B.C De Archimedes (287 - 212.) fue llevado en Syracuse de Sicilia como hijo del astrónomo Pheidias. Él aprendió de los disciples del matemático Euclid cuando él era joven. Archimedes se considera uno de los tres matemáticos más grandes junto con de toda la hora (neutonio y gauss). Según "los trabajos de Archimedes" por T. L. Heath, Cambridge 1897, trabajos de Archimedes incluyó "en la esfera y cilindro", "en la medida de un círculo", "en Conoids y los esferoides", "en espirales", "en el Equilibriums de los planos", "del Arena-sand-reckoner", de la "cuadratura de la parábola", "en cuerpos flotantes", "libro de lemas" y "el método". En el libro "libro de lemas", atribuido por el ibn-Qurra de Thabit a Archimedes, había 15 asuntos en círculos, con el primer asunto referido en los quinto y sextos asuntos subsecuentes. Las declaraciones en el "libro de lemas" no se parecen concurrir a un tema central. El lema es un asunto subsidiario que se asume para ser verdad para probar otro asunto. No hay distinción técnica entre un lema, un asunto, y un teorema. Ejercite su cerebro. Archimedes escribió el "libro de lemas" hace más de 2200 años. Solucione estos 15 problemas del nivel de la High School secundaria y levante para arriba sus habilidades de la geometría

Si el tacto de dos círculos en A (internamente o externamente), y si A.CC. y el DE es diámetros paralelos, después AS es una línea recta.

Deje el AB ser el diámetro de un semicírculo, y ahora deje las tangentes a él en B y en cualquier otro punto D en él reunión en C. If DE ser perpendicular dibujado al AB, y si la CA, reunión del DE en F, entonces DF = FE.

Deje C ser cualquier punto en un semicírculo del diámetro AB, y deje el CD ser perpendicular a la toma E del AB. en el AB de modo que ANUNCIO = DE. Tome F en los CBES del arco de modo que los CF del arco = la CA del arco prueben que SEA BF =.

Deje C ser cualquier punto en un semicírculo del diámetro AB, y deje el CD ser perpendicular al AB. Si los semicírculos se describan dentro del primer semicírculo y ANUNCIO y DB el tener como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "qué Archimedes llamó arbelos". Entonces el área de los arbelos es igual que el área del círculo con CD del diámetro. "Arbelos" significa el cuchillo del zapatero en griego

Si dos círculos E y precio inscrito en la tangente de los arbelos al CD del segmento de línea, una en cada lado según lo demostrado en la figura, entonces los dos círculos son congruentes.

Deje AB, el diámetro de un semicírculo, se divida en C de modo que AC/CB= r . Si el DE es el diámetro del círculo inscrito en los arbelos , entonces DE/AB = r/ r²+r+1

El área del círculo circunscrito sobre un cuadrado es doble del área del círculo inscrito en el cuadrado.

Si el CD sea cualquier acorde de un círculo que centro sea O, y si el CD se produzca a A de modo que el ANUNCIO sea igual al radio; si el AO adicional resuelve el círculo en B, después el ángulo BOC será igual a tres veces el ángulo BAC. Ésta es la construcción del neusis del Archimedes al problema del trisection del ángulo. uso de los medios de "Neusis " de una regla marcada en griego

Si dos acordes de un círculo se intersecan perpendicularmente, después la suma de los arcos interceptados opuestos es iguales. Es decir, si los acordes AB y CD son perpendiculares en P, después forman arcos la CA + el arco BD = ANUNCIO del arco + arco A.CC..

El AB y la CA son dos tangentes a un círculo y el ANUNCIO lo corta. Deje el CE ser el acorde con C paralela al ANUNCIO, y deje PARA SER ANUNCIO de la reunión en F. Then, si FG sea perpendicular dibujado al CE, él lo bisecará en G.

