geometria espacial - estudo da esfera - celso brasil
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Exercícios resolvidos de Geometria Espacial – Esfera –
C.R.Brasil
Esfera Teoria
Definição
Por definição, uma superfície esférica é o lugar geométrico dos
pontos do espaço que estão à mesma distância de certo ponto - o
centro.
Uma esfera é o lugar geométrico dos pontos do espaço pertencentes
à superfície esférica e ao seu interior.
A esfera surge da revolução de uma semicircunferência. Observe:
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Esse corpo circular possui inúmeras aplicações cotidianas.
Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade.
A fórmula matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:
Localização dos pontos pertencentes a uma Superfície Esférica e a uma Esfera
Superfície Esférica
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Os pontos A e B pertencem à Superfície Esférica de centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].
Os pontos E e G pertencem ao exterior da Superfície Esférica de
centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].
O ponto D pertence ao interior da Superfície Esférica.
Os pontos A, B, C, D e F são pontos pertencentes à esfera
de centro C e raio [CA].
Os pontos E e G pertencem ao exterior da esfera.
Exemplos
Em situações do dia a dia existem muitos os exemplos de superfícies esféricas e esferas que podes encontrar.
Bola de futebol
Bola de Basquetebol
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Bolas de Bilhar e Snooker
Área da esfera
A área de uma superfície esférica de raio r é igual a:
Volume da e Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade.
O volume de uma esfera de raio “r” é igual a:
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Exercícios resolvidos
01. Uma laranja tem a forma esférica. Assim sendo, qual é,
aproximadamente, a área da casca de uma laranja com 8 cm de
diâmetro?
Adote: π = 3,14.
Solução: Se o diâmetro da laranja vale 8 cm, então, seu raio vale 4 cm. A área da esfera (S) é dada por: 2 2
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02. Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro?
Solução: Volume da esfera metálica de raio r:
olu e da esfera et lica de raio r
Somar os volumes das esferas
Volume do cilindro será igual ao volume das esferas. olu e do cilindro = π.r².h, onde altura igual a 3r. Vamos determinar o raio R do cilindro. π. R².3r = 1 .π.r³ R² = 12. r³ / 3r R² = 4r² R = 2r Temos que o raio do cilindro é 2r.
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03. Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. Volume de cada bombom:
A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20.000 unidades é de: 4,18 x 20.000 = 83.600 cm³ Sabemos que 1 cm³ = 1 ml, então 83.600 cm³ corresponde a 83.600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. Portanto, a fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.
04. A esfera da figura está inscrita em um cilindro. Se o volume da esfera
é:
.
Qual é o volume do cilindro?
(a) 8 π c ³ (b) 1 π c ³ (c) 16 π cm³ (d) 3 π c ³ (e) 64 π c ³
Solução:
Igualamos a fórmula do volume de uma esfera, com o valor dado, isso permitirá saber o raio da esfera, que é o raio da circunferência do
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cilindro... Além disso, duas vezes o raio é a altura do cilindro, vejamos:
05. A área de uma superfície esférica é “S”. Calcule o raio “R” da esfera em função de “S” e dê o valor de “R” quando S = 36 π cm². Solução: 06. O diâmetro de uma esfera é igual ao raio de outra esfera. Qual é a razão entre as áreas das superfícies esféricas? Solução:
𝜋 𝑟3
𝜋 𝑟3 𝑟3 𝒓 𝟐
𝑉 𝜋𝑟2 ℎ
𝑉 𝜋𝑥 2𝑥
Volume do cilindro:
𝑽 𝟏𝟔𝝅 (Resposta: letra c).
𝑆 𝜋 𝑅2 𝜋𝑅2 𝑆 𝑅2 𝑆
𝜋 𝑅
𝑆
𝜋 𝑅
𝑆
𝜋
𝑹 𝑺𝝅
𝟐𝝅
𝑹 𝟑 𝒄𝒎
Quando S = 36 π cm² 𝑹 𝑺𝝅
𝟐𝝅 𝑹
𝟑𝟔𝝅𝒙𝝅
𝟐𝝅 𝑹
𝟑𝟔𝝅𝟐
𝟐𝝅
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07. A figura abaixo representa um hemisfério. Qual é a área da superfície desse hemisfério? Dados: Diâmetro = 20 m e π= 3,14. 08. Um plano secciona uma esfera a 4 cm do centro 0, determinando uma secção plana de raio 3 cm. Calcule o volume dessa esfera e a área de superfície.
