GEOMETRIA BEVEZETÉS2011. 7AAlapfogalmak, axiómák síkon és gömbön

A GEOMETRIA AXIÓMATIZÁLÁSAEuklidesz, Hilbert, Bólyai

EUKLIDESZEuklidesz az i.e. 3. században írt nagyszabású művében, az Elemekben lefektette a geometria alapjait.

Te mit tekintenél alapfogalomnak és bizonyítás nélkül elfogadott alaptételnek?

Elemek

Euklidesz megpróbálta definiálni az alapfogalmakat.

Te hogyan definiálnád:• a pontot • az egyenest• a vonalat• a felületet• a szögeket• az alakzatot?

Euklidesz definíciói:

1. ……………… aminek nincs része.2. ………..szélesség nélküli

hosszúság. 3. …………..az, amelyik a rajta levő

pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.

4. …….az, aminek csak hosszúsága és szélessége van.

http://mek.niif.hu/00800/00857/html/ikonyv.htm

Pont

A vonal Egyenes vonal

Felület

.................... az, amelyik nagyobb a derékszögnél. ……………. pedig, amelyik kisebb a derékszögnél. …………. az, ami vége valaminek.…………..az, amit egy vagy több határ vesz körül.

http://mek.niif.hu/00800/00857/html/ikonyv.htm

Tompaszög

Hegyesszög

Határ Alakzat

EUKLIDESZ POSZTULÁTUMAIEuklidesz az alapfogalmak után az alábbi posztulátumokat sorolja fel:

1. Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható.

2. És hogy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható legyen.

3. És hogy minden középponttal és távolsággal legyen kör rajzolható.

4. És hogy minden derékszög egymással egyenlő legyen. 5. És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik

oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak.

Mit gondolsz kilóg valamelyik a többi közül? Mindegyik könnyen érthető számodra?

A HÍRES V. POSZTULÁTUM Az Euklidesz Elemek című munkájából származó V.

posztulátum sok fejtörést okozott a matematikusoknak.

Biztosan észrevetted, hogy sokkal bonyolultabban van megfogalmazva mint az előző négy, inkább tételnek tűnik mint axiómának.

Sokan úgy gondolták, hogy következik az első négy posztulátumból, mások úgy vélték, hogy egy egyszerűbbel kéne helyettesíteni.

Erről bővebben olvashatsz: http://www.math.u-szeged.hu/~klukovit/Hallgatoknak/MatTort/mattort0607/nem-eu3.pdf

HILBERT(1862-1943) A 19.-20. század

fordulóján élt egyik legkiemelkedőbb matematikus. A matematika számos területén ért el eredményeket. Egyik jelentős műve A geometria alapjai (1899), melynek célja a geometria axiómatizálása.

ALAPFOGALMAK

Az alapfogalmak olyan fogalmak amiket nem lehet visszavezetni

egyszerűbb fogalmakra.

Mit gondolsz mik az alapfogalmak?

ALAPFOGALMAK HILBERNÉL:Pont

Egyenes

Sík

Illeszkedés

Két pont között lenni

Egybevágóság

AXIÓMÁKAz axiómák olyan tételek, amiket nem lehet egyszerűbb tételekre visszavezetni.Hilbert egy 20 axiómából álló rendszert állított fel.

MIT GONDOLSZ, MIK LEHETNEK AXIÓMÁK?

AZ ILLESZKEDÉS AXIÓMÁI:1. Bármely két ponthoz tartozik egy egyenes, amely

mindkét pontra illeszkedik.2. Bármely két ponthoz legfeljebb egy olyan egyenes

tartozik, amely mindkét pontra illeszkedik.3. Minden egyenesre legalább két pont illeszkedik. Létezik

olyan három pont, amelyek nem illeszkednek egy egyenesre.

4. Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz tartozik olyan sík, amely mindhárom pontra illeszkedik. Minden síknak legalább 3 pontja van.

5. Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz legfeljebb egy olyan sík tartozik, amelyre mindhárom pont illeszkedik.

6. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkre, akkor az egyenes összes pontja illeszkedik a síkra.

7. Ha két síknak van egy közös pontja, akkor legalább még egy van .

8. Van legalább négy, nem egy síkra illeszkedő pont.

A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGTEREMTŐI

Bolyai János1802-1860

Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-

1856)

"..azért nem ismerjük az 5. posztulátum bizonyítását, mert azt nem is lehet bizonyítani."

„semmiből egy új, más világot teremtettem”

BOLYAI JÁNOSMár gyermekkorában is tehetséges voltKezdetben apja, Bolyai Farkas tanította

matematikáraA matematika számos területével

foglakozottKortársai közt sokan nem értették meg

a párhuzamossággal kapcsolatos munkásságát

A későbbi korok becsülik meg igazán az általa megalkotott abszolút geometriát

Bolyairól szóló cikkek a KöMaL oldalán:http://www.komal.hu/cikkek/prekopa/bolyai/bolyai.h.shtmlhttp://www.komal.hu/cikkek/bolyai200/bolyai200.h.shtml

AppendixBolyai János 1831-ben megjelent műve melyben lefektette a nemeuklideszi geometria alapjait.