Si dos acordes AB, "copia MÁS OSCURA"en un círculo del radio R se intersecan perpendicularmente en un punto P, no siendo el centro, entonces AP 2 + el punto de ebullición 2 + CP 2 + DP 2 = 4.R 2

Si el AB sea el diámetro de un semicírculo, y CD, CE las tangentes a él de cualquier punto C, y si AE, BD sea reunión unida en F, después el CF es perpendicular al AB.

Si un diámetro AB de una reunión del círculo cualquier CD del acorde, no un diámetro, en E, y si el AF, BG sea perpendicular dibujado al CD, entonces CG = DF.

Deje AEB ser un semicírculo en AB como el diámetro, y dejó la CA, BD sea longitudes iguales medidas a lo largo del AB de A, B respectivamente. En la CA, BD como diámetros describen semicírculos en el lado hacia E, y en el CD como diámetro un semicírculo en el lado opuesto. La figura incluida entre las circunferencias de los cuatro semicírculos es "qué Archimedes llamó el salinon". Deje el perpendicular al AB a través de O, el centro del primer semicírculo, resuelva los semicírculos opuestos en E, F respectivamente. Entonces el área del salinon será igual al área del círculo en EF como diámetro. "Salinon" significa la sal - sótano en griego.

Deje el AB ser el diámetro de un círculo, A.CC. de un lado de un pentágono regular inscrito, de D el punto mediano del arco A.CC. AB y de la reunión "copia MÁS OSCURA"en E; El ANUNCIO y A.CC. la reunión en F. If FG es perpendicular al AB, después EG es iguales al radio del círculo

 

 

 

 

 

 

El Quipu es un sistema de las cuerdas anudadas usadas para por el Incas y sus sociedades del precursor en la región andina para almacenar las cantidades de información masivas importantes su cultura y civilización. Los colores de las cuerdas, la manera las cuerdas están conectados juntos, la colocación relativa de las cuerdas, los espacios entre las cuerdas, los tipos de nudos en las cuerdas individuales, y la colocación relativa de los nudos es toda la parte de la grabación lógico-numérica. La combinación de los tipos de la fibra, de los colores del tinte, y de anudar intrincado podía ser una forma de la novela de lengua escrita, según el antropólogo Gary Urton de Harvard. Él demanda que el quipus contiene un código binario del siete-pedacito capaz de transportar más de 1.500 unidades separadas de información. Quipucamayocs, los contables del imperio de Inca (llamado Tahuantinsuyu en el viejo deletreo Quechua) creó y descifró los nudos del quipu. Quipucamayocs era capaz de realizar cálculos matemáticos simples tales como adición, restar, multiplicar, y dividir de la información para la gente indígena.

Knots: Nudos

Los arqueólogos en Perú han encontrado un "quipu" en el sitio de la ciudad más vieja de las Américas, indicando el dispositivo, un arreglo sofisticado de nudos y las secuencias usadas para transportar la información detallada, en millares del uso de años anterior fueron creídas que previamente. Previamente el quipus sabido más viejo, asociado a menudo al Incas que imperio suramericano extenso fue conquistado por el español en el decimosexto siglo, anticuado del ANUNCIO cerca de 650. Pero Ruth sombrío, investigaciones principales de un arqueólogo en la ciudad costera peruana de Caral, quipus dicho estaba entre un trove del tesoro de los artículos descubiertos en el sitio, que son cerca de 5.000 años de viejo. "éste es el quipu más viejo y nos demuestra que que esta sociedad... también tenía un sistema" de escribir "(cuál) continuaría abajo de las edades hasta el imperio de Inca y duraría alguno 4.500 años," dicho sombrío. Ella hablaba antes de que la abertura en Lima hoy de una exposición de los artefactos que vertieron la luz en Caral, que ella llamó una de las más viejas civilizaciones del mundo. El quipu con su algodón bien-preservado, marrón encadena la herida alrededor de los palillos finos, fue encontrado con una serie de ofrendas incluyendo las bolas misteriosas de la fibra de diversos tamaños envueltas en "redes" y cestas de lámina prístinas. "somos seguros que corresponde al período de Caral porque fue encontrado en un edificio público," dicho sombrío. "era un ofrecimiento puesto en una escalera cuando decidían a enterrar esto y a colocar un piso para construir otra estructura en tapa." los edificios públicos Pirámide-formados eran construidos en Caral, un norte costero previsto de la ciudad el 180km de Lima, a la vez que iba la pirámide de Saqqara, el más viejo de Egipto, para arriba. Eran mejorados ya cuando la gran pirámide de Egipto de Keops (o de Khufu) estaba bajo construcción, dicho sombrío. el "hombre comenzó solamente a vivir de una manera organizada hace 5.000 años en cinco puntos del globo - Mesopotámica (áspero abarcando Irak y la parte modernos de Siria), Egipto, la India, China y Perú," dicho sombrío, agregando Caral eran 3.200 años más viejos que ciudades de otra civilización americana antigua, el Maya

