geometria proyectiva (aroca - bermejo)

Geometrıa Proyectiva

J.M. Aroca M.J. Fernandez Bermejo

11 de abril de 2009

Indice general

1. Introduccion a la geometrıa 51.1. El objeto de la geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Los espacios abstractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. La forma del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. La geometrıa proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5. Los teoremas de Desargues y Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6. Introduccion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Retıculos. Espacios proyectivos generalizados 432.1. Retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2. Dimension en retıculos modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3. Isomorfismos de retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4. Espacios proyectivos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5. Colineaciones y proyectividades. Homologıas . . . . . . . . . . . . 722.6. Cuerpo asociado a un espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . 80

3. Espacio proyectivo 873.1. Dependencia lineal. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2. Referencias proyectivas. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.5. Inmersion del espacio afın en el proyectivo . . . . . . . . . . . . . 1103.6. Apendice: Topologıa de los espacios proyectivos . . . . . . . . . . 122

3.6.1. Esferas y espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.6.2. Topologıa del plano proyectivo real . . . . . . . . . . . . . 127

4. Razon doble. Cuaternas armonicas 1314.1. Razon simple y coordenadas afines . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2. Razon doble de cuatro puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3. Razon doble y coordenadas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . 1414.4. Cuaternas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5. Redes de racionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3

4 INDICE GENERAL

5. Proyectividades 1555.1. Rectas de isomorfismos semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2. Proyectividades de Poncelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.3. Colineaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4. Afinidades y Proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6. Clasificacion de proyectividades 1816.1. Equivalencia lineal de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2. Grupo lineal de un cuerpo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.3. El grupo general proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.3.1. Proyectividades de P1K y P2

K . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.3.2. Elementos invariantes de una proyectividad . . . . . . . . 195

6.4. Homologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7. Cuadricas proyectivas 2057.1. Geometrıa de las cuadricas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1.1. Cuadricas y formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . 2057.1.2. Ortogonalidad y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.2. Correlaciones y polaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.3. Clasificacion de las cuadricas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . 224

7.3.1. Cuadricas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.3.2. Homogeneidad de las cuadricas. Teorema de Witt . . . . . 235

7.4. Cuadricas afines. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.4.1. Cuadricas con centro y sin centro . . . . . . . . . . . . . . 2437.4.2. Clasificacion de las cuadricas afines (K algebraicamente

cerrado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.4.3. Clasificacion de las cuadricas afines (K = R) . . . . . . . 246

Capıtulo 1

Introduccion a la geometrıa

Alejaos de todas las curiosidades apasionantes.Sobre todo no os dejeis embrujar por los diabolicosatractivos de la geometrıa: nada hara tanto como

ellos para extinguir en vosotros el espıritu interiorde gracia y recogimiento.

Fenelon. Cartas espirituales

En esta introduccion presentaremos brevemente algunas reflexiones sobre elobjeto y naturaleza de la geometrıa que nos conduciran a la razon de ser de lageometrıa proyectiva. No pretendemos escribir ni una historia de la geometrıani un tratado filosofico sobre el concepto de espacio, intentamos simplementemostrar que hay una pregunta basica: ¿que es el espacio?, que no solo es legıtimohacerse, sino que se han hecho a lo largo de la historia numerosos matematicosfısicos y filosofos dando respuestas, a veces enormemente complejas, que hanconducido a un mejor conocimiento del universo o al menos de la forma en quelo percibimos. Y aquı entramos en otra pregunta igualmente basica y legıtimaque la anterior: ¿Las matematicas estudian objetos existentes o son una meraespeculacion?. ¿Los matematicos descubrimos o inventamos?.

1.1. El objeto de la geometrıa

En un artıculo sobre los principios de la geometrıa publicado en la Enci-clopedia de las Matematicas [14], F. Enrıques senalaba que el objetivo de la

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA GEOMETRIA

geometrıa es el estudio del espacio, pero distinguıa tres espacios distintos:

1. El espacio intuitivo habitual. Es el constituido por objetos ideales, puntosrectas planos etc. tal como los concibe nuestra imaginacion. Dichos objetoshan de ser definidos y su comportamiento ha de ser regulado por medio deunas reglas o axiomas. Una vez hecho esto, el metodo de la geometrıa esesencialmente deductivo, limitandose a aplicar las reglas de la logica paraobtener propiedades de esos objetos, propiedades que son consecuenciasmas o menos difıciles de obtener de las definiciones y axiomas, pero queno corresponden necesariamente a hechos observables.

2. El espacio fısico. Constituido por objetos reales cuyas propiedades nos sonconocidas por experiencia. La geometrıa obtiene por un proceso deductivonuevas propiedades que se pueden comprobar despues experimentalmente,y es capaz de justificar hechos observados.

3. Los espacios abstractos. Es decir espacios mas generales que podemos ob-tener de los espacios fısicos, por procesos de abstraccion o generalizacion,los objetos que conforman estos espacios no son idealizacion de objetosreales, son objetos inventados y en principio su estudio tiene solo interespor si mismo.

Resulta imposible separar con claridad las tres categorıas, lo mas que pode-mos hacer es apreciar si una determinada manera de concebir el espacio tienemas de una que de otra. En principio el primer objetivo de las geometrıas es darun modelo mas o menos ideal del mundo fısico y el segundo que sus resultadossean aplicables, la distancia entre el objeto fısico y su modelo marca el gradode generalidad de la geometrıa, pero cuanto mas quiere abarcar una geometrıamenos puede decir, ya que al aumentar el numero de objetos a considerar dis-minuyen sus propiedades comunes, ası tenemos el riesgo de construir una teorıatan general que no tiene casos particulares (G. Ancoechea). Desde un puntode vista logico, es razonable pensar que los primeros modelos de la geometrıacorresponden a descripciones del espacio fısico, luego se deberıa pasar por unafase de idealizacion para concluir con un proceso de abstraccion. Sin embargo elorigen de la geometrıa como ciencia se situa generalmente despues de un proce-so sistematico de idealizacion, el de Euclides, de modo que comenzaremos porel primero de los espacios, es decir el espacio descrito por una serie de defini-ciones y axiomas, irreprochables desde un punto de vista logico, pero que nocorresponden exactamente a objetos reales aunque permiten crear una ciencia,la geometrıa, cuya existencia real nadie puede discutir.

El que los objetos ideales de la geometrıa sean proximos a la realidad noes necesariamente una ventaja, por ejemplo para P. Abellanas la semejanzaentre los objetos definidos y los reales solo puede enturbiar el razonamiento almezclarlo con la intuicion, ası refiriendose a los procesos de fundamentacion dela matematica del pasado siglo escribıa:

La nueva fundamentacion de la matematica se apoya en un principio biensimple que se puede enunciar ası: para poder demostrar con rigor las proposi-ciones es necesario vaciar de contenido a los conceptos primitivos, limitandonos

1.1. EL OBJETO DE LA GEOMETRIA 7

a establecer el mecanismo logico permitido y las relaciones fundamentales entredichos conceptos.(P. Abellanas [2])

Esta era tambien la idea de D. Hilbert, que, aunque en sus Grundlagen[24], se referıa a los axiomas como hechos fundamentales de nuestra intuicion,posteriormente en respuesta a una carta de G. Frege [16] en la que este decıaque los axiomas proceden de una fuente que no es logica y a la que llamabaintuicion del espacio, Hilbert afirmaba:

Desde que empece a pensar, a escribir y a dar cursos sobre estas materias,digo siempre lo contrario: si axiomas arbitrariamente propuestos no se contra-dicen ni lo hacen tampoco sus consecuencias, son ciertos, y las cosas definidaspor ellos existen. Estos son para mi los criterios de verdad y existencia.

Por su parte en [35] H. Poincare escribıa : Los axiomas no son ni juiciossinteticos a priori ni hechos experimentales, son convenios. Nuestra eleccionentre todos los convenios posibles se hace en base a hechos experimentales; peroes libre y esta limitada solamente por la necesidad de evitar contradicciones. Deeste modo los postulados pueden resultar rigurosamente ciertos aunque las leyesexperimentales que hayan sugerido su adopcion sean solo aproximadas. En otrosterminos, los axiomas de la geometrıa son solo definiciones enmascaradas. Lacuestion de la veracidad de la geometrıa no tiene sentido

Tambien se situa en esta lınea un libro delicioso publicado en 1923 [18]. Suautor, un geometra olvidado, el Vizconde de Guell, se expresaba de modo masapasionado:

El espacio del geometra no existe, no tiene realidad fısica, ni necesita paranada someterse a las condiciones que dimanan de los objetos reales en movi-miento o en reposo. Es un espacio ıntegramente ideal, espacio pensado, espacioinventado, espacio construido por el entendimiento abstracto y a cuyas propie-dades no atanen nada las exigencias que puedan derivarse de la realidad. Nadiepuede negarle al intelecto humano el perfecto derecho a construir esa nocion, aprecisarla y a determinarla idealmente segun las leyes rigurosas del pensamientologico.

El paradigma de la geometrıa como estudio de los espacios ideales es Eucli-des, con sus Elementos de geometrıa [22]. Para P. Abellanas, la geometrıa, comotoda entidad dotada de vida propia, tiene un codigo genetico y una historia, y suporvenir es consecuencia de ambos. Los genes de la geometrıa son los Elementosy su historia es una espiral que retorna periodicamente a ellos.

El primer libro de los elementos comienza con veintitres definiciones, cincopostulados y cinco axiomas. Las definiciones son a veces simples descripciones,no demasiado precisas, de conceptos primitivos ası por ejemplo:

Un punto es un objeto indivisible

Una lınea es una longitud sin anchura

Una superficie es un objeto que solo tiene longitud y anchura

Para Euclides los limites de las lıneas son puntos y los de las superficies lıneas.De entre las lıneas destaca las lıneas rectas y las circunferencias, definiendolas


de un modo a primera vista impreciso y alejado de nuestra forma actual deexpresarnos, pero difıcilmente mejorable:

La recta es la lınea que se extiende igualmente respecto a todos sus puntos(es decir la lınea que es dividida por cualquiera de sus puntos en dos partesiguales). El cırculo es una figura plana encerrada por una lınea tal que, todaslas rectas que pasan por un determinado punto (el centro), que se encuentradentro de la figura, la cortan en partes iguales entre si (ver figura 1.1.)

P x

P P

A A

A

B B

B

Figura 1.1: Cualquiera de sus puntos divide a la recta en dos partes iguales, y cualquier

diametro lo hace con la circunferencia

No vamos a entrar en todas las definiciones de los Elementos, que no sonsino las de los objetos comunes de la geometrıa metrica. Senalemos unicamenteque Euclides no define ni utiliza los grados como medida de angulos, y defineel angulo recto como el angulo formado por una recta y otra a la que corta demodo que los angulos que se forman a ambos lados son iguales.

Resulta interesante enunciar los axiomas (hechos comunes) y postulados to-mados de la version de los Elementos hecha por Heath [22]

Axiomas(1).- Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sı.(2).- Si se anaden iguales a iguales, los todos son iguales.(3).- Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.(4).- Las cosas que coinciden una con la otra son iguales entre sı.(5).- El todo es mayor que la parte.Postulados(1).- Se puede trazar una unica recta de cualquier punto a cualquier punto.(2).- Se puede prolongar un segmento de recta continuamente en lınea recta.(3).- Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y radio.(4).- Todos los angulos rectos son iguales entre sı.(5).- Si una recta corta a otras dos, contenidas en un mismo plano, de modo

que la suma de los angulos interiores situados a un mismo lado es menor que


dos rectos, las dos rectas, prolongadas suficientemente, se cortan en el lado enque la suma es inferior a dos rectos.

Como puede apreciarse, los axiomas expresan verdades que dependen uni-camente de los conceptos que figuran en su enunciado, es decir son lo que Kantllamaba juicios analıticos, y se refieren a un dominio mas amplio que la geo-metrıa, el de la logica.

Los postulados afirman la posibilidad de efectuar determinadas construccio-nes primitivas, son de naturaleza puramente geometrica, y anaden algo a losconceptos que figuran en su enunciado, son juicios sinteticos en la terminologıade Kant.

De entre los postulados del primer libro de los Elementos, el que ha tenidomas repercusion es el quinto postulado, que se ha hecho celebre con un enunciadoligeramente diferente al inicialmente propuesto por Euclides, aunque equivalentea el.

Si se definen las lıneas paralelas como aquellas que prolongadas indefinida-mente no se cortan (definicion 23 de Euclides), el quinto postulado es equivalentea la afirmacion: por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una pa-ralela a ella. Tambien es equivalente a la afirmacion de que la suma de los tresangulos interiores de un triangulo es de dos rectos.

Muchos geometras anteriores a Euclides admitıan el quinto postulado, perootros, tanto anteriores como posteriores, pensaron que deberıa ser un teorema,es decir que podıa ser demostrado como consecuencia de los restantes axiomasy postulados. Fueron necesarios dos mil anos para llegar a la conclusion deque el quinto postulado es realmente independiente de los restantes axiomas ypostulados de la geometrıa euclıdea.

Los libros de Harsthorne [21] o Gray [19] contienen buenos estudios sobreel origen y desarrollo de las geometrıas no euclıdeas, es decir de aquellas en lasque no se verifica el quinto postulado, y algunos de lo artıculos fundacionalesde esta rama de la geometrıa se encuentran en el libro de Stilwell [41]. Comoveremos mas tarde, estas geometrıas abren una de las vıas para la aparicion deespacios abstractos.

La axiomatica de Euclides no es unica. En vez de intentar que nuestras de-finiciones describan objetos reales de modo mas o menos aproximado, podemosrenunciar a ello y aplicar un proceso de abstraccion en lugar de la idealizacion;en este proceso los objetos basicos no se presentan como modelos de objetos fısi-cos, sino como conjuntos que verifican unas ciertas propiedades. Ası podemosdescribir algunos espacios de un modo muy simple:

El espacio sera simplemente un conjunto, a cuyos elementos se llamara pun-tos, y las rectas y planos seran ahora subconjuntos del espacio que verificaran,por ejemplo, los postulados siguientes (cuyo origen es indudablemente fruto deun proceso de observacion de rectas y planos como objetos fısicos, pero que sonlo bastante poco exigentes como para que los cumplan objetos muy generales) :

1. Dos puntos distintos pertenecen a una recta y solo a una.

2. Tres puntos no situados en una misma recta, pertenecen a un plano y auno solo.


3. La recta determinada por dos puntos de un plano esta contenida en elplano.

4. Dos planos que tienen un punto comun, necesariamente tienen un segundopunto comun.

El ejemplo mas simple de un espacio que verifica estos postulados, es el conjuntode cuatro puntos:

E3 = {A,B, C, D}con las rectas:

R = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B, C}, {B,D}, {C,D}}

y los planos:

P = {{A, B,C}, {A,B, D}, {A,C,D}, {B, C, D}}

Ası podemos ver a que extremos conduce la sustitucion de un objeto porsu modelo ideal; las condiciones que se exigen al modelo (axiomas) no son ne-cesariamente las que describen el objeto modelizado y solo a este, se exigensolamente las condiciones mınimas que permiten manejar el modelo. De estemodo la teorıa elaborada es aplicable no solo a los objetos de partida, sino aotros que verifiquen las condiciones iniciales, y como senalabamos al principio,cuanto menores sean las exigencias mayor sera el numero de objetos que las cum-plan, y mas lejos estaran de lo que nuestra intuicion reconoce como geometrıa;este proceso de generalizacion algunas veces es esteril, pero otras lleva al desa-rrollo de sistemas formales cuyas aplicaciones se descubren con posterioridad asu elaboracion, de modo que, como dice P. Griffiths:

Uno de los misterios profundos de la vida es la forma en la cual la mejor ma-tematica pura, interesante por sı misma, inexplicablemente e impredeciblementeresulta ser util.

Y en el caso de la geometrıa, esta utilidad no es privativa de la geometrıaconstruida con un sistema de axiomas proveniente de nuestra intuicion del es-pacio, tambien ramas tan alejadas de la intuicion como las geometrıas finitas,han resultado tener interesantes aplicaciones a problemas practicos como es elde codificacion.

Hemos elegido la geometrıa de Euclides como ejemplo de geometrıa del es-pacio ideal. Para presentar la geometrıa como ciencia del mundo fısico el mejorejemplo es probablemente la geometrıa de Hemholtz (1821-1894). Fısico, fisiolo-go y especialista en optica, Hemholtz se situa en una lınea de identificacion de lageometrıa con la descripcion del mundo fısico, que comienza en Galileo y New-ton. Hemholtz considera la geometrıa como el lenguaje exacto de la naturaleza,como una teorıa que, gracias al caracter abstracto y logico de sus conceptos ymetodos, proporciona la garantıa de una aplicabilidad efectiva de las matemati-cas al estudio del mundo real. (Texto recogido en [7]).

El trabajo de Hemholtz es coetaneo e independiente del de B. Riemann, queafronta el problema de describir el espacio fısico desde una optica puramente


matematica, es decir desde el punto de vista que antes hemos llamado ideal,pero tratando de describir la realidad, por una parte de un modo mas precisoque Euclides y por otra de modo que abarque tambien la posibilidad de ununiverso no euclıdeo. Son muy significativos los tıtulos de las publicaciones queambos dedican al problema del espacio, la de Hemholtz se titula :Sobre loshechos que estan en los fundamentos de la geometrıa [23], mientras que el tıtulode la de Riemann [38] es: Sobre las hipotesis que estan en los fundamentos dela geometrıa.

Segun Hemholtz resulta claro que percibimos cosas; ademas el origen denuestras sensaciones es independiente de nuestra actividad mental y exterior anosotros. Nuestras percepciones pueden originarse en algo que simplemente esta,la materia, o en algo que actua sobre nosotros o produce cambios, las fuerzas. Elespacio no es mas que una relacion entre los distintos objetos y el movimiento esel cambio de esta relacion. El espacio comprende todos los cambios que puedenproducirse en la materia, es decir los movimientos. Ası Hemholtz introduce enla geometrıa las transformaciones, y tambien introduce las funciones, ligadas alos grados de libertad (dimension). Para Hemholtz:

El espacio se extiende hasta el infinito y es infinitamente divisible.

Se admiten infinitas determinaciones del espacio diferenciadas por la di-mension; en un espacio de dimension n se puede fijar la presencia de unpunto material mediante n cantidades independientes (coordenadas) quevarıan de forma continua (diferenciable) al moverse el punto.

En el espacio hay subespacios de todas las dimensiones, cada subespaciode dimension t esta dado por n− t ecuaciones, la lınea es el subespacio dedimension uno.

La longitud de la lınea mas corta entre dos puntos se llama distancia; sila distancia entre dos puntos A y B es a y la distancia entre B y C es b,la distancia entre A y C no puede ser menor que a− b ni mayor que a+ b.

Existen en el espacio sistemas de puntos y solidos rıgidos, que se puedendesplazar libremente por el.

Si un cuerpo material se desplaza, todas sus partes mantienen inalteradasu posicion relativa. Si dos segmentos tienen la misma longitud se puededesplazar uno de ellos hasta hacerlo coincidir con el otro.

Si un cuerpo se desplaza, las coordenadas de sus puntos varıan continua-mente.

El planteamiento de Hemholtz presenta algunas lagunas logicas, y fue discu-tido por muchos de sus coetaneos, pero desde el punto de vista de hoy presentaclaras novedades respecto a su epoca; la primera es la introduccion de los movi-miento como elemento fundamental de la geometrıa, la segunda la admision dela existencia fısica de los espacios de dimension arbitraria y la tercera, aunqueno es el primero que propone la idea, es la consideracion de la metrica como un


objeto local, ya que la distancia se presenta como solucion de un problema va-riacional (un problema de mınima longitud de las curvas que unen dos puntos).Esa es precisamente la idea de Riemann, para medir longitudes de curvas bastacon medir vectores en cada espacio tangente, y que los coeficientes de la metricavarıen diferenciablemente con el punto. A la metrica de cada espacio tangente sele exige que verifique el teorema de Pitagoras, es decir que sea definida positiva.Un proceso de integracion permite medir curvas, y la distancia, como hemosdicho, es el mınimo de las longitudes de las curvas que unen dos puntos. Ası lasrectas son las lıneas de mınima distancia, las geodesicas, y no hay problemapara definirlas. En esencia el metodo de trabajo con los espacios abstractos esel mismo que usaba Gauss con las superficies, pero para dar el salto entre lageometrıa de las superficies y la geometrıa de los espacios abstractos, es decirencontrar la relacion entre metrica y forma, todavıa fue necesario algun tiempomas.

La relacion de la geometrıa del mundo fısico con la geometrıa ideal, o masprecisamente la determinacion de cuales de los resultados de la geometrıa corres-ponden a hechos comprobables experimentalmente y cuales son simplementedefiniciones, es el primer problema a resolver ya que:

Las figuras de la geometrıa son objetos ideales, a los que las figuras materialesdel mundo real solo pueden aproximarse, sin verificar nunca plenamente laspropiedades que las caracterizan. Ademas para comprobar experimentalmente lainvariabilidad de la forma de un cuerpo, y la presencia en el mismo de rectasy planos, nos hace falta utilizar proposiciones relativas a ellas, de modo quese hace necesario encontrar una suerte de demostracion experimental de estasproposiciones(Hemholtz)

El merito de este planteamiento es que, junto con las geometrıas no euclıdeasde Lobatchewski y Bolyai, abre la puerta a las dos formas actuales de concebirel tercer objeto de la geometrıa, los espacios abstractos.

La primera se inicia en Riemann (1826-1866) como hemos dicho de modosimultaneo e independiente del trabajo de Hemholtz. Riemann se fija unicamenteen las funciones que definen las coordenadas, el espacio para el era lo que hoy endıa se conoce por una variedad diferenciable riemanniana de curvatura nula [31].La segunda se fija en los movimientos y alcanza su culminacion en el Programade Erlangen de Klein [29], para este, una geometrıa es un conjunto junto con ungrupo que actua sobre el de modo transitivo, las propiedades geometricas sonaquellas que son invariantes por la accion del grupo. La geometrıa de Hemholtzencaja en este modelo; S. Lie caracterizo los grupos que corresponden en elcontexto de Klein a los espacios fısicos de Hemholtz, y para ello desarrollo lateorıa de los llamados hoy en dıa grupos de Lie [17].

1.2. Los espacios abstractos

El modelo de la geometrıa de Klein es el modelo abstracto mas proximo ala Fısica, Yaglom [44] recoge un texto de Galileo que pone de manifiesto estaproximidad. En ese texto, demasiado largo para ser incluido aquı, Galileo nos

1.2. LOS ESPACIOS ABSTRACTOS 13

situa en un barco con moscas, mariposas, un pez en una pecera, una botella quegotea en un plato etc., y nos hace observar el movimiento de los animales, lacaıda de la gota etc., con el barco quieto y luego con el barco desplazandose conun movimiento uniforme. No hay diferencia en la apreciacion de los movimien-tos en ambos casos; es decir: los fenomenos observados son independientes decambios de una referencia, a otra que se desplaza respecto a ella con movimientouniforme y rectilıneo (transformaciones de Galileo). Ası, la mecanica clasica esuna geometrıa para el grupo de transformaciones de Galileo.

Tambien estan en la Fısica algunas de las razones por las cuales,a pesar desu admitida independencia del mundo real, la geometrıa se interesa en espaciosde dimension mayor que tres e incluso de dimension infinita.

Si lanzamos una barra al aire y tratamos de describir su movimiento, bas-tara describir el movimiento de sus extremos, llamemosles A y B. Uno, porejemplo A, se mueve libremente es decir sus posiciones quedan parametrizadaspor los puntos de R3 y para cada una de sus posiciones, B esta situado en unaesfera de centro A y radio la longitud de la barra. Por tanto las posiciones de labarra estan en correspondencia con los puntos de un espacio de dimension 5. Elmovimiento de la barra es una curva continua en ese espacio y las magnitudesfısicas asociadas al movimiento se pueden definir en terminos geometricos sobreel.

Si en vez de una barra tratamos con un sistema de n partıculas, el espacioque parametriza sus posiciones (espacio de estados) seria R3n, lo que podemosobservar (observables) son las funciones sobre ese espacio, funciones que formanun algebra conmutativa, de esta forma el par (espacio de estados, observables)es decir (espacio, anillo de funciones) describe tambien el sistema mecanico.

En la mecanica cuantica, los puntos materiales se substituyen por distribu-ciones de probabilidad, y el espacio de estados es el espacio de rayos de un espaciode Hilbert, los observables son operadores acotados en el espacio, y la estructuradel conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert, es la de algebrano conmutativa (algebra de Von Neumann), ahora la estructura geometrica esmas complicada y esta ligada a un tipo de estructuras completamente distintasde las correspondientes a la mecanica clasica.

Si queremos estudiar nuestro sistema fısico no solo globalmente sino tambienlocalmente, entramos en otra forma de espacio abstracto. Tenemos que conside-rar ahora todos los abiertos del espacio de estados y los anillos de observablesen ellos, de esta forma se obtiene otro concepto de geometrıa que vuelve al deRiemann. Ahora: una geometrıa es un espacio topologico junto con un haz defunciones. Abstrayendo su origen y limitandonos a las geometrıas diferencial oanalıtica real, exigiremos condiciones mas precisas. Una geometrıa es un par(X,F) donde:

X es una variedad topologica de dimension n, o lo que es lo mismo unespacio topologico separado localmente homeomorfo a Rn, es decir tal queexisten: un recubrimiento abierto {Ui}i∈I de X, abiertos {Vi}i∈I de Rn,y homeomorfismos (cartas locales) φi : Ui ' Vi, ∀i ∈ I.

F es un haz de funciones en X, es decir es una familia {F(U)}U∈∆ (donde


∆ es el conjunto de abiertos de X ) verificando las propiedades siguientes:

1. Cada F(U) es un subanillo del anillo de funciones continuas sobre Ucon valores reales.

2. La familia es cerrada por restricciones, es decir si U, V ∈ ∆, U ⊂ V ,F(U) contiene a la restriccion a U de toda funcion de F(V ).

3. La familia es cerrada por recoleccion es decir si {Ui}i∈I es un recubri-miento abierto de U y todas las restricciones de una funcion continuaf : U → R a los abiertos Ui estan en los F(Ui), entonces f ∈ F(U).

4. Las cartas locales inducen, por composicion, isomorfismos locales delhaz de funciones diferenciables sobre Rn en F

En los espacios ası descritos aparecen dos elementos claramente diferencia-dos, el espacio base de la geometrıa y el haz de funciones. El primero no es unespacio topologico arbitrario; ya que entre las condiciones impuestas esta queel espacio construido es localmente isomorfo a un modelo y que esos isomorfis-mos locales pegan los modelos de una forma determinada. Esto impone ciertasrestricciones a la estructura global del espacio; en la geometrıa diferencial realel modelo local es el que ya hemos indicado, en la geometrıa analıtica complejaes Cn con las funciones analıticas, y en la algebraica, el espectro de un algebragenerada finitamente sobre un cuerpo (esquema afın). Tambien se pueden elegirespacios convenientes para admitir la presencia de singularidades, o se puedenanadir mas condiciones, una metrica, una estructura compleja, etc.. Cada uno delos dos elementos que intervienen en la geometrıa, tiene un papel propio, aunqueambos no son completamente independientes, e incluso las condiciones impues-tas pueden dar lugar a geometrıas rıgidas, esto es determinadas unıvocamentepor la topologıa.

Para entender el papel del espacio base podemos recurrir a un cuento escritopor Weeks [43]utilizando ambientes y personajes de Abbot [1]. Sus protagonistasson animales fabulosos, las planarias. Ellas y su mundo planilandia (flatland),son descritas ası por Abbot:

Imaginaos una amplia hoja de papel en que lıneas, rectas, triangulos, cua-drados, pentagonos, hexagonos y otras figuras, en vez de permanecer fijas ensus lugares, se movieran libremente por todas partes, sobre la superficie o masprecisamente dentro de la superficie, sin la capacidad ni de poder alzarse porencima ni de poder hundirse por debajo de ella, muy parecidos a sombras, soloque consistentes y con los bordes luminosos, y poseereis una nocion bastantecorrecta de mi paıs y de mis paisanos

Weeks introduce la revolucion en planilandia. Uno de sus habitantes, llamadoC.C. (Cristobal Colon, claro esta), intenta convencer a sus paisanos de quehabitan sobre una esfera. La nocion de esfera es tan abstrusa para una planaria,como la de 3-esfera (que describiremos mas adelante) para nosotros, de modoque la tarea de C.C. es realmente compleja. Afortunadamente tiene una ideagenial; para demostrar a sus paisanos la veracidad de su teorıa, saldra de supueblo caminando hacia el norte en lınea recta y aparecera por el sur tras dar lavuelta a su universo. Felizmente su mundo es pequeno y completa la expedicion


en poco tiempo. Pero a su regreso continua chocando con la incredulidad desus paisanos que le hacen ver amablemente, que ademas de estar loco tiene unapierna mas corta que otra y, creyendo andar en lınea recta, se ha movido en uncirculo por la llanura.

C.C. no se desanima y recurre a un nuevo experimento. Repetira el viajemarcando el camino con una lınea roja, y luego hara un nuevo viaje saliendopor el este para regresar por el oeste. Ası midiendo los pasos caminados en estesegundo viaje, si lo que sus paisanos dicen es cierto, la distancia desde el puebloal punto en que encuentre la lınea roja, sera distinta de la distancia recorridadesde este punto hasta llegar de nuevo al pueblo. Si, por el contrario, son igualesel es quien tiene razon. Completa la primera expedicion e inicia la segunda ytras mucho caminar y antes de encontrar la lınea roja, ve ante si otro pueblo.Corre sorprendido a saludar a sus desconocidos habitantes y al acercarse se dacuenta de que esta de nuevo en su punto de salida. Esta vez CC decide ingresarvoluntariamente en el manicomio, por suerte, ya en la puerta, tuvo la suficienteintuicion del espacio para comprender que habitaba sobre una rosquilla.

La historia de C.C. habrıa sido aun mas difıcil si planilandia hubiera sidouna banda de Mobius, en este caso se habrıan intercambiado su izquierda y suderecha tras su primera vuelta al mundo. Esta perspectiva hace terrorıfico unviaje de circunnavegacion en un universo tridimensional, ya que en uno de lostipos posibles de geometrıa de un tal universo, se pueden intercambiar el dentroy el fuera del viajero.

Esta fabula nos hace apreciar el papel de la topologıa del espacio base en lanaturaleza global del espacio. El papel del haz de funciones es diferente, permitedescribir coordenadas locales, medir cuando es posible hacerlo, y sobre todopermite definir las transformaciones propias de la geometrıa y en consecuenciadetermina las propiedades geometricas.

El espacio topologico base no determina el haz de funciones; el ejemplo massimple lo proporcionan las curvas elıpticas, estructuras analıticas complejas noisomorfas montadas sobre el mismo espacio topologico base, el toro bidimensio-nal. Un ejemplo mas sofisticado y puramente real es el que suministro Milnorconstruyendo dos estructuras diferenciales no isomorfas sobre la esfera de di-mension 7.

Ası se puede apreciar que se abren dos problemas generales completamentedistintos: el de clasificar modulo homeomorfismos las variedades topologicas yel de clasificar diferenciable o analıticamente todas las variedades diferenciableso analıticas con espacio base prefijado. Estos problemas de clasificacion son deenorme importancia, no cabe entender el interes de los matematicos por elloscomo una aspiracion de semejarse a zoologos. En su momento conocer la formay el tamano de la tierra fue un problema central para la humanidad, hoy lo esconocer todas las formas posibles del universo, y saber de entre ellas cual es lareal.

Volviendo a las superficies, hemos visto en nuestra fabula que podemos dis-tinguir un toro de una esfera y ello de forma puramente topologica. Cabe pre-guntarse ahora por la cantidad de superficies esencialmente distintas que po-demos encontrar, y cuando decimos esencialmente distintas, queremos decir no


isomorfas topologicamente (es decir no homeomorfas).Normalmente se suelen describir de forma intuitiva los espacios homeomorfos

como aquellos que se pueden transformar uno en otro por una deformacionsin cortar ni agujerear. El inconveniente de esta descripcion es que de formainsensible imaginamos nuestros espacios como subespacios de R3 y ası perdemosprecision; por ejemplo un aro de cuerda es homeomorfo al resultado de cortarloanudarlo y volverlo a pegar y sin embargo, no es posible en general deshacerel nudo deformandolo en R3 sin cortar la cuerda de nuevo. Por tanto hay quedistinguir los problemas de clasificar espacios mediante las relaciones:

Dos espacios X e Y son equivalentes si y solo si son homeomorfos

Dos espacios X e Y sumergidos en un espacio Z son equivalentes si y solosi existe un homeomorfismo de Z en Z que transforma X en Y

Ambos son problemas muy distintos, que ademas admiten variantes, equiva-lencia homotopica, isotopıa etc extremadamente sutiles. Si nos limitamos a laprimera clasificacion y para superficies compactas y conexas, es bien sabido queel grupo de Poincare (grupo fundamental) suministra un sistema completo deinvariantes. mas precisamente:

El abelianizado del grupo fundamental de una superficie conexa compacta Xes:

Z2g si X es orientable.

Zg−1 × Z/2 si X es no orientable.

Dos superficies son homeomorfas si y solo si los abelianizados de sus gruposfundamentales son isomorfos.

El numero g se llama el genero de la superficie; entonces dos superficiesorientables son homeomorfas si y solo si tienen el mismo genero y lo mismosucede con las no orientables. En particular, la unica superficie compacta yconexa simplemente conexa (es decir con grupo fundamental trivial) es la esferade dimension 2 (2-esfera). De esta forma hemos encontrado un sistema completode invariantes para la clasificacion de las superficies por homeomorfıa.

De forma optimista podrıamos intentar buscar un resultado similar para di-mension tres, es decir buscar un sistema completo de invariantes para variedadestopologicas tridimensionales, pero el problema es enormemente mas complicado.

Para entender un poco mas el grado de complejidad del problema , tratemosde imaginar como es la 3-esfera, es decir la esfera en el espacio de dimensioncuatro. Naturalmente cabe pensar en la 3-esfera como el conjunto de los puntos(x, y, z, t) del espacio real de dimension 4 que verifican la ecuacion:

x2 + y2 + z2 + t2 = 1

Ahora bien esta ecuacion no da idea de la forma de esfera, para acercarnosmas podemos recurrir a la proyeccion estereografica, es decir la proyeccion dela esfera desde uno de sus puntos (polo de la proyeccion), sobre el hiperplano


tangente en el punto diametralmente opuesto. Como la aplicacion es un ho-meomorfismo de la esfera menos el polo sobre el hiperplano la n-esfera serıa elresultado de anadir al espacio de dimension n un punto en el que se colapsarıatodo el infinito, pero ası solo se ven bien las esferas de dimensiones 1 y 2 paralas que esta descripcion no es tampoco necesaria.

Un metodo topologicamente mas adecuado es comenzar por la esfera dedimension 0, es decir los puntos +1 y −1 en la recta. Estos puntos limitan labola de dimension uno, que es el segmento de extremos +1 y −1. Pegando dosbolas de dimension uno por su borde, es decir el +1 de la primera con el de lasegunda y lo mismo el −1, se obtiene topologicamente, es decir tras una pequenadeformacion, una circunferencia, que limita el cırculo o bola de dimension dos.Pegando dos cırculos por su borde se obtiene una esfera que encierra una bolade dimension tres, pegando dos bolas por su borde, es decir tomando dos esferasterrestres e identificando cada punto de la primera con el punto de la segundacon su misma longitud y latitud, se obtiene la esfera tridimensional.

A A' A = A' A A'

+ = + =

B B' B B'

B = B'

O O O γ

γ γ = γ'

+ = + =

γ' O' O'

O'

+ = ¿ ?

Figura 1.2: Pegando dos segmentos se construye una circunferencia, pegando por su borde

dos cırculos se obtiene una esfera, la 3-esfera resultante de pegar dos bolas por su borde no se

ve tan facilmente

Entonces, la traslacion a la 3-esfera de la caracterizacion topologica de la2-esfera, que serıa el escalon mas sencillo en la clasificacion de variedades tri-dimensionales, es la llamada conjetura de Poincare (ver [32]): la 3-esfera esconexa, compacta y simplemente conexa (es decir cualquier lazo trazado sobreella se puede contraer hasta cerrarlo en un punto). Poincare conjeturo que estas


propiedades son caracterısticas de la 3-esfera, es decir que toda variedad tridi-mensional conexa, compacta y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera.La conjetura de Poincare tiene una generalizacion natural:

Toda variedad topologica con los mismos invariantes (homologicos y ho-motopicos) de una esfera de dimension n es homeomorfa a ella.

Hemos visto la respuesta afirmativa a esta conjetura para n = 2, que eraya bien conocida en el siglo XIX. Para n mayor o igual que 5 la conjetura fueprobada en los anos 60 por Smale. En 1982 M. H. Freedman probo la conjeturapara n = 4 (ver [13]), mas aun proporciono una clasificacion completa de lasvariedades topologicas de dimension 4 compactas y simplemente conexas pormedio de dos invariantes.

Sin embargo en su formulacion inicial, es decir para la tres esfera, la conjetu-ra de Poincare ha permanecido abierta largo tiempo y solo muy recientementePerelman ha anunciado una prueba que en este momento aun no ha sido plena-mente aceptada. En general la geometrıa en dimension tres es muy complicada,por ejemplo entender las variedades diferenciales de dimension tres, fue el traba-jo de Thurston que le valio la medalla Fields en 1982 y fue la primera revolucionen la geometrıa en baja dimension. C.T.C. Wall en la descripcion de la obra deThurston hecha con motivo de su medalla Fields en el I.C.M. de 1983, observaque:

La topologıa en dimension 3 tenıa una fuerte tradicion de tecnicas de ”manos desnudas” y relativamente poca interaccion con otros temas, tras la obrade Thurston los argumentos directos continuan jugando un papel esencial, pero latopologıa 3-dimensional ha retornado a la corriente principal de las matematicas.

1.3. La forma del espacio

Una vez que tenemos un espacio abstracto cabe preguntarse hasta que puntosu geometrıa se puede reducir a una geometrıa ya estudiada, la forma massimple de hacerlo es tratar de sumergir nuestro espacio en otro conocido, porejemplo Rn, de forma que la inmersion conserve la geometrıa. El problema dela inmersion esta ligado entonces a la posibilidad de hablar de forma de unavariedad. En la geometrıa clasica,es decir trabajando con subconjuntos de R3,es razonable decir de una superficie que se curva o hablar de forma de unasuperficie. Esta idea intuitiva de forma se puede extender a Rn, pero un espacioabstracto no esta en un espacio ambiente, por tanto no parece tener sentido decirque un tal espacio se curva. Siempre podemos pensar en sumergirlo en otro paratener ası un ambiente, eso es posible con algunas restricciones y precisamenteun matematico espanol Flores de Lemus (ver [15]), fue uno de los pioneros enel estudio de este problema. Sin embargo esto no es estrictamente necesario ypara comprobarlo volvamos de nuevo a nuestra fabulosa planilandia, y esta veztomandonos, si cabe, mas libertades matematicas que en la visita anterior.

Imaginemos ahora una sola planaria llamada S situada en el centro de uncirculo de cien pasos de diametro. S avanza un paso hacia el borde, es decir encualquier direccion, y aunque ella no aprecia nada, nosotros observamos que su

1.3. LA FORMA DEL ESPACIO 19

tamano disminuye y lo hace en la cantidad precisa para que le sigan quedando100 pasos hasta el borde, y ası pasa cada vez, cuanto mas se acerca al bordese hace mas y mas pequena, y aunque para nosotros se aproxima a salir delcirculo, a ella le queda siempre la misma cantidad de camino por recorrer pa-ra alcanzarlo. Su universo, acotado desde nuestro punto de vista, es para ellainfinito.

Esta diferencia entre la vision del universo desde dentro y desde fuera, demodo que para un observador exterior un cambio de posicion lleva aparejadoun cambio de forma o tamano imperceptible para el que lo padece repugna anuestra intuicion, ya que nuestra percepcion del espacio es inicialmente tactil, ypor ello nos resulta difıcil dudar de la inmutabilidad de los objetos solidos. Perodesde el punto de vista matematico es facil construir este tipo de universos, elmas facil es el plano hiperbolico. La figura 1.3 corresponde al modelo de Poin-care del plano hiperbolico, las rectas son los arcos de circunferencia ortogonalesal borde del disco unidad, los giros con centro el centro del cırculo no tienenun comportamiento extrano, pero las homotecias con el mismo centro producenla disminucion de tamano a la que aludıamos antes. Se puede definir una dis-tancia en el interior del circulo con la cual tiene estructura de espacio metrico[30] [21] [41], las lıneas de mınima distancia (rectas) para esa metrica son, comohemos dicho, los arcos intersecados por el cırculo unidad en las circunferenciasortogonales a su borde, y la geometrıa del cırculo tiene las propiedades de laeuclıdea, salvo las derivadas del celebre quinto postulado(por un punto exteriora una recta se puede trazar una unica paralela a ella), que obviamente no esvalido en este espacio.

¿ Pero que tiene que ver esta metrica con la forma?. Imaginemos dos rectasparalelas en el plano situadas a igual distancia a uno y otro lado de una rectar y tracemos una curva asintotica a ambas rectas y simetrica respecto a r, acontinuacion giremos la figura en torno a r construyendo ası un cilindro derevolucion con una superficie en su interior asintotica al cilindro. Supongamosque la superficie es transparente e iluminemosla con un foco en el infinito paraque se proyecte en una pantalla ortogonal al eje del cilindro. Coloquemos ahoraa S en el vertice de la superficie. En la pantalla veremos un circulo con S ensu centro, si ahora S se mueve en la superficie, su sombra se desplazara porel cırculo, pero nunca llegara al borde, porque ahora S debera recorrer unadistancia verdaderamente infinita para que esto sucediera. El habitat de S tieneahora nuestra metrica, pero tiene forma y el efecto es el mismo. Es decir laforma no es sino una metrica distinta, y cabe hablar de curvatura de la metricaen lugar de curvatura del espacio.

De un modo formal podemos definir una metrica de Riemann en una variedaddiferenciable, como una familia de metricas en los espacios tangentes que varıandiferenciablemente con el punto. La longitud de un arco de curva diferenciablese calcula integrando la medida de su vector tangente, y la distancia se obtienecomo solucion de un problema variacional de mınimo de las longitudes de arcosque unen dos puntos. En particular, la metrica estandar de Rn induce unametrica de Riemann en sus subvariedades.

Schlafi conjeturo que dada una variedad diferenciable de dimension 2 con


Figura 1.3: Todos los angeles y todos los demonios son iguales para la geometrıa hiperbolica

una metrica de Riemann, la variedad se puede sumergir localmente en R3, demodo que la inmersion sea una isometrıa, si se dota su imagen de la metricainducida por la del espacio ambiente. La superficie imagen esta curvada y laforma de medir en ella es la usual; ası se puede considera que hablar de metricaes una manera de hablar de forma. La conjetura de Schlafi fue demostrada porJanet y Cartan [9], pero subsiste el problema de buscar condiciones para la exis-tencia de una inmersion isometrica global, que salvo en casos muy particularesesta abierto.

Una vez analizada la posibilidad de existencia de inmersiones, podemos vol-ver a plantear el problema de la clasificacion de variedades sumergidas en unespacio ambiente y hablaremos de ella solo en un caso particular:

Todos tenemos una idea intuitiva de los objetos geometricos llamados for-malmente nudos [3], basta tomar una cuerda anudarla de la forma que se desee


y pegar despues sus extremos, ası tenemos una figura homeomorfa a una cir-cunferencia pero que, a menos que hayamos hecho los nudos de una forma muyespecial, no puede transformarse en una circunferencia sin cortarla, desanudarlay volverla a pegar. Dos nudos que pueden transformarse uno en otro sin cortarla cuerda, se llaman equivalentes. Formalmente se consideran los nudos sumer-gidos en la esfera y orientados, y se llaman isotopos si existe un homeomorfismolineal a trozos de la esfera en si misma que conserva la orientacion y transformauno en otro. Una propiedad compartida por un nudo y los equivalentes a el sellama un invariante.

La primera propuesta de clasificacion sistematica de nudos se debe a un fısi-co, P. Tait. Tait se intereso por la clasificacion de los nudos porque en 1867 LordKelvin conjeturo que los atomos eran tubos anudados de eter. Ası el intento deTait de clasificar los nudos y las coligaciones, (una coligacion o link es una colec-cion de nudos entrelazados), por los puntos de cruzamiento de sus proyeccionesplanas, abrıa aparentemente la puerta a una fundamentacion de la clasificacion(Sistema periodico) de los elementos quımicos.

Cuando una veintena de anos despues, el modelo de Kelvin desaparecio, yaestaba lanzado a los matematicos el desafıo de la clasificacion de nudos. El poli-nomio invariante de Alexander, descubierto en 1927, resulto ser una herramientamejor que las empleadas por Tait y los resultados de Brauner y Burau encami-nados a describir localmente y desde el punto de vista real las curvas analıticasirreducibles complejas, que veremos a continuacion, dieron nuevo interes a lateorıa de nudos, esta vez dentro exclusivamente de las matematicas:

Una curva analıtica plana es el conjunto de ceros de una funcion analıticacompleja de dos variables. El plano complejo se puede identificar al espacio realde dimension cuatro, y, como la anulacion de una funcion compleja equivale ala anulacion de sus partes real e imaginaria, una curva analıtica compleja sepuede visualizar como una superficie real en R4 con una singularidad aislada enel origen. Esta superficie es transversal a una tres esfera centrada en el origen yde radio suficientemente pequeno, de modo que la interseccion de ambas es unacurva esferica cerrada y no singular. La proyeccion estereografica de esta curvaes un nudo en R3, nudo que no depende de la esfera (si el radio de esta es losuficientemente pequeno).

