geometria analítica plana-apostila-prof. f. henrique
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8/20/2019 Geometria Analítica Plana-Apostila-prof. f. Henrique
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
PROF. FERNANDO HENRIQUE
2010
Direitos Autorais ReservadosÉ proibida a reprodução total ou parcial desta apostila sem autorização do autor
y
B’(0,-b)
M(x,y)
x
A’(-a,0) A(a,0)
B(0,b)
F’(-c,0) F(c,0)
a b
c
a
y
-
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Ao Aluno,
Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propósito de otimizar e facilitar oacompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria
Analítica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de
um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades
matemáticas com o intuito de tornar o texto mais amigável possível, sem perder a
lógica e o rigor necessários. Contudo é desejável que você tenha acesso a outras
bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais serão indicadas em sala
de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilação destafantástica ferramenta matemática que é a Geometria Analítica.
“Um conhecimento básico em matemática e boa vontade são pré-requisitos para
o estudo desta disciplina.”
Bons estudos.
Belo Horizonte, julho de 2009.
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Introdução O que é Geometria Analítica....................................................................... 4Capítulo 1 Espaços dimensionais; Sistemas de referência; Sistema de
coordenadas retangulares.......................................................................... 41.1 Espaços dimensionais................................................................................... 41.2 Sistemas de referência para R²..................................................................... 51.3 O sistema de coordenadas retangulares....................................................... 6
Capítulo 2 Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio................... 82.1 Distância entre dois pontos............................................................................ 82.2 Coordenadas do ponto médio........................................................................ 102.3 Exercícios propostos...................................................................................... 13Capítulo 3 Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de
retas; Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas;Distância entre ponto e reta........................................................................ 15
3.1 Retas em R²................................................................................................... 153.2 Coeficiente angular........................................................................................ 153.2.1 Coeficiente angular através de dois pontos................................................... 183.3 Equações da reta........................................................................................... 213.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.................................................. 213.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular....................................... 223.3.3 Equação reduzida.......................................................................................... 23
3.3.4 Equação segmentária.................................................................................... 233.3.5 Equação geral................................................................................................ 243.4 Interseção de retas......................................................................................... 263.5 Paralelismo..................................................................................................... 273.6 Perpendicularismo.......................................................................................... 273.7 Ângulo entre duas retas................................................................................. 293.8 Distância entre ponto e reta........................................................................... 303.9 Exercícios propostos...................................................................................... 32Capítulo 4 Circunferência.............................................................................................. 354.1 Definição........................................................................................................ 354.2 Equação da circunferência............................................................................ 364.3 Equação geral da circunferência................................................................... 374.4 Identificando o centro e o raio na equação geral da circunferência............... 384.5 Exercícios propostos...................................................................................... 40Capítulo 5 As Seções Cônicas...................................................................................... 425.1 Elipse.............................................................................................................. 435.1.1 Elementos da elipse....................................................................................... 435.1.2 Equação reduzida da elipse........................................................................... 455.1.3 Equações reduzidas genéricas da elipse....................................................... 465.1.4 Excentricidade................................................................................................ 485.1.5 Exercícios propostos...................................................................................... 505.2 Hipérbole........................................................................................................ 525.2.1 Elementos da hipérbole.................................................................................. 535.2.2 Equações reduzidas genéricas da hipérbole................................................. 545.2.3 Excentricidade................................................................................................ 565.2.4 Exercícios propostos...................................................................................... 595.3 Parábola......................................................................................................... 61
5.3.1 Elementos da parábola.................................................................................. 625.3.2 Equações reduzidas genéricas da parábola.................................................. 635.3.3 Exercícios propostos...................................................................................... 66Capítulo 6 Translação de eixos coordenados............................................................. 686.1 Objetivo.......................................................................................................... 686.2 Relação entre os sistemas XoY e X’o’Y’........................................................ 716.3 Exercícios propostos...................................................................................... 74Capítulo 7 Noções do sistema de coordenadas polares............................................ 767.1 Introdução...................................................................................................... 767.2 Elementos...................................................................................................... 777.3 Relação entre os sistemas cartesiano e polar............................................... 78Apêndice I lgebra.......................................................................................................... 81Apêndice II Fórmulas Trigonométricas.......................................................................... 82Apêndice III Geometria...................................................................................................... 83
Apêndice IV Seções Cônicas............................................................................................ 85Descartes ........................................................................................................................ 88Bibliografia ........................................................................................................................ 89
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Introdução
O que é Geometria Analítica?
O estudo da geometria é um assunto que fascina os matemáticos desde a
antiguidade. É provável que a própria matemática tenha surgido impulsionada
pela necessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos,
relacionados à geometria. Existem vários ramos de estudo da geometria como a
geometria projetiva, geometria descritiva e geometria analítica. A Geometria
Analítica é considerada por muitos autores como sendo um método de estudo de
geometria.
A Álgebra é a ferramenta utilizada no estudo de geometria através da GeometriaAnalítica. Na essência, a Geometria Analítica consiste na transformação de
problemas geométricos em problemas algébricos correspondentes.
Para a Geometria Analítica um ponto é uma combinação de números reais e uma
curva é uma equação.
Capítulo 1Espaços Dimensionais; Sistemas de Referência; Sistema de Coordenadas
Retangulares.
1.1 Espaços Dimensionais.
Quando iniciamos um estudo em Geometria Analítica precisamos definir em qual
espaço dimensional estão baseadas nossas informações para a corretainterpretação e solução dos problemas. Podemos trabalhar em n Re R R R 32 ,,
O sistema dimensional R é composto pela reta real (uma dimensão). Uma reta
onde representamos infinitos pontos que são associados aos números reais, de
modo que cada ponto corresponde a apenas um número real.
1 2 3-1 0-3 -2
π 3− 32
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O Sistema dimensional 2 R é o plano, (duas dimensões) onde os pontos são
representados por um par de números reais e as equações das curvas têm duas
variáveis.
Já 3 R , é o que chamamos de espaço, (três dimensões) onde os pontos são
definidos por um terno de números reais e as equações das curvas têm três
variáveis.
Podemos trabalhar, teoricamente, em uma dimensão qualquer, n R , mas neste
texto nos concentraremos principalmente em 2 R .
1.2 Sistemas de Referência para 2 R .
Para utilizar o fantástico poder da geometria analítica no estudo de questões
geométricas, precisamos, antes de mais nada, saber localizar com precisão, os
pontos em um plano.
Podemos definir precisamente a posição de um ponto num plano por meio de um
par de números reais (coordenadas do ponto). Para isso precisamos de um
sistema de referência. Um sistema de referência é composto de um referencial e
de uma regra que define como os pontos serão localizados em relação a este
referencial.
Existem vários sistemas de referência que são regularmente utilizados na
Geometria Analítica. Como exemplo, podemos citar o sistema de coordenadas
retangulares (chamado também de Plano Cartesiano) e o sistema de
coordenadas polares.
Estes sistemas são os mais usados, mas existem outros. Na verdade, podemos
criar sistemas de referência de acordo com nossa necessidade, bastando para
isso, definir um referencial e uma regra para a localização dos pontos no plano.
Podemos estudar as curvas planas por meio de equações descritas em relação a
um sistema de referência. Uma curva plana é um conjunto de pontos que
obedecem a uma determinada regra e sua equação é uma expressão matemática
que define tal regra. Por exemplo, para que um conjunto de pontos seja
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considerado uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma regra do
tipo 0=++ cbyax que é uma equação em relação ao sistema de coordenadas
retangulares. Cada curva tem uma equação bem definida em relação a um
sistema de referência. Ao mudarmos o sistema de referência mudamos também a
equação da curva. Às vezes uma curva possui uma equação mais simples, ou
mais apropriada, em relação a um determinado sistema de referência. Por isso
existem vários, e são utilizados de maneira conveniente.
1.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares.
