elementos de T son llamados subconjuntos abiertos o simplementeabiertos del espacio topológico (X,T ).

Ejemplo 1.4.

1) T = {∅,X}. La topología trivial o grosera.

2) T = P (X). La topología discreta.

3) (X,d) un espacio métrico, T la familia de abiertos para la métrica d.

4) Sobre X = {a,b} hay dos topologías posibles.

5) La intersección de todas las topologías que contienent una familiadada F de subconjuntos de X. Es la topología engendrada por F .

Definición 1.6. Un espacio topológico (X,T ) es metrizable si existe unamétrica sobre X cuyos subconjuntos abiertos son los elementos de T

Ejemplo 1.5.

1) (X,P (X)) es metrizable (considerar la métrica discreta).

2) C0([0,1]) dotada de la topología de la convergencia simple no es me-trizable. Ver más adelante el ejemplo AÑADIR EJEMPLO.

Proposición 1.2. Para un espacio topológico (X,T ) con X finito, tenemos:

(X,T ) metrizable ⇔ (X,T ) discreto .

Demostración. ⇒) : Sea d una distancia sobre X que induce la topología T .Pongamos r := mın{d(x,y) | x , y ∈ X}, entonces r es positivo ya que X esfinito y para todo x ∈ X, la bola B(x,r) contiene solamente el punto x. Lue-go todos los puntos de X son abiertos, lo que es una condición necesaria ysuficiente para que T sea discreta.⇐) : Tomar la métrica discreta.

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Definición 1.7. Sea (X,T ) un espacio topológico y A ⊂ X. La parte TA :={O∩A |O ∈ T } de P (A) es llamada topología inducida por T sobre A. Paraverificar que TA es una topología, es suficiente emplear las fórmulas⋃

(Oi ∩A) =(⋃

Oi)∩A,

⋂(Oi ∩A) =

(⋂Oi

)∩A.

Terminología. Las nociones que hacen explícitamente referencia a la dis-tancia de una espacio métrico son llamadas nociones métricas. Ejemplos: lasbolas, sucesiones de Cauchy, subconjuntos acotados, continuidad unifor-me. Por el contrario, las nociones que dependen solamente de los abiertosde un espacio son llamadas nociones topológicas. Ejemplos: abiertos, vecin-dades, adherencia, continuidad, compacidad, conexidad.

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2. Vecindades, sucesiones, cerrados, adherencia,interior

Definición 2.1. Sean (X,T ) un espacio topológico y x ∈ X. Decimos queV ⊆ X es una vecindad de x si V contiene una abierto que a su vez contienea x. Denotamos por Vx la familia de vecidandes de x.

Ejemplo 2.1. Un abierto es una vecindad de cada uno de sus puntos.

Axiomas de vecindad. SeaX un conjunto y ∀x ∈ X una familia Vx de partesde X. Decimos que {Vx}x∈X satisface los axiomas de vecindad si , ∀x ∈ X:

(o) Vx ,∅.

(i) V ∈ Vx⇒ x ∈ V .

(ii) V ∈ Vx y V ⊆ V ′⇒ V ′ ∈ Vx.

(iii) V ,V ′ ∈ Vx⇒ V ∩V ′ ∈ Vx.

(iv) ∀U ∈ Vx,∃V ∈ Vx tal que U ∈ Vy , ∀y ∈ V . Es decir, U es una vecindadde los vecinos próximos de x.

Proposición 2.1. Sea X un conjunto y ∀x ∈ X una familia Vx de partes de Xque satisface los axiomas de vecindad. Definimos T ⊆ P (X) por

O ∈ T ⇔ ∀x ∈O,O ∈ Vx.

Entonces T es una topología y para todo x ∈ X, la familia de T -vecindades dex es igual a Vx.

