geometria 4° 4 b

17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria GEOMETRÍA 4to Año Secundaria

I. PRISMA

1. Prisma recto:SL = P . hST = SL + 2BV = B . h

Donde:SL : Area lateralST : Area TotalV : VolumenP : PerímetroB : Area de las basesh = altura

* Paralelepípedo recto (rectoedro). d2 = a2 + b2 + c2

Sr =2(ab + ac + bc) V = abc

d

ab

c

* Cubo (exaedro regular)

d = a 3ST = 6a2

V = a3

V = 9

3d 3

2. Prisma Oblícuo:SL = [2pS.R.] aST = SL + 2BV = (AS.R.) aV = B x h

S.R. → sección recta

PSR → semiperímetro

EJERCICIOS I

01.Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 5 cm.

02.La diagonal de un cubo mide 6 3 cm. Hallar la arista.

03.La diagonal de la cara de un cubo mide 4

2 cm. Calcular la diagonal del cubo.

04.Hallar el área lateral de un prisma recto pentagonal regular si el lado de la base mide 2 cm y la arista lateral 10 cm.

05.Hallar el área lateral de un prisma recto octogonal regular cuyo lado de la base mide 3 cm y la arista lateral 10 cm.

06.Calcular el área lateral de un prisma recto cuyo perímetro de 50 cm y la altura mide 10 cm.

07.Hallar el área total de un prisma triangular regular sabiendo que el lado de la base mide 2 cm y la altura 8 cm.

08.Calcular la arista de un cubo cuya área total es de 4 cm2.

09.Calcular la arista de un prisma triangular regular si su altura es igual al lado de la base, y el área total es de 1 cm2.

10.Hallar la arista de un cubo equivalente a un ortoedro cuyas dimensiones son 64, 32 y 16 pies.

II. CILINDRO

Definición:Cilindro circular recto, es el sólido engendrado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

1. Cilindro circular(recto o de revolución)SL = 2π RgSr = 2πR(g + R)V = πR2g

Donde:R : Radiog : Generatriz

2. Cilindro Oblicuo:SL = (PS.R.) gSr = SL + 2BV = (AS.R.) gV = B . h

Si S.R. es círculo ⇒ AS.R. = πR2, si S.R. es elipse ⇒ AS.R. = πab

Eclipse:

a

b

EJERCICIOS II 01.Hallar el área lateral de un cilindro circular

recto si el diámetro de la base mide 4 cm. y la generatriz 5 cm.

02.Hallar el área total de un cilindro si el radio mide 10 cm y la generatriz 10 cm.

03.Hallar el área total de un cilindro inscrito en un cubo de 4 cm de arista.

04.¿Cuál es la razón de las áreas totales de los dos cilindros generados por un rectángulo que gira alrededor de cada uno de sus lados desiguales, los cuales miden respectivamente 8cm y 6cm?

05.En un prisma recto de base cuadrada se encuentra inscrito un cilindro. Calcular la razón en que se encuentran los volúmenes.

06.La altura de un cilindro circular recto mide 4 cm y la circunferencia equivalente al perímetro de un cuadrado cuya diagonal es 1 cm. Calcular el volumen del cilindro.

07.El volumen de un cilindro recto es 81π. Calcular el perímetro de su base si su área lateral y total están en relación de 3 a 4

08.Calcular el volumen de un cilindro de revolución si su altura mide 20 y el desarrollo del área lateral del cilindro tiene un área de 200π

09.El área total de un cilindro recto y su volumen son numéricamente iguales si la longitud de su generatriz es igual al diámetro de su base. Calcular la longitud de la base.

10.Calcular el volumen de un cilindro recto de 1m de altura, inscrito en un prisma cuadrangular regular cuya diagonal de la base mide 6 2 m.

III. PIRÁMIDE

1. Pirámide Regular:SL = (PB) apST = SL + B

S4GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

IV

SÓLIDOS

h

B

B

a

aa

d

ha

B

B

S.R.

h g

R

R

h

b

b

ap

B


V = 3

1B x h

PB → Semiperímetro de la base.ap → apotema de la pirámide

2. Pirámide Irregular

SL = Σ (área de caras laterales)ST = SL + B

V = 3

1 B x h

EJERCICIOS III

01.En una pirámide regular cuadrangular el área lateral es el doble del área de la base. Si el lado de la base es “a”. Hallar el volumen de la pirámide.