,,ez a huszonnégy oldal a legrendkívülibb két tucat oldal a gondolkodás történetében''.

Babits Mihály: Bolyai

"Semmiből egy új, más világot teremtettem."Bolyai János levele apjához

Isten elménket bezárta a térbe.Szegény elménk e térben rab maradt:a kapzsi villámölyv, a gondolat,gyémántkorlátját még csak el sem érte.

Én, boldogolván, azt a madarat,ki kalitjából legalább kilátott,a semmiből alkottam új világot,mint pókhálóból sző kötélt a rab.

Új törvényekkel, túl a szűk egen,új végtelent nyitottam én eszemnek:király gyanánt, túl minden képzeten

kirabolván kincsét a képtelenneknevetlek, mint Istennel osztozó,vén Euklides, rab törvényhozó.

1911. febr.-márc.

A SÍK ÉS A GÖMB ÖSSZEHASONLÍTÁSAAlapfogalmak gömbön és síkon

Írjatok össze 1 perc alatt

a lehető legtöbb gömb alakú dolgot!

Miért foglalkozunk a gömbbel? A gömb egy nagyon érdekes felület, ami önmagában is elég ok arra, hogy foglalkozunk vele, de azt sem szabad elfelejteni, hogy egy gömbön élünk, így gyakorlati haszna is van ennek a vizsgálódásnak.

MELYIK NAGYOBB, HÁNYSZOR?

2 166 086 km² 17 840 000 km²

Grönland

vagy

Dél-Amerika

MIT LÁTSZ EZEN A TÉRKÉPEN?

SOK HELYEN LÁTHATUNK GÖMBÖKET ….

… és ezek közül néhány olyan is akad, ami otthon is megtalálható és kísérletezhetünk rajtuk:

ALAPFOGALMAK

A síkon alapfogalmaknak tekintettük a pontot és az egyenest.

Mik legyenek az alapidomok a gömbön?

Vannak a gömbön pontok?

És egyenesek?

MILYEN ALAKZATOKA

T TUDSZ RAJZOLNI A GÖMBRE?

Tudsz rajzolni síkra és gömbre:

Almát KörtSzívecskétPontot3 pontotSzakasztHázikótVirágotEgyenest ?

A gömbön ugyanúgy vannak pontok mint a síkon, de egyenesek nincsenek.

Vizsgáljuk meg, mi lehet ennek az oka!

Virág, alma, szív a gömbön

ÖSSZEHASONLÍTÁS:Tudsz olyan alakzatot, amit csak

síkra lehet rajzolni?Olyat amit csak gömbre? Amit mindkettőre?Amit egyikre se? Mit kapsz, ha egy gömböt

elmetszel egy síkkal?Mi következik ebből?

SÍK ÉS GÖMB METSZETE: Semmi Egy pont Egy kör

Csak pontot és kört lehet síkra és gömbre is rajzolni.

Mi vegye át az egyenes szerepét a gömbön?

VICC AZ EGYENESRŐL: Egy faluban néhány turista megkérdez egy helyi paraszt bácsit, milyen távol van a következő falú.

A válasz: légvonalban 2 km, de tudok egy rövidebb utat az erdőn át.

MILYEN TULAJDONSÁGAI VANNAK AZ EGYENESNEK?

A síkon két pont közötti legrövidebb út egy egyenes mentén

halad. Végezzük kísérleteket

és válaszoljuk meg a kérdéseket!

VÍZCSEPP KÍSÉRLET

Ha egy sík felületen egy csepp víz lefolyik milyen utat tesz meg?

És ha egy gömbfelületen?

A GÖMBI FŐKÖR2011. 10. 11.

ÖSSZEFOGLALÁS?Mi a legegyszerűbb alakzat a

gömbön?Milyen alakzatot lehet rajzolni

síkra, amit nem lehet gömbre? Mi lehet egy sík és egy gömb

közös része?Mi következett ebből?Milyen tulajdonságai voltak a

síkon az egyenesnek?

ZSINEGES KÍSÉRLETMi lesz a gömbfelületen két pont között a legrövidebb út?

Feszítsünk ki két pont közé egy zsineget a gömbön és a síkon is!

LEHET-E GÖMBRE EGYENEST RAJZOLNI?1.2 Kísérlet (Lénárt)

A gömbi főkör Gömbi főköröknek nevezzük a gömbre

rajzolható legnagyobb köröket. A kísérletek elvégzésével azt tapasztaljuk,

hogy a sík felületen egy egyenes mentén folyik le a víz, míg a gömbfelületen egy gömbi főkör mentén halad.

Két pont között a legrövidebb út szintén egy gömbi főkör mentén kapható meg, egy főkör egy darabja.

Ezek alapján úgy tűnik a gömbfelületen a gömbi főkör veszi át az egyenes szerepét.

Végezzünk további kísérleteket, hogy többet megtudjunk a gömbi főkörökről!