O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas,
chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si.
Para cada eixo é definida uma escala (normalmente a mesma para os dois) cuja
origem é a interseção.
Os números reais são representados nestes eixos, sendo que a distância entre
dois números inteiros, é uma unidade da escala definida. O número zero está na
interseção dos eixos e é chamado de origem do sistema.O eixo horizontal é o eixo das abscissas que são representadas pela letra x. O
eixo vertical é o eixo das ordenadas, representadas pela letra y.
A figura 1.1 mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de
referência de um plano. Com isso, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser
1 2 3-1 0-3 -2
1
2
3
-1
-3
-2
y
x
Figura 1.1
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perfeitamente localizado. Esta localização será feita medindo-se a distância
orientada (considerando o sinal negativo) de um ponto aos eixos coordenados. A
distância do ponto ao eixo y será sua abscissa e a distância do ponto ao eixo x
será sua ordenada. Isto irá conferir ao ponto um par ordenado de números reais
do tipo ),( y xP .
Esta é a regra para a localização de pontos em um plano em relação ao sistema
de coordenadas retangulares. É importante observar que, a distância do ponto em
relação a um eixo coordenado é o valor absoluto de uma de suas coordenadas,
ou seja, se o ponto estiver localizado à esquerda do eixo y, sua abscissa terá
sinal negativo, bem como sua ordenada terá sinal negativo se ele estiver
localizado abaixo do eixo x. Cada ponto do plano será então identificado por um,
e apenas um, par ordenado de números reais e, cada par ordenado de números
reais representará apenas um ponto do plano. É o que chamamos de
característica biunívoca do sistema de coordenadas retangulares.
Em homenagem a René Descartes (1596 – 1650), cujo nome em Latim era
Renatus Cartesius , filósofo e matemático francês, considerado o pai da Geometria
Analítica (vide texto página 85), o sistema de coordenadas retangularesdesenvolvido por ele, é também denominado de Sistema Cartesiano ou Plano
Cartesiano. Assim o chamaremos daqui em diante.
A figura 1.2 acima mostra, representados no Sistema Cartesiano, os pontos
).3,2()2,2();2,1();1,2( −−−− DeC B A
)1,2( A
)2,1(− B
)2,2( −−C
)3,2( − D
x1 2 3-1 0-3 -2
1
2
3
-1
-3
-2
y
Figura 1.2
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Capítulo 2
Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio.
2.1 Distância Entre Dois Pontos.
Como foi dito anteriormente, a Geometria Analítica utiliza a álgebra como
ferramenta. Então, se quisermos saber qual é a menor distância entre dois pontos
do plano teremos que calcular, e não medir com uma régua. Vamos para tanto,
desenvolver uma técnica, ou fórmula, para calcular a distância entre dois pontos
quaisquer de um plano. Devemos utilizar, contudo, pontos de coordenadasgenéricas, ou seja, pontos que estarão representando qualquer um dos infinitos
pontos de um plano. Com isso a técnica, ou fórmula, desenvolvida para calcular a
distância entre estes pontos genéricos, servirá para calcular a distância entre dois
pontos específicos quaisquer do plano.
Obviamente precisaremos também do nosso já conhecido Plano Cartesiano, pois
já sabemos que, sem um sistema de referência não é possível localizar pontosnum plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distâncias.
Figura 2.1
“A menor distância entre doispontos é o comprimento dosegmento de reta que os une”
)x( 2'
Q
)y,xR( 12
)y,x(P 11
0
y
x
)(y2 "Q )y,(x 22Q
)y(P 1 "
)x( 1'P
r
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A figura 2.1 mostra dois pontos de coordenadas genéricas ),( 11 y xP e ),( 22 y xQ
representados em algum lugar do Plano Cartesiano. Nosso objetivo é definir uma
fórmula para calcular a distância entre estes dois pontos. Faremos isso passo a
passo.
• As projeções dos pontos P e Q nos eixos coordenados nos dão os pontos
P’ e Q’ no eixo x, e P’’ e Q’’ no eixo y;
• Pelo ponto P passa uma reta paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto
R;
• O triângulo PQR é retângulo;
Então, baseado no teorema de Pitágoras, temos:
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
12
222
)()(
)()()(
,
)(''''
)(''
,)()()(
y y x xd
y y x xdPQ
então
y yQdPdRQ
x xQdPdPR
masdRQdPRdPQ
−+−=
−+−=
−==
−==
+=
Como P e Q são pontos genéricos, podemos utilizar a fórmula acima para calcular
a distância entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substituímos
d por dPQ .
Distância entre dois pontos
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Exercício resolvido:
Prove que o triângulo ABC é isósceles.
R: Como dAC = dBC podemos concluir que o triângulo é isósceles.
2.2 Coordenadas do Ponto Médio.
Um segmento de reta é definido por dois pontos, que são suas extremidades.
O Ponto Médio de um segmento de reta qualquer, é o ponto que o divide em
duas partes congruentes (de mesma medida).
Podemos determinar as coordenadas de tal ponto. Vamos então deduzir umafórmula para este fim, utilizando para isso pontos genéricos representados no
Plano Cartesiano. Veja a figura 2.2.
Figura 2.2
A (-7,2)
B (3,-4) C (1,4)
68644)44()31(
68464)24()71(
13636100)24()73(
22
22
22
=+=++−=
=+=−++=
=+=−−++=
BC
AC
AB
d
d
d
)(''2
yQ
)(" y M
)('' 1 yP
);( y x M ),( 2 y xS
),( 22 y xQ
s
);( 1 y x R
x
y
β
),( 11 y xP
)(' 1 xP )(' x M )(' 2 xQ
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• O ponto ),( y x M é o ponto médio do segmento definido pelos pontos
),( 11 y xP e ),( 22 y xQ ;
• As projeções dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados nos dão os
pontos P’, M’ e Q’ no eixo x, e P’’, M’’ e Q’’ no eixo y;
• Pelo ponto P, traçamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto
),( 1 y x R ;
• Pelo ponto M, traçamos uma reta s, também paralela ao eixo x, e obtemos
o ponto ),( 2 y xS ;
• Podemos identificar então, dois triângulos retângulos PRM e MSQ, que são
congruentes, pois:
≅
≅
≅
∆≅∆
)(ˆˆ
)(
)(
retosS R
médio pontoé M MQPM
entescorrespond
SQ M M RP
β α
• Sendo congruentes os triângulos, podemos concluir que seus respectivos
catetos PR e MS têm a mesma medida;
• O cateto PR, tem a mesma medida do segmento P’M’ que por sua vez
mede ).( 1 x x − O cateto MS, tem a mesma medida do segmento M’Q’ que
por sua vez mede )( 2 x x − , então:
2
2
21
21
21
21
x x x
x x x
x x x x
x x x x
+=
+=
+=+
−=−
2
21 y y y +
= analogamente :
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Concluindo:
A abscissa do ponto médio de um segmento de reta será a metade da soma das
abscissas das extremidades do segmento, e, a ordenada do ponto médio será a
metade da soma das ordenadas das extremidades.
++
2,
2
2121 y y x x M
Exercícios resolvidos:
1) A mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado
oposto. Ache o comprimento das medianas do triângulo cujos vértices são: A(2,3) ; B(3,-3) e
C(-1,-1)
Cálculo dos pontos A’, B’, C’
Ponto médio
C (-1, -1))2,1(' − A
0,
2
5'C
1,
2
1' B
A (2, 3)
B (3, -3)
AA’, BB’ e CC’ são as medianas do ∆ ABC.