02.Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular, si su altura es igual a “H” y el área de las caras laterales es igual al de la base.

03.Se tiene una pirámide cuya base es un triángulo de lados 5, 12 y 13 m. además las caras laterales forman 45° con la base calcular el volumen de la pirámide.

04.En una pirámide regular cuadrangular, sus aristas laterales forman ángulos de 60° con la base cual es su área lateral si el volumen de la pirámide es 36 6 m3

05.La apotema de una pirámide hexagonal regular de 12 m de altura es 160% mayor que la apotema de la base. Hallar el volumen de la pirámide.

06.Las caras laterales de una pirámide regular tienen una inclinación de 45° con respecto al plano de la base, la cual es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1m. Hallar el área total.

08.Hallar el área total de una pirámide regular cuadrangular si la longitud de su altura es igual a 3 m y el área de una cara lateral es igual al área de la base.

09.El área lateral de una pirámide triangular regular es 144 m2 y el radio del circulo inscrito en la base mide 2 3 m; hallar la altura de la pirámide.

10.En una pirámide regular triangular se traza un plano paralelo a la base la relación de áreas totales entre la pirámide pequeña y la pirámide grande es de 1 a 2, luego la relación de sus volúmenes es de:

a) 1/8 b)1/2 2 c) 1/2 y 3d)4/15 e) 27/36

IV. CONO

1. Cono circular recto o de revolución:

Sr = π Rg.ST = πR (g + R)

V = hR31 2π

α = g

Rº360

g2 = h2 + R2

2. Cono Oblicuo:

ST = SL + B

V = 3

1B x h

EJERCICIOS IV

01.Hallar el área lateral de un cono cuya generatriz mide 3 cm y el radio de la base 2 cm.

02.Hallar el área lateral de un cono si se sabe que el radio de la base mide 12 cm y la altura 16 cm.

03.Hallar el área total de un cono si la generatriz mide 18 cm y el radio de la base 10 cm.

04.Hallar el área total de un cono si el radio de la base mide 9 cm y la altura 12 cm.

05.Un cono tiene 6 cm de altura y su base 5 cm de diámetro. Calcular su área total.

06.El área total de un cono de revolución, generado por un triángulo isósceles que gira alrededor de uno de sus catetos, es igual a 3,50 cm2. Calcular el volumen.

a) 0,743 cc b) 0,534 cc c) 0,328 ccd) 0,213 cc e) N.A.

07.Un montón de arena de forma cónica mide 12.57 metros de circunferencia en la base y 2.50 m de lado o generatriz. Calcular su volumen.

08.Calcular en función del lado “l” de un triángulo equilátero el volumen del cono generado por ese triángulo, si gira alrededor de su altura.

09.Un recipiente de forma cónica ha sido construido con un sector circular de hoja de lata de 90° y de 30 cm de radio. ¿Cuál es su capacidad en litros?

10.El volumen de un cono es de 27m3 y la altura es trisecada por dos paralelas a la base. Hallar el volumen de la porción central.


h

B

h

g

R

R

g

α

g

BO

h

B


1. Sólidos equivalentes

V1 = V2

V1 < > V2

2. Teorema de Arquímedes

1C

2V

3V conoesferacilindro ==

3. Tetraedros que tienen un ángulo triedro congruente

tetraedros {SABC ; SDEF

−−

DEFS*

ABCS*scongruentetriedrosAngulos

SF.SE.SDSC.SB.SA

V

V

SDEF

SABC =

A C

S

B

D F

E4. Sólidos semejantes

h1h1

B1

B2b2

B 2

b1

B1

h2

Relación de volúmenes:

332

31

32

31

32

31

2

1 k.............r

r

b

b

h

h

V

V=====

Relación de superficies:

