Introduccin a la geometra y topologa de lasvariedades

D. Francisco Medrano

con series de ejercicios corregidos

Tellement de choses faire, tellement peu de temps E. Galois

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ndice1. Subvariedades diferenciables de Rn 3

1.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Valores regulares y ms ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Serie de ejercicios 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. Inmersiones y encajes (embeddings) . . . . . . . . . . . . . . . 191.8. Serie de ejercicios 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Correciones de las series de ejercicios 232.1. Correccin de la serie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Correccin de la serie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25contenido

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1. Subvariedades diferenciables de Rn

1.1. Definiciones y ejemplos

Antes de comenzar, recordemos algunos resultados y definiciones del an-lisis real:

(a) Sean U Rk, V Rl abiertos. Una funcin f : U V se llama declase C o tambin lisa si y slamente si todas las derivadas parcialesexisten y son continuas:

nfxi1 xin

.As por ejemplo son funciones lisas las funciones polinomiales, los co-cientes de polinomios (donde estn definidos), etc.

(b) Sean X Rk, Y Rl (no necesariamente abiertos). Una funcinf : X Y se llama de clase C o lisa si y slamente si x X:1. U Rk, vecindad (abierta) de x.2. F : U Rl de clase C tal que F |UX = f |UX .

Figura 1: Extensin del concepto de diferenciabilidad

(c) Una funcin f : X Y es un difeomorfismo si y slamente si f esbiyectiva y tanto f como f1 son de clase C. En tal caso, decimos queX e Y son difeomorfos .

(d) Sea M Rk. Un subconjunto W M es un M -abierto si existe unabierto V Rk tal que w = V M .Observacin 1.1. Un M-abierto no es otra cosa que un abierto en latopologa inducida por Rk sobre M .

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Figura 2: M -abierto

Definicin 1.1. M Rk es una subvariedad diferenciable de Rk de dimensinm si y slamente si x M, W M una M -vecindad de x tal que W esdifeomorfo a un conjunto abierto U Rm.

Figura 3: Dfinicin de subvariedad diferenciable

As pues, una subvariedad diferenciable se comporta localmente como Rm.Un tal difeomorfismo : W U se llama una carta y su inversa g : U Wuna parametrizacin.

Observacin 1.2. En lo que sigue, hablaremos simplemente de variedad di-ferenciable en lugar de subvariedad diferenciable. Ms adelante definiremosel concepto de variedad diferenciable, el cual engloba en particular a las sub-variedades diferenciables de Rk.

Ejemplo 1.1.

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M = Sn = {(x1, ..., xn) Rn+1 |n

i=1 x2i = 1} es una variedad diferenciable

de dimensin n. En efecto, para i = 1, ..., n+ 1 sean

H+i = {(x1, ..., xn+1) Sn | xi > 0},

Hi = {(x1, ..., xn+1) Sn | xi < 0}.H+i , H

i son Sn-abiertos. Sea Bn = {(x1, ..., xn) Rn |

ni=1 x

2i < 1} la

bola abierta estandar en Rn. Definamos i : Hi Bn por (x1, ..., xn+1) 7

(x1, ..., xi1, xi+1, ..., xn+1), es decir los i son proyecciones. Se puede verificarque i es un difeomorfismo. Como todo punto de Sn tiene una vecindadcontenida en uno de los Hi , Sn es una variedad diferenciable de dimensinn.

Ejemplo 1.2.

M = Rk. En efecto, para todo x M es suficiente tomar W = Rk. Deforma ms general, todo M Rk abierto es una variedad diferenciable dedimensin k (tomar W = M).

Ejemplo 1.3.

Las superficies en R3.

Figura 4: Superficies de gnero 1,2 y 3 respectivamente

Ejemplo 1.4.

M = GLn(R). En efecto, tenemos la identificacin Mn(R) ' Rn2 . La apli-cacin multilineal determinante det : Mn(R) R es continua (es de tipopolinomial) y GLn(R) = det1(R \ {0}) es entonces una abierto de Rn2 ysegn el ejemplo 1.2 es una variedad diferenciable de dimensin n2.

Ejemplo 1.5.

Sea f : S1 R3 inyectiva de clase C. Pues bien, M = R3 \ Imf es unavariedad diferenciable de dimensin 3. Observe que M no es otra cosa que elcomplemento de un nudo.

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Figura 5: Nudo en R3

Para ver que M es una variedad, hay que mostrar que Imf es cerrado enR3 y por lo tanto su complemento M ser abierto, de este modo M es unavariedad segn el ejemplo 1.2. En efecto, S1 R2 es compacto y como fes continua, f(S1) tambin es compacto. En Rn tenemos la caracterizacin(Heine-Borel): X Rn compacto X cerrado y acotado. En particular Imfes cerrado.Contra-ejemplos

(a) El subconjunto de R2:

no es una variedad diferenciable ya que ninguna vecindad de x es ho-meomorfa (por lo tanto tampoco difeomorfa) a un abierto de R.