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝟒𝝅𝒓𝟏𝟐
𝟒𝝅𝒓𝟐𝟐
𝒓𝟏𝟐
𝒓𝟐𝟐
𝒓𝟐𝟐
𝒓𝟐𝟐
𝒓𝟐𝟐
𝟒𝒓𝟐𝟐 𝒓𝟐𝟐
𝟒 𝒙𝟏
𝒓𝟐𝟐
𝑺𝟏
𝑺𝟐
𝟏
𝟒
Sejam d1 e r2 o diâmetro da esfera 1 e o raio da esfera 2, respectivamente: ESFERA 1
d1 = r2 2 r1 = r2 𝒓𝟏 𝒓𝟐
𝟐
Razão entre as áreas: Sejam S1 e S2 as áreas das esferas 1 e 2, respectivamente. Logo:
20 m
𝑺 𝜋𝑟2
𝑆 2
𝑆
𝑺 𝟔𝟐𝟖 𝒎
Solução: A área do hemisfério equivale à metade da área de uma esfera de raio r= 10 m:
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Solução:
09. Na figura a seguir, o raio da esfera mede 10 cm, e a distância do centro desta ao plano β é igual a 8 cm. Calcule a área da secção plana determinada pela intersecção do plano b com a esfera.
Solução: 10- Duas esferas maciças, cujos raios medem 4 cm e 8 cm, são fundidas para moldar uma única esfera. Calcule a medida do raio dessa nova esfera. Solução:
4 cm
3 cm
R 𝑽
𝟒𝝅𝑹𝟑
𝟑 𝑽
𝟒𝝅𝟓𝟑
𝟑 𝑽
𝟒 𝟏𝟐𝟓𝝅
𝟑 𝑽
𝟓𝟎𝟎𝝅
𝟑𝒄𝒎𝟑
𝑆 𝜋 𝑅 𝑆 𝜋5 𝑺 𝟏𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎
R² = 3²+4² R²= 16+9 R²=25 R= 5 cm
𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 𝑺 𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo da figura ao lado, temos:
d²+8²=10²d²=100-64 d=6 cm Assim, a área de secção, determinada pela intersecção do plano e a esfera, é igual a:
8
d
10
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11- Uma esfera tem raio de medida 13 cm. A intersecção dessa esfera com um plano é um círculo cujo diâmetro mede 10 cm. A distância desse plano ao centro da esfera é: 12. Uma esfera de centro O e raio 15 cm é seccionada por um plano a 12 cm de O. Calcule: a) a área da secção plana, b) a área da superfície esférica, c) o volume da esfera.
𝜋 𝑅3
𝜋 𝑅13
𝜋 𝑅2
3
𝜋 𝑅3
𝜋 3
𝜋 3
𝜋 𝑅3
5 𝜋
𝜋
𝜋 𝑅3
𝜋
𝜋𝑅3 𝜋
𝑅 𝜋
𝜋 𝑅 57 𝑅 57
3 𝑅 6 2
3 𝑹 𝟒 𝟗
𝟑 𝒄𝒎
O volume da nova esfera é igual à soma dos volumes das outras duas. Sendo R a medida do raio da nova esfera, temos:
13 cm d
5 cm
d² + 5² = 13² d²= 169-25d²= 144 d= 12 cm
a) 6 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 12 cm
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Solução: 13. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesfera. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio 3 cm. 14. Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original?
O
r
15 cm 12 cm
𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 𝑆 𝟖𝟏𝝅 𝒄𝒎
r²+12² = 15² r²=225-144r=9 cm a) A área da secção plana é dada por:
𝑆 𝜋𝑅2 𝑆 𝜋 52 𝑆 𝜋 5 𝑺 𝟗𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐
𝑉 𝜋𝑅
𝑉
𝜋 5
𝑽 𝟒 𝟓𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎
b) A área da superfície esférica é dada por:
c) O volume da esfera é dado por:
𝑉
𝜋 𝑟
𝑉
𝜋
𝑉
𝜋 7
𝑽 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎
Solução: (1) Cálculo do Volume da semiesfera:
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15. Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada milímetro quadrado desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total (Adote: π=3,14) Solução: 16. Ao cair em uma cavidade em forma de cone circular reto de altura 16 cm e raio da base 12 cm, uma esfera estacionou com seu centro a 2 cm do vértice do cone, conforme mostra a figura.
𝜋𝑅
𝜋5
𝜋𝑅
𝜋
𝑅
3 𝑹 𝟏𝟎 𝒄𝒎
Solução: Sendo R a medida em cm, do raio da esfera original, temos:
𝑆 𝜋 𝑟 𝑆 5 𝑺 𝟑𝟏𝟒 𝒎𝒎
A área de cada superfície esférica é:
A área total banhada em ouro é:
St=40.SSt = 40.314St= 12.560 mm² O custo total foi:
C= 0,05.12560 C = R$ 628,00
2 cm
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a) A figura abaixo representa uma secção meridiana desse cone, em que a geratriz AB tangencia a esfera no ponto T. Prove que os triângulos ABC e AOT são semelhantes. b) Calcule o volume da esfera.