La forma del nudo es muy curiosa. Un toro hueco se obtiene pegando unasuperficie cilındrica por sus extremos, cuidando de no anudarla. Tiene por tantodos agujeros, el central y el envuelto por la superficie cilındrica. Si consideramosun toro y arrollamos sobre el una cuerda que antes de cerrarse da m1 vueltas entorno al agujero central y n1 en torno al otro, tenemos un nudo torico de genero1. Si ahora inflamos la cuerda para convertirla en un toro anudado y repetimosel proceso tenemos un nudo torico de genero dos y ası sucesivamente. Braunery Burau probaron que las curvas analıticas daban lugar a nudos toricos de ge-nero finito y que los exponentes caracterısticos del nudo (m1, n1), . . . , (mg, ng),que son un sistema completo de invariantes del mismo, se podıan calcular di-rectamente a partir de las series de potencias de exponentes fraccionarios quePuiseux habıa demostrado eran las soluciones de la ecuacion (ecuaciones de lasramas). Este resultado sirvio a Zariski como base de la llamada teorıa de la


equisingularidad una de las ramas mas estudiadas de la geometrıa algebraica enlos anos 70.

A finales de los 80 Cameron, Gordon y Luecke probaron que los complemen-tos de dos nudos son homeomorfos si y solo si los nudos son isotopos, resultadoque no es valido para las coligaciones. De este modo el estudio de los nudos esde enorme interes para la clasificacion topologica de las variedades de dimensiontres, al menos de aquellas que son complementos de nudos. Salvo para un tipomuy particular de nudos, las variedades complementarias de los nudos admi-ten una estructura hiperbolica (son precisamente las variedades estudiadas porThurston).

Al mismo tiempo V. Jones hizo otro descubrimiento sorprendente, esta vezrelacionado con una estructura muy proxima a los nudos, las trenzas. Una trenza(braid) no es mas que una coleccion de cuerdas que unen puntos situados enplanos paralelos y se han entrelazado entre sı sin anudar unas con otras. Dostrenzas del mismo numero de cuerdas se pueden componer sin mas que unir losextremos de las cuerdas de la primera con los orıgenes de las de la segunda,ası se puede dotar al conjunto de clases de trenzas, de un numero de cuerdasdado, de una estructura algebraica de grupo. Artin en 1923 dio una descripcionde estos grupos en terminos de generadores y relaciones. Claramente una trenzada lugar a una coligacion si se pegan los extremos de las cuerdas que la forman.Alexander probo en 1928 que todas las coligaciones se pueden obtener de estaforma.

V. Jones en 1984 descubrio una relacion entre las algebras de Von Neumannde las que hemos hablado en conexion con la mecanica cuantica y los gruposde trenzas: Los conjuntos de generadores y relaciones de las algebras de VonNeumann coinciden con los de los grupos de trenzas, ası los grupos de trenzasy las coligaciones tienen una vıa natural de conexion con la mecanica cuantica.

Usando esta analogıa Jones descubrio en 1987 un nuevo polinomio invariantede los nudos y abrio un camino para busqueda de polinomios invariantes (enpoco tiempo aparecieron media docena mas de ellos, uno de los cuales el HOM-FLY fue descubierto simultaneamente por seis matematicos cuyas iniciales dannombre al polinomio) y tambien abrio la puerta a los trabajos de E. Witten queextendio estos invariantes a tres variedades generales (es decir no necesariamen-te complementarias de nudos). Otro de los resultados esenciales de Witten hasido la interpretacion de los invariantes de Jones como integrales de Feynman deuna teorıa gauge tridimensional, esta interpretacion permite extender la teorıade Jones de nudos en la esfera tridimensional a nudos en variedades arbitrariasde dimension tres.

Claramente quedan justificadas las palabras de M. Atiyah referidas a Witten:En este amplio y excitante campo, en el que trabajan muchos de los fısicos y

matematicos mas importantes del mundo, Edward Witten se presenta como lafigura mas influyente e importante. Aunque es definitivamente un fısico, y ası lodemuestra claramente su lista de publicaciones, pocos matematicos rivalizan conel en el dominio de las matematicas, y su habilidad para interpretar ideas fısicasen forma matematica es unica. Una y otra vez ha sorprendido a la comunidadmatematica por sus brillantes aplicaciones del punto de vista fısico para obtener


nuevos y profundos teorema matematicos.Se vuelve ası a la idea de Hemholtz, la geometrıa esta ligada de modo indi-

soluble al mundo fısico, y no solo para interpretarlo, hay un proceso de retro-alimentacion que lleva de nuevo los resultados observables a ideas geometricasa menudo enormemente abstractas.

Para terminar esta introduccion debemos decir algo sobre la geometrıa denuestro universo (ver [27]). Durante mucho tiempo los cosmologos pensaronque la teorıa de la relatividad general suministra suficiente informacion paraconocer la geometrıa del espacio-tiempo, pero las ecuaciones de Einstein querelacionan la curvatura con la materia son de naturaleza puramente local ypara conocer la estructura global de nuestro espacio necesitamos no solo conocerla curvatura sino tambien informacion sobre la topologıa del universo. En unartıculo reciente, Cornish y Weeks [10] establecen de modo claro la situacionactual de nuestro conocimiento del problema, aceptando como es habitual lashipotesis de homogeneidad e isotropıa del universo.

Esta aceptacion no es gratuita. En 1965 Penzias y Wilson descubrieron unresto de la gran explosion que dio origen a nuestro universo, una radiacion demicroondas a aproximadamente tres grados Kelvin a la que se denomina por sussiglas CMB. La isotropıa de esta radiacion permite suponer, a gran escala, queel universo admite secciones espaciales tridimensionales de curvatura constante,es decir que el continuo espacio-temporal es R × M, donde M es una tresvariedad de curvatura constante. La metrica en la seccion Mt correspondientea un instante t es producto de un factor de escala por la metrica estandar decurvatura constante.

F

C F = A D

E D B B

C E E

C A =F D

Figura 1.4: La recta corta a los lados de las cuadrıculas en puntos A, B, C, ... que aparecen

en el borde de la cuadrıcula seleccionada cuando todas las demas se pegan sobre ella

Debemos pues describir las variedades de dimension tres de curvatura cons-tante, O (modelo euclıdeo), 1 (modelo elıptico) y -1 (modelo hiperbolico). Con


estas hipotesis en los casos elıptico e hiperbolico la topologıa determina comple-tamente la geometrıa, es decir al suponerse la curvatura constante, dos varieda-des elıpticas o hiperbolicas homeomorfas son isometricas, lo que no sucede conlas elıpticas.

Volvamos por ultima vez al mundo plano, pero ahora a uno mas parecido alnuestro, un universo bidimensional con un mundo circular en cuya superficie,la circunferencia, vive una planaria. El mundo esta iluminado por un sol y eluniverso es un toro.

B G F

E E

A A

S

C C

D D

P

B G D

Figura 1.5: En un Universo bidimensional toroidal con una sola estrella, el observador verıa

estrellas en todas direcciones, mas debiles en brillo cuando corresponden a dominios mas

distantes.

Podemos representar un toro como cociente del plano euclıdeo por el grupode traslaciones generado por las traslaciones de vectores (1, 0) y (0, 1), es deciren un sistema cartesiano de coordenadas cuadriculamos el plano mediante rectasparalelas a los ejes para obtener ası cuadrıculas de lado uno, luego recortamoslas cuadrıculas y las pegamos todas sobre una de ellas y, por ultimo, pegamosunos a otros lados del borde de esta, identificando cada punto de un lado con elque ocupa la misma posicion en el lado opuesto. Como mapa del toro usamosesta unica cuadrıcula, bien entendido que si salimos de ella por un punto delborde volvemos por el punto del lado opuesto que se identifica con el. En lafigura 1.4 se representa una recta en el plano sobre las cuadrıculas a la izquierday en una sola de ellas a la derecha, aparecen solo un numero finito de segmentosporque la recta es de pendiente racional, si fuera de pendiente irracional no secerrarıa nunca y darıa lugar a un conjunto denso en el plano.

En virtud de la construccion que acabamos de senalar, si el universo es losuficientemente pequeno la planaria verıa su cielo tachonado de estrellas, to-das ella imagenes ilusorias de su sol, resultado de dar la luz vueltas alrededordel universo. La diferencia de las distancias aparentes a las estrellas producirıa


variaciones en su brillo que harıa creer a la planaria que se trataba realmen-te de estrellas distintas como se aprecia en la figura 1.5. (Claro esta que unespectrometro la podrıa sacar de su error).

Nuestro Universo podrıa ser similar con una dimension mas, por ejemplo enel caso de curvatura cero, podrıa ser un toro espacial resultado de identificarcaras opuestas en un paralelepıpedo. En un caso ası y al igual que le pasaba ala planaria, cabrıa la posibilidad de que alguna de las galaxias que observamosfuera la nuestra, pero eso es difıcil de averiguar. Hay un experimento mas facily que esta ya en marcha basado en la CMB.

A B C E

R

D D P Q

F F

S

A B C E

Figura 1.6: En un Universo bidimensional toroidal las circunferencias ultima emision se

cortan en puntos, si les anadimos una dimension mas se cortarıan en cırculos. Actualmente se

intenta detectar esos cırculos, que de encontrarse determinarıan la topologıa del universo

En cierto sentido la CMB contiene registros de la gran explosion, los fotonesde la CMB se originan, segun el modelo cosmologico que usamos, aproxima-damente a los 300.000 anos de la explosion, en un momento en que el universocompleto esta lleno de plasma que se condensa a gas. Ası esos fotones se originanen todos los puntos del universo y viajan isotropicamente en todas direcciones,de este modo los que llegan a nosotros en cada momento se han originado enuna esfera que nos tiene por centro: la esfera de ultima emision. Y lo mismosucede para cualquier otro observador del universo.

Desde nuestro punto de vista el mapa de la CMB presenta ligeras variacionesde temperatura de microondas; el mapa de la CMB correspondiente a otro puntodel Universo seria diferente, pero a lo largo de la circunferencia interseccion delas esferas de ultima emision, ambos mapas serıan iguales. Ahora bien si eluniverso es finito, nosotros lo vemos como si ocupasemos distintas posiciones ala vez, solo que los fotones que nos alcanzan corresponden a esferas de emisionde distintas epocas, eso motivarıa la aparicion de circunferencias en la CMB queserıan identificables y nos darıan una idea de la forma real de nuestro universo.


1.4. La geometrıa proyectiva

Nuestro objetivo en este texto es el estudio de los principios de una geometrıano euclıdea, ya que no verifica el quinto postulado, de naturaleza local (comoveremos mas adelante al hablar de la topologıa del espacio proyectivo real), peroque permite trabajar en el infinito y contiene a una geometrıa no local como esla euclıdea. Esta geometrıa paradojica es la geometrıa proyectiva.

La geometrıa proyectiva se ocupa de resultados geometricos que se puedenenunciar y demostrar sin utilizar angulos ni distancias (Poncelet [36]).

mas precisamente, la geometrıa proyectiva parte de unas figuras elementa-les: puntos, rectas, planos, etc., a las que llamamos subespacios y una relacionentre ellas, la relacion de incidencia, que es el nombre geometrico que designaindistintamente a las expresiones conjuntistas contenido y contiene.

Asociadas a la relacion de incidencia hay dos operaciones basicas entre sub-espacios, seccion de S1 por S2 que es simplemente la interseccion conjuntista, esdecir S1∩S2, y proyeccion de S1 desde S2 que es el mınimo subespacio, S1 +S2,incidente con ambos. Con este unico punto de partida y unas reglas mınimas,llamadas axiomas de incidencia, construimos nuevos objetos y estudiamos suspropiedades.

Estos nuevos objetos son esencialmente de dos tipos; pueden ser agregadosde objetos elementales, por ejemplo:

Un haz plano de rectas es el conjunto de rectas contenidas en un plano π yque pasan por un punto P ∈ π llamado vertice del haz. Una perspectividadcon eje en una recta r entre dos haces planos de rectas, ambos coplanarioscon r, es una correspondencia entre los haces que asocia a cada recta xdel primero la recta del segundo que pasa por x ∩ r. Naturalmente paraque la perspectividad este bien definida es necesario que r no contenga aninguno de los vertices de los haces. La composicion de perspectividadesse llama una proyectividad. Obviamente la nocion de proyectividad no selimita a los haces de rectas, y el estudio de las proyectividades y de laspropiedades invariantes por ellas es uno de los objetivos de la geometrıa.

Una configuracion plana de tipo (pα, rβ) 1 es un sistema de p puntos y rrectas del plano, tales que cada punto incide con un numero fijo α de rectasy cada recta con un numero fijo β de puntos. Por ejemplo, un triangulo esuna configuracion (32, 32).

Es claro que dados cuatro numeros al azar p, α, r, β, no existe una configu-racion (pα, rβ); veremos mas adelante que la existencia de determinadasconfiguraciones refleja propiedades del cuerpo base de la geometrıa, porejemplo la existencia de la configuracion (73, 73) equivale a caracterıstica2.

1El estudio de las configuraciones tiene numerosas aplicaciones en geometrıa y durante elprimer cuarto del siglo XX fue una de las ramas mas importantes de la geometrıa proyectiva.El libro de Hilbert y Cohn - Vossen Geometry and Imagination [25] contiene un capıtulodedicado a este tema.

1.4. LA GEOMETRIA PROYECTIVA 27

A

B

C

D

E

F

G

H

I

A’

B’

C’

D’

E’

F’

G’

H’

I’

Figura 1.7: La proyeccion paralela define una proyectividad que lleva A, B, C, .... a

A′, B′, C′, .... tenemos ası una proyectividad entre los haces de rectas, las rectas homologas se

cortan en una conica

Los nuevos objetos pueden ser tambien de naturaleza no lineal. Por ejemplo,como tendremos ocasion de comprobar, el lugar geometrico de los puntos decorte de rectas homologas en una proyectividad, que no sea perspectividad,entre dos haces coplanarios de rectas, es una conica (ver figura 1.7). Es decir,con una regla se pueden construir tantos puntos de una conica como se desee.

Como consecuencia de los axiomas, se puede asociar a cada espacio proyec-tivo un cuerpo, atribuir coordenadas a sus puntos y definir ecuaciones para lasfiguras geometricas. De este modo, no solo se establece un metodo algebraicode resolver mediante ecuaciones los problemas geometricos, sino que se puedeconstruir toda la geometrıa a partir del algebra lineal. Surgen ası dos formasdistintas y tradicionalmente antagonicas de entender la geometrıa proyectiva:

Utilizar unicamente los objetos geometricos elementales y la relacion deincidencia para probar los resultados, lo cual constituye lo que se entiendepor geometrıa sintetica.

Utilizar coordenadas, ecuaciones y la maquinaria del algebra para resolverlos problemas geometricos, tenemos ası la geometrıa analıtica.

La geometrıa proyectiva como la entendemos hoy, es el resultado de un largoproceso de evolucion que comienza con la geometrıa metrica griega y culmina enla obra de los geometras franceses y alemanes de la segunda mitad del siglo XIXy el primer tercio del XX. La trayectoria historica de la geometrıa transcurre en-tre las dos lıneas que acabamos de senalar, la geometrıa analıtica y la geometrıasintetica, de ellas hablaremos en la segunda seccion de este capıtulo, pero antesy para mostrar con mas precision la diferencia entre estas dos lıneas de pensa-


D

A

O B E

C F

T S

R

Figura 1.8: El teorema de Desargues en el plano real establece la existencia de una configu-

racion (103, 103)

miento, vamos a exponer dos ejemplo paradigmaticos, los llamados teorema deDesargues y teorema de Pappus.

1.5. Los teoremas de Desargues y Pappus

Los teoremas de Desargues y Pappus establecen respectivamente la existen-cia de las configuraciones planas (103, 103) y (93, 93) en el plano real, aunque susignificado geometrico es mas profundo. El teorema de Desargues es un resul-tado muy clasico, probablemente conocido por Euclides al menos en alguna desus formas reducidas, y que no fue publicado por Desargues sino por uno de susdiscıpulos A. Bosse [8], que lo atribuyo a su maestro. El teorema en si es muyimportante y extremadamente util para la geometrıa, pero es la demostracion deDesargues [11], por medio de proyeccion y seccion, la que hace que sea de interesexcepcional desde el punto de vista metodologico, ya que marca claramente ladistincion entre propiedades metricas y propiedades proyectivas en el espacio.

Dos triangulos, [A,B, C], [D, E, F ] del plano o el espacio reales, se dice queestan en posicion homologica si las rectas A+D, B+E, C +F , son distintas dosa dos y concurrentes en un punto O. Los pares de vertices (A,D), (B, E), (C,F )y los pares de lados (A + B,D + E), (B + C,E + F ), (A + C, D + F ) se llamanhomologos. Entonces se verifica que:

Teorema 1.5.1.– Si dos triangulos, [A,B,C], [D, E, F ] del plano o el espacioreales, estan en posicion homologica, y si:

(A + B) ∩ (D + E) = R, (A + C) ∩ (D + F ) = S, (B + C) ∩ (E + F ) = T

entonces R,S, T estan alineados (ver figura 1.8).

Demostracion: [Demostracion analıtica]

1.5. LOS TEOREMAS DE DESARGUES Y PAPPUS 29

Para probar el teorema fijaremos una referencia adecuada y asignaremoscoordenadas a los puntos que intervienen en el enunciado. En principio habrıaque hacer dos demostraciones distintas, para el plano y para el espacio, y dentrodel contexto en que nos movemos habrıa que elegir referencias cartesianas. Comosolo tratamos de dar un ejemplo, elegiremos una referencia afın y nos limitaremosal caso plano. La referencia mas razonable es la

R = {O : α.−→OA, β.

−−→OC}, con α.

−→OA + β.

−−→OC = −−→

OB.

En esta referencia los puntos del enunciado tendran las coordenadas: A : (a, 0), B :(1, 1), C : (0, c), D : (d, 0), E : (e, e), F : (0, f), con: a 6= 0, c 6= 0, d /∈{0, a}, e /∈ {0, 1}, f /∈ {0, c}.

Un calculo elemental y tedioso muestra entonces que:

R : (a(d− e) + (1− a)de

d− ae,e(d− a)d− ae

), S : (ad(c− f)cd− af

,cf(d− a)cd− af

)

T : (e(c− f)ec− f

,ef(c− 1) + c(e− f)

ec− f)

y como∣∣∣∣∣∣

d− ae a(d− e) + (1− a)de e(d− a)cd− af ad(c− f) cf(d− a)ec− f e(c− f) ef(c− 1) + c(e− f)

∣∣∣∣∣∣= 0

los tres puntos estan alineados.

Demostracion: [Demostracion sintetica]

O

D

E F T

A C S

B

R

Figura 1.9: Teorema de Desargues en el espacio de dimension 3


La demostracion geometrica comienza por el caso de espacio ambiente tridi-mensional (ver figura 1.9). Suponemos que α = A + B + C y β = D + E + Fson planos distintos, porque, en otro caso, estarıamos en el plano. Como:

(A + B) ∩ (D + E) = R, (A + C) ∩ (D + F ) = S, (B + C) ∩ (E + F ) = T

y A + B, A + C, B + C estan contenidas en α , y D + E, D + F, E + F , estancontenidas en β, entonces R, S, T ∈ α ∩ β y por tanto estan alineados.

El caso plano se reduce al caso de dimension tres por proyeccion y seccion.Llamamos α al plano de los dos triangulos, tomamos un punto P /∈ α y unsegundo punto Q ∈ (O + P )− {O, P}, y tal que ninguno de los pares de rectas(P +A,Q+D), (P +B, Q+E), (P +C, Q+F ) sean paralelas. Como las rectasde esos pares son coplanarias y no paralelas, son concurrentes y definen puntos:

M = (P + A) ∩ (Q + D), N = (P + B) ∩ (Q + E), L = (P + C) ∩ (Q + F )

que determinan un plano β.

P

Q

L M

N R

A D O S

B C

E

T F

Figura 1.10: Prueba del Teorema de Desargues plano por reduccion al caso tridimensional

Ası los triangulos [A,B, C], [M, N, L] estan en posicion homologica , y tam-bien lo estan los triangulos [D, E, F ], [M, N, L]. En consecuencia y por el teo-rema de Desargues del caso tridimensional, llamando r = α ∩ β, se verificaque:

(A + B) ∩ (M + N) ∈ r, (M + N) ∩ (D + E) ∈ r ⇒ (A + B) ∩ (D + E) ∈ r

y lo mismo sucede con los otros pares de lados homologos, (ver figura 1.10).Las hipotesis del teorema de Desargues son genericas, y se pueden dar versio-

nes degeneradas o reducidas del mismo, algunas de las cuales aparecen recogidasen la figura 1.11. En la primera de ellas se amplia la condicion de posicion ho-mologica, a triangulos tales que las rectas que unen pares de vertices homologossean paralelas, y lo mismo se hace en la tercera. Respecto a la condicion de quelos puntos de corte de lados homologos esten alineados que aparece en la tesis


del teorema, en las figuras primera y segunda se transforma en: si dos paresde lados homologos son paralelos, el tercero tambien, y en la tercera figura setransforma en que: la recta determinada por los puntos de corte de dos pares delados homologos es paralela al par de lados homologos restantes.

Figura 1.11: Algunos casos degenerados del Teorema de Desargues en el plano

Mediante proyeccion y seccion se puede transformar el caso generico en loscasos reducidos, de modo que una vez probado el primero, los segundos quedanprobados automaticamente. Vemos en primer lugar en la figura 1.12, como pro-yectar sobre un plano β desde un punto P , una recta r situada en un plano α.Para construir la recta proyeccion, basta observar que dicha recta es la intersec-cion de β con el plano P + r que pasa por P y r. Tomando el plano γ paraleloa β por P , (P + r) ∩ γ = s = P + O, O = r ∩ (γ ∩ α) es paralela a la rectaproyeccion t = β ∩ (P + r), ya que ambas son secciones de un plano P + r pordos planos paralelos γ y β. Entonces la construccion de la recta t se hace comosigue: Dados α, β, P y r ⊂ α, se construye el plano γ paralelo a β por P , sedibujan los puntos de corte de r con α∩ γ y con α∩ β, O y R respectivamente,se traza la recta s que pasa por P y O y la recta buscada e la paralela t a s porR.

En la parte inferior de la figura 1.12, se hace ver como las proyecciones dedos rectas, v, w que se cortan en α ∩ γ son rectas paralelas v1, w1 y como sepuede construir la proyeccion de un punto Q, tomando dos rectas v, u que secortan en el y proyectando ambas rectas, el punto de corte v1 ∩ u1 de las rectasproyeccion da la proyeccion T de Q desde P .

En la figura 1.13 se aprecia como una de las formas reducidas del teorema deDesargues se obtiene por proyeccion y seccion de la forma generica del teorema.Por tanto, una vez probada esta, quedan tambien probadas las formas reducidas.

Estas versiones degeneradas del teorema de Desargues , y otras que se puedendescribir facilmente, se reducen tambien a la version generica si consideramos delmismo modo las rectas paralelas y las secantes, esto puede hacerse anadiendoal plano un punto por cada direccion , de este modo anadimos al plano unarecta del infinito y establecemos que dos rectas son paralelas si y solo si tienenla misma direccion, esto es, pasan por el mismo punto de la recta del infinito.


P s Q

γ α

r

R

t β

P s t γ α

u v w

w1

v1 β u1

Figura 1.12: Construccion de la proyeccion de rectas y puntos del plano α sobre el plano β

desde el punto P

Ası alcanzamos uno de los principios basicos que sustentan la Geometrıaproyectiva, que es el de mirar el espacio desde fuera. Por ejemplo, si un planoπ es visto por el observador O (ver figura 1.14), los puntos, son las rectas quepasan por O. De este modo, junto a puntos ordinarios P, Q, R representadospor las rectas p,q,r, aparecen puntos del infinito representados por las rectasque pasan por O y son paralelas al plano π.

Una recta r es el conjunto de sus puntos, es decir el conjunto de rectas queunen O con todos sus puntos, o lo que es lo mismo rectas por O contenidas enel plano definido por O y r. Ahora aparece un nuevo punto en cada recta, elpunto del infinito, que es la recta r∞ por O paralela a r.

Dos rectas s, t paralelas en π, corresponden a dos planos por O que se cortanen una recta paralela a π que serıa el punto del infinito comun a ambas (verfigura 1.15). La presencia de los puntos del infinito, que como hemos visto sonaquellos puntos donde se cortan las rectas paralelas, introduce la simetrıa en losaxiomas de la geometrıa plana (por dos puntos distintos pasa una unica recta;dos rectas distintas se cortan en un solo punto) y permite, entre otros muchosresultados, establecer un principio de dualidad (si una proposicion relativa apuntos y rectas es valida, automaticamente es cierto el enunciado dual quese obtiene intercambiando punto y recta, contenido y contiene), ampliamenteexplotado por los geometras franceses.

El teorema de Pappus es una version degenerada de un teorema probado porBlaise Pascal (1623-1662) cuando solo tenıa dieciseis anos. Pascal fue alumno deDesargues y abandono las matematicas para dedicarse a la teologıa. El teorema,


P

A α

L B C

C1 A1

M N

Q N1 L1

M1

R β

Figura 1.13: Por proyeccion y seccion pueden obtenerse las formas degeneradas del teorema

de Desargues a partir de la forma generica

llamado por su autor mysterium hexagrammicum [40], establece que:

Teorema 1.5.2.– [Pascal] Si {A,B, C, D, E, F} es un hexagono inscrito en unaconica real no degenerada, los puntos de corte de pares de lados opuestos:

(A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A)

estan alineados(ver figura 1.16).Cuando la conica degenera en un par de rectas, la condicion hexagono inscri-

to se traduce en que hay tres vertices no contiguos del hexagono en cada una deellas, de modo que ninguno de los vertices coincide con el punto de interseccionde ambas. Ası se obtiene el teorema de Pappus :

Teorema 1.5.3.– [Pappus] Dadas dos rectas coplanarias r y s, tres puntosA,C, E sobre r y otros tres B,D, F sobre s, tales que ninguno de ellos es r ∩ s,los puntos:

(A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A)

estan alineados (ver figura 1.17).Este teorema es equivalente al siguiente:

Teorema 1.5.4.– Dados dos puntos del plano R y S, tres rectas a, c, e por R yotras tres b, d, f por S, tales que ninguna de ellas es R + S, las rectas:

(a ∩ b) + (d ∩ e), (b ∩ c) + (e ∩ f), (c ∩ d) + (f ∩ a)


Ο r∞

s∞

p t q r b

T r B

s P

Q

R

Figura 1.14: Los puntos ordinarios, vistos desde O son rectas que pasan por O y cortan al

plano π, cuando el observador de O mira al infinito, es decir paralelamente a π, aparecen los

puntos del infinito

son concurrentes (ver figura 1.17).Lo mismo que el teorema de Desargues, el de Pappus se puede probar en el

plano real por metodos analıticos, es decir, eligiendo una referencia afın adecua-da y trabajando en coordenadas. Tambien puede probarse de modo sintetico, apartir de un teorema del espacio por posterior proyeccion y seccion. Pero estavez la existencia de una proyeccion conveniente, que lleva una proposicion evi-dente del espacio al teorema de Pappus, deriva de un resultado de naturalezano lineal, que es el recogido en el siguiente teorema.

Teorema 1.5.5.– Dados seis puntos distintos dos a dos del espacio real tridi-mensional: {A,B, C, D, E, F}, tales que las rectas {A + B, C + D, E + F} y lasrectas {B+C, D+E, F +A} se cruzan dos a dos,y cada una de las tres primerasrectas corta a las tres segundas, entonces las rectas {A + D,B + E, C + F} sonconcurrentes.

Demostracion: Como A + B y D + E son concurrentes (ver figura 1.18),son coplanarias y las rectas A + D y B + E se cortan en un punto. El mismorazonamiento prueba que tambien lo hacen A+D y C+F , y B+E y C+F . Si lostres puntos de corte no coincidiesen estas tres rectas serıan coplanarias y tambienlo serıan los seis puntos en contradiccion con las hipotesis, en consecuencia elteorema se verifica.

Demostracion: [Teorema de Pappus en el plano real] Un calculo analıticoelemental prueba que el lugar geometrico de las rectas del espacio real tridimen-sional que se apoyan en tres rectas que se cruzan dos a dos, es una cuadricahiperbolica. En consecuencia las seis rectas de la hipotesis del teorema anterior


O r ∩ s

r

s

Figura 1.15: Dos rectas son paralelas si se cortan en el infinito

estan contenidas en una cuadrica hiperbolica (ver figura 1.18), de modo que lastres primeras pertenecen a una de las familias de generatrices y las tres segun-das a la otra. Tomando dos rectas r y s, una en cada una de las familias degeneratrices de la cuadrica y distintas ambas de la anteriores, r y s se cortanen un punto O de la cuadrica . Por proyeccion desde O sobre un plano que nocontenga a ninguna de las rectas usadas, se tiene un hexagono plano que cumplelas hipotesis de 1.5.4 y tambien la tesis.

El unico problema es construir para un hexagono plano que verifique lashipotesis de 1.5.4 otro espacial que verifique las de 1.5.5 junto con las rectas r ys del parrafo anterior y que se proyecte sobre el primero desde el punto O. Peroesa construccion es un ejercicio facil que dejamos al lector.

Hemos visto que hay un cierto paralelismo entre los dos teoremas presen-tados en esta seccion, ambos prueban la existencia de configuraciones planasmuy semejantes y en sus demostraciones geometricas se usan teoremas analogosen dimension tres. No obstante hay entre ellos una diferencia fundamental, elteorema de Desargues tridimensional depende solo de resultados formulables enterminos de incidencia pero no sucede lo mismo con el de Pappus. En la prue-ba de este ultimo interviene una cuadrica, pero esto no es el problema, ya quecomo hemos senalado al principio de este capıtulo, las conicas y las cuadricas sepueden definir en terminos de propiedades de incidencia; el problema esta en laexistencia de las dos familias generatrices lo cual requiere no solo la construccionde una proyectividad, sino el hecho de que una proyectividad entre rectas realesqueda determinada unıvocamente por las imagenes de tres puntos distintos, yaquı juega un papel esencial la propiedad conmutativa de la multiplicacion enel cuerpo base.

Como veremos posteriormente, ambos enunciados son independientes de losaxiomas de incidencia de la geometrıa plana, por lo cual pueden anadirse como


A

B

C

D

E

F

Figura 1.16: El teorema de Pascal es valido en condiciones genericas, o admitiendo que las

rectas paralelas se cortan en el infinito

axiomas. Ahora bien admitiendo Desargues plano como axioma, el enunciadode Pappus no es demostrable, debido a que para un plano sobre un cuerpo, esteteorema equivale a la conmutatividad de la multiplicacion, y existen cuerpos noconmutativos. Por la misma razon, es decir la existencia de cuerpos no conmu-tativos, aunque en un plano contenido en un espacio tridimensional se verificaautomaticamente Desargues, no necesariamente lo hace Pappus.

Sin embargo si se toma como axioma el enunciado de Pappus, el de Desargueses un teorema, es decir puede deducirse de los axiomas usuales de incidencia ydel axioma de Pappus (Teorema de Hessenberg)(ver [12]).

1.6. Introduccion historica

Desde un punto de vista formal, el creador de la geometrıa proyectiva fueGirard Desargues (1591-1661) , ingeniero y arquitecto frances que en su obraBrouillon-projet d’une atteinte aux evenements des rencontres du cone avec unplane [11] utiliza sistematicamente la proyeccion central, es decir la proyecciondesde un punto, para probar resultados geometricos y especialmente para obte-ner propiedades de las conicas. Es claro que la proyeccion. central no conserva nidistancias ni angulos, por tanto Desargues desvincula la geometrıa de la metricay en consecuencia cambia sustancialmente la primera. La geometrıa ya no es soloel estudio de las propiedades de las figuras derivadas de la medida de sus angu-los y distancias, incluye tambien propiedades proyectivas es decir propiedadesestables por proyeccion .

Hemos indicado que situamos el origen de la geometrıa proyectiva en Desar-gues solo desde un punto de vista formal, porque su obra, pese a los comentarioselogiosos de su amigo Descartes, no tuvo resonancia en su epoca ni reconoci-miento posterior hasta mediados del siglo XIX cuando ya habıa sido descubiertade nuevo por personas que no conocıan su existencia. La idea de usar la pro-

1.6. INTRODUCCION HISTORICA 37

A

C

E

B

F

D

r

s

R

S

a

b

c

d

e

f

Figura 1.17: Las dos figuras prueban claramente la equivalencia entre los enunciados 1.5.3,

1.5.4

yeccion central para probar resultados geometricos, sobre todo relativos a lasconicas, aparece fugazmente en varios autores, Pascal , La Hire , Mac Laurin oLambert son los mas conocidos. Pero el momento en que esta idea adquiere unpapel estelar no llega hasta el primer cuarto del siglo XIX con la obra de VictorPoncelet (1788 -1867).

Poncelet, oficial de artillerıa del ejercito de Napoleon, antiguo alumno deMonge en la Escuela Politecnica, decide reescribir la geometrıa en la prisionrusa en que estuvo confinado tras el desastre de la gran armada. El resultadode su trabajo ve la luz en 1822 con el titulo: Traite des proprietes projectivesdes figures [36], y su forma, completamente nueva, de entender las propiedadesgeometricas es la siguiente:

... Una figura cuyas partes no guardan entre ellas mas relaciones que lasindestructibles por efecto de la proyeccion, se llamara figura proyectiva. Estasrelaciones y en general todas las propiedades que subsisten a la vez en la figuradada y en todas sus proyecciones se llamaran propiedades proyectivas....

Al adoptar esta postura, Poncelet ademas de olvidar la metrica hace aparecerde modo fısico el infinito. La introduccion del infinito para resolver problemasde perspectiva arquitectonica se debe tambien a Desargues pero no se usa sis-tematicamente hasta Poncelet .

La obra fundamental de Poncelet hace explotar una polemica que veniagestandose entre los geometras desde hacia mas de un siglo. La introduccion delos metodos cartesianos en geometrıa habıa transformado a esta en subsidiariadel analisis algebraico, todos los problemas geometricos se resolvıan mediantecoordenadas y los metodos y razonamientos de los Elementos de Euclides pa-recıan condenados a desaparecer. La nueva geometrıa proyectiva no se podıareducir a coordenadas y en palabras de Carnot iba a librar a la geometrıa delos jeroglıficos del analisis. Como hemos indicado, Poncelet no es el creador dela polemica analıtico versus sintetico, pero su geometrıa da un arma, en ese


A

CE

BDF

O

r

s

Figura 1.18: Los lados del hexagono ABCDEF se apoyan en las rectas r y s que se cortan

en O. Los pares de lados opuestos son coplanarios al pertenecer a dos familias distintas de

generatrices del hiperboloide

momento definitiva, a los geometras sinteticos, cuya situacion a principios delXIX era bastante precaria.

Monge habıa impulsado grandemente la geometrıa descriptiva, geometrıa cu-yo objeto es la representacion plana de figuras espaciales. Esta geometrıa cubrıa,y cubre hoy casi todas las necesidades de la ingenierıa, pero desde el punto devista del matematico deja mucho que desear y Poncelet conocıa los resultadosde Dupin que probaban que resulta imposible reflejar mediante dibujos planostodas las propiedades geometricas de una figura tridimensional. Por ello Pon-celet busca un camino completamente nuevo y su situacion de aislamiento leayuda a hacerlo, aunque sus condiciones de trabajo no fueran las ideales:

Esta obra es el resultado de las investigaciones que realice, desde la prima-vera de 1813, en la prision de Rusia. Privado de todo tipo de libros y de ayuday, sobre todo, distraıdo por las desventuras de mi patria y las mıas propias, nohe podido darle toda la perfeccion deseable.

Poncelet no olvida en absoluto la metrica y sus enunciados tienen muchas


O π''

P Q� π S

R

Q'

R' P'

S'

Figura 1.19: La proyeccion de un cuadrilatero puede ser un rectangulo, es decir ni angulos ni

razones de distancias son invariantes por proyeccion, en cambio cuadrilatero si es una nocion

proyectiva

veces contenido analıtico. La misma tonica se mantiene en los continuadoresde su trabajo, y es Von Staudt (1798 - 1867) quien en su Geometrie der La-ge (1847)[42] desliga totalmente ambas geometrıas, limitando las operacionesde la geometrıa proyectiva a conceptos proyectivos. Ası, libera tambien la geo-metrıa proyectiva de su vinculacion al cuerpo real, y con ello desaparece otrode los conceptos poco comprendidos hasta el momento, el de punto imaginariointroducido tambien por Poncelet [36].

Es un hecho curioso, que la aparicion en geometrıa de los puntos imaginariosse produce sin ninguna vinculacion con los numeros complejos, que ya empe-zaban a utilizar los analistas. Queda fuera de los lımites de esta introduccionexplicar detalladamente el manejo geometrico de los puntos imaginarios, perovamos a exponer sin mucho detalle un ejemplo significativo.

Consideremos en el plano real una conica Q y una recta r, definidas en unareferencia cartesiana por las ecuaciones q(x, y) = 0 y r(x, y) = 0 respectivamen-te. Las ecuaciones a.q(x, y) + b.r(x, y)2 = 0 definen, al variar los numeros a, b,una familia de conicas, {Qa,b}, que es lo que se llama un haz de conicas. Si larecta y la conica se cortan en dos puntos, todas las conicas del haz pasan porellos, ya que sus coordenadas anulan simultaneamente las ecuaciones de ambas.La cuestion es averiguar si todas las conicas del haz tienen algo en comun cuan-do la recta y la conica no se cortan. Si extendemos el cuerpo para trabajar conlos complejos, ese algo que tienen en comun es precisamente un par de puntos


imaginarios conjugados, pero nuestro objetivo es buscar un objeto real.

P

A

B r

C D E F G H I J K

L

Figura 1.20: La polaridad permite utilizar los puntos imaginarios, las dos conicas y la recta

de la figura, se cortan en la involucion de la recta inducida por una de ellas, ya que ambas

definen la misma involucion.

Para ello debemos dar una nocion distinta de interseccion de una recta conuna conica. La conica Q induce una transformacion en la recta r, que se describecomo sigue:

Si P ∈ r es un punto arbitrario, (ver figura 1.20), se pueden tomar las rectastangentes por P a Q, estas rectas cortan a la conica en puntos B y J ; la rectaB + J a su vez, corta a r en el punto fQ(P ) = L al que tomamos como imagende P en la transformacion.

La transformacion ası definida es una proyectividad involutiva (si r no estangente a Q), y si r corta a Q, tiene dos puntos invariantes reales que son pre-cisamente los puntos de corte de r y Q. Por tanto el dato de esta transformacionequivale al de los puntos de corte, si estos existen. Ademas como una proyectivi-dad involutiva de la recta real queda unıvocamente determinada por sus puntosinvariantes, todas las conicas Qa,b, que cortan a r en los mismos puntos que Q,inducen en r la misma transformacion. Parece entonces razonable decir que lainterseccion de Q y r es la transformacion fQ.

La transformacion fQ se puede definir aunque Q y r no se corten, y en estecaso tambien todas las conicas Qa,b inducen en r la misma transformacion, queahora no tiene puntos invariantes reales, pero es el elemento comun a todas lasconicas del haz y la recta r, ası que tiene sentido decir que es la interseccion dela recta y la conica.

Si vamos un poco mas lejos, pasamos al cuerpo complejo y calculamos lospuntos invariantes de la involucion fQ, encontramos dos puntos imaginariosconjugados, que son precisamente los puntos complejos de corte de r y Q. Esdecir el objeto real fQ permite manejar puntos de coordenadas imaginarias.


Los metodos analıticos vuelven a entrar en la geometrıa proyectiva, de lamano de Plucker (1801-1868), que redescubre (en su obra Analytisch-geometrischeEntwicklungen[33] (1828), ahora de modo definitivo, las coordenadas homogeneas,que con anterioridad habıan sido descritas con poco exito por Feuerbach y Moe-bius. Al mismo tiempo observa que el intercambio de coeficientes y variables enlas ecuaciones permite hablar de coordenadas de rectas en el plano y demuestrade modo indudable el principio de dualidad de Poncelet . Todavıa se escapana la coordinatizacion de la geometrıa muchos objetos, y los mas importantesson las rectas del espacio tridimensional. Pasan mas de veinte anos hasta que,esencialmente por medio del algebra lineal, se resuelve este problema a la vezque se transforma la geometrıa proyectiva en el lenguaje geometrico del algebra.

La introduccion sistematica de los espacios vectoriales de dimension arbi-traria sigue dos caminos distintos, por una parte Arthur Cayley (1821-1895)desarrolla la geometrıa analıtica de Rn usando sistematicamente la teorıa dedeterminantes (1846), por otra parte Grassmann (1809-1877), en un trabajo nocomprendido hasta casi veinte anos despues, sienta las bases del algebra linealmoderna con la introduccion de las “magnitudes con extension” que correspon-den a nuestros vectores y formas y son la contrapartida puramente geometricade la teorıa de determinantes ( Incidentalmente: Grassmann abandono las ma-tematicas para dedicarse al estudio del sanscrito y es el creador de la ultima granley de la linguıstica). Plucker [34] en 1868 describe con ayuda de las tecnicasdesarrolladas por Grassmann un espacio de dimension 4 (una cuadrica de un es-pacio de dimension 5), cuyos elementos son las rectas del espacio tridimensionaly da la victoria definitiva a la geometrıa analıtica.

Una tercera forma de extender la geometrıa, es por medio de los gruposde transformaciones, y fue expuesta por un alumno de Plucker, F. Klein ensu Programa de Erlangen[29](1872). Para Klein, una geometrıa es un grupo detransformaciones que actua en un conjunto, las propiedades geometricas sonaquellas invariantes por estas transformaciones.

Desde este punto de vista, podemos considerar en R3 dos operaciones: pro-yectar desde un punto O (proyeccion), que consiste en unir cualquier punto delespacio con O mediante una recta, y cortar por un plano π (seccion); ası, da-do un plano π, una familia de puntos, O1, ..., Or, y otra de planos, π1, ..., πr−1

(situados razonablemente), podemos proyectar π desde O1 y cortar por π1, pro-yectar π1 desde O2 y cortar por π2,..etc, hasta proyectar πr−1 desde Or y cortarde nuevo por π. Tenemos ası una transformacion de π en π que se llama unaproyectividad. Las proyectividades forman un grupo y la geometrıa proyectivaes el estudio de propiedades de π invariantes por dicho grupo.

A finales del primer tercio del pasado siglo, el papel de las estructuras com-binatorias en Matematicas se hace de enorme importancia, y hay un grupo degeometras y logicos que se interesan por los fundamentos combinatorios de lageometrıa sintetica, ası Birkhoff y Menger publican axiomaticas de la geometrıaproyectiva, libres de la nocion de cuerpo base, cubriendo incluso modelos nodesarguesianos. Ambos utilizan los retıculos como elementos basicos de la geo-metrıa. En el capıtulo siguiente introduciremos de modo formal estos objetosque juegan un papel central en la geometrıa elemental actual.

Capıtulo 2

Retıculos. Espaciosproyectivos generalizados

Nuestro objetivo principal en este libro es presentar de forma analıtica lageometrıa proyectiva, pero no queremos renunciar a ofrecer una presentacionsintetica, ni a la utilizacion de metodos sinteticos donde sea mas natural hacer-lo. Por ello hemos decidido comenzar con una vision axiomatica, pero en lugarde presentar una axiomatica al modo clasico, hemos preferido utilizar los retıcu-los obteniendo una caracterizacion del retıculo de subespacios de un espacioproyectivo, que no es sino el de los subespacios del espacio vectorial asociado.Asociados a estos retıculos describiremos los espacios proyectivos generalizadosque proporcionan una buena aproximacion axiomatica a la geometrıa proyectivaen dimension arbitraria.

2.1. Retıculos

La estructura de retıculo en un conjunto, se puede presentar bajo dos for-mas, como una relacion de orden con unas propiedades particulares o como unaestructura algebraica. Daremos ambas definiciones y probaremos despues queson equivalentes:

Definicion 2.1.1.– Llamaremos retıculo (ordenado) a un conjunto ordenado(R,≤) tal que:

∀ a, b ∈ R, ∃ inf{a, b}, ∃ sup{a, b}Llamaremos retıculo (algebraico) a un conjunto R con dos operaciones u,t queverifican las siguientes propiedades:

1. Idempotencia∀ a ∈ R, a t a = a u a = a

2. Conmutativa∀ a, b ∈ R, a t b = b t a, a u b = b u a

43

44CAPITULO 2. RETICULOS. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS

3. Asociativa

∀ a, b, c ∈ R, a t (b t c) = (a t b) t c, a u (b u c) = (a u b) u c

4. Simplificacion

∀ a, b ∈ R, a t (a u b) = a, a u (a t b) = a

Proposicion 2.1.2.– Si (R,≤) es un retıculo (ordenado), y se definen en Rlas operaciones

∀ a, b ∈ R : a u b = inf{a, b}, a t b = sup{a, b}entonces (R,u,t) es un retıculo (algebraico).Recıprocamente, si (R,u,t) es un retıculo (algebraico), se verifica que:

∀ a, b ∈ R, a t b = a ⇔ a u b = b.

Definiendo ahora:∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ a u b = b

se verifica que (R,≤) es un retıculo (ordenado).