(b) El subconjunto de R2 :

no es una variedad diferenciable ya que toda vecindad de x si bien eshomeomorfa a un abierto de R, digamos (0, 1), no es difeomorfa. Dehecho este subconjunto de R2 es en realidad una variedad topolgica, lacual definiremos ms adelante.

Observacin 1.3.

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(1) Ya que las (sub)variedades diferenciables son subconjuntos de espacioseuclidianos, tenemos la noci n de funciones de clase C y difeomor-fismo f : M1 M2 entre dos variedades. Escribiremos M1 = M2 paraindicar que M1 y M2 son difeomorfas.

(2) Para una variedad diferenciable M Rk, el espacio ambiente Rk nojuega ms que un rol secundario:

(3) Es fcil verificar que las relacin es difeomorfa a es una relacin deequivalencia entre variedades. La topologa diferencial es el estudio devariedades diferenciales bajo difeomorfismos.

Proposicin 1.1. Sean Mi Rki variedades diferenciales de dimensin mi(i = 1, 2). Entonces su producto M1 M2 es tambien una variedad diferen-ciable de dimensin m1 +m2.

Demostracin. Ver la serie de ejercicios de la seccin 1.3.

Ejemplo 1.6. El cilindro M = S1 (0,).

Figura 6: El cilindro infinito es una variedad diferenciable

Ejemplo 1.7. EL toro de dimensin n: T n = S1 S1 nveces

.

7

1.2. Valores regulares y ms ejemplos

Recordemos todava algunos resultados de anlisis real:

(e) Sea U Rk un abierto y sea f : U Rl de clase C. La derivada(total) de f en x U es la nica aplicacin lineal dfx : Rk Rl quesatisface f(x+ h) = f(x) + dfx(h) + h(h) donde lmh0 (0) = 0.

(f) En trminos de matrices (en bases estndares) est aplicacin linealest representada por:

dfx =

f1(x)x1

f1(x)xk... . . ....

fl(x)x1

fl(x)xk

.La matriz dfx recibe el nombre de jacobiana.

(g) Regla de la cadena: si f : U V es diferenciable en x U y g : V Wes diferenciable en f(x) V , entonces g f es diferenciable en x y setiene:

d(g f)x = dgf(x) dfx.(h) Sean U V Rk abiertos, i : U V la inclusin, entonces dix :

Rk Rk es la identidad idRk : x 7 x.(i) Si L : Rk Rl es una aplicacin lineal (por lo tanto diferenciable),

entonces dLx = L.

Definicin 1.2. Sea U Rk un abierto y sea f : U Rl de clase C. Decimosque y Rl es un valor regular de f si x f1(y) la derivada dfx : Rk Rles sobreyectiva.

Teorema 1.1. Bajo las mismas hiptesis de la definicin 1.2, para y Rl unvalor regular de f : U Rl, M = f1(y) es una variedad diferenciable dedimensin k l.Antes de comenzar la prueba de este teorema, veamos algunos ejemplos deaplicacin.

Ejemplo 1.8. El grupo especial lineal SLn(R) = {A Mn(R) | detA = 1}.Podemos mostrar que la funcin det : Mn(R) ' Rn2 R tiene como valorregular y = 1. Entonces por el teorema 1.1 det1({1}) = SLn(R) es una va-riedad diferenciable de dimensin n2 1.Para ver que y = 1 es un valor regular hay que mostrar que d detA

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L(Rn2 ,R) es de rango maximal (por lo tanto sobreyectiva), es decir que comoaplicacin lineal es no nula. El determinante det : Mn(R) = Rn Rn

nveces

R, (v1, ..., vn) 7 det(v1, ..., vn) es lineal con respecto a cada vector columna,entonces un clculo directo nos muestra que

d det(v1,...,vn)

(h1, ..., hn) = det(h1, v2, ..., vn) + + det(v1, v2, ...., hn).

En particular d det(v1,...,vn) no es nula ya que d det(v1,...,vn)(v1, ..., vn) = n,donde hemos tomado A = (v1, ..., vn) SLn(R).Ejemplo 1.9. Sea M Rk el conjunto de soluciones del sistema:

f1(x1, ..., xk) = 0...

fl(x1, ..., xk) = 0

donde fi : Rk R, i = 1, ..., l, es de clase C. Si la jacobiana es de rango lpara todo x M (es decir la derivada es sobreyectiva), entonces M es unavariedad diferenciable de dimensin k l.Veamos un ejemplo an ms concreto. Sean fi = R3 R i = 1, 2 definidaspor f1(x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 1, f2(x1, x2, x3) = x1 x2. La jacobianaes J =

(2x1 2x2 2x31 1 0

)y su rango es 2 para todo (x1, x2, x3) M . Por lo

tanto M es una variedad diferenciable de dimensin 3 2 = 1. Observe queM = S1.