12 cm
2 cm
A
T
O
12 cm C B
𝑅
𝐴𝐵
Solução: a) Note que o raio da esfera é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. Assim: O ângulo C é congruente ao ângulo T (I) O ângulo A é comum aos triângulos ATO e ACB. Assim: Os ângulos OAT ≅ CAB (II) As condições de (I) e (II) caracterizam o caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, portanto: ∆𝑶𝑨𝑻 ~ ∆𝑪𝑨𝑩 b) Sendo R a medida, em cm, do raio da esfera, temos, pela semelhança de triângulos demonstrada no item “a” e pelo Teorema de Pitágoras:
(AB)² = 12²+16² (AB)²= 400 AB = 20
𝑅
𝐴𝐵
𝑅
𝑅
𝑹 𝟏 𝟐 𝒄𝒎
O Volume da esfera é dado por:
V = 4𝜋 1 2 3
3 𝑉
4𝜋 1 728
3 𝑉
6 912𝜋
3
V= 2,304π cm³
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17. Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com determinado número de esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. Quanto vale o volume interior ao cilindro e exterior às esferas?
Solução:
h=20 cm
r= 2 cm
𝑉 𝜋𝑟
𝑉
𝜋
𝑉
𝜋
𝑽
𝟑𝟐𝝅
𝟑𝒄𝒎
𝑉 5 𝜋
𝑽
𝟏𝟔𝟎𝝅
𝟑 𝒄𝒎
Primeiro, vamos calcular o volume de cada esfera (Note que o raio do cilindro é igual ao raio de cada esfera). Assim:
Como as esferas são tangentes entre si, o diâmetro de cada uma vale 2.2 = 4 cm, logo, cabem 5 esferas (altura do cilindro = 20 cm) dentro do cilindro. Portanto, o volume total ocupado pelas esferas vale:
Vamos calcular o volume do cilindro:
V= Sb.h V=𝜋 2 𝑽 𝟖𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑 Logo, o volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale:
V= 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑉 𝜋 −160𝜋
3 𝑉
240𝜋−160𝜋
3 𝑽
𝟖𝟎𝝅
𝟑 𝒄𝒎
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18. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 40°.
40°
3 cm
Solução: A razão entre o volume de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre o volume de uma cunha qualquer dessa esfera e a medida de seu ângulo diedro. Assim, o volume V da cunha em questão pode ser calculado através de uma regra de três simples:
Ângulo (em graus) Volume (em cm³)
360°------------------------------------4𝜋 33
3
40°------------------------------------V
𝑉 𝜋
𝑉
𝜋
𝑽 𝟒𝝅 𝒄𝒎
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19. Calcule a área de um fuso esférico de raio 10 m cujo ângulo
diedro mede
20. No jogo de bola disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. Qual é a distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão?
𝜋
5 rad
Solução: A razão entre a área da superfície de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre a área de um fuso qualquer dessa superfície e a medida de seu ângulo diedro. Assim, a área “S” do fuso esférico em questão pode ser calculada pela regra de três simples:
𝑆
𝜋5 𝜋
𝜋 𝑆
𝜋
𝜋 𝑺 𝟒𝟎𝝅 𝒎
Ângulo (rad) Área (m²) 2π------------------------------------4π.10²
𝜋
5−−−−−−−−−−−− S
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21. De uma melancia com o formato de uma esfera de raio 15 cm retirou-se um pedaço em forma de cunha esférica com ângulo diedro de 30°. a) Calcule o volume desse pedaço, b) Calcule a área do fuso esférico referente a esse pedaço, c) Calcule a área desse pedaço.
A B
Solução: Podemos representar a situação acima apresentada da seguinte maneira:
A B
O
O’
8 4
C
Observe que a distância “x” entre os pontos A e B é igual à distância entre os pontos C e O’. Logo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OCO’. Assim:
x²+4² = 12² x² = 144-16 x²= 128 x= 𝒙 𝟖 𝟐
x
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22. Os raios de duas esferas concêntricas medem, 15 cm e 9 cm. Calcule a área feita na esfera maior por um plano tangente à outra esfera.
