geometria e Álgebra
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Geometria e Álgebra. Motivação: Geometria de objetos gráficos. Motivação: algoritmo de Traçado de Raios. Pixel (RGB). Luz. Câmara. y e. Iluminação. z e. x e. Objetos. z o. y o. x o. y. x. Coordenadas Cartesianas Plano ou R 2. y. 0. x. z. y. 0. x. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Geometria e Álgebra
MGattass
Motivação:Geometria de objetos gráficos
MGattass
Motivação: algoritmo de Traçado de Raios
xo
yo
zo
Luz
Objetos
Câmara
Pixel(RGB)
Iluminação
xe
ye
ze
MGattass
x
y
Coordenadas CartesianasPlano ou R2
y
x
y
xp
0
Ryxquetal
y
xR ,2
MGattass
Coordenadas CartesianasEspaço ou R3
Rzyxquetal
z
y
x
R ,,3
y
x
z
0
z
y
x
p
MGattass
Soma de vetores
y
2
22 y
xp
xx2
y2
0 x1+x2x1
1
11 y
xp
y1
y1+y2
p 1+p 2
21
21
2
2
1
121 yy
xx
y
x
y
xpp
1221 pppp
MGattass
Produto de vetor por escalar
y
xp
y
x0 x
y
a < 0
ya
xa
y
xaap
0 < a < 1 a > 1
ax
ay
MGattass
Distância entre vetores
212
2121221 )()(),( yyxxdist pppp
12
12
1
1
2
212 yy
xx
y
x
y
xpp
y
xx1
y1
0 x2
y2
p2
12 pp
p 2-p
1
-p1
(x2-x1)
(y2-y1)
p1
MGattass
Aplicação: Esfera
rdist ),( cp
rzzyyxx cc 2220 )()()(cp
220
20
20 )()()( rzzyyxx
MGattass
Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais
1. Comutatividade: p + q = q + p
2. Associatividade:(p + q)+r = p + ( q + r)
3. Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p
4. Inverso aditivo: p + (- p) = 0
5. Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q
6. Multiplicação por 1: 1. p = p
MGattass
Espaço Vetorial Funções de [a,b]R
Comutatividade: p + q= q + p
Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r)
Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p
Inverso aditivo: p + (- p) = 0
Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q
Multiplicação por 1: 1. p = p
F(x)
G(x) (F+G)(x)=F(x)+G(x)
(aF)(x)=aF(x)
a bb
a
dxxFF 2)(x
F, G
MGattass
Espaço Vetorial Matrizes Rnm
nmnn
m
m
ij
ccc
ccc
ccc
c
21
22221
11211
C
nmnn
m
m
ij
ddd
ddd
ddd
d
21
22221
11211
D
nmnmnnnn
mm
mm
ijij
dcdcdc
dcdcdc
dcdcdc
dc
2211
2222222121
1112121111
DC
Soma:
nmnn
m
m
ij
acacac
acacac
acacac
aca
21
22221
11211
C
Produto por escalar:
MGattass
Matrizes especiais
000
000
000
0
100
010
001
I
n
n
d
d
d
ddddiag
000
0
00
00
),,,( 2
1
21
MGattass
Matrizes especiais (cont)
nnn
n
n
sss
sss
sss
simétricas
211
22212
11211
0
0
0
21
212
112
nn
n
n
aa
aa
aa
simétricasanti
MGattass
Combinação Linear
m
iiinn aaaa
12211 ppppp
00 212211 nnn aaaaaa ppp
Independência linear:
MGattass
Base Canônica ijk
0
1
0
j
1
0
0
k
0
0
1
001 kjii
x
y
z
ij
k
xi yj
zk
z
y
x
zyx kjip
MGattass
Aplicações: retas e planos
0p
ddpp t 0
0pud
vd
vu vu ddpp 0
MGattass
Aplicação: Série de Fourier
mxbnxaaxfm
mn
n sincos)(11
0
x
f(x)
-
MGattass
Combinação Convexa
4321 )1(),,( ppppp cbacbacba p1
p2
p3
p4
p1 p2
21 )1()( ppp aaa
p(a)
321 )1(),( pppp bababa
p1 p2
p3
p(a,b)
0,,0,0
1
21
21
n
n
aaa
eaaa
m
iiia
1
pp
MGattass
Generalização de Norma
0p para todo Vp
0p se e somente se 0p
qpqp para todo Vqp,
pp aa para todo VRa p,
MGattass
Outras normas no Rn
222
21 nxxx p
n
iix
11
p
i
n