Figura 7: Interseccin de un plano y una esfera

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Ejemplo 1.10. El grupo ortogonal O(n) = {A Mn(R) | ATA = In} Rn2 .Podemos identicar {S Mn(R) | ST = S} ' Rn(n+1)2 . Sea f : Rn2 Rn(n+1)2la funcin definida por f(A) = ATA. Calculemos la derivada de f en unpunto dado A: f(A+H) = f(A) +ATH +HTA+HTH, lo cual sugiere quedfA(H) = A

TH +HTA. En efecto, es suficiente verificar que (H) = HTHH estal que lmHO (H) = 0. Eso resulta de HTH HTH.La identidad In es una valor regular de f . Sea A f1(In) y sea S una matrizsimtrica. Entonces dfA(12AS) =

12ATAS + 1

2SATA = S, luego dfA es sobre-

yectiva y por el teorema 1.1 f1(In) = O(n) es una variedad diferenciable dedimensin n2 n(n+1)

2= n(n1)

2.

Antes de comenzar la demostracin del teorema 1.1, necesitamos nueva-mente un resultado importante del anlisis real:

Teorema 1.2. (Teorema de funciones inversas) Sea U Rk un abierto y seaf : U Rk de clase C. Si det(dfx) 6= 0, entonces existe U0 U vecindad dex tal que V0 = f(U0) es abierto en Rk y f |U0 : U0 V0 es un difeomorfismo.Adems se tiene que df1f(x) = (dfx)

1.

Demostracin. (del teorema 1.1)Tenemos f : U Rk Rl de clase C, y Rl un valor refular y queremosver que M = f1(y) es un valor regular, es decir para x M buscamos unaM - vecindad de x W M difeomorfa a un conjunto abierto de Rkl.Podemos definir una funcin de clase C, F : U RlRkl de la manera si-guente. Puesto que x f1(y), con y valor regular, la derivada dfx : Rk Rles sobreyectiva, luego ker(dfx) Rk es un subespacio vectorial de dimensinkl. Por el lgebra lineal, podemos elegir una aplicacin lineal L : Rk Rkltal que

ker(dfx)i Rk L Rkl

es un isomorfismo. Para z U definimos F (z) = (f(z), L(z)).Puesto que f y L son de clase C, F tambin. Tenemos dFx =

(dfxL

), lo

que implica que det(dFx) 6= 0. En efecto, ser suficiente mostrar que dFx esinyectiva. Si dFx(z) = 0 dfx(z) = 0 y L(z) = 0, por lo tanto z ker(dfx)y (L i)(z) = 0 z = 0 ya que L i es un isomorfismo.Por el teorema 1.2 de funciones inversas existe U0 U abierto , x U0 tal queV0 = F (U0) es abierto en Rl Rkl y F |U0 : U0 V0 es un difeomorfismo.Tomemos W = M U0. Por definicin W es un M -abierto de y x W ,adems F |W : W F (W ) es tambien un difeomorfismo y para z M ,F (z) = (f(z), L(z)) = (y, L(z)). Luego, F (W ) {y} Rkl. En realidad

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F (W ) = ({y} Rkl) V0 y F (W ) es entonces un abierto en Rkl.Finalmente, W es una M -vecindad de x difeomorfa a un abierto de Rkl.

Figura 8: Ilustracin del teorema 1.1

Sea f : U Rk Rl una funcin de clase C. Decimos que y Rl es unvalor singular si y no es una valor regular. El conjunto de valores singularesser denotado por

Sf := {f(x) Rl | x U, rang(dfx) < l)}

y el cojunto de valores regulares por

Rf := Rl \ Sf .

Teorema 1.3. (Sard) Sea f : U Rk Rl de clase C definida sobre unabierto U . El conjunto Sf de valores singulares de f tiene medida de LebesgueL nula, es decir L(f(U) \ Sf ) = 0Demostracin. El lector puede encontrar una demostracin de este resultadoen el libro de Milnor [1].

Corolario 1.1. Toda funcin f : U Rk Rl de clase C definida sobre unabierto U tal que L(f(U)) > 0 posee un valor regular.

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1.3. Serie de ejercicios 1

1. Sea U Rk un subconjunto abierto y sea f : U Rl una funcin declase C. Demostrar que el grafo de f

f = {(x, f(x)) | x U} Rk+l

es una variedad diferenciable.

2. Mostrar que un subconjunto M Rk es una variedad diferenciable dedimensin cero si y slamente si M es un espacio discreto (para todox M existe un abierto U Rk tal que U M = {x}).

3. Sea Mi Rki una variedad diferenciable de dimensin mi, para i =1, 2. Demostrar que el producto M1 M2 Rk1+k2 es una variedaddiferenciable de dimensin m1 +m2.