30° 15 cm
𝑉 °
𝜋 75
° 𝑉
5 𝜋
𝑽 𝟑𝟕𝟓 𝒄𝒎
Solução: a) Ângulo (em graus) Volume (cm³)
360°----------------------------------------4𝜋 15 3
3
30°---------------------------------------- V
b) Ângulo (em graus) Área (cm²) 360------------------------------------4π(15)² 30------------------------------------S
𝑆 4𝜋 225 30
360 𝑆
900𝜋 30
360 𝑆
900𝜋
12 𝑺 𝟕𝟓𝝅 𝒄𝒎
𝑆 75𝜋 5𝜋
𝑺 𝟑𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎
c) A área total (S) da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é:
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23. Supondo que a circunferência máxima do globo terrestre tenha 40.000 km de comprimento, qual é a área de cada fuso horário, em km²?
s M
d
O r
𝑑2 𝑠2 𝑟2 2 𝑠2 52 𝑠2 5 − 𝒔𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝒐𝒖 𝒔 𝟏𝟐
Solução: Observação: Toda secção plana de uma esfera é um CÍRCULO. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo “r” o raio da esfera, “d” a distância do centro da esfera ao plano secante e “s” o raio da secção, temos: d² + s² = r². Na figura acima, temos: r=15 o raio da esfera maior; d=9 o raio da esfera menor e s o raio da secção, logo:
A área da secção é a área do círculo de raio 12.
S= πs² S=π.144 S= 144π cm².
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24. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesferas. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio R= 3 cm.
𝟑𝟔𝟎° − − − − − −𝟒𝝅𝑹𝟐
𝜶° − − − − − −− 𝑺𝒇𝒖𝒔𝒐
𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝛼° 𝜋 𝑅2
° 𝑆
5 𝜋 𝜋
2
𝑆
5𝜋
𝜋2
𝑆
5 8
𝜋
𝑆 8
𝜋 𝑺
𝟐
𝟑𝝅 𝟏𝟎𝟖 𝒌𝒎
Solução: Sendo R a medida, em km, do raio da Terra, temos:
C= 2πR 2πR=40.000 πR=20.000 R= 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝝅
Cada ângulo diedro de cada fuso mede: 𝟑𝟔𝟎°
𝟐𝟒 𝟏𝟓°
A área do fuso é dada por:
3 cm
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25. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m³/h (aproximadamente)? Dado: π=3,14.
𝑉
𝜋𝑅
𝑉 𝜋
𝑉
𝜋 7
𝑉
𝜋
𝑽 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎
𝑆 𝜋𝑅2
𝑆 𝜋𝑅2 𝑆 𝜋 2 𝑺 𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟐
Solução: (1) O volume do hemisfério é dado por:
(2) A área do hemisfério é dada por:
(3) A área total do hemisfério é dada por:
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑜 Á𝑟𝑒𝑎 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑆 𝜋 𝜋 𝑺 𝟐𝟕𝝅 𝒄𝒎
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26. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro (figura abaixo). Qual será o volume, em litros, de água que enche completamente esse reservatório? Adote: π= 3,14.
𝑉 𝜋 𝑅3
𝑉
3
𝑉
5 7
𝑉
5
𝑽 𝟑𝟎𝟓𝟐 𝟎𝟖 𝒎
5 𝑚
ℎ 𝟏𝟓𝟐 𝟔𝟎 𝒎 /𝒉
Solução: (1) Volume do reservatório:
(2) Vazão no reservatório:
8 m
8 m
8 m
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27. Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo? Adote π=23,14.
𝑉 𝑆𝑏 ℎ 𝑉 𝜋𝑟 ℎ 𝑉 𝜋 𝑽 𝟓𝟏𝟐𝝅 𝒎
𝑉
𝜋𝑟
𝑉
𝜋
𝑉
5 𝜋
𝑉
𝜋
:
𝑽
𝟏𝟎𝟐𝟒𝝅
𝟑 𝒎
𝑉𝑟𝑒𝑠𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑜 𝑉 5 𝜋 𝜋
𝑉
5 𝜋 𝜋
𝑉 5 𝜋
𝑉
5
𝑉
𝑉 ≃ 7 7 𝑚3 𝑉 ≃ 𝟐 𝟔𝟕𝟗 𝟒𝟕𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔
Solução: (1) Volume do cilindro:
(2) Volume do hemisfério:
(3) Volume do reservatório:
5 cm
8 cm
14 cm
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Solução: A vasilha é formada por dois sólidos:
5 cm
8 cm CILINDRO
ESFERA
14 cm
𝑉 𝜋𝑟2ℎ 𝑉 𝜋 5 2 𝑉 𝜋 5 𝑽 𝟓𝟎𝝅 𝒄𝒎
𝑉 𝜋𝑟
𝑉
𝜋 7
𝑉
𝜋
𝑽
𝟏𝟑𝟕𝟐𝝅
𝟑 𝒄𝒎
𝑉𝑣𝑎𝑠𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑉 5 𝜋 7 𝜋
𝑉
5 𝜋 7 𝜋
𝑉 5 𝜋
𝑉
5
𝑉
77
𝑽 ≃ 𝟏𝟓𝟗𝟑 𝒄𝒎𝟑
(1) Cálculo do volume do cilindro no qual r= 2,5 cm e h = 8 cm;
(2) Cálculo do volume da esfera de raio r= 7 cm:
(3) Cálculo do volume da vasilha:
Como 1 cm³ = 1 ml, o volume da vasilha é de, aproximadamente, 1593 ml.