ix
0max
p
pn
i
p
ipx
/1
0
p
MGattass
Norma: aplicações
1221 ),( pppp dist
pp
p1
ˆ Unitário:
Distância:
MGattass
Normas de função
F(x)
a b
b
a
dxxFab
F 2
2)(
1
x
F
)(max xFFb
ax
MGattass
Distância e erro
F(x)
a b x
F, GG(x)
G(x) -F(x)
)()(max xGxFGFb
ax
b
a
dxxGxFab
GF 2
22 )()(1
2
MGattass
Distância entre superfícies
SSd qqpp ,min)(
1221 ),(max)( SSdSds pp
)(,)(max),( 1212121 SdSdSSd ssH
distância de Hausdorff
MGattass
Produto interno:definição geomética
20cos ppppp
2p
1p
2121 pppp desigualdade de Schwarz
cos2121 pppp
ppp
MGattass
Produto interno:expressão algébrica
1p
212121 yyxx pp
2p
21212121 zzyyxx pp
kjikjipp 22211121 zyxzyx
kkjkik
kijiiipp
212121
21212121
zzyzxz
zxyxxx
ij
k
0
1
jkkjikkiijji
kkjjii
no R2
MGattass
Produto interno:definição algébrica
1p
212121 yyxx pp
2p
xzyx 001ip
x
p
x
xi
21212121 zzyyxx pp
kjikjipp 22211121 zyxzyx
kkjkik
kijiiipp
212121
21212121
zzyzxz
zxyxxx
MGattass
Aplicações do produto interno:cálculo de ângulos
2p
1p
21
21cospp
pparc
cos2121 pppp
21 ˆˆcos uu arc 1u
2u
MGattass
Aplicações do produto interno: projeção na direção ...
np ppp
nnppp ˆ)ˆ( p
np ppp p
pp
np
n
n
p
cospnp nnpp ˆ)ˆ( n
Projeção na direção de :n
Projeção na direção perpendicular a :n
MGattass
Aplicação do produto internoreflexão de um vetor
p r
pph n
h h
pn
hpr n
n nnpp ˆ)ˆ( n
ppr n2
pnnpr ˆ)ˆ(2
MGattass
0
Aplicações do produto interno:equação de um plano normal a
que dista d da origem
x
y
zd
c
b
a
n
z
y
x
p
ppnp
dczbyax
np ppp
)(ˆˆ np ppnpn
dn pnpn ˆˆ
0 dczbyax
n
MGattass
Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a um plano
dpn
dczbyax
0 dczbyax0
x
y
zd
z
y
x
p
c
b
a
n
lado positivo
0 dczbyax lado negativo
dczbyaxplanodist ),(p
MGattass
Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a
uma reta no R2
x
y
0),( yxF
F x y( , ) 0
0),( yxF
b
an
dbyaxdyxF pn),(
y
xp
d
MGattass
Produto interno:generalização
qpqpqpp ,',,'
qpqp ,, aa
',,', qpqpqqp
qpqp ,, aa
Comutatividade (simetria): pqqp ,,
Positividade: ,0, pp só é igual a zero se p=0
RVV :,
Bilinearidade:
MGattass
Produto interno e norma de funções
b
a
dxxGxFab
GF )()()(
1,
2
b
a
dxxFab
FFF 2)(1
,
MGattass
Ortogonaliadade das funções da base de Fourier
0)cos()sin(
,0)cos()cos(
,0)sin()sin(
dxnxmx
nmsedxnxmx
nmsedxnxmx
mxbnxaaxfm
mn
n sincos)(11
0
MGattass
Bases ortonormais
{p1, p2, ...,pn}
jise
jiseijji 1
0, pp
Seja
tal que
00 212211 nnn aaaaaa ppp
então:
MGattass
Produto Vetorial
p1
sen21 ppp
p2
21 ppp
MGattass
Produto Vetorial
kjippp )()()( 21212121212121 xyyxxzzxyzzy
0
0
0
ij
ik
jki j ki k
ijk
×
kjikjippp 22211121 zyxzyx
kkjiiippp 21212121 zzyxxx
p1
sen21 ppp
p2
21 ppp
MGattass
Produto Vetorialforma de lembrar
kjippp )()()( 21212121212121 xyyxxzzxyzzy
222
11121
zyx
zyx
kji
pp
kjipp22
11
22
11
22
1121 yx
yx
zx
zx
zy
zy
MGattass
Matriz do produto vetorial
xaya
zaxa
yaza
yx
xz
zy
pa
z
y
x
aa
aa
aa
xaya
zaxa
yaza
xy
xz
yz
yx
xz
zy
0
0
0
pa
0
0
0
xy
xz
yz
aa
aa
aa
a
MGattass
Produto vetorial aplicados 2 vezes
z
y
x
aa
aa
aa
a
a
a
xy
xz
yz
z
y
x
0
0
0
paa
z
y
x
aa
aa
aa
aa
aa
aa
xy
xz
yz
xy
xz
yz
0
0
0
0
0
0
paa
22
22
22
yxzyzx
zyzxyx
zxyxzy
