geometria esfÉrica: conceitos bÁsicos e aplicaÇÕes
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GEOMETRIA ESFÉRICA: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕESFranciele Santos Teixeira
sob orientação do Prof. Dr. João Nivaldo Tomazella
Universidade Federal de São Carlos, SP, [email protected]
ResumoEm um dos textos mais lidos do mundo, Euclides deixa um legado escrevendo axiomas que transforma-
riam a forma de visualizar a matemática da época. Os escritos feitos por Euclides foram considerados
como verdade absoluta por muitos anos, porém o quinto postulado ou Postulado das Paralelas deixou
duvidas quanto a sua veracidade.
Esse fato, que ficou conhecido como "falha"do quinto postulado de Euclides faz nascer outras geome-
trias, entre elas a Geometria Esférica, objeto de estudo desse trabalho.
Alguns assuntos discutidos no trabalho foram: um sistema de coordenadas próprio, ângulo entre vetores
na esfera, distância esférica, área de uma região esférica e a trigonometria esférica, a utilização do GPS,
trigonometria esférica e seus principais teoremas, relacionando-os com a Geometria Euclidiana.
Além do mais, foi trabalhada suas aplicações, na qual se adotarmos a Terra como uma esfera perfeita,
os conceitos dessa geometria é de tremenda utilização.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria Euclidiana, Geometria Esférica, GPS.
Contexto Histórico• Em 600 a.C os gregos inseriram a dedução na geometria;
• Euclides se baseou em um modelo axiomático para construir a geometria plana. Através desse mo-
delo, que é composto por 5 axiomas, ele conseguiu deduzir 465 proposições;
•A Geometria Não-Euclidiana é baseada em um sistema axiomático diferente do encontrado na Geo-
metria Euclidiana;
•Gauss enxerga que o postulado das paralelas poderia possibilitar uma outra geometria igualmente
lógica e precisa sem a utilização desse postulado.
Geometria EuclidianaTermos indefinidos: Ponto, Reta, Estar sobre, Estar entre, Congruência.
•Axiomas de Incidência
•Axiomas de Ordem
•Axiomas de Congruência
•Axioma de ContinuidadeSegue do último axioma uma das motivações desse estudo.
•Axioma das Paralelas: Para qualquer reta r e qualquer ponto P que não está em r existe uma única
reta s incidindo em P tal que s é paralela a r.
Geometria EsféricaDefinição 1:Esfera é um conjunto de pontos no espaço que equidistam c de um ponto fixo O denomi-
nado centro da esfera;
Definição 2: Seja S2ρ a superfície de uma esfera no espaço com raio ρ. A interseção de S2ρ com um plano
através de seu centro é denominado de círculo máximo.
Ainda podemos ressaltar algumas propriedades presentes nessa geometria.
1. Dois pontos não determinam necessariamente uma única reta;
2. As retas na esfera possuem comprimento finito;
3. Não existem retas paralelas na Geometria Esférica.
Principais Definições e TeoremasCoordenadas Esféricas: Seja P = (x, y, z) tal que P ∈ S2ρ, O a origem da esfera e ρ = OP . Assim,
sen(β) =z
ρ⇒ z = ρsen(β)
cos(β) =w
ρ⇒ w = ρcos(β)
sen(α) =y
w⇒ y = ρsen(α)cos(β)
cos(α) =x
w⇒ x = ρcos(α)cos(β).
1. γ é o ângulo entre a parte positiva do eixo Oz e o vetor−→OP ;
2. α é o ângulo entre a parte positiva do eixo Ox e vetor da projeção de−→OP , vetor
−−→OP ′, no plano Oxy,
será denominado que ||−−→OP ′|| = w;
3. β é o angulo entre o vetor−→OP e o vetor da projeção
−−→OP ′
4. nota-se também que ρ ≥ 0 e 0 ≤ γ ≤ π.
Figura 1: Sistema de coordenadas
Distância Esférica: Sejam A e B dois pontos em S2ρ. Então a dist(A,B) entre A e B é o menor
comprimento entre os dois arcos do círculo máximo que passa por A e b. Assim:
dist(A,B) = arccos(A·Bρ2
)onde A ·B = ||A||· ||B||· cos (θ), onde θ é o ângulo formado entre
−→OA e
−−→OB.
Triângulo Esférico: Se três pontos A, B e C estão contidos em um mesmo grande cír-
culo tem-se que A, B e C definem pontos na mesma região da superfície limitada pe-
las geodésicas. Essa região é chama de triângulo esférico com vértices A, B e C.
Figura 2: Triângulo Esférico
Teorema de Pitágoras Esférico: Seja4ABC um triângulo esférico sobre S2ρ com um ângulo reto no
vértice A e o lado oposto medindo a. Se os comprimentos dos lados opostos aos vértices B e C medem
b e c, respectivamente, então
cos(aρ
)= cos
(bρ
)· cos
(cρ
)Geometria Esférica e o uso do GPSO GPS permite a qualquer pessoa que o use saber a sua localização em qualquer horário do dia e sob
quaisquer condições atmosféricas em qualquer local da Terra.
Figura 3: GPS e satélitesFonte: https://www.gratispng.com/png-8fbs0u/
Teorema 3: Sejam S1, S2, S3, S4 quatro superfícies esféricas em que S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 6= ∅ se os
centros dessas esferas não são coplanares, então elas possuem apenas um ponto em comum.
Referências bibliográficasFABER, Richard L..P
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Curso de Matemática, Departamento de Matemática - Igce/unesp, Universidade Estadual Paulista Julio
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SALEMA, Ricardo Lagreca. Das cordas ao GPS: Um estudo sobre a Geometria Esferica. 2018. 94 f.
Dissertação (Mestrado) - Programa de Mestrado Profissional, Rio de Janeiro, 2018.