geometria analitica dello spazio le rette ed i piani
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Geometria analitica dello spazio
Le rette ed i piani
Le rette ed i piani
Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz con versori fondamentali i, j, k.
Distanza tra due punti
A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB)
d(AB)=2)(2)(2)(
Az
Bz
Ay
By
Ax
Bx
Punto medio di un segmento
A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB) gli estremi del segmento AB. M(x,y,z) sia il punto medio del segmento AB. Allora AM=MB e quindi passando alle componentix-xA=xB-x, y-yA=yB-y, z-zA=zB-zA
22BABA zz
zyy
y
2BA xx
x
Punti simmetrici
P(a,b,c) un punto. Si chiamano:il simmetrico di P rispetto al piano xz il punto Q(a,-b,c), il simmetrico di P rispetto al piano yz il punto R(-a,b,c),il simmetrico di P rispetto al piano xy il punto S(a,b,-c). Si chiamano: il simmetrico di P rispetto all’asse x il punto A(a,-b,-c), il simmetrico di P rispetto all’asse y il punto B(-a,b,-c), il simmetrico di P rispetto all’asse z il punto C(-a,-b,c), il simmetrico di P rispetto all’origine il punto D(-a,-b,-c).
Rappresentazione analitica del piano
Un piano si può individuare in due modi:
- Assegnando un punto P0 di ed un vettore w non nullo ortogonale ad
- Assegnando tre punti non allineati di
Equazione vettoriale del piano
Se consideriamo il piano passante per P0(x0,y0,z0) e ortogonale al vettore non nullo w(a,b,c), allora un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad se e solo se il vettore P-P0 è ortogonale a w;
(1) w(P-P0)=0
Equazioni del piano
La (1) si chiama equazione vettoriale del piano.Esplicitando le componenti la (1) si può scrivere :(1’) a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0ed è detta equazione cartesiana del piano.La (1’) si può scrivere (2) ax+by+cz+d=0, ossia come
un’equazione polinomiale di I grado in x,y, z dove i coefficienti a,b,c di x, y, z rispettivamente, sono le componenti di un vettore non nullo ortogonale ad .
Viceversa ogni equazione del tipo (2) con a, b, c non tutti nulli rappresenta un piano e tale piano è ortogonale al vettore (a,b,c).
Rappresentazione analitica del piano
OSSERVAZIONE 1Se un piano ha equazione ax+by+cz+d=0 e se
k0, l’equazione kax+kby+kcz+kd=0 rappresenta lo stesso piano (infatti è soddisfatta dagli stessi punti). Viceversa si dimostra che se due equazioni ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0 rappresentano lo stesso piano, allora esiste un k 0 tale che a’=ka, b’=kb, c’=kc.
OSSERVAZIONE 2
Mentre è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale al piano (ad esempio mediante il vettore (a,b,c)), non è possibile determinare in maniera univoca una direzione parallela al piano , poiché non tutti i vettori paralleli ad sono tra loro paralleli.
Piano per tre punti non allineati
Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio. Allora esiste un unico piano passante per i tre punti: esso si può pensare come il piano per A ortogonale al vettore w= (B-A)(C-A) (che è non nullo, essendo i tre punti non allineati).
L’equazione vettoriale di è:
(P-A)·(B-A)(C-A)=0
Esplicitando il prodotto misto in termini di componenti si trova l’equazione cartesiana
0
ACACAC
ABABAB
AAA
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
Equazione di un piano come sviluppo di un determinante
Rette nello spazio
Una retta nello spazio si può individuare in vari modi:
assegnando un punto di r ed un vettore parallelo ad r
assegnando due punti distinti di r
Retta per un punto e parallela ad un vettore
Una retta r dello spazio si può pensare come la retta passante per il punto P0(x0,y0,z0), e parallela al vettore non nullo v(l,m,n). Quindi r è il luogo dei punti P(x,y,z) dello spazio tali che P-P0 è parallelo a v, cioè
P-P0=tv
Equazioni parametriche di una retta
Passando alle componenti si ottiene
ntzz
mtyy
ltxx
cioè
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0
0
0
0
Le componenti (l,m,n) di v si chiamano parametri direttori di r.
Se A e B sono due punti distinti dello spazio ed r è la retta passante per A e B allora un vettore parallelo ad r è v=B-A, di componenti (xB-xA, yB-yA, zB-zA).
Le equazioni parametriche di r sono:
Retta per due punti
)(
)(
)(
ABA
ABA
ABA
zztzz
yytyy
xxtxx
Equazioni cartesiane della retta
Consideriamo due piani non paralleli:
) ax+by+cz+d=0
’) a’x+b’y+c’z+d’=0Essi si incontrano lungo una retta r, che è costituita da tutti e soli i punti P(x,y,z) le cui coordinate soddisfano il sistema lineare:
0''''
0)2(
dzcybxa
dczbyax
Rappresentazione cartesiana della retta r
Il sistema (2) si chiama rappresentazione cartesiana della retta r . Il vettore w=(a,b,c) è ortogonale ad , mentre il vettore w’=(a’,b’,c’) è ortogonale ad ’ ; quindi il loro prodotto vettoriale v=ww’ ha componenti
un vettore parallelo ad r.
'',
'',
'' ba
ban
ca
cam
cb
cbl
Osservazione
Nel caso delle rette nello spazio, non è possibile determinare in maniera univoca una direzione ortogonale ad una retta, così come avviene nel caso delle rette del piano.
Relazioni tra equazioni cartesiane ed equazioni parametriche della retta
Per passare da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana della retta r, basta eliminare il parametro t, tra le equazioni parametriche, ottenendo così le equazioni di due piani passanti per r.Se nessuna delle componenti di v è nulla, dalle equazioni parametriche, ricavando t da ciascuna delle tre equazioni e uguagliando i tre risultati si ottengono le seguenti rappresentazioni della retta r:
AB
A
AB
A
AB
A
zz
zz
yy
yy
xx
xxn
zz
m
yy
l
xx
)4(
)3( 000
Le (3) e (4) si chiamano equazioni normali di r
Se nelle equazioni parametriche si ha l=0 (oppure
xB-xA=0), ma le altre componenti di v sono non nulle, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:
AB
A
AB
A
A
zz
zz
yy
yy
xx
oppure
n
zz
m
yy
xx
00
0
Se nelle equazioni parametriche l=m=0 (oppure
xB-xA= yB-yA=0), dalle equazioni parametriche , eliminando il parametro t, si ottiene la seguente rappresentazione cartesiana per r:
A
A
yy
xxroppure
yy
xxr ::
0
0
Passaggio dalla forma cartesiana a quella parametrica
Basta trovare i parametri direttori di r: v(l,m,n) ed un punto P(a,b,c) della retta trovando una delle infinite soluzioni del sistema.
Esempio
Un punto di r è l’origine, mentre i parametri direttori sono (1,1,-3) (definiti a meno di un fattore di proporzionalità), quindi una rappresentazione parametrica di r è:
(x,y,z)=(t,t,-3t)
02
0
zyx
yx
Parallelismo e ortogonalità tra rette
r: P=tv+P0
r’:P=tv’+P0’
Sono ortogonali se e solo se v è ortogonale a v’, vv’=0
Sono parallele se e solo se v è parallelo a v’, v=av’.
Ortogonalità e parallelismo tra piani
) (P-P0)w=0 ’) (P-P’0)w’=0
è parallelo a ’ se e solo se w è parallelo a w’
Se e solo se (a,b,c)=k(a’,b’,c’).
è ortogonale a ’ se e solo se w è ortogonale a w’ se e solo se aa’+bb’+cc’=0.
Ortogonalità e parallelismo tra una retta ed un piano
) (P-P0)w=0r) P=t v+P1
La retta r è parallela a se e solo se v è ortogonale a w se e solo se il loro prodotto scalare è nullo se e solo se al+bm+cn=0La retta r è ortogonale a se e solo se v è parallelo a w se e solo se (a,b,c)=k(l,m,n)
Applicazioni
Proiezione ortogonale di un punto su una retta
La proiezione di un punto P0 (x0,y0,z0) r su r è l’intersezione di r con il piano per P0 ortogonale ad r. Se r ha equazioni parametriche
Tale piano ha equazione
l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0
ntcz
mtby
ltax
Esempio
La proiezione di P(1,0,1) su r) x=y=z=t si ottiene intersecando r con il piano per P ortogonale ad r:
(x-1)+(y-0)+(z-1)=0
.
3
2,
3
2,
3
23
22
Q
t
tzyx
zyx
Proiezione di un punto su un piano
La proiezione di un punto P0 (x0,y0,z0) su un piano si ottiene intersecando la retta r per P0 e ortogonale a con .
.3
1,
3
2,
3
5
3
2
Pet
EsempioDeterminare la proiezione di P0(1,0,1) sul piano di equazione x+y-z=2.La retta r ha equazioni (x,y,z)=(1+t,t,1-t) con il piano x + y – z = 2.
Da cui 1 + t + t - 1+ t =2,
Angolo tra due rette
Due rette r ed s dello spazio non necessariamente incidenti formano un angolo se esistono un vettore v parallelo ad r ed un vettore v’ parallelo ad s formanti un angolo .
Notiamo che se r ed s formano un angolo , esse formano anche l’angolo - .
Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e v’=(l’,m’,n’) è un vettore
parallelo ad s, si ha
.'''
''''coscos
222222 nmlnml
nnmmllvvrs
Angolo tra due piani
È l’angolo formato da due vettori non nulli ortogonali ai due piani. Se i due piani formano un angolo essi formano anche l’angolo - .
Se ) ha equazione ax+by+cz+d=0 e
) ha equazione a’x+b’y+c’z+d’=0
Il vettore w(a,b,c) è ortogonale ad e w’(a’,b’,c’) è ortogonale a . Quindi risulta
.'''
'''cos
222222 cbacba
ccbbaa
Angolo tra una retta ed un piano non ortogonali
È l’angolo che la retta forma con la sua proiezione ortogonale sul piano, e quindi è il complementare dell’angolo che la retta forma con un vettore ortogonale al piano. Se v=(l,m,n) è un vettore parallelo ad r e w=(a,b,c) è un vettore ortogonale ad , si ha
.sin222222 nmlcba
cnbmalr