geometria hiperbolica
DESCRIPTION
Geometria hiperbolica con GeoGebraTRANSCRIPT
![Page 1: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/1.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Geometría hiperbólica con GeoGebra
Jaime J. Gutiérrez G.
Coloquios matemáticos
15 de septiembre de 2013
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 2: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/2.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Preliminares¿Qué es Geometría hiperbólica?
¿Por qué y para qué otras geometrías?
¿Cuándo y dónde aprender (enseñar) Geometríahiperbólica?
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 3: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/3.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Preliminares¿Qué es Geometría hiperbólica?
¿Por qué y para qué otras geometrías?
¿Cuándo y dónde aprender (enseñar) Geometríahiperbólica?
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 4: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/4.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Preliminares¿Qué es Geometría hiperbólica?
¿Por qué y para qué otras geometrías?
¿Cuándo y dónde aprender (enseñar) Geometríahiperbólica?
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 5: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/5.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Preliminares¿Qué es Geometría hiperbólica?
¿Por qué y para qué otras geometrías?
¿Cuándo y dónde aprender (enseñar) Geometríahiperbólica?
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 6: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/6.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Modelos de la Geometría hiperbólicaEl semiplano superior H.
El disco de Poincare D.
El modelo de Beltrami-Klein.
El paraboloide hiperbólico.
La pseudoesfera.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 7: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/7.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Modelos de la Geometría hiperbólicaEl semiplano superior H.
El disco de Poincare D.
El modelo de Beltrami-Klein.
El paraboloide hiperbólico.
La pseudoesfera.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 8: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/8.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Modelos de la Geometría hiperbólicaEl semiplano superior H.
El disco de Poincare D.
El modelo de Beltrami-Klein.
El paraboloide hiperbólico.
La pseudoesfera.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 9: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/9.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Modelos de la Geometría hiperbólicaEl semiplano superior H.
El disco de Poincare D.
El modelo de Beltrami-Klein.
El paraboloide hiperbólico.
La pseudoesfera.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 10: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/10.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Modelos de la Geometría hiperbólicaEl semiplano superior H.
El disco de Poincare D.
El modelo de Beltrami-Klein.
El paraboloide hiperbólico.
La pseudoesfera.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 11: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/11.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiper bólicas
Modelos de la Geometría hiperbólicaEl semiplano superior H.
El disco de Poincare D.
El modelo de Beltrami-Klein.
El paraboloide hiperbólico.
La pseudoesfera.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 12: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/12.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Rectas en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 13: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/13.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Rectas en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 14: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/14.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Rectas paralelas en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 15: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/15.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Rectas paralelas en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 16: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/16.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Triángulos en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 17: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/17.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Triángulos en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 18: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/18.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Círculos en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 19: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/19.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el semiplano hiperbólico
Círculos en el semiplano hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 20: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/20.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el disco de Klein
Rectas en el disco hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 21: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/21.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el disco de Klein
Rectas en el disco hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 22: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/22.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el disco de Klein
Círculos en el disco hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 23: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/23.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
En el disco de Klein
Círculos en el disco hiperbólico
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 24: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/24.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones
Teselaciones
Una teselación regular consiste en cubrir el plano conpolígonos regulares de forma que la cantidad de polígonos queconfluyen en cada vértice es constante. Para describir este tipode teselaciones se usa la siguiente notación: {p, q}. En estepar, p representa el número de lados del polígono regular y q elnúmero de polígonos que se pueden encontrar en cada vértice.Las posibles teselaciones del plano euclídeo son {3, 6}, {4, 4} y{6, 3}.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 25: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/25.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones
Teselaciones
Una teselación regular consiste en cubrir el plano conpolígonos regulares de forma que la cantidad de polígonos queconfluyen en cada vértice es constante. Para describir este tipode teselaciones se usa la siguiente notación: {p, q}. En estepar, p representa el número de lados del polígono regular y q elnúmero de polígonos que se pueden encontrar en cada vértice.Las posibles teselaciones del plano euclídeo son {3, 6}, {4, 4} y{6, 3}.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 26: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/26.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones en el disco hiperbólico
Debido a las especiales propiedades de las rectas, en el planohiperbólico existen infinitas teselaciones hiperbólicas.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 27: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/27.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones en el disco hiperbólico
Debido a las especiales propiedades de las rectas, en el planohiperbólico existen infinitas teselaciones hiperbólicas.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 28: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/28.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones en el disco hiperbólico
Debido a las especiales propiedades de las rectas, en el planohiperbólico existen infinitas teselaciones hiperbólicas.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 29: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/29.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones de Escher
Geometría hiperbólica y Arte
El artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, porsugerencia de Coxeter aprendió los teselados hiperbólicos, sehizo famoso por sus obras construidas a partir de estas ideas.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 30: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/30.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones de Escher
Geometría hiperbólica y Arte
El artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, porsugerencia de Coxeter aprendió los teselados hiperbólicos, sehizo famoso por sus obras construidas a partir de estas ideas.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 31: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/31.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Teselaciones de Escher
Geometría hiperbólica y Arte
El artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, porsugerencia de Coxeter aprendió los teselados hiperbólicos, sehizo famoso por sus obras construidas a partir de estas ideas.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 32: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/32.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Ballenas hiperbólicas
Ballenas y la Geometría hiperbólica
Suponga por un momento que usted es una ballena. La luz noes muy útil en las profundidades del óceano. Por lo tanto ustedestá obligado a experimentar y a comunicarse a través de lossonidos. La distancia más corta entre dos puntos de su mundosería el camino que toman las ondas de sonido. Para ustedesto sería el análogo de la recta. Como el sonido no viaja auna velocidad constante en el océano, el camino que sigue unaonda de sonido no es una recta. Una onda de sonido llega deuna ballena a otra más rápido si baja, para aprovechar lamayor velocidad de sonido en la profundidad, y luego vuelve asubir. De hecho, estas curvas: son arcos de círculos centradosen la superficie del océano.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 33: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/33.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Ballenas hiperbólicas
Ballenas y la Geometría hiperbólica
Suponga por un momento que usted es una ballena. La luz noes muy útil en las profundidades del óceano. Por lo tanto ustedestá obligado a experimentar y a comunicarse a través de lossonidos. La distancia más corta entre dos puntos de su mundosería el camino que toman las ondas de sonido. Para ustedesto sería el análogo de la recta. Como el sonido no viaja auna velocidad constante en el océano, el camino que sigue unaonda de sonido no es una recta. Una onda de sonido llega deuna ballena a otra más rápido si baja, para aprovechar lamayor velocidad de sonido en la profundidad, y luego vuelve asubir. De hecho, estas curvas: son arcos de círculos centradosen la superficie del océano.
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 34: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/34.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra
![Page 35: Geometria hiperbolica](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050704/55cf919a550346f57b8eed3b/html5/thumbnails/35.jpg)
Preliminares Modelos de la Geometría hiperbólica Construcciones hiperbólicas Teselaciones Ballenas hiperbólicas
Jaime J. Gutiérrez G. Coloquios matemáticos
Geometría hiperbólica con GeoGebra