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29. Uma esfera, cuja área da superfície mede 192π cm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo.
28. Uma esfera está inscrita em um cubo cujo volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera.
Solução: Observando a figura ao lado, notamos que a medida da aresta “a” do cubo é o dobro da medida do raio “R”, assim:
a = 2R (1) O volume do cubo vale:
V= 64 dm³ 𝑎 𝑎 3
𝒂 𝟒 𝒅𝒎
(2) Como a=2R 𝑅 𝑹 𝟐 𝒅𝒎 a
a
R
𝑉 𝜋𝑅
𝑉
𝜋
𝑽
𝟑𝟐𝝅
𝟑 𝒅𝒎
(3) Cálculo do Volume da esfera de raio R=2 dm:
D
𝐷 𝑎 𝑅 𝑎 𝑹 𝒂 𝟑
𝟐
Solução: Observe na figura ao lado que a diagonal D do cubo equivale ao dobro do raio R da esfera:
D = 2R Não esqueça que a diagonal do cubo vale:
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30. Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10 cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera.
𝑆 𝜋 𝜋𝑅 𝜋 𝑅
𝑅 𝑹 𝟒 𝟑𝒄𝒎
𝟒 𝟑 𝒂 𝟑
𝟐 𝒂 𝟖 𝒄𝒎
(1) De acordo com o enunciado da questão a área da esfera vale:
(2) Como 𝑹 𝒂 𝟑
𝟐, temos:
(3) Assim, o volume do cubo vale: 𝑉 𝑎 𝑉 𝑽 𝟓𝟏𝟐 𝒄𝒎
r r
R
R
H
Solução: Note que na figura ao lado “R” é o raio da esfera, r é o raio da base do cilindro. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado em vermelho, temos: (2R)² = (2r)² + (H)². Além disso, Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro é equilátero.
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31. Em uma esfera, está inscrito um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8 cm. Calcule a área da superfície dessa esfera.
𝑉 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑉 𝜋 5 2 − 𝜋 5 3
𝑉 5 𝜋 −
5 𝜋
𝑉 75 𝜋 − 5 𝜋
𝑽
𝟐𝟓𝟎𝝅
𝟑 𝒄𝒎
Como: H = 10 H = 2r 10=2r r = 5 cm (O raio da base do cilindro e o raio da esfera vale 5 cm). O volume compreendido entre o cilindro e a esfera é dado por:
20 cm 2R
16 cm
𝑅 2 2 2
𝑆 𝜋 𝑅2
𝑆 𝜋 2
𝑆 𝜋
𝑺 𝟔𝟓𝟔𝝅 𝒄𝒎
Solução: De acordo com a figura ao lado, devemos ter:
𝑅2 5 𝑅2 5
𝑅2 𝑅 𝑹 𝟐 𝟒𝟏 𝒄𝒎 Cálculo da área da superfície da esfera:
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32. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura abaixo. Calcule o volume dessa esfera e determine a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Considere: π=3,14
r a= 2 cm
𝑉 𝜋 𝑟
𝑉
𝜋
𝑽
𝟒𝝅
𝟑 𝒄𝒎
𝑆 𝑎2 𝑆 2 𝑺 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐
𝑆 𝜋 𝑟 𝑆 𝜋 2 𝑆 𝜋 𝑐𝑚
𝑆𝑐𝑢𝑏𝑜𝑆𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝜋
𝜋
≃ 𝟏 𝟗𝟏
Solução:
Da figura, temos: a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r= 1 cm. (1) O volume da esfera é:
(2) A área da superfície cúbica é:
(3) A área da superfície esférica é:
(4) A razão entre as áreas é:
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29
33. Uma doceira tem uma panela cilíndrica, cheia até a borda, de massa para fazer brigadeiros. Sabendo que a panela tem formato cilíndrico com 16 cm de altura e 20 cm de diâmetro, quantos brigadeiros esféricos de 2 cm de raio ela poderá fazer? 34. Determine o volume do paralelepípedo abaixo sabendo que o
volume de cada esfera é
cm.