Demostración. Los axiomas de topología se verifican sin mucha dificultad.Denotemos por Vx la familia de vecidandes de x en (X,T ), es decir V ∈Vx ⇔ ∃O ∈ T tal que x ∈ O ⊆ V . Tenemos que Vx = Vx para todo x ∈ X yaque:

1. V ∈ Vx⇒∃O ⊆ V tal que O ∈ Vx(ii)⇒ V ∈ Vx.

2. Sea V ∈ Vx, definamos U = {y ∈ V |V ∈ Vy}. Tenemos que x ∈ U ⊆ V ,así que sólo tenemos que ver que U ∈ T . Si y ∈ U entonces V ∈ Vy ypor el axioma de vecindades (iv) existe V ′ ∈ Vy tal que U ∈ Vz para

todo z ∈ V ′. Luego V ′ ⊆ U(ii)⇒ U ∈ Vy ; como esto se cumple para todo

y ∈U , U ∈ T por la definición de T .

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Proposición 2.2. Sean (X,d) un espacio métrico, {xn}n∈N una sucesión de X yx un elemento de X. Los enunciados siguientes son equivalentes:

(a) ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que n ≥N ⇒ d(x,xn) < ε

(b) ∀V ∈ Vx, ∃N > 0 tal que n ≥N ⇒ xn ∈ V .

Demostración. (a) ⇒ (b) : Sea V ∈ Vx. Por definición, existe r > 0 tal queB(x,r) ⊆ V . Según (a), existe N ∈ N tal que xn ∈ B(x,r) para n ≥ N . Por lotanto xn ∈ V desde que n ≥N .(b)⇒ (a) : Es inmediato ya que B(x,r) ∈ Vx, para todo r > 0.

Notación. Cuando (a) o (b) se verifican, decimos que x es el límite de lasucesión {xn}n∈N. Escribimos xn → x cuando n → ∞ o lım

n→∞xn = x. En un

espacio topológico, tomamos (b) como definición de convergencia.

Observación 2.1. El límite de una sucesión en un espacio métrico es único.Igualmente en una espacio topológico separado (ver parágrafo AÑADIRREFERENCIA).

Definición 2.2. Sea (X,T ) un espacio topológico. Un subconjunto de A ⊆X se llama cerrado si su complementario X \A es abierto.

Proposición 2.3. En un espacio topológico (X,T ) se tiene:

(i) X y ∅ son cerrados.

(ii) La intersección de una familia arbitraria de cerrados es cerrada.

(iii) La reunión de una familia finita de cerrados es cerrada.

Demostración. Es una consecuencia inmediata de la definición 1.5 por pa-so al complementario.

Proposición 2.4. Sean X un espacio metrizable y A ⊆ X. A es cerrado si ysólamente si, para toda sucesión {xn}n∈N de A que converga en X hacía x, setenga x ∈ A.

Demostración. Supongamos A cerrado y A 3 xn → x. Si x < A, entonces xpertenece al abierto X \A. Existe por lo tanto r > 0 tal que B(x,r) ⊆ X \A.Sigue entonces que xn < A para n suficientemente grande, lo que contradi-ce la convergencia de xn. Asi pues, xn ∈ A.Recíprocamente, supongamos que todos los límites de sucesiones deA per-tenecen a A y tomemos x < A. Si no podemos encontrar una bola B(x,r)

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contenida en X \A, entonces para todo n ≥ 1, B(x,1/n)∩A ,∅. Obtenemospues una sucesión {xn}n≥1 de A con d(xn,x) < 1/n; luego xn→ x y x ∈ A, locual es una contradicción. Por lo tanto, una tal bola existe y así X \A esabierto.

Definición 2.3. Sean (X,T ) un espacio topológico y A ⊆ X. La adheren-cia de A es la intersección de todos los subconjuntos cerrados de X quecontienen a A. La denotamos por A. Es el más pequeño cerrado de X quecontiene A. Por consiguiente, A es cerrado si y sólamente si A = A.

Lema 2.1. x ∈ A⇔∀V ∈ Vx,V ∩A ,∅.

