geometría de curvas

Jhrphwuðd gh Fxuydv

Mxqh Dploor

Pdufk </ 4<<<

4 Fxuydv hq ho hvsdflr

Ho prylplhqwr gh xq pöylo txh yldmd d wudyìv gho hvsdflr ylhqh ghwhuplqdgr

sru orv yhfwruhv srvlflöq h ' hE|�/ yhorflgdg � ' h�E|� | dfhohudflöq @ ' h��E|�1D sduwlu gh hvwrv yhfwruhv hv srvleoh frqvwuxlu xq frqmxqwr gh wuhv yhfwruhv

xqlwdulrv | ruwrjrqdohv hqwuh vð/ oodpdgr Wulhgur gh Iuhqhw/ txh vh ghvsod}d

frq ho pöylo sursruflrqdqgr lqirupdflöq suhflvd vreuh od rulhqwdflöq gho

yhkðfxor | od jhrphwuðd gh od wud|hfwruld vhjxlgd1

Hq or txh vljxh vxsrqguhprv fxuydv vxdyhv gho hvsdflr wulglphqvlrqdo/ hv

ghflu fxuydv gh�qlgdv sru ixqflrqhv yhfwruldohv

hE|� ' %E|� �n +E|� �n 5E|�!

@ � | � K/ hq od txh wrgdv odv frpsrqhqwhv vrq glihuhqfldeohv do phqrv grv

yhfhv1 Gluhprv txh xqd fxuyd vxdyh hv uhjxodu vl h�E|� 9' f sdud wrgr | 5 d@c Ko1Hvwr txlhuh ghflu txh od yhorflgdg qxqfd hv fhur | sru wdqwr ho pöylo qxqfd

vh ghwlhqh1 Hvwh wlsr gh fxuydv qr suhvhqwdq sxqwrv dqjxorvrv1

414 Orqjlwxg gh Dufr | Yhfwru Wdqjhqwh Xqlwdulr

41414 Sdudphwul}dflöq uhvshfwr gho dufr

Ho wlhpsr | hv ho sduäphwur qdwxudo sdud ghvfulelu ho prylplhqwr d or odujr

gh xqd fxuyd1 Od orqjlwxg gh dufr hv ho sduäphwur qdwxudo sdud ghvfulelu vx

irupd jhrpìwulfd1

Sdud xqd fxuyd uhjxodu h ' hE|�/ @ � | � K/ od glvwdqfld r uhfruulgd

sru ho pöylo kdvwd xq lqvwdqwh | frlqflgh frq od orqjlwxg gho dufr gh fxuyd

4

fruuhvsrqglhqwh do lqwhuydor d@c |o/ hv ghflu

rE|� ']

|

@

mmh�E��mm _� ']

|

@

td%�E��o2 n d+�E��o2 n d5�E��o2 _��

Vhjýq ho Whruhpd ixqgdphqwdo gho Fäofxor od ixqflöq r ' rE|� hv glihuhqfldeoh|

_r

_|' mmh�E|�mm�

Od qrupd gho yhfwru yhorflgdg hv od ud}öq gh fdpelr gh od orqjlwxg gh dufr frq

uhvshfwr do wlhpsr1 Sru hvwd ud}öq mmh�E|�mm vh oodpd udslgh} gho prylplhqwr

| vh od uhsuhvhqwd sru n�n r vðpsohphqwh �1Sdud xqd fxuyd uhjxodu vh wlhqh

_r

_|: f�

Hq frqvhfxhqfld/ r ' rE|� hv fuhflhqwh | srvhh lqyhuvd | ' |Er� wdpelìq

fuhflhqwh | glihuhqfldeoh1 Hihfwxdqgr ho fdpelr | ' |Er� hq hE|� uhvxowd

h ' hE|Er��

Hvwh fdpelr vh oodpd sdudphwul}dflöq uhvshfwr gh od orqjlwxg gho dufr1

Hq jhqhudo od h{suhvlöq txh uhodflrqd | | r hv frpsolfdgd sru or txh od

sdudphwul}dflöq uhvshfwr gh r qr wlhqh yhqwdmdv suäfwlfdv1 Vx lqwhuìv hv

sulqflsdophqwh whöulfr do kdfhu odv gh�qlflrqhv päv vlpsohv1

41415 Ho Yhfwru Wdqjhqwh Xqlwdulr

Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu | h ' hE|Er�� vx uhsdudphwul}dflöq

uhvshfwr gh od orqjlwxg gh dufr1 Ghulydqgr uhvshfwr gh r uhvxowd

_h

_r'

_h

_|

_|

_r

'_h

_|

�

_r*_|

'h�E|�

nh�E|�nor txh pxhvwud txh ho yhfwru _h*_r hv xq yhfwru gh pögxor xqlgdg hq od

gluhfflöq gho yhfwru h�E|�� Sxhvwr txh ho yhfwru yhorflgdg � ' h�E|� hv xq

yhfwru wdqjhqwh d od fxuyd/ ho yhfwru _h*_r hv xq yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr1

5

Gh�qlwlrq 4 Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu1 Vh oodpd yhfwru

wdqjhqwh xqlwdulr do yhfwru

A '_h

_r'

h�E|�

nh�E|�n '�

��

Frpr txlhud txh nh�E|�n : f/ ho yhfwru A dsxqwd hq od plvpd gluhfflöq

txh h�E|�/ hvwr hv/ hq od gluhfflöq gh odv |*v fuhflhqwhv1

415 Fxuydwxud | Yhfwru Qrupdo Sulqflsdo

41514 Fxuydwxud gh Fxuydv hq ho Hvsdflr

Gdgd xqd fxuyd fxdotxlhud ho yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr A ' _h*_r lqglfd od

gluhfflöq gho prylplhqwr hq fdgd sxqwr1 Ho yhfwru _A*_r plgh od ud}öq

gh fdpelr gho yhfwru A frq uhvshfwr d r1 Frpr txlhud txh nAn shupdqhfh

frqvwdqwh d or odujr gh od fxuyd/ _A*_rplgh uhdophqwh ho fdpelr gh gluhfflöq

hq ho yhfwru A� Vx qrupd n_A*_rn uhsuhvhqwd od whqghqfld gh od fxuyd d

fdpeldu gh gluhfflöq1 Hvwr uhvxowd hvshfldophqwh fodur sdud fxuydv sodqdv1

Hq hihfwr/ vxsrqjdprv txh od fxuyd hv sodqd | vhd � ho äqjxor irupdgr

sru od wdqjhqwh hq xq sxqwr frq ho hmh gh deflvdv1 Hqwrqfhv ho yhfwru xqlwdulr

wdqjhqwh vh sxhgh hvfulelu frpr

A ' ULt� �n t�?� ��

Od ud}öq gh fdpelr gh A frq uhvshfwr gho dufr r hv

_A

_r'

_A

_�

_�

_r' d� t�?� �nULt� �o

_�

_r

| sru frqvljxlhqwh��

_A

_r

��'

��

_�

_r

��

Hvwr vxjlhuh od vljxlhqwh gh�qlflöq yäolgd wdpelìq sdud fxuydv hq ho hvsdflr1

Gh�qlwlrq 5 Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu hq ho hvsdflr1 Vh

oodpd fxuydwxud do qýphur

& '

��

_A

_r

��

6

Vl & ' f/ od fxuyd hv xqd oðqhd uhfwd1 Vl & 9' f od fxuyd vh wxhufh |

oodpduhprv udglr gh fxuydwxud d

4 '�

&�

Sxhvwr txh/_A

_r'

_A

_|

_|

_r'

_A

_|

�

_r*_|'

�

�

_A

_|�

uhvxowd

& '�

�

��

_A

_|

��

41515 Yhfwru Qrupdo Sulqflsdo

Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu | A ho yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr1

Sxhvwr txhA hv gh orqjlwxg frqvwdqwh/ nAn ' �c ho yhfwru _A*_r hv ruwrjrqdod A� Vx qrupd hv sru gh�qlflöq od fxuydwxud &1 Glylglhqgr _A*_r sru vx

qrupd uhvxowd xq yhfwru xqlwdulr shushqglfxodu d A�

Gh�qlwlrq 6 Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu | A ho yhfwru

wdqjhqwh xqlwdulr hq xq sxqwr gh fxuydwxud & 9' f1 Vh oodpd yhfwru qrupdo

sulqflsdo do yhfwru xqlwdulr

� '�

&

_A

_r'

_A*_r

n_A*_rn �

Ho yhfwru � hv xq yhfwru shushqglfxodu d A | dsxqwd hq od gluhfflöq hq

txh od fxuyd vh wxhufh1

Sxhvwr txh/_A

_r'

_A

_|

_|

_r| txh _|*_r : f vh wlhqh

��

_A

_r

��'

��

_A

_|

_|

_r

��'

��

_A

_|

��

_|

_r�

Glylglhqgr uhvxowd od iöupxod

� '_A*_|

n_A*_|ntxh shuplwh ghwhuplqdu ho yhfwru� vlq qhfhvlgdg gh uhsdudphwul}du uhvshfwr

gho dufr r�

7

41516 Frpsrqhqwhv Qrupdo | Wdqjhqfldo gh od Dfhohudflöq

Ho yhfwru dfhohudflöq hv od ghulydgd gho yhfwru yhorflgdg shur

� ' h�E|� ' nh�E|�n A '�A

sru frqvljxlhqwh

@ '_�

_|'

_

_|E�A� '

_�

_|An �

_A

_|�

Frpr_A

_|'

_A

_r

_r

_|' &��

vh wlhqh

@ '_�

_|An &�2��

Od h{suhvlöq dqwhulru pxhvwud txh yhfwru dfhohudflöq hvwä frqwhqlgr vlhpsuh

hq ho sodqr irupdgr sru A | � lqghshqglhqwhphqwh gh föpr vh frpsruwh od

fxuyd1 Dvð srghprv hvfulelu

@ '@A An@� �

grqgh

@A '_�

_|'

_2r

_|2

hv od frpsrqhqwh wdqjhqfldo gh od dfhohudflöq |

@� ' &�2 ' &

#_r

_|

$2

od frpsrqhqwh qrupdo1

Gh od uhodflöq

n@n2 ' @2An @2

�

vh ghgxfh

@� 'tn@n2 � @2

A

or txh shuplwh fdofxodu od frpsrqhqwh qrupdo vlq qhfhvlgdg gh fdofxodu od

fxuydwxud sulphur1

8

41517 Iöupxod sdud ho Fäofxor gh od Fxuydwxud

Vh wudwd gh ghulydu xqd iöupxodv sdud fdofxodu od fxuydwxud vlq qhfhvlgdg gh

sdudphwul}du uhvshfwr gho dufr1

Whqlhqgr hq fxhqwd od ghvfrpsrvlflöq gho yhfwru dfhohudflöq vhjýq vxv

frpsrqhqwhv wdqjhqfldo | qrupdo uhvxowd

� � @ ' � � E@A An@� ��

' @A � �An@� � ��

' @A�A�An@��A��

' fn @��

' &��

Sru wdqwr

n� � @n ' &��

Ghvshmdqgr uhvxowd od Iöupxod sdud ho fäofxor gh od fxuydwxud

& 'n� � @n

��

416 Wruvlöq | Wulhgr gh Iuhqhw

41614 Yhfwru Elqrupdo | Wulhgur gh Iuhqhw

Hq fdgd sxqwr gh od fxuyd orv yhfwruhv A | � irupdq xq sodqr1 Glfkr sodqr

vh frqrfh frq ho qrpeuh gh sodqr rvfxodgru1 Ho surgxfwr yhfwruldo A � �

vhuä xq yhfwru xqlwdulr shushqglfxodu d glfkr sodqr1

Gh�qlwlrq 7 Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu1 Vh oodpd yhfwru

elqrupdo do surgxfwr � ' A��1

Orv yhfwruhv A/ � | � irupdq xq frqmxqwr gh wuhv yhfwruhv xqlwdulrv |

ruwrjrqdohv oodpdgr wulhgur gh Iuhqhw txh hq ho rughq lqglfdgr irupdq xq

vlvwhpd rulhqwdgr vhjýq od uhjod gh od pdqr ghuhfkd1 Ho sodqr irupdgr sru

orv yhfwruhv � | � vh oodpd sodqr qrupdo | ho irupdgr sru orv yhfwruhv A |

� sodqr uhfwl�fdqwh1

9

41615 Wruvlöq

Xqd fxuyd hq ho hvsdflr vh wxhufh gh grv pdqhudv1 Sru xq odgr vh fxuyd

ghqwur gho sodqr rvfxodgru | sru rwud vh fxuyd kdfld dixhud gh glfkr sodqr1

Od sulphud irupd ylhqh ghvfulwd sru od fxuydwxud/ hv ghflu sru od ud}öq gh

fdpelr gh gluhfflöq gho yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr A� Od vhjxqgd irupd gh

fxuyduvh ylhqh ghwhuplqdgd sru od ud}öq gh fdpelr gh gluhfflöq gho yhfwru

elqrupdo � ' A��/ hv ghflu sru ho yhfwru _�*_r�Sxhvwr txh � hv gh orqjlwxg frqvwdqwh/ n�n ' �c ho yhfwru _�*_r hv

ruwrjrqdo d �1 Sru rwud sduwh/ � �A 'f� Glihuhqfldqgr dperv plhpeurv vh

rewlhqh_�

_r�An��_A

_r' f�

Dkrud elhq/

��_A_r

' � � E&�� '&� �� 'f

sru or txh_�

_r�A 'f

| uhvxowd txh _�*_r wdpelìq hv ruwrjrqdo d A�Do vhu _�*_r ruwrjrqdo d A | � srghprv frqfoxlu txh _�*_r hv sdudohor

d � | sru frqvljxlhqwh sursruflrqdo d �chv ghflu

_�

_r' ��

Od frqvwdqwh gh sursruflrqdolgdg uhfleh ho qrpeuh gh wruvlöq1

Gh�qlwlrq 8 Vhd h ' hE|�/ @ � | � K/ xqd fxuyd uhjxodu | � ' A �� ho

yhfwru elqrupdo1 Vh oodpd wruvlöq do qýphur

� ' �_�

_r��

Od wruvlöq plgh od ud}öq gh fdpelr d od fxdo ho sodqr rvfxodgru jlud

douhghgru gh A frqiruph qrv ghvsod}dprv d or odujr gh od wud|hfwruld1 Ho

vljqr phqrv vh hvfuleh sru wudglflöq shur qr gheh kdfhu shqvdu txh od wruvlöq

vhd qhjdwlyd1 Do frqwudulr txh od fxuydwxud txh qxqfd hv qhjdwlyd od wruvlöq

sxhgh vhu srvlwlyd/ qhjdwlyd r qxod1

Sxhvwr txh/_�

_r'