Demostracion: Supuesto que (R,≤) es un retıculo (ordenado), la unicidad delos extremos superior e inferior, prueba que u y t son operaciones. Sus propie-dades, salvo la de simplificacion, son consecuencia evidente de las propiedadesde los extremos.

Para probar la propiedad de simplificacion basta, por simetrıa, probar unasola de las igualdades que aparecen en ella:

Como a ≤ a y a ≤ sup{a, b}, se verifica que:

a ≤ inf{a, sup{a, b}} = a u (a t b).

Por otra parte y por definicion de extremo inferior:

a u (a t b) = inf{a, sup{a, b}} ≤ a

luego se verifica la igualdad y (R,u,t) es un retıculo (algebraico).Supuesto ahora que (R,u,t) es un retıculo (algebraico), por la propiedad

de simplificacion:a t b = b ⇒ a u b = a u (a t b) = a

del mismo modoa u b = a ⇒ a t b = (a u b) t b = b

luego a t b = b ⇔ a u b = a.Veamos ahora que si definimos ≤ por:

a ≤ b ⇔ a u b = a ⇔ a t b = b

entonces (R,≤) es un retıculo (ordenado)

2.1. RETICULOS 45

Por la propiedad de idempotencia ∀a ∈ R : a u a = a luego a ≤ a

∀ a, b ∈ R : a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = a u b = b

∀ a, b, c ∈ R : a ≤ b ⇒ a = a u b, b ≤ c ⇒ b = b u c. Entoncesa u c = (a u b) u c = a u (b u c) = a u b = a. Luego a ≤ c

Notas y ejemplos 2.1.3.–

2.1.3.1. - Hay que completar la proposicion anterior demostrando que si to-mamos el retıculo ordenado asociado a uno algebraico, este es precisamenteel retıculo algebraico asociado al primero, es decir si (R,u,t) es un retıcu-lo algebraico y definimos ≤ por a ≤ b ⇔ a u b = a ⇔ a t b = b, entonces∀ a, b ∈ R : inf{a, b} = a u b, sup{a, b} = a t b.

Veamos la primera igualdad:

a t (a u b) = a ⇒ a u b ≤ a.

Por la misma razon, a u b ≤ b. Supongamos ahora que c ≤ a, c ≤ b, entoncesauc = buc = c, luego cu(aub) = (cua)ub = cub = c. Por tanto c ≤ aub y enconsecuencia inf{a, b} = aub. Del mismo modo se prueba que sup{a, b} = atb.

Recıprocamente si (R,≤) es un retıculo ordenado y definimos las operacionesu,t, por inf{a, b} = a u b, sup{a, b} = a t b, se verifica que el orden dado pora ¹ b ⇔ a u b = a coincide con ≤:

a ¹ b ⇔ a u b = a ⇔ inf{a, b} = a ⇔ a ≤ b

De este modo hemos comprobado que ambas estructuras son equivalentesy en lo sucesivo las consideraremos conjuntamente, ası al hablar de retıculotendremos la familia (R,≤,u,t).

2.1.3.2. - La propiedad de idempotencia es consecuencia de las restantes pro-piedades de la definicion. Efectivamente, dado un elemento arbitrario a ∈ R,por la propiedad de simplificacion aplicada a a y al mismo a, se verifica quea u (a t a) = a, entonces:

a t a = a t (a u (a t a)) = a

por la propiedad de simplificacion aplicada ahora a a y a t a. Del mismo modose prueba la idempotencia para la interseccion.

No obstante no suprimiremos la propiedad de idempotencia de la definicionde retıculo, ya que aparece en la practica totalidad de los textos que se ocupande ellos.

2.1.3.3. [Principio de dualidad en retıculos].- En virtud de la proposicion2.1.2 podemos suprimir la mencion (ordenado) o (algebraico) tras el nombre yhablaremos de retıculos, suponiendo que tenemos a la vez el orden y las operacio-nes, y que ambos estan ligados por las relaciones descritas en dicha proposicion.


Se puede observar que en los enunciados de todas las propiedades carac-terısticas de la definicion de retıculo hay una simetrıa absoluta entre t y upor tanto si probamos una proposicion relativa a retıculos, tanto en el enuncia-do como en todo el proceso de la prueba, se pueden intercambiar t y u y laproposicion continuara siendo cierta. Este resultado se conoce por principio dedualidad , y se dice que dos proposiciones o definiciones son duales cuando seobtiene una de la otra por el intercambio antes citado. Por ejemplo la afirmaciondual de a ≤ b es a ≥ b ya que: a ≤ b ⇔ a t b = b, intercambiando t y u seobtiene a u b = b ⇔ a ≥ b.

2.1.3.4. .- Un conjunto totalmente ordenado es siempre un retıculo. La existenciaen un retıculo de extremos superior e inferior para cada par de elementos dota asu representacion grafica de aspecto de red, y esta es la razon del nombre que seasigna a la estructura. En la figura 2.1 se presentan los graficos de dos conjuntosordenados, en ellos un elemento es menor que otro si estan conectados por unapoligonal ascendente, entonces el conjunto de la izquierda es un retıculo y el dela derecha no.

a15 b15 b14 b13

a14 a13 b12 b12 b11 b10

a12 a11 a10

a9 a8 a7 a6 b9 b8 b7

a5 a4 a3 b6 b5 b4 a2 a1

a0 b3 b2 b1

Figura 2.1: El grafo de la izquierda corresponde a un retıculo con cero y uno, el de la derecha

no es un retıculo

2.1.3.5. .- Si C es un conjunto, el conjunto de subconjuntos de C ordenados porinclusion es un retıculo, al que representaremos por P(C) y llamaremos retıculode partes de C. Las operaciones del retıculo son la union e interseccion desubconjuntos. Tambien el conjunto PF (C) de subconjuntos finitos de C y elconjunto PCF (C) de subconjuntos de complemento finito de C, ordenados porinclusion, son retıculos, que coinciden con P(C) si C es finito.

La doble estructura de orden y algebraica plantea problemas a la hora dehablar de subestructuras. Dado un retıculo (R,≤,t,u) y un subconjunto E de(R tenemos dos opciones a la hora de decir que E es un subretıculo:

2.1. RETICULOS 47

Usando el orden, E es un subretıculo si (E,≤) es un retıculo

Usando la estructura algebraica, E es un subretıculo si (E,t,u) es unretıculo

Si E es subretıculo con la segunda definicion, lo es con la primera, pero elrecıproco no es cierto, por ejemplo {a0, a7, a8, a15} es un subretıculo del retıculode la figura 2.1 de acuerdo con la primera definicion pero no con la segunda.

Elegiremos como definicion la segunda y llamaremos subretıculo de un retıcu-lo (R,≤,t,u) a todo subconjunto de R cerrado para las operaciones algebraicast,u. Obviamente en este caso los extremos inferior y superior para el orden in-ducido en el subretıculo coinciden con los del retıculo, es decir las operacionesrestringidas son las asociadas al orden restringido. Ası PF (C) y PCF (C) sonsubretıculos de P(C).

Sin embargo, como ya hemos senalado, un subconjunto de R que sea retıculocon el orden inducido, no es necesariamente un subretıculo, ya que los extremosen R y en el subconjunto no tienen porque coincidir, es decir las operacionesserıan diferentes en ambos conjuntos como sucede en el ejemplo siguiente:

Sea V un espacio vectorial, el conjunto de subespacios de V ordenados porinclusion es un retıculo, al que representaremos por L(V ). Las operaciones delretıculo son la suma e interseccion de subespacios. En este caso L(V ) es retıculocon el orden inducido por el de P(V ) pero no es subretıculo de este.

Lo mismo sucede con los subespacios de un espacio afın, los subgrupos deun grupo, los ideales de un anillo, etc.

2.1.3.6. .- La existencia de extremos inferior y superior para conjuntos de dos ele-mentos, lleva consigo la existencia de extremos para conjuntos finitos no vacıos,ya que es inmediato comprobar que:

inf{a1, inf{a2, a3}} = inf{a1, a2, a3}

y en general, inductivamente:

inf{a1, inf{a2, . . . , an}} = inf{a1, a2, . . . , an}

y lo mismo para el extremo superior.En cambio, en un retıculo no existen necesariamente extremos inferiores y

superiores de subconjuntos infinitos, por ejemplo en PF (C) no hay extremossuperiores de familias infinitas y en PCF (C) no los hay inferiores.

En general se admite, y lo haremos aquı, que el subconjunto vacıo de unconjunto ordenado (C,≤) tiene extremo inferior si y solo si el conjunto tienemaximo, y tiene extremo superior si y solo si el conjunto tiene mınimo, y eneste caso:

inf{∅} = max(C), sup{∅} = min(C).

Definicion 2.1.4.– Un conjunto ordenado (C,≤) se llama completo si to-do subconjunto de C tiene extremo inferior y superior (en consecuencia es unretıculo con mınimo y maximo)


Proposicion 2.1.5.– Un conjunto ordenado (C,≤) es completo si y solo sitodos sus subconjuntos tienen extremo inferior.

Demostracion: Solo hay que probar que si todos los subconjuntos de C tienenextremo inferior, tambien lo tienen superior y para ello basta observar que:

∀E ⊂ C, sup(E) = inf{x | x es cota superior de E}.


2.1.6.1. .- Un retıculo (R,≤,u,t) se llama distributivo si y solo si:

∀ a, b, c ∈ R, a t (b u c) = (a t b) u (a t c), a u (b t c) = (a u b) t (a u c)

P(C) es distributivo y L(V ) no lo es, como se comprueba inmediatamente,tomando por ejemplo como a, b, c rectas vectoriales distintas dos a dos en unespacio de dimension 2.

La propiedad de ser distributivo es tambien simetrica respecto al intercambiode t y u luego el principio de dualidad es valido en los retıculos distributivos.

2.1.6.2. .- Un retıculo (R,≤,u,t) se dice modular, si verifica la propiedad si-guiente, cuyo enunciado se debe a Dedekind :

∀ a, b, c ∈ R : a ≤ c ⇒ a t (b u c) = (a t b) u c

Todo retıculo distributivo es modular.

L(V ) es modular.

En cualquier retıculo se verifica que:

a ≤ c ⇒ a t (b u c) ≤ (a t b) u c

Por tanto la propiedad modular equivale a:

∀ a, b, c ∈ R : a ≤ c ⇒ a t (b u c) ≥ (a t b) u c

La propiedad dual de la ley modular es:

∀ a, b, c ∈ R : a ≥ c ⇒ a u (b t c) = (a u b) t c

aplicando la propiedad conmutativa, esta formula se reescribe como:

∀ a, b, c ∈ R : c ≤ a ⇒ c t (b u a) = (c t b) u a

que es otra vez la misma ley modular. Por tanto esta propiedad es autodual yel principio de dualidad es valido en los retıculos modulares.

2.1. RETICULOS 49

2.1.6.3. .- En cada retıculo (R,≤,u,t), llamaremos 0 y 1 al mınimo y el maximode R si existen. Un retıculo se llama complementario si tiene 0 y 1 y:

∀ a ∈ R, ∃ca | a u ca = 0, a t ca = 1

Los retıculos P(C) y L(V ) son complementarios, pero en el primero el comple-mentario es unico y en el segundo no. El mınimo y el maximo son duales unodel otro, y la propiedad de ser retıculo complementario es autodual por lo quetambien es de aplicacion el principio de dualidad a los retıculos complementa-rios.

2.1.6.4. .- En un retıculo con 0, (R,≤,u,t), se llama atomo a todo elementoa ∈ R, a 6= 0, tal que b ≤ a ⇒ b = a o b = 0. Un retıculo se llama atomicosi todo elemento diferente de cero del retıculo es mayor o igual que un atomo.Los retıculos P(C) y L(V ) son atomicos; en el primero, los atomos son lossubconjuntos compuestos por un solo elemento y en el segundo, los subespaciosde dimension uno. En cambio el retıculo PCF (C) no es atomico si C es infinito.

Definicion 2.1.7.– Sea (R,≤,u,t) un retıculo completo, diremos que S ⊂ Res un subconjunto cerrado por extremos inferiores, o inf-cerrado si y solo si∀ E ⊂ S, infR(E) ∈ S; como trabajamos al tiempo con dos conjuntos ordenadosR,S precisamos con el subındice el conjunto en que se toma el extremo, perouna vez que se establezca que S es inf-cerrado, infS = infR y el subındice puedesuprimirse.Si S es un subconjunto cerrado por extremos inferiores, la aplicacion:

LS : R −→ R, LS(a) = infS{x | x ∈ S, x ≤ a}

se llama operador de linealizacion relativo a S y si a, b ∈ R, se dice que adepende linealmente de b respecto de S si y solo si a ≤ LS(b)

Proposicion 2.1.8.– En las condiciones de la definicion anterior, el operadorLS verifica las propiedades siguientes:

1. ∀ a ∈ R, a ≤ LS(a).

2. ∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇒ LS(a) ≤ LS(b).

3. ∀a ∈ R, L2S(a) = LS(a).

Ademas ImLS = S.Recıprocamente si R es un retıculo completo y una aplicacion: L : R −→ Rverifica las tres propiedades anteriores, el subconjunto T = ImL ⊂ R es cerradopara extremos inferiores y L = LT .

Demostracion: La primera parte de la proposicion es trivial. Para probarla segunda consideramos una familia E ⊂ R, y, como es habitual llamamosL(E) = {L(a) | a ∈ E}. Obviamente :

∀a ∈ E, inf(E) ≤ a ⇒ ∀a ∈ E, L(inf(E)) ≤ L(a) ⇒ L(inf(E)) ≤ inf(L(E))


sea ahora F ⊂ ImL entonces ∃ E ⊂ R tal que F = L(E). Por las hipotesissobre L, L(F ) = L2(E) = L(E) = F y en consecuencia:

L(inf(F )) ≤ inf(L(F )) = inf(F ) ≤ L(inf(F )) ⇒ L(inf(F )) = inf(F )

Por tanto inf(F ) ∈ ImL e ImL es cerrado por extremos inferiores.La ultima afirmacion es trivial.

Nota 2.1.9.– - La proposicion anterior establece una correspondencia biunıvocaentre los subconjuntos T cerrados por extremos inferiores, es decir por intersec-ciones arbitrarias, de un retıculo completo R, y los operadores de linealizacion,es decir las aplicaciones de R en si mismo que cumplen las propiedades de laproposicion 2.1.8. Esta correspondencia asocia a cada operador de linealizacionde un retıculo completo (R,u,t), el retıculo (Im(L),u, +), cuya primera ope-racion es la misma de R, y la segunda es a + b = L(a t b).

Recıprocamente a cada subconjunto inf-cerrado T ⊂ R le corresponde eloperador de linealizacion dado por:

LT (a) =⋂

a≤b∈Tb

y a su vez este operador dota a T de estructura de retıculo.Observemos que este es el caso del conjunto de subespacios de un espacio

vectorial V que es cerrado por intersecciones en el retıculo P(V ) de subcon-juntos de V , o del conjunto de subespacios de un espacio afın A cerrado porintersecciones en P(A). Los operadores correspondientes a estos conjuntos sonrespectivamente los de dependencia lineal y dependencia afın. En el lenguaje dela dependencia de la definicion 3.1, las propiedades de L se traducen en:

1. a depende linealmente de a.

2. Si a depende linealmente de b y b depende linealmente de c, entonces adepende linealmente de c (transitividad de la dependencia lineal).

3. a depende linealmente de b y b depende linealmente de a si y solo siL(a) = L(b)

Ejercicios de la seccion 2.1

Ejercicio 2.1.1 Probar que en un retıculo:

a u b = a t b ⇔ a = b

Ejercicio 2.1.2 Probar que el conjunto {a, b} con las operaciones t y u dadaspor las tablas siguientes:

2.2. DIMENSION EN RETICULOS MODULARES 51

t a ba a bb a b

u a ba a ab a b

verifica todas las propiedades de la definicion de retıculo salvo la conmutativade t.

Ejercicio 2.1.3 Poner ejemplos en la lınea del ejercicio anterior que prue-ben que con la excepcion de la propiedad de idempotencia, los axiomas de ladefinicion de retıculo son independientes.

Ejercicio 2.1.4 Dibujar los grafos de todos los retıculos de menos de cincoelementos

2.2. Dimension en retıculos modulares

En un conjunto ordenado cualquiera (C,≤) se llama cadena de longitud n auna sucesion ordenada estrictamente creciente de elementos de C:

a0 < a1 < ..... < an

a0 y an se llaman extremos de la cadena. El conjunto ordenado C se llamade longitud finita si el conjunto de longitudes de las cadenas de C esta acotadosuperiormente, en este caso al maximo de este conjunto se le llama longitudde C.Por ejemplo el retıculo de subconjuntos de un conjunto finito C es un conjuntoordenado de longitud finita y su longitud es el numero de elementos de C,tambien el retıculo de subespacios de un espacio vectorial V de dimension finitaes de longitud finita y su longitud, es la dimension de V como espacio vectorial.En cambio el retıculo de subconjuntos de un conjunto infinito no es de longitudfinita.

Si C es un conjunto ordenado de longitud finita con un mınimo 0, y x ∈ C,se llama dimension de x, dim(x), al maximo de las longitudes de las cadenas deextremos 0 y x, o lo que es lo mismo a la longitud del segmento:

[0, x] = {z ∈ C | 0 ≤ z ≤ x}

Diremos que y es el siguiente de x, o que x precede a y, y escribiremos x ≺ ysi y solo si:

x < y y ∀z ∈ C : x ≤ z ≤ y ⇒ x = z o y = z.

En un conjunto de longitud finita no se verifica necesariamente que:

x ≺ y ⇒ x ≤ y y dim(y) = dim(x) + 1

pero veremos que esto es cierto imponiendo al conjunto condiciones complemen-tarias.


El conjunto de cadenas de un conjunto ordenado C, y el conjunto de cadenasde C con extremos prefijados, se pueden ordenar por la relacion de contenidoy, como consecuencia del axioma de eleccion, toda cadena de un conjunto orde-nado esta contenida en una cadena maximal, y toda cadena con extremos a y besta contenida en una maximal con los mismos extremos.

En un conjunto de longitud finita las cadenas maximales son todas ellasfinitas, sin embargo no necesariamente tienen todas la misma longitud. Diremosque un conjunto ordenado de longitud finita C verifica la propiedad de Jordansi para todo par de elementos x e y de C, todas las cadenas maximales deextremos x e y tienen la misma longitud. Si ademas C tiene mınimo, 0, es claroque la longitud comun a todas las cadenas maximales entre 0 y x es dim(x),y si 0 6= x < y, como la cadena 0 < x < y esta contenida en una maximal,la longitud de todas las cadenas maximales de extremos x e y es precisamentedim(y)− dim(x).

Teorema 2.2.1.– [ Dedekind] Si R es un retıculo modular de longitud finita,R verifica la propiedad de Jordan, es decir para todo par de elementos a y b deR, todas las cadenas maximales de extremos a y b tienen la misma longitud

Demostracion: Probaremos el teorema demostrando por recurrencia que:Para todo par de elementos a y b de R tales que existe una cadena maximal

de longitud n con extremos a y b, entonces toda cadena con extremos a y b tienelongitud menor o igual que n.

Es obvio que si probamos la afirmacion anterior queda probado el teorema.Si n = 1 esta afirmacion es cierta. Sea ahora n ≥ 2 y sean:

a = a0 < a1 < ..... < an = b, a = b0 < b1 < ..... < br = b

dos cadenas con los mismos extremos, la primera de las cuales es maximal y delongitud n ≥ 2.

Como a1 < b = br, y a1 � a = b0, podemos afirmar que existe un ındicej, 1 ≤ j ≤ r, tal que a1 ≤ bj , a1 � bj−1 y en consecuencia:

(∗) ∀ i < j, a1 � bi, ∀k ≥ j a1 ≤ bk

formamos la sucesion creciente:

a1 ≤ a1 t b1 ≤ ..... ≤ a1 t bj ≤ a1 t bj+1 ≤ .... ≤ a1 t br = b.

Por la formula (∗), a1 t bk = bk ∀k ≥ j entonces la sucesion es realmente:

a1 = a1 t b0 ≤ a1 t b1 ≤ ..... ≤ a1 t bj−1 ≤ bj < bj+1 < .... < br = b.

Ahora si para algun valor de i, 1 ≤ i ≤ j − 1, a1 t bi−1 = a1 t bi, aplicandoprimero la propiedad de simplificacion y luego la modular:

bi = (bi t a1) u bi = (bi−1 t a1) u bi = bi−1 t (a1 u bi).

2.2. DIMENSION EN RETICULOS MODULARES 53

Pero por ser maximal la primera cadena a0 ≺ a1, entonces se verifica que:

a0 ≤ a1 u bi ≤ a1 ⇒ a0 = a1 u bi o a1 = a1 u bi

la primera opcion es imposible porque como a0 ≤ bi−1, serıa:

bi = bi−1 t (a1 u bi) = bi−1 t a0 = bi−1

absurdo.La segunda opcion lleva consigo que: a1 ≤ bi en contradiccion con la hipotesis

sobre i. Tenemos entonces la sucesion:

a1 < a1 t b1 < ..... < a1 t bj ≤ bj+1 < .... < br = b

que es una cadena entre a1 y b de longitud r − 1 o de longitud r, segun seaa1 t bj = bj+1, o a1 t bj < bj+1. Como entre estos elementos hay una cadenamaximal de longitud n − 1, por hipotesis de induccion se verifica que r − 1 ≤n− 1 ⇒ r ≤ n, o r ≤ n− 1 ⇒ r < n.

Consecuencia 2.2.2.– Si R es un retıculo modular, de longitud finita y conmınimo, existe una unica funcion: dim : R −→ N tal que:

Si 0 es el mınimo de R, dim(0) = 0

∀x, y ∈ R, x ≺ y ⇒ dim(y) = dim(x) + 1

Y esta funcion verifica ademas que:

1. ∀x, y ∈ R, x ≤ y, dim(x) = dim(y) ⇒ x = y

2. ∀x, y ∈ R, dim(x) + dim(y) = dim(x t y) + dim(x u y)

Demostracion: Si tomamos como funcion dimension la que asocia a cadaelemento x del retıculo la longitud de una cadena maximal que lo conecta con 0,esta funcion verifica las condiciones de la proposicion, y cualquier funcion queverifique estas condiciones coincide con ella.

La segunda afirmacion se sigue de que si x < y, toda cadena maximal quetermina en x se puede ampliar siempre con y y dim(x) < dim(y).

La tercera es trivial si x ≤ y o si y ≤ x. Si x e y no son comparables podemosconsiderar las cadenas:

0 < x u y < x, 0 < x u y < y

En las que eventualmente pueden coincidir los dos primeros elementos, y en estecaso dim(x u y) = 0. Ampliamos las dos cadenas a cadenas maximales:

0 < x1 < .... < xr = x u y < xr+1 < .... < xn = x

0 < y1 < .... < yr = x u y < yr+1 < .... < ym = y


En consecuencia: dim(x) = n, dim(y) = m, dim(x u y) = r ≥ 0. Veamos ahoraque:

x t yt ≺ x t yt+1, ∀t, r ≤ t ≤ m− 1.

Obviamente : x t yt ≤ x t yt+1 y si se verifica la igualdad, cortamos con y,aplicamos la propiedad modular y que x u y = yr ≤ yt y se tiene:

x t yt = x t yt+1 ⇒ (yt t x) u y = (yt+1 t x) u y ⇒ yt t (x u y) =

= yt+1 t (x u y) ⇒ yt = yt+1.

Por tanto se llega a un absurdo y necesariamente: x t yt < x t yt+1.Si suponemos ahora: xtyt ≤ z ≤ xtyt+1, cortando de nuevo por y y usando

el resultado anterior se tiene yt ≤ z u y ≤ yt+1. Como por la maximalidad de lacadena de las y-s, es yt ≺ yt+1, se verifica que, o bien:

z u y = yt ⇒ x t yt = x t (y u z) = (x t y) u z = z

o bien z u y = yt+1 y por el mismo razonamiento anterior x t yt+1 = z. Enconsecuencia la cadena:

0 < x1 < .... < xr = xuy < xr+1 < .... < xn = x = xtyr < ... < xtym = xty

es maximal y dim(x t y) = n + m− r = dim(x) + dim(y)− dim(x u y).


Ejercicio 2.2.5 Se llama funcion de dimension en un conjunto ordenado C atoda aplicacion

dim : C −→ Z≥0, tal que ∀x, y ∈ C : x ≺ y ⇒ dim(y) = dim(x) + 1.

1. Probar que sobre un conjunto ordenado de longitud finita, con mınimo 0 yque verifica la propiedad de Jordan existe una unica funcion de dimensiontal que dim(0) = 0

2. Dar un ejemplo de un conjunto finito, que verifique la propiedad de Jordany sin embargo no admita una funcion de dimension

3. Averiguar si un conjunto ordenado de longitud finita, con mınimo y tal queexiste sobre el una funcion de dimension verifica la condicion de Jordan.

Ejercicio 2.2.6 Probar que si a y b son elementos distintos de un retıculo:

a ≺ x, b ≺ x ⇒ x = a t b

Ejercicio 2.2.7 Poner un ejemplo de un conjunto ordenado, de longitud finitay con mınimo en el cual existan dos elementos x e y tales que x ≺ y y sinembargo dim(y) 6= dim(x) + 1.

Ejercicio 2.2.8 Se considera el conjunto ordenado C de la figura 2.2

2.3. ISOMORFISMOS DE RETICULOS 55

A

B

C

D

E

Figura 2.2: Representacion grafica del conjunto ordenado C

1. Probar que C es un retıculo no modular.

2. Probar que si un retıculo contiene un subretıculo isomorfo a C el retıculono es modular.

3. Sea R un retıculo no modular, y sean x, y ∈ R tales que:

x ≥ z, x t (y u z) < (x t y) u z.

Probar que:y u z, x t (y u z), y, (x t y) u z, x t y

es un subretıculo de R isomorfo a C.

Ejercicio 2.2.9 Describir los cinco retıculos de cinco elementos senalandocuales son modulares

Ejercicio 2.2.10 Dar el enunciado dual de: dim(a) = r, en un retıculo modularde dimension n.

2.3. Isomorfismos de retıculos

En esta seccion estudiaremos las transformaciones propias entre retıculos.

Definicion 2.3.1.– Sean R,S conjuntos ordenados, y sea f : R −→ S unaaplicacion.

1. f se llama monotona si y solo si

∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b)

2. f se llama isomorfismo ordenado si y solo si es biunıvoca y

∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ f(a) ≤ f(b)


Si R,S son retıculos, f se llama homomorfismo de retıculos si y solo si ∀ a, b ∈R, f(a ∪ b) = f(a) ∪ f(b), f(a ∩ b) = f(a) ∩ f(b). Un homomorfismo biunıvocode retıculos se llama un isomorfismo de retıculos. Un automorfismo de R es unisomorfismo de R en R.

Proposicion 2.3.2.– Si R,S son retıculos y f : R −→ S es una aplicacion, fes isomorfismo ordenado si y solo si es isomorfismo de retıculos.

Demostracion: Un isomorfismo ordenado preserva extremos de pares de ele-mentos, veamoslo con los inferiores:

c = inf{a, b} = a u b ⇒ c ≤ a, c ≤ b ⇒ f(c) ≤ f(a), f(c) ≤ f(b)

Por otra parte como f es sobre ∀s ∈ S, ∃ d ∈ R s = f(d), luego:

s ≤ f(a), s ≤ f(b) ⇒ f(d) ≤ f(a), f(d) ≤ f(b) ⇒ d ≤ a, d ≤ b ⇒⇒ d ≤ c ⇒ s = f(d) ≤ f(c)

Por tanto f(c) = inf{f(a), f(b)} = f(a)uf(b) y lo mismo sucede con el extremosuperior, luego f es isomorfismo de retıculos.

Recıprocamente, si f es isomorfismo de retıculos:

∀a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ a ∩ b = a ⇒⇒ f(a) ∩ f(b) = f(a) ⇒ f(a) ≤ f(b)

Ademas por ser f biunıvoca, si a, b ∈ R y si f−1 es la inversa de f :

a∩b = ff−1(a)∩ff−1(b) = f(f−1(a)∩f−1(b)) ⇒ f−1(a∩b) = f−1(a)∩f−1(b)

Entonces:∀a, b ∈ R, f(a) ≤ f(b) ⇒ f(a) ∩ f(b) = f(a) ⇒

⇒ a = f−1f(a) = f−1f(a) ∩ f−1f(b) = a ∩ b ⇒ a ≤ b

Consecuencia 2.3.3.– Si R1 y R2 son retıculos completos, f : R1 −→ R2 esun isomorfismo de retıculos, T ⊂ R1, U ⊂ R2 son subconjuntos inf - comple-tos y LT , LU son los operadores de linealizacion correspondientes, entonces severifica que f.LT = LU .f , si y solo si f induce un isomorfismo de retıculos deT en UDemostracion: Como f es biunıvoca y f.LT = LU .f , f aplica biunıvocamenteT = Im(LT ) sobre U = Im(LU ) y obviamente al restringirla a T sigue siendoisomorfismo ordenado.

Recıprocamente, el razonamiento de la proposicion anterior muestra que unisomorfismo ordenado conserva los extremos inferiores, entonces:

∀a ∈ R1, f.LT (a) = f(⋂

a≤b∈Tb) =

⋂

a≤b∈Tf(b) = LU (f(a))

2.3. ISOMORFISMOS DE RETICULOS 57

Verificandose la ultima igualdad por la hipotesis de ser f isomorfismo ordenadoentre T y U .

Nota 2.3.4.– Siempre que existan en ambos retıculos, los isomorfismos trans-forman maximo y mınimo en maximo y mınimo, complementario en comple-mentario y conservan la dimension.

Definicion 2.3.5.– Sea f : R −→ S una aplicacion entre conjuntos ordenados,f se llama antiisomorfismo si y solo si es biunıvoca y:

∀ a, b ∈ R, a ≤ b ⇔ f(a) ≥ f(b)

Si ademas R,S son retıculos, f se llama antihomomorfismo de retıculos si∀a, b ∈ R, f(a∪ b) = f(a)∩ f(b), f(a∩ b) = f(a)∪ f(b). Un antihomomorfismobiunıvoco de retıculos se llama un antiisomorfismo de retıculos.

Del mismo modo que la proposicion 2.3.2, se demuestra que si R,S sonretıculos y f : R −→ S es una aplicacion, f es antiisomorfismo ordenado si ysolo si es antiisomorfismo de retıculos.


Ejercicio 2.3.11 Probar que una aplicacion entre retıculos modulares de di-mension dos es un isomorfismo si y solo si es biunıvoca y lleva el 0 en el 0 y el1 en el 1

Ejercicio 2.3.12 Sea f : R −→ T una aplicacion entre retıculos tal que:

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) < f(y), f(x u y) = f(x) u f(y)

Probar que f es isomorfismo de retıculos.

Ejercicio 2.3.13 Sea (C,≤) un conjunto ordenado, para cada subconjunto Ade C definimos:

↓ A = {x ∈ C | ∃ a ∈ A, x ≤ a}y diremos que A es un l-subconjunto si y solo si A =↓ A.

1. Probar que el conjunto, ↓ P(C), de l-subconjuntos de C con la inclusioncomo orden, es un retıculo completo.

2. Probar que la correspondencia:

ψC : C −→↓ P(C); ψC(x) =↓ {x}es inyectiva, monotona y preserva extremos inferiores.

Ejercicio 2.3.14 Probar que todo conjunto ordenado se puede sumergir en unretıculo completo, de modo que se mantenga el orden y se conserven, cuandoexistan, los extremos inferiores de conjuntos arbitrarios.


Ejercicio 2.3.15 Sea f : C −→ D una aplicacion monotona entre conjuntosordenados. Probar que para todo subconjunto A de C:

↓ f(A) =↓ f(↓ A)

Averiguar si es cierto que, con las notaciones de los problemas anteriores,

∀ x ∈ C, ψDf(x) =↓ f(ψC(x))

y en consecuencia la inmersion descrita en el problema 13 induce una inmersionpara las aplicaciones monotonas.

2.4. Espacios proyectivos generalizados

Esta seccion esta dedicada a introducir una primera version del espacio pro-yectivo y a caracterizar el retıculo de sus subespacios.

Definicion 2.4.1.– Un espacio proyectivo generalizado es un par P = (E,R),donde E es un conjunto a cuyos elementos llamaremos puntos y R una familiade subconjuntos de E a cuyos elementos llamaremos rectas, que verifican lascondiciones siguientes:

Axioma P− 1 Toda recta contiene al menos dos puntos

Axioma P− 2 Para cada par de puntos distintos hay una unica recta que loscontiene

Axioma P− 3 Dados cinco puntos distintos dos a dos, A,B, C, B′, C ′ tales queA,B,C y A,B′, C ′ estan alineados, existe un punto A′ tal que B,A′, C ′ yC,A′, B′ estan alineados(figura 2.3)(alineados significa contenidos en unarecta)

Por convenio llamaremos tambien espacios proyectivos generalizados a los pares:(∅, ∅), ({P}, ∅)Definicion 2.4.2.– En un espacio proyectivo generalizado (E,R), se llamavariedad lineal o subespacio a todo subconjunto S de E, tal que: S = ∅, Scontiene un solo punto, o ∀{P,Q} ⊂ S, P 6= Q, la recta que pasa por P y Qesta contenida en S.

Ejemplos 2.4.3.–

2.4.3.5. .- Sea C un conjunto arbitrario con mas de un elemento, el par (C,R),con R = {C} es un espacio proyectivo generalizado, ya que cumple las dosprimeras condiciones de la definicion y la tercera no tiene sentido por haber enel espacio una unica recta. Los subespacios de este espacio son ∅, los puntos ytodo C.

2.4.3.6. .- Sea C un conjunto con mas de un elemento, el par (C,R), donde Res el conjunto de todos los subconjuntos de C compuestos por dos elementos, es

2.4. ESPACIOS PROYECTIVOS GENERALIZADOS 59

A

B

C

B’

C’

A’

A

B

C

C’

B’

A’

Figura 2.3: El axioma 3 impone que dos rectas coplanarias tienen necesariamente interseccion

no vacıa

un espacio proyectivo generalizado, las dos primeras condiciones de la definicionse verifican trivialmente, y la tercera tambien porque ninguna recta tiene trespuntos. Los subespacios de este espacio son todos los subconjuntos de C.

2.4.3.7. .- Sea X = {A,B, C,D} y sea R = {{A, B}, {A,C}, {A,D}, {B,C, D}},entonces (X,R) es un espacio proyectivo generalizado. Los subespacios son elvacıo, los puntos, las rectas y todo el espacio. Observese que en este ejemplo notodas las rectas tienen el mismo numero de puntos.

2.4.3.8. .- Sea K un anillo con division, es decir, un conjunto con una estructuraidentica a la de cuerpo salvo que no se impone la propiedad conmutativa de lamultiplicacion. Podemos construir el conjunto Kn+1 de matrices de una fila yn + 1 columnas, lo mismo que en el caso de cuerpos, este conjunto con la sumade matrices como operacion es un grupo abeliano, pero ahora se puede definir laley externa de dos formas. Si λ ∈ K y a = (a0, ..., an) ∈ Kn+1, podemos definir:

λ.a = (λa0, ..., λan) (producto por la izquierda)

λ.a = (a0λ, ..., anλ)(producto por la derecha)

Estas dos operaciones verifican propiedades similares a las de la ley externa enespacios vectoriales. En lo que sigue usaremos solamente la operacion por laizquierda.Definimos en Kn+1 − {(0, ..., 0)}, la relacion:

(a0, ..., an) ' (b0, ..., bn) ⇔ ∃ a ∈ K∗, ai = abi, ∀ i, 0 ≤ i ≤ n

El conjunto cociente PnK = (Kn+1 − {(0, ..., 0)})/ ' se llama espacio proyectivo

n-dimensional sobre K. Los puntos de este espacio son clases de matrices:

[a] = [a0, ..., an] = {(aa0, ..., aan) | a ∈ K∗},∀ (a0, ..., an) ∈ Kn+1 − {(0, ..., 0)}y las rectas los subconjuntos:

[a] + [b] = {[αa + βb] | [a], [b] ∈ PnK , [a] 6= [b], (α, β) ∈ K2 − {(0, 0)}}


De la definicion es claro que toda recta contiene al menos dos puntos, ya quecada recta [a] + [b] contiene al menos a [a] y [b], y que por dos puntos [a], [b]pasa al menos una recta, [a] + [b]. La unicidad se sigue de que:

[c], [d] ∈ [a] + [b], [c] 6= [d] ⇒ [a] + [b] = [c] + [d]

Probemos esta igualdad.De la hipotesis se sigue que : c = αa + βb,d = γa + δb. Entonces:[x] ∈ [c]+ [d] ⇒ x = λc+µd = λ(αa+βb)+µ(γa+ δb) = (λα+µγ)a+(λβ +µδ))b ⇒ [x] ∈ [a] + [b]Para probar el recıproco, basta probar que [c], [d] ∈ [a]+[b] ⇒ [a], [b] ∈ [c]+[d]y por simetrıa basta comprobarlo con [a], es decir basta probar que tiene solucionel sistema vectorial:

a = xc + yd = x(αa + βb) + y(γa + δb) = (xα + yγ)a + (xβ + yδ))b

equivalente al sistema numerico:

xα + yγ = 1xβ + yδ = 0

Como los puntos son distintos, prescindiendo de los casos triviales, podemossuponer α 6= 0, β 6= 0 y multiplicando por la izquierda la primera ecuacion porα−1 y la segunda por β−1, se tiene

x + yγα−1 = α−1

x + yδβ−1 = 0

restando las ecuaciones y(γα−1 − δβ−1) = α−1, y como γα−1 − δβ−1 6= 0,porque en caso contrario γα−1 = δβ−1 ⇒ γ−1δ = β−1α ⇒ [c] = [αa + βb] =[β−1αa+b] = [γ−1δa+b] = [γa+δb] = [d]. Entonces el sistema tiene solucion.La comprobacion de la tercera condicion se traduce en un sistema de ecuacioneslineales que se resuelve inmediatamente, teniendo en cuenta siempre que no sepuede usar la propiedad conmutativa de la multiplicacion.

Proposicion 2.4.4.– Las variedades lineales de un espacio proyectivo gene-ralizado P = (E,R), forman un retıculo completo y atomico L(P), respecto alorden inducido por la inclusion.

Demostracion: En virtud de la proposicion 2.1.5, basta probar que la intersec-cion conjuntista de una familia arbitraria de variedades lineales es una variedadlineal, porque esto significa que el conjunto de variedades lineales es cerradopara extremos inferiores de conjuntos arbitrarios y en consecuencia es retıculocompleto. Pero de la definicion de variedad lineal es claro que la interseccionconjuntista de variedades es una variedad.

El mınimo del retıculo es el vacıo, el maximo es el espacio completo y losatomos son los subconjuntos compuestos por un solo punto. El primer axiomagarantiza que el retıculo es atomico.


Proposicion 2.4.5.– Sea (L(E,R),∩, +) el retıculo de subespacios de un es-pacio proyectivo generalizado (E,R).

1. Si S es un subespacio de (E,R), (S,RS) donde RS es el conjunto de rectascontenidas en S, es tambien un espacio proyectivo generalizado.

2. Si A,B ∈ E, A 6= B, A+B es la recta que pasa por A y B. (Por abuso delenguaje, que mantendremos en lo sucesivo, siempre que A sea un puntoidentificaremos A con {A})

3. Si L1y L2 son variedades lineales de (E,R)

L1 + L2 =⋃

A∈L1,B∈L2,A 6=B

A + B

en todos los casos en que el segundo miembro de la igualdad tenga sentido.

Demostracion: Las dos primeras afirmaciones son evidentemente ciertas. Res-pecto a la tercera, los casos en que no tiene sentido el segundo miembro de laigualdad son:

L1 = ∅ o L2 = ∅L1 = L2 = {P}

Y en ellos es claro que L1 + L2 = L2, L1 + L2 = L1, o L1 + L2 = L1 = L2

respectivamente. Fuera de estos casos y por definicion de la operacion suma:

L1 + L2 = Inf{L ∈ L | L1 ⊂ L,L2 ⊂ L}por tanto hemos de probar que el segundo miembro de la igualdad del enunciadode la proposicion, al que llamaremos T , es una variedad lineal contenida en todaslas variedades que contienen a L1 y a L2 y que las contiene a ambas.

Veamos primero que L1 ⊂ T : Sea P ∈ L1, si L2 6= P , como L2 6= ∅, existeQ ∈ L2, Q 6= P , entonces P + Q ⊂ T ⇒ P ∈ T . Si L2 = P , como no estamosen uno de los casos triviales, L1 6= P , y existe R ∈ L1, R 6= P , en consecuenciaR + P ⊂ T y P ∈ T . Una argumentacion similar prueba que L2 ⊂ T .

Hay que comprobar ahora que L1 ⊂ L, L2 ⊂ L ⇒ T ⊂ L. Pero esta afirma-cion resulta de la definicion de variedad lineal.

Por ultimo T es una variedad lineal. En efecto si P, Q ∈ T , y ambos estanen L1 o en L2, la recta que los une esta en el subespacio correspondiente y portanto en T. Lo mismo sucede, ahora por definicion de T, si cada uno de lospuntos esta en uno de los subespacios. En consecuencia los unicos casos que nosquedan son P /∈ L1 ∪L2 o Q /∈ L1 ∪L2. Por simetrıa basta considerar los casosP ∈ L1, Q /∈ L1 ∪ L2 y P /∈ L1 ∪ L2, Q /∈ L1 ∪ L2.

En el primer caso ( figura 2.4), existen A2 ∈ L1, B2 ∈ L2, Q ∈ A2 + B2.Ası si X es un punto arbitrario de P +Q, Q,B2, A2 y Q,X, P estan alineados ypor el axioma 3 existe X ′ con A2, X

′, P alineados, luego X ′ ∈ L1, y B2, X,X ′

alineados luego X ∈ X ′ + B2, X′ ∈ L1, B2 ∈ L2 y X ∈ T .


L1

P X' A2

X

Q

B2

L2

L1

A1 A

2

X

P

Q P

1

B1 B

2

L2

Figura 2.4: Los dos casos de la proposicion

En el segundo caso existen A1,∈ L1, B1 ∈ L2 tales que P ∈ A1 + B1,entonces si X ∈ P +Q, P,A1, B1, y P, X,Q estan alineados, de nuevo el axioma3 establece que ∃P1 tal que P1, B1, Q alineados, y por el caso anterior P1 ∈ T ,y X, P1, A1 alineados, luego de nuevo por el caso anterior X ∈ T .

Proposicion 2.4.6.– El retıculo L(E,R) de variedades lineales de un espacioproyectivo generalizado es modular.

Demostracion: En virtud de 13 basta probar la desigualdad:

∀ L1, L2, L3 ∈ L(E,R), L1 ≤ L3 ⇒ L1 + (L2 ∩ L3) ⊃ (L1 + L2) ∩ L3.

Sea P ∈ (L1 + L2) ∩ L3, entonces: P ∈ L3 y, dejando fuera los casos limitetriviales, y aplicando la proposicion anterior

P ∈ L1 + L2 ⇒ ∃A ∈ L1, B ∈ L2, P ∈ A + B

entonces, si P = A, P ∈ L1 ⊂ L1 + (L2 ∩ L3) y si P 6= A:

B ∈ A + P ⇒ B ∈ L3 ⇒ B ∈ L2 ∩ L3 ⇒ P ∈ L1 + (L2 ∩ L3)

Proposicion 2.4.7.– El retıculo L de variedades lineales de un espacio pro-yectivo generalizado (E,R) es complementario.

Demostracion: Dada una variedad lineal L, podemos formar el conjunto CL ={T ∈ L | L ∩ T = ∅} que es no vacıo porque al menos ∅ ∈ CL, veamos queesta ordenado inductivamente por inclusion, para ello basta probar que:

{Ti}i∈I ⊂ CL totalmente ordenado ⇒⋃

i∈I

Ti ∈ CL

Pero es claro que⋃

i∈I Ti ∈ L, ya que

P, Q ∈⋃

i∈I

Ti ⇒ ∃j ∈ I, con P,Q ∈ Tj ⇒ P + Q ∈ Tj ⊂⋃

i∈I

Ti


Por otra parte por la distributividad de la interseccion respecto de la unionconjuntista

L ∩ (⋃

i∈I

Ti) =⋃

i∈I

(L ∩ Ti) = ∅ ⇒⋃

i∈I

Ti ∈ CL

entonces hay en CL algun maximal T , este es un complementario de L puesT ∈ CL ⇒ L ∩ T = ∅ y:

T + L 6= E ⇒ ∃P ∈ E, P /∈ T + L ⇒ (T + P ) ∩ L = ∅

porque en caso contrario

∃Q ∈ (T + P ) ∩ L ⇒ ∃R ∈ T, Q ∈ (R + P ) ∩ L ⇒ P inR + Q ⊂ T + L

Entonces T + P ∈ CL, T ⊂ T + P, T 6= T + P , en contradiccion con lamaximalidad de T .

Hemos comprobado que dado un espacio proyectivo generalizado su retıculode subespacios es modular complementario y atomico, si ademas es de longitudfinita, el espacio proyectivo generalizado se dice finito dimensional. Como elretıculo de subespacios de un espacio proyectivo generalizado finito dimensionalP es modular y de longitud finita se puede definir en el una funcion de dimension.