4. Sea H : S3 S2 la funcin definida porH(x1, x2, x3, x4) = (2x1x3 + 2x2x4, 2x2x3 2x1x4, x21 + x22 x23 x24).Demostrar que H es una funcin de clase C bien definida. Estudiarlos conjuntos H1(y) para y S2.

5. Sean U Rk, V Rl conjuntos abiertos y sea f : U V un difeo-morfismo. Demostrar que para todo x U la derivada dfx : Rk Rles una isomorfismo y concluir que k = l.

6. (a) Sea A una matrice n n (real) tal que AT = A. Demostrar quepara R, 6= 0,

M = {x Rn | xTAx = }es una variedad diferenciable de dimensin n 1.

(b) Utilizar (a) para mostrar que Sn1 es una variedad diferenciable.

7. Sea M R6 el conjunto siguente:M = {(x2, y2, z2, yz, xz, xy) | x, y, z R, x2 + x2 + z2 = 1}.

(a) Demostrar que M es una variedad diferenciable de dimensin 2.(b) Sea RP2 el espacio topolgico cociente S2/ , donde es la rela-

cin de equivalencia que identifica x con su punto antipodal x.Demostrar que RP2 y M son homeomorfos.Indicacin: considerar la funcin f : S2 M definida por

f(x, y, z) = (x2, y2, z2, yz, zx, xy).

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1.4. Espacio tangente

Una de las principales metas de este curso, es de extender el clcu-lo diferencial e integral en espacios euclidianos a objetos ms generales,en nuestro caso las variedades. Sabemos que la derivada de una funcinF : U Rn Rm es una aplicacin lineal entre los espacios vectorialesRn y Rm. Resulta entonces natural pensar que algo similar va a tener lugarpara una funcin diferenciable f : M N entre dos variedades diferencia-bles, es decir que dfx ser una aproximacin lineal de f cerca de x entre dosespacios vectoriales.

La idea geomtrica consiste en tomar, para x M Rk de dimensin m elhiperplano de dimensin m, que es la mejor aproximacin de M cerca de xy trasladarlo al origen para obtener un espacio vectorial en el cual podamosderivar.Definicin 1.3. Un vector v Rk es un vector tangente de M en x, si existeuna curba : R Rk de clase C tal que(i) Im M.(ii) (0) = x.

(ii) (0) = v.

Recordemos que (0) = lmt0

(t) (0)t

y d0 : R Rk1 7 (0)

Definicin 1.4. El espacio tangente de M en x est definido por

TxM ={v Rk | v es un vector tangente de M en x}

= {(0) | : RM de clase C, (0) = x}

Figura 9: Espacio tangente

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Proposicin 1.2. TxM es un espacio vectorial.

Demostracin. Ver la serie de ejercicios de la seccin...

Proposicin 1.3. Sea U Rm abierto, a U y sea g : U W Rk unaparametrizacin tal que g(a) = x. Entonces TxM = Im(dga).

Observemos que este resultado muestra automticamente que TxM es unespacio vectorial por ser la imagen de la aplicacin lineal dga : Rm Rk.Demostracin. (i) v TxM v Im(dga):En efecto, sea : R M Rk tal que (0) = x, (0) = v. Puesto que = g1 es de clase C, existe V Rk abierto que contiene aW y : V Ude clase C tal que |W = .Tenemos que = g. Luego por la regla de la cadena d0 = dgadxd0.Entonces, v = (0) = d0(1) = dga((dxd0)(1)) y por lo tanto v Im(dga).

(ii) v Im(dga) v TxM :Definimos f : (, ) U por f(t) = a + th donde es suficientementepequeo para que Imf U .Definimos : (, ) M por (t) = g(f(t)). Claramente es de clase Cy (0) = x, d0 = dga df0 (0) = d0(1) = dga df0(1) = dga(h) = v.As pues, v TxM .Proposicin 1.4. SeaM una variedad de dimensinm. Entonces dim(TxM) =m.

Demostracin. Sean U, a, g,W, V, , como en la demostracin de la proposi-cin 1.3. La composicin U g W V U es la identidad sobre U . EntoncesIdRm = d(idU)a = d( g)a = dx dga. Entonces, ker(dga) = 0 ya que dgatiene que ser inyectiva, luego por el teorema de la dimensin de lgebra linealaplicado a dga y la proposicin 1.3, dim(TxM) = dim(Im(dga)) = m.

Proposicin 1.5. Sea U Rk abierto, f : U Rl de clase C, y Rl unvalor regular de f y seaM = f1(y). Entonces para x M , TxM = ker(dfx).Demostracin. Sea V Rkl, a V y g : V ' W M Rk unaparametrizacin tal que g(a) = x.La composicin f g es la funcin constante de valor y, luego dfx dga = d(f g)a = 0. Entonces TxM = Im(dga) ker(dfx). Por otra parte, el teorema dela dimensin del lgebra lineal aplicado a dfx nos dice que dim(ker(dfx)) +dim(Im(dfx)) = k, lo cual implica que dim(ker(dfx)) = k l = dim(Im(dga))ya que dim(Im(dfx)) = l puesto que y es un valor regular. Sigue entoncesque TxM = ker(dfx).

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Ejemplo 1.11. TxSn: Sea f : Rn+1 R la funcin definida por f(x1, ..., xn+1) =x21 + + x2n+1. 1 R es un valor regular y Sn = f1(1). Tenemos quedfx = (2x1, ..., 2xn+1), entonces dfx(w) = 2(x1w1 + + xn+1wn+1) y por laproposicin 1.5: TxSn = ker(dfx) = {w Rn+1 |

n+1i=1 xiwi = 0}.

Figura 10: El espacio tangente a S1

Ejemplo 1.12. TInO(n): En el ejemplo 1.10 vimos que O(n) = f1(In) dondef : Rn2 Rn(n+1)2 , A 7 ATA y dfA(B) = ATB + BTA. Luego por laproposicin 1.5, TInO(n) = ker(dfIn) = {B|dfIn(B) = 0} = {B|BT+B = 0}.Ejemplo 1.13. TInSLn(R) = {B Mn(R) | tr(A) = 0}. Ver ejercicios de laseccin 1.8.

1.5. Derivadas

Definicin 1.5. Sean M Rk, N Rl variedades diferenciales de dimensinm y n respectivamente. Sea f : M N una funcin de clase C. La derivadade f en x M , dfx : TxM Tf(x)N es la aplicacin definida por

dfx(v) := (f )(0)donde : RM lisa tal que (0) = x, (0) = v.

Figura 11: La derivada entre (sub)variedades

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Proposicin 1.6. La definicin de dfx(v) es independiente de la eleccin de.

Demostracin. Puesto que f es de clase C, existe un abierto U Rk yF : U Rl de clase C tal que F |UM = f |UM . Para suficientementepequeo F = f : (, ) Rl. Entonces, por la regla de la cadenaen espacios euclidianos: dfx(v) = (f )(0) = (F )(0) = d(F )0(1) =dF(0)(d0(1)) = dFx((0)) = dFx(v). Tenemos entonces que

dFx(v) = (f )(0).

El lado derecho de esta ecuacin es independiente de la eleccin de F , mien-tras que el lado izquierdo es independiente de la eleccin de , por lo tantoel lado derecho es tambin independiente de .

Proposicin 1.7. dfx : TxM Tf(x)N es una aplicacin lineal.Demostracin. Considerar F como el la proposicin 1.6, dFx es una aplica-cin lineal.

Ejemplo 1.14. Dos abiertos U Rk y V Rl son trivialmente variedadesdiferenciales de dimensin k y l respectivamente. Si f : U V es una funcinde clase C, la derivada dfx : TxU = Rk Tf(x)V = Rl no es otra cosa quela derivada total habitual.

Las siguientes proposiciones son dejadas como ejercicio para el lector (vertambin los ejercicios de la seccin 1.8).

Proposicin 1.8. (Regla de la cadena) Sean f : M1 M2, g : M2 M3funciones de clase C entre variedades diferenciables y x M1. Entoncesd(g f)x = dgf(x) dfx.Proposicin 1.9. Sea M N variedades diferenciables, i : M N la inclu-sin. Entonces dix : TxM TxN es inyectiva.Proposicin 1.10. Sea f : M N un difeomorfismo. Entonces dfx : TxM Tf(x)N es un isomorfismo.

Teorema 1.4. (de funciones inversas) Sea M Rk, N Rl variedades di-ferenciales de dimensin n y sea x M . Sea f : M N de clase C talque dfx : TxM Tf(x)N es un isomorfismo. Entonces, existe U M unaM-vecindad de x tal que

(i) V = f(U) es una N-vecindad de f(x).

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(ii) f |U : U V es un difeomorfismo.Demostracin. Es una consecuencia del mismo teorema para abiertos de Rn.Sean las cartas 1 : W1 U1, definida en un M -abierto W1 de x en unconjunto abierto U1 Rn, y 2 : W2 U2, definida en un N -abieto de W2de f(x) en un conjunto abierto U2 Rn. Por continuidad de f , reduciendoU1 si es necesario, podemos suponer que f(W1) W2. Luego la composicinde aplicaciones

f = 2 f 11 : U1 U2es de clase C y su derivada dfx : Rn Rn es biyectiva en x, es decir esun isomorfismo. Esto es porque dfx es un isomorfismo y los di (i = 1, 2) loson tambin por la proposicin 1.10. Observe que todo M - abierto de unavariedad diferenciable M es naturalmente una variedad diferenciable y de lamisma dimensin que M .

El teorema de funciones inversas 1.2 para abiertos de Rn nos dice entoncesque existen abiertos U1 y U2 de Rn tales que f |U1 : U1 U2 es un difeo-morfismo. Finalmente la asercin del teorema se verifica con U := 11 (U1) yV =: 12 (U2).