Cálculo do comprimento das medianas
1,
2
1` B
)2,1(` − A
=−
=
=+
=
=−
=
=−
=
−=−−
=
=−
=
02
33
2
5
2
32
12
13
2
1
2
12
22
13
12
13
`
`
`
`
`
`
yC
xC
yB
xB
yA
xA
532
1
4
531
4
49
12
7)10(1
2
5
892
1
4
8916
4
25
42
5)31(3
2
1
26251)32()21(
2
2
2
`
2
2
2
2
`
22`
==+=
+
=++
+=
==+=
+
−=++
−=
=+=−−+−=
mCC
mBB
mAA
0,
2
5'C
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2) Determinar B, sabendo que M(7,-3) é o ponto médio de AB, dado A(1,2).
2.3 Exercícios propostos:
1) Calcular a distância entre os pontos ( )4,3 +− ba A e ( )1,1 ++ ba B .
2) Se M(4,2), N(2,8) e P(-2,6) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA
respectivamente de um triângulo ABC , determinar A, B e C.
3) Determinar os pontos que dividem o segmento−−
AB em quatro partescongruentes, sendo dados: A(-3,11) e B(5,-21).
4) Num triângulo ABC são dados: A(2,0) e M(-1,4) ponto médio de−−
AB . obter o
vértice C do triângulo, sabendo que os lados AC e BC medem 10 e 10 2
respectivamente.
5) Ache as abscissas dos pontos tendo ordenada 4 e que estão a uma distância
de 117 do ponto P(5,-2).
6) Prove que o quadrilátero com vértices consecutivos em (1,2), (5,-1), (11,7) e
(7,10) é um retângulo.
7) Prove que os pontos (2,4), (1,-4) e (5,-2) são vértices de um triângulo
retângulo e ache sua área.
8) Prove que os pontos (1,-1), (3,2), (7,8) são colineares, usando a fórmula da
distância entre dois pontos.
9) Os vértices opostos de um quadrado estão em (3,-4) e (9,-4). Ache os outros
dois vértices.
)8,13(
813
62141
2
23
2
17
−
−==
−=+=+
+=−
+=
B
y x
y x
y x
A (1, 2) B (x, y)
M (7,-3)
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10) Um triângulo ABC é retângulo em A, que pertence ao eixo das ordenadas.
Tendo os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar A.
11) Dados A(-3,1) e B(3,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos
quadrantes ímpares.
12) Dados A(5,7) e B(-6,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos
quadrantes pares.
Respostas:
1) 5
2) A(0,0), B(8,4) e C(-4,12)
3) (-1,3), (1,-5) e (3,-13)
4) C1(-6,-6) e C2(10,6)
5) 144 =−= xou x
9) (6,-7) e (6,-1)
10) A1(0,-1) e A2(0,5)
11) (9,9)
12)
−
13
67,
13
67
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Capítulo 3
Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de retas;
Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre
ponto e reta.
3.1 Retas em R².
Começaremos agora o estudo das equações de algumas curvas planas. Neste
capítulo vamos discutir as particularidades e estudar a equação de uma curva
simples, porém de extrema importância. A reta. Sim, a reta também é chamada
de curva, numa generalização deste termo. Uma curva plana é formada por umconjunto de pontos num plano que obedecem a uma determinada regra, que é
sua equação. A reta, como sugere o próprio nome, é um conjunto de pontos
alinhados.
Para que tenhamos uma reta bem definida num plano, basta conhecer dois de
seus infinitos pontos, ou seja, conhecendo apenas dois pontos de uma reta
podemos determinar sua equação.
Mas também podemos determinar a equação de uma reta conhecendo um de
seus pontos e seu coeficiente angular.
Então, o que é o coeficiente angular de uma reta?
3.2 Coeficiente Angular.
α
y
r
x
α P
Q
y∆
x∆
“O coeficiente angular também échamado de inclinação oudeclividade”
Figura 3.1
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Imagine uma partícula se movendo do ponto P ao ponto Q ao longo da reta r. Ao
fazer este movimento a partícula se deslocou horizontalmente x∆ e verticalmente
y∆ . O coeficiente angular da reta r, denotado pela letra m, por definição é a razão
entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal.
x
y
horizontaliação
verticaliaçãom
∆
∆==
var
var
Observando a figura 3.1 podemos identificar um triângulo retângulo cuja
hipotenusa é o segmento PQ e os catetos são y∆ e x∆ . O ângulo α é o ângulo
entre a reta e o sentido positivo do eixo x, que é correspondente ao ângulo
agudo adjacente ao cateto x∆ do triângulo retângulo.
A tangente do ângulo é calculada por: x
ytg
∆
∆=α .
Então o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado através da expressão:
tgm =
Através do coeficiente angular de uma reta podemos saber se ela é crescente,
decrescente, constante ou vertical.
Ora, se retas são crescentes, o ângulo entre elas e o sentido positivo do eixo x
pode variar no intervalo2
0 π α m . Lembre-se: tgm = .
“ O coeficiente angular de uma retaé a tangente do ângulo entre a retae o sentido positivo do eixo x.”
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Se retas são decrescentes, o ângulo α estará no intervalo π α π
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3.2.1 Coeficiente Angular através de dois pontos.
Podemos também, determinar o coeficiente angular de uma reta, através das
coordenadas de dois pontos pertencentes à reta.
Observe a figura 3.3 onde estão representados, uma reta e dois de seus pontos
com coordenadas genéricas.
Figura 3.3
• As projeções dos pontos A e B nos eixos coordenados nos dão os
pontos A’ e B’ no eixo x, e A’’ e B’’ no eixo y;• Pelo ponto A, traçamos uma reta s, paralela ao eixo x, e obtemos o
ponto R;
• O triângulo ARB é retângulo, então:
AR
RBtg =α ou
12
12
x x
y ytg
−
−=α
)('' 1 y A
)('' 2 y B
α
y
s
),( 22 y x B
)(' 2 x B )(' 1 x A
),( 11 y x A R
x
r
-
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Portanto, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado usando a
fórmula:
12
12
x x
y ym
−
−=
Exercício resolvido:
1) Determinar o coeficiente angular das retas e esboçar os gráficos:
3
2
3
2
25
13
)
12
12
1
=
=−
−=
−
−=
m
m
x x
y ym
r
1
02
02
)
12
12
2
=
−
−=
−
−=
m
x x
y ym
r
)4;2(
)3;2(
)4;2(
)4;3(
)2;2(
)1;1(
)2;2(
)0;0(
)3;5(
)1;2(
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
B
Ar
B
Ar
B
Ar
B
Ar
B
Ar
−−
−
−
B1
A1
x
y
B2
A2
y
x
-
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20
133
1212
)
12
12
3
−=−
=−−
+=
−
−=
m
x x
y ym
r
032
44
)
12
12
4
=+
−=
−
−=
m
x x
y ym
r
∃/=+
=
−
−=
0
7
0
34
)
12
12
5
m
x x
y ym
r
Obs: Logicamente o coeficiente angular de uma reta pode ser obtido tomando-
se quaisquer pares de pontos pertencentes à mesma.
y
x
α
B3
A3
x
B4 A4
y
A5
x
B5
y
0=m , para todas asretas paralelas ao eixo x.Retas constantes.
m , não é definido para todas
as retas perpendiculares aoeixo x. Retas verticais.
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
21
3.3 Equações da Reta.
Como vimos uma reta fica bem determinada num plano, se conhecemos dois de
seus pontos ou se conhecemos um de seus pontos e seu coeficiente angular. A
partir desses elementos podemos definir uma equação matemática, ou seja, uma
regra que nos fornece ou representa todo o infinito conjunto de pontos que
pertencem a uma reta. Para isso precisamos, como já sabemos, de um sistema
de referência que irá nos possibilitar identificar os pontos por meio de
coordenadas. Se utilizarmos o plano cartesiano, teremos para as retas, equações
do 1º grau com duas variáveis.
3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.