222

21

22

21

2T

1T

2L

1L

2

1 k.........h

h

b

b

S

S

S

S

B

B=====

OTRAS PROPIEDADES

1. Poliedro circunscrito a una esfera o sólido con esfera inscrita

R : radio de la esfera inscrita

R.S31

V Tsolido =

R

2. Tetraedrosr : radio de la esfera inscritah1 , h2 , h3 , h4 → alturas

4321 h1

h1

h1

h1

r1 +++=

3. Tetraedro con ángulo triedro trirectángulo

21

21

21

21

c:b.a.h

(SAOB)2 SABC x SAHB

(SBOC)2 SABC x SBHC

(SAOC)2 SABC x SAHC

(SAOB)2 (SBOC)2 . (SAOC)2 . (SABC)2

hb

c C

BA

a

H

O

4. Area de la sección determinada por un plano equidistante de las bases del tronco de pirámide o tronco de cono

Bm =

2

21

2

BB

+

B1

Bm

B2

h2

h2

2

rrr 21m

+=

B

B1

Bm

B2

r2

r1

rm

h2

h2

PRÁCTICA DE CLASE

01.Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

a) 2 b) 3 c) 33

d) 32 e) N.a

02.La diagonal de un cubo mide 32 cm. Hallar la arista.

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cmd) 4 cm e) N.a.

03.La diagonal de la cara de un cubo mide

28 cm. calcular la diagonal del cubo.

a) 34 b) 36 c) 38


RELACIÓN DE

r


d) 310 e) N.a.

04.Hallar el área lateral de un prisma recto pentagonal regular si el lado de la base mide 5 cm y la arista lateral 20 cm.

a) 350 cm2 b) 400 cm2 c) 450 cm2

d) 500 cm2 e) N.a.

05.Hallar el área lateral de un prisma recto octogonal regular cuyo lado de la base mide 6 cm y la arista lateral 15 cm.

a) 650 cm2 b) 720 cm2 c) 800 cm2

d) 870 cm2 e) N.a.

06.Hallar el área total de un prisma recto cuyas bases son hexágonos regulares de 6 cm de lado y 5,2 cm de apotema, si la altura mide 8 cm

a) 475.2 cm2 b) 288 cm2 c) 345.5 cm2

d) 512.2 cm2 e) N.a.

07.Calcular el área lateral de un prisma recto cuyo perímetro de 25 cm y la altura mide 15 cm

a) 225 cm2 b) 275 cm2 c) 375 cm2

d) 415 cm2 e) N.a.

08.Los lados de la base de un poliedro hexagonal regular miden 40 cm y la altura 5m. Expresar en metros cuadrados el área de su superficie lateral.

a) 8 cm2 b) 10 cm2 c) 12 cm2

d) 14 cm2 e) N.a.

09.Halla el área total de un prisma triangular regular sabiendo que le lado de la base mide 4 cm y la altura 10 cm.

a)126,28cm2 b)120cm2 c)133,86cm2

d)113,8 cm2 e)N.a.

10.Calcular la arista de un cubo cuya área total es de 1 cm2.

a) 2,01 cm b) 3,02 cm c) 4,08 cm

d) 5,10 cm e) N.a.

11.Hallar el área lateral de un cono cuya generatriz mide 6 cm y el radio de la base 4 cm.

a) 57,36 cm2 b) 37,65 cm2 c) 63,75 cm2

d) 75,36 cm2 e) N.a.12.Hallar el área lateral de un cono si se sabe

que el radio de la base mide 6 cm y la altura 8 cm.

a) 188.4 cm2 b) 148.8 cm2 c) 168.4 cm2

d) 124.8 cm2 e) N.a.

13.Hallar el área total de un cono si la generatriz mide 9 cm y el radio de la base 5 cm.

a) 219.8 cm2 b) 298. 1 cm2 c) 281.9 cm2

d) 198.2 cm2 e) N.a.

14.Hallar el área total de un cono si el radio de la base mide 3 cm y la altura 4cm.

a) 53,67 cm2 b) 63,57 cm2 c) 75,36 cm2

d) 35,67 cm2 e) N.a.