Definicin 1.6. SeanM Rk, N Rl variedades diferenciables de dimensinm y n respectivamente. Sea f : M de clase C. Decimos que y N esun valor regular de f si x f1(y), la derivada dfx : TxM Tf(x)N essobreyectiva.

Teorema 1.5. Con las misma hiptesis de la definicin 1.6. Para y N unvalor regular, P = f1(y) es una variedad diferenciable de dimensin m ny para todo x P , TxP = ker(dfx).Demostracin. Nuevamente se trata de utilizar utilizar un resultado familiarya demostrado en el teorema 1.1 y traducirlo en las variedades a travs delas cartas. Omitimos esta demostracin que el lector podr encontrar en laseccin 1.1 de [2].

1.6. Coordenadas

Sea M Rk una variedad diferenciable de dimensin m y p M . Seag : U W M una parametrizacin con g(a) = p, a U . Como g es undifeomorfismo, la derivada dga : TaU TpM es un isomorfismo (proposicin1.10). Tambin TaU = Rm para el cual tenemos la base {e1, ..., em} dondeei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) con 0 en todas las coordenadas salvo en la i-sima. Po-demos entonces tomar como base de TpM el conjunto {dga(e1), ..., dga(en)}.

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Notacin:

xi= dga(ei). A veces tambin se suele encontrar las notaciones(

xi

)p

,

xi.

Observacin 1.4. Puesto que g : U W Rk, tenemos que:

dga(ei) =

g1x1

g1xm......

gkx1

gkxm

ei =

g1xi...gkxi

.Sean Pri : Rm R, (x1, ..., xm) 7 xi, i = 1, ...,m proyecciones de Rm. Parala carta = g1 : W U Rm definimos las funciones componentes de por

xi := Pri ,i = 1, ...,m. Por lo tanto xi : W R y su derivada es la funcin linealdxi : TpM R. Observe que hemos supuesto implcito el punto p M ,esto por seguir la tradicin en la notacin, que entre otras tenemos dxi =d(xi)p = dx

ip.

Lema 1.1. dxi(

xj

)= ij

Demostracin. Ver los ejercios de la serie 2 en la seccin 1.8.

Observacin 1.5. dxi Hom(TpM,R) = (TpM) el espacio vectorial dual deTpM . Por el lema 1.1, {dx1, ..., dxm} es una base de (TpM) ya que no esotra que cosa que la base dual a {

x1, ...,

xm}.

Ejemplo 1.15. Sea f : S2 R, f(x, y, z) = xz, p = (p1, p2, p3) S2 conp3 > 0. Queremos calcular dfp(v) y para ello utilizaremos parametrizacionesya que la definicin no resulta ser muy prctica. Sea entonces g : U Wuna parametrizacin donde U = D(0, 1) R2 es un disco abierto de radio 1y W = {(x, y, z) S2 | z > 0} S2, dada por g(x, y) = (x, y,1 x2 y2).

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Tenemos que = g1 es (x, y, z) = (x, y). Sea a = (a1, a2) U y g(a1, a2) =(p1, p2, p3) = p, la regla de la cadena nos dice que:

R2 dga //

d(fg)a

!!TpS

2 dfp //

dp

dd R

Entonces, para calcular dfp(v), v TpS2, debemos pasar primero por dp yluego utilizar la jacobiana d(f g)a. Calculando (f g)(x, y) = x

1 x2 y2

y entonces d(f g)a =(

1 a21 a22 a21

1a21a22, a1a2

1a21a22

). Escribimos

v = 1x1

+ 2x2

en la base de TpS2, luego

dfp(v) = dfp((dga dp) IdTpS2

(v)) = d(f g)a(dp(v)) = d(f g)a(1, 2)

ya que

dp(v) = dp(1dga(e1) + 2dga(e2))

= 1(dp dga)(e1) + 2(dp dga)(e2)= 1IdR2(e1) + 2IdR2(e2) = (1, 2).

En general, si tenemos f : M N lisa entre dos variedades diferenciablesde dimensin m y n respectivamente y queremos calcular dfp con cartas de p M y de f(p) N (cuyas inversas son las parametrizaciones g1 y g2respectivamente), debemos seguir el camino indicado por las flechas curvas:

Rm //

d(g12 fg1)(p)

''TpM

dfp //

dp

dd Tf(p)N Rnoo

d(1)f(p)

ii

1.7. Inmersiones y encajes (embeddings)

Sean M Rk, N Rl variedades diferenciables de dimensin m y n,f : M N de clase C.Definicin 1.7.

(a) Decimos que f es una inmersin si x M , la derivada dfx : TxM Tf(x)M es inyectiva.

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(b) f es una funcin propia su K f(M) compacto, f1(K) es compacto.(c) Decimos que f es un encaje (embedding en ingls) si f es una inmersin,

es propia e inyectiva.

Ejemplo 1.16. La funcin f : S1 R2, (x, y) 7 (x, xy) es una inmersinpropia pero no es un encaje ya que no es inyectiva (los puntos (0, 1) y (0,1)tiene la misma imagen bajo f). La imagen f(S1) es una especie de 8 en R2y no es una variedad diferenciable.

Figura 12: La imagen de S1 por f no es una variedad.

Ejemplo 1.17. Consideremos la restricin de la aplicacin f del ejemplo 1.16a la variedad N := S1\{(0,1)}. La aplicacin resultante f : N R2 es unainmersin inyectiva pero no es propia. En efecto, si tomamos un compactoK f(S1) que contenga (0, 0), la preimagen f1(K) N no es compacta(teorema de Heine-Borel).

Figura 13: f1(K) no es cerrada y por lo tanto tampoco compacta

Ejemplo 1.18. Sea f : R R2 definida por (x) = (x2, x3) es propia e in-yectiva, pero no es una inmersin ya que dfx =

(2x3x2

)no es inyectiva en

x = 0.

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Proposicin 1.11. Si P M Rk es una subvariedad de una variedad M ,entonces la inclusin i : P M es un encaje.Demostracin. La aplicacin i : P M es claramente inyectiva y de claseC (i se extiende a la aplicacin identidad sobre Rk). Mas an, TpP TpMpara todo p P y la derivada dip : T :p P TpM es la inclusin obviapara todo p P . El hecho de que i es propia sigue inmediatamente de ladefinicin. Luego i es un encaje.

Proposicin 1.12. Sean M Rk una subvariedad diferenciable de dimensinm, N Rl una subvariedad diferenciable de dimensin n. Sea f : N Mun encaje, entonces Imf es una variedad diferenciable de dimensin m.

Demostracin. Ver la seccin 1.3 de [2].

1.8. Serie de ejercicios 2

1. SeaM Rk una variedad diferenciable y sea x M . Utilizando la defi-nicin del espacio tangente, demostrar que TxM es un espacio vectorialreal.

2. Sea U Rk un subconjunto abierto y sea f : U Rl una funcin declase C. Demostrar que el espacio tangente del grafo de f

M = f = {(x, f(x)) | x U} Rk+l

est dado por

T(x,f(x))M = {(z, dfx(z)) | x Rk}.

3. Sea r > 0 y n N. Encontrar el espacio tangente de la variedaddiferenciable

M = {(x, y) Rn Rn | x y = r}en x = (r, 0, ..., 0), y = (0, ..., 0).

4. (a) Sea f : GL2R R el determinante. Mostrar quedfB(A) = det(B)Traza(B

1A).

(b) Utilizar (a) para demostrar que

TBSL2R = {A | Traza(B1A) = 0}.

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5. SeanM1,M2,M3 variedades diferenciales y f : M1 M2, g : M2 M3funciones de clase C. Demostrar que para x M1, y = f(x)

d(g f)x = dgy dfx.

6. Sean M N variedades diferenciales e i : M N la inclusin. De-mostrar que para todo x M la derivada dix : TxM Tf(x)M esinyectiva.

7. Sea f : M N un difeomorfismo entre variedades diferenciables.Mostrar que para todo x M la derivada dfx : TxM Tf(x)N es unisomorfismo.

8. Sea M Rk una variedad diferenciable de dimensin m y p M . SeaW M , U Rm y : W U una carta. Demostrar que

dxi(

xj

)=

{1 i = j0 i 6= j

Recordatorio: La funcin xi : W R es la i-sima funcin componentede y dxi : TpM R es su derivada (en p). El conjunto { xj } es labase de TpM definida por el isomorfismo dp y la base cannica de Rm.

9. Demostrar que la funcin f : S1 R2 definida por f(x, y) = (x, xy) esuna inmersin. Es un encaje?

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2. Correciones de las series de ejercicios

2.1. Correccin de la serie 1

1. Para todo x f buscamos una f -vecindadW de x difeomorfa a un abier-to de Rk. Bastar con tomar W = f . En efecto, W = (U Rl)f = f esabierto en f ya que U Rl es un abierto de Rk+l. La funcin : f U Rk, (x, f(x)) 7 x es de clase C y su inversa 1 : U f , x 7 (x, f(x))tambin ya que la identidad idRk y f lo son. Por lo tanto, f es una variedaddiferenciable de dimensin k.

2.() x M , una M -vecindad W de x y un difeomorfismo f : W U donde U es una abierto del espacio topolgico {pt} (con la topologa{, {pt}}). En particular f es biyectiva y entonces W tiene slo un elemen-to, en este caso x, es decir x M , W un M -abierto tal que M W = {x},lo cual es equivalente a decir que M es un espacio discreto.() Si M es discreto, {x} es una M -vecindad de x y podemos definirf : {x} {pt} por f(x) = pt, f es una biyeccin, es de clase C comoresctriccin de F : M {pt} que es la funcin constante (por lo tanto declase C).

3. Sea (x, y) M1M2. Por definicin, existenW1 M1-vecindad de x,W2 M2-vecindad de y, abiertos U1 Rm1 , U2 Rm2 y difeomorfismos i : W1 Ui,i = 1, 2. Definimos : W1 W2 U1 U2 por (x, y) 7 (1(x), 2(y)).Tenemos que U1 U2 es un abierto de Rm1 Rm2 = Rm1+m2 por definicin,adems W1 W2 = (V1 M1) (V2 M2) = (V1 V2) (M1 M2) con Viabierto de Rki , i = 1, 2. Por lo tanto W1 W2 es una M1 M2-vecindad de(x, y). Finalmente es de clase C ya que 1 y 2 lo son.

4. Mostrar que H est bien definida es smplemente un clculo por fuerzabruta, el cual dejamos al lector. H es una funcin de clase C ya que lasfunciones coordenadas lo son en todo R4. Los conjuntos H1(y) para y S2son crculos.

5. Como f : U V es un difeomorfismo, existe f1 diferenciable tal quef f1 = idV ,f1 f = idU .

Sea y = f(x), x U . Derivando las igualdades de arriba: dfx df1y = IdRl ydf1y dfx = IdRk , es decir dfx : Rk Rl es una aplicacin lineal inversible(isomorfismo), por lo tanto k = l.

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6. (a) Sea f : Rn R, x 7 xTAx. Calculemos la derivada de f : f(x+ h) =(x+h)TA(x+h) = f(x)+hTAx+xTAh+hTAh dfx(h) = 2xTAh. Si 6= 0,x f1(), dfx es sobreyectiva. En efecto, sea a R, entonces existe h Rntal que dfx(h) = a, pongamos h = a2x, luego dfx(h) = 2x

TA(a2x)

= a. Porlo tanto 6= 0 es un valor regular y por el teorema 1.1, M es una variedaddiferenciable de dimensin n 1.(b) Para ver que Sn1 es una variedad diferenciable, es suficiente elegirA = In, = 1 y aplicar (a).

7. (a) Tenemos f : S2 R3 R6 definida por (x, y, z) 7 (x2, y2, z2, yz, zx, xy)y queremos ver que M = Imf es una variedad diferenciable de dimensin 2.Observemos que no es posible aplicar el teorema 1.1, por lo que tendremosque utilizar la definicin. Primero consideremos {Ui} un recubrimiento deS2 dado por U1 = S2 {z > 0}, U2 = S2 {z < 0},U1 = S2 {y > 0},U2 = S

2 {y < 0}, U1 = S2 {x > 0}, U2 = S2 {x < 0}. Tenemos quex S2, Ui tal que x Ui. Ahora bien, {Vi} = {f(Ui)} es un recubrimientode M = Imf . Dejamos al lector el cuidado de mostrar que los Vi son M -vecindades.Si perdida de generalidad, trabajemos con V1 = {(x2, y2, z2, yz, zx, xy) R6 | x2 + y2 + z2 = 1, z > 0}. Definimos 1 : V1 B R2 donde B es elabierto B = {(u, v) R2 | u2 + v2 < 1

4} por (x1, x2, x3, x4, x5, x6) 7 (x4, x5).

Claramente 1 es biyectiva de clase C y su inversa = 1 : (u, v) 7(x2, y2, z2, yz, zx, xy) esta dada por

x =v

u2 + v2

11 4(u2 + v2)

2,

y =u

u2 + v2

11 4(u2 + v2)

2,

z =

11 4(u2 + v2)

2.

Se puede verificar que x2 + y2 + z2 = 1, yz = u, xz = v y que es de claseC. Por lo tanto M es una variedad diferenciable de dimensin 2.(b) Sea entonces RP = S2/ . La aplicacin f : S2 M , (x, y, z) =(x2, y2, z2, yz, zx, xy) es continua y compatible con , es decir f((x, y, z)) =f((x, y, z)). Entonces, f induce una aplicacin continua f : S2/ Mque es siempre inyectiva (ejercicio de topologa general). Se tiene el diagrama

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conmutativoS2

f //

pi

M

S2/ f

Referencias[1] John W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. The univer-

sity press of Virginia, 1965.

[2] Joel W. Robbin and Dietmar A. Salamon. Introduction to differentialgeometry. ETH Zrich, 2013.

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Subvariedades diferenciables de RnDefiniciones y ejemplosValores regulares y ms ejemplosSerie de ejercicios 1Espacio tangenteDerivadasCoordenadasInmersiones y encajes (embeddings)Serie de ejercicios 2

Correciones de las series de ejerciciosCorreccin de la serie 1Correccin de la serie 2