Es un sistema de las figuras zoomorfas, y geométricas (líneas, triángulos, trapezoides, círculos, espirales, pájaros,

una araña, un mono, flores) que aparecen grabadas en la superficie del desierto de Nazca, una alta meseta árida que estire 37 millas entre las ciudades de Nazca y de Palpa en un área plana grande de Perú meridional). Las líneas de Nazca son uno de los misterios de la humanidad. Son el grupo más excepcional de los geoglyphs (dibujos en la

tierra) en el mundo. Las líneas y las figuras aparecen en un área sobre de 300 millas cuadradas. ¿Cómo la gente

antigua del desierto de Nazca (entre el ANUNCIO 900 A.CC. y 600) alcanzó tal precisión geométrica, y cuál es el

significado de los dibujos de arañas y de pájaros gigantes? Las décadas de la exploración y del estudio del matemático Alemán-llevado Maria Reiche la condujeron a considerar las líneas de Nazca como observatorio astronómico sofisticado, creado para marcar risings y los ajustes del sol, de la luna y

de las estrellas.

El colibrí (165 pies), viernes, de marcha la 25 de 2005, 9. "la cuenta de este pájaro termina en un grupo de las líneas, el

último de las cuales señaló al sol de levantamiento el diciembre el 21ro." Maria Reiche, misterio en el desierto.

La Araña, Viernes,25 de Marzo del 2005 9 de la mañana. La araña de Nazca es particularmente fascinadora. Empareja una araña

verdadera insertada en una red de líneas rectas. Mide alguno 150 pies en la longitud formada por una línea continua. El montón en

la izquierda es parte de la frontera de un trapezoide enorme. Cuál es notable sobre este dibujo es que es un miembro de un género de la araña conocido como Ricinulei que se encuentre solamente el vivir más allá del alcance de la luz del sol en el

Amazon el ma's rainforest. Vea también: Rompecabezas De la Araña De Nazca.

El Loro, Viernes 25 de Marzo del 2005 9 de la mañana "la cabeza del pájaro más grande se hace de segmentos de los círculos, que radios

varían entre 32 y 66 pies. La figura es mucho estilizada, demostrando en perfil, mientras que dos círculos de diámetro igual podrían

representar dos ojos. Las dos curvas que continúan del extremo del cuello tienen exactamente el mismo radio, siendo ambo concéntricas

a los ojos." Maria Reiche, misterio en el desierto.

El buho-hombre o el astronauta (98 pies de alto), viernes 25 de Marzo del 2005 9 de la mañana "otra clase de figuras se encuentra en cuestas

escarpadas (véase la figura del buho-hombre). De la tierra son prácticamente irreconocibles." En el buho-hombre "el estudio de las líneas rectas al lado de él podía quizás lanzar la luz en su significación. El buho-

hombre aparece también en cerámica peruana. Las figuras en cuestas pueden ser más primitivas debido a la inclinación de la pendiente, o bien

podrían pertenecer a un nivel cultural anterior." Maria Reiche,

El Condor (460 pies de largo. "se representa como en una vuelta en su vuelo." Maria Reiche, misterio en el desierto.

