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Geometria Analítica

Estudo do Plano

Prof° Marcelo Maraschin de Souza

Plano

Equação Geral do Plano

Seja 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) um ponto pertencente a um plano 𝜋 e 𝑛 =𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑛 ≠ 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano.

Plano

Como 𝑛 ⊥ 𝜋, 𝑛 é ortogonal a todo vetor em 𝜋. Então um

ponto P(x,y,z) pertence a 𝜋 se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é

ortogonal ao vetor 𝑛, isto é,

𝑛 ⋅ 𝑃 − 𝐴 = 0ou

(𝑎, 𝑏, 𝑐) ⋅ 𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1 = 0Ou, ainda

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 0

Segue a equação geral do plano

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

Equação Segmentária do Plano

Se um plano 𝜋 intercepta os eixos coordenados nos pontos

(p,0,0), (0,q,0) e(0,0,r) com p,q,r ≠ 0, então 𝜋 admite a

equação

𝑥

𝑝+𝑦

𝑞+𝑧

𝑟= 1

Denominada a equação segmentária do plano.

Para o exercício anterior a equação segmentária da reta é

𝑥

2+𝑦

3+𝑧

6= 1

Exercícios

Obs: o plano mediador de AB é o plano perpendicular a AB

e que contém o seu ponto médio.

Plano

Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos

e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de

determinação de um plano nas quais estes dois elementos

ficam evidentes, mas não explícitos.

Vamos aos exemplos.

Exercícios

Planos Paralelos aos Planos Coordenados

Se duas das componentes do vetor normal 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) são

nulas, 𝑛 é colinear a um dos vetores 𝑖 = (1,0,0) ou 𝑗 =

(0,1,0) ou 𝑘 = (0,0,1), e, portanto, o plano 𝜋 é paralelo ao

plano dos outros dois vetores.

Caso 1: se a=b=0, 𝑛 = 0,0, 𝑐 = 𝑐(0,0,1)=c𝑘, ou seja, o

vetor normal 𝑛 é paralelo a 𝑘, assim o plano 𝜋 é paralelo ao

plano xOy. Ainda, a equação geral do plano 𝜋 é dada por:

𝑐𝑧 + 𝑑 = 0


Neste caso, 𝑛 = 0,0,1 e um ponto pertencente ao plano

A(x,y,4), assim

0. 𝑥 + 0. 𝑦 + 1.4 + 𝑑 = 0𝑑 = −4

Portanto, 𝑧 − 4 = 0 ou 𝑧 = 4 é a eq. do plano 𝝅


Caso 2: se a=c=0, 𝑛 = 0, 𝑏, 0 = 𝑏(0,1,0)=b 𝑗, ou seja, o

vetor normal 𝑛 é paralelo a 𝑗, assim o plano 𝜋 é paralelo ao

plano xOz. Ainda, a equação geral do plano 𝜋 é dada por:

𝑏𝑦 + 𝑑 = 0

Caso 3: se b=c=0, 𝑛 = 𝑎, 0,0 = 𝑎(1,0,0)=a 𝑖, ou seja, o

vetor normal 𝑛 é paralelo a 𝑖, assim o plano 𝜋 é paralelo ao

plano yOz. Ainda, a equação geral do plano 𝜋 é dada por:

𝑎𝑥 + 𝑑 = 0


Considere o ponto A(2,3,4) e as seguintes equações dos

planos:

𝜋1: 𝑥 = 2𝜋2: 𝑦 = 3𝜋3: 𝑧 = 4


Observe que, os planos cartesianos são casos particulares,

onde

𝜋1: 𝑥 = 0 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑂𝑧)𝜋2: 𝑦 = 0 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑂𝑧)𝜋3: 𝑧 = 0 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑂𝑦)

Planos Paralelos aos Eixos Coordenados

Tome como exemplo o plano 3x+4y+2z-12=0

Caso 1: se a=0, a equação seria 4y+2z-12=0 e representa

um plano paralelo ao eixo x. Observe que nenhum ponto do

tipo (x,0,0) satisfaz a equação.