Llamaremos dimension proyectiva de un subespacio de P a su dimensioncomo elemento del retıculo de subespacios disminuida en una unidad. Comoconsecuencia de las propiedades de la dimension ya probadas en retıculos, ladimension proyectiva dimP verifica las propiedades siguientes:

1. dimP(∅) = −1, dimP(L) = 0 ⇔ L = {P}, P ∈ E

2. dimP(L) = r ⇔ ∃∅ ⊂ L0 ⊂ ..... ⊂ Lr = L cadena maximal

3. L1 ⊂ L2 ⇒ dimP(L1) ≤ dimP(L2) y se verifica la igualdad si y solo siL1 = L2

4. dimP(L1) + dimP(L2) = dimP(L1 + L2) + dimP(L1 ∩ L2)

De estas propiedades se pueden deducir las siguientes:

Propiedades 2.4.8.– 2.4.8.1. .- Si L1 y L2 son subespacios de un espacio

proyectivo generalizado P de dimension n y dimP(L1)+dimP(L2) ≥ n, entonces

dimP(L1 ∩ L2) = dimP(L1) + dimP(L2)− dimP(L1 + L2) ≥ 0

y en consecuencia L1 ∩ L2 6= ∅.2.4.8.2. .- Si r y r′ son dos rectas de un plano, o bien r = r′, o bien r y r′ secortan en un unico punto.

En efecto, si r y r′ son distintas, r ⊂6= r+r′ ⊂ P⇒ 1 = dimP(r) < dimP(r+r′) ≤ 2 ⇒ dimP(r+r′) = 2 ⇒ dimP(r∩r′) = dimP(r)+dimP(r′)−dimP(r+r′) =1 + 1− 2 = 0 ⇒ r ∩ r′ es un punto.


2.4.8.3. .- Se llama hiperplano de un espacio de dimension n a todo subespaciode dimension n− 1, claramente un subespacio H ⊂ P es un hiperplano si y solosi H ≺ P, es decir el unico subespacio que contiene estrictamente a H es todo elespacio. Entonces si H es un hiperplano y S un subespacio de dimension r nocontenido en H, S+H = P, porque contiene estrictamente a H, y por la formulade las dimensiones dimP(H ∩S) = r− 1. En particular, dados un hiperplano Hy una recta r, o bien r ⊂ H o bien r corta a H en un unico punto.

2.4.8.4. .- Si S y T son subespacios complementarios en P y dimP(P) = n,entonces dimP(S) = n− 1− dimP(T ).En efecto:

S + T = PS ∩ T = ∅

}⇒ dimP(S) + dimP(T ) = dimP(P) + dimP(∅) = n− 1

Por ejemplo, si S es una recta en un espacio de dimension tres, su espaciocomplementario es otra recta, que se dice que se cruza con ella.

2.4.8.5. .- Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimension y S es uncomplementario comun a S1 y S2, para todo subespacio T de S1, dimP((T +S) ∩ S2) = dimP(T ).

En efecto, T ⊂ S1 ⇒ T ∩ S = ∅ y § ⊂ T + S ⇒ (T + S) + S2 = P, entoncesde la formula de las dimensiones:

dimP((T + S) ∩ S2) = dimP(T + S) + dimP(S2)− dimP((T + S) + S2) =

= dimP(T ) + dimP(S)− dimP(T ∩ S) + dimP(S2)− n = dimP(T )

porque al ser S complementario de S2, dimP(S) + dimP(S2) = n − 1 = n +dimP(S ∩ T ).

Proposicion 2.4.9.– Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensiony S es un complementario comun a S1 y S2

1. Para todo punto P de S1, (P + S) ∩ S2) es un punto de S2.

2. La correspondencia

ψS : S1 −→ S2, ψS(P ) = (P + S) ∩ S2

es biyectiva

3. S1 y S2 tienen el mismo cardinal

Demostracion: El apartado uno es un caso particular de la propiedad 5 yel tercero es consecuencia del segundo. Para probar el apartado segundo bastaprobar que ψS tiene inversa y veremos que es:

ϕS : S2 −→ S1, ϕS(Q) = (Q + S) ∩ S1

Si P ∈ S1, se verifica que:

ϕSψS(P ) = (ψS(P ) + S) ∩ S1 = ((P + S) ∩ S2) + S) ∩ S1)


como S ⊂ P+S, por la propiedad modular S+(S2∩(P∗S)) = (S+S2)∩(P+S) =P ∩ (P + S) = P + S y de nuevo por la propiedad modular, al ser P ∈ S1 es(P + S) ∩ S1 = P + (S ∩ S1) = P + ∅ = P . Por simetrıa se obtiene que ϕS estambien la inversa por la derecha de ψS .

Observemos que en el ejemplo 7 de 2.4.3 las rectas {A,B} y {B,C, D} notienen un complementario comun mientras que las {A,B} y {A,C} si lo tienen,el punto D.

Definicion 2.4.10.– Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensiony S es un complementario comun a S1 y S2, la biyeccion:

ψS : S1 −→ S2, ψS(P ) = (P + S) ∩ S2

se llamara en lo sucesivo proyeccion desde S en P de S1 en S2

La proyeccion no depende del ambiente P como prueba el resultado siguiente:

Proposicion 2.4.11.– Si S1 y S2 son subespacios de P de la misma dimensiony T es un subespacio de P que contiene a S1 y S2.

1. Si S es un complementario comun en P a S1 y S2 T ∩S es un complemen-tario comun a S1 y S2 en T y la proyeccion desde S en P, ψS, coincidecon la proyeccion desde S ∩ T en T , ψS∩T

2. Si U es un complementario comun a S1 y S2 en T , y R es un complemen-tario de T en P, U + R es un complementario comun a S1 y S2 en P yψU = ψU + R

Demostracion: Comprobemos que S = S ∩ T es un complementario de S1 enT, para ello basta usar la propiedad asociativa de la interseccion la ley modulary que S es complementario de S1.

S ∩ S1 = (T ∩ S) ∩ S1 = T ∩ (S ∩ S1) = T ∩ ∅ = ∅S + S1 = (T ∩ S) + S1 = T ∩ (S + S1) = T ∩ P = T

De la misma forma se prueba que S ∩T es complementaria de S2 en T, y como:

∀ P ∈ S1, ((S ∩ T) + P ) ∩ S2 ⊂ (S + P ) ∩ S2

y ambos subespacios son puntos, los dos son iguales. Luego las proyecciones deS1 sobre S2 desde S y S ∩ T coinciden.

Para probar la segunda parte de la proposicion basta probar, teniendo encuenta la primera, que U + R es un complementario de S1 y de S2 en P y que(U +R)∩T = U . La ultima afirmacion es consecuencia de la propiedad modular,y la primera resulta de que obviamente:

(R + U) + S1 = R + (U + S1) = R + T = PP

y de que por la formula de las dimensiones:

R ∩ U = ∅ ⇒ dim(R + U) = dimR + dimU + 1


S1 S

2 U+A

A A' U B' U+B B C C' U+C S+A T S+B

S S+C

Figura 2.5: P es el espacio tridimensional y T el plano, la proyeccion de S1 en S2 desde U

en el plano coincide con la proyeccion desde S en el espacio

y al ser U complementario de S1 en T y R complementario de T en P,

dimT = dimU+dimS+1, dimP = dimR+dimT+1 = dimR+dimU+dimS+2

entonces

d1m((R+U) capS1) = dim(R+U)+dimS1−dim(R+U+S1) = dimR+dimU+1+dimS1−dimP = −1

Y lo mismo sucede con S2

Definicion 2.4.12.– Un conjunto F ⊂ E de puntos de un espacio proyectivose llama conjunto de puntos dependientes si y solo si

∃ P ∈ F, P ∈ L(F − {P})F se dice parte libre o conjunto de puntos independientes si no es un conjuntode puntos dependientes, esto es si y solo si

∀ P ∈ F, P /∈ L(F − {P})

Proposicion 2.4.13.– Sea (E,R) un espacio proyectivo generalizado de di-mension finita:

1. Si S1 y S2 son subespacios de(E,R), tales que S1 ⊂ S2, se verifica quedim(S2) = dim(S1) + 1 si y solo si existe un punto P /∈ S1 tal que S2 =S1 + P .


2. Si S es un subespacio de (E,R), dim(S) = r si y solo si

∃ {P0, ..., Pr} ⊂ S, parte libre y tal que S = P0 + ... + Pr

3. Si F = {P0, ...Pr} ⊂ E, F es parte libre si y solo si

dimP(L(F )) = dimP(P0 + ... + Pr) = r

4. Si {P0, ...Pn} ⊂ P y la dimension de P es n, {P0, ...Pn} son independientessi y solo si P0 + ... + Pr = P

5. Si {P0, ...Pr} son independientes en un espacio de dimension n existenpuntos {Pr+1, ...Pn} tales que {P0, ...Pn} son linealmente independientes.

Demostracion: Observemos en primer lugar que P /∈ L1 ⇒ {P} ∩ L1 = ∅ ypor la formula de las dimensiones:

dimP(L1 + P ) = dimP(L1) + dimP(P )− dimP({P} ∩ L1) = dimP(L1) + 1

Recıprocamente, si L1 ⊂ L2, dimP(L1) + 1 = dimP(L2) existe al menos unpunto P ∈ L2, P /∈ L1, entonces:

L1 ⊂ (L1+P ) ⊂ L2, dimP(L1 +P ) = dimP(L1)+1 = dimP(L2) ⇒ L2 = L1+P

La segunda afirmacion resulta trivialmente de la primera por induccion, y lomismo la tercera, la cuarta es un caso particular de la segunda y la quinta sesigue de la primera.

Consecuencia 2.4.14.– Si S es un subespacio de P y P /∈ S es un punto,existe un hiperplano que contiene a S y no contiene a P , y en consecuenciatodo subespacio de dimension r de un espacio de dimension n es interseccion den− r hiperplanos.

Demostracion: Si S = ∅ o S es un hiperplano no hay nada que demostrar, encaso contrario dimP(S) = r, 0 ≤ r ≤ n−2 y existen r +1 puntos independientes{P0, ..., Pr} con S = P0+...+Pr, como P /∈ S, {P0, ..., Pr, P} son linealmente in-dependientes y existen {Pr+2, ..., Pn}tales que {P0, ..., Pr, P, Pr + 2, ..., Pn} sonindependientes y su suma es todo el espacio. Entonces, P0+...+Pr+Pr+2+...+Pn

es el hiperplano buscado. La segunda afirmacion es trivial de la ya probada.

Proposicion 2.4.15.– Si toda recta de un espacio proyectivo contiene al menostres puntos, todo par de subespacios de la misma dimension tienen un comple-mentario comun (y en consecuencia todos los subespacios de la misma dimensiontienen el mismo cardinal).

Demostracion: Sean S1 y S2 dos subespacios de la misma dimension r deP, si S1 = S2 no hay nada que demostrar, si S1 6= S2 como tienen la mismadimension ninguno de ellos contiene al otro, luego ∃P ∈ S1, P /∈ S2, ∃Q ∈


S2, Q /∈ S1, entonces la recta P + Q contiene al menos un tercer punto R1, yR1 /∈ S1 porque P + R1 = P + Q /∈ S1 y por la misma razon R1 /∈ S2, peropor definicion de suma R1 ∈ S1 + S2. Tomamos ahora S1 + R1, S2 + R2 quetienen la misma dimension r + 1 y si son distintas repetimos el proceso, comoestamos limitados por la dimension de P, llegamosaunmomentoenque :S1 +R1 + ... + Rt = S2 + R1 + ... + Rt. Sea ahora T un complementario de estesubespacio, dimP(T ) = n− (r + t) y dimP(T + R1 + ... + Rs) = n− r, y comoS1 + R1 + ... + Rt + T = S2 + R1 + ... + Rt + T = P, por la formula de lasdimensiones T + R1 + ... + Rt es un complementario de S1 y S2.

Hemos visto las propiedades de los retıculos de subespacios de un espacioproyectivo generalizado, vamos a ver que estas propiedades bastan para carac-terizar dichos retıculos de subespacios. mas precisamente, dado un retıculo Rmodular, complementario, atomico y de longitud finita, podemos considerar elconjunto de sus atomos A(R) y este conjunto es suficiente para determinar elretıculo como establece la siguiente proposicion:

Proposicion 2.4.16.– Si R es un retıculo modular, complementario y atomico,se verifica que:

1. Si a, b ∈ R, a ≤ b, ∃ c, tal que : a t c = b, a u c = 0

2. Si ∀ x ∈ R, [x] = {a ∈ A(R), a ≤ x}, se verifica que x ≤ y ⇔ [x] ⊂ [y] yen consecuencia, x = y ⇔ [x] = [y]

Demostracion: La primera afirmacion resulta de la existencia del complemen-tario a de a. Si llamamos c = b u a, es:

a u c = a u (a u b) = (a u a) u b = 0 u b = 0

y por la propiedad modular, como a ≤ b es:

a t c = a t (a u b) = (a t a) u b = 1 u b = b.

Para probar la segunda basta observar que claramente x ≤ y ⇒ [x] ⊂ [y]. Laotra implicacion resulta de que decir que x y equivale a x u y < y entoncespor el apartado primero de la proposicion hay un complementario z 6= 0 de xuyen y, como el retıculo es atomico hay al menos un atomo a ≤ z, entonces a ≤ yy a no es menor o igual que x, luego [x] no es subconjunto de [y].

Con las notaciones anteriores podemos llamar puntos a los atomos de Ry rectas a los conjuntos [r] correspondientes a los elementos r del retıculo dedimension 2, y podemos designar con R al conjunto de rectas de RTeorema 2.4.17.– [Frink] Si R es un retıculo modular, complementario, atomi-co, y de longitud finita, entonces (A(R),R) es un espacio proyectivo generali-zado.

Demostracion: Hay que comprobar que se verifican los axiomas.


1. Toda recta contiene al menos dos puntos, ya que si [r] es una recta,dim(r) = 2 y hay una cadena maximal 0 < P < r con lo que P es nece-sariamente un atomo. Como P tiene un complementario en r, [r] contieneal menos otro atomo.

2. Para cada par de puntos distintos P, Q el elemento P tQ, verifica que:

dim(P tQ) = dim(P ) + dim(Q)− dim(P uQ) = 2

porque P y Q tienen dimension uno y como son atomos distintos PuQ = 0.Por tanto por P y Q pasa la recta [P tQ], y es la unica con esta propiedad,pues:

{P, Q} ⊂ [r] ⇒ P ≤ r,Q ≤ r ⇒ P tQ ≤ r

y como ambos tienen la misma dimension, coinciden.

3. Dados cinco puntos distintos dos a dos, A,B, C, B′, C ′ tales que A,B, C yA,B′, C ′ estan contenidos respectivamente en dos rectas [r], [s], podemossuponer que ambas son distintas, porque si son iguales el resultado estrivial, Entonces, r u s = A y por la formula de las dimensiones:

dim(r t s) = dim(r) + dim(s)− dim(r u s) = 2 + 2− 1 = 3

Como B,C, B′, C ′ son menores o iguales que r t s, tambien B t C ′ yC t B′ son menores o iguales que r t s y en consecuencia tambien lo es(B t C ′) t (C tB′), y por tanto:

dim((B t C ′) u (C tB′)) = dim(B t C ′) + dim(C tB′)−−dim(B t C ′) t (C tB′) ≥ 2 + 2− 3 = 1

Luego existe al menos A′ tal que B, A′, C ′ y C,A′, B′ estan alineados.

Es un ejercicio trivial aunque tedioso, comprobar que las dos corresponden-cias que hemos establecido son inversas una de la otra, es decir que si partimosde un retıculo modular, complementario, atomico y de dimension finita y cons-truimos el espacio proyectivo generalizado compuesto por sus atomos, el retıculode subespacios de este es isomorfo al de partida y, recıprocamente, si partimosde un espacio proyectivo generalizado y construimos el espacio de atomos de suretıculo de subespacios, obtenemos, con la identificacion evidente, el retıculo departida.


Ejercicio 2.4.16 En el retıculo de subespacios L(P) de un espacio proyectivogeneralizado de dimension proyectiva n, P:

1. Calcular la dimension proyectiva de un complementario S de S.


2. Escribir la afirmacion dual de dimP(S) = r

3. decir cuales son los objetos duales de punto y recta en el plano y de punto,recta y plano en el espacio de dimension tres.

Ejercicio 2.4.17 Probar que dos subespacios de un espacio proyectivo n-dimensional de dimensiones d y r con d + r ≥ n tienen necesariamente intersec-cion no vacıa

Ejercicio 2.4.18 Escribir, en el plano y en el espacio tridimensional las afirma-ciones duales de los axiomas de la definicion de espacio proyectivo generalizado

Ejercicio 2.4.19 Estudiar las posiciones relativas de dos rectas del espacio dedimension tres, en terminos de su suma y de su interseccion.

Ejercicio 2.4.20 Se dice que dos rectas del espacio de dimension tres se cruzansi no se cortan. Dada la proposicion:

Si r y s son dos rectas que se cruzan en un espacio de dimension tres y P esun punto no situado sobre ninguna de las dos, existe una unica recta que pasapor P y se apoya en r y s .

Enunciar la proposicion dual y demostrar ambas

Ejercicio 2.4.21 Sean r y s rectas distintas del plano proyectivo tales quer ∪ s 6= P. Probar que ambas tienen el mismo cardinal.

Ejercicio 2.4.22 Escribir los espacios proyectivos mınimos tales que:

1. Contengan tres puntos no alineados

2. Contengan cuatro puntos no alineados

3. Contengan cuatro puntos tales que tres cualesquiera de ellos no estenalineados

Ejercicio 2.4.23 Se llama triangulo a un conjunto de tres puntos no alineadosde un espacio proyectivo. Dados dos triangulos A1, A2, A3, B1, B2, B3, se diceque estan en posicion homologica si Ai 6= Bi ∀i y las rectas A1 + B1, A2 + B2,A3 + B3. Probar que dos triangulos en posicion homologica son coplanarios (esdecir estan contenidos en un mismo plano, o estan contenidos en un espacio dedimension tres.

Ejercicio 2.4.24 [Teorema de Desargues espacial] Dados dos triangulos A1, A2, A3,B1, B2, B3, en posicion homologica y no coplanarios, probar que los tres paresde rectas Ai + Aj y Bi + Bj , 1 ≤ i < j ≤ 3 son concurrentes.

Probar que si P es el punto de corte de A1 + A2 con B1 + B2, Q el de cortede A2 + A3 con B2 + B3 y R el de corte de A1 + A3 con B1 + B3, P , Q y Restan alineados.


Ejercicio 2.4.25 [Teorema de Desargues plano ] Probar el mismo resultadodel problema anterior si los dos triangulos estan en un plano contenido en unespacio de dimension mayor o igual que tres. Enunciado dual

Ejercicio 2.4.26 [Cuaterniones] Sea Q un espacio vectorial de dimension cuatrosobre el cuerpo real con base {1, i, j,k}.

1. Probar que existe una unica operacion en Q compatible con las de espaciovectorial y tal que

i2 = j2 = k2 = −1

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j

2. Probar que con esa operacion y la adicion de la estructura de espaciovectorial Q es un anillo con division.

Ejercicio 2.4.27 Sea K un anillo con division, probar que las rectas del planoproyectivo sobre K son exactamente los subconjuntos:

r(a, b, c) = {[x, y, z] | xa + yb + zc = 0}, (a, b, c) 6= (0, 0, 0)

Ejercicio 2.4.28 Dados en el plano proyectivo sobre un anillo con divisionK, las dos ternas de puntos A = [0, 1, O], C = [1, 1, 0], E = [x, 1, 0] y B =[0, 0, 1], D = [1, 0, 1], F = [1, 0, y]. Probar que ambas ternas de puntos estanalineadas. Probar ademas que los puntos:

(A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A)

estan alineados si y solo si xy = yx.

Ejercicio 2.4.29 [Pappus]1.5.3 Probar que los enunciados siguientes son equi-valentes:

1. Dadas en un plano proyectivo sobre un anillo con division K dos rectasr y s, tres puntos A,C,E sobre r y otros tres B, D,F sobre s, tales queninguno de ellos es r ∩ s, los puntos:

(A + B) ∩ (D + E), (B + C) ∩ (E + F ), (C + D) ∩ (F + A)

estan alineados.

2. K es conmutativo.

Ejercicio 2.4.30 Escribir todos los puntos y rectas del plano P2K cuando K =

Z/2Z

Ejercicio 2.4.31 Se llama t- diseno de tipo (v, k, λ) a un par D = (C,B) dondeC es un conjunto de v elementos, llamados puntos del diseno, B es una familiade subconjuntos de C, llamados bloques, de modo que, cada bloque contieneexactamente k puntos y cada conjunto de t puntos esta contenido exactamenteen λ bloques.


1. Comprobar que un plano proyectivo que no es union de dos rectas es undiseno y averiguar su tipo.

2. Comprobar que en todo 2-diseno con λ = 1 el numero de bloques quecontienen a cada punto es constante, y si llamamos a este numero r severifica que:r(k − 1) = v − 1

3. Comprobar que en todo 2-diseno con λ = 1 el numero de bloques b verificaque: b.k = v.r

Ejercicio 2.4.32 Comprobar que una configuracion (pα, rβ) es un diseno, ave-riguar su tipo, y determinar si las formulas del problema anterior permiten esta-blecer la imposibilidad de existencia de configuraciones para valores arbitrariosde p, r, α, β

Ejercicio 2.4.33 Dado un diseno D = (C,B) con C = {P1, ....Pv}, B ={e1, ...., eb}, se llama matriz de incidencia de D a una matriz MD de v filas yb columnas cuyo elemento de lugar (i, j) es un 1 si Pi ∈ ej y un cero en casocontrario.

1. Si Jn,m es la matriz n×m compuesta por unos. Probar que:

MDJb,h = kJv,h, Jh,vMD = rJh,b

2. Probar que :M tDMD = (r − λ)Ib + λJb,b

2.5. Colineaciones y proyectividades. Homologıas

Esta seccion esta dedicada a trabajar de modo sintetico con las transforma-ciones propias entre espacios proyectivos generalizados, en una primera aproxi-macion trabajaremos sin hipotesis suplementarias y probaremos que esas trans-formaciones son esencialmente isomorfismos de retıculos. Posteriormente anadi-remos hipotesis suplementarias para hacerlas mas manejables.

Definicion 2.5.1.– Sean P = (E,R), T = (F,S) espacios proyectivos gene-ralizados. Se llama colineacion de P en T a toda aplicacion π : E −→ F talque:

π es biunıvoca

∀U ⊂ E,R, π(U) ∈ S ⇔ U ∈ R


2.5.2.1. .- Sean P = (E,R), T = (F,S) espacios proyectivos generalizados, y seaπ : E −→ F una colineacion. Entonces ∀U ⊂ E, π(U) es un subespacio de T siy solo si U es un subespacio de P.

2.5. COLINEACIONES Y PROYECTIVIDADES. HOMOLOGIAS 73

En efecto: En los casos en que U = ∅ o contiene un solo punto, el resultadoes trivial. En el caso general, si U es subespacio y A′, B′ son puntos distintos deπ(U), por ser π biyectiva ∃A, B ∈ U , con A′ = π(A), B′ = π(B), la recta A+Besta contenida en U y π(A + B) es una recta que contiene a A′ y a B′, luegocoincide con A′+B′ y en consecuencia A′+B′ ⊂ π(U). El mismo razonamientoaplicado a π−1 prueba que si π(U) es subespacio, U lo es.

2.5.2.2. .- Es un ejercicio simple comprobar que la composicion de colineacioneses una colineacion, y la inversa de una colineacion tambien lo es. En consecuencialas colineaciones de un espacio en sı mismo forman un grupo.

2.5.2.3. .- Si S1 y S2 son subespacios de un espacio proyectivo generalizado queadmiten un complementario comun S, la aplicacion ψS : S1 −→ S2 descrita en2.4.9 es una colineacion, ya que por 5 tanto ella como su inversa transformanrectas en rectas. Esta colineacion se llama perspectividad de vertice S. Como ve-remos posteriormente, no toda colineacion es composicion de perspectividades.Al subgrupo generado por las perspectividades en el grupo de colineaciones sele llama grupo proyectivo y a sus elementos proyectividades, es decir una pro-yectividad es el resultado de componer un numero finito de perspectividades.

2.5.2.4. .- Si M es una matriz (n + 1) × (n + 1) con elementos en un anillocon division K, hay obviamente problemas en hablar de determinante, pero nolos hay en decir que M sea inversible, entonces si M es inversible define unaaplicacion biunıvoca:

fM : Kn+1 −→ Kn+1, fM (x0, ..., xn) = (x0, ..., xn)M

Es claro que fM (λx) = λfM (x) y en consecuencia fM induce una aplicacionbiunıvoca:

FM : PnK −→ Pn

K , FM ([x]) = [fM ([x])

que segun se comprueba facilmente es tambien una colineacion. Si K es uncuerpo, es decir si la multiplicacion es conmutativa, FM esta unıvocamentedeterminada por las imagenes de los puntos:

[1, 0, ...., 0], ..., [0, 0, ..., 1], [1, 1, ...., 1]

pero si no lo es este resultado no es cierto.(ver problema 41)

Proposicion 2.5.3.– Sean P = (E,R), T = (F,S) espacios proyectivos ge-neralizados y sea π : E −→ F una aplicacion. Las condiciones siguientes sonequivalentes:

1. π es una colineacion.

2. π transforma subespacios en subespacios (v. 2.5.2) e induce un isomorfis-mo de retıculos de L(E,R) en L(F,S)

3. π es sobre y, ∀{P0, P1, ..., Pr} ⊂ E los puntos {P0, P1, ..., Pr} son lineal-mente dependientes, si y solo si lo son los {π(P0), π(P1), ..., π(Pr)}.


Demostracion: (1) ⇒ (2).- Obvio porque π transforma subespacios en subes-pacios y al ser biunıvoca ella y su inversa conservan el contenido.

(2) ⇒ (3).- Los puntos {P0, P1, ..., Pr} ⊂ E son linealmente dependientes, siy solo si dimP(P0 +P1 + ...+Pr) < r y como pi es isomorfismo de retıculos estoes equivalente a que dimP(π(P0) + π(P1) + ... + π(Pr) < r y en consecuencia aque {π(P0), π(P1), ..., π(Pr)} son dependientes.

(3) ⇒ (1).- Si se verifica la condicion (3), π es biunıvoca pues es sobre porhipotesis y es inyectiva porque:

π(P ) = π(P ′) ⇔ {π(P ), π(P ′)} lin.dep. ⇔ {P, P ′)} lin.dep. ⇔ P = P ′

. Por tanto existe π−1 y transforma puntos dependientes en dependientes eindependientes e independientes por la equivalencia del enunciado, ası que bastaprobar que la imagen por π de una recta es una recta y automaticamente π−1

tendra esta misma propiedad´y quedara probado que π es colineacion.Pero r ⊂ (E) es una recta en P si y solo si existen P1, P2 linealmente inde-

pendientes en r tales que

∀P ∈ P : {P, P1, P2} lin. dep. ⇔ P ∈ r

, ya que al ser independientes P1, P2, la condicion {P, P1, P2} dependientes,equivale a P depende linealmente de {P1, P2}. Con esta hipotesis, π(P1), π(P2) ∈π(r) son linealmente independientes y ∀P ′ ∈ T, como π es sobre, ∃P ∈ P, conπ(P ) = P ′ y {P ′ = π(P ), π(P1), π(P2)} son linealmente dependientes si y solosi {P, P1, P2} lo son y en consecuencia P ∈ r ⇔ P ′ = π(P ) ∈ π(r). Luego π(r)es una recta de T

Una consecuencia inmediata de esta proposicion es que un isomorfismo deretıculos modulares, complementarios, atomicos y de dimension finita induceuna colineacion entre sus retıculos de atomos, y por tanto si identificamos espa-cios proyectivos generalizados y retıculos con las propiedades antes citadas, lascolineaciones se identifican con los isomorfismos de retıculos.

En lo sucesivo y para evitar ejemplos como el 7en el que aparecen subespa-cios con distinto cardinal, y para garantizar la existencia de complementarioscomunes a subespacios de la misma dimension substituiremos de ahora en ade-lante el primer axioma de la definicion de espacio proyectivo generalizado porotro mas restrictivo,el P−1∗. Ademas para poder exigir propiedades razonablesa las homologıas anadiremos un cuarto axioma :

Axioma P− 1∗ Toda recta contiene al menos tres puntos

Axioma P− 4 (Desargues) Dados seis puntos distintos dos a dos y tales quetres cualesquiera de ellos no estan alineados A1, A2, A3, B1, B2, B3, lasrectas A1 +B1, A2 +B2, A3 +B3 son concurrentes si y solo si (A1 +A2)∩(B1 + B2) = P , (A2 + A3) ∩ (B2 + B3) = Q, (A1 + A3) ∩ (B1 + B3) = R,y, P , Q y R estan alineados.

Como hemos visto en ?? si la dimension del espacio es mayor que dos no esnecesario imponer este ultimo axioma ya que es consecuencia de los anteriores,


si la dimension de P es dos existen planos proyectivos generalizados en los queno se verifica este axioma (ver el problema ??)

Definicion 2.5.4.– Llamaremos espacio proyectivo arguesiano a todo espacioproyectivo generalizado que verifique los axiomas P− 1∗ y P− 4Llamaremos homologıa a toda colineacion de un espacio proyectivo P en sı mis-mo con un hiperplano de puntos invariantes.

Proposicion 2.5.5.– Si σ : P −→ P es una homologıa distinta de la identidadexiste un haz de rectas invariantes por σ y uno solo, es decir existe un unicopunto O ∈ P tal que para toda recta r con O ∈ r, σ(r) = r

Demostracion: Sea H el hiperplano de puntos invariantes de σ (ver figura2.6), como σ 6= 1 existe un punto A tal que A 6= σ(A) = A′. La recta A + A′ noesta contenida en H, porque A no es invariante, luego corta a H en un punto T ,T 6= A′ porque en caso contrario A′ ∈ H ⇒ σ(A′) = A′ = σ(A) en contradiccioncon la inyectividad de σ. Entonces:

A+A′ = A+T = A′+T ⇒ σ(A+A′) = σ(A+T ) = σ(A)+σ(T ) = A′+T = A+A′

y A + A′ es invariante.Como en H hay algun punto distinto de T , podemos tomar uno de ellos U ,

y en A + U hay algun otro punto B, entonces:

B ∈ A + U ⇒ B′ = σ(B) ∈ σ(A) + σ(U) = A′ + U

Como (A+U)∩(B+U) = U , B 6= B′ luego existe la recta B+B′ y es invariantepor la misma razon que lo era la A+A′. Ademas A+A′ y B+B′ son coplanariasporque los cuatro puntos que las definen estan en el plano A+A′+U , por tantose cortan en un unico punto O, que al ser interseccion de dos rectas invarianteses invariante.

Si O /∈ H, todas las rectas por O cortan a H y al tener dos puntos invariantes,son invariantes. O es el unico punto con esa propiedad, porque si hubiese otroO′:

∀X /∈ O + O′, X = (O + X) ∩ (O′ + X) ⇒ σ(X) = σ((O + X) ∩ (O′ + X)) =

= σ(O + X) ∩ σ(O′ + X) = X

y si Y ∈ O + O′ y Y 6= σ(Y ) = Y ′, deberıa ser Y ′ ∈ O + O′ ya que estarecta es invariante, y por el razonamiento que hemos hecho con A existirıa Bno invariante fuera de O +O′. Si O ∈ H todas las rectas X +σ(X) pasan por Oporque si alguna no lo hiciera cortarıa a A + A′ en un punto O′ /∈ H, entoncesO′ serıa invariante y todas las rectas por O′ tambien, en consecuencia B = B′

y se llegarıa a contradiccion. Como O es invariante, todas las rectas X + σ(X)son invariantes, y siempre σ(X) ∈ O + X, porque en caso contrario aparecerıaotro punto invariante. En consecuencia las rectas por O son invariantes y O esel unico punto con esa propiedad.


O

A

B A'

B'

U T

H

O

Y

B O' X Y'

B' R P Q

S T

Figura 2.6: Construcciones de la existencia y unicidad del vertice del haz de rectas invariantes

Definicion 2.5.6.– El hiperplano de puntos invariantes se llama eje de lahomologıa y el vertice del haz de rectas invariantes se llama centro de la homo-logıa. Una homologıa se llama degenerada si su centro es un punto de su eje, yno degenerada en caso contrario.

Proposicion 2.5.7.– Sea π una homologıa de un espacio proyectivo P dedimension mayor o igual que dos, con centro O y eje h.

1. Si existe un punto P 6= O, P /∈ h tal que π(P ) = P entonces π es laidentidad

2. Si π 6= 1P y P 6= O, P /∈ h, P + π(P ) pasa por O

3. Si P 6= O, P /∈ h, Q 6= O, Q /∈ h, P 6= Q, O /∈ P + Q entonces P + Q yπ(P ) + π(Q) se cortan en h

4. Una homologıa queda unıvocamente determinada por su centro, O, su ejeh y la imagen de un punto P 6= O, P /∈ h

Demostracion: Como P /∈ h, toda recta por P corta a h en un punto, quetambien sera invariante, por tanto todas las rectas por P son invariantes, en-tonces, X /∈ P + O ⇒ X = (O + X) ∩ (P + X, luego X es interseccion dedos rectas invariantes y por tanto invariante. Si X ∈ P + O, como hay algunpunto R fuera de (P + O) ∪ h, y R es invariante por la construccion anterior,X /∈ O + R y X es tambien invariante.Por el resultado anterior P 6= π(P ) luego existe la recta P + π(P ), como larecta O + P es invariante, π(P ) ∈ O + P ⇒ O ∈ O + P = P + π(P ) yse verifica la segunda afirmacion. La tercera es consecuencia de que la rectaP + Q no esta contenida en h y en consecuencia la corta en un punto R que esinvariante, entonces R ∈ P + Q ⇒ R = π(R) ∈ π(P ) + π(Q)


P R R O P h h

C' C C' B' C A' A' A B B

O A (I) (II)

B'

Figura 2.7: Construcciones de las imagen de un punto en una homologıa, en los dos casos,

degenerado y no degenerado

Si π y φ son dos homologıas con centro O eje h y tales que π(P ) = φ(P ) = Q,entonces ∀X /∈ O + P, X = (O + X) ∩ (P + X) (ver la figura 2.7), pero porlos apartados anteriores, si R = (P + X) ∩ h, P + X = P + R → π(P + X) =π(P + R) = Q + R = φ(P + R) = φ(P + X), y como O + X es invariantepor ambas homologıas, π(X) = φ(X). Si X esta en la recta O + P , se toma unpunto fuera de ellas y se repite el razonamiento.

Nota 2.5.8.– Dados un punto O un hiperplano h y un par de puntos A, A′

diferentes de O, no contenidos en h y tales que O ∈ A + A′, la proposicionanterior no garantiza la existencia de una homologıa con centro O, eje h y quetransforme A en A′. Una tal homologıa, si existe, debe transformar cada puntoX /∈ O + P en el punto X ′ = (O + X) ∩ (R + A),con R = (P + X) ∩ h.Entonces no hay problema para construirla fuera de la recta O + A, pero paraconstruirla sobre la recta dependemos de la eleccion de un punto fuera de ella,entonces dados B y C no situados en O + P y sus imagenes B′, C ′ y un puntoD ∈ O + P tenemos que probar que la imagen de este punto construida usandoB, B′ es la misma que la construida usando C, C´(figura 2.8)

Para probar este resultado necesitamos el axioma de Desargues, que aplicadoa A,B,C, A′, B′, C ′ establece que B + C y B′ + C ′ se cortan en P + S (figura2.8 ), de nuevo la misma condicion aplicada a B, C,D, B′, C ′, D′, con D′ =(C ′ + Q) ∩ (B′ + R), establece que D′ ∈ D + O y por tanto el resultado.

Observese que hasta este punto no hemos precisado el axioma de Desargues,cuya finalidad es garantizar la existencia de suficientes homologıas en el sen-tido de esta nota y para espacios arguesianos hemos demostrado la siguienteproposicion:

Proposicion 2.5.9.– Dados un hiperplano H, un punto O /∈ H y dos puntosA,B no contenidos en H, distintos de O, y tales que O ∈ A + B existe unaunica homologıa con eje H, centro O y que transforma A en B

Dados un hiperplano H, y dos puntos A,B no contenidos en H, existe unaunica homologıa degenerada con eje H, que transforma A en B. (El centro de


P Q R S h

D' C' B' A'

D B C A

O

Figura 2.8:

esta homologıa seria precisamente O = H ∩ (A + B))


Ejercicio 2.5.34 Dados dos triangulos {A1, A2, A3}, {B1, B2, B3} de un planoproyectivo arguesiano tales que ningun vertice de uno de ellos esta sobre un ladodel otro, probar que son equivalentes las afirmaciones siguientes:

Las rectas Ai + Bi, i = 1, 2, 3, son concurrentes

Existe una homologıa no degenerada que transforma Ai en Bi , i = 1, 2, 3

Calcular el centro y el eje de esa homologıa y comprobar que es unica.

Ejercicio 2.5.35 Dados en un plano proyectivo arguesiano un triangulo [A1A2A3]y una recta r que no pasa por ninguno de sus vertices, llamamos ∀{i, j, k} ={1, 2, 3}, Bi = r∩ (Aj +Ak), Bi,j = (Ai +Bi)∩ (Aj +Bj). Probar que las rectasAk + Bi,j , ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual.

Ejercicio 2.5.36 Sean {A1, A2, A3, A4} cuatro puntos de un plano proyecti-vo arguesiano tales que tres cualesquiera de ellos no estan alineados, y seanP1 ∈ (A1 + A2) − {A1, A2}, P2 ∈ (A2 + A3) − {A2, A3}, P3 ∈ (A3 + A4) −{A3, A4}, P4 ∈ (A1 + A4) − {A1, A4}. Si (P1 + P2) ∩ (P3 + P4) ∈ (A1 + A3),probar que (P1 + P4) ∩ (P3 + P2) ∈ (A2 + A4). Enunciado dual.

Ejercicio 2.5.37 Dados cuatro puntos alineados y distintos dos a dos {P, Q, R, S}se dice que forman una cuaterna armonica, o que S es el cuarto armonico de


R respecto de P, Q, si existen otros cuatro puntos {A,B, C, D} tales que trescualesquiera de ellos no estan alineados y:

P = (A + B) ∩ (C + D), Q = (B + C) ∩ (A + D)

R = (P + Q) ∩ (A + C), S = (P + Q) ∩ (B + D)

Probar que en un plano arguesiano el cuarto armonico esta unıvocamentedeterminado, es decir que dados {A′, B′, C ′, D′} tales que tres cualesquiera deellos no esten alineados y :

P = (A′+ B′)∩ (C ′+ D′), Q = (B′+ C ′)∩ (A′+ D′), R = (P + Q)∩ (A′+ C ′)

entonces S = (P + Q) ∩ (B′ + D′)

Ejercicio 2.5.38 Se considera el conjunto R2 como conjunto de puntos y sellaman rectas a los conjuntos ra, rm,a definidos para cada par de numeros reales(m, a) por:

ra = {(x, y) ∈ R2 | x = a}Si m ≤ 0,

rm,a = {(x, y) ∈ R2 | y = mx + a}

Si m > O y H+, H− son las dos regiones en que el eje x divide al plano,la primera compuesta por los puntos de ordenada positiva y la segundapor puntos de ordenada negativa.

rm,a ∩H− = {(x, y) ∈ R2 | y = mx + a}rm,a ∩H+ = {(x, y) ∈ R2 | y = 2mx + 2a}

Probar que con estas rectas R2 es un plano afın generalizado, es decir verificaque:

A-1 Por dos puntos distintos pasa una unica rectaA-2 Dadas una recta r y un punto P /∈ r, existe una unica recta s tal que

P ∈ s y r ∩ s = ∅Y si embargo no verifica el axioma de Desargues (que se plantea para el plano

afın en cualquiera de sus formas reducidas (ver 1.5)). ¿Se puede completar elplano anterior a un plano proyectivo no arguesiano?

Ejercicio 2.5.39 Describir todas las homologıas del plano proyectivo de sietepuntos

Ejercicio 2.5.40 Un espacio proyectivo se dice que tiene caracterıstica 2 sicontiene una figura como la 4.10. Comprobar que el plano de siete puntos es decaracterıstica 2

y probar que en un espacio que no es de caracterıstica dos una homologıainvolutiva (es decir de cuadrado igual a la identidad) y distinta de la identidades necesariamente no degenerada.


A

B

C

Figura 2.9:

Ejercicio 2.5.41 Se consideran en el espacio proyectivo P2Q, donde Q es el anillo

con division de los cuaterniones, las proyectividades definidas por las matrices(ver 2.5) diag(1, 1, 1) y diag(i, i, i). Probar que ambas son distintas pero quedejan invariantes todos los puntos

[x0, x1, x2], xi ∈ R∀ i

2.6. Cuerpo asociado a un espacio proyectivo

Esta seccion esta dedicada a probar que todo espacio proyectivo arguesianoes de la forma Pn

K . Para ello necesitamos construir un cuerpo asociado al es-pacio proyectivo. Las construcciones usuales se hacen dotando de estructura decuerpo cada recta del espacio, despues de suprimir en ellas un punto, que comoveremos representa el infinito de la recta. Hay construcciones de dos tipos, unaspuramente proyectivas cono la de [26]y otras de naturaleza afın como las de [39]o [20], pero en ella no esta claro que la construccion no depende de la rectaelegida, es decir se dota a cada recta de estructura de cuerpo, pero aunque lasestructuras correspondientes a dos rectas sean cuerpos isomorfos, no se pruebeque no difieren en un automorfismo no trivial. Hay otro metodo que usa tecnicaspuramente algebraicas, construyendo de partida unas operaciones ternarias ex-cesivamente complejas y poco geometricas, el lector interesado puede encontrarbuenas exposiciones en esta lınea en [6] o [28]. En este texto adaptaremos anuestro lenguaje una construccion muy geometrica de tipo afın propuesta porE. Artin [5], basada en el uso de las homologıas degeneradas, que en el lenguajeafın corresponden a las traslaciones.

Proposicion 2.6.1.– Las homologıas de eje H de un espacio proyectivo ar-guesiano, con la composicion como operacion, forman un grupo. Las homologıasdegeneradas de eje H forman un subgrupo invariante de dicho grupo

Demostracion: La primera afirmacion es trivial porque la composicion de doscolineaciones que dejan invariantes todos los puntos de H es una colineacion y

2.6. CUERPO ASOCIADO A UN ESPACIO PROYECTIVO 81

deja invariante los puntos de H, y lo mismo sucede con la colineacion inversade una colineacion que deja invariantes los puntos de H.

Para probar la segunda afirmacion, consideremos primero una homologıadegenerada σ de eje H, σ queda unıvocamente determinada por H y por unpar de puntos homologos distintos A, σ(A) 2.5.9, y su centro es el punto O =(A+σ(A))∩H. Entonces existe una unica homologıa no degenerada τ de eje Hque transforma σ(A) en A, y su centro vuelve a ser el puntoO. En consecuenciaτσ es una homologıa degenerada de centro O, puesto que todas las rectas porO son invariantes por ambas homologıas. Ademas τσ(A) = A, luego τσ = 1 yτ es el inverso de σ. Luego la inversa de una homologıa degenerada es otra conel mismo eje.

Veamos que sucede con la composicion. Por la primera afirmacion si τ, σson homologıas degeneradas de eje H, τσ es una homologıa de eje H y solo hayque ver que es degenerada, si no lo es, tiene un centro P fuera de H y:

τσ(P ) = P ⇒ σ(P ) = τ−1(P )

pero como ambas son homologıas degeneradas τ−1 = σ y τσ = 1Solo nos queda ver que el subgrupo de las homologıas degeneradas de eje H

es invariante:Para comprobarlo tomamos una homologıa degenerada τ de centro O ∈ H y

una homologıa arbitraria σ. Para toda recta r que pasa por O, σ−1(r) pasa porσ−1(O) = O y σ−1 es una biyeccion del haz de rectas de vertice O en si mismo,en consecuencia si s pasa por O, existe otra recta por O, r, tal que s = σ−1(r)y :

σ−1τσ(s) = σ−1τσ(σ−1(r)) = σ−1τ(r) = σ−1(r) = s

Por tanto σ−1τσ es una homologıa degenerada de centro O como τ , y severifica la proposicion.

Proposicion 2.6.2.– El grupo de las homologıas degeneradas de eje H de unespacio proyectivo arguesiano, al que llamaremos TH , es abeliano.

Demostracion: Consideremos primero el caso en que τ y σ tienen distintoscentros, τστ−1 es una homologıa degenerada cuyo centro, como hemos vistoen la proposicion anterior es el centro T de σ. Como el centro de σ−1 coincidecon el de σ es tambien T y en consecuencia lo es de (τστ−1)σ−1 si es que estahomologıa no es la identidad. Ahora (τστ−1)σ−1 = τ(στ−1σ−1) y por el mismorazonamiento que acabamos e hacer si no es la identidad su centro es el de τ ,en consecuencia:

τστ−1σ−1 = 1 ⇒ τσ = στ

Si ambas homologıas tienen el mismo centro, como en H hay mas de un puntohay otra homologıa degenerada ρ con un centro distinto, entonces ρ conmutacon ambas. Ademas τρ tiene centro distinto del de σ, por que si tuvieran elmismo, que es tambien el de τ , τ−1(τρ) = ρ tendrıa el mismo centro que τ ,ası σ y τρ conmutan y:

σ(τρ) = (τρ)σ = τ(ρσ) = τ(σρ)


y multiplicando por ρ−1 se sigue el resultado

Proposicion 2.6.3.– Si P es un espacio proyectivo arguesiano y H es unhiperplano de P el grupo TH actua de forma simple y transitiva sobre P rH

Demostracion: La accion de grupo de TH sobre P r H es obvia, solo hayque probar que es simple y transitiva, es decir que dados dos puntos distintosA,B /∈ H, existe una unica homologıa degenerada de eje H que transforma Aen B, pero esto es lo que dice la proposicion 2.5.9.

