Geometria Espacial – CAp/UERJ

Estudo dos Prismas

Prof. Ilydio Pereira de Sá

Estudo dos Prismas

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma Reto Prisma Oblíquo

ASPECTOS COMUNS

• Bases são regiões poligonais congruentes;

• A altura é a distância entre as bases;

• Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas;

• Faces laterais são paralelogramos.

Objeto Prisma reto Prisma oblíquo

Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida

Arestas lateraissão perpendiculares

ao plano da basesão oblíquas

ao plano da base

Faces laterais são retangulares não são retangulares

Prisma Reto Prisma Oblíquo

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Base: HexágonoBase: PentágonoBase: QuadradoBase:Triângulo

                                                                                                  

Prisma hexagonalPrisma pentagonalPrisma quadrangularPrisma triangular

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Seções nos Prismas

Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo eqüilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação de um Prisma

Volume de um prisma

O volume de um prisma é dado por: V(prisma) = A(base).h

Área lateral do prisma reto

A área lateral de um prisma reto é sempre igual à soma das áreas dos retângulos laterais que o formam. Se o prisma for do tipo regular, basta obter a área de um desses retângulos (A) e multiplicar por n (número de lados da base), ou seja:

Área Lateral = n A(Face Lateral) = n . L . h (Prismas Regulares)

Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono qualquer de n lados é multiplicar 2p (perímetro da base) por h (altura do prisma). (Você sabe dizer o porque?)

A(lateral) = 2p.h

Área total do prisma reto

A área lateral de um prisma reto é a soma da área lateral com o dobro da área de uma de suas bases.

Se o prisma for regular de n lados, podemos escrever a fórmula:

Área Total = n . L . h + 2 . Sb (área da base)

Contagem dos elementos básicos de um Prisma:

Verifique que todo prisma, cuja base é um polígono de n lados, possui:

• 2 . n vértices;• 3 . n arestas;• n + 2 faces.

Você sabe justificar esse fato?

Tronco de prisma

Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do tronco de prisma pela área da base.

bSx 4

d) c b (a V

O denominador foi 4 pois nesse exemplo o prisma

é quadrangular.

Questões Comentadas:

1) Calcular a área total de um prisma quadrangular regular de volume 54 cm3, sabendo que a aresta lateral desse sólido tem o dobro da medida da aresta da base.

SOLUÇÃO:

h = 2 L

V = Sb . h = 54, logo, L2 . 2 L = 54

2 L3 = 54 ou L3 = 27, o que acarreta, L = 3 cm.

Área Total = n . L . h + 2 . Sb = 4 . 3 . 6 + 2 . 9 = 72 + 18 = 90 cm2

h

L

2) Num prisma hexagonal regular, a área lateral é 75% da área total. Calcule a razão entre a aresta lateral e a aresta da base.

SOLUÇÃO:

Área Lateral = ¾ . Área Total

6 . L . h = ¾ . (6 . L . h + 2 . Sb)

6 . L . h = 9/2 . L . h + 3/2 . Sb

Você deve lembrar a fórmula para o cálculo de Sb, logo, pode terminar a questão e determinar a razão pedida (h / L). A resposta será:

2

33

L

h