15.Hallar la altura de un cono sabiendo que el

área lateral mide π516 cm2 y ele radio de la base mide 4 cm.

a) 4 cm b) 7 cm c) 10 cmd) 8 cm e) N.a.

16.El área total de un cono es 13 π cm2. El radio de la base y la altura están en la relación de 1 a 2. Hallar el radio y la altura.

a) 1cm; 2 cm b) 2cm; 4cm c) 3cm; 6cmd) 4cm; 8cm e) N.a.

17.Un cono tiene 12 cm de altura y su base 10 cm de diámetro. Calcular su área total

a)248,72 cm2 b)282,74 cm2 c)228,47cm2

d)258,82 cm2 e) N.a.

18.Calcular el área de la base de un cono de 1cm3 de volumen en el que la altura es igual al diámetro de la base.

a) 1,91 cm2 b) 2,55 cm2 c) 283 cm2

d) 1,52 cm2 e) N.a.19.Hallar el área lateral de un cilindro circular

recto si el diámetro de la base mide 8 cm y la generatriz 10 cm.

a) 251.2 cm2 b) 285.4 cm2 c) 312.2 cm2

d) 220.5 cm2 e) N.a.

20.Hallar el área total de un cilindro si el radio mide 20 cm y la generatriz 30 cm

a) 4280 cm2 b) 5280 cm2 c) 6280 cm2

d) 7280 cm2 e) N.a.

21.El área total de un cilindro 471 cm2 y su generatriz y el radio.

a) 6cm; 3cm b) 8cm; 4cm c) 10cm; 5cmd) 12cm; 6cm e) N.a.

22.Hallar la medida del radio de la base si se que el área lateral es 1507.2 cm2 y la generatriz mide 40 cm.

a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cmd) 8 cm e) N.a

23.Hallar el área total de un cilindro inscrito en un cubo de 2 cm de arista.

a) 15.88 cm2 b) 18.85 cm2 c) 22.85 cm2

d) 12.65 cm2 e) N.a.

24.Hallar el área total de un cilindro, sabiendo que su generatriz es igual al lado del hexágono regular inscrito en su base.

a) 2 π r2 b) 3π r2 c) 4π r2

d) 5 π r2 e) N.a.

25.Un pozo cilindro de 13.80 m de profundidad solo tiene agua en los 2/3 de ella. ¿Cuántos

metros cúbicos de agua contiene, si el diámetro del pozo es de 1,60 m?

a) 15.6 m3 b) 16.5 m3 c) 18.5 m3

d) 21.25 m3 e) N.a.26. El radio interior de una torre cilíndrica de 35

m de lato es de 1,50 m y el espesor de su pared es de medio metro. ¿Cuál es el volumen de la pared en metro cúbicos?

a) 192.42 b) 163.42 c) 150.15

d) 180.15 e) N.a.

27.Calcular el radio de la base de un recipiente cilíndrico circular de 6 cm de altura y 60 litros de capacidad.

a) 2.50 cm b) 2.35 cm c) 2.05 cm

d) 1.78 cm e) N.a.

28. Calcular el radio de un cilindro de revolución en función del área lateral L y del volumen V.

a)L

Vπ2b)

L

L2c)

L

V2

d) L

Vπe) N.a.

29. La altura de un cilindro circular recto mide 4 cm y la circunferencia equivalente al perímetro de un cuadrado cuya diagonal es 1 cm. Calcular el volumen del cilindro.

a) 19.10 cc b) 11.90 cc c) 10.19 cc

d) 8.19 cc e) N.a.

30. En un prisma recto de base cuadrada se encuentra inscrito un cilindro. Calcular la razón en que se encuentran los volúmenes.

a) 4/ π b) π /2 c) ½

d) ¼ e) N.a.



EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01.En un prisma regular hexagonal, el lado de la base mide 4 cm y la altura mide igual que la diagonal mayor de la base. Hallar el volumen del prisma.

a) 3190 b) 3192 c) 2195

d) 3200 e) N.a.

02.En un prisma regular de base triangular, la superficie lateral equivale a la superficie de un cuadrado de lado 12 cm. el volumen del prisma en cm3, es:

a) 348 b) 324 c) 215

d) 330 e) 218

03.El volumen de un rectoedro es 288 cm3 y sus dimensiones son entre sí como 2; 3 y 6. ¿Cuál es el área total del prisma? (en cm2).

a) 280 b) 184 c) 285d) 288 c) 300

04.En un rectoedro, las diagonales de tres caras

miden 5; 34 y 41 cm. Hallar el volumen, en cm3

a) 20 b) 60 c)40d) 100 e) 120

05.En un prisma regular hexagonal, una diagonal mayor mide 12 cm y forma ángulo de 45º con la base. Hallar el volumen del sólido.

a) 6162 b) 3160 c) 2150

d) 5120 e) N.a.

06.En un prisma oblicuo, las aristas laterales miden 12 cm y forman ángulos de 30º con la base. Si la base es un triángulo de lados con longitudes 13; 14 y 15 cm, hallar el volumen.a) 500 b) 502 c) 504d) 506 e) 508

07. Las aristas laterales de un prisma oblicuo están inclinadas 37º respecto a la base. El

volumen del prisma es 3318 cm y la

base, un triángulo equilátero de lado 6 cm. las aristas laterales miden:

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

08. Sabiendo que en una pirámide regular cuadrangular, las caras laterales forman diedros de 53º con la base, hallar el volumen si el área lateral es 60 cm2.

a) 28 b) 40 c) 48d) 58 e) 30

09. En una pirámide regular, la base hexagonal tiene por área la mitad del área lateral. Si el

área total es 2354 cm , hallar el volumen.

a) 50 b) 51 c) 52d) 43 e) 54

10. Hallar el volumen de una pirámide regular triangular, en la cual cada lateral mide 15 cm y forma ángulo de 37º con el plano de la base.

a) 3324 b) 3300 c) 3318

d) 3320 e) 3150

11. Los de un rectángulo miden 3 cm y 4 cm, respectivamente. Calcular la suma de volúmenes de los cilindros que se obtienen al girar dicha región rectangular alrededor de los lados no congruentes, en cm3.

a) 84 π b) 80 π c) 72 πd) 60 π e) 50 π

12.Calcular el área total de un cilindro de revolución, si la generatriz y el diámetro de la base tiene longitudes de 2 cm cada uno.

a) 5π cm2 b) 6π cm2 c) 7π cm2

d) 12π cm2 e) 3π cm2

13.Calcular el volumen de un cilindro circular recto, si el área lateral es 20π cm2 y el área total, 28π cm2.

a) 10π cm3 b) 15π cm3 c) 20π cm3

d) 28π cm3 e) 30π cm3

14.¿Qué longitud aproximada debe tener el radio del círculo de la base del cilindro a construir con la cartulina mostrada?

caja parapegar 22cm

20cm

a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cmd) 3,5 cm e) 6 cm

15.La figura muestra un cilindro circular recto;

AB y CD son diámetros. AC se llama

diagonal axila, así como BD . Calcular el volumen del sólido, si AC=20 u y α = 37º.

A B

CDα

a) 760π cm3 b) 768π cm3 c) 800π cm2

d) 500π cm3 e) N.a.

16.La diagonal axial de un cilindro de revolución forma un ángulo de 45º con el plano de la base. Calcular el volumen de este sólido si el

área total es 254 µπ .

a) 50π µ3 b) 52π µ3 c) 54π µ3

d) 56π µ3 e) N.a.

17.La figura muestra un prisma regular inscripto en un cilindro circular recto. El volumen del prisma es 12 µ3. Calcular el volumen del cilindro.

a) 3π µ3 b) 6π µ3 c) 12π µ3

d) 15π µ3 e) N.a.