En lo que sigue llamaremos τAB a la unica homologıa degenerada de eje Hque transforma A en B (ambos puntos en P rH y completamos esta notacionllamando, para cualquier punto A, τAA = Id, entonces se verifica que para todaterna de puntos A,B,C de P rH, τBCτAB = τAC.

Consideremos ahora el conjunto k de los endomorfismos f de TH tales que:

∀ σ ∈ TH , σtiene el mismo centro quef(σ)

al que anadimos el endomorfismo 0 dado por 0(τ) = Id, donde Id es la aplicacionidentidad del espacio proyectivo que es el elemento neutro del grupo TH

Proposicion 2.6.4.– Si f, g ∈ k, existen elementos f + g, f.g ∈ k tales que:

∀ τ ∈ TH ,

{(f + g)(τ) = f(τ)g(τ)(f.g)(τ) = f(g(τ))

Ademas, con las operaciones +, ., k es un anillo.

Demostracion: Como . es la composicion de aplicaciones, es claro que (k, .) esun semigrupo con elemento unidad. Para la suma la cuestion es menos simple,es claro que f + g es aplicacion y que τ y (f + g)(τ) tienen siempre el mismocentro, pero hemos de probar que f + g es homomorfismo de grupos:

(f + g)(τσ) = f(τσ)g(τσ) = f(τ)g(σ)g(τ)g(σ) =

= f(τ)g(τ)f(σ)g(σ) = (f + g)(τ)(f + g)(σ)

Las igualdades primera y ultima se deben a la definicion de f + g, la segundaa que f y g son homomorfismos y la tercera a la conmutatividad del grupo, ypor ellas f + g ∈ k.

Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma se deducen de las deTH , el cero dde la suma es la aplicacion 0 que hemos definido mas arriba, y paracada f ∈ k, −f es la aplicacion:

(−f) : TH −→ TH , (−f)(τ) = τ−1

que obviamente esta en k.Solo queda la propiedad distributiva, a izquierda y derecha que es conse-

cuencia de las definiciones como se aprecia a continuacion:

((f + g)h)(τ) = (f + g)(h(τ)) = (fh)(τ)(gh)(τ) = (fh + gh)(τ)


(h(f + g))(τ) = h(f(τ)g(τ)) = (hf)(τ)(hg)(τ) = (hf + hg)(τ)

Para probar que todo elemento de k tiene inverso multiplicativo, como lamultiplicacion es la composicion de aplicaciones, hay que probar que dos loselementos de k son automorfismos de TH , y para eso lo mas comodo es buscaruna forma de construir explıcitamente los elementos de k

Proposicion 2.6.5.– Si f ∈ k, f 6= 0 y si P /∈ H, existe una homologıa unicade eje H y centro P, σ tal que

f(τ) = στσ−1, ∀τ ∈ TH

Demostracion: Probemos primero la unicidad de σ a la vez que obtenemossu expresion. Para ello observemos que si el σ de la proposicion existe, dejainvariante P y:

f(τPQ) = στPQσ−1 ⇒ f(τPQ)(P ) = στPQσ−1(P ) = στPQ(P ) = σ(Q)

Luego σ si existe debe verificar que σ(Q) = f(τPQ)(P ) y por tanto es uni-co, y solo queda probar que esta formula define una homologıa que cumple laproposicion. Esto es consecuencia de la definicion de f . Si Q /∈ H es un pun-to arbitrario distinto de P y (P + Q) ∩ H = T , T es el centro de τPQ y enconsecuencia de f(τPQ) luego la recta P + σ(Q) = P + f(τPQ)(P ) pasa por T ,luego cualquiera que sea Q, Q + σ(Q) pasa por T . Elegimos un punto A /∈ H ytomamos σ(A), ahora cualquiera que sea Q no situado en A + P :

τPA = τQAτPQ ⇒ f(τPA) = f(τQA)f(τPQ) ⇒ σ(A) =

= f(τPA)(P ) = f(τQA)f(τPQ)(P ) = f(τQA)(σ(Q))

Y como τQA y f(τQA) tienen el mismo centro R, (A + Q) ∩ H = (σ(A) +σ(Q)) ∩ H = R, luego σ(Q) = (P + Q) ∩ (R + σ(A)) que es exactamente laconstruccion de la unica homologıa de eje centro P y eje H que transforma Aen σ(A).

Una vez que hemos visto que σ es una homologıa, es inmediato que:

(σ−1f(τPA)σ)(P ) = σ−1f(τPA)(P ) = σ−1σ(Q) = Q

Ahora bien,τPA es degenerada, luego su centro esta en H, f(τPA) tiene elmismo centro luego es tambien degenerada y por la invariancia del subgru-po de homologıas degeneradas, es tambien degenerada y con el mismo centroσ−1f(τPA)σ. Como una homologıa degenerada queda unıvocamente determina-da por la imagen de un punto,

σ−1f(τPA)σ = τPA ⇒ f(τPA) = στPAσ−1


Consecuencia 2.6.6.– k es un anillo con division.

Demostracion: Es inmediato de la proposicion, al ser cada f ∈ k un auto-morfismo interior del grupo TH tiene inverso multiplicativo

Definicion 2.6.7.– Llamaremos espacio proyectivo a todo espacio proyectivoarguesiano que verifique la siguiente condicion:

Axioma P− 5 (Pappus) Para cada par de rectas r y s secantes y distintas,dados tres puntos distintos dos a dos A,A′, A′′ sobre r y otros tres tambiendistintos dos a dos B, B′, B′′ sobre s, tales que ninguno de ellos es r ∩ s,los puntos:

(A + B) ∩ (A′′ + B′′), (B + A′) ∩ (B′ + A′′), (A + B′) ∩ (A′ + B′′)

estan alineados (figura 2.10).

Proposicion 2.6.8.– Si P es un espacio proyectivo de dimension mayor oigual que dos, el anillo con division k asociado a P es un cuerpo. Ademas eneste caso, para cualquier hiperplano H, TH es un k- espacio vectorial, y P rHadmite una accion de TH con la cual es un espacio afın.

Demostracion: La propiedad conmutativa de la multiplicacion es consecuenciadirecta del axioma P−5, ya que dadas f, g ∈ k, en virtud de la proposicion 2.6.5,existen homologıas no degeneradas con el mismo centro P , σ, τ , tales que:

∀γ ∈ TH , f(γ) = σ−1γσ, g(γ) = τ−1γτ

Entonces:fg(γ) = σ−1(τ−1γτ)σ = (τσ)−1γτσ

y, del mismo modo:

gf(γ) = τ−1(σ−1γσ)τ = (στ)−1γστ

Luego:fg = gf ⇔ τσ = στ

Por tanto solo hay que comprobar que la composicion de homologıas no dege-neradas con centro y eje dados es conmutativa.

Si τ y σ son homologıas de centro P y eje H (ver la figura 2.10), y quedandeterminadas por τ(A) = A′, σ(B) = B′, construyendo τσ(B) = B′′, στ(A) =A′′, el axioma de Pappus garantiza la conmutatividad.

Las restantes afirmaciones de la proposicion son consecuencia de la definicionde k y de la proposicion 2.6.5.

Notas 2.6.9.– 2.6.9.1. - Con la proposicion anterior hemos comprobado que

dado un espacio proyectivo P y un hiperplano H en el, existe un cuerpo k talque P r H tiene estructura de espacio afın sobre k. En el capıtulo siguiente


P

A

A’

A’’

B

B’

B’’

H

Figura 2.10:

veremos que esa estructura de espacio afın se puede extender para dotar a P deestructura de espacio proyectivo sobre k con las mismas rectas del espacio inicial.De este modo se completa nuestro objetivo de este capıtulo. Hemos comprobadoque las estructuras de retıculo modular, complementario y atomico, y espacioproyectivo generalizado son equivalentes. Y que la de espacio proyectivo sobreun cuerpo equivale a las dos primeras cuando se anaden los axiomas de Pappusy Desargues.

2.6.9.2. - Hemos comprobado tambien que el significado geometrico del axiomade Desargues es la transitividad de la accion del grupo de las homologıas de-generadas y que el de Pappus significa la conmutatividad del cuerpo, desde elpunto de vista algebraico, pero desde el punto de vista geometrico equivale a laconmutatividad de la composicion de homologıas non degeneradas con los mis-mos centros y ejes. Tambien significa como hemos visto en los problemas 41 42,la unicidad de la proyectividad de una recta del plano en otra que transformatres puntos dados en otros tres.

Solo queda comparar las nociones de proyectividad y colineacion y ese esprecisamente el objetivo del teorema de Staudt que tendremos ocasion de de-mostrar mas adelante.


Ejercicio 2.6.42 Sean r, s dos rectas distintas de un plano proyectivo, conr ∩ s = {P}, sean {A,B,C} ⊂ r, {A′, B′, C ′} ⊂ s dos ternas de puntos distintosdos a dos y distintos de P .

1. Probar que (A + B′)∩ (B + A′), (A + C ′)∩ (C + A′), (B + C ′)∩ (C + B′),


estan alineados.

2. Probar que existe una unica proyectividad de r en s que transforma A,B, Cen A′, B′, C ′

Ejercicio 2.6.43 Probar que la proyectividad del problema anterior es unaperspectividad si y solo si transforma P en P

Ejercicio 2.6.44 Construir siguiendo el proceso descrito en esta seccion, elcuerpo asociado al plano proyectivo de siete puntos y siete rectas.

Capıtulo 3

Espacio proyectivo

En este capıtulo introduciremos de forma analıtica los espacios proyectivoscomo espacios de rectas vectoriales de espacios vectoriales de dimension finita,ası tenemos un tipo particular de espacios proyectivos generalizados a los quese pueden aplicar simultaneamente, tanto las tecnicas del algebra lineal comolas tecnicas geometricas desarrolladas en los capıtulos anteriores.

3.1. Dependencia lineal. Subespacios

En todo lo que sigue, designaremos con V a un espacio vectorial de dimensionn+1 sobre un cuerpo arbitrario K. La relacion definida en el conjunto V −{0}por

v ∼ w ⇒ ∃a ∈ K | av = w

es claramente una relacion de igualdad.

Definicion 3.1.1.– Llamaremos espacio proyectivo asociado al espacio vec-torial V al conjunto

P(V ) = V − {0}/ ∼Los elementos de P(V ), a los que llamaremos puntos, son los conjuntos devectores:

P = [v] = {av | a ∈ K, a 6= 0}, ∀v ∈ V − {0}Si P = [v], diremos que el vector v representa al punto P .

Si al conjunto de vectores [v] que forman un punto proyectivo le anadimosel vector cero, tenemos la recta vectorial de V generada por v, por esta razon alos puntos los llamaremos a veces rectas vectoriales.

Para desvincular la nocion de punto de la de vector, se puede dar una defi-nicion mas general de espacio proyectivo que es la siguiente:

Definicion 3.1.2.– Llamaremos Espacio proyectivo a una terna (P, ψ, V ),donde: P es un conjunto, a cuyos elementos llamaremos puntos, V es un espacio

87

88 CAPITULO 3. ESPACIO PROYECTIVO

vectorial de dimension n+1, (n se llama entonces dimension de P) y ψ es unabiyeccion de P sobre P(V ).

En lo sucesivo y cuando no haya confusion en ello, representaremos al espa-cio proyectivo (P, ψ, V ), simplemente por P, diremos que esta asociado a V eidentificaremos cada punto con la recta vectorial que le corresponde por ψ, esdecir diremos que el vector v es un representante del punto P y escribiremosP = [v] para representar ψ(P ) = [v]

[v4] [v5]

v4 v5

[v1] [v3]

v2 v1

[v2] v3

Figura 3.1: Los puntos {[v1][v2][v3]} son linealmente dependientes, y los {[v1][v2][v4]} son

independientes, el punto [v5] depende linealmente de {[v1][v2][v4]}

Notas 3.1.3.– El espacio proyectivo es algo mas que el conjunto P(V ), ya que,aunque las operaciones de V no se pueden llevar a P(V ), la estructura de V setraslada parcialmente a este espacio. Podemos transmitir la estructura de V aP(V ) de tres formas distintas recogidas en las tres notas siguientes:

3.1.3.1. La propiedad mas caracterıstica de V es la dependencia lineal, que selleva al espacio proyectivo diciendo que los puntos P1, . . . , Pr de P(V ) son li-nealmente dependientes (o independientes) si Pi = [vi], 1 ≤ i ≤ r, y los vectoresv1, . . . ,vr son linealmente dependientes (o independientes).

Tambien se dice que el punto P depende linealmente del subconjunto E ={Pi}i∈I = {[vi]}i∈I de P(V ) si y solo si el vector v depende linealmente de losvectores {vi}i∈I , es decir si y solo si existen P1, . . . , Pr contenidos en E talesque v depende linealmente de v1, . . . ,vr.

Obviamente las definiciones anteriores no dependen de los vectores elegi-dos como representantes de los puntos. Tambien es claro que la dependencia eindependencia lineales de puntos verifican las mismas propiedades que las devectores, y en consecuencia, podemos definir en el retıculo de subconjuntos de

3.1. DEPENDENCIA LINEAL. SUBESPACIOS 89

un espacio proyectivo P asociado a un espacio vectorial V un operador LP por:

LP(E) = {P ∈ P | P depende linealmente de E}.

Las propiedades de la dependencia lineal de vectores prueban que LP es unoperador de linealizacion (ver 2.1.8).

3.1.3.2. Si P = P(V ) y L 6= {0} es un subespacio del espacio vectorial V , L estambien espacio vectorial y se puede construir su espacio proyectivo asociadoP(L). Como cada recta vectorial en L es tambien una recta vectorial en V , P(L)es un subconjunto de P(V ). Podemos definir tambien P({0}) = ∅, construyendoası una aplicacion, claramente inyectiva, P : L(V ) −→ P(P(V )).

Esta aplicacion conserva los extremos inferiores, es decir las intersecciones,de familias arbitrarias. En efecto, dada la familia de subespacios, {Li}i∈I :

P(⋂

i∈I

Li) = {[v] | v ∈⋂

i∈I

Li} =⋂

i∈I

{[v] | v ∈ Li} =⋂

i∈I

P(Li).

En consecuencia la imagen de la aplicacion P es un subconjunto del retıculode subconjuntos de P(V ) cerrado para extremos inferiores de conjuntos arbitra-rios, luego tiene estructura de retıculo completo con las operaciones interseccionconjuntista y suma, donde esta ultima esta definida por:

P(L1) + P(L2) = inf{P(L) | P(L1) ⊂ P(L),P(L2) ⊂ P(L)} =

P(inf{L | L1 ⊂ L, L2 ⊂ L}) = P(L1 + L2)

= P(L) se llama subespacio proyectivo asociado a L y el retıculo Im(P) con lasoperaciones anteriores se llama retıculo de subespaciosdel espacio proyectivo yse representa por L(P(V )), claramente la aplicacion P es un isomorfismo entreeste retıculo y el de subespacios de V .

3.1.3.3. Podemos construir una estructura de espacio proyectivo generalizado enel conjunto P(V ) llamando rectas a los conjuntos ru,v, definidos para cada parde vectores linealmente independientes u,v de V por:

ru,v = {[αu + βv] | (α, β) ∈ K2, (α, β) 6= (0, 0)}.

No comprobaremos aquı que se verifican las propiedades caracterısticas de laestructura, ya que lo hemos visto par el caso mas general en que K es un anillocon division (ver 2.4.3) y ademas esta incluido en la proposicion que sigue:

Proposicion 3.1.4.– Sea P = P(V ) un espacio proyectivo, con las notacionesanteriores se verifica que:

1. El retıculo L(P(V )) es el retıculo asociado al operador de linealizacion LP

2. El retıculo L(P(V )) es modular complementario y atomico y su espacioproyectivo generalizado asociado es el descrito en la nota anterior.


Demostracion: Para probar la primera afirmacion, basta probar que LP(P(L)) =P(L), lo cual es trivial, ya que por la definicion de dependencia lineal, se verificaque: [v] ∈ LP(P(L)) ⇒ [v] depende linealmente de {[v1], ..., [vr]} ⊂ P(L) ⇒ vdepende linealmente de {v1, ...,vr} ⊂ L ⇒ v ∈ L ⇒ [v] ∈ P(L) y el otrocontenido es consecuencia de las propiedades del operador de linealizacion.

La segunda afirmacion es consecuencia de que los retıculos de subespaciosde P y V son isomorfos. La tercera se sigue de que los elementos de P(V )son las rectas vectoriales, es decir son los atomos de L(V ) y las rectas ru,v

son exactamente, ru,v = P(L(u,v)) es decir los elementos de dimension dos delretıculo de subespacios. Por tanto P(V ) tiene la estructura de espacio proyectivogeneralizado asociada al retıculo L(P) ' L(V )

Nota 3.1.5.– Como consecuencia de la proposicion anterior:

1. Las operaciones en el retıculo de subespacios L(P) son:

Si = P(Li), i = 1, 2 ⇒ S1 ∩ S2 = P(L1 ∩ L2), S1 + S2 = P(L1 + L2)

2. El retıculo L(P) tiene las mismas propiedades que el L(V ), es decir ; esun retıculo con cero (∅) y uno (P), atomico, complementario y modular.

3. Se puede definir en P como espacio proyectivo generalizado la dimensionproyectiva dimP(P(L)) = dim(L)− 1, donde dim(L) es la dimension de Lcomo subespacio vectorial de V que es la misma que su dimension comoelemento del retıculo L(V ) y se verifica que :

a) dimP(∅) = −1

b) S1 ⊂ S2 ⇒ dimP(S1) ≤ dimP(S2)

c) S1 ⊂ S2, dimP(S1) = dimP(S2) ⇒ S1 = S2

d) dimP(S1) + dimP(S2) = dimP(S1 + S2) + dimP(S1 ∩ S2)

e) Si S es el complementario de S, dimP(S = dimP(P)− dimP(S)− 1

Ejemplos 3.1.6.–

3.1.6.4. - Si V = Kn+1, los puntos de P(V ) son clases de matrices:

[a0, ..., an] = {(aa0, ..., aan) | a ∈ K, a 6= 0, (a0, ..., an) 6= (0, ..., 0)}Al espacio proyectivo P(Kn+1) lo representaremos por Pn

K .Si K es un cuerpo finito y #(K) = r, el numero de elementos de Kn+1 − {0}es rn+1 − 1 . Como cada clase en la relacion ∼ tiene r − 1 elementos, resultadode multiplicar un representante de la clase por los r − 1 elementos no nulos deK, el numero de puntos de Pn

K es entonces

#(PnK) =

rn+1 − 1r − 1

=n∑

i=0

ri


Ası, P2Z/(2) tiene 1 + 2 + 22 = 7 puntos y P2

Z/(3) 1 + 3 + 32 = 13 puntos.Teniendo en cuenta el isomorfismo L(Pn(K) ' L(Kn+1) para averiguar cuantossubespacios de dimension d hay en Pn(K) basta averiguar cuantos subespaciosde dimension d + 1 hay en Kn+1, y para hacer esto ultimo observemos que eneste espacio:

1. El numero de vectores distintos de 0 es rn+1 − 1

2. Para cada vector v1 6= 0, los vectores dependientes de el forman un espaciode dimension uno es decir son exactamente r , luego el numero de vectoreslinealmente independientes de el es rn+1 − r. En consecuencia el numerode pares de vectores linealmente independientes es (rn+1 − 1)(rn+1 − r).Ahora, como el numero de bases en un espacio de dimension dos es elnumero de pares de vectores independientes en un espacio de dimensiondos o sea (r2 − 1).(r2 − r), el numero de subespacios de dimension dos,que es el de rectas proyectivas, se obtiene sin mas que dividir el numerototal de bases por el numero de las que hay en cada plano, es decir es(rn+1−1)(rn+1−r)

(r2−1)(r2−r) . Ası el numero de rectas en el plano es (r3−1)(r3−r)(r2−1)(r2−r) =

r2 + r + 1 y el de rectas en un espacio de dimension 3, (r4−1)(r4−r)(r2−1)(r2−r) =

(r2 + 1)(r2 + r + 1)

3. Inductivamente se prueba que el numero de (d+1)-uplas de vectores inde-pendientes es (rn+1−1)(rn+1−r)...(rn+1−rd), y como el numero de basesde un espacio de dimension d+1 es tambien el numero de (d+1)-uplas devectores independientes en ese espacio, o sea (rd+1−1)(rd+1−r)...(rd+1−rd), el numero de subespacios vectoriales de dimension d + 1, que es el desubespacios proyectivos de dimension d es:

(rn+1 − 1)(rn+1 − r)...(rn+1 − rd)(rd+1 − 1)(rd+1 − r)...(rd+1 − rd)

3.1.6.5. .- Si R2/O es el conjunto de rectas afines que pasan por el origen de R2

, podemos dotarlo de estructura de espacio proyectivo con la correspondencia:

φ : R2/O −→ P1R , φ(s) = [v] ⇔ v tiene la direccion de s

Para hacernos una idea mejor de la estructura de este espacio, podemos cortarR2/O por una recta r que no pase por O; tenemos ası una aplicacion

r −→ R2/O

que asigna a cada punto B la recta OB, componiendo con φ, tenemos unaaplicacion:

r −→ P1R

que asigna a cada punto B de r el punto de P1R representado por [−−→OB].


P∞ O = ∞ r∞

A5 A1

A4 A2

B5 B4 A3 =B3 B2 B1

P5 P4 P3 P2 P1

Figura 3.2: Se puede establecer una correspondencia biunıvoca entre la recta proyectiva

real,la recta r mas el punto r∞, y la circunferencia, el punto del infinito se corresponde con

el O

Esta aplicacion (ver figura 3.2) es inyectiva, pero no es sobre, ya que el puntoP∞ de P1

R correspondiente a la recta r∞, paralela a r por O no pertenece a laimagen de la aplicacion, ası y ”de modo ingenuo”podemos decir que

(?) P1R = r ∪ P∞

Ahora bien, observemos que:

1. Si partimos del punto P1 ∈ P1R y, fijado un sentido de recorrido , iniciamos

un camino a lo largo de este espacio, mirando al mismo tiempo la marchadel punto correspondiente en r, se aprecia que este ultimo se va yendohacia el ”infinito”, pero una vez pasado este, sin que el hecho se aprecieen P1

R, se vuelve desde el infinito para llegar de nuevo al punto de partida.

2. La formula (?) no es privativa de R. Si K es un cuerpo finito

#(P1K) = 1 + #(K)

Es decir, P1K anade siempre un ”punto del infinito.a la recta afın.

3. Si consideramos una circunferencia S que pasa por O y sea tangente a rpodemos definir una correspondencia biunıvoca :

ψ : S −→ P1R

ψ(A) = [−→OA], ∀A 6= O, ψ(O) = r∞ (paralela a r por O)

que dota a S de estructura de espacio proyectivo. Desde un punto de vistatopologico esta es una buena representacion de P1

R ya que mantiene mejor


la proximidad de los puntos que la anterior. En la ultima seccion de estecapıtulo hablaremos de la topologıa de los espacios proyectivos reales ycomplejos y precisaremos esta afirmacion.

3.1.6.6. .- Si K[x0, .., xn] es el anillo de polinomios en las indeterminadas x0, .., xn,los polinomios homogeneos de grado d

P (x0, .., xn) =∑

i0+..+in=d

Pi0,...,inxi00 . . . . .xin

n

forman un K-espacio vectorial de dimension(

n + dd

)al que se suele repre-

sentar por Sn,d. El espacio proyectivo P(Sn,d), llamado espacio de d-formas enn + 1 variables , tiene considerable interes en geometrıa. Por ejemplo, si d = 1las 1- formas:

[a0x0 + .. + anxn] == {aa0x0 + .. + aanxn = 0 | a ∈ K, a 6= 0 (a0, .., an) 6= (0, .., 0)}

se pueden identificar con los hiperplanos de Kn+1, ya que cada hiperplano vec-torial de Kn+1 tiene una ecuacion en la referencia canonica

a0x0 + · · ·+ anxn = 0

y dos hiperplanos coinciden si y solo si sus ecuaciones son proporcionales, es de-cir, representan la misma 1-forma. Entonces, P(Sn,1) es el espacio de hiperplanosde Kn+1

En el caso d = 2, se obtienen todas las 2-formas, que se pueden identificar a lasclases de formas cuadraticas sobre Kn+1, modulo la relacion

Q1 ∼ Q2 ⇔ Q1 = λQ2

mas adelante veremos que cada clase de formas cuadraticas se puede identificara una cuadrica y P(Sn,2) es un espacio cuyos puntos se corresponden con lascuadricas del espacio proyectivo.

3.1.6.7. .- Como es bien sabido, fijada en R2 una referencia cartesiana, la ecua-cion de una circunferencia es

x2 + y2 + ax + by + c = 0, a2 + b2 − 4c > 0.

La misma circunferencia esta definida tambien por el resultado de multiplicarsu ecuacion por un numero real no nulo. Podemos, por tanto, llamar “circunfe-rencia´´ e incluso suprimir las comillas, a toda familia de ecuaciones:

γ(a0x2 + a0y

2 + a1x + a2y + a3) = 0

El conjunto Γ de “circunferencias´´,es un conjunto de clases de ecuaciones.Ahora bien, identificando cada clase de ecuaciones con el conjunto de sus solu-ciones, Γ contiene a todas las circunferencias usuales, pero tambien contiene alas circunferencias imaginarias como

x2 + y2 + 1 = 0


a todas las rectas:ax + by + α = 0

e incluso ecuaciones como la 1 = 0, que se puede interpretar como la ecuacion delconjunto vacıo. Γ se puede dotar de estructura de espacio proyectivo (Γ, ψ, V )tomando V = R4 y definiendo

ψ(γ(a0x2 + a0y

2 + a1x + a2y + a3)) = [a0, a1, a2, a3].

Observemos por ejemplo, que si C1, C2 son circunferencias que se cortan en dospuntos A y B, una circunferencia C depende linealmente de C1 y C2 si y solo sicontiene a los puntos A y B y que la recta A + B tambien depende linealmentede C1 y C2.


Ejercicio 3.1.45 Sea K un cuerpo con q elementos y sea V un espacio vectorialde dimension n+1 sobre K. Calcular cuantas bases distintas (como subconjun-tos) tiene V , cuantas referencias distintas hay en P(V ) y cuantos subespaciosde dimension d hay en P(V )

Ejercicio 3.1.46 Probar que si una familia de rectas {r1}1≤i≤n de un espaciode dimension tres se cortan dos a dos, todas ellas estan contenidas en un plano.Resultado dual

Ejercicio 3.1.47 Se consideran dos circunferencias reales C1 y C2 en el espacioproyectivo de circunferencias. Probar que en la recta de dicho espacio que pasapor C1 y C2 hay una unica recta r

1. Probar que si C1 ∩ C2 = {A,B} r es la recta que pasa por A y B

2. ¿Que recta es la recta r si C1 y C2 son tangentes?

3. Probar que r es el eje radical de C1 y C2, es decir el lugar geometricode los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las doscircunferencias

Ejercicio 3.1.48 Averiguar la posicion relativa de todas las rectas del planoeuclıdeo que pertenecen a un plano del espacio de circunferencias definido portres circunferencias reales.

Ejercicio 3.1.49 Comprobar que si r ≥ 1, s ≥ 1la correspondencia:

Vrs : PrK × Ps

K −→ Prs+r+s

Vrs([x0, ..., xr], [y0, ..., ys]) = [x0y0, ..., x0ys, x1y0, ..., xrys]

Es una aplicacion inyectiva, pero no sobre.Para r = s = 1 dar la ecuacion de la imagen de la aplicacion.

3.2. REFERENCIAS PROYECTIVAS. COORDENADAS 95

3.2. Referencias proyectivas. Coordenadas

Si V es un espacio vectorial de dimension n+1 sobre un cuerpo K, la eleccionde una base de V supone definir una biyeccion entre V y Kn+1 asignando a cadavector sus coordenadas en dicha base. Si partimos ahora de un espacio proyectivoP(V ) y si B = {v0, . . . ,vn} es una base de V , podemos asociar a cada punto[v] de P(V ) las coordenadas [a0,..., an] ∈ P(Kn+1), si v =

∑ni=0 aivi, estas

coordenadas no son unicas, al no serlo el representante del punto, pero estandeterminadas salvo un factor de proporcionalidad.

Ahora bien, el concepto base de V no es proyectivo, ya que en P(V ) solo haypuntos, y no hay a priori ninguna manera de elegir vectores que los representen.Mas precisamente, si tomamos n+1 puntos independientes {P0, . . . , Pn}, como ladimension de V es n+1, estos puntos seran tambien generadores, en el sentido deque todo punto de P(V ) dependera de ellos. Estos puntos corresponden a rectasvectoriales: {[v0], . . . , [vn]}, tales que cualquier conjunto de representantes deestas rectas es una base de V , el problema es que se obtienen bases {w0, . . . ,wn},con wi = aivi, 1 ≤ i ≤ n donde {a0, ..., an} varıan arbitrariamente. De estemodo no se puede asociar a cada punto unas coordenadas, ya que estas variarıanarbitrariamente en funcion de la base elegida.

Ası que no bastan n + 1 puntos independientes para tener coordenadas y esnecesario hacer la construccion que se indica a continuacion:

P0

v0 T

w0 t

u w1 v0 + v1 U

v1

P1

Figura 3.3: La base {v0,v1} es la base normalizada asociada a la referencia {P0, P1; U}. En

cambio la base normalizada asociada a {P0, P1; T} es {w0,w1}

Definicion 3.2.1.– Llamaremos referencia proyectiva en un espacio proyectivode dimension n a un conjunto ordenado de n + 2 puntos

R = {P0, . . . , Pn;U}


tales que n + 1 cualesquiera de ellos son linealmente independientes.Llamaremos base normalizada asociada a la referencia (ver figura 3.3), a unabase B = {v0, . . . ,vn} tal que

[vi] = Pi, 0 ≤ i ≤ n, [v0 + · · ·+ vn] = U

Proposicion 3.2.2.– Sea R = {P0, . . . , Pn; U} una referencia proyectiva deun espacio P de dimension n sobre un cuerpo K.

1. Existe una base normalizada asociada a R2. Si B1 = {v0, . . . ,vn}, B2 = {u0, . . . ,un} son dos bases normalizadas

asociadas a R, existe λ ∈ K tal que: vj = λuj, ∀j, 0 ≤ j ≤ n

Demostracion: Sea Pi = [wi], 0 ≤ i ≤ n y sea U = [w], como P0, . . . , Pn sonlinealmente independientes, los vectores {w0, . . . ,wn} lo son tambien y puestoque P = P(V ) y dim(V ) = dim(P) + 1 = n + 1, estos vectores son base de V .Entonces

w = λ0w0 + · · ·+ λnwn

y λi 6= 0,∀i, ya que en caso contrario, ∃j con λj = 0 y los puntos P0, · · · , Pj , · · · , U ,donde Pj significa que se suprime Pj , serıan dependientes, en contradiccion conla definicion de referencia. Por tanto si llamamos vi = λiwi, ∀i, 0 ≤ i ≤ n, se ve-rifica que: Pi = [vi], [

∑n0 vi] = [w] = U y {v0, . . . ,vn} es una base normalizada

asociada a la referencia R.Si {v0, . . . ,vn} y {u0, . . . ,un} son bases normalizadas asociadas a la refe-

rencia R, U = [v0+· · ·+vn] = [u0+· · ·+un] ⇒ λ(v0+· · ·+vn) = u0+· · ·+un.Por otra parte, Pi = [ui] = [vi], ∀i, 0 ≤ i ≤ n, luego ui = λivi, de donde

λ(v0 + · · ·+ vn) = u0 + · · ·+ un = λ0v0 + · · ·+ λnvn

y por ser {v0, . . . ,vn} una base, se deduce que

λ0 = . . . = λn = λ

como querıamos demostrar.En consecuencia, si P ∈ P(V ), R = {P0, . . . , Pn : U} es una referencia

de P y B = {v0, . . . ,vn} es una base normalizada asociada a R, tomando unrepresentante v de P , las coordenadas (x0, . . . , xn) de v en B dependen, salvoun factor de proporcionalidad, de P y B ya que el representante v de P y labase B estan unıvocamente definidas salvo un factor de proporcionalidad. Estosnumeros, (x0, . . . , xn) se llaman coordenadas de P en la referencia R, y puestoque dos juegos de coordenadas del punto P son proporcionales, en lo sucesivo,llamaremos coordenadas de P a la familia de matrices

[x0, . . . , xn] = {(ρx0, . . . , ρxn) | ρ ∈ K, ρ 6= 0}En resumen, dado un punto P y una referencia R = {P0, . . . , Pn : U}, lasafirmaciones siguientes son equivalentes:


1. P tiene coordenadas [x0, . . . , xn] en R2. Si Pi = [vi], 0 ≤ i ≤ n, U = [

∑n0 vi] y es:

P = [v] y ∃λ ∈ K con v = λx0v0 + · · ·+ λxnvn.

3. Existen representantes wi de los puntos Pi, 0 ≤ i ≤ n tales que:

[w0 + ... + wn] = U, [x0w0 + ... + xrwr] = P

En terminos mas formales, cada referencia R induce una biyeccion

πR : P(V ) −→ PnK

P 7→ [x0, . . . , xn]

que transforma puntos dependientes en dependientes y puntos independientesen independientes.

Como las coordenadas de puntos son en esencia coordenadas de vectores, lasformulas de cambio de referencia en el espacio proyectivo son las mismas quelas de cambio de base en el espacio vectorial. mas precisamente, pretendemosresolver el problema siguiente:

Dadas dos referencias en el espacio proyectivo P(V ):

R = {P0, . . . , Pn : U}, R′ = {Q0, . . . , Qn : W}y supuesto que conocemos las coordenadas [ai0, . . . , ain] de Qi, 0 ≤ i ≤ n y lascoordenadas [a0, . . . , an] de W en R, relacionar, para un punto generico P deP(V ), las coordenadas [x0, . . . , xn] de P en R, y las coordenadas [y0, . . . , yn] deP en R′.

Para resolverlo, lo planteamos en terminos vectoriales y para ello tomamosdos bases normalizadas asociadas a las referencias R y R′ respectivamente:

{p0, . . . ,pn}, {q0, . . . ,qn}entonces

[qi] = [ai0p0 + · · ·+ ainpn][w] = [a0p0 + · · ·+ anpn]

por ser [ai0, . . . , ain] las coordenadas de Qi y [a0, . . . , an] las de W en la referenciaR. De este modo, qi = λi(ai0p0+ · · ·+ainpn), w = λ(a0p0+ · · ·+anpn) y como[∑

qi] = [w] es β.∑

qi = w; llevando a esta formula las igualdades anteriores,se tiene

β

n∑

i=0

λi

n∑

j=0

aijpj = w ⇒ β.

n∑

j=0

(n∑

i=0

λiaij)pj = λ.

n∑

j=0

ajpj

de donde

∀j β.

n∑

i=0

λiaij = λaj


y llamando ρ = λ/β, seria, en terminos matriciales:

a00 a10 . . . an0

a01 a11 . . . an1

......

...a0n a1n . . . ann

λ0

λ1

...λn

= ρ

a0

a1

...an

Si llamamos M a la matriz (aij), Λ = (λ0, . . . , λn), a = (a0, . . . , an), estasformulas se escriben

Λt = ρ.M−1at

De este modo y salvo el factor comun ρ, las coordenadas (λiai0, . . . , λiain) deqi en la base {p0, . . . ,pn} quedan completamente determinadas. Entonces, si elpunto P tiene coordenadas [x0, . . . , xn] en R, es P = [v], v = δ

∑ni=0 xipi, y si

P tiene coordenadas [y0, . . . , yn] en R′, es v = µ.∑n

j=0 yjqj y se comprueba sinmas que sustituir, que:

v = µ.

n∑

j=0

yjqj = µ.

n∑

j=0

yj(n∑

k=0

λjajkpk) = µ.

n∑

k=0

(n∑

j=0

yjλjajk)pk

Entonces ∀k,

µ.

n∑

j=0

yjλjajk = δxk

o en terminos matriciales, y llamando ν = µ/δ, es

ν.M.

yoλo

...ynλn

=

x0

...xn

Y las formulas completas del cambio de referencia serıan:

xt = ν.M.

y0λ0

...ynλn

λ0

...λn

= M−1

a0

...an

donde el factor ρ de proporcionalidad que aparecıa en la segunda de estas ecua-ciones, se puede suprimir ya que al sustituir los valores de λ en la primera,quedarıan incluidos en el factor ν.

Si se quiere escribir una unica formula, basta con observar que

y0λ0

...ynλn

=

y0 0 . . . 00 y1 . . . 0...

......

0 0 . . . yn

λ0

...λn


y entonces sustituyendo se obtiene

xt = ν.M

y0 0 . . . 00 y1 . . . 0...

......

0 0 . . . yn

M−1

a0

...an

donde:

M =

a00 . . . an0

a01 . . . an1

......

a0n . . . ann

En el caso particular en que solo se cambie el punto unidad, M = I y la formulase reduce a

xi = ν.ai.yi

con [a0, . . . , an] coordenadas del nuevo punto unidad.


Ejercicio 3.2.50 Se consideran en el espacio P(R4) los puntos: A0 = [2, 1,−1, 0], A1 =[2,−1, 3, 1], A2 = [−1, 0, 1, 2], A3 = [1, 0, 1, 1] y se llama L al subespacio que ge-neran.

1. Probar que L tiene dimension 2

2. Probar que R = {A0, A1, A2; A3} es una referencia de L

3. Calcular una base normalizada asociada a esa referencia y las coordenadasen ella del punto [1, 2,−5,−3]

4. Averiguar si existe un punto B ∈ L tal que el punto [1, 2,−5,−3] tengaen la referencia {A0, A1, A2; B} las coordenadas [1, 2, 1]

Ejercicio 3.2.51 Sean A0 = [1,−1, 2], A1 = [2, 1, 3], A2 = [2, 2, 6], U = [1, 0, 2]puntos de P(R3). Comprobar que forman una referencia, escribir una base nor-malizada asociada a la referencia y escribir las coordenadas en la referencia delpunto [1, 1, 1] y las ecuaciones de la recta x0 − x1 + 2x2 = 0

Ejercicio 3.2.52 Sean π1, π2, π3, tres planos distintos de un espacio proyectivoP3 de dimension tres, tales que π1 ∩π2 ∩π3 es una recta r y sea s una recta quese cruza con r. Probar que existe una referencia de P3 tal que en ella se verificansimultaneamente las siguientes condiciones:

1. π1, π2 tienen respectivamente las ecuaciones:x1 = 0, x2 = 0


2. r ∩ π1, r ∩ π2, r ∩ π3 tienen las coordenadas [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0]respectivamente

Ejercicio 3.2.53 Senalar los signos de las coordenadas proyectivas en cadauna de las siete regiones en que dividen al plano las tres rectas xi = 0 de unareferencia del plano proyectivo real.

3.3. Subespacios

Las ecuaciones de subespacios proyectivos, son completamente analogas alas de subespacios vectoriales.

Si S es un subespacio de P(V ), podemos pensar en el de dos formas distintas:o bien S = LP(Q0, . . . , Qn) = Q0 + . . . + Qn (subespacio que pasa por lospuntos Q0, . . . , Qn ), o bien S = P(L) (espacio proyectivo asociado al subespaciovectorial L).

Si en una referencia fija R los puntos Qi tienen coordenadas [qi0, . . . , qin],respectivamente, un punto P de coordenadas [x0, . . . , xn] respecto de R, esta enel subespacio S si y solo si depende proyectivamente de los Qi, o lo que es lomismo, si (x0, . . . , xn) depende linealmente de los (qi0, . . . , qin), 0 ≤ i ≤ r, esdecir ∃λ0, . . . , λr ∈ K con:

(1)

x0 = λ0q00 + · · ·+ λrqr0

......

...xn = λ0q0n + . . . + λrqrn

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones parametricas del subespacio S . Clara-mente, dim(S) = rg(qij)− 1.

De la misma manera, si S = P(L) y, en la base asociada a la referencia R,el subespacio vectorial L tiene como ecuaciones implıcitas:

(2)

b00x0 + · · ·+ b0nxn = 0...

......

bt0x0 + · · ·+ btnxn = 0

Un punto P , de coordenadas [x0, . . . , xn] en R, esta en S si y solo si sus coorde-nadas verifican este sistema de ecuaciones. En este caso, dim(S) = n− rg(bij).

Como sucede con las ecuaciones de subespacios vectoriales, eliminando losparametros en las ecuaciones (1), se obtienen las ecuaciones (2) y resolviendolas ecuaciones (2) se obtienen las ecuaciones parametricas.

En particular, si en el sistema (2), t = n − 1 y las ecuaciones son indepen-dientes, el sistema define un punto cuyas coordenadas son [c0, c1, . . . , cn] con

ci =

∣∣∣∣∣∣∣

b00 . . . b0i−1 b0i+1 . . . bn−10

......

......

bn−10 . . . bn−1i−1 bn−1i+1 . . . bn−1n

∣∣∣∣∣∣∣

3.3. SUBESPACIOS 101

Dados dos subespacios S1 y S2, se pueden obtener las ecuaciones de S1 ∩S2

y S1 + S2 en terminos de las de S1 y S2.

1. Si S1 = LP(P1, . . . , Pr) y S2 = LP(Q1, . . . .Qt) entonces:

S1 + S2 = LP(P1, . . . , Pr, Q1, . . . , Qt).

En consecuencia, si las ecuaciones parametricas de S1 y S2 son respecti-vamente:

S1 =

x0 = λ1a10 + · · ·+ λrar0

......

...xn = λ1a1n + · · ·+ λrarn

S2 =

x0 = µ1b10 + · · ·+ µtbt0

......

...xn = µ1b1n + · · ·+ µtbtn

Las ecuaciones parametricas de S1 + S2 son

x0 = λ1a10 + · · ·+ λrar0 + µ1b10 + · · ·+ µtbt0

......

......

...xn = λ1a1n + · · ·+ λrarn + µ1b1n + · · ·+ µtbtn

2. Si S1 = P(L1), S2 = P(L2), es S1 ∩ S2 = P(L1 ∩ L2). En consecuencia, silas ecuaciones implıcitas de S1 y S2 son respectivamente:

S1 :

c10x0 + · · ·+ c1nxn = 0...

......

cl0x0 + · · ·+ clnxn = 0S2 :

d10x0 + · · ·+ d1nxn = 0...

...dh0x0 + · · ·+ dhnxn = 0

las de S1 ∩ S2 son

S1 ∩ S2 :

c10x0 + · · ·+ c1nxn = 0...

......

cl0x0 + · · ·+ clnxn = 0d10x0 + · · ·+ d1nxn = 0

......

...dh0x0 + · · ·+ dhnxn = 0

Bien entendido que en el primer caso se pueden reducir los parametros a unconjunto maximal de ellos cuyos vectores de coeficientes sean linealmente in-dependientes y en el segundo, se pueden reducir las ecuaciones a un conjuntomaximal de ellas que sean linealmente independientes.



Ejercicio 3.3.54 Hallar una referencia del subespacio S de P(R4) de ecuaciones:

x0 − x1 + x2 − 6x3 = 0x1 + x2 − 2x3 = 0

En la cual el punto [2, 1,−1, 0] tenga las coordenadas [−1, 0, 1]

Ejercicio 3.3.55 Sean A,B, C,D los vertices de un cuadrilatero en un planoproyectivo sobre un cuerpo K,y sean P = (A + B) ∩ (C + D), Q = (A + C) ∩(B + D), R = (A + D) ∩ (C + B). Probar que P, Q, R estan alineados si y solosi la caracterıstica de K es 2.

Ejercicio 3.3.56 SeaR = {A0, A1, A2; U} una referencia en el plano proyectivosobre un cuerpo K, se consideran tres puntos Ck ∈ (Ai+Aj)−{Ai, Aj}, {i, j, k} ={0, 1, 2} y sean [0, 1, β0], [β1, 0, 1], [1, β2, 0] respectivamente las coordenadas deC0, C1, C2 en la referencia R

1. Obtener en terminos de los βi la condicion necesaria y suficiente para quelos puntos Ci esten alineados.

2. Obtener en terminos de los βi la condicion necesaria y suficiente para quelas rectas Ai + Ci sean concurrentes.

3. Deducir los teoremas de Ceva y Menelao.

Nota Los teoremas de Ceva y Menelao son los siguientes:Dado un triangulo en el plano real y puntos sobre sus lados como en el

enunciado anterior:TeoremadeCeva,- Los puntos Ci estan alineados si y solo si:

A0C2

A1C2

.A1C0

A2C0

.A2C1

A0C1

= −1

TeoremadeMenelao.- Las rectas Ai + Ci son concurrentes si y solo si:

A0C2

A1C2

.A1C0

A2C0

.A2C1

A0C1

= 1

Donde si X, Y, Z son puntos alineados decimos que XYZY

= a si y solo si−−→XY = a

−−→ZY

Ejercicio 3.3.57 Un cuadrilatero del espacio de dimension tres se dice alabeadosi no esta contenido en un plano. Dados un cuadrilatero alabeado [ABCD] yun plano π que no contiene a ninguno de sus vertices se toman los planosπ1 = (A + B) + (C + D) ∩ π y π2 = (B + C) + (A + D) ∩ π y las rectas r1 =π∩π1, r2 = π∩π2 y dos planos β1, β2 que contengan a r1 y r2 respectivamente.

3.3. SUBESPACIOS 103

Probar que los puntos β1 ∩ (B + C), β1 ∩ (A + D), β2 ∩ (A + B), β2 ∩ (C + D)son coplanarios.