𝑉𝑝=𝜋 𝑟 ℎ 𝑉𝑝=𝜋 10 2 16 𝑽𝒑=𝟏𝟔𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎
𝑉𝑏 𝜋𝑟
𝑉𝑏
𝜋
𝑽𝒃
𝟑𝟐𝝅
𝟑 𝒄𝒎
𝑄𝑏 𝑉𝑝
𝑉𝑏 𝑄𝑏
𝜋
𝜋
𝑄𝑏 𝜋
𝜋 𝑸𝒃 𝟏𝟓𝟎 𝒃𝒓𝒊𝒈𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐𝒔
Solução:
(1) Volume da panela:
(2) Volume do brigadeiro:
(3) Quantidade de brigadeiros:
r r
r r
𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 𝑟 𝑟 𝑟 𝑽𝒑 𝟑𝟐𝒓
Solução: (1) A altura e o comprimento do paralelepípedo são 4 r e a largura 2 r, sendo r o raio de cada esfera. Portanto:
(2) Como o volume de cada esfera é 𝟒
𝟑𝝅
cm, temos: 4
3𝜋
4𝜋𝑟
3 𝑟 𝒓 𝟏 𝒄𝒎
𝑉𝑝 𝑟 𝑉𝑝 𝑽𝒑 𝟑𝟐 𝒄𝒎
Portanto, o volume do paralelepípedo é:
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30
35. Se considerarmos uma laranja como uma esfera de raio r composta de 12 gomos exatamente iguais, qual será a medida da superfície total de cada gomo?
𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝜋𝑟 𝛼
° 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜
𝜋𝑟 °
° 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜
𝜋𝑟
𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝜋𝑟
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜋𝑟
𝜋𝑟 𝑺𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟒𝝅𝒓
𝟑
Solução: Cada gomo pode ser considerado uma cunha esférica segundo um
ângulo de 360°
12 °
A medida da superfície total de cada gomo é igual à área do círculo da face lateral mais a área do fuso esférico: (1) Área do fuso esférico:
(2) Área Lateral:
(3) Área total:
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31
36. Calcule o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura abaixo.
𝛼 °
r= 4 cm
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 𝜋𝑟 𝛼
7 ° 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎
𝜋 °
7 ° 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎
𝟏𝟐𝟖𝝅
𝟐𝟕 𝒄𝒎
𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜 𝜋𝑟 𝛼
° 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜
𝜋 °
° 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜
𝟑𝟐𝝅
𝟗 𝒄𝒎
Solução: (1) O volume da cunha esférica é dado por:
(2) A área do fuso esférico é dada por:
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32
37. Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio da base mede 6 cm. Calcule o volume dessa esfera. Solução: Da mesma forma como o cubo e o cilindro, também um cone pode inscrever (ou circunscrever) uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h. Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/3 da medida da altura do cone, ou seja: h = 3r.
r
g
h-r
R
𝒓
𝑹 𝒉− 𝒓
𝒈
Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção:
Onde: r=raio da esfera; h=altura do cone, g=geratriz do cone e R= raio da base do cone.
r
R
r
2r
2R
𝑅 2 𝑅 2 𝑟 2 𝑅2 𝑅2 𝑟2
𝑅 𝑟 𝑹 𝒓 𝟑
Assim por meio do Teorema de Pitágoras, temos:
h
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33
Agora podemos resolver à questão proposta: Sendo: h= 8 cm e R= 6 cm, a altura e o raio da base do cone. Como g é a medida da geratriz do cone, temos que:
g² = 6² + 8² g²=36+64 g=10 cm. Sendo R a medida do raio da esfera, temos, por meio de uma semelhança de triângulos, que:
ℎ −
−
−
Cálculo do volume da esfera:
Agora, vamos considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.
No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever: R² = r² +(h-r)²
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34
38. Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π cm³ inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera. h
2R
R
2r
r
A
B
C ℎ 𝑅 ℎ 𝑅
𝑅3
𝑹 𝟔 𝒄𝒎
Solução: No triângulo retângulo ABC da figura ao lado, temos: (2R)²=R²+h² 𝑅2 𝑅2 ℎ2
Como o volume do cone é igual a 72𝜋 , temos:
72𝜋 =𝜋𝑅2 ℎ
3 7 𝜋
𝜋𝑅2 𝑅 3
3
𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 2 𝑆 𝜋 𝑺 𝟒𝟖𝝅 𝒄𝒎
Assim, a medida da altura do cone é 6 3 cm e, como a medida do raio da esfera é igual a terça parte da medida da altura do cone, o raio da esfera
mede 𝑐𝑚 A área da superfície esférica é igual a:
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35
39. Calcule o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de aresta 4 m. 40. Um ludologista fabrica piões usando as medidas indicadas na figura abaixo. Determine o volume de cada pião.