Bogi

1. Soroljunk fel gömbi főköröket a Földön!2. Hány gömbi főkör van a gömbön és hány egyenes

a síkon?3. Hány és milyen részre oszt két pont egy egyenest

illetve egy főkört?4. Két pontra mindig egyértelműen illeszthető egy

egyenes? 5. Rajzoljuk meg egy térképen illetve egy földgömbön

Budapest és Helsinki között a legrövidebb utat!6. Rajzoljuk meg ugyanígy az Északi és a Déli sark

közti legrövidebb utat is!7. Egyértelműek ezek? Próbáljuk indokolni amit

tapasztaltunk!8. Hány metszéspontja lehet két egyenesnek illetve

főkörnek?

1. A Földön például minden hosszúsági kör gömbi főkör. Fontos azonban, hogy ez a szélességi körökről nem mondható el, hiszen ezek nem is egyenlő hosszúak. Természetesen nem csak a hosszúsági körök alkotnak gömbi főkört, például az Egyenlítő, vagy tetszőleges a Föld középpontján átmenő sík és a földkéreg metszésvonala egy gömbi főkört alkot.

Hosszúsági körök

Szélességi körök

2. Ebből az is következik, hogy ahogy a síkon is végtelen sok egyenes van, úgy a gömbön is végtelen sok főkör van.

3.Két pont egy egyenest két végtelen hosszú részre, két félegyenesre és egy szakaszra oszt. Ezzel szemben két pont egy főkört két véges hosszú szakaszra oszt.

4.A síkon bármely két pontra egyértelműen illeszthető egyenes. Ez a gömbön, csak akkor igaz, ha a két pont nem átellenes. Két egymással szemben levő pontra végtelen sok egyenes (gömbi főkör) illeszthető

GÖMBI TÁVOLSÁG7. Budapest és Helsinki között a legrövidebb út mind a síkon,

mind a gömbön egyértelmű. A gömbön azonban az Északi és a Déli sarkok távolsága nem egyértelmű. Ezt mérhetjük bármely hosszúsági kör mentén, és a kapott két szakasz közül bármelyiket választhatjuk, hiszen ezek egyforma hosszúak. A gömbön ahogy a síkon is két pont távolságán a köztük mért legrövidebb távolságot értjük. A két pontra gömbi főkört illesztünk. Ha a két pont nem átellenes, ez a főkör egyértelmű, és a kapott két szakasz közül a rövidebbnek a hossza a gömbi távolság. Ha átellenesek a pontok, (mint az Északi és a Déli sark,) akkor nem egyértelmű a főkör, és a két pont két egyenlő részre osztja a főkört. Függetlenül attól, hogy melyik főkör, melyik szakaszát választjuk, ezek hossza mind egyenlő, ez lesz a két pont gömbi távolsága.

A gömbi távolságot szokás fokban mérni. Az átellenes pontok 180 fokra vannak egymástól.

8. A síkon bármely két nem párhuzamos egyenesnek pontosan egy metszéspontja lehet, és semelyik két különböző párhuzamos egyenesnek sincs metszéspontja. A gömbön bármely két különböző főkör egy pontpárban metszik egymást. Ezek átellenes pontok. Például bármely két hosszúsági kör az Északi és a Déli sarokban metszik egymást.

EGYENLÍTŐ ÉS A SARKOK A Földön az Egyenlítőhöz tartozik két

átellenes pont az Északi- és Déli sark. Milyen messze vannak ezek egymástól és az

Egyenlítőtől? Egymástól 180 fokra vagy gömbi lépésre, az

Egyenlítőtől 90-re. Minden gömbi egyeneshez (főkörhöz) van

ilyen pontpár? Igen, hiszen a gömbi egyenesek körök. Rajzolj meg egy gömbi egyenest a

sarkpontjaival. Kösd össze a sarkpontokat! Mit tapasztalsz?

PÓLUSPONTOKAz ilyen sarkpontok neve:

póluspontTetszőleges póluspontpárra

végtelen sok egyenes illeszthető a pontokra.

Ezek az egyenesek ugyanolyan hosszúak

és merőlegesek a hozzájuk tartozó egyenlítőre.

HÁROMSZÖGEK SÍKON ÉS GÖMBÖNHáromszögek osztályozása, belső szögeinek összege

SZÜKSÉGES ISMERETEK: Háromszög belső szögeinek összege

180 fok. Háromszög külső szögeinek összege

360 fok. Konvex alakzat: minden szöge kisebb

mint 180 fok Konkáv alakzat: van 180 foknál

nagyobb szöge Szabályos sokszög: minden oldala

egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú

HÁROMSZÖG BELSŐ SZÖGEINEK ÖSSZEGE

Síkon 180 fok Gömbön? Működik ez a

bizonyítás? Mi a gond? Nincsenek

párhuzamos egyenesek.

Nem igaz az állítás.

Rajzolj minél többféle háromszöget a füzetedbe és a gömbre is.

Csoportosítsd ezeket!Miben hasonlítanak illetve különböznek?

HÁROMSZÖGEK OSZTÁLYOZÁSAHegyesszögű Tompaszögű

HÁROMSZÖGEK OSZTÁLYOZÁSAEgyenlő szárú hegyesszögű Egyenlő szárú

tompaszögű

Elnevezés: alap, szárak

HÁROMSZÖGEK OSZTÁLYOZÁSADerékszögű Szabályos