18.Un cilindro recto está inscrito en un prisma regular de base cuadrangular. El área lateral del prisma es 36 µ2. Calcular el área del cilindro.

a) 9π µ2 b) 10π µ2 c) 12π µ2

d) 15π µ2 e) 18π µ2

19.¿En que relación están los volúmenes de los cilindros inscritos y circunscrito a un prisma regular cuadrangular?

a) 1 : 3 b) 1 : 2 c) 1 : 4d) 1 : 6 e) 1 : 8

20.¿En que relación están los volúmenes de los cilindros inscrito y circunscrito a un prisma regular triangular?

a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 1 : 4d) 1 : 5 e) 1 : 10

TAREA DOMICILIARIA

01.Hallar el volumen de un paralelepípedo cuya diagonal de la base mide 2 y uno de los lados es el triple de otro. Además el paralelepípedo tiene una altura igual a 10.

a) 18 b) 36 c) 12d) 10 e) 15

02.La altura de un cilindro de revolución es de 6 cm y el área el rectángulo determinado en él por un plano que pasa por su eje es de 21.6 cm2. Calcular su área lateral.



a) 67.8 cm2 b) 86.7 cm2 c) 76.8 cm2

d) 87.6 cm2 e) N.a.

03.Calcular la arista de un prisma triangular regular si su altura es igual al lado de la base, y el área total es de 1 cm2.

a) 3,85 cm b) 5,09 cm c) 6,25 cmd) 4,15 cm e) N.a.

04.Hallar la arista de un cubo equivalente a un octaedro cuyas dimensiones son 64, 32 y 16 pies.

a) 4 pies b) 8 pies c) 12 piesd) 24 pies e) 32 pies

05.Calcular el área total de un cubo si: la diagonal mide 8.

a) 64 b) 128 c) 32d) 96 e) 72

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Punto Medio

A

M

Bde AB

(x ; y )

(x; y)

(x ; y )21

21

2yy

y,2

xxx 2121 +

=+

=

Ejemplo:Halle las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo.

M

Q

L

N

R

P

(4; 12)

(6; 8)

(2; 4)

++

=2

2124

;2

42

M ( )83;M =

++

=2

2812

;2

64

N ( )105;N =

++

=2

284

;2

62

L ( )64;L =

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSA y B puntos de paso.

A

d

L

B (x ; y )21

221

221 )yy()xx(d −+−=

Ejemplo:Halle la distancia entre los puntos A(3; –5); B(– 1; – 2).

-1-2

B

3 x

A-5

y

222 2513 )([)([d AB −−−+−−=

525916 ==+=d

5=d

Ejemplo: Halle las distancias en cada caso:

I. );(A 38 ; );(B 610 =ABd ........................

II. );(M 15 − ; );(N 16 =MNd.........................III. );(P 23− , );(Q 24 −−

=ABd ......................

OBSERVACIONES:

(x ; y )

B

C

A1 2

(x ; y )1 2

(x ; y )1 2

G(x; y)

3

xxxx

321++

= ; 3

yyyy

321+

= +

Ejemplo:Halle las coordenadas del baricentro en:

B (5, 8)

C (6, 4)

A(4, 6)

G (x, y)

53

654 =++=x

63

486 =++=y

);(G)y;x(G 65=∴

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

0CByAx:L =++

y

Ax + By + C = 0Intercepto

x0

L

Pendiente de una recta conociendo su ángulo de inclinación.


GEOMETRÍA


y

αx

L

∞= tgmPendiente de una recta conociendo dos puntos de paso

(a, b)

(c, d)

L

acbd

m−−=

PRÁCTICA DE CLASE

01.Calcular la distancia entre los puntos: M(4, 2) y P(4, 2).

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 2

02.Determinar las coordenadas del punto medio del segmento que tiene como puntos extremos:A (4, 2) y B (4, -2).

a) (4, 0) b) (8, 4) c) (8, 2)d) (4, 2) e) N.a.

03.Si: A(2, 1), B(-4, 4), C(-2, -5). Calcular:

E =

1317

585 ACBCAB ++

a) 16 b) 4 c) 3

d) 2 e) 9

04.Hallar el perímetro (2p) del triángulo tiene como vértices los puntos :

A(1, -2), B(4, -2) y C(4, 2).

a) 12 b) 8 c) 13d) 14 e) 20

05.Dos vértices de un triángulo equilátero ABC, son los puntos A(-1, -5) y B(-5,1). Hallar su área.

a) 10 3 b) 6 3 c) 13 3

d) 8 3 e) 11 3

06.De acuerdo a sus lados que clase de triángulo es el que tiene por vértices los puntos: (a –2, -1), B (2, 2) y (C(5, -2)

a) Escaleno b) Equilátero c) No existed) Isósceles e) N.a.