EL MONO Este dibujo consiste en no más de dos elementos. Uno es una línea ancha con un vástago que, casi una milla larga, plomos en el laberinto de

líneas en el borde de la pampa. La otra es una sola línea ininterrumpida, esa comienzo a partir de un lado de la superficie larga y después de describir los contornos del mono, consistiendo solamente en curvas, funcionamientos con dos diversas formas del zigzag y tiempos de las cruces los dieciséis sobre la

superficie geométrica en que tapa finalmente termina." Maria Reiche, misterio en el desierto.

Las figuras gigantes en la Pre-fecha Nazca del desierto de Perú alinean

Un grupo de cerca de 50 dibujos de las figuras gigantes descubiertas recientemente en las colinas del desierto costero meridional de Perú cerca de la ciudad de Palpa se ha dicho al predate que el Nazca famoso alinea cerca. Sr. Johny Isla, director del instituto andino de estudios arqueológicos, dijo que las figuras del "geoglyph" aparecen haber sido creadas por las comunidades de Paracas entre 500 y 400BC, mientras que la cultura de Nazca se convirtió después de 50 A.CC.. Sr. Isla y el su Dr. Markus Reindel del socio del instituto holandés de Archaeology descubrió las figuras de Paracas usando fotografía aérea y exámenes land-based. Las figuras de seres humanos, de pájaros, de monos y de gatos varían de tamaño a partir de la 10m hasta los 50m a través, y también se agrupan juntas en áreas hasta 60 m a 90 m a través. Las figuras de Paracas fueron creadas quitando piedras oscuras para exponer la superficie más ligera debajo. Algunas áreas eran despejaron y otras acumuladas con la roca, creando calculan en la relevación alta y baja. Con el Nazca alinea sin embargo, los geoglyphs fueron hechos solamente despejando áreas de la bajo-relevacio'n. Hasta hace poco tiempo los científicos creyeron que las figuras en las regiones de Palpa y de Nazca eran solamente de la cultura de Nazca. Sr. Isla dice que el fechar y el estilo culturales de las figuras nuevamente encontradas de Paracas las fija separadas. Sr. Isla dijo los tiempos de la época: "la mayoría de estos geoglyphs pertenecen a la cultura de Nazca pero nuestros estudios recientes demostraron que hay por lo menos 50 geoglyphs que pertenecen a la cultura de Paracas. Estas nuevas figuras son definitivamente diferentes y más viejas que las de la cultura de Nazca. "primero, las figuras de Paracas fueron dibujadas en las cuestas de las colinas, mientras que las imágenes de Nazca fueron dibujadas en áreas llanas. En segundo lugar, las figuras de Paracas son más pequeñas y fueron hechas en un estilo naturalistic, mientras que las figuras de Nazca son más grandes y stylised. Tercero, las figuras de Paracas se arreglan sobre todo en grupos, mientras que las figuras de Nazca se arreglan individualmente. Finalmente, es importante observar que no uno de las figuras de Paracas fue repetido en el iconography de Nazca, a "Sr., Isla dicho.

