geometria

1

1.- PROPOSICIÓN.- Enuncia una verdad

demostrada o por demostrar. Toda proposición tiene un solo valor lógico: o es verdadero (V) o es falso (F).

2.- AXIOMA.- Proposición evidente por sí misma que no necesita demostración.

3.- POSTULADO.- Es una proposición

evidente que sin tener la evidencia del axioma se acepta sin demostración.

4.- TEOREMA.- Es una proposición que para

ser evidente requiere ser demostrada; tiene dos partes:

a) Hipótesis: Es lo que se plantea para la demostración del teorema. b) Tesis: Es la demostración del teorema.

5.- COROLARIO.- Es una consecuencia deducida de un teorema ya demostrado.

6.- LEMA.- Es una proposición que sirve de

base para la demostración de un teorema. 7.- ESCOLIO.- Es una proposición que sirve

para aclarar, restringir o ampliar alguna proposición.

8.- PROBLEMA.- Enunciado en el cual se pide hallar una cantidad o construir una figura geométrica según condiciones dadas.

ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA

1.- El Punto.- Es un ente matemático, es la

mínima representación geométrica de cualquier figura geométrica. El punto no tiene dimensiones, por lo tanto no existe en la naturaleza; pero sí en el pensamiento humano.

2.- La Recta.- Es una sucesión infinita de

puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos.

3.- El Plano.- Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido. FIGURA GEOMÉTRICA. Es cualquier conjunto de puntos.

L

Q

2

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

1.- Congruentes.- Si tienen igual forma y tamaño. 2.- Semejantes.- Cuando tienen igual forma pero tamaños diferentes. 3.- Equivalentes.- Si tienen igual área o volumen sin importar su forma.

CONJUNTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

1.- Conjuntos Convexos.- Se llama conjunto convexo a una figura geométrica si el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de dicho conjunto está contenido en éste.

2.- Conjuntos Cóncavos.- Se llama conjunto cóncavo a una figura geométrica si por lo menos una parte del segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de dicho conjunto no está contenido en éste.

MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE Para “n” rectas secantes Para “n” circunferencias secantes Para “n” triángulos secantes

R R

R r

P Q

Una Región Triangular Una Esfera

R

S

A

B

Una Recta

Una Región Cuadrangular

Cóncava

P

Q

Un Triángulo

R

S

Una Superficie Cilíndrica

3

Para “n” cuadriláteros secantes EN GENERAL: Para “n” Polígonos CONVEXOS de “L” Lados: Para dos polígonos CONVEXOS de diferente número de lados:

M 2n Observación: Para “n” figuras cualesquiera de la misma especie (convexa o no convexa), el Máximo Número de Puntos de Corte es: Dónde: k es el MNPC de 2 de dichas figuras. Fórmula General de Combinación: El máximo número de puntos de corte originado por la combinación de 2 grupos de figuras diferentes se calcular con la siguiente expresión:

SEGMENTO Es aquel conjunto de puntos pertenecientes a una línea recta limitados por dos puntos denominados extremos. Punto Medio de un Segmento.- Llamado también punto bisector, es aquel punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes; es decir, dicho punto lo divide por la mitad.

OPERACIONES CON SEGMENTOS a) Suma: b) Resta: Observaciones: Sobre una recta real R se tienen los puntos A y B cuyas coordenadas son “a” y “b” respectivamente, entonces se cumple: - Las coordenadas del punto medio del segmento AB viene dado por: - La medida del segmento AB es igual a:

Polígono de mayor de lados: “m”

Polígono de menor de lados: “n”

M = k.m.n

k = máximo número de puntos de corte de solo 2 figuras (1 de cada grupo). m = de figuras del primer grupo. n = de figuras del segundo grupo

A M B

A B Elementos

A, B : Extremos : Segmento AB

A B C

P Q R

4

ANGULOS Se llama ángulo a la abertura que forma dos rayos que tienen el mismo origen. Los elementos de un angulo son los siguentes:

Lados: OA

y OB

Vertice: O

Notación:

Clasificacion de los angulos Los angulos se clasifcan según su medida, según sus caracteristicas y según la posicion de sus lados. Según su medida: Angulo nulo: Es el angulo cuya medida es nulo o igual a 00 , para su representación los rayos que lo conforman están superpuestos.

Angulos convexos: Es el angulo cuya mediad es mayor 00 y menor a 0180 , es decir su medida varia entre 0 00 180 ; el ángulo convexo encierra a los ángulos: Ángulos agudos: Su mediada es menor que

090

Ángulo recto: Su medida es igual a 090

Ángulo obtuso: Su mediad es mayor que 090 , pero menor que 0180

Ángulo Llano La medida del angulo llano es igual a 0180

Angulo no convexo

Angulo de una vuelta.

Según sus caracteristicas: Ángulos complementarios: Se denomina angulos complememtarios a la suma de dos angulos suya suma resultante es

090

y Son complementarios.

5

NOTA:

No son complementarios. Ángulos suplementarios Se denomina ángulos suplementarios a la suma de dos ángulos cuya suma resultante es 0180

y Son suplementarios.

, y No son suplementarios.

NOTA: SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS. Ángulos adyacentes: Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común tal que los ángulos se encuentren a uno y otro lado del lado común.

Angulo adyacente suplementario.

Angulos consecutivos: Dos o mas angulos son consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.

Angulos opuestos por el vertice: Son dos angulos determinados al trazar dos rectas secantes, dichos angulos son conguentes (tienen la misma medida).

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

L1

L3

L2

b

d

h

f

a

c

g

e

L1 // L2; L3: Recta secante

Alternos: Internos: d y e, c y f Externos: a y h, b y g Conjugados: Internos: c y e, d y f Externos: a y g, b y h

Si es la medida de un ángulo, su complemento es:

Si es la medida de un ángulo, su suplemento es:

6

Correspondientes: a y e, b y f, c y g, d y h Las medidas de los ÁNGULOS ALTERNOS

INTERNOS, son iguales entre sí. c = f d = e

Las medidas de los ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS, son iguales entre sí. a = h ; b = g

LOS ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS, son Suplementarios

c + e = 180° d + f = 180° Los ÁNGULOS CONJUGADOS

EXTERNOS, son suplementarios a + g = 180° b + h = 180°

Las medidas de los ÁNGULOS

CORRESPONDIENTES, son iguales entre sí. a = e b = f c = g d = h

Nota: Si las rectas 1L y 2L no son paralelos los ángulos determinados seguirán llamándose alternos, conjugados y correspondientes según sea el caso, pero las relaciones entre sus ángulos ya no se

ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Si : M // N

Si : M // N

Si : M // N

EN GENERAL Si L1 y L2 son paralelas, se cumplirá:

an

a4

a3

a2a1

L1L1

L2L2

....

