O QUE É A GEOMETRIA PROJETIVA

A Geometria Projetiva é o campo da matemática que estuda as relações que se estabelecem entre

o objeto real e sua imagem projetada, sendo assim, podemos dizer que é a geometria do que vemos e, como tal, compartilha o caráter não-euclidiano das geometrias que se propõem a

descrever o mundo físico.

EUCLIDIANA X PROJETIVA

“Enquanto na Geometria Euclidiana pode haver retas que não se interceptam, na Geometria Projetiva isto nunca ocorre. Imagine uma estrada de ferro retilínea, os trilhos nunca se cruzam. Na prática, os trilhos de trem são retas paralelas, mas retas que se encontram no horizonte, no infinito. “Essa é uma das características marcantes da geometria projetiva, duas retas quaisquer sempre se interceptam” (AUFFINGER;VALENTIM, 2003)

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVAA história da geometria projetiva começa na Itália do século XV, junto com o Renascimento. As pinturas eram, na sua maioria, planas e chapadas, sem conexão com o mundo real. Os temas tratados eram religiosos e simbólicos.Os artistas passaram a necessitar de técnicas e conceitos novos para que a sua obra se tornasse uma boa representação da realidade, logo, introduziram os conceitos de ponto de fuga e perspectividade.

Curved Throne

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVAA Geometria Euclidiana com suas noções de semelhança e de equivalência de figuras mediante as congruências, não era capaz de atender ás novas necessidades.

Foi então surgindo, de modo intuitivo, a noção de Perspectiva nos trabalhos dos pintores.

Duccio di Buoninsegna (1255-1319) e Giotto di Bondone (1267-1337), dois pintores em cujas pinturas já começavam a aparecer a relação dos objetos pintados com o tridimensional, desenvolveram uma teoria intuitiva da perspectiva que influenciou outros pintores.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA

Duccio,The Annunciation

Giotto, L’ultima cena

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA

Duccio,The Annunciation

Giotto, L’ultima cena

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVAEm 1435 apareceu o primeiro texto sobre perspectiva, De Pictura, escrito por Leon Battista Alberti(1404-1472).

Seu trabalho foi aprimorado e estendido pelo pintor e matemático Piero della Francesca (1418 - 1492 ), autor de De prospectiva pingendi.

No auge da Renascença, Leonardo da Vinci (1452-1519) e Albrecht Durer (1471-1528) escreveram tratados sobre perspectiva em que apresentavam a Teoria Matemática da Perspectiva e colocavam a sua importância para a pintura.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVADemorou cerca de dois séculos para que essas ideias pudessem ser formuladas matematicamente.

Foi apenas em 1639, século XVII, com o célebre e pioneiro trabalho sobre a teoria geométrica das cônicas, o Broullion Projet, que Girard Desargues (1591-1661) formalizou esses conceitos.

É importante também salientar que, durante este período, o astrônomo Johann Kepler fez várias contribuições à Geometria Projetiva, sendo atribuído a ele a invenção do Ponto Ideal.

No século XVIII, Gaspard Monge, motivado por aplicações à engenharia, escreveu um texto de introdução à Perspectiva e à Geometria Projetiva.

GEOMETRIA PROJETIVA E A ATUALIDADE

A relevância da geometria projetiva para obter as representações realistas planas de objetos tridimensionais está atualmente fazendo o estudo da geometria projetiva um pré-requisito para o estudo da computação gráfica. O valor desse pré-requisito está se aprimorando, uma vez que a computação gráfica usa a representação analítica de pontos e retas por coordenadas homogêneas e a representação de transformações de matrizes desenvolvidas na geometria projetiva.

GIRARD DESARGUES• Desargues era Matemático,

engenheiro militar e arquiteto francês de Lyon, considerado um da fundadores de moderna geometria com sua conceituação de Geometria Projetiva.

• Participou do círculo dos mais importantes matemáticos de sua era, como Marin Mersenne (1588-1648), Rene Descartes (1597-1650), Étienne Pascal (1588-1651) o filho e seu discípulo Blaise Pascal (1623-1662), Abraham Bosse (1602-1676) entre outros.

• Sua principal obra foi Brouillon projet d'une atteinteaux événements des rencontres dún cone avec un plan (1639).

PLANO PROJETIVO REALSeja dado um centro de projeção O. Do ponto de vista projetivo, são equivalentes todos os pontos, distintos de 0, que estão sobre um mesmo raio passante por 0.

Isto estabelece uma partição do espaço tridimensional real, menos o ponto 0, em classes de equivalência. O Plano Projetivo Real é o conjunto destas classes.

PLANO PROJETIVO REAL

O plano projetivo real pode ser imaginado como sendo o plano Euclideano acrescido de uma reta e um ponto. O ponto é considerado ponto no infinito da reta e a reta, como reta no infinito do plano.

PLANO PROJETIVO REALCada reta passante por 0 e paralela a π , exceto uma, tem um representante na reta H . Portanto, o plano projetivo real pode ser imaginado como sendo o plano Euclideano acrescido de uma reta e um ponto. O ponto é considerado ponto no infinito da reta e a reta, como reta no infinito do plano.

É fácil ver que, no plano projetivo, duas retas distintas se intersectam sempre num ponto. Com isto, as relapoes de incidencia entre retas e pontos na Geometria Projetiva tornam-se mais simetricas do que na Geometria Euclidiana.

AXIOMAS DE INCIDÊNCIAGEOMETRIA EUCLIDIANA

• Dois pontos distintos determinam uma reta com a qual são incidentes.

• Duas retas distintas tem no máximo um ponto com o qual são incidentes.

GEOMETRIA PROJETIVA

• Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta com a qual são incidentes.

• Duas retas distintas determinam um e somente um ponto com o qual são incidentes.

TEOREMAS• DOIS TRIÂNGULOS E UMA PERSPECTIVA

Teorema (Desargues). Dois triângulos ABC e A'B'C1 estăo em perspectiva central se, e somente se, os prolongamentos de AB e A’B' , BC e B'C’, AC e A'C, determinam três pontos colineares.

TEOREMASTeorema (Pascal). Se os seis vértices de um hexágono estão sobre uma cônica, então os três pontos de intersecção dos pares de lados opostos são colineares.

Jean Victor Poncelet (1788-1867)• No final do século 18, início do século 19, floresceu na Ecole

Polytechnique de Paris, uma escola de geometria cujo inventor era Gaspard Monge e a qual pertenceram entre outros, Poncelet, Carnot e Brianchon.

• Poncelet enquanto prisioneiro na Rússia em 1813-14 após a dramática retirada Napoleônica, na tentativa de reconstituir o que havia aprendido de geometria com Monge, redescobriu a Geometria Projetiva.

• Poncelet foi o primeiro a reconhecer a Geometria Projetiva como um novo ramo da matematica e se propôs a achar todas as propriedades geometricas das figuras que são invariantes por projeções e seções.

• O trabalho de Poncelet baseia-se sobre três idéias básicas.

FIGURAS HOMOLÓGASPoncelet define duas figuras como sendo homólogas, quando uma pode ser obtida da outra, mediante uma sequência de projeções e seções.

A idéia, uma redescoberta do método de Desargues e Pascal, consiste em encontrar uma figura mais simples do que a original e homóloga a ela, estudar as suas propriedades que são invariantes por projeções e seções e assim obter propriedades da figura mais complexa. Um exemplo disto, e a redução que Pascal fez de um teorema sobre cônicas a um teorema sobre o círculo.

PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE

"Se uma figura e obtida de uma outra por mudanga continua, e a ultima e tão geral quanto a primeira, entâo qualquer propriedade da primeira pode ser enunciada imediatamente para a segunda figura".

Obs.: As objeções ao princípio são a de que o conceito de generalidade de figuras é vago e de que não é fornecida nenhuma demonstração deste princípio.

PRINCÍPIO DE CONTINUIDADEUma possível aplicação do princípio é a "obtenção" do teorema de Pappus a partir do Teorema de Pascal;

Para que o princípio funcione em várias situações, Poncelet teve que introduzir, além dos pontos no infinito do espaço projetivo, a noção de pontos imaginários. Do ponto de vista geométrico, estes pontos estão envolvidos por uma auréola de mistério.

PRINCÍPIO DE CONTINUIDADEPor exemplo:Dadas duas cônicas no plano real que se intersetam em 4 pontos distintos. Dois círculos distintos tem no máximo dois pontos em comum. Como os círculos podem ser obtidos por deformações contínuas das cônicas, dois pontos de intersecção das cônicas simplesmente desapareceriam nas figuras transformadas. Estes dois pontos na geometria de Poncelet são considerados imaginários e chamados de Pontos Circulares no Infinito.

RECIPROCAÇÃO POLARHavia sido notado que vários teoremas de geometria continuavam válidos quando se intercambiavam retas e pontos nos enunciados. Isto é a base do Princípio de Dualidade, um dos objetivos de Poncelet ao estudar a reciprocação polar, foi o de tentar dar uma prova do princípio de dualidade.O caso mais simples de reciprocação polar, é o de reciprocação em relação a um círculo.

A reciprocação polar respeita as relações de incidência.

BIBLIOGRAFIA

• http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GerardDs.html - História de Girard Desargues;

• Boyer, Carl B. História da Matemática. Editora Edgard Blucher Ltda, 1991.

• ANTÔNIO CARLOS AUFFINGER E FÁBIO JÚLIO DA SILVA: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PROJETIVA PELO DMAT NA UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO (2003).

• Boyer, Carl B.História da Matemática. Editor Edgard Blucher Ltda, 1991.

• A TEORIA DA PERSPECTIVA FUNDAMENTADA PELA GEOMETRIA PROJETIVA-MARIA MADALENA SANTOS E NADJA LISBOA.