"Machu Picchu es una última ciudad de Inca localizada dramáticamente en la silla de montar entre dos montañas, Machu Picchu (vieja montaña) y Huayna Picchu (montaña joven), pasando por alto el río de Urubamba, que enrolla 3000 pies debajo de ella. Sus edificios, construidos todo de piedra local, utilizan varios tipos de albañilería, de ashlar cursada al escombro áspero vestido, e incorporan los umbrales trapezoidales característicos. Algunas de las paredes tienen lugares rectangulares formados en el lado interno. Los aguilones de la albañilería todavía están parados y algunos edificios tienen aberturas trapezoidales de la ventana. Las cuestas escarpadas del sitio son colgantes con los muros de contención de la albañilería al suelo del asimiento para los jardines, y los varios niveles de la ciudad son ligados por las escaleras de piedra." Sir Banister Fletcher. Una historia de la arquitectura p688. Después de los siglos perdidos en la selva de Cuzco, Machu Picchu fue vuelto a descubrir en 1911 por el arqueólogo americano Hiram Bingham. El rastro de Inca a Machu Picchu se clasifica en mientras que uno del mejor trekking se arrastra del atontamiento del mundo los paisajes de ofrecimiento y las ruinas antiguas con ecología diversa. Vea: Machu Picchu y arte geométrico - el triángulo de Sierpinski y Machu Picchu Perú sugiere el rastro de Inca que cierra 3 meses un GMT de agosto del año del 10 2005 de 22:01:34. Fuente: Reuters LIMA, Perú, de agosto el 10 (Reuters) - el gobierno peruano el miércoles propuso el cerrar abajo de una de sus atracciones turísticas superiores, el rastro de Inca, por tres meses al año para protegerlo contra daño durante la estación de lluvias.

El ministerio del comercio exterior y del turismo dijo en una declaración que sugería que el rastro 500-años esté cerrado cada enero a marcha "para prevenir la erosión del suelo, de la destrucción de la flora y de la

fauna y de la acumulación de los desperdicios." El rastro, una caminata exigente que dura varios días a través de las montañas andinas y que deslumbra el bosque de la nube que conduce a la ciudad de Machu Picchu de Inca, es popular entre los turistas

aventureros alrededor del mundo. Unas 2.500 personas una visita Machu Picchu del día, aunque no hay figuras exactas en cuántos

caminata el rastro. Perú lanza el plan maestro de junio el 3 de Machu Picchu, 2005 el instituto nacional de AAP Perúes de la cultura lanzó un plan maestro de diez años el jueves dirigido conservando las ruinas de

Machu Picchu, donde el turismo pesado y el desarrollo próximo incontrolado han puesto en peligro la ciudad perdida supuesta del Incas. El año pasado, la UNESCO amenazó colocar Machu Picchu,

destinación turística primera de Perú, en su lista de los sitios puestos en peligro del patrimonio cultural. Entre otras medidas, las llamadas

del plan para aumentar el honorario de la entrada para los extranjeros de limitando el número máximo diario de turistas a 2.500 y lanzando medidas de la conservación de proteger las otras ruinas, la fauna y fauna a lo largo del Inca se arrastran. La UNESCO agregó Machu

Picchu, situado encima de un pico escarpado en medio de la selva en los Andes meridionales de Perú unos 500 kilómetros (310 millas) de sureste de Lima, a su lista de la herencia del mundo en 1983. En

1992, 9.000 turistas visitaron las ruinas. En 2002, la figura se levantó a 150.000, según el resumen ejecutivo del documento. "se estima que de algunos años cortos, la demanda podría aumentar a 4.000 o

5.000 turistas diariamente," el documento indicado.

El Intihuatana, o el "poste que engancha para el sol," es un bloque del granito tallado en el pico de la montaña donde miente Machu Picchu,

arriba en los Andes selva-cubiertos

1.- las líneas que conectan cada cima de un ABC del triángulo con el punto de la tangencia entre el lado del oppsite y el excircle opuesto son concurrentes en un punto N llamado el punto de Nagel

2.- AM = EC = s - b

3.- BE = HA = s - c

4.- CH = MB = s - a

5.- al multiplicarse 2X3X4:

AM.BE.CH = EC.HA.MB

AM / MB . BE / EC . CH / HA = 1

Entonces por el teorema de las cevianas AE, BH Y CM son concurrentes en N

• Las diagonales de un exágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

• La siguiente figura muestra una elipse inscrita en un exágono. Al punto común a las tres diagonales, coloreado en rojo, en la figura se le conoce como punto de Brianchon.

• Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y si sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados.

• Esta figuras muestra dos triángulos cumpliendo el teorema de Desargues

• Esta otra muestra otra configuración del teorema de Desargues

• Si dos triángulos están en perspectiva desde una recta, y si cada par de vértices correspondientes están unidos por rectas que se cortan, los triángulos están en perspectiva desde el punto de intersección de estas rectas.

• Dado cualquier triángulo, sabemos que si trazamos las bisectrices interiores de sus ángulos, éstas se cortan en un punto, llamado incentro (es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo).

• Qué ocurre si en lugar de dividir los ángulos en dos partes iguales los dividimos en tres partes iguales?

• Los puntos de intersección de las rectas que dividen en tres partes iguales los ángulos de cualquier triángulo son los vértices de un triángulo equilátero.

• Si los puntos A, B y C están en una recta, los puntos A', B' y C' en otra y las rectas AB', BC' y CA' cortan a las rectas BA', CB' y AC', entonces los puntos de intersección están alineados.

• Este teorema tiene unas características completamente proyectivas, ya que no habla de distancias ni de ángulos, ni tampoco de ningún orden de unos puntos respecto de otros, sólo de puntos que están en rectas (incidencia).

• El teorema de Ptolomeo es uno de los muchos resultados relacionados con cuadriángulos cíclicos (inscritos en una circunferencia).

• Si el cuadriángulo ABCD está inscrito en una circunferencia (Fig. 1), entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales.

• En el caso de particular de que ABCD sea un rectángulo (Fig. 2), la fórmula anterior se convierte en el teorema de Pitágoras.

• La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntos medios de un cuadriángulo, es un paralelogramo, y su área es la mitad de la del cuadriángulo.

• Dado un triángulo cualquiera, construimos externamente triángulos equiláteros sobre sus lados. Se llama triángulo exterior de Napoleón al triángulo que resulta de unir los centros de dichos triángulos equiláteros.

• El triángulo exterior de Napoleón es equilátero.

• De forma similar, dado un triángulo cualquiera, construimos internamente triángulos equiláteros sobre sus lados. Se llama triángulo interior de Napoleón al triángulo que resulta de unir los centros de dichos triángulos equiláteros.

• El triángulo interior de Napoleón es equilátero.

• El teorema de Morley también obtiene un triángulo equilátero a partir de cualquier triángulo dado, aunque con una construcción diferente.

• En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA', BB' y CC' se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los nueve puntos se muestra en rojo.

• En esta figura pueden observarse alguans propiedades. Por ejemplo, • El centro N de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la

recta de Euler, equidistante del ortocentro H y del circuncentro O.• Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y

circuncentro de cualquier triángulo. • Otra propiedad de la circunferencia de los nueve puntos es el teorema

de Feuerbach: • La circunferencia de los nueve puntos es tangente tanto a la

circunferencia inscrita como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

• El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.

• Por ejemplo, si dados los puntos A y B, queremos hallar los puntos que distan de B el doble que de A, podemos hacer la construcción siguiente. Obtenemos P, uno de los puntos buscados, como intersección de circunferencias con centros A y B, siendo el radio de la última el doble que el de la primera. Ahora hallamos las bisectrices interior y exterior del ángulo APB que cortan a la recta AB en los puntos C y D, extremos del diámetro de la circunferencia buscada.

• En la siguiente figura podemos ver la circunferencia de Apolonio que se obtiene al considerar los puntos que distan de A el doble que de B. Las circunferencias concéntricas nos permiten calcular puntos de la circunferencia de Apolonio Así, C dista 4 unidades de A y 2 de B; D dista 6 unidades de A y 3 de B, etc. Estos puntos determinan la circunferencia buscada.

• Dado un lado de un triángulo y la razón de longitudes de los otros dos lados, el lugar geométrico del tercer vértice es el círculo de Apolonio, cuyo centro esta en la extensión del lado dado. Para un cierto triángulo, hay tres circunferencias de Apolonio.