Si: L1 // L2: X = a1 + a2 + a3 + a4 + ...... + an = 180°

ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PARALELOS

7

ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PERPENDICULARES

TRIÁNGULO Es aquel conjunto de puntos pertenecientes a tres rectas secantes que se interceptan dos a dos al unir tres puntos no colineales.

PERÍMETRO: Se denomina perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus tres lados.

TEOREMAS FUNDAMENTALES 1) En todo triangulo la suma de las medidas

de sus ángulos interiores es 0180

2) En todo triangulo la medida de un ángulo

exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el.

3) En todo triangulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 0360

4) En todo triangulo se cumple que a mayor

lado se le opone mayor ángulo y viceversa, también diremos que a mayor lado su altura relativa es menor.

POSTULADO DE LA EXISTENCIA DEL TRIANGULO: En todo triangulo la longitud de uno de sus lados esta comprendida entre la suma y la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

Elementos A, B, C: Vértices a, b, c : Lados , , : Ángulos Internos , , : Ángulos externos

B

A C

a c

b

Perímetro: 2p = a + b + c

Semiperímetro:

8

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A).- POR SUS LADOS: 1.- TRIÁNGULO ESCALENO El triángulo escaleno posee sus tres lados desiguales y por consiguiente sus tres ángulos interiores son diferentes.

2.- TRIÁNGULO ISÓSCELES. El triángulo isósceles posee dos de sus lados iguales y por consiguiente los ángulos opuestos a ellos son iguales, Denominándose al lado desigual base del triángulo isósceles.

3.- TRIANGULO EQUILÁTERO El triángulo equilátero posee sus tres lados iguales y cada ángulo interior es 060

B).- POR SUS ÁNGULOS 1.- TRIANGULO ACUTÁNGULO Los tres ángulos interiores son agudos.

2.- TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Un ángulo interior es obtuso (mayor de 090 )

TRIANGULO RECTÁNGULO Un ángulo interior es recto (mide 090 )

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO: La naturaleza de un triángulo nos sirve para averiguar el tipo de triangulo según sus ángulos. Si consideramos: a>b>c

9

LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento que parte de un vértice y llega perpendicularmente al lado opuesto o su prolongación.

MEDIANA: Es el segmento que une el punto medio de uno de los lados con el vértice opuesto.

MEDIATRIZ Es la línea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualesquiera:

BISECTRIZ: Es el segmento que biseca al ángulo de referencia, se tiene bisectrices interiores y bisectrices exteriores. Bisectriz Interior

Bisectriz Exterior

CASOS PARTICULARES

O

O: Ortocentro

G

2b

2c

c 2a

a b

G: Baricentro

C

C: Circuncentro

I

E

A

B

C

H

TRIÁNGULO ISÓSCELES

Altura Mediana Mediatriz Bisectriz

BH

O

Ortocentro Baricentro Circuncentro Incentro

O

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

10

Ángulos formados por las líneas notables

PROPIEDADES ADICIONALES

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

O

G

C

a

2a

3a 3a

O: Ortocentro G: Baricentro C: Circuncentro

12

TRIÁNGULOS NOTABLES

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes si tienen igual forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos interiores de igual medida y sus lados opuestos de igual longitud respectivamente. Dados dos triángulos ABC y A’B’C’.

El triángulo es congruente al triángulo A’B’C’. Si: AB ''BA , ''CB AC ´´CA , A A’, B B’, C C’ Entonces: ABC A’B’C’ OBSERVACIÓN En general son tres condiciones necesarias y suficientes para determinar la congruencia de dos triángulos y que uno de las condiciones a lo sumo es referido a la longitud.

CASOS DE CONGRUENCIA DE DOS TRIÁNGULOS

1. ALA (Ángulo-Lado-Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.

Si:

ABC A’B’C’

13

2. LAL (Lado-Ángulo-Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

ABC A’B’C’

3. LLL (Lado-Lado-Lado) Dos triángulos con congruentes si tienen sus tres lados congruentes respectivamente.

Si:

ABC A’B’C’

4. LLA (Lado-Lado-Ángulo) Dos triángulos son congruentes si tienen dos los lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor.

Si: AC > A´C´ ó >

ABC A’B’C’

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Sea P un punto exterior a la recta L, entonces la perpendicular PN a la recta L es la distancia de P a dicha recta, por ser única y cuya longitud es mínima.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Todo punto situado en la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados. Si:

a= b

Dónde: P Punto cualquiera de la bisectriz. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN

SEGMENTO Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos. Si:

a= b

14

Donde: P Punto cualquiera de la mediatriz L.

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a su mitad. Si:

UN //CP UN = 2 . CP

COROLARIO 1. Si por el punto medio de uno de los lados

de un triángulo, se traza un paralela a cualquiera de los otros dos lados; entonces dicha paralela intersectará al tercer lado en su punto medio.

Si:

UN = 2. CP; RP = PN

CONSECUENCIA Si:

a= b RP = PN COROLARIO 2. Si: UN //CP y UN = 2.CP

C Y P son puntos medios de los segmentos UR y RN respectivamente. TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA DE UN

TRIÁNGULO RECTÁNGULO En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa, es la menor de las tres medianas del triángulo. Además su longitud es la mitad de la longitud de la hipotenusa. Si:

x= n

15

PROPIEDADES: Si:

x= 90°

Si:

x= y= 45°

PROPIEDADES EN LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES

1. Si:

Donde: ABC es isósceles (AB= BC) 2. Los siguientes triángulos son isósceles. * PN Altura y mediana.

a= b

* PN Bisectriz y altura

a= b

* PN Bisectriz y mediana

a= b

3. La suma de las distancias de un punto de la base de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

x= a + b

Q Punto de cualquiera de la base.