_�

_|

_|

_r'

�

�

_�

_|

:

srghprv hvfulelu

� ' ��

�

#_�

_|��

$

or txh shuplwh srghu fdofxodu od wruvlöq vlq uhsdudphwul}du uhvshfwr gho dufr1

41616 Iöupxodv sdud ho Fäofxor gh od Wruvlöq

Hq hvwd vhfflöq wudwduhprv gh ghulydu xqd iöupxod sdud fdofxodu od wruvlöq

vlq qhfhvlgdg gh uhsdudphwul}du uhvshfwr gho dufr1

Sxhvwr txh ho yhfwru @ hvwä hqwhudphqwh frqwhqlgr hq ho sodqr rvfxodgru

ho yhfwru � hv ruwrjrqdo do yhfwru dfhodudflöq1 Glihuhqfldqgr od uhodflöq

� � @ 'f uhvxowd

��_@_|

n_�

_|�@ 'f�

Gh dtxð vh vljxh

��_@_|

' �_�

_|�@

'

#�_�

_r

_r

_|

$�@

' �� @' ��@� �

Dkrud elhq/

@� ' &�2

|

& 'n� � @n

��

Sru frqvljxlhqwh

��_@_|

' � n� � @n|

� '� � @�

n� � @n �

Whqlhqgr hq fxhqwd txh

� '� � @

n� � @n

;

uhvxowd od Iöupxod sdud ho fäofxor gh od wruvlöq

� 'E� � @� � @�

n� � @n2 E vl � � @ 9' f��

41617 Iöupxodv gh Iuhqhw

Odv uhodflrqhv vljxlhqwhv h{suhvdq odv ud}rqhv gh fdpelr gh orv yhfwruhv A/

� | � frq uhvshfwr gho dufr r | vh frqrfhq frq ho qrpeuh gh Iöupxodv gh

Iuhqhw

_A

_r' &�

_�

_r' �&A n� �

_�

_r' ��

Od sulphud | od whufhud odv khprv rewhqlgr frq dqwhulrulgdg1 Sdud ghprvwudu

od vhjxqgd glihuhqfldprv odv uhodflrqhv � �A 'f | � �� 'f uhvxowdqgr

_�

_r�An��_A

_r'

_�

_r�An& ' f

|_�

_r��n��_�

_r'

_�

_r�� ' f

gh grqgh vh vljxh_�

_r�A ' �&

|_�

_r�� ' ��

Sru ýowlpr/ sxhvwr txh� hv gh orqjlwxg frqvwdqwh/ n�n ' �c ho yhfwru _�*_rhv ruwrjrqdo d �1 Hq frqvhfxhqfld

_�

_r' �&An� ��

<

417 Hmhpsor

Vhd od kìolfh

hE|� ' - ULt/| �n- t�?/| �n K|!

grqgh -c K � f | qr vlpxowdqhdphqwh qxorv�Yhfwru yhorflgdg

� ' h�E|� ' �/- t�?/| �n /- ULt/| �n K!�

Udslgh}

� '_r

_|'s/2-2 n K2�

Yhfwru wdqjhqwh xqlwdulr

A '�

�� '

�s/2-2 n K2

E�/- t�?/| �n /- ULt/| �n K!��

Yhfwru dfhohudflöq

@ ' ��E|� ' �/- ULt/| �� /- t�?/| ��

Frpsrqhqwh wdqjhqfldo

@A '_2r

_|2' f�

Frpsrqhqwh qrupdo

@� 'tn@n2 � @2

A' /-

Fxuydwxud

& '@��2

'/-

/2-2 n K2

Yhfwru qrupdo

� '�

@�E@�@A A�

'�

/-E�/- ULt/| �� /- t�?/| ��fA�

' � ULt/| �� t�?/| �

43

'�

&2�S

��

�� &@� @� @&

@�

� @�

� @�

&

��

'�

/2-E/2-2 n K2�

��

�/- t�?/| /- ULt/| K�/- ULt/| �/- t�?/| f/2- t�?/| �/2- ULt/| f

��

'/K

/2-2 n K2�

45

geometría de curvas

Engineering