COLEGIO DE BACHILLERES PLANTEL 2 CIEN METROS

Materia: Matemáticas

Profesor: Rubén Carmona Lemus

Tema: Trigonometría

Alumno (a): Salgado Vargas Damaris

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INDICE

Geometría…………………………………………………………………………3

Elementos de la geometría……………………………….………………….....3

Postulados de la geometría Euclidiana……………………………………….3

Quinto postulado de Euclides ………………………………………………….4

Proposiciones del 5to postulado de Euclides ……………………………..…4

Teorema de la teoría Euclidiana………………………………………………5

Geometría Euclidiana……………………………………….…………………5

Geometría Hiperbólica……………………………………………………..…6

Geometría fractal……………………………………………………….….....7

Simetría………………………………………….…………………………….8

Conclusión…………………………………………………………………….8

Bibliografía…………………………………..………………………………………8

Geometría

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Parte de las matemáticas que trata de las propiedades, medidas y relaciones entre elementos lineales, planos y espaciales. La geometría estudia las propiedades de las figuras, independientemente de la posición en el plano y en el espacio. Inicialmente, la geometría consideraba las figuras como un todo (geometría sintética); mas tarde se paso a expresar los puntos del plano y el espacio mediante coordenadas en un sistema de referencia (geometría analítica), lo que permite resolver los problemas geométricos con ayuda del álgebra y viceversa, los algebraicos con ayuda de la geometría. La primera formulación axiomática (sintética) de la geometría se debe a Euclides (h.300a.C.), en sus elementos.  Según la forma en que abordan los problemas, la geometría puede ser algebraica, analítica y diferencial. Según el ámbito donde esta definida, se distingue en geometría esférica, plana, etc. Existen asimismo geometrías no euclideas (que aceptan todos los postulados de Euclides, salvo el de las rectas paralelas).

Elementos de la Geometría

En “los elementos de la geometría”, publicación en trece volúmenes del siglo tercero antes de nuestra era, Euclides expone, a través del método deductivo y de manera sistemática, los conocimientos que los griegos tenían sobre aritmética y geometría.

 En esta compilación enciclopédica del conocimiento geométrico hasta entonces acumulado, Euclides presenta un sistematización de cerca de vente siglos de trabajo escrito, cuya importancia no debe pasar desapercibida.

Postulados de la Geometría Euclidiana

1) Es posible trazar una línea recta desde un punto cualquiera2) Es posible prolongar por continuidad en línea recta una recta limitada3) Para cada centro y radio, es posible describir su circulo4) Todos los ángulos rectos son iguales entre si5) Si una recta incide sobre 2 rectas hace ángulos internos y de la misma parte menores

Que dos rectos, prolongadas estas dos rectas indefinidamente coincidirán por la parte en que están los ángulos menores que dos rectos

Quinto postulado de Euclides

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El quinto postulado, conocido como el de las paralelas a pesar de que en él no se hace referencia a paralelas, es el más famoso de estos 5 postulados, pues de un lado garantiza que en dos rectas que se cortan tienen un punto en común.

 Incluso desde su formulación, que se la reconoce a Euclides, entre los griegos hubo quienes no vieron con buenos ojos este postulado, adolecía de falta de evidencia ya que involucra a una acción que se puede extender en el tiempo, pues se requiere prolongar indefinidamente dos rectas.

De otro lado, la forma de este postulado, diferente a la de otros cuatro en cuanto que utiliza una frase condicional, “... si un hecho sucede entonces otro echo debe suceder...” insinúa que mas bien era un teorema y que se podía demostrar a partir de los otros cuatro postulados.

Proposiciones del 5° postulado de Euclides

1)  ( De las paralelas) Dado un punto p y una recta l, se puede trazar una única recta m que pase por p y que sea paralela a l.2) (de las perpendiculares) Dado un punto p y una recta l, se puede trazar una única recta m que pase por  p y que sea perpendicular a m.3) Si l y m son rectas paralelas cortadas por una recta s, los ángulos alternos internos, los ángulos alternos externos, los ángulos alternos correspondientes y los ángulos externos correspondientes, son respectivamente iguales.4) En todo triangulo, la suma de los ángulos internos es 180°5) Dadas las rectas l y m cortadas, por otra recta s, entonces l y m se intercepta al lado de s en donde el ángulo interno formado por m y s, suman mas de 180°

Teorema de la Geometría Euclidiana1) Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido por tales recta es congruente, entonces, los triángulos son congruentes