Demostración. Supongamos que x ∈ X y V ∈ Vx. Si V ∩A = ∅, tenemos queO∩A = ∅ para un abiertoO que contiene a x. Entonces X \O es un cerradoque contiene a A y por lo tanto contiene también a A y así x < A.Recíprocamente, si x < A, entonces X \ A es una vecindad de x que nointersecta a A

Definición 2.4. Sean (X,T ) un espacio topológico y A ⊆ X. El interiorde A es la reunión de todos los subconjuntos abiertos de X contenidos enA. Lo denotamos por A◦. Es el abierto más grande contenido en A. Porconsiguiente, A es abierto si y sólamente si A◦ = A.

Observación 2.2. Sigue inmediatamente de las definiciones anteriores que:

1. A◦ = X \ (X \A).

2. X \A◦ = (X \A).

3. X \ A = (X \A)◦.

Lema 2.2. x ∈ A◦⇔ A ∈ Vx.

Demostración. Sea x ∈ A◦ = X \ (X \A) ⇒ x < X \Alema 2,1

=⇒ ∃V ∈ Vx,V ∩(X \A) = ∅. Por lo tanto V ⊆ A y luego A ∈ Vx por el axioma (ii) de vecin-dades.Recíprocamente, si x < A◦⇒ x ∈ (X \A). Por el lema 2.1, A∩ (X \A) ,∅, locual es una contradicción.

Proposición 2.5. Para A y B subconjuntos de X, tienen lugar las relacionessiguientes:

A◦ ∪B◦ ⊆ (A∪B)◦ (con igualdad si A∩B = A∩ B = ∅), (A∩B)◦ = A◦ ∩B◦;

(A∩B) ⊆ A∩ B (con igualdad si A◦ ∪B = A∪B◦ = X), (A∪B) = A∪ B.Es decir, la adherencia es estable por unión y el interior es estable por intersec-ción.

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Demostración. Como A◦∪B◦ es un abierto contenido en A∪B y que (A∪B)◦

es el abierto más grande contenido en A∪B, la primera relación es demos-trada.Si x ∈ A◦ ∩ B◦, existe abiertos U ⊆ A y V ⊆ B que contienen x. Enton-ces U ∩ V es un abierto contenido en A ∩ B que contiene a x. De dondex ∈ (A∩B)◦.Si x ∈ (A∩B)◦, existe un abierto O ⊆ A∩B que contiene a x. Como O ⊆ A yO ⊆ B, se tiene x ∈ A◦ ∩B◦.Las dos relaciones siguientes se deducen de las precedentes por comple-mentariedad.

Definición 2.5. La frontera de un subconjunto A de un espacio topológicoX es el conjunto cerrado Fr A = ∂A := A \A◦ = A∩ (X \A). Así, x ∈ Fr A si ysólamente si ∀V ∈ Vx,V ∩A y V \A son no vacíos.

Ejemplo 2.2.

1) Fr X = ∅.

2) X = R2, A = B(0,1) = {(x,y) ∈ R2|x2 + y2 < 1},Fr A = S1 = {(x,y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}.

3) X = R2, A = B(0,1)∪ {(0,2)},FrA = S1 ∪ {(0,2)}.

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3. Continuidad

Proposición 3.1. sean X e Y dos espacios métricos, f : X→ Y una aplicacióny x ∈ X. Las propiedades siguentes son equivalentes:

(a) Para toda sucesión {xn}n∈N de X, se tiene: xn→ x⇒ f (xn)→ f (x).

(b) ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que ∀x′ ∈ X,dX(x,x′) < δ⇒ dY (f (x), f (x′)) < ε.

(c) ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que BX(x,δ) ⊆ f −1 (BY (f (x),ε)).

(d) ∀W ∈ Vf (x)⇒ f −1(W ) ∈ Vx.