07.Hallar el área de la región sombreada.

0

B(5,2)

A(3,5)

y

x

a) 9,5 b) 10,5 c) 7,5d) 12,5 e) 5

08.Hallar el área de la región sombreada:

0 (4,0)

(5,4)

y

x

(0,2)

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

09.Hallar el perímetro del paralelogramo que tiene como vértices: (3,1), (2,2), (0,1) y (1,0):

a) 2( 7 + 3 ) b) 3( 5 + 2 )

c) 2( 5 + 3 ) d) 2( 5 + 2 )

e) 2( 5 + 3 )

10.Los vértices de un triángulo son:A(3, 8), B(2, -1) y C6, 1) si M(x, y) es el punto medio de BC calcular la mediana

AD .

a) 21 b) 12 c) 8,1

d) 71 e) 82

11.Hallar el área del polígono cuyas coordenadas de los vértices son Y(1,5), A(-2, 4), N(-3, -1), E(2, -3), T(5, 1).

a) 80 u2 b) 60 u2 c) 40 u2

d) 30 u2 e) 45 u2

12.Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 cm es el punto (P3, -2). Si la abcisa de un extremo es 6. Hallar su ordenada.

a) 6 y –4 b) ±2 c) ±4

d) –6 y 2 e) ±6

13.En la figura, las coordenadas de los puntos M y N son (6,0) y (0,6) respectivamente. ¿Cuál es el área del círculo?

N

Mx

y

a) 9 π b) 36 π c) 16 π

d) 6 π e) 12 π

14.Hallar el volumen del cubo si los puntos A y B tiene como coordenadas (4, 2) y (1, -2) respectivamente.

A

B

a) 27 b) 81 c) 39

d) 36 e) 33

15.Sean: (A (-6, 4), B(3, -5) y C(6, 10), los vértices de un triángulo. Determinar un "P" que unido a dichos vértices forman 3 triángulos equivalentes.

a) (1, 2) b) (2, 5) c) (3, 4)d) (1, 3) e) (2, 4)

16.De la figura, calcule las coordenadas de L si

RO = ;26 1 = (1, 9)



I

0 x

R

45°L

y

a) (4; 4) b) (5; 2) c) (11; 3)d) (2; 5) e) (3; 11)

17.Halle al ecuación de la recta mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0

a) 5x – 3y + 8 = 0b) 3x + 5y – 8 = 0c) 5x + 3y – 8 = 0d) 5x – 3y – 8 = 0e) 3x – 5y + 8 = 0

18.En la figura calcule el valor de a:

L

(a; 4)

x

(a + 8;0)

Ly 12

a) 2b) 3 c) 4d) 5 e) 6

19.Encuentre el valor de "a + b", si: L1 y L2 son paralelas y L2 pasa por el punto A(2; 1).L1 : ax + y – 3 = 0L2 : bx + 5y – 7 = 0

a) 43

b) 65

c) 56

d) 37

e) 51

20.Determine la ecuación de la recta ,L1 la

cual es perpendicular a la recta 2L : y

= 4x + 3. Además 1L forma un región

triangular con los ejes coordenados del primer cuadrante cuya área es de 64µ2,

a) x + 4y + 16 2 = 0

b) x – 4y + 16 2 = 0

c) x – 4y – 16 2 = 0

d) x + 4y – 16 2 = 0

e) 2x + 3y – 16 2 = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

01.La recta de ecuación: 5x – y + 12 = 0 pasa por los puntos (a; -3) y (-2; b). Calcular a + b.

a) 2b) –2 c) –1d) 1 e) 3

02.La recta de ecuación: 3x + 4y + 36 = 0 pasa por el punto (r; r + 2). Calcular el valor de r.

a) 744− b)

74− c)

744−

d) 13 e) N.a.