Figura 3.4
Os pontos A e B são pontos conhecidos da reta e estão representados no plano
cartesiano, com coordenadas genéricas, pois a equação obtida servirá como um
modelo para se obter a equação de uma reta específica qualquer. O ponto M é
um ponto qualquer da reta, ou um ponto genérico, e suas coordenadas serão as
variáveis da equação.
y
),( y x M
),( 22 y x B
),( 11 y x A
r
x
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
22
Podemos calcular o coeficiente angular da reta acima utilizando ou os pontos A e
M ou os pontos A e B. Então:
12
12
1
1
x x
y y
x x
y y
mm AB AM
−
−=
−
−
=
3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular.
Uma simples alteração na fórmula nos possibilita determinar facilmente a equação
de uma reta no plano quando conhecemos apenas um de seus pontos e seu
coeficiente angular.
)( 112
12
1 x x x x
y y
y y −
−
−=−
A equação de qualquer reta no plano, pode ser obtidasubstituindo as coordenadas de dois de seus pontos nafórmula, ou modelo, acima.
)(
:
:
)(
:
11
12
12
1
12
121
x xm y y
então
m x x
y y
mas
x x x x
y y y y
temos
−=−
=−
−
−−
−=−
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
23
3.3.3 Equação Reduzida.
É interessante trabalhar com a equação reduzida de uma reta, pois deste modo
podemos visualizar facilmente seu coeficiente angular e seu coeficiente linear
(intercepto do eixo y). A equação reduzida tem um formato característico como
veremos a seguir:
)(
:
11 x xm y y
temos
−=−
Se o ponto conhecido for ),,0( b B então:
)0( −=− xmb y
3.3.4 Equação Segmentária.
A equação de uma reta na forma segmentária é muito interessante, pois temos a
informação imediata dos interceptos da reta nos eixos coordenados.
Figura 3.6
Coeficiente linear (onde corta o eixo-y)Coeficiente
angular
bmx y +=
A (a,0)
B (0,b)
y
x
),0( b B
y
x
Figura 3.5
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
24
Substituindo os pontos A e B na fórmula da equação da reta, temos:
⇒=+
=+
→=+
+−=
−−=
−−
−=−
−−
−
=−
1
)(
)(0
00
)( 112
121
a
x
b
y
b
b
ab
bx
b
y
b por tudoividindob x
a
b y
b xa
b y
a xa
b y
a xa
b y
x x x x
y y y y
d
onde
3.3.5 Equação Geral.
É a equação da reta na forma:
onde a e b não são nulos simultaneamente.
a é o intercepto eixo-xb é o intercepto eixo-y
1=+b
y
a
x
0=++ cbyax
0≠bea
-
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Para relembrar:
verticalretam
teconsretam
edecrescent retam
crescenteretam
bmx ySeja
⇒∃
⇒=
⇒<
⇒>
+=
tan0
0
0
Exercício resolvido:
1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos A(8,-8) e B(12,-16) nas formas reduzida,
geral e segmentária:
Sol:
Cálculo de m
⇒=−
+−=
−
−=
4
8
812
816
2
12 m x x
y ym
82
1628)8(28
)( 11
+−=
+−=+−−=+
−=−
x y
x y x y
x xm y y
082 =−+ y x
2−=m
Eq. reduzida
Eq. geralEq. segmentária
8
8
88
2
82
=+
=+
y x
y x
184
=+ y x
-
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26
3.4 Interseção de retas.
Figura 3.7
O ponto de interseção de duas retas deve satisfazer à equação de ambas,
portanto, para determiná-lo, basta resolver um sistema formado por tais
equações.
Em geral a solução de um sistema de equações, é, ou são, os pontos de
interseção de seus gráficos.
Ex: Obter o ponto I de interseção das retas 3x + 4y - 12 = 0 e 2x – 4y + 7 = 0
sol:
⇒=
−=
=−+×
=
=−
=+−
=−+
4
9,1
4
9
3124
012413
:,
1
055
:
0742
01243
I y
y
y
temosequação primeirana xdevalor olevando
x
x
temosequaçõesassomando
y x
y x
y
x
I
-
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27
3.5 Condição de Paralelismo.
Duas retas são consideradas paralelas se possuem o mesmo coeficiente angulare coeficientes lineares distintos.
Figura 3.8
3.6 Condição de Perpendicularismo.
Os coeficientes angulares de duas retas distintas também podem nos dizer se
elas são perpendiculares. Vejamos a figura 3.9 abaixo.
Figura 3.9
y
xr α sα
s
r
( )
msmr
stgr tg
correspsr
=
⇓
=
=
α α
α .
r s
sα r
y
x
sr
t
-
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Pelo ponto de interseção das retas, traçamos uma reta t, paralela ao eixo-x. Com
isso podemos identificar os ângulos correspondentes de r es entre as retas r e
s e a reta t.
Podemos relacionar os ângulos r es da seguinte maneira:
0.1:2
:2.1
:2
)(
,2
,2
=+∃
=+
−
=−
=−
+=
stgr tgentãotg
mastgstgr tg
stgr tg
identidadeausandotgsr gt
seguesr
ousr
α α π
π
α α
α α
π α α
π α α
π α α
msmr msmr
msmr
stgr tg
11.
0.1
0.1
−=⇒−=
=+
=+
α
Concluindo:
Duas retas r e s distintas são perpendiculares, se e somente se,ms
mr 1
−= ,
o que equivale a dizer que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente
angular de uma é igual ao da outra invertido e com o sinal oposto.
Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta é igual a 3, então o coeficiente
angular de qualquer reta perpendicular a ela é 31
−
.
tgbtgatgbtgabatg⋅+
−=−1
)(
-
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3.7 Ângulo entre Duas Retas.
Com a ajuda da figura 3.10, podemos deduzir uma fórmula para o cálculo do
ângulo entre duas retas quaisquer, também utilizando seus coeficientes
angulares.
Figura 3.10
⇒×+
−=
−=
−=
stgr tg
stgr tgtg
sr tgtg
sr
α α
α α θ
α α θ
α α θ
1
)(
Exercício resolvido:
1) Obter o ponto P, simétrico de Q(-1,8) em relação à reta r de equação 03 =−− y x
msmr
msmr tg
⋅+
−=
1θ
M é o ponto médio de PQ.
M
r: x – y – 3 = 0
Q(-1, 8)
P(x, y)
r
y
x
r s
r s
s
θ
-
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Cálculo da inclinação da reta r
13
03
=⇒−=
=−−
r m x y
y x
então : 1−=PQm
Equação da reta PQ
07
18
)1(18
)( 11
=−+
−−=−
+−=−
−=−
y x
x y
x y
x xm y y
Determinação do ponto M ⇒ PQr ∩
5
102
0102
07
03
=
=
=−
=−+
=−−
x
x
x
y x
y x
)2,5(2
35
035
M y
y
y
⇒=
−=
=−−
3.8 Distância Entre Ponto e Reta.
A menor distância de um ponto ),( 00 y xP a uma reta 0: =++ cbyaxr é o
comprimento do segmento que vai do ponto à reta e é perpendicular à mesma,
como vemos na figura 3.11.
Concluindo:
11
101
2
15
2
21
=
=+−
+−=
+=
x
x
x
x x x
4
48
2
82
2
21
−=
=+
+=
+=
y
y
y
y y y
)4,11( −
⇓
P
-
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31
Figura: 3.11
Podemos calcular a menor distância do ponto P à reta r utilizando a fórmula:
22
00Pr
ba
cbyaxd
+
++=
Exercício resolvido:
1) Calcular a medida da altura AH do triângulo cujos vértices são: A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7).
utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, temos:
45
20
25
20
916
131.31.4
01334:
)1,1(
===
+
++=
=++
dpr
dpr
y x BC reta
A
Então a altura AH mede 4 unidades.