Demostración. (a)⇒ (b): Sea ε > 0 dado. Si no existe δ como en (b), paracada n ∈ N∗ existe xn ∈ X con dX(x,xn) < 1/n y dY (f (x), f (xn)) ≥ ε. Luegoxn→ x y f (xn) 9 f (x) lo cual contradice (a).(b)⇒ (c) : Evidente.(c)⇒ (d) : Sea W ∈ Vf (x), entonces existe ε > 0 tal que BY (f (x),ε) ⊆ W ⇒f −1(BY (f (x),ε)) ⊆ f −1(W ).Según (c), existe δ > 0 tal que BX(x,δ) ⊆ f −1(BY (f (x),ε)) y entonces f −1(W )es una vecindad de x.(d)⇒ (a) : Sea {xn}n∈N una sucesión de X tal que xn→ x y ε > 0. TomamosW = BY (f (x),ε). Como f −1(W ) es una vecindad de x, existe N > 0 tal quexn ∈ f −1(W ) si n ≥ N , según la proposición 2.2. De donde f (xn) ∈ W =BY (f (x),ε) si n ≥N.

Definición 3.1. Una aplicación f : X → Y entre dos espacios topológi-cos es continua en el punto x ∈ X si (d) de la proposición 3.1 tiene lugar.Decimos que f es continua si f es continua en cada punto de X. Si ade-más f es biyectiva, continua y de inversa continua, decimos que f es unhomeomorfismo.

Ejemplo 3.1.

1) Toda aplicación constante f : X → Y ,x 7→ c es continua. En efecto,para todo W ∈ Vc se tiene f −1(W ) = X ∈ Vx.

2) Si X es discreto, entonces f : X→ Y es continua. Sea W ∈ Vf (x), comoX es discreto f −1(W ) es abierto en X y por lo tanto una vecindad dex. Como esto vale para todo x, f es continua.

3) Si Y es grosero, entonces f : X→ Y es continua.

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4) La aplicación γ : [0,2π[→ S1 dada por γ(t) = eit es continua y biyec-tiva pero su inversa no es continua (considerar la preimagen de unavecindad de 0).

Proposición 3.2. Si f : X → Y y g : Y → Z son continuas (en x, respectiva-mente en f (x)), entonces g ◦ f es continua (en x).

Demostración. Sea W ∈ Vg◦f (x), entonces g−1(W ) ∈ Vf (x) ya que g es conti-nua en f (x). Por consiguiente, f −1(g−1(W )) ∈ Vg◦f (x) puesto que f es conti-nua en x.

Proposición 3.3. Para una aplicación f : X→ Y entre espacios topológicos, setiene:

f es continua ⇐⇒∀O abierto ⊆ Y ,f −1(O) abierto ⊆ X⇐⇒∀F cerrado ⊆ Y ,f −1(F) cerrado ⊆ X⇐⇒∀A ⊆ X,f (A) ⊆ f (A).

Demostración. Primera equivalencia:⇒: Sea O abierto en Y y x ∈ f −1(O). Entonces f (x) ∈ O ∈ Vf (x) ya que O esvecindad de cada uno de sus puntos. Como f es continua, f −1(O) ∈ Vx, loque muestra que f −1(O) es abierto ya que es vecindad de cada uno de suspuntos.⇐: Sea W ∈ Vf (x). Entonces W contiene un abierto O que a su vez contienea f (x). Luego x ∈ f −1(O) ⊆ f −1(W ). Por lo tanto f −1(W ) ∈ Vx ya que f −1(O)es abierto.

Segunda equivalencia: Se obtiene de la primera por paso al complemen-tario.

Tercera equivalencia:⇒: Como f −1(f (A)) es cerrado y contiene a A, contiene también a A. Luegof (A) ⊆ f f −1(f (A)) ⊆ f (A).⇐: Sea F cerrado en Y . TomemosA = f −1(F). Tenemos f (f −1(F)) ⊆ f f −1(F) ⊆F = F ya que F es cerrado. Tomando la imagen recíproca se tiene: f −1(F) ⊆f −1f (f −1(F)) ⊆ f −1(F), lo que muestra que f −1(F) es cerrado ya que secumple f −1(F) = f −1(F).

