geometria. il nome significa… misura della terra
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GEOMETRIA
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Il nome significa…
Misura della terra
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Nacque….
In Egitto all’incirca nel 1000 A.C.
Per ripristinare i confini delle terre coltivabilidopo le inondazioni del Nilo
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Infatti …
Ai contadini veniva dato in gestione un appezzamento di terra che dovevano ripagare al Faraone devolvendogli una quantità del raccolto direttamente proporzionale alla grandezza del terreno affidato.Per questo era importante, dopo un’inondazione, saper ricostruire i confini dei vari appezzamenti di terra.
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Per realizzare questo obiettivo c’erano…
• Gli agrimensori (misuratori di terra), che tramite l’uso delle corde sapevano tracciare rette e cerchi.
• Loro sono stati i primi geometri della storia
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Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti
CORDA
NILO
punto in cui voglio disegnare l’angolo retto
punto scelto a caso
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Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti
NILO
RADDOPPIAMO LA LUNGHEZZA DELLA CORDA
PROSEGUENDO LA STESSA DIREZIONE DELLA PRIMA
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Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti
NILO
PRENDIAMO UNA CORDA PIU’ LUNGA FISSIAMO UN’ESTREMITA’ E LASCIAMO LIBERA L’ALTRA
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Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti
NILO
FACCIAMO LO STESSO USANDO COME
PUNTO FISSO. SI OTTIENE
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Costruzione di un angolo retto con corda e picchetti
NILO
TIRANDO LA CORDA DAL PUNTO SCELTO ALL’INTERSEZIONE DELLE DUE
TRACCIE SI OTTIENE L’ANGOLO RETTO.
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Geometria Euclidea
La geometria che noi studieremo è la Geometria Euclidea in onore al matematico e scienziato greco vissuto nel terzo secolo A.C.
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Scrisse GLI ELEMENTI
Fondamentale opera di geometria che racchiudeva tutti i risultati ottenuti fino ad allora
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Ma quindi esistono anche Geometrie non Euclidee?
Sì. La geometria Euclidea è ottima per studiare oggetti posti in un piano.Esistono altre geometrie che sono più indicate per lo studio di oggetti che si muovono su superfici diverse ad esempio la sfera.
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Esempio
Per la geometria Euclidea la via più breve per congiungere due punti è sempre la linea retta:
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Ma questo non è più ovviamente vero per un aereo che viaggia fra due città.
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Purtroppo…
• Le Geometrie non Euclidee non fanno parte del nostro piano di studi
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I concetti Primitivi
Si definisce concetto primitivo (o anche ente primitivo) un concetto che non si può spiegare meglio del significato intuitivo che ha.
Gli enti primitivi sono le fondamenta su cui si basa il nostro “edificio geometrico” e sono:
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ENTI PRIMITIVI
Il punto
La retta
Il piano
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Da un punto e una retta nasce
… LA SEMIRETTA (ha un inizio e non una fine)
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Da due punti e una retta nasce…
Il segmento.
Definizione di segmento: la porzione di retta compresa fra due punti
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OsservazioniLa semiretta ha un inizio e non una fine. Adattaquindi a rappresentare graficamente l’insieme dei numeri Naturali:
0 1 2 3 4 L’insieme dei numeri interi invece non ha un inizio né una fine. Per rappresentarlo graficamente si usa una retta
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
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Da due semirette aventi la stessa origine …
Definizione: L’ angolo è la porzione di piano compresa fra due semirette aventi la stessa origine
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Angoli “famosi”
Se le due semirette sono sovrapposte si ottiene l’angolo giro (che coincide con tutto il piano)
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Angoli “famosi”
Se le due semirette sono opposte (cioè giacciono sulla stessa retta) si ottiene l’angolo piatto
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Angoli “famosi”
L’angolo retto (metà dell’angolo piatto)
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Angoli acuti e ottusi
Un angolo contenuto in (minore di) un angolo retto si dice
angolo acuto
Un angolo contenente (maggiore del) l’angolo retto si dice
angolo ottuso
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Unità di misura dell’angolo
L’unità di misura dell’angolo è il grado.
Si definisce un grado (simbolo °) la 360esima parte dell’angolo giro
Di conseguenza: - un angolo giro misura 360°- un angolo piatto misura 180°- un angolo retto misura 90°
L’angolo si misura con il goniometro
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Rette parallele, incidenti, perpendicolari
Definizione: due rette si dicono parallele se non si intersecano mai
Definizione: due rette non parallele si dicono Incidenti
Definizione: due rette incidenti si dicono perpendicolari se formano 4 angoli retti
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Angoli opposti al vertice
Se abbiamo due rette incidenti
gli angoli si dicono opposti al vertice.Così come sono opposti al vertice gli angoli
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Teorema: angoli opposti al vertice sono uguali
Ipotesi: a e b opposti al verticeTesi: = a b
a g
b
Sia g l’angolo in figura.Si osserva che a e g insieme formano un angolo piatto. Ma anche b e g formano un angolo piatto, quindi risulta che +g a=180° e anche + =g b 180°. Ne segue che = a b
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Il punto medio
Definizione: si definisce punto medio di un segmento AB, il punto M tale che AM=MB
A B
M
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Problemi con il punto medio
Si consideri il segmento AB.Si prolunghi dalla parte di A di un segmento CA e dalla parte di B di un segmento BD tale cheBD=CA. Si dimostri che il punto medio M del segmento AB è anche il punto medio di CD. AC M B D
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Formuliamo ipotesi (i dati) e tesi (ciò che vogliamo dimostrare)
Hp: AM=MB (perché M è punto medio di AB) CA=BDTh: CM=MD (perché vogliamo dimostrare che M è punto medio anche di CD)Risolvo:CM=CA+AM=BD+MB=MDQuindi CM=MD.c.v.d.
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Figure aperte chiuse intrecciate
Figura chiusa Figura aperta Figura chiusa Figura apertanon intrecciata non intrecciata intrecciata intrecciata
DEFINIZIONE DI POLIGONO: un poligono è una figura chiusa non intrecciata il cui bordo è formato solo da segmenti detti lati
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I triangoli
Definizione: Il triangolo è un poligono di 3 lati
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Classificazione dei triangoli (secondo i lati)
Triangolo equilatero (3 lati e 3 angoli uguali)
Triangolo isoscele (2 lati e 2 angoli uguali)
Triangolo scaleno (angoli e lati tutti diversi)
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Teorema
La somma dei gradi degli angoli di un triangolo è sempre 180.
PROBLEMI- Un triangolo scaleno ha un angolo di 55° ed un
altro di 45°. Determinare il terzo angolo- Un triangolo isoscele ha l’angolo al vertice di 50°.
Determinare l’angolo alla base- Determina gli angoli di un triangolo equilatero
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Altezza di un triangolo
Definizione: l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso, che congiunge il vertice opposto con il lato (od un suo prolungamento)
Osservazione: ogni lato ha la “sua altezza” pertanto ogni triangolo ha 3 altezze
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Esempio
L’altezza relativa al lato AB è il segmento CHL’altezza relativa al lato BC è il segmento AKL’altezza relativa al lato CA è il segmento BL
A B
C
H
L
K
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Osservazione
Si può verificare che il prodotto dell’altezza relativa al lato moltiplicato per il lato stesso non cambia, cambiando il lato. Quindi:
A B
C
H
L
K
BLCAKABCCHAB
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Altezza di un triangolo (altri esempi)
Qual è l’altezza relativa al lato AB?
Nel caso di un triangolo rettangolo, l’altezza relativa ad un lato “accanto” all’angolo retto coincide con l’altro lato “accanto” all’angolo retto. Quindi l’altezza relativa ad AB coincide con CA
A B
C
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Altezza di un triangolo (altri esempi)
Qual è l’altezza relativa al lato AB?
Nel caso di un triangolo ottusangolo, l’altezza relativa ad un lato “accanto” all’angolo ottuso “cade” fuori dalla base finendo sul prolungamento di AB.
A B
C
H
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I PARALLELOGRAMMI
Definizione: i parallelogrammi sono poligoni di 4 lati (quadrilateri) con i lati opposti paralleli
Caratteristiche: - i lati opposti sono uguali- Gli angoli opposti sono uguali- Le diagonali si tagliano a metà
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Parallelogrammi con tutti i lati uguali
Definizione: un parallelogramma con 4 lati uguali si dice rombo.
Più conosciuto sotto questa forma
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Parallelogrammi con tutti gli angoli uguali
Definizione: un parallelogramma con 4 angoli uguali si dice rettangolo.
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Parallelogrammi con tutti gli angoli uguali e tutti i lati uguali
Definizione: un parallelogramma con 4 angoli uguali e 4 lati uguali si dice quadrato.
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Il trapezio
Definizione: un quadrilatero con una sola coppia di lati opposti paralleli si dice trapezio.
Dei due lati paralleli il maggiore si chiama base maggiore e il minore si chiama base minore
Esistono tre tipi di trapezio: isoscele, rettangolo e scaleno
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Trapezio isoscele
Base maggiorealtezzabase minore
Questo trapezio si dice isoscele perché ha i 2 lati non paralleli uguali
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Trapezio rettangolo
Questo trapezio si chiama rettangolo perché ha 2 angoli retti
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Trapezio scaleno
Tutti i lati e tutti gli angoli sono differenti fra loro
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Il calcolo delle areeIl rettangolo.
Area del rettangolo: lato maggiore x lato minore(o come spesso si dice base x altezza)Il significato di questa formula è evidente. Tramite questa determineremo la formula delle aree degli altri poligoni
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Il calcolo delle areeIl quadrato.
Area del quadrato = lato x lato (cioè lato²)
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Il calcolo delle areeIl triangolo.
Osservazione: una diagonale taglia un rettangolo in due parti uguali (quindi della stessa area)
La parte blu è uguale alla parte bianca
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Il calcolo delle aree.Il triangolo
Nel triangolo in figura consideriamo l’altezza relativa al lato AB e chiamiamola CHDisegniamo un rettangolo ABDE che ha la stessa base del triangolo e la stessa altezza
A B
DCE
H
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Il calcolo delle aree.Il triangolo
Il lato CA è diagonale del rettangolo CEAH e lo divide a metà: metà sta dentro il triangolo.Metà sta fuori.Lo stesso vale per il lato BC e il rettangolo HBDC.
A BH
DCE
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Area del triangolo
Quindi il rettangolo è diviso in due parti di uguale area.Una parte è il triangoloL’altra parte è quella che sta fuori del triangolo.Quindi l’area del triangolo è uguale a metà dell’area del rettangolo.
A BH
DCE
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Area del triangolo
Ma l’area del rettangolo è ABxEA, quindi, dato che DA=CH, si può scrivere come ABxCH.Essendo l’area del triangolo la metà di quella del rettangolo risulta che l’area del triangolo ABC è(ABxCH):2
Il famoso “base per altezza diviso 2”
A BH
DCE
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L’area del rombo
B
C
D
ADB e AC sono le diagonali del romboCostruiamo il rettangolo EFGH con base e altezza uguali alle diagonali del rombo
E
FG
H
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L’area del rombo
B
C
D
ALe diagonali del rombo dividono il rettangolo in 4 parti ugualiA loro volta i lati del rombo dividono in due parti uguali ciascuna di queste parti
E
FG
H
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L’area del rombo
B
C
D
ADi conseguenza l’area del rombo è metà di quella del rettangoloEssendo l’area del rettangolo HExEF o anche DBxAC,L’area del rombo risulta DBxAC:2Cioè diagonale minore x diagonale maggiore diviso 2
E
FG
H
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L’area del trapezioPrendiamo per esempio un trapezio rettangolo (ma la formula varrà per ogni trapezio)
AB è la base maggiore (simbolo B)DC è la base minore (simbolo b)DA (e anche CH) è l’altezza (simbolo h)
A B
CD
H
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L’area del trapezio
Si osserva che il trapezio è formato dal rettangolo AHCD più il triangolo HBC. Quindi:
Area trapezio = area rettangolo AHCD + area triangolo HBC
A B
CD
H
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L’area del trapezio
Area del rettangolo
Area del triangolo Area trapezio=
A B
CD
H
2
)(
22
2
2
)( hbBbhBhbhBhhbhbBhb
b b-B
h
hb
2
)( hbB
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La geometria e il calcolo letterale
La geometria è una buona applicazione del calcolo letterale. Ad esempio:Il perimetro di un triangolo di lati 2m, 3m e 5m èPerimetro=2m+3m+5m=10mIl perimetro di un quadrato di lato 6m èPerimetro=4x6m=24mL’area del rettangolo di lati 3m e 5m èArea =3m x 5m = 15m²