Ejercicio 3.3.58 Dados dos cuadrivertices inscritos uno en otro y con lospuntos diagonales situados sobre la misma recta, probar que los puntos de cortede sus diagonales coinciden

Ejercicio 3.3.59 Sean A1, A2, A3, tres puntos no alineados del plano proyectivosobre un cuerpo K , tomamos subconjuntos no vacıos

Γk ⊂ (Ai + Aj)− {Ai, Aj}, {i, j, k} = {1, 2, 3}

tales que ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} y para cada par de elementos Xi ∈ Γi, Xj ∈ Γj

exista Xk ∈ Γk de modo que Xi, Xj , Xk esten alineados, y una terna de puntosU1, U2, U3, que verifiquen estas condiciones.

1. Comprobar que se puede definir el punto unidad U para que en la refe-rencia R = {A1, A2, A3; U} los puntos U1, U2, U3 tengan respectivamentecoordenadas [0, 1,−1], [−1, 0, 1], [1,−1, 0]

2. Sean [0, 1,−αX1 ], [−αX2 , 0, 1], [1,−αX3 , 0], respectivamente, las coordena-das en R de una terna de puntos generica X1, X2, X3 verificando las con-diciones del enunciado, y sea Gi = {αXi , Xi ∈ Γi} . Probar que los Gi sonsubgrupos del grupo multiplicativo de K y son iguales.

3. Si ](Gi) = n ≥ 3 probar que Gi es cıclico de orden n

Ejercicio 3.3.60 Se llama configuracion de Sylvester a un par P,Q donde, conlas notaciones del ejercicio anterior P = Γ1∪Γ2∪Γ3,Q = {r, recta con ](r∩P) ≥2}

1. Probar que ](P) = 3n, ](Q) = n2 + 3

2. Probar que todas las rectas deQ excepto 3 contienen exactamente 3 puntosde P.

Ejercicio 3.3.61 Sean A, B,C tres puntos no alineados de un plano proyectivosobre un cuerpo K de caracterıstica distinta de 2 y sea P ∈ (B + C)− {B, C}un punto fijo. Se toma una recta variable r por P y se llama:

Qr = r ∩ (A + C), Rr = r ∩ (A + B),Mr = (A + P ) ∩ (B + Qr)

Probar que todas las rectas Rr+Mr son concurrentes. Comprobar si el resultadosigue siendo cierto cuando K tiene caracterıstica 2.

Ejercicio 3.3.62 Dadas en el plano proyectivo dos rectas distintas r, s, unpunto O /∈ r ∪ s y dos puntos A,B alineados con O y no contenidos en r ∪ s,se considera una recta variable m por O que corta a r y s en puntos Pm y Qm


respectivamente. Estudiar el lugar geometrico descrito por el punto (A + Pm)∩(B + Qm)

Ejercicio 3.3.63 En el plano proyectivo real se toman dos rectas d1, d2 cond1 ∩ d2 = O , otras dos r1, r2 con r1 ∩ r2 = L /∈ d1 ∪ d2 y un punto I /∈r1 ∪ r2 ∪ d1 ∪ d2. Sea s una recta variable por O y sean:

s ∩ ri = Ris, (I + Ri

s) ∩ dj = Ai,js, i = 1, 2; j = 1, 2

Probar que todas las rectas A1,1s+A2,2

s pasan por un punto fijo J , que todas lasrectas A1,2

s +A2,1s pasan por otro C y que los puntos I, L, J, C estan alineados

3.4. Dualidad

Como hemos senalado en el capitulo inicial, los geometras del siglo XIXadmitıan en la geometrıa proyectiva plana, un principio llamado principio dedualidad, que establece que:

Si una proposicion relativa a puntos, rectas, incidencia, sumas e intersec-ciones es cierta, tambien es cierta la proposicion que resulta de intercambiar laspalabras punto y recta, contenido y contiene, suma e interseccion

Vamos a probar, en un contexto completamente general, este principio, queya habıamos tenido en cuenta en el capıtulo anterior al hablar de retıculos (ver3). Recordemos que el espacio dual de un espacio vectorial V de dimensionfinita sobre un cuerpo K, es el espacio V ∗ = Hom(V,K), y que si V es unespacio vectorial de dimension finita se verifica que

1.- Si {v0, . . . ,vn} es una base de V y definimos v∗i : V −→ K por v∗i (vj) =δij , entonces {v∗0, . . . ,v∗n} es base de V ∗ y en particular : dim(V ) = dim(V ∗)

2.- La aplicacion:

ϕ : V −→ (V ∗)∗, ϕ(v)(v∗) = v∗(v)

es un isomorfismo que permite identificar (V ∗)∗ con V .3.- Si L(V ) y L(V ∗) son los retıculos de subespacios de V y V ∗, definimos

∀L ∈ L(V ) ω(L) = {v∗ ∈ V ∗ | v∗(v) = 0, ∀v ∈ L}∀T ∈ L(V ∗) ω(T ) = {v ∈ V | v∗(v) = 0, ∀v∗ ∈ T}

Ası definida, ω es una biyeccion y como el dual del dual de V es el propioV , tiene sentido considerar tambien ω como aplicacion de L(V ∗) en L(V ) yω2 = Id. Ademas, ω verifica en ambos sentidos las siguientes propiedades:

i. L1 ⊂ L2 ⇔ ω(L2) ⊂ ω(L1) en consecuencia ω es un antiisomorfismo deretıculos (??) y verifica tambien:

ii. {ω(L1 + L2) = ω(L1) ∩ ω(L2)ω(L1 ∩ L2) = ω(L1) + ω(L2)

iii.dim (ω(L) = dim(V )− dim(L))

3.4. DUALIDAD 105

iv. El subespacio L esta generado por los vectores u1, . . . ,ur de coordenadas{(ai0, . . . , ain)}1≤i≤r en la baseB = {v0, . . . ,vn} si y solo si las ecuacionesimplıcitas de ω(L) en la base B∗ = {v∗1, . . . ,v∗n} son:

(?)

a10x0 + · · ·+ a1nxn = 0...

......

ar0x0 + · · ·+ arnxn = 0

Y recıprocamente: L esta definido, respecto de la base B, por las ecuaciones (?)si y solo si ω(L) esta generado por los vectores que en la base B∗ tienen porcoordenadas (ai0, . . . , ain), 1 ≤ i ≤ r.

Teorema 3.4.1.– [Teorema de dualidad] Si P(V ) es el espacio proyectivo aso-ciado a un espacio vectorial V de dimension finita, existe una biyeccion canonica

L(P(V )) ∼−→ L(P(V ∗))

que asigna a cada subespacio S de P(V ), su dual S∗ en P(V ∗),y que verifica laspropiedades siguientes:

1. dim(S∗) = dim(P(V ))− dim(S)− 1

2. S ⊂ S′ ⇔ S∗ ⊃ S′∗

3. (S1 ∩ S2)∗ = S∗1 + S∗2

4. (S1 + S2)∗ = S∗1 ∩ S∗2

Demostracion: Basta definir la aplicacion por:

∀S ∈ L(P(V )), S = P(L), S∗ = P(ω(L)) ∈ L(P(V ∗)).

Como la correspondencia que lleva los subespacios vectoriales a sus subespa-cios proyectivos asociados es isomorfismo de retıculos y ω es antiisomorfismo,la correspondencia S 7→ S∗ es antiisomorfismo y las propiedades enunciadasresultan de las correspondientes de ω. Comprobaremos unicamente la (1):

Si S = P(L), dim(S) = dim(L) − 1 y S∗ = P(ω(L)) ⇒ dim(S∗) =dim(ω(L))− 1 = dim(V )− dim(L)− 1 = dim(V )− dim(S) = dim(P(V ))− 1−dim(S).


3.4.2.1. - Si demostramos una proposicion relativa al espacio proyectivo de di-mension n sobre un cuerpo K, dicha proposicion es valida en P(V ), cualquieraque sea el espacio vectorial V de dimension n + 1 sobre K. En particular, yfijado un tal espacio V , la proposicion es cierta en P(V ∗); entonces, si volvemosa P(V ) vıa la biyeccion anterior, dicha proposicion continua siendo valida, peroahora aparecen intercambiados, subespacios de dimension r y subespacios dedimension n− r +1, contenido y contiene, suma e interseccion. Se obtiene ası el


principio clasico de dualidad (que es por otra parte el motivo de que a V ∗ se lellame espacio dual de V ).

3.4.2.2. - Es claro que si A y B son puntos de un plano proyectivo P, existe unaunica recta r que pasa por ellos. La afirmacion dual, que es automaticamentecierta, dice que si a y b son rectas del plano, a ∩ b es siempre un unico punto.Resultado este, que ya habıamos obtenido usando la formula de las dimensiones.

3.4.2.3. .- Si r y s son rectas que se cruzan en un espacio de dimension tres,como r ∩ s = ∅, si P ∈ r entonces P /∈ s y por tanto hay un unico plano π quecontiene a s y pasa por P , es decir:

Si r y s son rectas de un espacio de dimension tres que se cruzan, por cadapunto P de r, existe un unico plano π que pasa por s y contiene a P .

La afirmacion dual dice que:Si r y s son rectas que se cruzan en un espacio de dimension tres, para cada

plano π que contenga a r, existe un unico punto P en s que esta contenido enπ. Es decir, todo plano que pasa por r, corta a s en un unico punto.

En resumen, hemos demostrado que hay una correspondencia biunıvoca entreel conjunto de planos que contiene a una de las rectas y el conjunto de puntos dela otra, y el principio de dualidad nos ha permitido hacer la prueba demostrandosolo la ”mitad ”de la afirmacion.

3.4.2.4. - Hemos visto que el plano proyectivo sobre un cuerpo de r elementostiene r2 + r + 1 puntos y en consecuencia tiene tambien r2 + r + 1 rectas,como ademas cada recta contiene r + 1 puntos, por cada punto deben pasarexactamente r + 1 rectas, es decir el plano proyectivo sobre un cuerpo de relementos es la configuracion ((r2 + r + 1)(r+1), (r2) + r + 1)(r+1).

Estas configuraciones no existen en general en el plano real, ya que su exis-tencia esta ligada a la caracterıstica del cuerpo base. Por ejemplo P((Z/(2))3)es la configuracion (73, 73) llamada configuracion de Fano (v. Ver figura. 3.4).

A1

A2 A

5 A4

A3

A6 A7

Figura 3.4: La existencia de la configuracion de Fano obliga a que los puntos A, esten

alineados. En este dibujo aunque cada recta esta formada por solo tres puntos, al representarla

en el plano real la dibujamos con un trazo continuo.

La construccion que hemos efectuado sirve tambien para construir un nuevo

3.4. DUALIDAD 107

espacio proyectivo. Sea P un espacio proyectivo y sea H el conjunto de hiperpla-nos de P. En particular, si P = P(V ), los elementos de H son los subconjuntosP(L) con L hiperplano de V . Vamos a dotar a H de estructura de espacio pro-yectivo.Para ello hay dos procedimientos:

1. Fijamos una referencia R; cada hiperplano H ∈ H tiene una ecuacionen R, y dos ecuaciones representan el mismo hiperplano si y solo si sonproporcionales. Ası tenemos una biyeccion de H en P(Sn,1) (v. 5 de 3.1.6)y por tanto una estructura de espacio proyectivo en H. El problema deesta construccion es que depende de la referencia R.

2. Si la estructura de P esta dada por una biyeccion sobre P(V ), cada H ∈ Hes de la forma H = P(L), con L hiperplano vectorial en V . Entonces enel espacio dual V ∗, ω(L) es una recta vectorial y si es v∗ ∈ ω(L), v∗ 6= 0,dicho vector define un punto [v∗] ∈ P(V ∗). Esto permite construir unacorrespondencia

H ψ−→ P(V ∗)

que claramente es una biyeccion, ya que dado [v∗] ∈ P(V ∗), Ker(v∗) es unhiperplano de V y P(Ker(v∗)) es un elemento de H, obteniendose ası lacorrespondencia inversa de ψ.

Al contrario que la de (1), esta construccion es intrınseca. H con estaestructura se llama Espacio de hiperplanos de P .

Veamos como es, en terminos de coordenadas esta segunda construccion. To-memos una referencia R = {P0, . . . , Pn : U} en P y sea B = {v0, . . . ,vn} unabase normalizada asociada. Podemos definir la base dual B∗ = {v∗0, . . . ,v∗n} y lareferencia de P(V ∗), R∗ = {P ∗0 , . . . , P ∗n : U∗}, donde P ∗i = [v∗i ], i ∈ {0, . . . , n},U∗ = [u∗] = [v∗0 + · · ·+ v∗n], esta referencia no depende de la base normalizadaasociada a R que elijamos y se llama referencia dual de R, o se dice que R yR∗ son referencia duales . A los puntos de R∗ les corresponden los hiperplanosde P :

[v∗i ] ≡ P(Ker(v∗i )) = Hi, [u∗] ≡ P(Ker(u∗)) = HU

Pero si v tiene coordenadas (x0, . . . , xn) en B, entonces v∗i (v) = xi luegoKer(v∗i ) viene dado por la ecuacion xi = 0 y u∗(v) = x0 + · · · + xn, portanto HU viene dado por la ecuacion x0 + · · · + xn = 0. Ademas si H ∈ H esun hiperplano de ecuacion a0x0 + · · · + anxn = 0, el punto de P(V ∗) que lecorresponde es el representado por el vector (a0, . . . , an), luego las coordenadasde H en la referencia {H0, . . . , Hn : HU} son exactamente los coeficientes de laecuacion, [a0, . . . , an].

En el espacio H, un subespacio SH de dimension r, sera SH = P(L∗) con L∗

subespacio de V ∗ de dimension r+1, luego SH esta formado por los hiperplanos:

H ∈ SH ⇔ ψ(H) ∈ P(L∗) ⇔ ψ(H) = [v∗], v∗ ∈ L∗

Pero:v∗ ∈ L∗ ⇔ ω(L∗) ⊂ ω(v∗) = Ker(v∗


y P(Ker()v∗) = H. Entonces SH es exactamente el conjunto de todos los hi-perplanos que contienen al subespacio P(ω(L∗)) cuya dimension es:

dim(P(ω(L∗)) = dim(ω(L∗))− 1= dim(V )− dim(L∗)− 1 = dim(V )− (dim(SH) + 1)− 1= dim(P)− dim(SH)− 1

Ası, en el plano proyectivo (n = 2), todas las rectas forman otro espacio de

S

R ∩ S

R

R R ∩ π π

Figura 3.5: Las rectas del plano de rectas son los haces planos de rectas R1, R2, la interseccion

de los dos haces es una recta (punto en el plano de rectas). En el espacio de planos de un

espacio de dimension tres, R es una recta π un plano y el plano que contiene a la arista de R

y al vertice de π es su punto de interseccion

dimension dos. En el, los puntos son rectas, y las rectas son los haces de rectascon vertice en un punto. En el espacio de dimension 3, los puntos del espacio dehiperplanos H3, son los planos, las rectas son los haces de planos con arista enuna recta, y los planos, son las radiaciones de planos con vertice un punto (Verfigura 3.5).

Podemos combinar las dos construcciones anteriores, dualidad y espacio dehiperplanos, para construir mas espacios de la forma siguiente:

Si S es un subespacio de P(V ) de dimension r, los hiperplanos de S con-siderado como espacio proyectivo, forman otro espacio proyectivo de la mismadimension , HS , cuyos elementos son subespacios S′ de P(V ) contenidos en S ycon dimension r− 1. Pasando por dualidad a la figura correspondiente , el dualde:

HS = {S′ | S′ subespacio, S′ ⊂ S, dim(S′) = r − 1}es:

H∗S = {T | T subespacio, S∗ ⊂ T, dim(T ) = n− r}

3.4. DUALIDAD 109

Como dim(S∗) = n− r− 1, si llamamos d = n− r− 1, encontramos que H∗S esel conjunto de subespacios de dimension d + 1 que contienen a un subespaciode dimension d, H∗S es entonces un espacio proyectivo que se llama radiacion dearista S∗.

Este espacio se puede construir tambien directamente sin hacer intervenir ladualidad como sigue:

Si P = P(V ) y S = P(L), construimos el espacio vectorial V/L y el espacioproyectivo asociado P(V/L), dotando de estructura de espacio proyectivo a laradiacion de arista S, a la que llamaremos P/S, del modo siguiente:

Si S′ ∈ P/S, S′ ⊃ S y dim(S′) = dim(S) + 1, escribimos S′ = P(L′) , conL ⊂ L′ y dim(L′) = dim(L) + 1; entonces, si tomamos v ∈ L′, v /∈ L, podemosconstruir el punto [v + L] de P(V/L). Recıprocamente, si v + L 6= 0, v /∈ L y elsubespacio L(v)+L = L′ verifica que dim(L′) = dim(L)+1 y L ⊂ L′ por tantoP(L′) ∈ P/S. Ambas correspondencias son inversas una de la otra y permitendotar de nuevo al conjunto de subespacios de dimension d + 1 que contienena un subespacio fijo S de dimension d, de estructura de espacio proyectivo dedimension r = n− d− 1.

Por ejemplo, todas las rectas del espacio de dimension 3 que pasan por unpunto, forman un espacio de dimension 3− 0− 1 = 2.


Ejercicio 3.4.64 Dados en un plano proyectivo un triangulo [A1A2A3] yuna recta r que no pasa por ninguno de sus vertices, llamamos ∀{i, j, k} ={1, 2, 3}, Bi = r∩ (Aj +Ak), Bi,j = (Ai +Bi)∩ (Aj +Bj). Probar que las rectasAk + Bi,j , ∀{i, j, k} = {1, 2, 3} son concurrentes. Enunciado dual.

Ejercicio 3.4.65 Sean {A1, A2, A3, A4} cuatro puntos de un plano proyectivotales que tres cualesquiera de ellos no estan alineados, y sean P1 ∈ (A1 + A2)−{A1, A2}, P2 ∈ (A2 + A3) − {A2, A3}, P3 ∈ (A3 + A4) − {A3, A4}, P4 ∈(A1 + A4)− {A1, A4}. Si (P1 + P2) ∩ (P3 + P4) ∈ (A1 + A3), probar que (P1 +P4) ∩ (P3 + P2) ∈ (A2 + A4). Enunciado dual.

Ejercicio 3.4.66 Sean A, B,C, D los vertices de un cuadrilatero en un planoproyectivo sobre un cuerpo de caracterıstica distinta de dos, y sean P, Q, R, Spuntos situados respectivamente sobre los lados AB, BC, CD, DA del cuadrilate-ro no coincidentes con ninguno de los vertices. Probar que si P + Q ∩ R + Sesta sobre la diagonal A + C, entonces P + S ∩ R + Q esta sobre la diagonalB + D. Enunciado dual

Ejercicio 3.4.67 Se considera en P(R4) el plano π que en la referencia canonicatiene la ecuacion x0−x1+2x2−x3 = 0 y en dicho plano se consideran los puntos:A0 = [1,−1, 2, 4], A1 = [2, 1, 3, 8], A2 = [2, 2, 6, 12], U = [1, 0, 2, 5].

1. Probar que forman una referencia de π


2. Escribir una base normalizada asociada a la referencia

3. Escribir las coordenadas en la referencia del punto [1, 1, 1, 2] y las ecua-ciones de la recta intersecada en π por el plano x0 − x1 + 2x2 = 0

Ejercicio 3.4.68 Se consideran en P(R4) las rectas cuyas ecuaciones en lareferencia canonica son:{r0 : x0−x1 = x1+x2 = 0}, {r1 : x3 = x0+x2 = 0}, {r2 :2x0−x1+x2+x3 = x1+x2−2x3 = 0}, {r3 : x0+x1+2x2−x3 = x1+x2+x3 = 0}

1. Comprobar que todas pasan por un punto P y definen una referencia enP(R4)/P

2. Escribir las coordenadas de la recta : {s : x0 + 2x1 + 3x2 − 4x3 = x0 +x2 − x3 = 0} en esa referencia.

3. Escribir las ecuaciones de la recta cuyas coordenadas en la referencia an-terior son : [1,−1, 2]

Ejercicio 3.4.69 Se consideran en P(R4) el plano x0 − x1 + 2x2 − x3 = 0 (verproblema 67) y la radiacion del problema 68, y se considera la correspondencia:

φ : π −→ P(R4)/P , φ(X) = X + P

Escribir las coordenadas en la referencia del problema 68, de la imagen de unpunto de π conocidas sus coordenadas en la referencia del problema 67, y recıpro-camente, dadas las coordenadas de una recta en la referencia de la radiacion,escribir sus coordenadas en la referencia del plano.

3.5. Inmersion del espacio afın en el proyectivo

Nuestro objetivo es completar el espacio afın anadiendo puntos de modo quetenga sentido la siguiente expresion:

Dos subespacios son paralelos si y solo si se cortan en el infinitoPara ello, lo mas razonable es comenzar haciendo que se corten las rectas

paralelas, por el procedimiento de anadir al espacio tantos puntos como familiasde rectas paralelas se puedan formar. Comprobaremos que esto es suficiente.

Sea A un espacio afın de dimension n sobre un cuerpo K, de espacio vectorialasociado V . Consideramos el conjunto < de rectas de A, y definimos en el larelacion

∀r, r′ ∈ <, r ‖ r′ ⇔ r es paralela a r′

Claramente, ‖ es una relacion de igualdad en < y podemos construir el conjuntocociente </ ‖, a cuyos elemento se les llaman direcciones en A. Cada clase r ‖ sedenomina direccion de la recta r, y es el conjunto de todas las rectas paralelasa r.

La aplicacion:</ ‖ −→ P(V )r‖ 7→ [v]

3.5. INMERSION DEL ESPACIO AFIN EN EL PROYECTIVO 111

donde v es un vector distinto de cero contenido en r, es claramente una biyecciony permite identificar </ ‖ con P(V ), dotandolo por tanto de estructura deespacio proyectivo de dimension n−1. Este espacio se llama espacio o hiperplanodel infinito de A y se representa por A∞

K

A P=[1,v] v r1 r2 r3

[0, w]

w v

π∞

Figura 3.6: Fijo el punto O,A se puede identificar de modo natural con el subconjunto de

K × V compuesto por los elementos con primera componente 1, V se identifica con {0} × V

y la accion de V sobre A con la suma en K × V . Entonces el punto afın P se identifica con

[1, ~OP ], y cada haz de rectas paralelas r1, r2, r3, . . . con el punto del infinito [0,w]

El conjunto A = A∐A∞, donde por

∐representamos la union disjunta,

se llama completado del espacio afın y se puede dotar, de modo natural, deestructura de espacio proyectivo mediante la siguiente construccion (Ver figura.3.6):

Fijamos un punto O ∈ A, construimos el espacio vectorial K × V de dimen-sion n + 1 y el espacio proyectivo P(K × V ) y definimos la correspondencia

ψO : A −→ P(K × V )

por: ∀P ∈ A, ψO(P ) = [1,−−→OP ]; ∀r ‖∈ A∞, ψO(r ‖) = [0,v] con v vector director

de r. Como A = A∐A∞, ψO esta bien definida y es aplicacion. Ademas es

biyectiva, como vamos a comprobar a continuacion.Veamos primero que ψO es inyectiva. En efecto, si P ∈ A, r ‖∈ A∞, ψO(P ) 6=

ψO(r ‖), ya que el primero tiene primera componente igual a uno y el segundola tiene igual a cero. Si los puntos P y Q estan en A:

ψO(P ) = ψO(Q) ⇒ [1,−−→OP ] = [1,

−−→OQ] ⇒ ∃λ ∈ K, (1,

−−→OP )

= λ(1,−−→OQ) ⇒ 1 = λ,

−−→OP = λ

−−→OQ ⇒ −−→

OP = −−→OQ ⇒ P = Q

Si r ‖ y s ‖ estan en A∞ es

ψO(r ‖) = ψO(s ‖) ⇒ [0,v] = [0,w] ⇒ ∃λ ∈ K,λ(0,v) = (0,w)


⇒ λv = w ⇒ r ‖= s ‖ya que r y s serıan paralelas por tener vectores directores proporcionales.

ψO es sobre porque si [α,v] ∈ P(K × V ), existen dos posibilidades:i) α = 0 con lo cual [0,v] = ψO(r ‖) donde r es una recta cualquiera paralela

a vii) α 6= 0 con lo cual [α,v] = [1, (1/α)v] = ψO(Q) donde Q = O + (1/α)vDe este modo, A es un espacio proyectivo de dimension n que contiene tanto

al espacio afın A como a las direcciones de A.Veamos ahora que sucede con la geometrıa afın en el paso de A a A. Comen-

cemos por la dependencia afın de puntos.Los puntos A1, . . . , Ar ∈ A son afınmente dependientes si y solo si ∃λ1, . . . , λr ∈

K, no todos cero verificando

r∑

i=1

λi−−→OAi = 0,

r∑

i=1

λi = 0

condicion equivalente a que ∃λ1, . . . , λr ∈ K no todos cero con

r∑

i=1

λi(1,−−→OAi) = 0 ⇔ {[1,

−−→OA1], . . . , [1,

−−→OAr]}

= {ψO(A1), . . . , ψO(Ar)} linealmente dependientes

Es decir, los puntos A1, . . . , Ar son dependientes (resp. independientes) enA si y solo si, considerados como puntos de A, son dependientes (resp. indepen-dientes).

Obviamente lo mismo sucede con el hecho de depender un punto de otros: elpunto A depende afınmente de los puntos A1, . . . , Ar si y solo si ∃λ1, . . . , λr ∈ Kverificando:

−→OA =

∑

i=1

rλi−−→OAi, 1 =

r∑

i=1

λi ⇔ (1,−→OA) =

r∑

i=1

λi(1,−−→OAi)

condicion equivalente a que [1,−→OA] = ψO(A) dependa linealmente de:

{[1,−−→OA1] = ψO(A1), . . . , [

−−→OAr] = ψO(Ar)}.

Sea S un subespacio afın de A, S no es en general un subespacio proyectivo deA pero se puede construir el mınimo subespacio proyectivo de A que lo contiene,S = LP(ψO(S)). Obviamente, si S es no vacıo, S * A∞.

Recıprocamente, si T es un subespacio proyectivo de A y T * A∞, T ∩ Aes un subespacio afın de A ya que por ?? es cerrado respecto a la dependenciaafın.

De este modo, si L(A) es el conjunto de subespacios proyectivos de A nocontenidos en A∞ y el conjunto vacıo y L(A es el conjunto de subespacios afinesde A, se pueden definir dos correspondencias

L(A) −→ L(A) L(A) −→ L(A)S 7→ S = LP(ψO(S)) T 7→ T ∩ A


que segun vamos a ver, son inversas una de la otra.Para comprobar esta afirmacion, tenemos que estudiar con mas detalle como

es S. Por una parte,S ⊂ A, luego:

S = S ∩ A = S ∩ (A ∪ A∞) = (S ∩ A) ∪ (S ∩ A∞).

Por otra parte, P ⊂ S si y solo si P depende linealmente de un conjunto finitode puntos {P1, . . . , Pr} ⊂ S entonces:

1. P ∈ S ∩A. En este caso, P depende linealmente de {P1, . . . , Pr} si y solosiP depende afınmente de {P1, . . . , Pr}, luego P ∈ S, es decir S ∩ A = S

2. P ∈ S ∩ A∞. En este caso P = [0,v] y si Pi = [1,vi], como P dependelinealmente de {P1, . . . , Pr} es:

[0,v] =r∑

i=1

λi[1,−−→OPi] ⇒

{ ∑ri=1 λi = 0 ⇒ λ1 = −λ2 = · · · = −λr

v =∑r

i=1 λi−−→OPi

de donde se deduce que:

v = λ1−−→OP1 + · · ·+ λr

−−→OPr = (−λ2 − · · · − λr)

−−→OP1 + · · ·+ λr

−−→OPr

= λ2(−−→OP2 −−−→OP1) + · · ·+ λr(

−−→OPr −−−→OP1)

= λ1−−−→P1P2 + · · ·+ λr

−−−→P1Pr ∈ d(S)

donde hemos representado por d(S) al subespacio direccion del subespacioafın S.

El recıproco es inmediato, luego S ∩ A∞ = P(d(S)). A P(d(S) , espacioproyectivo asociado al subespacio direccion de S, se le representa por S∞;se verifica entonces que

S = S ∪ S∞ S ∩ A = SS∞ = P(d(S)) S ∩ A∞ = S∞

En consecuencia, como S ∩ A = S es ψϕ = 1L(A).Veamos ahora que ψϕ = 1L(A), es decir que para cada subespacio T 6= ∅ no

contenido en A∞, es LP(T ∩ A) = T .Como T ∩ A) ⊂ T es LP(T ∩ A) ⊂ T . Recıprocamente, si un punto P ∈ T y

P /∈ T ∩A, es P ∈ T ∩A∞, luego P = [0,v]. Como T ∩A 6= ∅, ∃Q ≡ [1,−−→OQ] ∈ T ,

luego [1,−−→OQ + v] = Q′ ∈ T ; ahora bien, Q′ ∈ A, Q′ ∈ T ∩ A y P depende

linealmente de Q y Q′, luego P ∈ T ∩ A y T ⊂ T ∩ A, con lo que se tiene laigualdad.

En estas condiciones, S se llama cierre proyectivo de S o complecion de S,y claramente se verifica que si S1 y S2 son subespacios del espacio y S1∩S2 = ∅,es S1 ∩ S2 = S1∞ ∩ S2∞ = P(d(S1)) ∩ P(d(S2)) = P(d(S1) ∩ d(S2)), luego S1 esparalelo a S2 si y solo si:

S1 ∩ S2 = ∅d(S1) ∩ d(S2) 6= {0}

}⇒ S1 ∩ S2 6= ∅yS1 ∩ S2 ⊂ A∞


que es lo que buscabamos.Si R = {O;u1, . . . ,un} es una referencia afın en el espacio A, llamaremos

referencia proyectiva asociada a dicha referencia, a la referencia construida enel espacio A (donde A se obtiene usando el punto O para la inmersion):

R = {[1,0], [0,u1], . . . , [0,un]; [1,

n∑

i=1

ui]}

compuesta por el origen de coordenadas, las direcciones de los ejes coordenadosy el punto afın de coordenadas (1, . . . , 1) en R como punto unidad.

A P1

P = [x0, x1, x2]

y1

x2/x0 1

x1/x0 x1 U

[0, v1] v1 [0, v2] P2 vo

v2 y2 x0

x2P0

Figura 3.7: Referencias asociadas y coordenadas proyectivas

En esta referencia, las coordenadas proyectivas se calculan muy facilmenteen terminos de las afines. En efecto, si el punto P ∈ A tiene de coordenadas(x1, . . . , xn) en la referencia R, es −−→OP =

∑ni=1 xiui. Como la base normalizada

asociada a R es {(1,0), (0,u1), . . . , (0,un)}, el punto P , que como punto delespacio proyectivo es [1,

−−→OP ], se escribe:

[1,−−→OP ] = [(1, 0) +

n∑

i=1

xi(0,ui)]

tiene, en R, coordenadas [1, x1, . . . , xn].Recıprocamente, si P ∈ A tiene de coordenadas [y0, . . . , yn] en R, entonces si

P = [α,w], (α,w) = λ(y0(1,0) +∑n

1 yi(0,ui)), luego α = λy0, w = λ(∑

yiui)y se pueden dar dos caso (Ver figura 3.7):

1. y0 = 0 ⇔ α = 0 ⇔ P ∈ A∞. Es decir, A∞ es el hiperplano de ecuaciony0 = 0 en R


2. y0 6= 0. Entonces:[y0, . . . , yn] = [1,

y1

y0, . . . ,

yn

y0]

y P es el unico punto afın de coordenadas en R

(y1

y0, . . . ,

yn

y0)

Es decir, el paso de la situacion afın a la proyectiva en coordenadas, se obtieneescribiendo (x1, . . . , xn) en terminos de (y0, . . . , yn) por las formulas

yi

y0= xi, ∀i, 1 ≤ i ≤ n

Por ejemplo, si H es un hiperplano afın de ecuacion, en la referencia R:

a0 + a1x1 + · · · anxn = 0

la sustitucion nos da:

a0 + a1y1

y0+ · · ·+ an

yn

y0= 0

y quitando denominadores,

a0y0 + a1y1 + · · ·+ anyn = 0

Veamos que esta es la ecuacion de H en R. En efecto, H = H ∪H∞ y H∞ =P(d(H)) (v. ??), entonces un punto Q : [y0, . . . , yn] esta en H si verifica

1. Q ∈ H = H ∩ A, es decir y0 6= 0 y las coordenadas

(y1

y0, . . . ,

yn

y0)

verifican la ecuacion de H, o sea

a0 + a1y1

y0+ · · ·+ an

yn

y0= 0 ⇔ a0y0 + · · · anyn = 0

2. Q ∈ H∞, entonces y0 = 0 y dado que (y1, . . . , yn) son las coordenadasde un vector de direccion de H, y por tanto verifican la ecuacion de ladireccion de H, a1x1 + · · · anxn = 0, entonces a1y1 + · · · anyn = 0, dedonde a0y0 + a1y1 + · · · anyn = 0 y , por ser y0 = 0, [y0, . . . , yn] verificatambien la ecuacion a0y0 + · · · anyn = 0

Dado que todo subespacio es interseccion de hiperplanos, se puede escribir queel subespacio afın S tiene en la referencia R las ecuaciones:

a00 +a01x1 + · · ·+ a0nxn = 0...

......

...ar0 +ar1x1 + · · ·+ arnxn = 0


si y solo si las ecuaciones de S en R son:

a00y0 +a01y1 + · · ·+ a0nyn = 0...

......

...ar0y0 +ar1y1 + · · ·+ arnyn = 0

Y el proceso de paso de A a A es simplemente cambiar xi por yi

y0y ”quitar

denominadores ”.

P =[v1] =[v2] =[v3]

[v3 + v] v P = [ p ] [ u ] v3 [v2 +v] P + v v

[v1 + v] w v

v2 v u

v H∞ w v H ∞

Figura 3.8: La accion de V sobre P − H no queda definida a menos que fijemos de modo

unıvoco un representante para cada punto P

Vamos a invertir el proceso de 3.7, es decir dado un espacio proyectivo P yun hiperplano H, vamos a comprobar que A = P−H se puede dotar de modonatural de estructura de espacio afın, de manera que A = P, y A∞ = H. Deeste modo, se puede elegir como ”infinito.a cualquier hiperplano.

Sea P = P(V ) y H = P(L), con L hiperplano de V . Para construir enA = P − H una estructura de espacio afın, vamos a definir una accion de Lsobre A, es decir vamos a dar sentido a la expresion P + v, si P ∈ A y v ∈ L.Como P = [p] es una recta vectorial, podrıamos escribir P + v = [p + v], peroesta construccion depende claramente del representante elegido(Ver figura. 3.8).Entonces necesitamos un metodo de fijar un representante de cada punto P ∈ A.Para ello, hacemos lo siguiente:

Sea u ∈ V, u /∈ L. El vector u existe porque L 6= V y ademas u /∈ L ⇒L + L(u) es suma directa, luego

dim(L + L(u)) = dim(L) + 1 = dim(V ) ⇒ L + L(u) = V

Y como la suma es directa, ∀v ∈ V , ∃w ∈ L y λ ∈ K, unicos, de modo quev = w + λu

Entonces, si P ∈ P − H, existe un unico representante de P , p, tal quep = l + u, con l ∈ L. En efecto, si v es un representante de P , v = w + λu dedonde (1/λ)v = (1/λ)w + u es un representante de P con la propiedad pedida,


se puede dividir por λ porque si λ = 0, seria v = w ∈ L y P = [v] ∈ H encontra de ser P ∈ P−H.

Este representante es unico con la propiedad citada, ya que si P = [p1] = [p2]y p1 = l + u, p2 = l′ + u (con l, l′ ∈ L) y p1 6= p2, entonces [p1 − p2] = P yp1 − p2 = l + u− (l′ + u) ∈ L de donde se deduce que P ∈ H, contradiccion.

Definimos entonces una accion de L sobre A = P−H como sigue (Ver figura.3.8):

∀P ∈ A, ∀t ∈ L,P + t = Q ⇔{

P = [p] p = l + uQ = [p + t]

Veamos que con esta accion, que esta bien definida, A es espacio afın. En efecto:i) ∀P ∈ A, P + 0 = P , evidente.ii) ∀P ∈ A, ∀t1, t2 ∈ L, (P + t1) + t2 = P + (t1 + t2).Esto es claro pues P = [p] con p = l + u, l ∈ L, Q = P + t1 = [p + t1].

Ahora bien, como q = p + t1 = l + t1 + u y l + t1 ∈ L

Q + t2 = [q + t2] = [(p + t1) + t2] = [p + (t1 + t2)] = P + (t1 + t2)

.iii) ∀P, Q ∈ A, ∃t ∈ L unico con P + t = Q. En efecto, si P = [p], Q = [q]

esp = l + u, l ∈ Lq = l′ + u, l′ ∈ L

}⇒ q− p = l′ − l ∈ L

EntoncesP + (q− p) = [p + q− p] = [q] = Q

Por tanto, A = P−H es espacio afın con espacio vectorial asociado L.Veamos ahora que A se identifica a P, de modo que la inmersion de A en A

corresponde a la inmersion de A en P como subconjunto. Como L + L(u) = Vy la suma es directa, K ×L ' V vıa el isomorfismo que asigna a cada λu + l elelemento (λ, l) de K ×L ; luego P ≡ P(K × A) y A se identifica , en P(K ×L),al conjunto de puntos construidos como sigue:

Si O = [u] ∈ P −H = A, para cada P ∈ A, el vector −−→OP se obtiene, en laestructura afın que hemos establecido en A, escribiendo:

{P = [p] p = l + u, l ∈ LO = [u] u = 0 + u, 0 ∈ L

y −−→OP = p− u = l ∈ L.Si construimos ahora A, el punto P como punto afın se identifica a [1,

−−→OP ]

representada por el vector (1, ~OP ) de K × L que se identifica al vector de V

u + −−→OP = p, luego el punto [1,

−−→OP ] vuelve a ser el punto P proyectivo de

partida; esto prueba que la inmersion

A ↪→ A ≡ P

no es sino la que ya tenıamos de A en P


Sea H un hiperplano del espacio P, elegimos una referencia en dicho espacio,R = {P0, . . . , Pn; U} tal que {P0, . . . , Pi−1, Pi+1, . . . Pn} ⊂ H, entonces la ecua-cion de H en R es xi = 0. Podemos elegir una base normalizada asociada a lareferencia, {v0, . . . ,vn} y si H = P(L), los vectores {v0, . . . ,vi−1,vi+1, . . . ,vn}son una base de L y se puede elegir el vector vi como vector u en la construc-cion de 3.9. De esta manera, para la estructura afın de A = P−H, Ri = {Pi :v0, . . . , vi, . . . ,vn} es una referencia y dado un punto cualquiera X = [w] de A,el vector ~PiX se obtiene escribiendo:

w = x0v0 + · · ·+ xnvn = xivi + x0v0 + · · ·+ xivi + · · ·+ xnvn

conxi 6= 0. Por tanto

1xi

w = vi +x0

xiv0 + · · ·+ xi

xivi + · · ·+ xn

xivn

y 1/xiw es el representante del punto X que se selecciona, luego

~PiX = vi +∑

j 6=i

xj

xivj − vi =

∑

j 6=i

xj

xivj .

Luego el punto X de coordenadas proyectivas [x0, . . . , xn] respecto de lareferencia R, tiene en la referencia afın Ri, las coordenadas

(x0/xi, . . . , xi/xi, . . . , xn/xi)

(tengase en cuenta que por ser X /∈ H es xi 6= 0).Recıprocamente, si X ∈ A tiene en la referencia afın Ri las coordenadas

(y1, . . . , yn), se verifica que:

~PiX = y1v0 + · · ·+ yivi−1 + yi+1vi+1 + · · ·+ ynvn

Luego el punto X esta representado por el vector x dado por

x = vi + ~PiX

= y1v0 + · · ·+ yivi−1 + vi + yi+1vi+1 + · · ·+ ynvn

Por tanto, las coordenadas del punto X en la referencia R son

[y1, . . . , yi−1, 1, yi+1, . . . , yn]

Observemos que si R = {P0, . . . , Pn; U}, podemos llamar Hi al hiperplanoHi = LP(P0, . . . , Pi, . . . , Pn), es decir, al hiperplano de ecuacion xi = 0, entonces

n⋂

i=0

Hi = ∅ ⇒n⋃

i=1

(P−Hi) = P

Llamando Ai = P − Hi, tenemos ası un total de n + 1 espacios afines n -dimensionales que recubren el espacio P. En cada uno de estos espacios Aj ,


tenemos una referencia construida tomando una base normalizada asociada aR, {v0, . . . ,vn} y formando Rj = {Pj : v0, . . . , vj , . . . ,vn}.

Se verifica que si P ∈ P, P ∈ Aj ⇔ P /∈ Hj , es decir si P tiene en Rlas coordenadas [x0, . . . , xn], se verifica que P ∈ Aj ⇔ xj 6= 0 y entonces lascoordenadas del punto P en la referencia Rj son (x0/xj , . . . , xi/xj , . . . , xn/xj).

P0

P=[x0, x1] x1 U

A1 O1 v1 x1/x0

1 x0 v

0 1

v0

x0/x1

O0

v1

P1

A0

Figura 3.9: Cartas afines del espacio proyectivo real de dimension 1

Ejemplos 3.5.1.–

3.5.1.5. - Dado un punto P de P(R2) de coordenadas [x0, x1] en la referenciaR ={P1, P2; U}, con x0 6= 0, x1 6= 0, P ∈ A0 ∩ A1 porque no esta en ninguno de loshiperplanos xi = 0 i ∈ {0, 1}. En A0 la referencia es {O0;v0} y la coordenadade P en ella es (x0/x1). En A1, en la referencia {O1;v1}, la coordenada de Pes (x1/x0) (Ver figura. 3.9)

3.5.1.6. - Dadas las rectas r y s de P(R3) de ecuaciones:

a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0 aj 6= 0 ∀jb0x0 + b1x1 + b2x2 = 0 bj 6= 0 ∀j

r y s determinan rectas afines sobre las tres cartas:

r∩A0 tiene de ecuacion a0 +a1y1 +a2y2 = 0 con y1 = x1/x0, y2 = x2/x0.

r∩A1 tiene de ecuacion a0y1 +a1 +a2y2 = 0 con y1 = x0/x1, y2 = x2/x1.

r∩A2 tiene de ecuacion a0y1 +a1y2 +a2 = 0 con y1 = x0/x2, y2 = x1/x2.

Y se determinan rectas similares para s


A2 r2

s2

r s

r0 s0 s1 r1 A0 A1

r ∩ s

P1

P2

P

0

Figura 3.10: Cartas afines del espacio proyectivo real de dimension 2

En la figura 3.10, hemos elegido r y s para que se vean como secantes en lascartas A1 y A2 y como paralelas en la carta A0.

3.5.1.7. Como el polinomio, F (x0, x1, x2) = x21 +x2

2 +2x0x2 es homogeneo, tienesentido considerar el conjunto:

CF = {[a0, a1, a2] ∈ P(R3) | F (a0, a1, a2) = 0}ya que F ( el hecho de que F se anule en un punto no depende del repre-sentante de este que se elija porque F (a0, a1, a2) = 0 ⇒ F (ta0, ta1, ta2) =t2F (a0, a1, a2) = 0.) Desde el punto de vista afın y en cada una de las trescartas antes consideradas, el conjunto CF esta descrito como sigue:

1. CF ∩ A0 tiene de ecuacion y21 + y2

2 + 2y2 = 0 ⇒ y21 + (y2 + 1)2 = 1 con

y1 = x1/x0, y2 = x2/x0, es decir la figura se ve como una circunferenciaen la carta A0

2. CF ∩ A1 tiene de ecuacion 1 + y22 + 2y1y2 = 0 ⇒ y2(y2 + 2y1) = −1 con

y1 = x0/x1, y2 = x2/x1, es decir en esta carta se ve como una hiperbola

3. CF ∩ A2 tiene de ecuacion y22 + 1 + 2y1 = 0 con y1 = x0/x2, y2 = x1/x2,

es decir ahora la figura se ve como una parabola.

Vemos ası que los conceptos elipse, hiperbola, parabola, no son conceptos pro-yectivos sino diferentes visiones afines de una sola realidad proyectiva.


Ejercicio 3.5.70 Se llaman casos reducidos de un enunciado proyectivo a


los enunciados afines que se obtiene cuando alguno de los puntos o rectas delenunciado se lleva al infinito. Escribir casos reducidos del teoremas de Desargues.

Ejercicio 3.5.71 Utilizar el teorema de Desargues para dibujar lo siguiente:

1. La recta que pasa por un punto del papel y por el punto de corte de dosrectas que se cortan fuera de el

2. La recta que pasa por el punto de corte de dos rectas que se cortan fueradel papel y es paralela a una recta dada

Ejercicio 3.5.72 Dado en el plano real un paralelogramo, disenar un metodopara construir con solo una regla una recta que pase por un punto dado y seaparalela a una recta dada

Ejercicio 3.5.73 Se consideran el plano afın real, tres puntos no alineadosA,B, C, y dos rectas concurrentes r, s no paralelas a los lados del triangulo ABC.Se construyen los paralelogramos con diagonales AB, AC,BC y lados paralelosa las rectas r, s. Probar que las segundas diagonales de los tres paralelogramosconcurren en un punto.

Considerando el plano afın sumergido en el proyectivo y tomando como rectadel infinito una recta arbitraria, dibujar la figura correspondiente al problema.