Definición 3.2. Sean (X,d) un espacio métrico, ∅ , A ⊆ X y x ∈ X. Ladistancia de x a A es definida por

d(x,A) = ınfy∈A

d(x,y).

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Proposición 3.4. Con las notaciones de la definición 3.2, se tiene:

a) ∀x,y ∈ X,∣∣∣d(x,A)− d(y,A)

∣∣∣ ≤ d(x,y) y entonces d(·,A) : X→ R es conti-nua.

b) A = {x ∈ X | d(x,A) = 0}.

Demostración. a) Para todo z ∈ A se tiene: d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z). Tomandola cota inferior o ínfimo sobre z, tenemos d(x,A) ≤ d(x,y) + d(y,A). Luego,la desigualdad que buscamos se obtiene intercambiando los roles de x e y.b) Si d(x,A) = 0 entonces existe una sucesión deA que tiende hacia x. Así, xes límite de una sucesión de A, luego x ∈ A según la proposición 2.4 ya queA es cerrado. Recíprocamente, el conjunto de puntos a distancia nula de Aes la imágen recíproca del cerrado {0} para la aplicación continua d(·,A) ycontiene a A, por lo tanto contiene también a A.

Corolario 3.1. Si A y B son dos cerrados disjuntos de un espacio métrico X,entonces existe una aplicación continua f : X → [0,1] tal que A = f −1(0) yB = f −1(1).

Definición 3.3. Sean T1 y T2 dos topologías sobre X. Decimos que T1 esmás fina que T2 si T2 ⊆ T1. Es decir, todo subconjunto de X que es abiertoen T2 lo es también en T1. De manera equivalente si la aplicación identidad(X,T1)→ (X,T2) es continua.

Sean Tg y Td las topologías grosera y discreta sobre X respectivamente.Para toda otra topología T se tiene Tg ⊂ T ⊂ Td , vemos que la topologíadiscreta es la más fina entre las posibles y la topología grosera la menosfina.No todas las topologías son comparables, por ejemplo si X = {0,1}, T1 ={∅, {0,1}, {0}}, T2 = {∅, {0,1}, {1}}, no se tiene ni T1 ⊆ T2 ni T2 ⊆ T1.

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4. Bases, sistemas fundamentales de vecindades

Definición 4.1. Sea (X,T ) un espacio topológico. Una parte B ⊆ T es unabase de la topología T si todo abierto no vacio de X es reunión de abiertosde B. Una parte A ⊆ T es una sub-base o pre-base de la topología T si todoabierto de X es reunión de intersecciones finitas de abiertos de A.

Observación 4.1. Toda familia A ⊆ P (X) está contenida en una topologíaminimal, se trata de la intersección de todas las topologías que contiene-nen a A, llamada topología engendrada por A. La familia A de partida esuna sub-base de esta topología.

Ejemplo 4.1.

1) {(a,b) | a,b ∈Q} es una base usual de R.

2) Para un espacio métrico (X,d), la familia{B(x, 1

k )}(x,k)∈X×N∗

es una ba-

se de la topología de X.

Definición 4.2. Una topología es de base numerable si posee una base for-mada por un número numerable de abiertos. De manera equivalente, siposee una sub-base numerable. Decimos que el espacio topológico (X,T )con T de base numerable satisface el segundo axioma de numerabilidad yque es segundo contable.

Definición 4.3. En un espacio topológico, una parte Ux ⊆ Vx de la familiade vecindades de x es una base de vecindades de x o un sistema fundamentalde vecindades de x si ∀V ∈ Vx, ∃U ∈ Ux tal que U ⊆ V . El espacio (X,T )satisface el primer axioma de numerabilidad si todo punto de x admite unsistema fundamental de vecindades y en tal caso decimos que es primerocontable.

Los espacios que son primero contables son importantes ya que permi-ten controlar mejor las vecindades. Así por ejemplo la continuidad quedagarantizada por la sucesiones (lo cual, en general, no es cierto).