HB(-1,-3)
A(1, 1)
C(2,-7)
0: =++ cbyaxr
),( 00 y xP
-
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32
2) Calcular a distância entre as retas paralelas r: 7x + 24y – 1 = 0 e s: 7x + 24y + 49 = 0
3.9 Exercícios propostos:
1) Em cada caso determine a equação geral da reta:a) que passa pelo ponto A(-1,6) e tem inclinação 3;
b) que passa pelos pontos P(2,-1) e Q(0,5);
c) bissetriz do 1º e 3º quadrantes;
d) que passa pela origem e tem coeficiente angular3
2−=m .
2) Verifique se a afirmação está correta:
a) a reta 01042: =+− y xr é perpendicular à reta 062: =++ y xs ;
b) a reta 023: =+− y xt é paralela à reta 0526: =−− y xu .
3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e é paralela à reta
0132: =+− y xr .
4) Determinar a equação da reta que passa por Q(2,-3) e é perpendicular à reta
072: =+− y xs .
5) Determinar os vértices A, B e C do triângulo cujos lados têm as equações
01: =+− y x AB , 0177:
=++ y x BC e 01135:
=−+ y xCA .
6) Achar o ponto B simétrico de A(3,-1) em relação à reta 01032: =−+ y xr .
Tomamos um ponto P de r, atribuindo um valor qualquer a
x e calculando y
r Pentão
y y
y
y x
∈−
−=⇒−=
−=
=−+⇒=
)2,7(,
224
48
49124
01247.77
logo:
225
50
57649
49)2.(247.7==
+
+−+== dPsdrs , ou seja: a distância entre r e s é de 2 unidades
s
r
P(7,-2)
-
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33
7) Provar que são perpendiculares as diagonais do quadrilátero de vértices
consecutivos A(2,-1), B(6,-1), C(4,5) e D(0,1).
8) Determinar o valor de k de modo que a reta 073: =++ ky xr passe pelo ponto
A(3,-2).
9) Calcular a distância do ponto A(3,4) à reta 01043: =−+ y xs .
10) Determinar a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano onde P é a
interseção das retas 02: =− xr e 03: =− ys .
11) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(3,2) e que forma com os
eixos coordenados, no 1º quadrante, um triângulo de área igual a 12.
12) Calcular a interseção da reta 012: =+− y xr com a reta que passa pelos
pontos A(0,3) e B(1,1).
13) Determinar o ponto da reta 043: =++ y xr que é eqüidistante dos pontos
P(-5,6) e Q(3,2).
14) Ache a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A do triângulo de
vértices A(2/3,1), B(-3,0) e C(6,1).
15) Obter o ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD,
sendo dados A(0,0), B(4,1), C(7,7) e D(-1,6).
16) Obter a equação da mediatriz do segmento AB , dados A(1,-7) e B(6,-12).
17) Dadas as retas 0343: =+− y xr e 22: += x ys , determine o ponto P da reta s,
que dista 6 unidades da reta r.
18) O baricentro de um triângulo ABC é G(4,-2). Obter C , sabendo que A(5,-7) e
B(8,-3).
Obs.: baricentro:
++++
3,
3
yC yB yA xC xB xAG
19) Obter os vértices B e C do triângulo ABC sendo dados o vértice A(0,0), oponto M(1,2) médio do lado AB e o baricentro G(0,5).
20) Verificar se os pontos )2,1()3,2(),1,(` ++++− bC eba Bba A são colineares.
21) Existe alguma reta passando por )4,3()2,1(),1,(` +++++ aaC eaa Baa A ?
22) Determinar x de modo que )12,1()3,2(),2,(` −−− C e B x A sejam colineares.
23) Obter o baricentro do triângulo MNP, dados ),(),,(` f ecb N ed ba M −−−− e
),( d f acP −− .
-
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34
24) Calcular a altura relativa ao vértice A do triângulo de vértices
).2,5()1,2(),3,0( −− C e B A
Respostas:
1)
a) 093 =+− y x
b) 053 =−+ y x
c) 0=− y x
d) 032 =+ y x
2)
a) sim
b) sim
3) 0832 =+− y x
4) 012 =−+ y x
5) A(1,2), B(-3,-2) e C(4,-3)
6)
13
29,
13
67 B
8) k=8
9) 3
10) 13
11) 01232 =−+ y x
12)
2,
2
1
13) (-2,2)
14) 079 =−+ y x
15)
2
5,
2
5
16) 013 =−− y x
17) )12,5()12,7( 21 PeP −−
18) C(-1,4)
19) B(2,4) e C(-2,11)
20) sim
21) sim
22) 1= x
23) G(0,0)
24) 23
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
35
Capítulo 4
Circunferência.
4.1 Definição.
A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um
conjunto de infinitos pontos de 2 R .
Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos
devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a
seguinte:
Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são eqüidistantes de um
ponto fixo deste plano.
Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é
seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência.
Figura 4.1
Na figura 4.1, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um
plano π .
Os pontos n M M M M ,,, 321 pertencem à circunferência, se e somente se, a
distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio.
r dcMndcM dcM dcM ==== 321
r
P
Q
c
M1
M2
M3
π
Mn
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
36
A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio e portanto ele não pertence à
circunferência, (Q é um ponto exterior), assim como o ponto P também não
pertence à circunferência pois sua distância ao centro é menor que o raio, (P é
um ponto interior).
r dcPer dcQ
4.2 Equação da Circunferência.
Para determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu
centro e seu raio.
Na figura 4.2 abaixo, está representada no plano cartesiano uma circunferência
de centro ),( k hc e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a
distância de um ponto qualquer ),( y x M ao centro ),( k hc é igual ao raio r .
Figura 4.2
M(x,y)
c(h,k)
r
y
x
( )
222
22
22
22
)()(
)()(
)()(
:
:
r k yh x
r k yh x
r k yh x
então
r dcM matemática Definição
=−+−
=−+−
=−+−
=
Eq. da circunferência na forma centro-raio
-
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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
37
Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é
relativamente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.
Por exemplo, a equação 1752
)3(
2
2
=
++− y x representa uma circunferência
de centro
−
5
2,3 e raio 17 .
Exercício resolvido:
Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(-3,4) e o raio r=6.
sol:
222 )()( r k yh x
raiocentroequação
=−+−
−
36)4()3( 22 =−++ y x
4.3 Equação Geral da Circunferência.
A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral,
como o desenvolvimento da equação centro-raio. Vejamos:
( )
022
:
22
:sen
)()(
,
22222
22222
222
=−++−−+
=+−++−
=−+−
r k hkyhx y x
ordememcolocando
r k ky yhhx x
temosvolvendode
r k yh x
r raioek hC centrodeequaçãoaSeja
É a equação pedida, através da qual podemosidentificar facilmente o centro e o raio.
-
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38
0
:,
2
2
:
22
222
=++++
=−+
=−
=−
F Ey Dx y x
temosF r k h
E k
Dh
fazendo
É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois
termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.
Vamos desenvolver a equação do exercício anterior
01186
03616896
36)4()3(:
22
22
22
=−−++
=−+−+++
=−++
y x y x
y y x x
y xtemos
4.4 Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência.
Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de
calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Faremos o seguinte:
Seja a equação geral: 022 =++++ F Ey Dx y x
Para identificar o centro e o raio na equação acima utilizaremos os coeficientes D ,
E e F .
−−∴−=⇒−=
−=⇒−=
2
,
22
2
22
),(:
E DC
E k k E
Dhh D
k hccentro
Esta equação está na forma Geral.
Não podemos identificar facilmente o centro eo raio ao olhar.