Ejercicio 3.5.74 Dado un triangulo T = [A1, A2, A3] del plano afın y una rectar que no pase por ninguno de sus vertices, probar que las rectas que unen cadavertice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentesa dicho vertice, cortan a los lados opuestos al vertice en puntos alineados.

Ejercicio 3.5.75 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afın A2 y tomemosparalelas a cada una de ellas, a′, b′, c′. Demostrar que a∩b+a′∩b′, a∩c+a′∩c′

y c ∩ b + c′ ∩ b′, son tres rectas concurrentes.

Ejercicio 3.5.76 Se consideran el plano afın real R2 y su complecion proyectivasumergidos en el plano afın complejo C2 y su complecion proyectiva. Probar queuna conica afın real no degenerada es una circunferencia si y solo si pasa porlos puntos cıclicos del plano [0, 1,±i]

Ejercicio 3.5.77

1. Se consideran las curvas del plano afın dadas en una referencia afın porlas ecuaciones :

C1 : x2 + y2 = 1, C2 : xy = 1, C3 : x2 − y = 0

Se sumerge el plano afın en el proyectivo y se pide encontrar cambiosproyectivos de coordenadas que transformen la ecuacion de Ci en la de Cj

para 1 ≤ i ≤ j ≤ 3

2. Escribir las ecuaciones de las asıntotas de la curva real planas, de ecuacion:x4 − 4x2y2 + 2x3 − 3y2 = 0,


Ejercicio 3.5.78 En el espacio afın real de dimension tres, R3, sean π, π′, dosplanos distintos. Consideramos R3 ⊂ P3

R, Q complementario de π y de π′ y ϕ,la proyeccion de π en π′ desde Q.

1. Sea P ⊂ π un paralelogramo. A Que condiciones deben satisfacer π, π′ yQ para que la imagen de P por ϕ sea tambien un paralelogramo?.

2. Si π y π′ tienen ecuaciones respectivamente: x−y = 0, x+z = 0 y Q tienecoordenadas (1, 2, 0) en una referencia afın de R3, buscar las ecuacionesde las recta de π que se transforma por ϕ en la recta del infinito de π′ yde la recta transformada de la recta del infinito de π

3. Buscar las coordenadas de un punto T tal que la proyeccion del parale-logramo de π de vertices : (1, 1, 0)(0, 0, 2)(3, 3, 0)(5, 5, 4) sobre π′ desde Tsea un paralelogramo

Ejercicio 3.5.79 Sean a, b, c, tres rectas en el plano afın A2 y tomemosparalelas a cada una de ellas, a′, b′, c′. Demostrar que a∩b+a′∩b′, a∩c+a′∩c′

y c ∩ b + c′ ∩ b′, son tres rectas concurrentes.

Ejercicio 3.5.80 Dado un cuadrilatero en un plano π del espacio euclıdeo real:

1. Buscar todos los pares (Q, α) tales que la proyeccion del cuadrilatero desdeQ sobre α sea un paralelogramo

2. Id. sea un rectangulo

3. Id. sea un cuadrado

3.6. Apendice: Topologıa de los espacios proyec-tivos

Si K es el cuerpo real o el complejo, el espacio Kn admite una topologıanatural en la cual la base de entornos de un punto α = (α1, ..., αn) es el conjuntode bolas abiertas centradas en el punto:

BRε (α) = {x ∈ Rn | ∑i=ni=1 (xi − αi)2 < ε2} para ε ∈ R+ en el caso K = R

BCε (α) = {x ∈ Cn | ∑i=ni=1 |xi − αi|2 < ε2} para ε ∈ R+ en el caso K = C

Para cuerpos arbitrarios el espacio afın Kn se puede dotar siempre de la topologıade Zariski que es la topologıa con base de abiertos:

{D(f)}f∈K[x1,...,xn], D(f) = {(a1, ..., an) ∈ Kn | f(a1, .., an) 6= 0}.

El sistema de cartas descrito en la seccion anterior permite trasladar esastopologıas al espacio proyectivo de dimension n sobre el cuerpo K. Para ello,fijamos una referencia R = {P0, . . . , Pn; U} en Pn

K = P(Kn+1), llamamos Hi

3.6. APENDICE: TOPOLOGIA DE LOS ESPACIOS PROYECTIVOS 123

al hiperplano de ecuacion xi = 0, y Ai = P − Hi, tenemos ası un total den + 1 espacios afines n - dimensionales que recubren el espacio P. En cada unode estos espacios Aj tenemos una referencia afın, como ya hemos visto, sin masque tomar una base normalizada asociada aR, {v0, . . . ,vn} y formarRj = {Pj :v0, . . . , vj , . . . ,vn}. Si P ∈ P y P ∈ Aj , y P tiene en R coordenadas [x0, . . . , xn],con xj 6= 0, entonces las coordenadas del punto P en la referencia Rj son(x0/xj , . . . , xi/xj , . . . , xn/xj). Por tanto la referencia R induce biyecciones:

ϕj : Aj → Kn, ϕj([x0, . . . , xn]) = (x0/xj , . . . , xi/xj , . . . , xn/xj)

estas biyecciones permiten llevar la topologıa de Kn a todas las cartas localesAj .

Proposicion 3.6.1.– La familia de subconjuntos:

T = {U ⊂ PnK | ϕj(U ∩ Aj) abierto en Aj}

es una topologıa en PnK , y es independiente de la referencia elegida para cons-

truirla. Ademas una aplicacion f : PnK −→ X, donde X es un espacio topologico,

es continua si y solo si son continuas las aplicaciones fϕj : Kn −→ X para to-dos los ındices j.

Demostracion: Es obvio que ∅ ∈ T ,PnK ∈ T . La propiedad distributiva de la

union respecto de la interseccion, (⋃

i∈I Ui)∩Aj =⋃

i∈I(Ui ∩Aj) prueba que Tes cerrado para uniones arbitrarias.

Como ademas (⋂r

i=1 Ui) ∩ Aj =⋂n

i=1(Ui ∩ Aj), T es tambien cerrado paraintersecciones finitas y por tanto es una topologıa.

En la topologıa construida los hiperplanos son cerrados, ya que dado unhiperplano H, si tomamos una carta afın, o H es el hiperplano complementarioo la corta en un hiperplano afın que es cerrado. En consecuencia los conjuntoscomplementarios de hiperplanos son abiertos.

Entonces dadas dos referenciasR1, R2 si T1, T2 son las topologıas asociadas,las cartas de cada una son abiertas en la otra, ya que son complementarias dehiperplanos, entonces U es abierto en T1, como cada carta Aj de T1 es tambienabierta en T2, U ∩Aj es abierto en T2 para todos los ındices j luego U es unionde abiertos en T2 y por tanto es abierto. El mismo razonamiento prueba que losabiertos en T2 lo son en T1.

La ultima afirmacion es trivial de la construccion de los abiertos.

Corolario 3.6.2.– Una base de abiertos de la topologıa de Zariski de PnK es la

familia de conjuntos:

D(F ) = {[a0, ..., an] ∈ PnK | F (a0, ..., an) 6= 0}

cuando F recorre los polinomios homogeneos en n + 1 variables con coeficientesen K


Demostracion: Manteniendo las notaciones anteriores, es claro que, si paracada polinomio f ∈ K[x1, ..., xn] de grado r y cada ındice j, llamamos:

Fj(y0, ..., yn) = yd+1j f(

y0

yj, ..,

yj

yj, ..,

yn

yj)

entonces D(F ) = ϕ−1j (D(f)). Como los Aj forman un recubrimiento abierto

del proyectivo, la union de bases de abiertos de estos espacios es una base deabiertos y se sigue el resultado

Observese que la topologıa del espacio proyectivo queda descrita por la fami-lia de cartas afines que constituyen lo que podemos llamar un atlas del espacio,la forma en que las distintas cartas afines se pegan unas con otras en el espacioproyectivo viene determinada por los homeomorfismos:

ϕj .ϕ−1i : ϕi(Ai ∩ Aj) −→ ϕj(Ai ∩ Aj)

3.6.1. Esferas y espacios proyectivos

En los espacios proyectivos reales y complejos la topologıa se puede describirtambien como topologıa cociente de la de la de las esferas.

Como es habitual podemos llamar n - esferas real y compleja a:

SnR = {x ∈ Rn+1 | ∑i=n

i=0 x2i = 1}

SnC = {x ∈ Cn+1 | ∑i=n

i=0 |xi|2 = 1}Ambas esferas son compactas con la topologıa inducida por la de su espacioambiente y la aplicacion:

ψ : SnK −→ Pn

K , ψ(x = [x])

es sobre, porque cada punto proyectivo proviene de dos diametralmente opuestosen la esfera, y es continua ya que los conjuntos:

ψ−1(ϕ−1j (BK

ε )(α) = {(x) ∈ SnK | |(x0/xj)− α1|2 + . . . + |(xj−1/xj)− αj |2+

+|(xj+1/xj)− αj+1|2 + . . . + |xn/xj − αn|2 < ε}son abiertos, y la continuidad es una propiedad local.

Como consecuencia de ser ψ continua y sobre y ser las esferas compactas,los espacios proyectivos reales y complejos son compactos, mas aun ψ es abiertay el espacio proyectivo n-dimensional real o complejo es de hecho el cociente dela esfera por la relacion que identifica puntos diametralmente opuestos.

La relacion entre espacios proyectivos y esferas es mas fuerte solo en loscasos de las rectas proyectivas real y compleja. En ambos casos la proyeccionestereografica proporciona el resultado. Recordemos que se llama proyeccionestereografica a la transformacion que se obtiene fijando un punto P ∈ Sn = Sn

R ,llamado polo de la proyeccion, identificando Rn con el hiperplano α paralelo porel centro de la esfera al hiperplano tangente a esta por el polo y definiendo


D E A A'

C x B' ≡ Β F F' ≡ F x B x C' ≡ C E' ≡ Ε x x D' ≡ D

A≡Α' A A' Β' F'

C'

E' D'

P Bε(P) Bε(P)

Bε(∞) Bε (0) Bε(∞)

Bε(Q) Bε(Q)

Q

Figura 3.11: La recta proyectiva real es homeomorfa a la circunferencia

la imagen p(X) de un punto X ∈ Sn − {P} por: p(X) = (P + X) ∩ α. Uncalculo elemental de geometrıa analıtica permite establecer las ecuaciones de laproyeccion estereografica de polo (0, ..., 1):

p(x1, .., xn+1) = (y1, .., yn), yi =xi

1− xn+1, 1 ≤ i ≤ n

y de su inversa:p−1(y1, .., yn) = (x1, .., xn+1)

xi =2y1

y21 + ... + y2

n + 1, 1 ≤ i ≤ n, xn+1 =

y21 + ... + y2

n − 1y21 + ... + y2

n + 1

Vistas las ecuaciones es claro que la proyeccion estereografica es un homeomor-fismo p : Sn − {P} −→ Rn

Proposicion 3.6.3.– La recta proyectiva real es homeomorfa a la circunferen-cia y la recta proyectiva compleja es homeomorfa a la 2-esfera.

Demostracion: Para la primera afirmacion podemos dar dos pruebas, la pri-mera consiste en utilizar que la recta proyectiva real se obtiene identificando enla circunferencia puntos diametralmente opuestos (v. figura 3.11, cortando lacircunferencia por un diametro AA′ e identificando antıpodas se obtiene una se-micircunferencia en la que hay que identificar los extremos, con lo que se vuelvea tener una circunferencia.


X Y a

γ a

Y b X

X Y

a γ a γ b a

Y

X

b

A X γ B X

a Y a Y

γ γ γ γ

a a Y b Y b

X B

γ X

A

Figura 3.12: Estructura topologica del plano proyectivo real. El ciclo γ es la recta del infinito.

Se aprecia como se comportan dos bolas sobre la esfera a y b, la primera de las cuales corta

a la recta del infinito, cuando se recorren los distintos pasos que llevan al modelo plano del

plano proyectivo real

La segunda consiste en identificar en R2 el eje x con la recta afın real yextender la inversa de la proyeccion estereografica a la complecion proyectiva,ası definimos π : P1

R −→ S1 por:

π[1, y1] = p−1(y1) = (2y1

y21 + 1

,y21 − 1

y21 + 1

), π[0, 1] = (0, 1)

es decir:

π[x0, x1] = (2x0x1

x20 + x2

1

,x2

1 − x20

x21 + x2

0

).

Es un ejercicio inmediato comprobar que π es un homeomorfismo.Una construccion similar establece el segundo homeomorfismo, ya que iden-

tificando C ≡ R2, z = x + iy ≡ (x, y), podemos construir γ : P1C −→ S2 por:

γ[1, z] = p−1(x, y) = (2x

x2 + y2 + 1,

2y

x2 + y2 + 1,x2 + y2 − 1x2 + y2 + 1

)

γ[0, 1] = (0, 0, 1)

La aplicacion ası construida es biunıvoca y sobre las cartas es trivial que es con-tinua y abierta y por tanto homeomorfismo. Este homeomorfismo es de enormeinteres en el analisis de variable compleja y proporciona el ejemplo mas simplede la estructura llamada superficie de Riemann.


3.6.2. Topologıa del plano proyectivo real

La estructura topologica del plano proyectivo real es mucho mas complejaque la de las rectas proyectivas real y compleja. Al igual que todos los espaciosproyectivos reales es homeomorfa al cociente de la esfera S2 por la relacion queidentifica puntos diametralmente opuestos.

A

P

B

C C

D D

D

C C

E E

B A

P

A P B

C

D

ABC

D

AB

Figura 3.13: Una segunda construccion topologica del plano proyectivo

Hay muchas formas de construir el espacio resultante de esta identificacion,y la mejor descripcion de la mayorıa de ellas se encuentra en el texto de Apery[4]. La mas proxima a nuestra forma de trabajar consiste en cortar la esfera porun plano diametral. Los puntos contenidos en dicho plano serıan los de una rectaproyectiva, que se puede considerar, y ası lo haremos en lo que sigue, la recta delinfinito para una carta afın del plano proyectivo. De las dos semiesferas en queel plano divide a la esfera podemos quedarnos con una de ellas, cuyo borde serıaprecisamente la recta del infinito. Esta semiesfera contendra a un representantede cada punto del proyectivo, cada uno de los puntos no contenidos en la recta delinfinito tiene un representante unico en la semiesfera, pero los puntos del infinitotienen dos representantes diametralmente opuestos en la circunferencia que essu borde, por tanto para obtener la representacion del plano proyectivo hay queidentificar los puntos diametralmente opuestos del borde de la semiesfera(ver lafigura 3.12).

Para hacer esta identificacion transformamos primeramente, por proyeccion,la semiesfera en un circulo, en cuyo borde, que es la recta del infinito, se identifi-


can puntos diametralmente opuestos. El circulo se puede deformar a un cuadra-do en cuyo borde se identifican tambien puntos diametralmente opuestos, unaprimera identificacion de dos lados opuestos proporciona una banda de Mobius,cuyo borde habrıa que cerrar de nuevo con una torsion, imposible de realizaren el espacio real tridimensional. La figura que se obtiene no tiene por tantocabida en el espacio euclıdeo tridimensional, aunque puede ser sumergida eneste de modo singular. Los libros ya citados de Hilbert y Cohn-Vossen [25] yApery [4] contienen una buena descripcion de las superficies resultantes de estainmersion, la mas conocida es la superficie de Boy.

A B

CD

A B

CD

D

A

X Y

Y X

D

A B

C

B

C

A

D

C

B

A B

CD

B

C

A B

CD

A B

C

B

C D

D

A

Y Y

X X

A

D

Figura 3.14: La orientacion cambia al pasar por la lınea del infinito, porque a lo largo de ella

el plano proyectivo se comporta como una banda de Mobius, segun se aprecia a la derecha.

En el toro no sucede lo mismo, como se ve a la izquierda

Hay una forma de obtener otro modelo topologico del plano proyectivo real,que aparece en la figura 3.13. Como hemos indicado, el plano proyectivo se obtie-ne identificando en la esfera de R3 puntos diametralmente opuestos. Cortamosahora la esfera por dos planos paralelos a un plano diametral, que podemos pen-sar que contiene al ecuador de la esfera, equidistantes de el y suficientementeproximos como para cortar a la esfera segun dos paralelos. La esfera queda di-vidida en tres fragmentos, dos casquetes simetricos respecto al plano diametraly un anillo esferico. El paso al cociente identifica los dos casquetes, Y cortandoel anillo por un meridiano se obtienen dos mitades que se identifican y solo hayque pegar el borde de un lado de una de las mitades con el otro lado, pero hayque hacerlo identificando puntos diametralmente opuestos. Resultan por tantouna banda de Mobius y un circulo y solo hay que tapar la banda con el cırculoajustandolos borde con borde, naturalmente es imposible hacerlo dentro de R3

sin producir autointersecciones.Podemos obtener mas detalles sobre la topologıa de P2

R considerandolo comocompletado del plano euclıdeo R2. En este ultimo cada recta determina dos


semiplanos que tienen la propiedad de que es imposible pasar de uno al otrosin cortar la recta. Esto no sucede en el plano proyectivo, si tomamos una rectacualquiera, su complementario es el plano afın y es por tanto convexo. Como larecta proyectiva es homeomorfa a la circunferencia, resulta que hay una curvacerrada que no divide al plano proyectivo en dos trozos.

Otra propiedad interesante es la relativa a la orientacion, si desplazamos uncuadrilatero, con los vertices marcados en un cierto orden por el plano afın demodo que tengamos un sentido de recorrido de su borde, el sentido de recorridono se altera con los movimientos, pero si lo hacemos en el plano proyectivo, alpasar a traves de la recta del infinito la orientacion cambia (ver la figura 3.14)

El plano proyectivo, lo mismo que la banda de Mobius es una superficie noorientable, es decir no se puede cubrir por una red, con propiedades razonables,de triangulos orientados de modo coherente. Ademas de en los textos citados,la topologıa de las superficies y muchas propiedades topologicas interesantes delos espacios proyectivos pueden encontrarse en el texto de Ramırez Galarza ySeade [37].

Capıtulo 4

Razon doble. Cuaternasarmonicas

La razon doble, tiene especial interes por ser invariante, de hecho el unico, porla clase mas interesante de transformaciones proyectivas, que son precisamentelas que dan el nombre a la geometrıa que nos ocupa, las proyecciones y secciones.Por razones estrategicas preferimos colocarlas en un capıtulo aparte y previo aldedicado al estudio de estas transformaciones. La justificacion mas logica de laintroduccion del concepto de razon doble esta precisamente en la no invarianciapor proyeccion de la razon simple.

4.1. Razon simple y coordenadas afines

P2 P

U2 U

u2

O u1 U1 P1

Figura 4.1: Razon simple y coordenadas afines

Dados tres puntos A, B, C en una recta afın (con B 6= A), se llama razon

131

132 CAPITULO 4. RAZON DOBLE. CUATERNAS ARMONICAS

simple de A, B y C al numero [ABC] = λ tal que λ.−−→AB = −→

AC, o, en terminosclasicos, usando como cuerpo base R, al numero

AC

AB

cociente de las longitudes de los segmentos orientados AC y AB. La razon simpleda, por tanto, la coordenada afın del punto C en la referencia {A;−−→AB}.

La razon simple es una magnitud afın, en el sentido de que es invariante portransformaciones afines. Es decir si φ : A → A es una afinidad de isomorfismoasociado f y por tanto:

∀P, Q ∈ A,−−−−−−→φ(P )φ(Q) = f(−−→PQ)

y si A, B, C ∈ A estan alineados, φ(A), φ(B), φ(C) ∈ A tambien lo estan y:

[A,B, C] = λ ⇔ λ−−→AB = −→

AC ⇔ f(−→AC) = f(λ−−→AB) = λf(−−→AB) ⇔

⇔ (−−−−−−→φ(A)φ(C) = λ

−−−−−−→φ(A)φ(B) ⇔ [φ(A), φ(B), φ(C)] = λ

Si trabajamos en R2 y tenemos una referencia {O;u1,u2}, las coordenadas deun punto P son (a, b) si y solo si −−→OP = au1 +bu2 (ver la figura 4.1). Ahora bien,si llamamos U al punto (1, 1) y U1, U2 a los puntos (1, 0), (0, 1), proyeccionesrespectivamente de U sobre los ejes OU1 y OU2 en las direcciones de u2 y u1, yllamamos P1, P2 respectivamente a las proyecciones de P en estas direcciones,es −−→

OU1 = u1~OU2 = u2 OP = −−→

OP1 +−−→OP2−−→

OP1 = au1 = a−−→OU1

−−→OP2 = bu2 = b

−−→OU2

luego[O,U1, P1] = a; [O, U2, P2] = b

La misma construccion es valida para cualquier dimension y de este modo, lascoordenadas afines se pueden interpretar geometricamente como medidas pormedio de la razon simple, aunque en rigor no se pueda medir en el espacio afınen que trabajamos.

Si consideramos tres puntos distintos dos a dos en la recta proyectiva, sepuede tomar siempre una carta afın que los contenga y calcular en dicha cartala razon simple de estos tres puntos. Ahora bien la razon simple ası calculadadepende de la carta afın que se considere. En la figura 4.2 se observa como lospuntos {Q = [2, 1], U = [1, 1], P = [1, 2]}, corresponden en la primera carta A0

a los puntos afines {2, 1, 1/2} y su razon simple en esta carta es 1/2−21−2 = 3/4

mientras que en la segunda carta A1 corresponden a los puntos afines {1/2, 1, 2}y su razon simple en esta carta es 2−1/2

1−1/2 = 3/2. Por tanto la razon simple de trespuntos proyectivos no se puede definir como la razon simple de dichos puntosen una carta afın que los contenga.

4.2. RAZON DOBLE DE CUATRO PUNTOS 133

P0 P = [2, 1]

2

U = [1, 1]

Q= [1, 2] A1 0 1 2

0 P1

A0

Figura 4.2: la razon simple no es un concepto proyectivo

La razon simple tampoco es invariante por una proyeccion general, ya que,aunque si proyectamos una recta en el plano afın sobre otra paralela a ella, estaproyeccion es una afinidad y la razon simple no cambia, pero si proyectamosuna recta sobre otra no paralela a ella no sucede lo mismo. Por ejemplo: en lafigura 4.3 es claro que [A1, B1, C1] 6= [A2, B2, C2].

A continuacion vamos a introducir un concepto proyectivo que es indepen-diente de la eleccion de referencia e invariante por proyecciones y que juega enla geometrıa proyectiva el papel que juega la razon simple en la geometrıa afın,este concepto es el de razon doble de cuatro puntos.

4.2. Razon doble de cuatro puntos

Dados cuatro puntos alineados y distintos dos a dos A, B, C, D, en un espacioproyectivo P, los tres primeros definen una referencia {A,B; C} en la recta quelos contiene; entonces, las coordenadas [α0, α1] de D en esta referencia, estanunıvocamente determinadas y como D 6= A, α1 6= 0 y el numero α0/α1 existesiempre. Entonces llamaremos razon doble de A, B, C, D y la representaremospor [A,B : C, D] al numero

[A, B : C, D] =α0

α1

siendo, como hemos indicado, [α0, α1] las coordenadas de D en la referencia{A,B; C}.

La razon doble ası definida es intrınseca, es decir, no depende de la referenciaelegida en el espacio P, puesto que en la definicion no aparece ninguna menciona la misma, ni tampoco varia si consideramos nuestros puntos, no como puntos


A

A2 B

C A1 A1 C1 B1 = B2

C2

A2

Figura 4.3: La razon simple no es invariante por proyeccion

de P sino como puntos de cualquier subespacio de P que los contenga; si S esun subespacio de P que contiene a la recta A + B, [A,B : C, D] no depende deque S o P sea el espacio ambiente considerado.

Supongamos dada una referencia R = {P0, · · · , Pn; U} en Pn y que cono-cemos las coordenadas de los puntos A : [a0, . . . , an], B : [b0, . . . , bn], C :[c0, . . . , cn] y D : [d0, . . . , dn]. El hecho de que los cuatro puntos esten alineadosse traduce en que el rango:

r

a0 . . . an

b0 . . . bn

c0 . . . cn

d0 . . . dn

= 2

Para calcular la razon doble [A,B : C,D] necesitamos calcular las coordenadasde D en la referencia {A,B;C}, y para eso necesitamos conocer una base nor-malizada asociada a dicha referencia, es decir vectores a, b, tales que [a] = A,[b] = B y [a + b] = C. Si buscamos numeros α1, α2 tales que

(?) α1(a0, . . . , an) + α2(b0, . . . , bn) = (c0, . . . , cn)

se verifica que los vectores de coordenadas {α1(a0, . . . , an), α2(b0, . . . , bn)} en labase normalizada asociada a R forman la base buscada.

Como A 6= B y A, B y C estan alineados, es

r

(a0 . . . an

b0 . . . bn

)= r

a0 . . . an

b0 . . . bn

c0 . . . cn

= 2

luego el sistema (?) tiene solucion unica que se calcula tomando dos ındices i,


j, tales que ∣∣∣∣ai aj

bi bj

∣∣∣∣ 6= 0

y resolviendo el sistema {α1ai + α2bi = ci

α1aj + α2bj = cj

cuyas soluciones son

α1 =

∣∣∣∣ci bi

cj bj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai bi

aj bj

∣∣∣∣α2 =

∣∣∣∣ai ci

aj cj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai bi

aj bj

∣∣∣∣

Entonces, las coordenadas del punto D en la referencia {A,B;C} son [β0, β1]con (d0, . . . , dn) = β0α1(a0, . . . , an) + β1α2(b0, . . . , bn). Ahora bien, como

∣∣∣∣α1ai α2bi

α1aj α2bj

∣∣∣∣ = α1α2

∣∣∣∣ai bi

aj bj

∣∣∣∣ 6= 0

β0, β1 son las soluciones del sistema

di = β0α1ai + β1α2bj

dj = β0α1aj + β1α2bj

de donde

β0 =

∣∣∣∣di α2bi

dj α2bj

∣∣∣∣∣∣∣∣

α1ai α2bi

α1aj α2bj

∣∣∣∣=

∣∣∣∣di bi

dj bj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai bi

aj bj

∣∣∣∣α1

β1 =

∣∣∣∣α1ai di

α1aj dj

∣∣∣∣∣∣∣∣

α1ai α2bi

α1aj α2bj

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ai di

aj dj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai bi

aj bj

∣∣∣∣α2

Teniendo en cuenta estos valores, queda

[A,B : C, D] =β0

β1=

∣∣∣∣di bi

dj bj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai ci

aj cj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ci bi

cj bj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai di

aj dj

∣∣∣∣

Por razones nemotecnicas, se suele cambiar el orden en las columnas y es-cribir

(??) [A, B : C, D] =

∣∣∣∣ai ci

aj cj

∣∣∣∣bi di

bj dj

∣∣∣∣∣∣∣∣

ai di

aj dj

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣bi ci

bj cj

∣∣∣∣


donde debemos recordar que los ındices i, j se eligieron de modo que:∣∣∣∣

ai bi

aj bj

∣∣∣∣ 6= 0

Observemos que las columnas de los determinantes del numerador de (??) corres-ponden a las coordenadas de los puntos primero y tercero,y segundo y cuarto(puntos medios), y las del denominador a las de los puntos primero y cuarto,segundo y tercero (puntos extremos).

En caso de que consideremos n = 1, es decir trabajemos con un sistema decoordenadas de P1, cada punto solo tiene dos coordenadas y:

A 6= B ⇒∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣ 6= 0

y la razon doble de los puntos A = [a0, a1], B = [b0, b1], C = [c0, c1] y D =[d0, d1] es

[A,B : C,D] =

∣∣∣∣a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣b0 d0

b1 d1

∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣Si trabajamos en la recta afın A1 ⊂ P1 con referencias asociadas, los puntos

A, B, C, D, de coordenadas afines, respectivamente, (a), (b), (c), (d), tienencomo coordenadas proyectivas : [1, a], [1, b], [1, c], [1, d] y su razon doble es

[A,B : C,D] =

∣∣∣∣1 1a c

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣1 1b d

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1a d

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣1 1b c

∣∣∣∣

=(c− a)(d− b)(d− a)(c− b)

=AC.BD

AD.BC

Con esta formula, podemos calcular el valor limite de la razon doble cuando Atiende a infinito o sea podemos tomar A = P1 con coordenadas [0, 1], en estecaso es

[P1, B : C, D] =

∣∣∣∣0 11 c

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣1 1b d

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 11 d

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣1 1b c

∣∣∣∣=

d− b

c− b= [B,C, D]

Y en este sentido, como indicabamos en 4.1, la razon doble generaliza la razonsimple.

Obviamente la razon doble de cuatro puntos puede cambiar cuando se variael orden de estos, pero de la formula de la razon doble es claro que esta nocambia en los casos siguientes:

1. Si permutamos simultaneamente A y C y B y D, es decir [A,B : C,D] =[C, D : A,B]


2. Si permutamos simultaneamente A y B y C y D, es decir [A,B : C, D] =[B, A : D, C]

3. Si aplicamos simultaneamente las dos permutaciones anteriores, es decir,si invertimos el orden de los puntos, [A, B : C, D] = [D,C : B, A]

Este resultado justifica el que separemos los cuatro puntos en dos parejas.Por otra parte, como la razon doble no depende de la referencia, si [A,B :

C, D] = β y elegimos {A,B; C} como referencia, D tiene coordenadas [β, 1] ycomo A = [1, 0], B = [0, 1], C = [1, 1], se comprueba inmediatamente que:

[A,B : C, D] = [D, C : B, A] = [C,D : A,B] = [B, A : D,C] = β[A,B : D, C] = [C,D : B, A] = [D, C : A,B] = [B, A : C, D] = 1/β[A,C : B, D] = [D, B : C, A] = [B, D : A,C] = [C, A : D, B] = β/(β − 1)[A,C : D,B] = [B,D : C, A] = [D, B : A,C] = [C, A : B,D] = (β − 1)/β[A,D : B, C] = [C,B : D, A] = [B, C : A, D] = [D, A : C, B] = 1/(1− β)[A,D : C, B] = [B, C : D, A] = [C,B : A,D] = [D,A : B,C] = 1− β

Observese que las seis funciones f0(β) = β, f1(β) = 1/β, f2(β) = β/(β − 1),f3(β) = (β−1)/β, f4(β) = 1−β, f5(β) = 1/(1−β) forman, con la composicionde aplicaciones como operacion, un grupo.

La razon doble se puede ampliar a cuaternas de puntos con dos puntosiguales; ya que teniendo en cuenta la definicion, se puede convenir que [A,B :C, A] = 0/1 = 0, [A, B : C, C] = 1/1 = 1, [A, B : C, B] = 1/0 = ∞, de estaforma y teniendo en cuenta las igualdades anteriores, se verifica por ejemploque:

[A,B : C,A] = [A,C : B, A] = [C, A : A,B] = [B, A : A,C] = 1= [A,B : A,C] = [A,C : A,B] = [C, A : B, A] = [B, A : C, A]

y se pueden escribir igualdades similares para los valores 0 e ∞.Dada una referencia proyectiva {A0, A1; U} de una recta r de un espacio P

sobre un cuerpo K se puede anadir al cuerpo el sımbolo ∞, y establecer unacorrespondencia biunıvoca:

θ : r −→ K ∪ {∞}, θ(X) = [A0, A1 : U,X]

Esta correspondencia se llama parametro proyectivo asociado a la referencia.Como los hiperplanos de un espacio proyectivo forman a su vez un espa-

cio proyectivo, se puede calcular tambien la razon doble de cuatro hiperplanosalineados H1,H2,H3,H4, donde decir hiperplanos alineados en un espacio dedimension n, significa que dim(H1∩H2∩H3∩H4) = n−2. Por ejemplo, cuatrorectas alineadas del plano son cuatro rectas de un haz (es decir con un puntocomun) y cuatro planos del espacio tridimensional estan alineados si son cuatroplanos de un haz de planos ( es decir son planos con una recta comun).

Si en una referencia de P el hiperplano Hi tiene ecuacion ai0x0 + · · ·+ainxn,Hi es un punto de P∗ que en la referencia dual tiene coordenadas [ai0, . . . , ain],


O = P0

x U

r

P1 P

2 A B

r1 r2 r3 r4

Figura 4.4:

por tanto la razon doble [H1,H2 : H3,H4] se calcula por la formula

(∗) [H1,H2 : H3,H4] =

∣∣∣∣a1i a3i

a1j a3j

∣∣∣∣a2i a4i

a2j a4j

∣∣∣∣∣∣∣∣

a1i a4i

a1j a4j

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣a2i a3i

a2j a3j

∣∣∣∣

siempre que ∣∣∣∣a1i a2i

a1j a2j

∣∣∣∣ 6= 0

y esta expresion no depende de la referencia elegida.Supongamos en particular que trabajamos con cuatro rectas concurrentes en

un punto O, en un plano proyectivo P, r1, r2, r3, r4, y que r es una recta de Pque no pasa por O. Podemos elegir una referencia de P {P0, P1, P2;U}, en laque O = P0, r ∩ r1 = P1, r ∩ r2 = P2 y U sea un punto de r3, diferente de O yde r ∩ r3 (figura 4.4). En esta referencia, las ecuaciones de las rectas son:

r1 : x2 = 0 r2 : x1 = 0r3 : x1 − x2 = 0 r4 : ax1 + bx2 = 0

y la formula (∗) dice que:

[r1, r2 : r3, r4] =

∣∣∣∣0 11 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0a b

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1a b

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 01 −1

∣∣∣∣= − b

a


Por otra parte,

r1 ∩ r = [0, 1, 0] r2 ∩ r = [0, 0, 1]r3 ∩ r = [0, 1, 1] r4 ∩ r = [0, b,−a]

luego

[r1 ∩ r, r2 ∩ r : r3 ∩ r, r4 ∩ r] = − b

a= [r1, r2 : r3, r4]

En consecuencia, dadas cuatro rectas concurrentes y coplanarias, la razon doblede los cuatro puntos que intersecan sobre una recta cualquiera coplanaria conellas y que no pase por su punto comun, es igual a la razon doble de las cua-tro rectas y por consiguiente es constante e independiente de la recta elegida.En consecuencia la razon doble de cuatro puntos alineados es invariante porproyeccion y seccion.

A B C D D' C' B'

O

h

Q

h

ß P R

A'

Figura 4.5: La razon doble se puede calcular en terminos trigonometricos

Este resultado se puede generalizar a radiaciones cualesquiera, y lo haremosusando algebra lineal en el proximo capıtulo.

Vamos a ver a continuacion, y a tıtulo de ejemplo, que para rectas del planoeuclıdeo se puede dar otra prueba utilizando trigonometrıa. Usaremos que, dadoun triangulo cualquiera PQR de altura correspondiente al lado PR igual a h(figura 4.5), el area del triangulo es:

S =12|PR|.h =

12|PQ|.|PR|. sinβ

(donde β = QPR se toma como angulo no orientado). Entonces se tiene:

|[A,B : C, D]| = |AD|.|BC||AC|.|BD| =

|AD|.h.|BC|.h|AC|.h.|BD|.h =


=|OA|.|OD| sin AOD.|OB|.|OC| sin BOC

|OA|.|OC|. sin AOC.|OB|.|OD|. sin AOD=

sin AOD. sin BOC

sin AOC. sin BOD

Si usamos angulos orientados de modo que el angulo orientado positivamentese corresponda con un sentido elegido en la recta, entonces es inmediato que:

[A,B : C,D] =sin AOD. sin BOC

sin AOC. sin BOD

O2

O1

D A

B C

Figura 4.6: Tiene sentido hablar de razon doble de cuatro puntos de una circunferencia,

definiendola como la razon doble de sus proyecciones desde un quinto punto

Este resultado prueba que la razon doble es invariante por proyeccion yseccion ya que ( ver la figura 4.5)

[A,B : C,D] =sin AOD. sin BOC

sin AOC. sin BOD=

sin A′OD′. sin B′OC ′

sin A′OC ′. sin B′OD′= [A′B′ : C ′D′]

Este resultado prueba tambien que dados cuatro puntos distintos en unacircunferencia (figura 4.6) A, B, C, D, tomando un quinto punto O, la razondoble [OA, OB : OC, OD] es independiente del punto O, ya que al ser los angulosAOC, AOD, etc, inscritos, su medida en radianes es la mitad del cociente por el

radio de la circunferencia, de los arcos_

AC,_

AD, etc. y por tanto es independientede O.


Ejercicio 4.2.81 Se considera un rectangulo del plano euclıdeo ABCD y seaΓ la circunferencia circunscrita al rectangulo. Calcular en, en funcion de las

4.3. RAZON DOBLE Y COORDENADAS PROYECTIVAS 141

longitudes de los lados del rectangulo la razon doble [A,B : C, D] (Recuerdeseque la razon doble de cuatro puntos [A,B : C, D] de una circunferencia es larazon doble de las rectas [P+A,P+B : P+C, P+D] donde P ∈ Γ−{A,B, C, D}es un punto arbitrario)

Ejercicio 4.2.82 Comprobar que la razon doble de cuatro puntos distintos dosa dos de una circunferencia, A,B, C, D, coincide con la de las rectas tA, A + B :A + C,A + D, donde tA es la tangente a la circunferencia por A.

Ejercicio 4.2.83 Dado un triangulo T = [A1, A2, A3] del plano proyectivo, unpunto P se dice polo de una recta r respecto de T , y r se llama polar de Prespecto de T , si [Ai, Aj : (Ak +P )∩ (Ai +Aj), r∩ (Ai +Aj)] = −1, ∀{i, j, k} ={1, 2, 3}

1. Probar que todo punto no contenido en un lado de T tiene polar y quetoda recta que no pase por un vertice de T tiene polo.

2. Si se toma una referencia R = {A1, A2, A3; U} escribir en coordenadas lacorrespondencia polo polar

3. Estudiar como varia la correspondencia anterior si cambiamos el punto U

4. Comprobar si es cierto que las polares de todos los puntos de una recta rpasan por el polo de r.

Ejercicio 4.2.84 Calcular la razon doble [a, b : c, d] cuando a, b son las raıcesde x2 + px + q = 0 y c, d las de x2 + rx + s = 0. Averiguar la condicion sobrelos coeficientes para que esa razon valga −1.

Ejercicio 4.2.85 Probar que si dos triangulos T1, T2 de lados a1, a2, a3 yb1, b2, b3 respectivamente, verifican que los puntos ai ∩ bi, i = 1, 2, 3, estan con-tenidos en una recta r todas las polares de los puntos de r respecto de ambostriangulos son concurrentes

4.3. Razon doble y coordenadas proyectivas

Veamos como se pueden interpretar las coordenadas proyectivas de un pun-to del espacio en terminos de la razon doble. Comencemos por los casos dedimensiones bajas.

Notas 4.3.1.–

4.3.1.1. -( Caso de n = 1). Por definicion de razon doble, el punto X tienecoordenadas [α0, α1] en la referencia {P0, P1; U} si y solo si [P0, P1 : U,X] = α0

α1o lo que es lo mismo, [P0, P1 : U,X] = λ si y solo si las coordenadas de X en lareferencia {P0, P1; U} son [λ, 1].

4.3.1.2. - (Caso de n = 2). Sea R = {P0, P1, P2; U} una referencia de P2 y sea Xun punto de coordenadas [α0, α1, α2] en ella. Proyectemos U y X desde P0 sobre


X01

P0

U01 U02 U X X02

P1 U12 P2 X12

Figura 4.7: Razon doble y coordenadas proyectivas

la recta P1 + P2 ( figura 4.7), obtenemos ası dos puntos U12 y X12 alineadoscon P1 y P2. Calculemos [P0, P1 : U12, X12]; para ello observemos que en lareferencia R:

P1 y P2 tienen coordenadas [0, 1, 0] y [0, 0, 1], respectivamente.

P1 + P2 es la recta de ecuacion x0 = 0, y P0 + U es la recta de ecuacionx1 − x2 = 0, luego U12 viene dado por el sistema

{x0 = 0x1 − x2 = 0

con solucion [0, 1, 1]

P0 + X tiene por ecuacion α2x1 − α1x2 = 0, luego X12 viene dado por elsistema {

x0 = 0α2x1 − α1x2 = 0

cuya solucion es [0, α1, α2] luego [P1, P2 : U12, X12] = α1/α2.

Por simetrıa, llamando U02 y X02 a las proyecciones de U0 y X desde P1 sobreP0 + P2 y U01, X01 a las realizadas desde P2 sobre P0 + P1, se tiene:

[P0, P1 : U01, X01] =α0

α1

[P0, P2 : U02, X02] =α0

α2

luego se pueden interpretar todos los cocientes de dos coordenadas de X con laformula:

4.3. RAZON DOBLE Y COORDENADAS PROYECTIVAS 143

X tiene coordenadas [α0, α1, α2] en {P0, P1, P2; U} si y solo si:

∀i, j, [Pi, Pj : Uij , Xij ] = αi/αj

Observemos que necesariamente alguna de las coordenadas de X es distintade cero, por ejemplo sea α2 6= 0, entonces es X = [α, β, 1] con α = α0/α2,β = α1/α2, y como consecuencia

α = [P0, P2 : U02, X02] ; β = [P1, P2 : U12, X12]

Los casos α = 0, β = 0 corresponden a casos limite en los que X esta situado enlas rectas P0 +P2, P1 +P2 o P2 +U pero se adaptan a la formula si extendemosla razon doble como se indica al final de 4.2.

4.3.1.3. - ( Caso general). En el caso general la situacion es identica al cason = 2. Fijada una referencia R = {P0, . . . , Pn;U}, llamaremos para cada par deındices i, j

Lij = P0 + · · ·+ Pi + · · ·+ Pj + · · ·+ Pn

Uij = (Lij + U) ∩ (Pi + Pj)Xij = (Lij + X) ∩ (Pi + Pj)

Observemos que en el caso n = 2, L12 = {P0}, L01 = {P2}, L02 = {P1}, y queen el caso general Uij y Xij estan bien definidos, como veremos a continuacioncalculando sus coordenadas.

1.- Coordenadas de Xij . Claramente dim(Lij) = n− 2, y como X es unpunto dim(X) = 0. Entonces si X /∈ Lij

dim(Lij + X) = dim(Lij) + dim(X)− dim(Lij ∩X) = dim(Lij) + 1 = n− 1

luego Lij + X tiene una unica ecuacion implıcita. Si X tiene de coordenadas[α0, . . . , αn], como X /∈ Lij , αi 6= 0 o αj 6= 0,en consecuencia la ecuacionαjxi − αixj = 0 no es el polinomio cero igualado a cero, y es satisfecha por

los puntos Pk : [0, . . . ,(k)

1 , . . . , 0], k 6= i, k 6= j, y por el punto X, luego es laecuacion de Lij + X.

Por otra parte Pi + Pj tiene dimension 1 y por tanto n − 1 ecuacionesindependientes y como Pi y Pj verifican las n − 1 ecuaciones xk = 0, k 6= i,k 6= j, estas son las ecuaciones de esa recta. Entonces: (Lij + X) ∩ (Pi + Pj) esel conjunto de soluciones del sistema

{αjxi − αixj = 0xk = 0, k 6= i, k 6= j

.Este sistema tiene solucion unica que es [0, . . . ,

(i)αi, . . . ,

(i)αj , . . . , 0] y αi 6= 0,

αj 6= 0, si X no esta ni en el hiperplano xi = 0 ni en el xj = 02.- Coordenadas de Uij . Como U : [1, . . . , 1], aplicando el razonamiento

anterior, Uij tiene coordenadas [0, . . . ,(i)

1 , . . . ,(j)

1 , . . . , 0].


Proposicion 4.3.2.– Dada una referencia R = {P0, . . . , Pn; U}, en un espacioproyectivo P, si llamamos para cada par de ındices i, j

Lij = P0 + · · ·+ Pi + · · ·+ Pj + · · ·+ Pn

Uij = (Lij + U) ∩ (Pi + Pj)

y ∀X ∈ P, X /∈ Lij , Xij = (Lij + X) ∩ (Pi + Pj)

1. Rij = {Pi, Pj ;Uij} es una referencia en la recta Pi + Pj

2. Las coordenadas de un punto X ∈ P, X /∈ ⋃i,j Lij respecto de R son

[x0, . . . , xn] si y solo si las coordenadas de Xij respecto de Rij son [xi, xj ]

3. Si X ∈ ⋃i,j Lij entonces existe un subconjunto propio mınimo {t1, . . . , tr} ⊂

{0, 1, . . . , n} tal que X ∈ Pt0 + . . .+Ptry en este caso, las coordenadas X

respecto de R son [x0, . . . , xn] si y solo si xs = 0, ∀s /∈ {t1, . . . , tr} y paratodo par de ındices i, j ∈ {t1, . . . , tr} las coordenadas de Xij respecto deRij son [xi, xj ]

Demostracion: La nota anterior 3 contiene la demostracion de las dos primerasafirmaciones, la primera parte de la tercera es trivial, las coordenadas no nulasde X corresponden a los ındices de los puntos de la referencia de los que Xdepende efectivamente (es decir con coeficiente distinto de cero) y si Pi, Pj sondos de estos puntos X no puede depender de los restantes luego X /∈ Lij con locual Xij esta bien definido y sus coordenadas son [xi, xj ]

Consecuencia 4.3.3.– Con las notaciones anteriores X tiene coordenadas[x0, . . . , xn], si y solo si:

∀ i, j, 0 ≤ i, j ≤ n, con xj 6= 0, [Pi, Pj : Uij , Xij ] =xi

xj

Nota 4.3.4.– Si tomamos un hiperplano H de ecuacion en la referencia R ={P0, . . . , Pn; U}

a0x0 + · · ·+ anxn = 0

y llamamos Hij al punto de corte Hij = H∩(Pi+Pj); supuesto que Pi+Pj 6⊂ H,es decir que ai 6= 0 o aj 6= 0. Entonces Hij es el punto dado por la solucion delsistema:

{a0x0 + · · ·+ anxn = 0xk = 0 ∀k, k 6= i, k 6= j

⇒{

aixi + ajxj = 0xk = 0 ∀k k 6= i, k 6= j

Luego Hij tiene coordenadas [0, . . . ,− (i)aj , . . . ,

(j)ai , . . . , 0] y

[Pi, Pj : Uij ,Hij ] = −aj

ai

obteniendose ası una interpretacion de los coeficientes de la ecuacion de H.