• En la figura siguiente se muestran las tres circunferencias de Apolonio del triángulo ABC. Puede observarse en la figura que, por ejemplo, el centro U de uno de los círculos es la intersección de la recta tangente en el punto A a circunferencia circunscrita con la prolongación del lado opuesto BC. De forma análoga pueden obtenerse los centros V y W de las otras circunferencias.

• Consideremos tres círculos k, l, m y con un punto común M y que Sean P, Q y R los otros puntos comunes de l,m, k,m y  k,l respectivamente. Consideremos cualquier punto A de la circunferencia k; lo unimos con R y prolongamos hasta cortar a la circunferencia l en B. Ahora unimos BP y prolongamos hasta cortar el círculo m en C. Entonces, los puntos A, Q y  C están alineados.

• Es decir, independientemente de la elección del punto A, siempre obtenemos un triángulo.

• Soddy encontró la relación entre los radios de las tres circunferencias dadas y las de las soluciones buscadas. La fórmula es:

• donde las alfa son las inversas de los radios de las cuatro circunferencias, es decir las tres dadas y la tangente común que se busca.

• Si construimos triángulos equiláteros externamente sobre los lados de un triángulo, las circunferencias circunscritas a dichos triángulos tienen un punto común.

• A este punto se le llama punto de Fermat

• Otras propiedades relacionadas con triángulos equiláteros construidos sobre los lados de un triángulos pueden verse en los triángulos de Napoleón.

• El punto de Gergonne aparece al unir los vértices de un triángulo con los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita:

• Si unimos los vértices de un triángulo con los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita en los lados opuestos se obtienen rectas concurrentes.

• El problema de Malfatti consiste en inscribir tres círculos en un triángulo, de manera que los círculos sean todos tangentes entre sí y también sean tangentes cada uno de ellos a dos lados del triángulo.

• A continuación se muestra una forma, algo complicada, de

resolver el problema de Malfatti:

• Las rectas azules son las bisectrices interiores del triángulo dado, que se cortan en el incentro de dicho triángulo.

• Si llamamos I a dicho incentro, que en la figura aparece como un punto azul gordo, hemos llamado U, V y W a los incentros de los triángulos ABI, BCI y CAI, respectivamente.

• Con lineas grises, están unidos los puntos U, V y W. • La bisectriz (azul) que pasa por A corta a la recta VW en P. • La recta roja que pasa por P se obtiene de la siguiente manera: Se traza

la perpendicular a WV que pasa por P y se hace la simetría de la bisectriz que por A respecto de esta perpendicular. De forma similar se obtienen las rectas rojas por Q y R. Las tres rectas rojas son concurrentes en un punto M, que en la figura aparece como un punto rojo gordo.

• La recta roja que es simétrica de la bisectriz que pasa por A corta al lado opuesto en D. De forma análoga, las otras rectas rojas cortan a los lados correspondientes en E y F.

• Los cuadriláteros AFME, FBDM y MDCE son circunscriptibles: tienen la propiedad de poder inscribir un círculo en cada uno de ellos y esos son los círculos que buscamos.

• Los círculos obtenidos se llaman círculos de Malfatti.

• Los círculos de Malfatti cumplen la siguiente propiedad: las rectas que unen los vértices con los puntos de tangencia de los círculos se cortan en un punto, que se llama primer punto de Malfatti.

• Otra propiedad de estos círculos puede verse en la siguiente figura. Al unir los puntos de intersección de los tres círculos de Malfatti con los correspondientes excentros del triángulo original, se obtienen rectas que son concurrentes, llamándose el punto común segundo punto de Malfatti.

• Las rectas que unen los vértices de un triángulo con los correspondientes puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas son concurrentes.

• Se llama punto de Nagel al punto común a esas tres rectas. En la figura siguiente, N es el punto de Nagel del triángulo ABC.