CONSECUENCIAS Si:

x= a + b

Si:

x= a + b

16

4. La sustracción de las distancias de un punto tomado en la prolongación de la base de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

Si:

x= a – b

CONSECUENCIAS Si:

x= a - b

Si:

x= a - b

PROPIEDADES EN LOS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

1. Las sumas de las distancias de un punto

interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

Si:

x= a + b + c

Además: L= 3

2 (a + b + c)

CONSECUENCIA Si:

x= a + b + c 2. Si desde un punto situado en el exterior a

un triángulo equilátero se trazan perpendiculares a sus tres lados. La suma de las longitudes de las perpendiculares extremas menos la longitud de la perpendicular intermedia es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

Si:

17

Elementos BC: Lado. CE: Diagonal. D: Vértice. : Ángulo Interno. : Ángulo. Externo.

x= a + b - c

Además: L= 3

2 (a + b + c)

CONSECUENCIA Si:

x = a + b - c

POLIGONO Es el conjunto de puntos pertenecientes a una poligonal cerrada de “n” lados.

CLASIFICACIÓN I.- POR LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS

a) Polígono Convexo. Todos sus ángulos interiores son convexos. b) Polígono Cóncavo. Posee por lo menos un ángulo interior cóncavo. II.- POR SUS CARACTERÍSTICAS a) Polígono Equiángulo.- Todos sus ángulos son congruentes sin importar la longitud de la medida de sus lados. b) Polígono Equilátero.- Todos sus lados son congruentes sin interesar la medida de sus ángulos.

A

B

C

D

E

1 2

1

2 3

4

18

c) Polígono Regular.- Es aquel polígono que es equiángulo y equilátero a la vez. Es el único polígono que posee ángulo central; este polígono se puede inscribir y circunscribir en circunferencias concéntricas. d)Polígono Irregular.- No cumple con las condiciones del polígono regular.

PROPIEDAD FÓRMULA OBSERVACIONE

S

Suma de ángulos interiores

180º( 2)iS n Para todo polígono

Ángulo interior

180º( 2)nin

Para el Polígono Equiángulo

Suma de ángulo exteriores

º360Se Para todo polígono

Ángulo exterior

n

º360e Para el Polígono

Equiángulo

Suma de Ángulos Centrales

º360Sc Para el Polígono

Regular

Ángulo central n

º360c Para el Polígono

Regular

Diagonales Totales

2

)3n(nD

Para todo polígono

Diagonales Trazadas desde un

solo vértice

3nDv Para todo polígono

Diagonales Medias

2

)1n(nDm

Para todo polígono

POLIGONOS REGULARES CONCEPTO: Son aquellos polígonos equiángulos y equiláteros a su vez. Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir con respecto a una circunferencia ELEMENTOS: -Centro de las circunferencias inscritas y circunscritas: “O” - Lado: L5

- Apotema: ap5 - Radio de la circunferencia inscrita: r - Radio de la circunferencia circunscrita: R CALCULO DEL APOTEMA EN UN POLÍGONO

REGULAR DE “n” LADOS (apn) En el triángulo OFC:

2 2 2nn

22 2 n

n

2 2n n

l(ap ) ( ) R2

(l )(ap ) R4

1(ap ) 4R l2

a

a

a

a

a

a

a

a

A

B C

E

rR

5ap

D

5l

O

5l

O

nap

F nl2

B

A

R

nl

C

D

nl

19

RESUMEN TRIÁNGULO EQUILÁTERO Angulo central

Lado del polígono Apotema

120º 3l R 3 3Rap2

CUADRADO EQUILÁTERO Angulo central


90º 4l R 2 4Rap 22

PENTÁGONO EQUILÁTERO Angulo central


72º 5Rl 10 2 52

5Rap 6 2 54

HEXÁGONO EQUILÁTERO Angulo central


60º 6l R 6Rap 32

OCTÓGONO EQUILÁTERO Angulo central


45º 8l R 2 2 8Rap 2 22

DECÁGONO EQUILÁTERO Angulo central


36º 10Rl 5 12

10Rap 10 2 54

DODECÁGONO EQUILÁTERO Angulo central


30º 12l R 2 3 12Rap 2 32

CUADRILATEROS Es aquella figura geométrica que tiene cuatro lados.

CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMO Son aquellos cuadriláteros, cuyos lados opuestos son paralelos. En todo paralelogramo sus diagonales se

bisecan. En todo paralelogramo sus ángulos

opuestos son iguales. En todo paralelogramo los ángulos

adyacentes a uno de sus lados son suplementarios.

CLASES DE PARALELOGRAMOS ROMBOIDE.- Es el paralelogramo propiamente dicho. ROMBO.- También llamado Losange, es aquel paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus diagonales se bisecan, se cortan perpendicularmente y viene a ser bisectrices de sus ángulos. RECTÁNGULO.- También llamado cuadrilongo, es el paralelogramo cuyos ángulos interiores miden 90°, sus lados opuestos son iguales en longitud; sus

b a

a

b b

a a

20

diagonales son iguales en longitud y se bisecan. CUADRADO.- Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus ángulos interiores miden 90°, sus diagonales son iguales en longitud, se bisecan y vienen a ser bisectrices de sus ángulos y se cortan perpendicularmente. TRAPECIOS Son aquellos cuadriláteros, que tiene dos lados opuestos paralelos.

AD // BC MEDIANA: MN ALTURA: h BASES: AD ,BC

CLASES DE TRAPECIOS

TRAPECIO ESCALENO.- Tiene sus lados no paralelos de diferente longitud. a + b = + = 180°

TRAPECIO RECTÁNGULO.- Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos viene a ser la altura del trapecio. + = 180° TRAPECIO ISÓSCELES.- Es aquel cuyos lados no paralelos son iguales en longitud.

x =2

ba

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS En todo trapecio, la mediana siempre es paralela a las base.

AD // BC // MN

En todo trapecio, la mediana biseca a las diagonales.

BQ = QD

b b a

45°45°

45°45°

M N h

B C

A D

a

b

M N

B C

A D

M N

B C

A D

Q

b

x x a

21

En todo trapecio, la mediana mide la semisuma de sus bases. MN =

2ba

En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, mide la semidiferencia de sus bases. PQ =

2ba

TRAPEZOIDE Es el cuadrilátero propiamente dicho. TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (T. Bisósceles)

= 90° CUADRILÁTERO INSCRITO Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una circunferencia. ABCD Inscrito

PROPIEDADES CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es aquel cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia. ABCD Inscriptible NOTA Para que un cuadrilátero sea Inscriptible debe cumplir con las propiedades del cuadrilátero inscrito.

B C

D A

=

=

=

B C

D A

M N

b

a

b

a

Q P

22

CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo denominado centro.

TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. El radio es perpendicular a la tangente. OA L 2. Arcos comprendidos entre rectas

paralelas son congruentes.

Si: AD//BC mAB = mCD

3. Arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes.

Si : m AB = m CD

4. Si un radio es perpendicular a una cuerda,

el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.

Si : BC OA

5. Por un punto exterior se trazan dos tangentes, las cuales son congruentes.

AC AB

AO Es bisectriz de ABC 6. Si: CD AB ; entonces a = b.

7. Si : CD//AB ; entonces ACBD ó AB//PQ ;

entonces AT TB.

x

P

X Y

B

Q N M

O

R

H

LN

LT

LS

F

Elementos

O: Centro R: Punto Aferente OQ: Radio MN: Cuerda AB: Diámetro o Cuerda Mayor FH: Flecha o Sagita LT: Recta Tangente P: Punto de tangencia LS: Recta Secante X, Y: Puntos Secantes LN: Recta Normal MHN: Arco de Circunferencia

A

L

O R

C B

A D

D

C B

A

O C

B

A

O

B

a b

A C

D

C

A

P Q

D

B

T

A

C

B

O F

23

8. De un ángulo exterior. x ° + y° = 180°

9. Tangentes comunes interiores.

CD AB 10. Tangente comunes exteriores.

AB = CD 11. Si A, B y C son puntos de tangencia.

x° = 90°

12. Si “M” es punto medio de AB.

x° = 90°

Si AB es diámetro y P es un punto cualquiera de la circunferencia:

TEOREMAS ADICIONALES Teorema de Poncelet Teorema de Pitot Teorema de Steiner

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

TANGENTES INTERIORES

SECANTES

TANGENTES INTERIORES

x° y°

C

A D

B

A C

B

x°

C

N

A

P

B M

D

Q

a + b = c + 2r

b

a c

r

a + c = b + d a

b

c

d

a – c = d – b d c

a b

0

R

P r

OP > R + r

0 P r

R

0

R

P r

0 R

P r

OP = R + r

R – r < OP < R + r

OP = R - r

A

C

B

x°

M

AB = CD MN = PQ

APB = 90º

B

P

A

24

INTERIORES CONCÉNTRICAS ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA 1. Central

m x° = m AB 2. Inscrito

m x° = 2ACm

3. Semi-inscrito

° = 2BCm

4. Ex inscrito

2mABC

5. Interior

2

mADmBC

6. Exterior

7. De un Ángulo exterior Si AB = CD, entonces : AB CD También: PUNTOS NOTABLES 1) BARICENTRO: Se conoce también por el nombre de gravicentro o centro de gravedad. Es el punto donde las medianas de un triángulo se intersectan. G: Baricentro o centro de gravedad

0 R

P r OP R - r

0

R

P r OP = CERO

x° y°

B C

A D

x + y = 180

°

B

C A

D

B

C

A

F

n° m° °

C

A

n° m° ° A

B E

A

D

m°

n°

C

°

x°

B

C

A

B

A

C

R

R

O

B

A

X°

d

1R2R

1 2d 2 R R

G

M

N

B

C A

2kk

25

Propiedad del Baricentro: «La distancia del vértice al baricentro es equivalente a las dos terceras partes de la longitud de la mediana»

2BG BM3

O de manera equivalente:

BG 2 GM 2) INCENTRO: Es el punto donde se intersecan las bisectrices interiores de un triángulo. Al radio de dicha circunferencia se le conoce como «inradio». I: Incentro (Centro de la circunferencia inscrita) Propiedad del Incentro: - Equidista de los tres lados y consiguientemente representa al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. 3) ORTOCENTRO: Es el punto donde se intersecan las alturas de un triángulo. En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto. Propiedad del Ortocentro: - En un triángulo acutángulo el Ortocentro es interior al triángulo. - En un triángulo obtusángulo el Ortocentro es exterior al triángulo. - En un triángulo rectángulo el Ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo rectángulo.

O: Ortocentro

4) CIRCUNCENTRO: Es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo. Al radio de esta circunferencia se le conoce como «circunradio». Propiedad del Circuncentro: - Equidista de los tres vértices y por lo tanto representa al centro de la circunferencia circunscrita. P: centro de la circunferencia 5) EX-CENTRO: Es el punto donde se intersecan 2 bisectrices exteriores y una interior. Propiedad del Ex - centro: - El ex – centro es el centro de la circunferencia ex – inscrita. - El ex – centro equidista del lado relativo a la bisectriz interior y las 2 prolongaciones relativas a las bisectrices exteriores. E: Ex-centro (Centro de la circunferencia ex-inscrita)

I

B

C A r

B

CO

A O

O

B

CR

P

A

PP

B

C

A

E r a

r a r a

26

TRIÁNGULOS PARTICULARES TRIÁNGULO MEDIANO O COMPLEMENTARIO Es aquel triángulo determinado al unir los puntos medios de los 3 lados de un triángulo Propiedad del Triángulo Mediano: - El baricentro del triángulo mediano también es baricentro del triángulo inicial. TRIÁNGULO ORTICO O PEDAL Es aquel que se determina al unir los pies de las 3 alturas. Propiedad del Triángulo Ortico: - El Ortocentro del triángulo inicial es el incentro del triángulo ortico - Un ángulo interior del triángulo pedal es igual a 180º menos el doble de su opuesto - Los vértices del triángulo inicial son ex – centros del triángulo pedal.

- En un triángulo la distancia del Ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del Circuncentro al lado opuesto del vértice considerado. H: ortocentro O: circuncentro HB = 2OM RECTA DE EULER: Los Puntos Notables de un triángulo (Baricentro, Incentro, Ortocentro y Circuncentro) son colineales, es decir pertenecen a una misma recta denominada «Recta de Euler». H: ortocentro O: circuncentro G: baricentro

G : baricentro de MNQ

G

M

N

B

C A

b/2 b/2

b b

c/2

c/2a/2

a/2

a

a

c

c

Q

G :baricentro de ABC

PHQ es el ortico del ABC

B

C A

O

O : ortocentro del ABC

O : incentro del PHQ

2 180º 2A

2 180º 2B

2 180º 2C

B

2k

k y

2y

M CA

HO

B

2k

k

M CA

H

OG

27

PROPORCIONALIDAD SEMEJANZA

1.- TEOREMA DE THALES: Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales. Si: L1 // L2 // L3 Si: L1 // L2 // L3

2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: AC//MN

3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO: En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz.

a).- BISECTRIZ INTERIOR: b).- BISECTRIZ EXTERIOR:

4.- TEOREMA DEL INCENTRO: En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.