Esta é a Equação Geral da circunferência
-
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39
2
4
4
4
44
22
:
22222
222
22
2
222
F E Dr
F E Dr
F E D
r
F E D
r
r k hF
r raio
−+=∴
−+=
−+=
−
−+
−=
−+=
realé nciacircunferêaF E Dse
pontoumapenasé nciacircunferêaF E Dse
vazioconjuntonciacircunferêF E Dse
Obs
⇒>−+
⇒=−+
∃⇒
-
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4.5 Exercícios propostos:
1) Determine o centro e o raio, caso a circunferência exista:
a) 014222 =+−−+ y x y x
b) 0918333 22 =+−−+ y x y x
c) 03110722 =+−++ y x y x
d) 03222 =−−+ y y x
e) 034223 22 =+−+− y x y x
f) 0922 =+−− y x
g) 0422 =++ y x
h) 08222 =+−++ y x y x
2) Determine a equação geral da circunferência cujo centro é o ponto C(3,-5) e é
tangente à reta 0143: =+− y xr .
3) Determinar a equação da reta tangente à circunf. 0392222 =−−++ y x y x no
ponto A(4,5).
4) Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(0,1) e
tangencia a reta 034 =+− y x no ponto B(0,3).
5) Achar a equação cartesiana da circunferência que passa pelo ponto A(4;8) e
tangencia as retas .010 == ye y
6) Determinar os pontos de interseção da reta 05 =−+ y x com a circunferência
014222 =+−−+ y x y x e fazer um esboço do gráfico das duas curvas.
7) Determinar as equações das circunferências de raio r = 2 e tangentes à reta
01 =−+ y x e centro sobre o eixo x.
8) A reta 01 =+ y é tangente à circunferência de centro (-1,m) e raio 2 . Ache
uma equação de cada circunferência que tem essa propriedade.
9) Dada a circunferência 03222 =−−+ y y x e os pontos 31,1 −− M e ( )1,2 N que
pertencem a mesma. Calcular o comprimento da corda MP , sabendo que N e
P são os extremos de um diâmetro.
-
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41
10) Obter as equações das circunferências de raio 3, tangentes à reta 07 =− y e
tangentes exteriormente à circunferência .422 =+ y x
11) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos).4,1()0,5(),3,2( −−− Pe N M
Respostas:
1)
a) r=2, c(1,2)
b) r=2
5, c
3,
2
1
c) r=2
5, c
− 5,
2
7
d) r= 2 , c ( )1,0
e) não é circunferência
f) r=3 , c ( )0,0
g) conjunto vazio
h) conjunto vazio
2) 0210622 =−+−+ y x y x
3) 04045 =−+ y x
4) ( ) ( ) 1724 22 =−+− y x
5) ( ) 255 22 =−+ y x e ( ) ( ) 2558 22 =−+− y x
6) )4,1()2,3( e
7) ( ) 21 22 =++ y x e ( ) 23 22 =+− y x
8) ( ) ( ) 411 22 =−++ y x e ( ) ( ) 431 22 =+++ y x
9) 2= MPd
10) ( ) ( ) 943 22 =−++ y x e ( ) ( ) 943 22 =−+− y x
11) 0458422 =−−++ y x y x
-
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42
Capítulo 5
O Estudo das Cônicas.
Seções Cônicas.
Circunferências, elipses, hipérboles e parábolas: todas essas curvas são
encontradas a partir de seções de um plano em uma superfície cônica. (ver
apêndice IV).
Muitas descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estão
relacionadas às seções cônicas. Os gregos clássicos - Arquimedes, Apolônio e
outros - estudavam essas belas curvas por puro prazer, como forma de desafio,sem qualquer pensamento em possíveis aplicações. As primeiras aplicações
apareceram quase 2.000 anos depois, no início do século XVII. Em 1604, Galileu
descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre,
supondo que a única força atuante fosse a gravidade - isto é, a resistência do ar e
outros fatores complicadores são desconsiderados -, sua trajetória será uma
parábola. Um dos grandes eventos da história da Astronomia ocorreu alguns anos
mais tarde, apenas em 1609, quando Kepler publicou sua descoberta de que aórbita de Marte era uma elipse, lançando a hipótese de que todos os planetas se
moveriam em órbitas elípticas. Cerca de 60 anos depois disso, Newton provou
matematicamente que a órbita planetária elíptica é causa e conseqüência de uma
lei de atração gravitacional, baseada no inverso do quadrado da distância. Isso
levou Newton a formular e publicar (em 1687) sua famosa Teoria de Gravitação
Universal, para explicar o mecanismo do sistema solar, teoria esta considerada
como sendo a maior contribuição feita a ciência por um só homem. Esses
desenvolvimentos ocorreram centenas de anos atrás, mas o estudo das seções
cônicas não é, ainda hoje, nem um pouco anacrônico. De fato, essas curvas são
instrumentos importantes nas explorações espaciais dos dias de hoje, e também
nas pesquisas do comportamento de partículas atômicas: os satélites artificiais
movem-se em torno da terra em órbitas elípticas e a trajetória de uma partícula
alfa movendo-se no campo elétrico de um núcleo atômico é uma hipérbole. Esses
exemplos e muitos outros mostram que a importância das seções cônicas, tanto
antigamente como atualmente, não pode ser desprezada.
-
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43
5.1 A Elipse.
A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de 2 R .
Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos
devem estar posicionados no plano para que descrevam uma elipse é a seguinte:
Elipse é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos deste plano (focos) é constante (k).
Cada elipse tem a sua constante k.
Figura 5.1
k F dM F dM elipse Mn nn =+⇒∈'
5.1.1 Elementos da Elipse.
A figura 5.2 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano.
F’
M1
π
M2
Mn
F
y
x
2aB(0,-b)
A(-a,0) A(a,0)
B(0;2c
F(-c,0) F(c,0)
B(0,b)
Figura 5.2
-
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44
Seus principais elementos são:
• Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a ;
• Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b ;
• Vértices: são os pontos )0,()0,(' a Aea A − ;
• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cF ecF − , a distância focal (entre focos)
mede 2 c;
• Os pontos ),0(),0(' b Beb B − são as extremidades do eixo menor.
Importante:
1. A constante k, característica de cada elipse, é igual ao comprimento de seu
eixo maior 2a.
Então: ak 2=
Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(' a A − que pertence à elipse e por
isso deve satisfazer à condição:
k F dAF dA =+ '''
de fato:
aK
k caca
então
caF dA
caF dA
2
,
'
''
=
=++−
+=
−=
2. Relação entre a , b e c .
222cba +=
Definição matemática
y
B(0,-b)
M(x,y)
x
A(-a,0) A(a,0)
B(0,b)
F(-c,0) F(c,0)
ab
c
a
y
-
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45
5.1.2 Equação Reduzida da Elipse.
Primeiramente estudaremos as cônicas tomando como referência um sistema de
eixos coordenados, as elipses e hipérboles estarão posicionadas tal que seus
vértices e focos fiquem sobre um dos eixos e simétricos em relação à origem
como na figura 5.2. No caso das parábolas, seu foco deverá estar sobre um dos
eixos e seu vértice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equações
reduzidas destas curvas.
Vamos agora determinar a equação de uma elipse específica, cujos focos são
)0,3()0,3(' F eF − e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades. Lembrando que k a =2 .
Esta elipse está representada na figura 5.3
Figura 5.3
Seja o ponto genérico elipse y x M ∈),(
adMF dMF matemática Definição 2:'
=+
então:
M(x, y)
x
2a = 10
A(-5,0)A(5,0)
F(-3,0) F(3,0)
y
-
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10)3()3(2222=+−+++ y x y x
5.1.3 Equações Reduzidas Genéricas da Elipse.
Podemos determinar uma equação genérica reduzida para todas as elipses com
focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à
origem. A figura 5.4 mostra uma elipse cujos elementos estão com coordenadas
genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação
aplicando a definição matemática.
Figura 5.4
( ) ( )
( )
116251625
1
400
25
400
16
400
400
)400(2516400
2516225625
25225150256251509
96(256251509
)3(5)253(
)4()3(2010012
6)3(201006
96)3(2010096)3(10)3(
2222
22
22
22
222
222
2222
22
22
222222
222
222
=++=
+=
÷+=
+=−
++−=+−
++−=+−
+−−=−
÷+−−=−
−+−−=
++−++−−=+++
+−−=++
y x y x
y x
y x
y x
y x x x x
y x x x x
y x x
y x x
x y x x
y x x y x y x x y x y x
ou Equação reduzida da elipse na suaforma característica após simplificação.