03.Calcular el área de la región triangular que la recta de ecuación: 4x – 3y + 24 = 0 forma con los ejes coordenados.

a) 20 µ2 b) 22µ2 c) 23µ2

d) 24µ2 e) 18µ2

04.La recta de ecuación: nx + ny – 30 = 0 corta al eje de ordenadas en el punto 2. Calcular el valor de n.

a) 12 b) 15 c) 13d) 18 e) 20

05.La recta de pendiente – 2 interseca al eje ordenadas en el punto r al eje de abscisas en el punto (r + 1). Calcular el valor de r.

a) 1b) 2 c) –2d) 3 e) –3

06.El punto (6; a) pertenece a la recta del problema anterior. Calcular el valor de a.

a) –14 b) –18 c) –20d) 20 e) 16

07.Una recta de pendiente negativa forma un ángulo de 45° con el eje de abscisas y pasa por el punto (-4; 2). Determinar la pendiente de esta recta.

a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 2

08.Para la recta del problema anterior, ¿en qué punto corta al eje de abscisas?

a) –1 b) –2 c) 4d) 2 e) 1

09.Calcular el área de la región triangular que las rectas y – 2x = 0; y = 2, forman con el eje de abscisas.

a) 16µ2 b) 32µ2 c) 8µ2

d) 12µ2 e) 20µ2

10.Determinar el área de la región que encierran las rectas:x = -1; x = 4; y = 3; y = -2

a) 20µ2 b) 28µ2 c) 25µ2

d) 23µ2 e) 15µ2

11.Calcular el área de la región que encierran las rectas: y = x/2 + 2; x = 4, con los ejes coordenados.

a) 10µ2 b) 11µ2 c) 12µ2

d) 13µ2 e) 15µ2

12.Calcular el área de la región que encierran los ejes coordenados con las rectas:x = 2; y = x – 1; y = –2.

a) 3µ2 b) 3,5µ2 c) 4µ2

d) 4,5µ2 e) 5µ2

13.La recta de ecuación x = 0, es:

a) el eje x b) el eje y c) no existed) F.D. e) N.a.

14.La recta de ecuación y = 0, es:

a) el eje x b) el ele y c) no existed) F.D. e) N.a.

15.ABCD es un paralelogramo:A (-2; 4), B (3; 6) y C(0; 7). Calcular las coordenadas del vértice D.

a) (5; 6) b) (5; 10) c) (-5; 5)d) (-5; 10) e) (-10; -5)

TAREA DOMICILIARIA

01.En el sistema de coordenadas cartesianas, localizar los siguientes puntos:

A) (2, 3) B) (-3, -5) C) (4, 6)D) (4, -3) E) (0, 7) F) (-7, 4)G) (-6, 0) H) (0,-4)

02.Hallar la distancia entre los puntos A(4, 6) y B(-3, 1)

03.Si P1(3, -2) y P2(5,3) son los puntos extremos del segmento P1 P2. Hallar las coordenadas de su punto medio.

04.Hallar los puntos de trisección del segmento AB cuyas coordenadas son A(4, 2) y B(-5, -1).

05.Hallar la distancia entre los siguientes puntos y determinar las coordenadas de su punto medio.

A (6, 1) y B ( -2, 3)C(-4, 1) y D (7, -3)E (9, 5) y F (1, -5)G (-4, 8) y H(6, -3)

),6(K6,31

2J −



06.Hallar la pendiente de la recta que contiene a los puntos A(7, 5) yB(-2, -4)

07.La distancia del punto P(x; -6) al punto Q(3, 4) es 10. Hallar el valor de x.

08.Hallar el área de la región triangular ABC A(-2; 1), B (4; 7) y C(6; -3)

09. Hallar el área de la región pentagonal, de vértices A(1; 5), B(-2; 5), C(-3; -1), D(2; -3) y E(5; 1)

10.Los puntos (-6; -4), (3; 5) y (10; -2), son los vértices de un triángulo. Hallar su área. SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02

01. B C

02. A A

03. D D

04. B B

05. A C

06. C A

07. B B

08. C B

09. E A

10. A C

11. A C

12. B B

13. C B

14. D A

15. D C

16. C

17. B

18. A

19. B

20. C

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

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geometria 4° 4 b

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