Caso 1: se ainda tivéssemos d=0, a equação resultante

4y+2z=0 representa um plano que passa pela origem e

portanto contém o eixo x, neste caso qualquer ponto do tipo

(x,0,0) satisfaz a equação.


Caso 2: se b=0, a equação seria 3x+2z-12=0 e representa

um plano paralelo ao eixo y.


Caso 3: se c=0, a equação seria 3x+4y-12=0 e representa

um plano paralelo ao eixo z.

Planos

Se d=0, então o plano sempre irá passar pela origem.

Por exemplo, 3x+4y+2z=0

Exercício

Equação Vetorial do Plano

Seja 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) um ponto pertencente a um plano 𝜋 e 𝑢 =(𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) dois vetores paralelos a 𝜋,

porém 𝑢 e 𝑣 não paralelos.

Equação Vetorial do Plano

Para todo ponto P do plano, os vetores 𝐴𝑃, 𝑢 e 𝑣 são

coplanares. Um ponto P(x,y,z) pertence a 𝜋 se, e somente

se, existem números reais h e t tais que

𝑃 − 𝐴 = ℎ𝑢 + 𝑡 𝑣ou

𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2)

Esta equação é denominada equação vetorial do plano.

Equações Paramétricas do Plano

Da equação vetorial do plano, obtemos as equações

paramétricas do plano,

𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡

Exercícios

Equação Vetorial de um Paralelogramo

Dados os pontos A,B e C não em linha reta, os vetores 𝐴𝐵

e 𝐴𝐶 determinam um paralelogramo cuja equação vetorial é

dada por

𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝐴𝐵 + 𝑡(𝐴𝐶) com ℎ, 𝑡 ∈ [0,1],

Onde P representa um ponto qualquer deste paralelogramo.

Equação Vetorial de um Paralelogramo

Ângulos de Dois Planos

Sejam os planos 𝜋1 e 𝜋2 com vetores normais 𝑛1 e 𝑛2,

respectivamente.


Chama-se ângulo de dois planos o menor ângulo que um

vetor normal a 𝜋1 forma com um vetor normal 𝜋2. Sendo 𝜃este ângulo, temos

cos 𝜃 =|𝑛1 ⋅ 𝑛2|

|𝑛1||𝑛2|,

com 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2


Exemplo:

Paralelismo de dois Planos

Sejam os planos

𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0e

𝜋2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

Então, 𝑛1 ⊥ 𝜋1 e 𝑛2 ⊥ 𝜋2.

Logo, para dois planos serem paralelos, basta que seus

vetores normais sejam paralelos,

𝜋1 ∥ 𝜋2 → 𝑛1 ∥ 𝑛2 →𝑎1𝑎2

=𝑏1𝑏2

=𝑐1𝑐2


Se além das igualdades anteriores tivermos

𝑎1𝑎2

=𝑏1𝑏2

=𝑐1𝑐2=𝑑1𝑑2

os planos serão coincidentes.

Perpendicularidade de dois Planos

Sejam os planos

𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0e

𝜋2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

Então, 𝑛1 ⊥ 𝜋1 e 𝑛2 ⊥ 𝜋2.

Logo, para dois planos serem perpendiculares, basta que

seus vetores normais sejam ortogonais,

𝜋1 ⊥ 𝜋2 → 𝑛1 ⊥ 𝑛2 → 𝑛1 ⋅ 𝑛2 = 0

Perpendicularidade de dois Planos

Exercícios

Ângulo entre reta e plano

Seja uma reta r com direção do vetor 𝑣 e um plano 𝜋, sendo

𝑛 o vetor normal a 𝜋.

O ângulo 𝜙 da reta r com o plano 𝜋 é o complemento do

ângulo 𝜃 que a reta r forma com uma reta normal ao plano.

