DIRECCIN GENERAL DE BACHILLERATOBIBLIOTECA CARLOS FUENTESTaller de geometra analtica . para bachilleratoEXPOSITOR Ing. Vctor Manuel Prez Ladrn de Guevara

.

Introduccin a la Geometra Analtica

La Geometra Analtica tiene por objeto la resolucin de problemas geomtricos utilizando mtodos algebraicos.

El sistema que se emplea para representar grficas fue ideado por el filsofo y matemtico francs Descartes (1.596 -1.650), quien us su nombre latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razn se conoce con el nombre de ejes cartesianos.La geometra analtica estudia la resolucin de problemas geomtricos utilizando mtodos algebraicos;es en donde se representan figuras mediante expresiones algebraicas y viceversa,haciendo uso en gran parte de la geometra plana.

Sistema coordenado unidimensional que consta de un eje numrico (recta numrica) en donde se escoge un origen O, un segmento como unidad de longitud y un sentido positivo (el opuesto es llamado negativo).5Al sistema construido por dos ejes coordenados unidimensionales intersectados perpendicularmente en sus orgenes se denomina sistema coordenado bidimensional rectangular o plano cartesiano.Veracruz 5 km

Plano cartesianoCuadrante 1Cuadrante 4Cuadrante 3Cuadrante 2( + ,- )( - ,- )( - ,+ )( + ,+ )Todos los puntos del plano estn definidos por una pareja de coordenadas, la primera se llama abscisa (x) y la segunda ordenada (y)Absisas xOrdenadas y

Plano cartesianoCoordenadas de los puntos en el plano: ABSCISA Y ORDENADA Absisas xOrdenadas y(-2,6)(-2,-4)(4,-8)(6,4)

Graficar las siguientes coordenadasLaboratorio de Geometra AnalticaA(1,2) C(2,1) E(2,-1) G(1,-2) I(-1,2)B(3,3) D(5,0) F(3,-3) H(0,-5) J(-3,-3)

Lugares geomtricosAl conjunto de puntos en el plano cartesiano que cumple una o ms condiciones especficas sele llama lugar geomtrico. Cada condicin se indica mediante una ecuacin en dos variables x yy, o bien, por una inecuacin tambin en las dos variables x y y.El lugar geomtrico de los puntos P(x, y)del plano cartesiano, tales que:y = x + 1

R = {(x, y)y = x + 1}

Lugares geomtricosEl lugar geomtrico de los puntos P(x, y)del plano cartesiano, tales que:

y = x2 1

R = {(x, y)y = x2 1}

Simetrias(4, 4)(4,-4)(-4,-4)(-4, 4)Simetra eje ySimetra origenSimetra eje x

SimetrasPunto al eje x al eje y al origen

A (2, 2)

B (3, 5)

C (10, 12)

D (7, 7)

Intersecciones con los ejesLas intersecciones con los ejes son caractersticas que se deben tener en cuenta al hacer unagrfica.Las intersecciones con el eje x son los puntos donde la grfica de la ecuacin intersecta el ejex, y las intersecciones con el eje y son los puntos donde la grfica de la ecuacin intersecta eleje y, como se muestra a continuacin.

Para obtener las intersecciones con el eje x, se suponey = 0 en la ecuacin y resolvemos la ecuacin que resulte en trmino de x. Si el valor a es una solucin de la ecuacin planteada,entonces, el punto (a, 0) es un punto de interseccin con el eje x. A estos puntos de interseccin se les da el nombre de abscisas al origen.

Anlogamente, para obtener las intersecciones con el eje y, se supone x = 0 en la ecuacin y resolvemos la que resulte en trmino de y. Si el valor b es una solucin de la ecuacin planteada,entonces, el punto (0, b) es un punto de interseccin con el eje y. A estos puntos de interseccin se les da el nombre de ordenadas al origen.

En cada uno de los siguientes incisos, dada la ecuacin, encuentra las intersecciones con los ejes 1.- 2x y + 6 = 0

InterseccionesCon x Si y = 0 entonces,2x + 6 = 0x = 6/2 =x = 3

Con ySi x = 0 entonces,y = 6 = 0y = 6y = 6

Interseccin con el eje x: (3, 0)Interseccin con el eje y: (0, 6)

Intersecciones Con x Si y = 0 entonces2x2 5x 3 = 0(2x + 1) (x 3) = 0x1 = 1/2, x2 = 3

Con ySi x = 0 entoncesy = 3

Intersecciones con el eje x: (1/2, 0), (3, 0)

Intersecciones con el eje y: (0, 3)2.- y = 2x2 5x 3

1.- y2 x + 1 = 0Graficar las siguiente ecuacin y encontrar sus simetras.Si sustituimos y por y, tenemos:

(y)2 x + 1 = 0

y2 x + 1 = 0 (ecuacin equivalente)

entonces, su grfica es simtrica respecto al eje x.

Graficar las siguiente ecuacion y encontrar sus simetrias.2.- 2x2 y = 0Si sustituimos x por x, tenemos:

2(x)2 y = 0

2x2 y = 0 (ecuacin equivalente)

entonces, su grfica es simtrica respecto al eje y.

Graficar las siguientes ecuaciones y encontrar sus simetrias.3.- y = 1 x

Si sustituimos x por x y y por y, tenemos:

y = 1 x

y = 1 (ecuacin equivalente) x

entonces, su grfica es simtrica respecto al origen.

Ana es estudiante del tercer semestre de bachillerato y los fines de semana ayuda a su to Fidel en su negocio, el cual consiste en la venta de tortas. El precio de cada torta es de $15.00,quedndole $8.00 de ganancia. Por aniversario quiere ofrecer una oferta a sus clientes,para lo cual pide a Ana que analice la oferta que propone hacer para obtener una mnima ganancia, pero sin prdidas; l dice que descontar por cada torta $0.50 por el nmero detortas que compre un cliente, por lo que Ana hace una tabla y en base a esta determina la siguiente ecuacin:g = 8t 0.5t2Analiza la grfica y determina el numero de tortas que le conviene vender para obtener la mayor ganancia.

Analiza la grfica y determina el numero de CDs que le conviene vender para obtener la mayor ganancia.2. El gerente de una empresa que produce y vende CDs multimedia educativos ha determinado que la utilidad de su producto se modela mediante la ecuacin y = 4x x2, donde y est expresada en miles de pesos y x est expresada en miles de CDs. representa grficamente esta situacin

Para cada una de las siguientes ecuaciones:

traza su grfica encuentra simetras las intersecciones con los ejes

x y 4 = 0 b) x2 2y + 4 = 0 c) x2 + 2y2 4 = 0d) x + 4y2 8 = 0 e) 2x2 + 2y2 50 = 0f) 4x2 4y2 16 = 0

Distancia entre dos puntos+abcc = a2 + b2 b2c2=a2

Distancia entre dos puntosabcx1x2y1y2c = a2 + b2 x2 -x1 y2 -y1 2158a =b =

Encontrar la distancia entre estos puntosA(1,2) C(2,1) E(2,-1) G(1,-2) I(-1,2)B(3,3) D(5,0) F(3,-3) H(0,-5) J(-3,-3)

Coordenadas del punto medio de un segmentoLas coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.xmym

Pendiente del segmento de rectaPendiente dados dos puntosEl ngulo de inclinacin a de una recta es el que se forma entre el eje x y la recta.La pendiente m de una recta es la tangente trigonomtrica de su ngulo de inclinacin:

Cateto opuestoCateto adyacentem = tan a

Determinar el valor de la pendiente del segmento que pasa por estos puntos:P1 (3,4) P2 (5, 2)

Determinar el valor de la pendiente del segmento que pasa por estos puntos:P1 (3,4) P2 (5, -2)

Determinar el valor de la pendiente del segmento que pasa por estos puntos:P1 (2, 2) P2 (-2, 2)

Condiciones de paralelismoUna caracterstica de las lneas paralelas es que son equidistantes; es decir, la distancia entreellas es siempre la misma. Con lo anterior se deduce que stas siempre tienen el mismo ngulo de inclinacin y, en consecuencia, la misma pendiente, como se apreciaen la figura. Simblicamente, lo anterior se representa de la siguiente manera:

Condiciones de perpendicularidadUna caracterstica de las lneas paralelas es que son equidistantes; es decir, la distancia entre ellas es siempre la misma. Con lo anterior se deduce que stas siempre tienen el mismo ngulo de inclinacin y, en consecuencia, la misma pendiente, como se apreciaen la figura.

En la siguiente tabla se muestra la pendiente de una recta 1 y con base en las condiciones vistas anteriormente, se calculan las pendientes de la recta paralela y perpendicular a 1.

Determinar si la recta que pasa por P1 y P2 es paralela o perpendicular a la recta que pasa por P3 y P4, en cada uno de los siguientes incisos. Construir las grficas correspondientes y verificar los resultados.P1(7, 0), P2(1, 4), P3(1, 6), P4(1, 2)

b) P1(8, 1), P2(6, 2) P3(2, 5), P4(4, 9)c) P1(3, 2), P2(2, 0) P3(0, 3/4), P4(3/10, 0)d) P1(3, 0), P2(0, 3) P3(3, 0), P4(0, 3)