5.- TEOREMA DE MENÉALO: En todo triángulo al trazar una recta transversal o secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.

a

b

m

n

L1

L2

L3

a m

b n

B

A

N

C

M

a

b

m

n

a b

x

m n

a x b

B

A E C n

m

x2 = ab - mn

x2 = mn - ab

A

B

C

c a

b

I

D

b x

a y

z c

a.b.c = x.y.z

28

6.- TEOREMA DE CEVA

RELACIONES METRICAS

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos es necesario tener el concepto de Proyección Ortogonal. PROYECCIÓN ORTOGONAL La Proyección Ortogonal de un punto sobre un

plano es el pié de la perpendicular que va del punto al plano. En la figura siguiente N es la proyección de A sobre el plano P.

*La Proyección Ortogonal de un punto sobre

una recta es el pié de la perpendicular que va del punto a la recta. Así, en la figura siguiente N es la proyección de A sobre la recta r.

*La Proyección Ortogonal de un segmento sobre una recta es un segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos del segmento dado sobre la recta NP : Proyección de AB sobre la recta L En general, la proyección de un segmento es otro segmento. * OBSERVACIÓN: En cualquier triángulo ABC, la altura AD determina sobre el lado BC dos segmentos: DB y DC, que son las proyecciones respectivas de los lados AB y AC sobre BC. OBSERVACION

B

E O

D

A F

C

AD . BE . CF = DB . EC . FA

A

N

P

M’

N’

N L

P

C D

D’ C’ E’

F

E

L

M P’

A

A B A

A

B B

N P N P N P

r N

B D

A

C

B C D

A

DC : proy. BC AC BD : proy. BC AB

29

TEOREMAS 1.- En todo rectángulo cateto es media

proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

2.- En todo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos.

3.- En todo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

4.- En todo rectángulo el producto de los catetos es igual al producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella.

5.- En todo rectángulo de la inversa de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las inversas de sus

catetos.

- Catetos BC = a AC = b - Hipotenusa AB = c - Altura CH = h 1ra RELACIÓN 2da RELACIÓN

2a c.m 2h m.n 2b c.n 3ra

RELACIÓN 4ta

RELACIÓN 5ta

RELACIÓN

a.b c.h 2 2 2a b c 2 2 21 1 1h a b

Para un triángulo rectángulo

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS OBLICUANGULOS

1er. TEOREMA DE EUCLIDES Siendo “” un ángulo agudo se cumple:

2 2 2a b c 2bm “m” es la proyección de “c” sobre “b” 2do. TEOREMA DE EUCLIDES Siendo un ángulo obtuso, se cumple: 2 2 2a b c 2cx “x” es la proyección de “b” sobre “c” TEOREMA DE STEWARTT Se cumple: 2 2 2x c a n b m mnc

r2r1r

B

A H C

2 2 21 2r r r

1 2BH r r r

AB BC AC 2r

a h b

m nc

HB

C

A

bm

am cm

a

b

c

2 2 2b a c5m m m

ac

m b

a

cx

b

ba

m c n

x

30

TEOREMA DE LA BISECTRIZ 2x ab mn 2x pq ab TEOREMA DE LA MEDIANA En todo triángulo se cumple que:

22 2 2c2m a b

2

TEOREMA DE BOOTH TEOREMA DE HERÓN

Donde: p =

2cba

RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA DE CUERDAS

TEOREMA DE LA TANGENTE TEOREMA DE LAS SECANTES Relaciones Auxiliares:

* AB2 = AC.AH * BH2 = AH.HC

( AC : Diámetro) TEOREMA DEL PRODUCTO DE MEDIDAS DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO DISTANCIA ENTRE CIRCUNRADIO E INRADIO TEOREMA DE ARQUIMEDES

ba

c

m

ba

c

x

m n

b

acbm

cmam

2 2 2 2 2 2a b c

3m m m (a b c )4

ba x

q

p

b C H

A

a c

B

h =

A

M

C

D

B

mn

a

ba.b m.n

m

a

b

T

B

A

C2m a.b

m

ab

BA

C m.n a.b

DF

n

bac 2Rh

A

B

C

c

b

bh

Ra

A

B

C

Rr

d

2d R(R 2r)R 2r

A H C

B

2 2 2 2 2a b c d 4R

c

R

b

d

a

31

RELACIONES METRICAS EN

CUADRILATERO TEOREMA DE PTOLOMEO TEOREMA DE VIETTE TEOREMA DE PTOLOMEO – VIETTA ABCD es un cuadrilátero inscrito. - PTOLOMEO xy ac bd

ad bc ac bd ab cd ac bdx y

ad bc ab cd

- VIETTA x ad bcy ab cd

TEOREMA DE CHADU

TEOREMA DE EULER

x

ya

b

c

dA

BC

D

A

B

D

C

AC.BD=AB.CD+BC.AD

A

B

D

C

A

P

C

B

60°

60°

x

B

A D

C

32

SABC =

ÁREA DE REGIONES GEOMETRICAS ÁREA Se llama área de una figura a la medida de la superficie ocupada por dicha figura expresado en unidades cuadradas.

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULA GENERAL TRIÁGULO EQUILÁTERO * En función de su lado:

* En función de su altura:

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA FÓRMULA DE HERÓN

EN FUNCIÓN DEL INRADIO EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO EN FUNCIÓN DEL EXRADIO

DIVERSAS EXPRESIONES DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

A

B

C

h

b

C A

B

b

h

h

b

B

C A

SABC =

A

B

C

l l

l

SABC =

A

B

C

h

A C

B

a c

b

SABC =

A C

B

a c

b

Semiperímetro: p

p =

SABC =

A C

B

a c

b

r

SABC = P.r

B

A C R

b

c a

SABC =

m

n

A

B

C

SABC = m.n

R c

A b

B

C

SABC = R(p-a)

a

33

EN FUNCIÓN DE SUS ALTURAS ALGUNAS RELACIONES DE ÁREAS 1ra Relación: Siendo BM una ceviana Se cumple:

2da Relación: Siendo BM una mediana

Se cumple:

* Observación 1) Cuando trazamos sus medianas de un triángulo se cumple: * Que los triángulos formados sus áreas son de igual medida. 2) Cuando trazamos la base media de un triángulo se cumple:

RELACIONES DE ÁREAS DE TRIÁNGULARES SEMEJANTES Si 2 triángulos son semejantes, la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de los elementos homólogos. CASOS PARTICULARES

SABC = r(c+r)

A

B

C

c r

A

B

R

C

r2 r1 r

SABC = r1.r2

SABC = R.r

SABC =

B

A C

hb

hc ha

H =

SABC =

a c

b

R1

C A

B

h1 r1

m p

n

R2

P M

N

h2 r2

S1 S2 C A

B

a b

C A

B

S1 S2

M

S1 = S2

C A

B

S1 S2

a a M

C S

S

S S

S

S

B

M

P A

N

S

3S

M N

B

A C

34

S=

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

El área de regiones cuadrangulares es la superficie delimitada por un polígono de cuatro lados. PRINCIPALES ÁREAS CUADRANGULARES CUADRADO El área de un cuadrado se calcula como la longitud del lado al cuadrado o su diagonal al cuadrado entre dos. * En función de su lado

* En función de su diagonal

5 12A AS S

RECTÁNGULO El área del rectángulo se calcula como el producto de su base por su altura.

Adicionales A).- B).-

PARALELOGRAMO El área del paralelogramo se calcula como el producto de su base por su altura.

A).- B).- C).-

C

B

A

S1 S2

S3

A

B C

D

l

l

d

A

B C

D

SABCD = l2

SABCD =

A

B C

D

h

b

SABCD = b.h

A

B C

D b

h1

S=

A

B C

D

h S

A

B C

D

SS

A

B C

D

S S

S

S

A

B C

D

s1

S2

C B

A D

S

A

B C

D

a

b

h1

h2

35

SABCD =

S =

ROMBO El área de un rombo se calcula como el Semi-producto de sus diagonales.

ROMBOIDES PROPIEDADES DE ROMBOIDES

TRAPECIO El área de un trapecio se calcula como el producto de la semisuma de sus bases por su altura. A).-

B).-

C).-

D).-

TRAPEZOIDES

* OTRAS PROPIEDADES DE CUARILATEROS 1).-Para cualquier cuadrilátero. 2).-Para cualquier cuadrilátero.

z

w

xy

wz

yx

x = y = z = w

X

S1

S2

x y

x = S/2x.y = S1.S2

1. 2.

A

B

C

D

d1

d2

A

B C

D a

b

h

S2 S1

B

A

C

D

1 2 3 S S SS1

S 2

S3

S

C

D A

B S1

S2

S

S2

S1 S

A

B C

D

S1

S2 S3

S4 P

S

C

D

B

A

A

B C

D

n

h

AT =

a

a

d

d.

S1.S4 =S3.S2

36

3).-Cuadrilátero Circunscrito a una Circunferencia.

p : semiperímetro

4). Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia Para cualquier cuadrilátero. Para cuadrilátero no convexo.

ÁREA DE REGIONES CURVAS: 1.- Círculo Donde: = 3,14 2.- Corona Circular

3.- Sector Circular 4.- Segmento Circular 5.- Trapecio Circular 6.- Zona o Faja Circular

LÚNULAS DE HIPÓCRATES

A

B

C

D

a

b

c

d

r

S = p.r

A

B

C

D

a b

c d

d1

d2

B

A

C

D

A

B

C b

D

h

SABC =

SABCD =

R

d

r R

R

R

A

B

R

R

A

B

A

D B

C

R

S1

S2 S

B

A C

B

A C

S1

S2

S = r2

S = (R2-r2)

S =

S =

S = S - S

S = S - S A

B

D

C

S = S - S A B D C

SABC = S1 + S2

SABC = S1 - S2

B

A

D

C r

R

r r S

37

GEOMETRIA DEL ESPACIO La geometría del espacio o estereometría tiene por objeto el estudio de las figuras sólidas o del espacio, es decir de las figuras cuyos puntos no pertenecen todos a un mismo plano, si no al espacio tridimensional, por ejemplo el prisma, el cilindro, la esfera, etc.

PLANO: Es una superficie ilimitada de puntos donde toda recta que pase por dos de sus puntos está íntegramente contenida en el plano.

Si A y B pertenecen al plano “P”; entonces la recta esta contenida en “P”.

“Q”: no es un plano.

POSTULADOS PARA LA DETERMINACIÓN DE UN PLANO.

Un plano queda determinado por: 1° Tres puntos no colineales. 2° Una recta y un punto exterior a ella. 3° Dos rectas secantes. 4° Dos rectas paralelas.

POSICIONES DE DOS PLANOS 1.- Secantes .- Tiene una recta común.

2.- Paralelos.- No tienen punto común.

POSICIONES DE UNA RECTA Y UN

PLANO 1. Secantes. Tienen un punto común.

A : Punto común 2. Paralelas: No tiene punto común.

Si “L “es paralela a cualquier recta contenida en el plano entonces “L ” es paralelo al plano.

2.3 TEOREMAS a) Recta perpendicular a un plano.

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en él.

A

B

P

Q

P

P

Q

P// Q

Q

l l : recta común

P

L

A

Q

l

P

l

l2

l1

38

b) Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie de una perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano el punto de intersección de esta segunda y un punto cualquiera de la primera determinan una tercera perpendicular a la recta contenida en el plano.

ÁNGULO DIEDRO Es la figura por dos semiplanos que tienen una recta común llamada arista del ángulo diedro.

Elementos: Caras : P y Q Arista : AB Notación: Un ángulo diedro AB. es el ángulo plano o rectilíneo de la medida del diedro.

ÁNGULO TRIEDRO Es la figura que está formada por 3 regiones angulares los cuales tiene el mismo vértice. Elementos: Vértice : “O”

Arista : OA , OA , OC

Caras : a°, b° y c°

Teorema: o°<a°+b°+ c°<360°

POLIEDRO

Es el sólido formado por 4 o más polígonos planos, donde cada lado de un polígono pertenece a dos caras del sólido. Poliedro convexo Poliedro no convexo Teorema de Euler En todo poliedro se cumple: C + V = A + 2 C = # de caras

V = # de vértices

P

l2

l1

l3

P Q

F

H

E

B

A

A

B

C

a° b°

c°

O

39

A = # de aristas

POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares, solamente existen 5 poliedros regulares y son :

EL PRISMA Es el sólido cuyas caras bases son paralelas y congruentes todas la caras laterales son paralelogramos. CLASES : Prisma recto.- Es aquel cuyas aristas

laterales son perpendiculares a las bases.

Prisma oblicuo.- Es aquel cuyas aristas

laterales no son perpendiculares a las bases.

Prisma regular .- Es un prisma recto

cuyas bases son polígonos regulares. Prisma irregular.- Es aquel cuyas bases

son polígono irregulares.

PRISMA RECTA

1.- El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura.

Slateral = 2P (base). h

2.- El área de la superficie de un prisma recto es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base. S total = S lateral + 2S (base) 3.- El volumen de un prisma recto es el producto del área de la base y su altura.

Volumen = S(base) . h

RESUMEN

L

T L

S = 2P (base) . hS S 2BV B h

PRISMA OBLICUO

1. El área de la superficie lateral de un prisma oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta y la arista lateral.

Nota .- La sección recta es el polígono cuyos lados son perpendiculares a las aristas laterales del prisma oblicuo. Además su área es diferente al área de la base.

2. El área de la superficie total de un prisma oblicuo es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.

h

B

B

Cara lateral

Base Arista básica

Arista lateral

B

B

h

B

B

Sección recta

a

h

Slateral = 2P (sección recta) . a

Stotal = S lateral + 2S(base)

40

3. El volumen de un prisma oblicuo es igual al producto del área de la base y su altura o también el producto del área de la sección recta y una arista lateral.

RESUMEN

h

22

BxVaAV

BSSapS

RS

LT

RSL

.

.

rectaciónRS sec. TRONCO DE PRISMA

Es la porción de prisma comprendido entre una de las bases y la sección que determina un planos secante a las aristas y no paralelo a las bases.

LS área de caras laterales

T L 1 2 1a b cS S B B V B

3

1a b 0Si :C 0 V B

3

Si :b 0 ; c 0 Pirámide

1a 0 0V B

3

TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR OBLICUO

LS área caras laterales T L 1 2S S B B

1 2 31 1

a b c h h hV A V b3 3

Volumen1 = S(base) . h

Volumen2 = S(sección recta) . a

a

B

h SR

V = S(base) . h

h=

b

B

ac h

G

a

C

b

1B

2B

2B

1B

b C O

a

1B

2B

b 0

a

C 0

a2h

2B

1h

C

S.R

b

1B2h

41

EL PARALELEPÍPEDO

Es el prisma cuadrangular cuyas bases son paralelogramos.

Paralelepípedo Rectangular.- Es un paralelepípedo recto, cuyas bases son rectángulos. También se llama ortoedro o rectoedro.

1. El volumen de un paralelepípedo es igual al

producto de sus 3 dimensiones. 2. Diagonal : d

Paralelepípedo recto (rectoedro)

abcV bc)ac2(abScbad

T

2222

CILINDRO CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN.- Es el sólido generado por un rectángulo, cuando gira alrededor de uno de sus lados tomados como eje.

Nota .- Las fórmulas aplicadas en un prisma recto también se aplican al cilindro de revolución.

1.- El área de la superficie lateral de un cilindro recto es igual al producto del perímetro de la base y su altura.

2.- El área de la superficie de un cilindro recto es igual al área de la superficie lateral más 2 veces el área de la base.

Stotal = 2R . g + 2 R2 Stotal = 2R (g + R)

3.- El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base y su altura.

CILINDRO CIRCULAR RECTO (O DE REVOLUCIÓN)

gRV

RgRSRgS

T

L

222

S.R. sección recta

d

a

b

c

Volumen = a.b.c

d2 = a2 + b2 + c2

d

a b

c

B

B

h

R

g

Slateral = 2P(base) . h

Slateral = 2R. g

2R

g

Stotal = S(lateral) + 2S(base)

Volumen = S(Base) . h

h g

R

R

42

CILINDRO OBLICUO Si se corta a un cilindro recto con dos plano paralelos se obtiene un cilindro oblicuo cuyas bases son elipses. Nota.- B: elipse Sección recto: círculo

1. El área de la superficie lateral es un círculo oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta y la generatriz.

2. El área de la superficie total de un

cilindro oblicuo es igual al área lateral más 2 veces el área de la base (elipse)

3. El volumen de un cilindro oblicuo es igual

al producto del área de la base y su altura o también el producto del área de la sección recta y su generatriz.

Cilindro Oblicuo

L S.R

T L

S.R

S 2p gS S 2BV A gV Bxh

Si S.R. es círculo (R2), entonces B es el elipse B = ab

LA PIRAMIDE Es el sólido cuya base es una región poligonal y cuyas caras laterales son regiones triangulares, que tienen un vértice común. PIRÁMIDE REGULAR

Es la pirámide cuya base es una región poligonal regular y cuyo pie de la altura coincide con el centro de la base.

1. El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base y su apotema.

2. El área de la superficie total de una pirámide regular es igual al área de la superficie lateral más el área de la base.

3. El volumen de toda pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base y su altura.

B

B

h r

Sección recta

g

Slateral = 2P(sección recta) . g

Stotal = Slateral + 2S (base)

Volumen = Sbase . h

Volumen = S (Sección recta) .g

Slateral = 2r . g

a b

B

hg

SR

B

B

Apotema de la pirámide (ap)

Vértice

Altura de la pirámide (h)

Slateral = P(base).ap

Stotal = Slateral + S(base)

Volumen = S(Base) . h

43

Pirámide regular

L P

T L

S PB sS S B

1V Bxh3

Pirámide Irregular

L

T L

S área de caras lateralesS S B

1V Bxh3

TRONCO DE PIRÁMIDE Es la porción de una pirámide, comprendido entre la base y la sección que determina un plano secante a las aristas. Si el plano secante es paralelos a la base, el tronco de pirámide se denomina de bases paralelas.

Tronco de Pirámide regular

L B B

T L 1 2

1 1 2 2

1 2S P P

S S B BhV B B B B3

Tronco de pirámide irregular

L

T L 1 2

1 1 2 2

S área caraslateralesS S B B

hV B B B B3

Tronco de pirámide de 2da especie

1

2

1 1 2 2

B EnplanosParalelosBhV B B B B3

EL CONO Es el sólido geométrico determinado al hacer girar una vuelta a un triángulo rectángulo. Alrededor de uno de sus catetos tomado como eje. Por tal motivo se le llama circular recto o cono de revolución.

NOTA.- Las fórmulas aplicadas en una pirámide regular son aplicadas también en el cono circular recto. 1) 2) Stotal = R. g+R2 Slateral = R (g + R)

3)

II

h ap

B b

b

B

h

B1

B2

Volumen =

2Bta

1B

h

ta

2B

1B

h

2B

1B

h

B R

h g

Slateral = R. g

Stotal = Slateral + S(base)

Volumen =

44

Resumen

L

T

2

S RgS R g R

1V R h3

21V R h3

360ºRº

g

2 2 2g h R

TRONCO DE CONO Es la porción de cono comprendido entre la base y la sección que determina un plano secante a dicho cono, si el plano es paralelos a la base, el tronco de cono se denomina de bases paralelas.

1) 2) 3)

Tronco de como circular recto L

2 2T L

2 2

S R r g

S S R rhV R Rr r

3

360º R rº

g

Desarrollo de la superficie lateral del tronco

Tronco de cono oblicuo T L 1 2

1 1 2 2

S S B BhV B B B B3

Tronco de cono de 2da especie

1

2

1 1 2 2

B EnplanosParalelosBhV B B B B3

Volumen =

Slateral =(PB1 + PB2)g

Stotal = Slateral + SB1 + SB2

B1

B2 r

g h

R

2 R

g

LS

gg

R R

h

hg

R

r

g

g

2 r

2 R

LS

2B

1B

h

1B

2B

h

45

LA ESFERA Es el sólido geomét5ico determinado al hacer girar una vuelta a un semicírculo, alrededor de su diámetro tomado como eje. SUPERFICIE ESFÉRICA.- Es la superficie que genera una semicircunferencia cuando gira una vuelta alrededor de su diámetro tomado como eje.

1)

2) Uso esférico (superficie) Cuña esférica (volumen)

Superficie esférica y Volumen

2E

33

e

S 4 R4 dV R3 6

3.1416

Huso esférico (superficie) y cuña esférica (volumen)

2

H.Eº RS90º

3

C.Eº RS270º

Sector esférico (volumen) Anillo esférico (volumen)

2A.E

1V AB h6

Zona esférica (superficie) y el segmento esférico (volumen)

Z.E2 23

1 2S.E

S 2 Rh

r h r hhS6 2 2

Casquete esférico y segmento esférico de una base

Z.E3 2

S.E

2

S.E

S 2 Rh

h r hS6 2hV 3R h3

Sesférica = 4R2

Volumen = R3

R

R

R

S=

V=

R

0 d

0

R

R

0

R

R

h

2S.E

2C R h3

R0

h

R0

h

h0

A

B

h0R

2r

1r

h

0R

r

46

TEOREMA DE PAPPUS – GULDIM 1. El área generada por una figura que gira

alrededor de un eje coplanar y exterior, es igual al producto de la longitud de la figura, por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad.

2. El volumen engendrado por la rotación de

una figura que gira alrededor de un eje coplanar y exterior es igual al producto del área de la figura por la longitud de la semicircunferencia que describe su centro de gravedad.

Corte del volumen Obtenido

TEOREMA DE APPUS GULDING 1. Superfice generada

GS 2 XL X: Distancia del centro de gravedad de la línea al eje L: Longitud de la línea cerrada o abierta Volumen generado

GV 2 XA A: Área de la región plana OTROS POLIEDROS REGULARES 1. Tetraedro regular

2

3

a 6h=3

A=a 3a 12V=

12

A eje

x

B

l

Corte de la superficie obtenida

eje

S = 2 x (l)

eje Corte del volumen obtenido

V=2 x (S)

C.G.

S

eje

x

360º

XL C.G

EJE

360º

X

A

C.G EJE

ah

47

2. Exaedro regular ver prismas

L P

T L

S PB sS S B

1V Bxh3

3. Octaedro regular

2T

3

d a 2A 2a 3

a 2V3

4. Dodecaedro regular

2TS 3a 25 10 5

2aV 15 7 5

4

5. Icosaedro regular

2TS 5a 3

25a 3 5V

12

RELACIÓN DE SÓLIDOS

1 2V V

2. Teorema de Arquímedes

cilindro esfera conoV V V3 2 1

3. Tetraedros que tienen un ángulo triedro congruente Tetraedros {SABC; SDEF Angulos triedros *S ABC

Congruentes *S DEF

SABC

SDEF

V SA.SB.SCV SD.SE.SF

4. Sólidos semejantes Relación de volúmenes

3 3 331 1 1 1

3 3 32 2 2 2

V H b r ..... kV H b r

Relación de superficie 2

L T 21 1 1 12

2 L2 T2 2

S SB h ...... kB S S h

OTRAS PROPIEDADES 1. Poliedro circunscrito a una esfera o sólido con esfera Inscrita R: radio de la esfera inscrita

sólido T1V S .R3

a

b

a

a

II

h ap

B b

b

1V

2V

S

AB

C

D F

E

1h

2h1h

1B

2b

1b 1B

2B 2B

R

48

2. Tetraedros r: radio de la esfera inscrita h1; h2; h3; h4 alturas

1 2 3 4

1 1 1 1 1r h h h h

3. Tetraedro con un ángulo triedro trirrectángulo

2 2 23

1 1 1 1h a b c

2AOB ABC AHB

2BOC ABC BHC

2AOC ABC AHC

2 2 22AOB BOC AOC ABC

S S S

S S S

S S S

S S S S

4. Área de la sección determinada por un plano equidistante de las bases del tronco de pirámide o cono

21 2

mB B

S2

Bm: Base media

21 2

mB BB

2

1 2m

r rr2

r

A

O

C

B

ah

c

b

H

h2

h2

1B

mS

2B

mB

1r

2r

h2

h2

geometria

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