Ângulo entre reta e plano

Tendo em vista que 𝜙 + 𝜃 =𝜋

2, e portanto, cos(𝜃)=sen(𝜙),

temos

sen 𝜙 =| 𝑣 ⋅ 𝑛|

| 𝑣||𝑛|,

com 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋/2

Paralelismo entre reta e plano

Seja a reta r e o plano 𝜋, temos

𝑟 ∥ 𝜋 → 𝑣 ⊥ 𝑛 → 𝑣 ⋅ 𝑛 = 0

Perpendicularidade entre reta e plano

Seja a reta r e o plano 𝜋, temos

𝑟 ⊥ 𝜋 → 𝑣 ∥ 𝑛 →𝑎1𝑎2

=𝑏1𝑏2

=𝑐1𝑐2

Exemplo

Exercícios

Reta contida no Plano

Uma reta r está contida em um plano 𝜋 se:

• Dois pontos A e B de r forem também de 𝜋ou

• 𝑣 ⋅ 𝑛 = 0, onde 𝑣 é um vetor diretor de r e 𝑛 um vetor

normal a 𝜋. E um ponto A ∈ 𝜋, sendo A ∈ 𝑟.

Exemplo

Interseção de dois Plano

Sejam os planos não-paralelos

𝜋1: 5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0e

𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0

A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r

cujas equações se deseja determinar.

Vamos apresentar duas formas de resolver:


Caso 1)

Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de

qualquer ponto (x,y,z) de r devem satisfazer

simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os

pontos de r constituem a solução do sistema.

5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0

Que tem infinitas soluções e (em termos de x) é dado por

𝑟: 𝑦 = 3𝑥 − 1𝑧 = −2𝑥 + 4


Caso 2)

Outra maneira é determinar um de seus pontos e um vetor

diretor. Seja o ponto A ∈ 𝑟 que tem abcissa zero, então as

equações ficam

−𝑦 + 𝑧 − 5 = 0𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0

Logo, temos um ponto de r, A(0,-1,4).


Caso 2)

Como o vetor diretor de r é simultaneamente ortogonal a

𝑛1 = 5,−1,1 𝑒 𝑛2 = (1,1,2), normais aos planos, o vetor

diretor pode ser dado por 𝑣 = 𝑛1 × 𝑛2


Caso 2)

Escrevendo as equações paramétricas de r, temos

𝑟: 𝑥 = 𝑡

𝑦 = −1 + 3𝑡𝑧 = 4 − 2𝑡

Interseção de reta com plano

Exemplos:

Se I(x,y,z) é um ponto de interseção de r e 𝜋, suas

coordenadas devem verificar as equações do sistema.

Interseção de reta com plano

Exemplos:

Distância de Ponto e Plano

Dado um ponto P e um plano 𝜋, queremos calcular a

distância d(P, 𝜋). Seja A um ponto qualquer de 𝜋 e 𝑛 um

vetor normal a 𝜋. A distância d(P, 𝜋) é o módulo da projeção

de 𝐴𝑃 na direção de 𝑛.


𝑑 𝑃, 𝜋 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑛𝐴𝑃 = 𝐴𝑃 ⋅𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑑 𝑃, 𝜋 = 𝐴𝑃 ⋅𝑛

𝑛

Considerando P(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 e

A(𝑥1, 𝑦1𝑧1)∈ 𝜋, temos

𝑑 𝑃, 𝜋 =|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²

Distância entre dois Planos

A distância entre dois planos é definida somente quando os

planos forem paralelos.

Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a

distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro.

𝑑 𝜋1, 𝜋2 = 𝑑 𝑃1, 𝜋2 = 𝑑 𝜋1, 𝑃2

Com 𝑃1 ∈ 𝜋1 𝑒 𝑃2 ∈ 𝜋2.

Distância entre dois Planos

Exemplo:

Distância entre reta e plano

A distância entre reta e plano é definida somente quando

forem paralelos.

Dada uma reta r e um plano 𝜋 , a distância entre eles é a

distância de um ponto qualquer da reta ao plano, isto é

𝑑 𝑟, 𝜋 = 𝑑 𝑃0, 𝜋

Com 𝑃0 ∈ 𝑟.

Distância entre reta e plano

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