Para lembrar:
222 cba +=
y
M(x,y)
x
A(-a,0) A(a,0)
F(-c,0) F(c,0)
y
-
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( ) ( )
( )
22
22
22
22
22
22
22222222
222
22222222
222222224
22222224222
22224222
22222
222
222
222222222
222
222
2222
'
)(
)()(
22
)2(2
)()(
)4()(444
2)(442
2)(442
)(2)(
2)()(
2
ba
ya
ba
xb
ba
ba
ba ya xbba
bcaazendo
yaca xcaa
ya xc xacaa yacacxa xaacxa xc
yccx xaacxa xc
yc xaacx
yc xaacx
cx yc xaacx
yccx x yc xaa yccx x
yc xa yc x
a yc x yc x
adMF dMF
+=
÷+=
=−
+−=−
+−=−
++−=+−
++−=+−
+−−=−
÷+−−=−
−+−−=
/+/+−/++−−=/+/++/
+−−=++
=+−+++
=+
f
12
2
2
2
=+b
y
a
x
Analogamente, temos:
Eq. genérica reduzida de uma elipse comfocos e vértices sobre o eixo-y e simétricosem relação à origem.
y
x
A’(0, -a)
A(0,a)
B’(-b,0) B(b,0)
F(0,c)
F’(0,-c)
Eq. genérica reduzida de uma elipse comfocos e vértices sobre o eixo-x e simétricosem relação à origem
12
2
2
2
=+a
y
b
x
Figura 5.5
-
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48
Importante:
Notemos que no caso da elipse, 22 baentãoba >> sendo 0, >ba , ou seja:
o 2a que nos indicará a posição dos focos e vértices será sempre o maiordenominador na equação reduzida.
5.1.4 Excentricidade.
Excentricidade é a razãoa
ce = que nos informa o quão achatada é uma elipse.
Como 10
-
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49
Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante
achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique
próximo de a.
Exercício resolvido:
1) Determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde temos:
I.
=
=
82
122
c
a
sol:
12036
20
1636
3616
46
222
2
2
222
=+∴=
−=
−=
−=
==
y xb
b
b
bac
cea
II.
=
=
2
162
e
b
sol:
4
1
1
9
91
4
1
91
2
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
−=
−=
−=
−=
=
a
a
a
a
be
b
1
91212
363
4
39
222
2
2
=+∴=
=
=
y xa
a
a
-
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5.1.5 Exercícios propostos:
1) Determinar a equação reduzida da elipse nos seguintes casos:
a) 2a = 10; 2c = 8 , com focos no eixo x
b) 2b = 24; 2c = 10 , com focos no eixo y
c) 2b = 12 ; e =4
5 , com focos no eixo x
2) Determinar os elementos da elipse:
a) 141
22
=+ y x
b) 05102 22 =−+ y x
3) Determinar na elipse 1425
22
=+ y x
os pontos cujas abscissas são iguais a -3 .
4) Determinar os pontos da elipse 136100
22
=+ y x
cujas distâncias ao foco direito
medem 14 .
5) Determinar os pontos de interseção da reta 072 =−+ y x com a elipse
0254 22 =−+ y x .
6) Determinar a equação reduzida da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo y,
sabendo que passa pelos pontos )22,2()14,1( −QeP .
7) Determinar a equação reduzida da elipse, com eixo maior sobre o eixo x,
excentricidade2
1 e que passa pelo ponto P(2,3).
8) Determinar as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse
01616 22 =−+ y x .
9) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade3
1 viaja ao redor de um planeta
situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do
satélite ao planeta é de 300 km , calcular a maior distância.
10) O teto de um saguão com 10m de largura na base, tem a forma de uma semi-
elipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Calcule a
altura do teto a 2m de cada parede.
-
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Respostas:
1)
a) 1925
22
=+ y x
b) 1169144
22
=+ y x
c) 136
11
576
22
=+ y x
2)
a)
( )
=
−
−
−
2
3
)3,0()3,0('
0,1)0,1('
)2,0()2,0('
e
F eF
Be B
Ae A
b)
=
−
−
−
5
2
)0,2()0,2('
2
1
,02
1
,0'
0,2
50,
2
5'
e
F eF
Be B
Ae A
3)
−
−−
5
8,3
5
8,3 e
4) 27,527,5 −−− e
5) ( )2,32
3,4 e
6) 1168
22
=+ y x
7) 11216
22
=+ y x
8) 116 2222 =+=+ y xe y x
9) kmd 600=
10) mh 4,8=
-
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52
5.2 A Hipérbole.
Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva plana, formada por um
conjunto de infinitos pontos de 2 R .
Sua definição matemática é a seguinte:
Hipérbole é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das
distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor absoluto, uma
constante (k).
Cada hipérbole tem a sua constante k.
Figura 5.6
k F dM F dM hipérbole Mn nn =−⇒∈'
F’ F
Mn
M2
M
π
-
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53
5.2.1 Elementos da Hipérbole.
A figura 5.7 mostra uma hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano.
Figura 5.7
Seus principais elementos são:
• Eixo transverso (ou real): é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;
• Eixo conjugado (ou imaginário): é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;
• Vértices: são os pontos )0,()0,(' a Aea A − ;
• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cF ecF − , a distância focal (entre focos)
mede 2c;
• Assíntotas: são as retas xa
b y x
a
b y =−= e .
b y −=
a x −=
a x =
b y =
F’(-c,0) F(c,0) x
xa
b y =
xa
b y −=
B’(0,-b)
A’(-a,0)
B(0,b)
A(a,0)
Obs:Os focos estão sobre oeixo x e simétricos emrelação à origem
-
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Importante:
A constante k, característica de cada hipérbole, é igual ao comprimento de seu
eixo transverso 2a.
Então: ak 2=
Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(a A que pertence à
hipérbole e por isso deve satisfazer à condição:
k dAF dAF =−'
de fato:
02
2
,
)()(
'
>=
=
=+−+
=−−+
=−
a poisak
ak
k acca
então
k acca
k dAF dAF
5.2.2 Equações Reduzidas Genéricas da Hipérbole.
Vamos determinar uma equação genérica reduzida para todas as hipérboles com
focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à
origem. A figura 5.8 mostra uma hipérbole cujos elementos estão com
coordenadas genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua
equação aplicando a definição matemática.
Definição matemática
-
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55
Figura 5.8
Seja o ponto genérico hipérbole y x M ∈),(
:
2: '
então
adMF dMF matemática Definição =−
a yc x yc x 2)()( 2222 =+−−++
Eliminando os radicais, simplificando e fazendo:
222 bac =−
encontramos:
12
2
2
2
=−b
y
a
x Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices
sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem.
Relação importante:
222 bac +=
A(-a,0)F’(-c,0) F(c,0)A(a,0)
M(x,y)
x
y
-
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Analogamente:
Importante:
Na equação reduzida da hipérbole o 2a também nos indicará a posição dos focos
e vértices e neste caso será sempre o denominador da parcela positiva.
nota: se ba = temos o que chamamos de hipérbole eqüilátera.
5.2.3 Excentricidade.
Também é calculada pela razãoa
ce = que nos dá a abertura dos ramos da
hipérbole.
Como ac > a excentricidade da hipérbole sempre será 1> .
Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:
2
2
2
22
22
22
222
222
1a
be
a
bae
a
bae
bac
bac
bac
+=∴+
=
+=
+=
+=
=−
F’
A’
A
F
12
2
2
2
=−b
x
a
y Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices
sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem.