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2)En un triangulo isósceles los ángulos da la base son iguales entre si y si se prolongan los dos lados iguales, los ángulos debajo de la base serán también iguales entre si.3) Si dos ángulos de un triangulo son iguales, los lados subtendidos bajo esos ángulos, también serán iguales4) si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales el uno al otro, e iguales las bases, entonces tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales5)con tres rectas dadas, tales que la suma de cualesquiera dos de ellas sea mayor que la tercera, construir un triángulo6)Sobre una recta dada, y en uno de sus puntos, construir un ángulo igual a otro ángulo dado7)Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente con que tengan dos ángulos congruentes y el lado comprendido de igual longitud.8) Si una recta al cruzar otras dos rectas, hace ángulos alternos iguales entre si, entonces tales dos rectas serán paralelas entre si.9) Si una recta cruza otras dos rectas y hace el ángulo alterno igual al ángulo interno y opuesto en el mismo lado, o si los dos internos son igual a dos rectas, entonces tales rectas son paralelas entre si.10) Una recta que cae sobre dos rectas paralelas forma ángulos alternos iguales entre si y un ángulo externo igual al ángulo interno opuesto.11) Por un punto dado, trazar una recta paralela que otra recta dada.12) En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo que se forma es igual a los dos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a la de dos ángulos rectos.

Geometría EuclidianaEs una ciencia accionámica, sus axiomas son:

• El punto es la intersección de dos rectas y no tiene dimensión (no se puede representar)• La recta es la intersección de dos planos, es infinita, tiene una sola dimensión, es una dirección en el espacio que tiene dos sentidos. La recta es infinita, si le hacemos un solo corte, tenemos una semirrecta.

Si la cortamos por dos sitios diferentes será un segmento. Una recta y todas sus paralelas son lo mismo.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

Geometría Hiperbólica

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A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky

(1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría

Hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo tenían ángulos que juntos sumaban menos de 180º (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempreexactamente180º).

La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica.

Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).

Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

Geometría ElípticaGeometría elíptica: también rechaza el postulado del paralelo, y establece que "no hay Líneas paralelas, y si se extienden suficientemente lejos, dos líneas rectas cualesquiera en un plano se encontrarán." Su invención ha sido acreditada a Bernhard Riemann (18201866).La geometría elíptica es la que toma como postulado la siguiente negación del quinto postulado de Euclides:

Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dadaSu precursor fue Riemann. Consideró una esfera y la geometría intrínseca a ella, es decir, tomó la esfera como plano. Las rectas del plano pasan a llamarse geodésicas y son círculos máximos, es decir, circunferencias que dividen a la esfera en dos hemisferios iguales.

Por tanto por un punto exterior a una geodésica no pasa ninguna paralela a ella.Su principal aplicación fue su uso en la teoría de la Relatividad Especial de Albert

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Einstein, aunque también se ha aplicado a investigaciones sobre fenómenos ópticos y propagación de ondas.En esta geometría elíptica (también llamada esférica) la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º.

Geometría Fractal

Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real.

Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inical; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial... y así sucesivamente.

A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamieno; por ejemplo desplazar el punto X centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz.

Se perfila, progresiva y sorprendentemente el dibujo de la hoja de helecho

La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Éstas poseen a veces una remarcable invariancia de simplificación bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales.

El Fractal es, matemáticamente, una figura geométrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación. A menudo los fractales son semejantes a sí mismos; esto es, poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales: el triángulo de Sierspinski, la curva de Koch, el conjunto Mandelbrot, los conjuntos Julia, y muchas otras.

La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos.

Es importante reconocer que los fractales verdaderos son una idealización. Ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero; los objetos reales son producidos por procesos que actúan sólo sobre un rango de escalas finitas. En otras palabras, los objetos reales no

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tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.

SimetríaCuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones.

Así se dice que un objeto presenta:Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación posible, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO (3).

Simetría cilíndrica o axial, si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO (2). Simetría reflectiva, se define por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO (1) o su representación equivalente. Z2 Si tratamos además de regiones geométricas infinitas, no acotadas, además puede existir simetría traslacional. Todas estas simetrías posibles son además isometrías.

CONCLUSION

En Geometría es el proceso de trasladar o copiar todos los puntos de una figura a otra posición equidistante de una recta denominada eje de simetría. El resultado final es una imagen especular de la original. La reflexión es el fenómeno físico que explica la incidencia de las ondas contra un material y su curso posterior cuando el material sobre el cual incide no absorbe la onda.La ley de reflexión asegura que el ángulo de incidencia y el de reflexión es el mismo  

Bibliografíahttp://usuarios.multimania.es/trigonometria/newpage9.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

http://www.buenastareas.com/ensayos/Geometria-Hiperbolica/3077741.html

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