𝐷 𝑅 𝑅 𝐷
𝑹
𝒂 𝟑
𝟐 𝑅
𝑹 𝟐 𝟑 𝒎
𝑉 𝜋𝑅
𝑉
𝜋
𝑉
𝜋
𝑽 𝟑𝟐𝝅 𝟑 𝒎
Solução: Note que a diagonal do cubo equivale ao dobro do raio da esfera. Assim:
2 cm
2 cm
4 cm
𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝟏
𝟐 𝟒𝝅 𝟐 𝟑
𝟑 𝟏
𝟑 𝝅𝟐𝟐 𝟒
𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝟏𝟔𝝅
𝟑 𝟏𝟔𝝅
𝟑
𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝟑𝟐𝝅
𝟑 𝒄𝒎
Solução:
𝑽𝒑𝒊ã𝒐 𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
𝟐 𝑽𝒄𝒐𝒏𝒆
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36
41. Seja 36π e o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:
(a) 3
2 (b)
8
3 (c)
2
3 (d)
3
4 (e)
Solução: Na figura aci a “a” é a aresta do cubo; o segui ento BD é a diagonal do cubo. Não esqueça que, nesse caso, a diagonal do cubo = diâmetro da esfera circunscrita ao cubo.
Como a diagonal do cubo vale: ,temos:
Raio da esfera R =
2
A razão entre os volumes da esfera ( é:
Resposta: letra (a)
O
A
B
D
C a
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37
42. Um copinho de sorvete, em forma de cone, possui 10 cm de profundidade, e 4 cm de diâmetro no topo, tendo aí colocadas duas conchas semiesféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que: (a) Não transbordará (b) transbordará (c) Nada podemos afirmar (d) Os dados são insuficientes (e) As informações são falsas Solução: Volume do cone (copinho):
ℎ
Volume das duas conchas (Volume da esfera):
Observe que:
, logo, não transbordará.
Resposta: letra (a)
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38
43. A área lateral de um cilindro equilátero é 36π cm². Determine o volume da esfera inscrita nesse cilindro. Solução: No cilindro equilátero temos: h = 2r, logo: A área lateral do cilindro é dada por: ℎ Volume da esfera:
h= 2r
r
r
r
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39
44. Na figura, O é o centro de um círculo, e o volume gerado pela rotação da região assinalada em torno da reta r é 18 π. Calcule a área do triângulo ABC. Solução: O volume V gerado pela rotação da região demarcada em torno da reta r é igual à diferença entre o volume da esfera ( ) de raio r e o dobro do volume do cone ( de raio da base r e altura também r:
− 3
− (
2
)
Portanto, a área do triângulo ABC é:
A B
C
r
O
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40
Considere o texto abaixo para as questões 45, 46, 47 e 48. A razão na qual um comprimido de vitamina C começa a dissolver-se depende da área da superfície do comprimido. Uma marca de comprimido tem um forma cilíndrica, comprimento 2 cm, com hemisférios de diâmetro 0,5 cm cada extremidade, conforma figura abaixo. Uma segunda marca de comprimido vai ser em forma cilíndrica com 0,5 c de altura. 45. Determine a área da superfície do primeiro comprimido em cm², sabendo que: o comprimento da circunferência é C= 2πr e a área da superfície esférica é S= 4πr². Solução: A área da superfície do primeiro comprimido 1 é igual à soma da
área da superfície da esfera de raio R = 1
4 , com a área lateral de um
cilindro reto de altura 2
3 e raio da base R=
1
4
1
46. Determine o diâmetro do segundo comprimido de modo que a área da sua superfície seja igual à do primeiro comprimido. Solução: Considerando a área da superfície do segundo comprimido 2 e o diâmetro da sua base d, temos:
2 (
)2
(
)
2 cm
0,5 cm 0,5 cm
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41
Condição imposta pelo problema:
47. Determine o volume do primeiro comprimido em cm³,
sabendo que o volume da esfera V é igual a
e o volume do
cilindro V é πR².h. Solução:
1
(
)3
(
)2
48. Determine o diâmetro do segundo comprimido, de modo que seu volume seja igual ao do primeiro comprimido. Solução: Considerando d como diâmetro da base do segundo comprimido, então o seu volume V2 é:
2
Condição imposta pelo exercício:
(
)2
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42
49. A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio da esfera, sabendo que o volume do cone é 12 π cm³ e o raio da base 3 cm. Solução:
ℎ
ℎ
Vamos calcular a geratriz do cone:
g² = h²+r² g²=4²+3² g²=25 g = 5 Considerando:
Á Á 2 2 5
2 50. Um queijo moldado na forma esférica tem 10 cm de raio. Derretido, ele cabe exatamente em uma panela cilíndrica de raio 10 cm. Determine a altura da panela. Solução:
3
ℎ
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43
51. As bolas de borracha representadas na figura abaixo são esféricas e têm mesma espessura. Quantas bolas menores podem ser feitas usando a mesma quantidade de borracha para fazer 12 bolas maiores? Solução: 2 2 2 Resposta: Podem-se fazer 48 bolas menores. 52. Determine a área e o volume da esfera inscrita num cubo de aresta “a”. Solução: A esfera é inscrita no cubo. O cubo é circunscrito à esfera. A aresta do cubo é dada por a= 2R (veja questão 28)
r
r
2r
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44
(1) Área da esfera inscrita no cubo:
2
2
2
(2) Volume da esfera inscrita no cubo:
=
4 3
=
=
=
53. Determine a área total e o volume de um cubo inscrito a uma esfera de raio R. Solução A esfera é circunscrita ao cubo. O cubo é inscrito na esfera.
a
R
Note que a aresta “a” do cubo é igual ao diâmetro da esfera (2R), logo:
a = 2R
𝑑 𝑅 𝑎 𝑅 𝑹 𝒂 𝟑
𝟐
Note que a diagonal do cubo (d) é igual ao diâmetro da esfera (2R). Não esqueça que a diagonal do cubo vale:
d = 𝑎 . Logo:
d
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45
O raio da esfera inscrita ao cubo é dado por: R =
:
(1) Área total do cubo inscrito a uma esfera:
(
)
(2) Volume do cubo circunscrito a uma esfera:
(
)
7
53. Qual é a razão (quociente) entre a área total de um cubo e a área da esfera nele inscrita? Solução
54. Qual é a razão entre os volumes de um cubo e da esfera nele inscrita? Solução
3
3
55. Determine a área e o volume da esfera circunscrita a um cubo de aresta “a”. Solução (1) Área da esfera circunscrita a um cubo:
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46
Não esqueça que: 3
2 (veja a questão 29)
(
)
(2) Volume da esfera circunscrita a um cubo:
( )
56. Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta.
57. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.
𝑅 𝑎
𝑹
𝟏
𝟐𝒅𝒎
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜋𝑅3
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝜋
3
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜋
𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
𝝅
𝟔𝒅𝒎
Solução Sendo o raio da esfera(R) igual à metade da aresta do cubo (a):
d
1 dm
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47
58. Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25π cm² de superfície. Solução (1) Área da superfície esférica:
5 5
Sendo
2
5
2
2
(2) Área lateral do cubo: 5 5 (3) Volume do cubo 5
𝑅
𝑹 𝟔 𝟑 𝒄𝒎
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝜋𝑅3
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝜋 3
Solução Note que a diagonal do cubo (d) é igual ao diâmetro da esfera (2R). Logo:
2R = d 𝑅 𝑎 𝑅 𝑎 3
2
Sendo a = 12 cm, temos:
Volume da esfera:
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 4𝜋 216 3 3
3 𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 𝟖𝟔𝟒𝝅 𝟑 𝒄𝒎
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48
59. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm². Solução (1) Área total do cubo 5 (2) Raio da esfera circunscrita
(3) Volume da esfera
3
( )
3
7
60. Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construção na forma de uma semiesfera. Nessa maquete, o diâmetro da semiesfera é 20 cm. Sabendo que a escala utilizada
foi 1:400, responda: (Considere = 3,14) a) Qual a área da superfície dessa construção? b) Qual o volume dessa construção? Solução (a) O raio R da semiesfera vale: R= 10 cm ou 40 m* (de acordo com a escala fornecida), sendo assim a área da semiesfera é dada por:
2
(b) O volume da semiesfera é dado por
( 3
) : (
3
) : (
5
) : (
) :
7 7:
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49
*Escala =
61. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.
Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π = 3)
a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.
Solução
A área da cobertura do planetário ACP é igual à metade da área da superfície da esfera ASE subtraído da área dos 12 semicírculos (que é igual à área de 6 círculos Ac).
Temos o raio R da semiesfera igual a 14 m e o raio R1 do círculo igual a 3 m. Assim:
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Como 1 lata de tinta pinta 39 m2, para pintar todo a cobertura do planetário é necessário:
Alternativa correta é a letra B.
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