PONTO, RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Geometria Analítica

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSPONTO MÉDIO

RAZÃO DE SECÇÃOCONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS

PONTOS

Estudo do ponto

Distância entre dois pontos

Ponto médio

dA,B = √(xB-xA)² + (yB – yA)²

M = (xA + xB /2, yA + yB/2)

Estudo do ponto

Origem, e extremidade

Ponto divisor

OP = r PE

Estudo do ponto – Razão de secção

Condição de alinhamento de três pontos

xa ya 1 xb yb 1 = 0

xc yc 1

EQUAÇÕES DA RETAPOSIÇÕES

RELATIVAS ENTRE RETAS

ÂNGULOS ENTRE RETAS

DISTÂNCIA ENTRE - ponto e reta- RetasINEQUAÇÕES NO

PLANO

Estudo da reta

Reduzida:y = mx + p

Segmentária:x/p + y/q = 1

Equações da reta

Equação geral: ax + by + c = 0

Equação fundamental:y - yA = m (X- XA)

Equações da reta

Posições relativas entre retas

Retas Paralelas As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.

Assim para r//s, temos:

Posições relativas entre retas

Retas Concorrentes As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.

Assim para r e s concorrentes, temos:

Posições relativas entre retas

Retas Perpendiculares É um caso particular de reta concorrente. Duas retas

são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:

Ângulos entre retas

Distância entre ponto e reta

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento perpendicular a reta. Para estabelecer a distância: equação geral da reta s:

ax0 + by0 + c = 0 coordenada do ponto:

P(x0,y0)

Distância entre retas

No caso geral:Seja x = 0 em r:

a(0) + by + cr = 0 y = -cr/b

Logo: P( 0, -cr/b)

Portanto: dP,s = |a(0) + b(-cr/b) + cs|

√a² + b²

dP,s = |b(-cr/b) + cs|

√a² + b²

r

EQUAÇÃO GERAL E REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

POSIÇÕES RELATIVAS PONTO E CIRCUNFERÊNCIA RETA E CIRCUNFERÊNCIA

CIRCUNFERÊNCIA E CIRCUNFERÊNCIA

Estudo da circunferência

Equações da circunferência

Geral x² – 2xa + a² + y² - 2by + b² = r²

Reduzida r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Ponto e circunferência

dQ,0 < Raio Q é interno a λ

dP,0 = Raio P é pertencente a λ

dL,0 < Raio L é externo a λ

y0

x0

QP

L

o

Reta externa Reta tangente

A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência. D > R.

A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida. D = R

Reta e circunferência

Reta secante

A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante.

Reta e circunferência

Externa Interna

dO1,O2 > r1 + r2

λ1 ∩ λ2 = Ø

dO1,O2 < r1 + r2

λ1 ∩ λ2 = Ø

Circunferência e circunferência – não possuem ponto comum

Tangente interna Tangente Externa

dO1,O2 = r1 + r2

λ1 ∩ λ2 = {P}

dO1,O2 > r1 - r2

λ1 ∩ λ2 = {P}

Circunferência e circunferência –Um ponto em comum

Secante Cocêntrica

|r1 – r2|< dO1,O2 < r1 + r2 λ1 ∩ λ2 = {A,B}

dO1,O2 = 0 λ1 ∩ λ2 = Ø ou λ1 ∩ λ2 = λ1 = λ2

Circunferência e circunferência – Dois pontos em comum