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aa
22
22
22
a
a
a
aa
zzyzx
zyyyx
zxyxx
aaaaa
aaaaa
aaaaa
a ppa
paa
MGattass
Aplicações do produto vetorial:movimento de um corpo rígido
)()()()( tttt BAAB pvv
e
BAp
p
||p
t
A
B
B’
e
rv p
p sinp
t
p B
B’ Bv
Bv
MGattass
Aplicações do produto vetorial:áreas e normais
21
21
pp
ppsenarc
p1
h hárea 122
1v
Cálculo de ângulos
Cálculo de áreas e normais
p2
p3
v13
v12
1312 vvn normal
senárea 13122
1vv
13122
1vv área
MGattass
Aplicações do produto vetorial:interior e exterior
p1
0)( 112 ppvn i
p2
p3
2312 vvn
v31
v12
v23
pe
pi
0)( 112 pppn e
MGattass
Aplicações do produto vetorial:orientação e consistência de malha
p1
p2
p3
v31
v12
2312 vvn
v23
p4
p7
p5 = p6
p1 p2 p3
p1 p3 p7
p1 p2 p4
p4 p5 p6
p4 p5 p2
0
0
0
0
5245
5645
2412
3713
vvn
vvn
vvn
vvn
MGattass
Produto misto
u
v
w
wv
h
wvbasedaárea
wv
wvu
altura
wvu alturabaseV
MGattass
Produto Misto e Determinante
Mostre que:
yx
yxz
zx
zxy
zy
zyx ww
vvu
ww
vvu
ww
vvu detdetdetwvu
zyx
zyx
zyx
www
vvv
uuu
wvu
T
yx
yx
zx
zx
zy
zyTzyx ww
vv
ww
vv
ww
vvuuu
detdetdetwvu
c.q.d.
MGattass
Produto Mistopropriedade
wvuwvu Mostre que:
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
www
vvv
uuu
vvv
www
uuu
vvv
uuu
www
wvu
MGattass
FIM
MGattass
Revisão do 2o grau que não entrou no capítulo
MGattass
Produto de Matrizes
q
kkjikij bac
1
qmqq
m
m
nqnn
q
q
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
21
22221
11211
ABC
100
010
001
Ineutro:
MGattass + + +
Determinante
'11A '
12A '13A
2221
1211
aa
aaA
22212211det aaaa AA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
222113
3331
232112
)21(
3332
232211
)11( )1()1()1(detaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa AA
223113322113233112332112233211332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaa AA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
- - -
3231
2221
1211
aa
aa
aa
MGattass
Determinante
'11A '
12A '13A
O(n!)
223113322113233112332112233211332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaAA
nicacacaA ininiiii ,1,det 2211
ijji
ji Mc det)1( )(,
caso geral:
2221
1211
aa
aaA
12212211det aaaa AA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
222113
3331
232112
)21(
3332
232211
)11( )1()1()1(detaa
aaa
aa
aaa
aa
aaa AA
MGattass
Inversa
IAAAAA 111
jiji
ij MA
a )1(11
O(n!)
BAXBAX 1
inversa:
solução de sistemas de equações lineares:
2221
1211
aa
aaA
1121
1222
12212211
1 1
aa
aa
aaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2221
1211
3331
1311
3231
2121
3331
1311
3331
1311
3331
2321
1312
1312
3332
1312
3332
2322
1 1
aa
aa
aa
aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
aa
aaaa
aa
aa
aa
aa
aa
AA
MGattass
Exercício: inversa
2302
10102
1023
M ?1 M
adjMM
M)det(
11
1)00121
21(002
3123)det( M
2302
1010
2102
3
adjM
2302
1010
2102
3
adjM
MGattass
Decomposição de matrizes
Decomposição LDU:LDUA O(n3)
i
iidDUDLA 11 O(n3)
Ou seja para n pequenos (≤4) podemos utilizar as fórmulas diretas, mas para n maiores devemos primeiro fazer uma decomposição tipo LDU.
c
b
a
cbadiagD
00
00
00
),,(
1**
01*
001
L
100
*10
**1
U
Determinante: