geometria plana
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/1.jpg)
ESCOLA ESTADUAL PROF. ANDRONICO DE MELLOMATEMÁTICA
PROFª ANNA LUISA
Geometria Plana
Quadrilátero
Definição:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Quadrilátero ABCD
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.
Elementos
Na figura abaixo, temos:
Quadrilátero ABCD
Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:
Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD: .
Observações
1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.
2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.
Anna Luisa– Matemática 1
![Page 2: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/2.jpg)
Côncavos e Convexos
Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.
Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo
Quadrilátero
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
Do triângulo ABD, temos :
a + b1 + d1 = 180º. 1
Do triângulo BCD, temos:
c + b2 + d2 = 180º. 2
Adicionando 1 com 2 , obtemos:
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º
a + b + c + d = 360º
Anna Luisa– Matemática 2
![Page 3: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/3.jpg)
Observações
1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
Se = 360º
Quadriláteros Notáveis
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Exemplo:
h é a altura do paralelogramo.
O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos:
Quadrilátero
Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Exemplo:
Anna Luisa– Matemática 3
![Page 4: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/4.jpg)
Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Exemplo:
Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.
Exemplo:
É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.
Anna Luisa– Matemática 4
![Page 5: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/5.jpg)
Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
Exemplo:
Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.
Quadrilátero
Destacamos alguns trapézios:
Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.
Exemplo:
Anna Luisa– Matemática 5
![Page 6: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/6.jpg)
Trapézio isósceles
É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:
Trapézio escaleno
É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Exemplo:
Anna Luisa– Matemática 6
![Page 7: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/7.jpg)
Quadrilátero
Propriedades dos Paralelogramos
1ª Propriedade
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
DemonstraçãoAfirmativa Justificativa
1. Segmentos de paralelas entre paralelas.
2. Segmentos de paralelas entre paralelas.
2ª Propriedade
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
Anna Luisa– Matemática 7
![Page 8: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/8.jpg)
H: ABCD é paralelogramo.
T:
DemonstraçãoAfirmativa Justificativa
1. Hipótese.
2. Hipótese.
3. Lado comum.
4. Caso L.L.L.
3ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo
T:
DemonstraçãoAfirmativa Justificativa
1. é diagonal (2ª propriedade)
2. Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
3.Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
4.
5.
Anna Luisa– Matemática 8
![Page 9: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/9.jpg)
Quadrilátero
4ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
DemonstraçãoAfirmativa Justificativa
1. Ângulos alternos internos.
2. Lados opostos (1ª propriedade).
3. Ângulos alternos internos.
4. Caso A.L.A..
5. Lados correspondentes em triângulos congruentes.
Resumindo:
Num paralelogramo:
← os lados opostos são congruentes;
← cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
← os ângulos opostos são congruentes;
← as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
Propriedade característica do retângulo.
As diagonais de um retângulo são congruentes.
Anna Luisa– Matemática 9
![Page 10: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/10.jpg)
T: ABCD é retângulo.
H: .
a) Triângulos
Sendo R o raio da circunferência circunscrita, r o da inscrita e p = o semiperímetro, a área de um triângulo pode ser calculada das seguintes formas:
Anna Luisa– Matemática 10
![Page 11: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/11.jpg)
b) Retângulo
c) Paralelogramo
d) Trapézio
e) Losango
f) Quadrado
Anna Luisa– Matemática 11
![Page 12: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/12.jpg)
ESCOLA ESTADUAL PROF. ANDRONICO DE MELLOMATEMÁTICA
PROFª ANNA LUISALista de Exercicios
Ângulos
Anna Luisa– Matemática 12
![Page 13: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/13.jpg)
Anna Luisa– Matemática 13
![Page 14: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/14.jpg)
Áreas
Anna Luisa– Matemática 14
![Page 15: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/15.jpg)
1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):
a)
b)
c)
d)
e)
2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? 3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? 4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?
5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:a) a = 25 e b = 12b) a = 14 e b = 10
6. Os "Nove Capítulos sobre a Arte Matemática" é um compêndio chinês de Matemática, com mais de 2300 anos de idade. Nele, encontramos este problema: determine o diâmetro do círculo inscrito no triângulo de lados 6, 8 e 10. Calcule você esse diâmetro.
Resp: 4
7. Seja um triângulo ABC eqüilátero de lado 2. No interior desse triângulo, cuja área é , foi escolhido arbitrariamente um ponto P. Determine a soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo.
Resp:
8. Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras a seguir:
Anna Luisa– Matemática 15
![Page 16: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/16.jpg)
a.) Calcule a área do triângulo ABC.Resp:
b.) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC.
Resp: . A área do triângulo ABC é maior do que a área do paralelogramo.
9. Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a.) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.
Resp: 2,25 mb.) Calcular a área do triângulo ABC.
Resp:
10. Na figura adiante, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semicircunferência de centro A e raio AB=AC=AD=R.
A diagonal forma com os lados e ângulos e , respectivamente. Logo, determine a área do quadrilátero ABCD.
Resp:
11. Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura adiante:
Anna Luisa– Matemática 16
![Page 17: Geometria Plana](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061508/5571f21d49795947648c306e/html5/thumbnails/17.jpg)
O lado tem a mesma medida que e vale 6m. O ângulo mede 30°. Calcule a área do terreno.
Resp:
12. A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2. Determine a área da região hachurada.
resp: 913. Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por
uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura. Determine a área (em m2) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura.
Resp: 80 14. Para um quadrado de lado a, determine: o raio da circunferência circunscrita a ele, seu
apótema e sua área.
Resp: e a2
15. Dado um triângulo eqüilátero de lado a, determine: o raio da circunferência circunscrita a ele, seu apótema e sua área.
Resp: e
16. Para um hexágono regular de área , determine a área da coroa circular formada
pelas circunferências inscrita e circunscrita à ele.
Resp:
Anna Luisa– Matemática 17