-
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Exercícios resolvidos:
1) Determinar as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles:
a)3694
22=−
y x
b) 822 =− x y
c) 22 22 =− y x
sol:
a)36
36
36
9
36
4 22=−
y x
149
22
=− y x
49 22 == bea
1313
49
2
2
222
=⇒=
+=
+=
cc
c
bac
∴
b)8
8
88
22
=− x y
188
22
=− x y
88 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo y.
)8,0()8,0('
)4,0()4,0('4
162
222
Ae A
F eF c
c
bac
−
−∴=
=
+=
( ) ( )( ) ( )0,30,3'
0,130,13'
Ae A
F eF
−
−
Focos e vértices estão sobre o eixo x.
-
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58
c)2
2
22
2 22=−
y x
121
22
=−
y x
21 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo x.
)0,1()0,1('
)0,3()0,3('3
212
222
Ae A
F eF c
c
bac
−
−∴=
+=
+=
2) Obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos:
a) 2a = 8 e um dos focos é (5,0)
2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25
c2 = a2 + b2
b2 = c2 – a2
b2 = 25 – 16
b2 = 9
b) 2b = 2 e um dos focos é (-2,0)
2b = 2 ⇒ b = 1 ⇒ b2 = 1
2c = 4 ⇒ c = 2 ⇒ c2 = 4
c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2
a2 = 4 – 1
a2 = 3
O eixo transverso está contido no eixo x.
⇒=− 12
2
2
2
b
y
a
x 1
916
22
=− y x
O eixo transverso está contido no eixo x.
⇒=− 12
2
2
2
b
y
a
x 1
13
22
=− y x
-
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59
c) 2a = 6 e um dos focos é (0,-5)
2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a2 = 9
2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25
c2 = a2 + b2
b2 = c2 – a2
b2 = 25 – 9
b2 = 16
5.2.4 Exercícios propostos:
1) Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo das ordenadas e
simétricos em relação à origem.
a) a = 6; b = 18
b) 2c = 10;3
5=e
2) Verificar se o ponto
−
4
9,5 M pertence à hipérbole 0144169 22 =−− y x .
3) Determinar a equação da hipérbole cujos focos são simétricos em relação à
origem e estão no eixo x, sabendo:
a) P(6,-1) e Q (-8, 22 ) ∈ hipérbole;
b)
−1,
2
9P ∈ hipérbole e x y
3
2±= são as equações das assíntotas.
4) Achar os pontos de interseção da reta 0102 =−− y x com a hipérbole
1520
22
=− y x
.
5) Esboçar o gráfico da hipérbole eqüilátera 922 =− y x .
O eixo transverso está contido no eixo y.
⇒=− 12
2
2
2
b
x
a
y 1
169
22
=− x y
-
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Respostas:
1)
a) 132436
22
=− x y
b) 1169
22
=− x y
2) Pertence
3)
a) 1832
22
=− y x
b) 1818
22
=− y x
4) ( )2,63
2,
3
14e
−
-
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5.3 A Parábola.
Uma das curvas planas mais conhecidas e com várias aplicações na matemática
e na engenharia é a parábola cuja definição matemática é:
Um conjunto de infinitos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta
diretriz (d) e de um ponto fixo, foco (F), deste plano.
O foco não pertence à diretriz.
Figura 5.9
)(d dM F dM parábola Mn nn =⇒∈
π
F
(d) diretriz
n M
-
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5.3.1 Elementos da Parábola.
A figura 5.10 mostra uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano,
concavidade voltada para a direita e foco sobre o eixo x.
Figura 5.10
Os elementos desta curva são:
• Foco: é o ponto fixo F ;
• Diretriz: é a reta fixa (d);
• Eixo: é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz;
•
Vértice: é o ponto de interseção da parábola com seu eixo;• Parâmetro*: chamaremos de parâmetro (P ) a distância do foco ao vértice,
sendo então 2p a distância do foco à diretriz;
• Lado reto: é o segmento cujos extremos são pontos da parábola, é
perpendicular ao eixo e passa pelo foco.
* alguns autores consideram o parâmetro p como sendo a distância entre o foco e a diretriz.
Neste caso a distância entre o foco e o vértice é2 p .
y
xF(p,0)
-pv
L
R
(d)x=-p
-
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Como já foi dito, estudaremos primeiramente as equações reduzidas das
parábolas. Neste caso o plano cartesiano terá a sua origem coincidindo com o
vértice da parábola cujo eixo, e conseqüentemente seu foco, estará sobre um dos
eixos coordenados.
5.3.2 Equações Reduzidas da Parábola.
Seja o ponto genérico parábola y x M ∈),(
)(: d dM dMF matemática Definição =
(d)
00 =++
−=
p y x
ou p x
22
00
2
12
2
12 )()(
:
ba
cbyax
dpr
y y x xd
lembrar para
+
++
=
−+−=
y
xF(p,0)
-pv
M(x,y)
-
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+=
+
++=
+−=
p x p y x
d dM
y p xdMF
01
.0.1)(
)(
2
22
( )
px y p px x yP px x
p x y p x
p x y p x
então
422
)(
)(
222222
2222
22
=∴++=++−
+=+−
+=+−
podemos concluir por analogia que temos quatro tipos de equações reduzidas
para as parábolas.
Eq. genérica reduzida de uma parábola coma concavidade voltada para a direita.
x=-py
x
F(p,0)-p
px y 42 =
x=
y
x
F(-p,0) p
px y 42 −=
F(0,p)
y
x
-p
=-
py x 42 =
y
x
p
F(0,-p)
=
py x 42 −=
-
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Exercícios resolvidos:
1) Esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola042 =− x y
sol:
x y 42 =
vamos comparar a equação dada com a equação genérica px y 42 =
1444
42
2
=
=⇒=
=
p p px y
x y
2) Determine a equação da parábola cujo foco é
− 0,
2
1F e a diretriz é a reta 012 =− x
sol:
a equação da diretriz pode ser escrita como2
1= x
pela posição do foco e da diretriz podemos concluir que trata-se de uma parábola com vértice na
origem e concavidade voltada para a esquerda cuja equação genérica é px y 42 −=
seu parâmetro p vale2
1.
então:
x y
x y
2
.2
1.4
2
2
−=
∴
−=
x=-1y
x
F(1,0)-1
x y 42 =
-
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5.3.3 Exercícios propostos:
1) Para cada uma das parábolas abaixo, construir o gráfico e encontrar o foco e a
equação da diretriz:
a) y x 42 −=
b) x y 62 =
c) x y 82 −=
d) 02 =+ y x
e) 02 =− x y
f) 032 =+ x y
g) 0102 =− y x
h) 092 2 =− x y
i)16
2 x y =
j)12
2 y x −=
2) Determinar a equação da parábola com vértice na origem, eixo sobre o eixo y
e que passa pelo ponto M(6,3).
3) Um arco parabólico tem uma altura de 2,0m e uma largura de 3,6m na base.
Se o vértice da parábola está no topo do arco, a que altura sobre a base o
arco tem uma largura de 1,8m?
4) Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do
vértice ao foco é 30cm. Se o diâmetro do espelho é 10cm, qual a sua
profundidade?
5) Admita que a água que escoa do final de um tubo horizontal que está a 2,5m
do chão descreva uma curva parabólica. O vértice da parábola está no final do
tubo. Se em um ponto a 80cm abaixo da linha do tubo o fluxo d’água curvou-
se 1,0m além da reta vertical que passa pelo fim do tubo, a que distância
desta reta a água tocará o chão?
6) A diretriz da parábola px y 42 = é tangente à circunferência que tem o foco da
parábola como centro. Ache a equação da circunferência e os pontos de
interseção das duas curvas.
-
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7) Prove que o comprimento do lado reto de qualquer parábola é 4p .
Respostas:
1)
a) 1;)1,0( =− yF
b)2
3;0,
2
3−=
xF
c) ( ) 2;0,2 =− xF
d)4
1;
4
1,0 =
− yF