Observación 4.2. El segundo axioma de numerabilidad implica automá-ticamente el primero.

Ejemplo 4.2. Las bolas de radios racionales centrados en x en un espaciométrico forman una base numerable de vecindades de x. Así pues, todoespacio metrizable es primero contable.

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Definición 4.4. Una parte A de un espacio topológico X es (en todas par-tes) densa si A = X, es decir ∀O ∈ T , O ,∅⇒O∩A ,∅. Decimos que X esseparable si X contiene una parte numerable densa.

Proposición 4.1. Sea X un espacio topológico. Si X es de base numerable en-tonces X es separable. La recíproca tiene lugar cuando X es metrizable.

Demostración. SupongamosX de base numerable y designemos por {On}n∈Nuna base de la topología. Podemos suponer On , ∅, para todo n ∈ N y ele-gir xn ∈ On. Luego A := {xn | n ∈ N} es denso en X ya que todo abierto novacio de X es reunión no vacía de abiertos de la base y contiene entoncesuno de los xn.Recíprocamente, sea A = {xn | n ∈ N} una parte numerable densa de X.Entonces, la familia {B(xn,1/k)}(n,k)∈N×N∗ , es una base de la topología deX. En efecto, sea x ∈ O abierto ⇒ ∃k ∈ N∗ tal que B(x,1/k) ⊆ O. ComoX es separable, existe n ∈ N tal que xn ∈ B(x,1/2k) y, por consecuencia,x ∈ B(xn,1/2k) ⊆O.

Definición 4.5. Una familia {Oi}i∈I de abiertos de un espacio topológico Xse llama recubrimiento abierto de X si X =

⋃i∈IOi . Un sub-recubrimiento de

{Oi}i∈I es una familia {Oj}j∈J con J ⊆ I y X =⋃j∈JOj . El espacio topológico

X es un espacio de Lindelöf si todo recubrimiento abierto de X admite unsub- recubrimiento numerable

Ejemplo 4.3.

1) Todo sub-espacio cerrado F de un espacio de Lindelöf X es un espa-cio de Lindelöf. En efecto, sea {Oi}i∈I un recubrimiento abierto de F(es decir para cada i ∈ I , Oi = Oi ∩ F con Oi abierto en X). Entonces{Oi},X \F es un recubrimiento abierto de X. Como X es de Lindelöf,existe J ⊆ I numerable tal que {Oj}j∈J (y eventualmente X \F) formanun sub-recubrimiento deX. Así pues {Oj}j∈J es un sub-recubrimientoabierto de F.

2) Un espacio discreto es de Lindelöf si y sólamente si es numerable.

Teorema 4.1. (de Lindelöf) Todo espacio topológico de base numerable es unespacio de Lindelöf.

Demostración. Sea {Oi}i∈I un recubrimiento abierto de X y {Un}n∈N una ba-se de la topología de X. Para todo i ∈, existe Ni ⊆ N tal que Oi =

⋃n∈Ni Un.

Como⋃i∈IOi = X, tenemos

⋃n∈N Un = X donde N :=

⋃i∈INi . Para ca-

da n ∈ N , elegimos i(n) ∈ I tal que Un ⊆ Oi(n). Luego X =⋃n∈N Un ⊂⋃

n∈N Oi(n) de manera que {Oi(n)}n∈N es un sub-recubrimiento de {Oi}i∈I .

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Aplicación. Todo sub-espacio de un espacio de base numerable es un es-pacio de Lindelöf.

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Índice alfabéticoabierto, 5adherencia, 9

base, 14bola, 3

cerrado, 8contable

primero, 14segundo, 14

continua, 11

densa, 15distancia, 3

espacioLindelöf, 15

espacio métrico, 3

fina, 13frontera, 10

homeomorfismo, 11

interior, 9

límite, 8

métrica, 3metrizable, 5

recubrimiento abierto, 15

separable, 15sub-base, 14sub-recubrimiento, 15

topología, 5inducida, 6

vecindad, 7

17