4.4. CUATERNAS ARMONICAS 145

En el caso particular del hiperplano

x0 + · · ·+ xn = 0

todas las razones dobles[Pi, Pj : Uij ,Hij ] valen −1 y esta condicion caracterizacompletamente a este hiperplano que es el punto unidad de la referencia dehiperplanos asociada a la referencia R de partida.

4.4. Cuaternas armonicas

Se llama cuaterna armonica a un conjunto de cuatro puntos alineados talesque su razon doble es −1.

Observemos que decir que los puntos A, B, C, D forman una cuaternaarmonica significa que D tiene coordenadas [1,−1] en la referencia {A,B; C},esto es, que existen representantes a, b de A y B, respectivamente, tales que a+brepresenta a C y a − b representa a D. Las formulas obtenidas anteriormenteque dan la variacion de la razon doble de cuatro puntos al permutar estos, tienencomo consecuencia que si A, B, C, D forman una cuaterna armonica, tambienforman una cuaterna armonica:

(A,B, D, C), (B, A, C,D), (B, A,D, C), (C, D, A, B)

(C, D,B,A), (D,C, A, B), (D,C, B, A)

Es decir los pares de puntos {A,B}, {C,D} aparecen permutados y permutadosentre si de todas las formas posibles esto justifica que si [A,B : C, D] = −1 sediga que los puntos A, B estan armonicamente separados por C, D.

La propiedad esencial de las cuaternas armonicas situadas en una recta con-tenida en un plano, es que se caracterizan geometricamente en terminos de lasoperaciones del retıculo de subespacios, por medio de los llamados cuadriverti-ces completos. Llamaremos cuadrivertice ,a un conjunto compuesto por cuatropuntos P , Q, R, S, situados en un plano y tales que tres cualesquiera de ellosno esten alineados, a estos puntos les llamaremos vertices.

1. Las rectas P + Q, Q + R,R + S y S + P se llaman lados

2. Los puntos E = (P + Q) ∩ (R + S), F = (P + S) ∩ (Q + R) se llamanpuntos diagonales.

3. Las rectas P + R y Q + S se llaman diagonales (figura 4.8)

Obviamente un cuadrivertice depende del orden de sus vertices, pero considera-remos como iguales dos cuadrivertices cuyos vertices difieren en una permutacioncircular.

Los lados de un cuadrivertice son cuatro rectas tales que tres cualesquierade ellas no son concurrentes y describen la figura dual de un cuadrivertice quese llama un cuadrilatero. El conjunto de siete puntos y sietes rectas formado porlos vertices, los puntos diagonales, los lados, las diagonales, el punto de corte de


F

E

P P S e

R E

F S Q f f R Q e

Figura 4.8: En un cuadrivertice completo (PQRS), P, Q, R, S se llaman vertices, P +Q, Q+

R, R + S, S + P se llaman lados, E = (P + Q) ∩ (R + S), F = (P + S) ∩ (Q + R), se llaman

puntos diagonales y e = P + R, f = Q + S, se llaman diagonales.

las diagonales y la recta que une los puntos diagonales, se llama un cuadriverticecompleto. Su figura dual se llama cuadrilatero completo y coincide con el cua-drivertice completo, por lo cual podemos llamarlo indistintamente con ambosnombres; el cuadrivertice completo de vertices P, Q, R, S se representara en losucesivo por (P, Q,R, S).

Proposicion 4.4.1.– Cuatro puntos alineados y distintos dos a dos A, B,C, D , en un espacio proyectivo P de dimension mayor que uno definido sobreun cuerpo de caracterıstica distinta de dos, forman una cuaterna armonica, si ysolo si existe un cuadrivertice completo (P, Q, R, S) tal que A y B son los puntosdiagonales del cuadrivertice y C y D los puntos de corte de la recta A + B conlas dos diagonales del mismo.

Demostracion:Podemos hacer una demostracion analıtica de la forma siguiente: Sea (P, Q,R, S)

un cuadrivertice; tomamos el plano que lo contiene y elegimos en el como refe-rencia {P, Q,R; S}. Entonces, si A y B son los puntos diagonales

A = (P + Q) ∩ (R + S) :{

x2 = 0x0 − x1 = 0 ⇒ A = [1, 1, 0]

B = (P + S) ∩ (Q + R) :{

x1 − x2 = 0x0 = 0 ⇒ B = [0, 1, 1]

A + B : {x1 − x0 − x2 = 0}Las diagonales son

P + R = {x1 = 0} y Q + S = {x− 0− x2 = 0


R

S

Q P

r1 r2 s s1 s2 t

A C B D

Figura 4.9: Cuaterna armonica y cuadrivertice completo

Por tantoC = (A + B) ∩ (P + R) = [−1, 0, 1]D = (A + B) ∩ (Q + S) = [1, 2, 1]

Entonces [A,B : C,D] = −1, ya que el menor compuesto por las dos primerascoordenadas de A y B es: ∣∣∣∣

1 10 1

∣∣∣∣ 6= 0

y en consecuencia:

[A,B : C, D] =

∣∣∣∣1 11 2

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣0 1

−1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 11 2

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣0 1−1 0

∣∣∣∣=

1.(−1)1,1

= −1

(Observese que el orden de eleccion de A y B como puntos diagonales, y C y Dcomo corte de A + B con las diagonales, no influye en el resultado).

Podemos llegar al mismo resultado sinteticamente, par ello basta recordarque la razon doble es invariante por proyeccion y seccion y en consecuencia,llamando E al punto de corte de las diagonales, por proyeccion desde S y seccionpor R + P , es:

[A,B : C, D] = [R,P : C, E]

y por proyeccion desde Q y seccion por A + B

[R,P : C, E] = [B, A : C,D]


Entonces teniendo en cuenta las formulas que dan la variacion de la razon dobleal variar los puntos:

[A,B : C,D] = [B,A : C,D] =1

[A,B : C, D]⇒ [A,B : C, D]2 = 1

y como al ser puntos distintos, [A, B : C, D] 6= 1, debe ser [A, B : C, D] = −1Recıprocamente, si [A,B : C, D] = −1, podemos tomar, en un plano cual-

quiera que contenga a la recta soporte de los cuatro puntos, rectas r1 y r2 por A(figura 4.9) y una recta s por C. Si llamamos R = r1∩s, P = r2∩s y construimosrectas s1 = R+B, s2 = P +B, tenemos los puntos Q = s1∩r2, S = s2∩r1, quecon P y R definen un cuadrivertice (PQRS) que tiene como puntos diagonalesa A y B y verifica que la diagonal P + R corta a A + B en C, luego si X esel punto de corte de A + B con la diagonal Q + S, es [A, B : C,D] = −1 porhipotesis y [A,B : C, X] = −1 por la primera parte de la demostracion, luego Dtiene coordenadas [−1, 1] en {A,B; C} y por la misma razon, X tiene tambiencoordenadas [−1, 1] en la misma referencia, luego D = X.

[1,1,0]

[0,1,0]

[1,0,0]

[1,1,1] [0,1,1]

[0,0,1]

[1,0,1]

Figura 4.10: Si el cuerpo base es de caracterıstica dos la recta x0 + x1 + x2 = 0 pasa por

los puntos diagonales [1, 1, 0], [1, 0, 1] y por el punto de corte de las diagonales[1, 1, 0]

La condicion de caracterıstica distinta de dos en el cuerpo base es impres-cindible, ya se ve en la demostracion la necesidad de que 2 6= 0, pero es queademas el cuerpo base es de caracterıstica dos si y solo si en todo cuadriverti-ce completo, los puntos diagonales y el punto de corte de las diagonales estanalineados como se aprecia en la figura 4.10 llamada configuracion de Fano

Nota 4.4.2.– Recordemos que en el plano, el conjunto de rectas que pasan porun punto forman tambien una recta proyectiva, y que esta figura es dual de larecta del plano, ası se puede hablar de razon doble de cuatro rectas concurrentes,a, b, c, d, contenidas en un plano, y decir que [a, b : c, d] = λ si existe una


referencia en la cual a es la recta x0 = 0, b es la x1 = 0, c es la x0 + x1 = 0 y dla recta a0x0 + a1x1 = 0 con a0/a1 = λ.

O

R1 s S2 S T d p r S1

q b R2 c a

Figura 4.11: Construccion dual del cuarto armonico

Entonces dadas tres rectas a, b, c concurrentes en O, la construccion de larecta d tal que [a, b : c, d] = −1 se puede hacer como la dual de la anterior,es decir (figura 4.11): Tomamos puntos R1 y R2 en la recta a, un punto Sen la recta c y construimos las rectas r = R1 + S, p = R2 + S, y los puntosS1 = r ∩ b, S2 = p ∩ b. Llamamos q = S1 + R2 y s = R1 + S2. Se verificaque (p, q, r, s) es un cuadrilatero de vertices R2, S1, R1, S2, cuyas diagonalesson a = R1 + R2 y b = S1 + S2 y cuyos puntos diagonales son S y T = s ∩ q.Ası, O + S = a y O + T = d y se verifica que [a, b : c, d] = −1, ya que enla referencia {R1, R2, S1;S2}, a = R1 + R2 es la recta x2 = 0, b = S1 + S2

es la recta x0 − x1 = 0, O es el punto [1, 1, 0] y S y T son, respectivamente,[1, 0, 1] y [0, 1, 1], luego c y d son las rectas x0 − x1 − x2 = 0, x1 − x0 − x2 = 0.Como consecuencia, en la referencia de rectas del plano asociada a la referenciaelegida, las coordenadas de a, b, c y d son, respectivamente, [0, 0, 1], [1,−1, 0],[1,−1,−1] y [−1, 1,−1], luego [a, b : c, d] = −1.

Vemos que al igual que con los puntos, cuatro rectas a, b, c, d, concurrentesen un punto O forman una cuaterna armonica, si y solo si existe un cuadriverti-ce completo que tiene a a y b por diagonales, a O por punto de corte de lasdiagonales, y c y d proyectan desde O los puntos diagonales del cuadriverti-ce. (como la razon doble es invariante por proyeccion este ultimo resultado sededuce directamente del primero).

Nota 4.4.3.– Considerando ahora la recta afın sumergida en la proyectiva yreferencias asociadas, el hecho de ser [[1, 0], [1, α], [0, 1], [1, α/2]] = −1 permiteconstruir el punto afın α/2, conocido el α y en general, por ser

[[1, α], [1, β] : [0, 1], [1, (α + β)/2]] = −1


podemos construir el punto medio del segmento AB en la recta afın de la manerasiguiente:

A=[1,0] D=[1,α/2] B=[1,α] C=[0,1] D=[1,2α] A=[1,α] C=`[0,1] B=[0,1]

Figura 4.12: Dos casos lımite en la construccion de la cuaterna armonica

1. Se toman rectas r1 y r2 por [1, 0] (ver la figura 4.12), una recta s por[0, 1], es decir paralela a la recta de partida, y las rectas s1, s2 por [1, α] yr1∩ s, r2∩ s, respectivamente . Tenemos ası el cuadrivertice cuya segundadiagonal corta a la recta en [1, α/2]

2. Como otro caso limite, tomando [[0, 1], [1, α] : [1, 0], [1, 2α]] = −1, podemosconstruir 2α a partir de α. Las rectas r1 y r2 deben ser ahora paralelas ala recta de partida (ver la figura 4.12) y el resto de la construccion se haceexactamente igual.

Nota 4.4.4.– Con las notaciones de la nota 4.3.4 si llamamos H a la rectaunidad de una referencia del plano {A0, A1, A2;U}, los puntos Hij en que cortaH a la recta Ai + Aj son los conjugados armonicos respecto de Ai y Aj de lasproyecciones Uij de U desde el tercer punto de la referencia. Entonces H (figura4.13)es la recta que pasa por los puntos:

P = (A0+A1)∩(U02+U12), Q = (A0+A2)∩(U01+U12), R = (A1+A2)∩(U01+U02)

Ejercicios de la seccion

Ejercicio 4.4.86 Dados cuatro puntos A,B, C, D situados en una recta pro-yectiva, si [A,B : C,D] = α calcular las razones dobles de todas las cuaternasde puntos resultantes de permutar estos cuatro. En particular si forman unacuaterna armonica, escritos en el orden dado, averiguar que permutaciones deellos siguen siendo cuaternas armonicas.


A0

U01

U U02

A1

U12

A2 R

P

Q

Figura 4.13: Construccion de la recta unidad. Observese que los puntos P, Q, R estan ali-

neados por Desargues aplicado a los triangulos A0A1A2 y U12, U02, U01

Ejercicio 4.4.87 Dados en el plano proyectivo real un punto A y tres rectas noconcurrentes a, b, c tales que ninguna de ellas pase por A, trazar una recta quepase por A y corte a las rectas dadas en puntos que formen con A una cuaternaarmonica

Ejercicio 4.4.88 Dadas en el plano euclıdeo dos rectas a, b y un punto C nocontenido en ellas trazar por C una recta que corte a las rectas a, b en puntosA,B de modo que de entre los tres puntos A, B,C uno sea el punto medio delsegmento definido por los otros dos.

Ejercicio 4.4.89 Dadas en el plano real dos rectas paralelas dividir en n partesiguales un segmento situado sobre una de ella usando solamente una regla nograduada.

Ejercicio 4.4.90 Dado un triangulo T = [A1, A2, A3] del plano afın y una rectar que no pase por ninguno de sus vertices, probar que las rectas que unen cadavertice con el punto medio del segmento determinado por los lados adyacentesa dicho vertice, cortan a los lados opuestos al vertice en puntos alineados.

Ejercicio 4.4.91 Se consideran tres puntos alineados, A,B, C ,del plano euclıdeoreal, sumergido en su completado proyectivo. Comprobar si las siguientes cons-trucciones dan como resultado el cuarto armonico X de estos puntos:

1. Se toman por A y B dos rectas paralelas (diferentes de A + B) y por Cuna recta arbitraria que las corta en puntos M y N respectivamente. Seconstruyen los simetricos M ′ y N ′ de M y N respecto de A y B las rectasM + N ′ y M ′ + N se cortan en X


2. Se traza por A una recta r (distinta de AB) y en ella se toman dos seg-mentos consecutivos iguales AL, LM , por la interseccion de B+L y C+Mse traza una paralela a r que corta a A + B en X

3. Se toma una circunferencia que pasa por A y B y el punto medio M deuno de los arcos en que la cuerda AB divide a la circunferencia, si Cesta entre A y B, se toma la recta MC que cortara a la circunferencia enun segundo punto N , la perpendicular por N a MN corta a AB en X.Si C no esta entre A y B se toma la circunferencia de diametro MC quecortara a la circunferencia inicial en otro punto N y la recta MN cortara ala AB en X

4.5. Redes de racionalidad

Como hemos visto en 4.3.2, para construir un punto de coordenadas [α0, . . . , αn]basta construir en la recta puntos de coordenadas [αi, αj ]. Vamos a ver como sepuede construir en la recta proyectiva real un punto, conocidas sus coordenadasen una referencia dada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

P

[0,1] ∞

[2, 27]

[1, 6]

[1, 1][1, 0]

Figura 4.14: Con una regla se puede dibujar un punto dadas sus coordenadas proyectivas

Dada una referencia {[1, 0], [0, 1]; [1, 1], } de una recta proyectiva en P2R, po-

demos tomar una recta s (que hara el papel de regla) que pase por [1, 0] y tomaren s una referencia con el punto [1, 0] en r∩s y el [0, 1] en el infinito, ası s es unarecta afın, [1, 0] es el origen y el uno sera otro punto U situado en s. Tomandola recta que une el uno, U, con el [1, 1] de r, el corte de esa recta con la paralelaa s por el [0, 1] de r, da un punto P . La proyeccion desde P deja invariante elpunto [1, 0], lleva el [1, 1] al U y el [0, 1] al infinito de s. Como veremos en lasiguiente seccion, las proyecciones y secciones no cambian coordenadas, ası elpunto a de s se proyecta en el [1, a] de r (figura 4.14).

Hay un metodo geometrico directo de construccion de puntos de coordenadasracionales con la ayuda de las cuaternas armonicas. Si α0, α1 ∈ Q y si α0 =

4.5. REDES DE RACIONALIDAD 153

a0/b0, α1 = a1/b1, con a0, a1, b0, b1 ∈ Z , es [α0, α1] = [a0b1, a1b0] y a0b1 ∈ Z,a1b0 ∈ Z. Como ademas [a, b] = [−a,−b], para construir todos los puntos decoordenadas racionales, basta construir los puntos [α, β] con α ∈ Z, β ∈ N; parahacer esta construccion, es suficiente observar las siguientes series de cuaternasarmonicas

1. La siguiente serie permite construir [−n, 1], ∀n ∈ N (figura 4.15 (I))

[[1, 0][0, 1][1, 1][−1, 1]] = −1[[1, 0][−1, 1][0, 1][−2, 1]] = −1[[1, 0][−2, 1][−1, 1][−3, 1]] = −1...

...[[1, 0][−n, 1][−n + 1, 1][−n− 1, 1]] = −1

2. La siguiente serie permite construir [n, 1], ∀n ∈ N (figura 4.15 (II))

[[1, 0][0, 1][−1, 1][1, 1]] = −1[[1, 0][1, 1][0, 1][2, 1]] = −1[[1, 0][2, 1][1, 1][3, 1]] = −1...

...[[1, 0][n, 1][n− 1, 1][n + 1, 1]] = −1

3. La siguiente serie, que permite construir [a, n] dado [a, 1]; se obtiene com-binando las anteriores, (figura 4.15 (III))

[[0, 1][a, 1][1, 0][a, 2]] = −1[[0, 1][a, 2][a, 1][a, 3]] = −1[[1, 0][−2, 1][−1, 1][−3, 1]] = −1...

...[[0, 1][a, n][a, n− 1][a, n + 1]] = −1

A titulo de ejemplo, explicaremos la construccion 1 ( figura 4.15 (I)).Para construir [−n, 1] ,como [[1, 0][0, 1][1, 1][−1, 1]] = −1, se trazan las rectas

r y s por el punto [1, 0], se cortan por una recta t arbitraria que pase por elpunto [1, 1], y se obtienen los puntos s ∩ t = P1, r ∩ t = Q2. Se unen P1 y Q2

con [0, 1] obteniendose la rectas u1 y v1 que cortan, a r en Q1, y a s en P2,verificandose [−1, 1] = (Q1 + P2) ∩ l; llamamos u2 = Q1 + P2. Para construir elpunto [−2, 1], como [[1, 0][−1, 1][0, 1][−2, 1]] = −1, se siguen usando r y s por[1, 0], se cortan por v1 y se tiene P2 = v1∩s y Q2 = v1∩ r. Se unen con el punto[−1, 1], con lo cual se repite u2 y se construye la recta v2 = Q2 + [−1, 1], quecorta a s en el punto P3. Entonces, (Q1+P3)∩l = [−2, 1]. Se llama u3 = Q1+P3

y se continua el proceso, que se reduce a unir [−2, 1] con Q2 y se tiene v3, secorta v3 con s y se tiene P4, se proyecta desde P1 sobre l y se tiene [−3, 1], yası sucesivamente.


Q2

Q1

P

5 P4

P3

P2

P1 r s t u1

u2 u3

u4 u5

v1 v2 v3 v4 [1,0] [1,1] [0,1] [1,-1] [1,-2] [1,-3] [1,-4]

[1,0] [4,1] [3,1] [2,1] [1,1] [0,1] [-1,1]

[1,0] = [-1,0] [-2,1] [-2,2] = [-1,1] [-2,3] [-2,4] [0,1]

Figura 4.15: Redes de racionalidad

Capıtulo 5

Proyectividades

El objetivo de este capıtulo es describir las aplicaciones propias de la geo-metrıa proyectiva es decir las proyectividades. En general cuando se habla deproyectividades, se consideran siempre proyectividades de un espacio P en simismo, pero por comodidad y mayor generalidad, consideraremos proyectivida-des de un espacio P en otro P′ que puede ser igual o diferente de P pero siemprecon la misma dimension y el mismo cuerpo base.

Podemos llegar al concepto de proyectividad por tres caminos distintos, comohemos visto en los capıtulos 1 y 2.

Como isomorfismos de los retıculos de subespacios, o lo que es lo mis-mo biyecciones entre espacios proyectivos generalizados que conservan lasrectas

Como transformaciones definidas a partir de isomorfismos de espacios vec-toriales

Cuando los espacios inicial y final de la proyectividad se consideran comosubespacios de un espacio proyectivo ambiente, podemos considerar comoproyectividades a las composiciones de proyecciones y secciones. Vamosası al origen de la geometrıa proyectiva, que no es otra cosa que el estudiodel conjunto de propiedades del espacio estables por proyeccion y seccion.

La relacion entre estos conceptos de proyectividad, el primero de los cualesse debe a Staudt y el tercero a Poncelet, se aprecia claramente cuando se llevanal marco del algebra lineal, es decir a la segunda de las formas de considerar lasproyectividades descrita en el parrafo anterior. Por esta razon comenzaremos conla nocion mas amplia de proyectividad en el marco del algebra lineal, que es ladefinida a no a partir de isomorfismos sino por medio de unas transformacionesmas generales que las lineales.

155

156 CAPITULO 5. PROYECTIVIDADES

O π''

P Q� π S

R

Q'

R' P'

S'

Figura 5.1: La proyeccion de un cuadrilatero puede ser un rectangulo, es decir ni angulos ni

razones de distancias son invariantes por proyeccion

5.1. Rectas de isomorfismos semilineales

La propiedad basica de la geometrıa proyectiva es la dependencia lineal depuntos, que se traduce en la dependencia lineal de vectores que los representan.Ahora bien, el hecho importante es la existencia de la relacion de dependencia,no los coeficientes de dicha relacion. Por ello vamos a introducir las aplicacionesmas generales que conserven la dependencia lineal, que no son necesariamenteaplicaciones lineales de espacios vectoriales. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 5.1.1.– Consideramos el cuerpo complejo C y para cada complejoz = a+ib, representaremos por z = a−ib a su complejo conjugado. Recordemosque la conjugacion es un automorfismo de C, es decir que:

∀z1, z2 ∈ C, z1 + z2 = z1 + z2, z1.z2 = z1.z2

Podemos construir la aplicacion

φ : Cn −→ Cn, φ(z1, . . . , zn) = (z1, . . . , zn)

Esta aplicacion no es lineal, pero verifica que:

∀v,w ∈ Cn, ∀a ∈ C, φ(v + w) = φ(v) + φ(w), φ(av) = aφ(v)

Sin embargo es claro que los vectores {v1, . . . ,vn} son linealmente depen-dientes si y solo si lo son los vectores {φ(v1), . . . , φ(vn)}. Por tanto existenaplicaciones no lineales que conservan la dependencia lineal.

Definicion 5.1.2.– Sea K un cuerpo y τ un automorfismo de K. Dados dosespacios vectoriales V y W sobre K, se llama aplicacion τ - semilineal de V enW a toda aplicacion f : V −→ W tal que

5.1. RECTAS DE ISOMORFISMOS SEMILINEALES 157

1. ∀v,w ∈ V , f(v + w) = f(v) + f(w)

2. ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V , f(λv) = τ(λ)f(v)

Llamaremos aplicacion semilineal de V en W a toda aplicacion de V en W quees τ - semilineal para algun automorfismo τ .

Si τ = 1K las aplicaciones 1K-semilineales son exactamente las aplicacioneslineales. Las aplicaciones semilineales tienen propiedades practicamente identi-cas a la de las aplicaciones lineales, a continuacion resumimos las que vamos autilizar en este capıtulo:

Propiedades 5.1.3.–

5.1.3.1. - Si f y g son aplicaciones τ - semilineal y σ - semilineal, respectivamente,con τ, σ ∈ Aut(K), la composicion gf es στ -semilineal.

En efecto, gf(u + v) = gf(u) + gf(v), y :

gf(λv) = g(τ(λ)v) = στ(λ)gf(v)

5.1.3.2. - Si f : V −→ W es una aplicacion τ - semilineal y biyectiva, entoncesf−1 : W −→ V es τ−1 - semilineal.

En efecto, dados w1, w2 del espacio W , por ser f biyectiva, ∃ v1,v2 ∈ Vcon f(v1) = w1, f(v2) = w2. Entonces

f−1(w1 + w2) = f−1(f(v1) + f(v2)) = f−1f(v1 + v2)= v1 + v2 = f−1(w1) + f−1(w2)

f−1(λw1) = f−1(λf(v1)) = f−1(f(τ−1(λ)v1))= τ−1(λ)f−1(w1)

5.1.3.3. - Como consecuencia de las propiedades anteriores, los endomorfismossemilineales de un K-espacio vectorial V forman, con la composicion de apli-caciones un semigrupo, los elementos inversibles de este semigrupo, es decir losautomorfismos semilineales, son exactamente los endomorfismos biyectivos, queforman un grupo al que llamaremos SAut(V ) . Si Γ es un subgrupo de Aut(K) losautomorfismos τ - semilineales de V para τ ∈ Γ forman un subgrupo de SAut(V )al que representaremos por SAutΓ(V ). En particular Aut(V ) = SAut{1K}(V )es un subgrupo invariante de SAut(V ) y:

SAut(V )/Aut(V ) ' Aut(K)

En efecto : la aplicacion

δ : SAut(V ) −→ Aut(K)

7.16 que lleva a cada aplicacion τ - semilineal sobre el automorfismo τ al que estaasociada, por 1 , es un homomorfismo de grupos cuyo nucleo es el conjunto de


automorfismos 1K - semilineales, que es precisamente Aut(V ). Como obviamenteδ es sobre, se tiene el resultado.

5.1.3.4. - Si f es semilineal, Im(f) es un subespacio de W y Ker(f) un subes-pacio de V . Se verifica ademas que

f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {0}En efecto, ∀w ∈ Im(f) ∃ v ∈ V con f(v) = w, entonces ∀λ ∈ K, f(τ−1(λ).v) =λw luego λw ∈ Im(f) y como f es homomorfismo de grupos, Im(f) es cerradopara la suma.

Lo mismo sucede con Ker(f) que es subgrupo aditivo de V y ademas ∀v ∈Ker(f),∀λ ∈ K, f(λv) = τ(λ)f(v) = 0 ⇒ λv ∈ Ker(f). Como ademas f eshomomorfismo de grupos, f es inyectivo si y solo si Ker(f) = {0}.5.1.3.5. - Si B = {v0, . . . ,vn} es una base de un K-espacio vectorial V , τ esun automorfismo de K y {w0, . . . ,wn} son vectores de otro K-espacio vectorialW , existe una unica aplicacion τ - semilineal f : V −→ W con f(vi) = wi,∀i 0 ≤ i ≤ n.

En efecto; si v ∈ V , se escribe en forma unica como v =∑n

i=0 aivi y sedefine la aplicacion f por

f(v) =n∑

i=0

τ(ai)wi

f es claramente τ - semilineal y es unica pues si g es τ - semilineal y g(vi) = wi

∀i, es ∀v ∈ V ,

v =∑

aivi ⇒ f(v) =∑

τ(ai)wi =∑

τ(ai)g(vi)

=∑

g(aivi) = g(∑

aivi) = g(v)

En consecuencia, si B′ = {u0, . . . ,un} es una base de W y wi tiene coordenadas(ai0, . . . , ain) en B′, ∀i 0 ≤ i ≤ n, la ecuacion matricial de f es

y0

...ym

=

a00 . . . an0

......

a0m . . . anm

τ(x0)...

τ(xn)

Y la matriz

M =

a00 . . . an0

......

aom . . . anm

se llama matriz de f en las bases B y B′.

5.1.3.6. - Si M es la matriz de la aplicacion τ - semilineal f entre los espaciosvectoriales V y W de dimensiones respectivas n y m respecto de las bases B yB′, se verifica que


1. f es inyectiva ⇔ r(M) = n

2. f es sobre ⇔ r(M) = m

3. f es biunıvoca ⇔ m = n y |M | 6= 0

5.1.3.7. - Si f : V −→ W es una aplicacion τ - semilineal, se verifica que

1. Si {v1, . . . ,vr} son linealmente dependientes {f(v1), . . . , f(vr)} son li-nealmente dependientes.

2. Si f es inyectiva, {v1, . . . ,vr} son linealmente dependientes si y solo si{f(v1), . . . , f(vr)} son linealmente dependientes.

3. Si f es inyectiva, v depende linealmente de {v1, . . . ,vr} ⇔ f(v) dependelinealmente de {f(v1), . . . , f(vr)}.

En efecto :

1. λ1v1 + · · ·+ λrvr = 0 ⇒ 0 = f(λ1v1 + · · ·+ λrvr) = τ(λ1)f(v1) + · · ·+τ(λr)f(vr) y ∃λi 6= 0 ⇒ τ(λi) 6= 0 por ser τ isomorfismo de K en K.

2. µ1f(v1) + · · · + µrf(vr) = 0 ⇒ f(τ−1(µ1)v1 + · · · + τ−1(µr)vr) = 0 ⇒τ−1(µ1)v1 + · · ·+ τ−1(µr)vr = 0 y ∃i con µi 6= 0 ⇒ τ−1(µi) 6= 0 por serτ−1 isomorfismo de cuerpos.

3. Es consecuencia de (1) y de (2).

5.1.3.8. - Si f : V −→ W es un isomorfismo semilineal, se verifica que

1. dim(V ) = dim(W )

2. ∀ L subespacio de V , f(L) es subespacio de W , y dim(L) = dim(f(L))

3. ∀ L1, L2 subespacios de V

{f(L1 ∩ L2) = f(L1) ∩ f(L2)f(L1 + L2) = f(L1) + f(L2)

En efecto, (1) es consecuencia de la propiedad 7, (2) es inmediato de la propiedad4 y de (1) , (3) se sigue de que por ser f biyectiva conserva la interseccion ypor la propiedad 7 conmuta con el operador de linealizacion, luego f conservala suma.

Sean P = P(V ), P′ = P(W ) dos espacios proyectivos de la misma dimension,y sea ϕ : V −→ W un isomorfismo semilineal, ϕ induce una aplicacion biunıvoca

ϕ : P −→ P′

dada por ϕ([v]) = [ϕ(v)].


Proposicion 5.1.4.– Si ϕ y ψ son isomorfismos semilineales de V en W ,donde V y W son espacios vectoriales sobre K de dimension mayor que uno,ϕ = ψ si y solo si ∃λ ∈ K∗ tal que ϕ = λψ.

Demostracion: Una implicacion (la parte si) es trivial, veamos la otra. Si ϕes τ - semilineal, ψ es σ - semilineal y ϕ(P ) = ψ(P ), ∀P ∈ P(V ), se verifica que∀v ∈ V ∃λv verificando ϕ(v) = λvψ(v); entonces λv no depende del vector v,es decir ∀v,u, λv = λu. En efecto, pueden presentarse dos casos:

1. Que u y v sean linealmente independientes, entonces

ϕ(u + v) = λu+vψ(u + v) = λu+vψ(u) + λv+uψ(v)ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) = λuψ(u) + λvψ(v)

de donde, por ser ψ(u), ψ(v) linealmente independientes, se deduce queλu = λv = λv+u

2. Que u, v sean linealmente dependientes, entonces como dim(V ) ≥ 2,∃t con v, t linealmente independientes, u, t linealmente independientes,luego: λt = λv, λt = λu, de donde es λv = λu

Definicion 5.1.5.– Llamamos recta de isomorfismos semilineales entre losespacios P y P′ asociada al isomorfismo semilineal ϕ , bien a la aplicacionϕ, bien a la clase de isomorfismos semilineales [ϕ] = {λϕ|λ ∈ K λ 6= 0}.A las rectas de isomorfismos semilineales, asociadas a un isomorfismo lineal,les llamaremos rectas de isomorfismos. Si V = W hablaremos de rectas deautomorfismos semilineales

Las rectas de automorfismos semilineales de P forman un grupo, SPGL(P),del cual, las rectas de automorfismos, forman un subgrupo invariante, PGL(P),y el grupo cociente

SPGL(P)PGL(P)

es isomorfo a Aut(K) (este resultado es exactamente (3) de 5.1.3 )

Notas 5.1.6.–

5.1.6.1. - Si π : P −→ P′ es una recta de isomorfismos semilineales:

los puntos P1, . . . , Pr ∈ P son linealmente dependientes en P si y solo silos puntos, π(P1), . . . , π(Pr) son linealmente dependientes en P′

π transforma referencias en referencias

S ⊂ P es un subespacio de P si y solo si π(S) ⊂ P′ es un subespacio de P′y dim(S) = dim(π(S)).


Si S1, S2 son subespacios del espacio proyectivo P, se verifica que

π(S1 ∩ S2) = π(S1) ∩ π(S2)π(S1 + S2) = π(S1) + π(S2)

5.1.6.2. - (Ecuaciones de una recta de isomorfismos semilineales). Las ecuacio-nes de un isomorfismo τ - semilineal inducen las de una recta de isomorfismossemilineales. Dadas dos referencias R de P, R′ de P′, las ecuaciones de una rectade isomorfismos semilineales π de automorfismo asociado τ son de la forma

ρ

y0

...yn

=

a00 . . . a0n

......

an0 . . . ann

τ(x0)...

τ(xn)

donde

M =

a00 . . . a0n

......

an0 . . . ann

se llama matriz de la proyectividad π. Si {v0 . . .vn}, {w0 . . .wn} son basesnormalizadas asociadas a R y R′ respectivamente, las columnas de M son lascoordenadas de los vectores imagen, por un representante de π, de los vi, 0 ≤i ≤ n, en la base {w0 . . .wn}

En particular, si π transforma la referencia R = {P0, . . . , Pn; U} en la R′ ={Q0, . . . , Qn; U ′}, con π(Pi) = Qi, ∀i 0 ≤ i ≤ n, π(U) = U ′, las ecuaciones de πen las referencias R, R′ son:

ρ

y0

...yn

= In+1

τ(x0)...

τ(xn)

=

τ(x0)...

τ(xn)

ya que debe ser

ρi

0...1 (i)...0

= M

τ(x0)...

τ(1)...

τ(0)

= M

0...1 (i)...0

de donde se deduce que es (ai0, . . . , ain) = (0, . . . , ρi, . . . , 0), luego

M =

ρ0 . . . 0...

...0 . . . ρn


y puesto que π(U) = U ′, es

ρ

1...1

= M

τ(1)...

τ(1)

= M

1...1

de donde se deduce que ρ1 = . . . = ρn = ρ luego M = ρIn+1 y este ρ se puedeincorporar al del primer miembro.

Es decir, el punto de coordenadas [α0, . . . , αn] en R se transforma por π enel punto de coordenadas [τ(α0), . . . , τ(αn)] en R′.5.1.6.3. - De la ultima parte de la nota anterior se deduce que dadas dos re-ferencias R = {P0, . . . , Pn;U} en P y R′ = {Q0, . . . , Qn; U ′} en P′ y fijo unτ ∈ K, existe una unica recta de isomorfismos semilineales π de automorfismoasociado τ con π(Pi) = Qi, ∀i 0 ≤ i ≤ n, π(U) = U ′, ya que basta construir πen coordenadas respecto a las referencias fijadas por:

π[α0, . . . , αn] = [τ(α0), . . . , τ(αn)]

5.1.6.4. - Como la razon doble se reduce a un cociente de coordenadas, se com-porta bien por la accion de rectas de isomorfismos semilineales. Mas precisamen-te, si π es una recta de isomorfismos semilineales de automorfismo asociado τ , ysi A, B,C, D estan alineados y [A, B : C, D] = λ, entonces D tiene coordenadas[λ, 1] en la referencia {A,B; C}, luego π(D) tiene coordenadas [τ(λ), 1] en lareferencia {π(A), π(B); π(C)} y por tanto [π(A), π(B) : π(C), π(D)] = τ(λ)

En consecuencia las rectas de isomorfismos semilineales no conservan la razondoble. Sin embargo, si τ ∈ Aut(K), τ(1) = 1 ⇒ τ(−1) = −τ(1) = −1, luegosi {A,B, C, D} es una cuaterna armonica, {π(A), π(B), π(C), π(D)} es tambienuna cuaterna armonica, ası que aunque la razon doble no sea un invariante delgrupo de rectas de automorfismos semilineales, si lo son las cuaternas armonicas.Tambien si:

τ = 1K , [π(A), π(B) : π(C), π(D)] = [A,B : C,D]

Luego la razon doble es un invariante del grupo de rectas de automorfismos.


5.2. Proyectividades de Poncelet

Como hemos indicado al principio del capitulo, vamos a llamar generica-mente proyectividades geometricas a las construidas por medios geometricos esdecir bien sea como aplicaciones composicion de proyecciones y secciones, biensea como isomorfismos de retıculos de los retıculos de subespacios. Entre estostipos de proyectividades hay dos diferencias esenciales, las primeras son siempre

5.2. PROYECTIVIDADES DE PONCELET 163

proyectividades entre dos subespacios de un espacio dado, y las segundas pue-den ser proyectividades entre espacios distintos, esta diferencia como veremosen su momento es puramente formal. La segunda es que, como hemos visto en elcapıtulo dos, las composiciones de protecciones y secciones inducen isomorfismosde retıculos, pero el recıproco no es cierto.

Dedicaremos esta seccion al estudio de las composiciones de proyecciones ysecciones a las que daremos el nombre de proyectividades de Poncelet por elprimero que las uso de modo sistematico.

Recordemos la construccion efectuada en ?? del espacio P/S, donde S es unsubespacio de P = {P, V, φ} de dimension r, P se identifica a P(V ) y S a P(L)con L subespacio de V , y el conjunto de subespacios de dimension r + 1 de Pque contienen a S se dota de estructura de espacio proyectivo identificandolocon el espacio P(V/L). Ası :

1. Los puntos de P(V/L) = P/S son clases [v + L] que parametrizan lossubespacios de dimension r + 1 que contienen a S , vıa la identificacion[v + L] ≡ [v] + S.

2. La correspondencia

πS : P −→ P/SP 7→ P + S

no es aplicacion, porque si P ∈ S, P + S /∈ P/S, pero esta inducida por elhomomorfismo de espacios vectoriales

n : V −→ V/Lv 7→ v + L

en el sentido de que: πS [v] = [n(v)] Esta correspondencia se llama proyec-cion desde S.

3. Si S′ es un subespacio complementario de S, S′ = P(L′) con L′ subespaciocomplementario de L; entonces la aplicacion inducida por n

ϕS : L′ −→ V/Lw 7→ w + L

es un isomorfismo, ya que es inyectiva ( pues ϕ(v) = ϕ(w) ⇒ v−w ∈ L,y si los vectores v y w estan en L′, como L ∩ L′ = {0}, es v = w) ydim(L′) = dim(V/L). Por tanto, la proyeccion desde S de S′

πS : S′ −→ P/SP −→ P + S

es una recta de isomorfismos ya que πS [v] = [ϕS(v)] y ϕS es un isomor-fismo.


4. a la inversa de πS , σS′ se le llama seccion por S′ . σS′ se construye geometri-camente teniendo en cuenta que ∀T ∈ P/S, T ∩S′ se reduce a un punto, ysi llamamos a este punto P , πS(P ) = P + S = T , ası la aplicacion seccionpor S′ esta definida geometricamente por

∀T ∈ P/S, σS′(T ) = π−1S (T ) = T ∩ S′

Tambien la seccion por S′, σS′ es una recta de isomorfismos, la definidapor ϕ−1

S

5. Si S1 = P(L1) y S2 = P(L2) son subespacios complementarios del subes-pacio S = P(L), a la composicion de la proyeccion de S1 desde S con laseccion por S2

S1

πS1−→ P/SσS2−→ S2

P 7→ P + S 7→ (P + S) ∩ S2

se le llama perspectividad de vertice S de S1 en S2 y se representa por pS .pS es la recta de isomorfismos representada por ϕ−1

S2ϕS1

S1 r1

r2 A2 C1 S2 B2 B1 C2 A1 S3

r A B C R Q P

Figura 5.2: Una proyectividad de Poncelet es composicion de proyecciones y secciones

Definicion 5.2.1.– Llamaremos proyectividad de Poncelet entre dos subes-pacios S y S′ de un espacio proyectivo P a la composicion de una cadena deperspectividades que empieza en S y termina en S′.Es decir (figura 5.2) una proyectividad de Poncelet de S en S′ es una corres-pondencia:

π : S −→ S′

tal que existen subespacios S1, S2, . . . , Sn, T1, T2, . . . , Tn−1 de modo que:


1. S = S1 ; S′ = Sn

2. Ti es complementario simultaneamente de Si y de Si+1, ∀i 1 ≤ i ≤ n− 1.

3. π = pTn . . . pT1 = σSnπSn−1 · · ·σS3πS2σS2πS1

Normalmente para indicar una perspectividad que transforma los puntosP1, . . . , Pn en los Q1, . . . , Qn se usa el sımbolo

P1, . . . , Pn Λ Q1, . . . , Qn

o el sımbolo:

P1, . . . , Pn ΛT Q1, . . . , Qn

si T es el centro de la perspectividad. Para indicar una proyectividad de Ponceletque produzca este mismo efecto se escribe:

P1, . . . , Pn Λ Q1, . . . , Qn

Las proyectividades de Poncelet son rectas de isomorfismos ya que son com-posicion de perspectividades. En consecuencia si πS −→ S′ es una proyectivi-dad de Poncelet, dada una referencia R = {P0, . . . , Pr;U} en S, se verifica queR′ = {π(P0), . . . , π(Pr); π(U)} es una referencia en S′ y si un punto P ∈ Stiene en R las coordenadas [α0, . . . , αr], π(P ) tiene tambien las coordenadas[α0, . . . , αn] en R′

Vamos a probar ahora que toda recta de isomorfismos es una proyectividadde Poncelet. Para ello probaremos simplemente que toda recta de isomorfismoses producto de homologıas y que toda homologıa es producto de dos perspecti-vidades.

Lema 5.2.2.– Toda recta de automorfismos de un espacio proyectivo es pro-ducto de homologıas

Demostracion: Como es bien conocido, toda matriz inversible es productomatrices elementales, las matrices elementales son matrices de uno de los trestipos siguientes:

Fij(λ) =

1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

......

...0 · · · 1 · · · λ · · · 0...

......

...0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...

......

...0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

, Ci(λ) =

1 · · · 0 · · · 0...

......

0 · · · λ · · · 0...

......

0 · · · 0 · · · 1


Cij =

1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

......

...0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...

......

...0 · · · 1 · · · 0 · · · 0...

......

...0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

Entonces basta probar que estas matrices representan homologıas, lo cual esobvio porque, segun se comprueba por calculo directo, para la Ci(λ) todos lospuntos del hiperplano xi = 0 son invariantes, para la Fij(λ) los del xj = 0, ypara la Cij los del xi = xj .

Lema 5.2.3.– Si S es un subespacio propio de un espacio proyectivo P, todahomologıa de S es producto de dos perspectividades

Demostracion: Segun la proposicion 2.5.9 una homologıa queda unıvocamentedeterminada por su eje H, su centro P y la imagen B de un punto A, entonces,dada por estos datos una homologıa π, si construimos un producto de pers-pectividades φ que deje invariantes todos los puntos de H, con lo cual es unahomologıa, tenga centro en P y transforme A en B, necesariamente π = φ. Envirtud de la proposicion 2.4.11, podemos limitarnos a utilizar como ambientecualquier subespacio que contenga estrictamente a S, en consecuencia podemossuponer dimP = dimS + 1

S' S' C C

P' Q R R Q

P A

A P B H B H S S

Figura 5.3: Toda homologıa degenerada (a la derecha) o no degenerada (a la izquierda) es

producto de dos perspectividades

Dadas S, H, P, A,B con H hiperplano de S, A,B, P alineados y distintos dosa dos y A /∈ H, B /∈ H, elegimos un punto T /∈ S y llamamos S′ = H + T , con


lo cual S∩S′ = H. Existe un punto R /∈ S∪S′ y como A /∈ H, R+A corta a S′

en un punto C. Como A,B, P estan alineados, R + P y B + C son coplanariasy como son distintas se cortan en un punto Q (ver la figura 5.3. Si componemoslas perspectividades φR : S −→ S′, φQ : S′ −→ S, de centros R y Q, se obtieneuna colineacion φ = φQφR que obviamente deja invariantes todos los puntos deH y el punto P , y ademas transforma A en B. Entonces si π es no degeneradaP /∈ H y es necesariamente el centro de φ. Y si π es degenerada P ∈ H y en estecaso es inmediato por la construccion que φ no tiene puntos invariantes fuerade H luego es tambien degenerada, y como (A + φ(A)) ∩H = P , P es tambienel centro de φ.

Teorema 5.2.4.– Si S1 y S2 son subespacios de un espacio proyectivo P, todarecta de isomorfismos de S1 en S2 es producto de perspectividades:

Demostracion: Sea π : S1 −→ S2 unja recta de isomorfismos. Siempre pode-mos tomar un complementario comun T a S1 y S2 y construir la perspectividadφT : S2 −→ S1, que es tambien una recta de isomorfismos, entonces φT π esuna recta de automorfismos de S1 y por los lemas anteriores es composicion deperspectividades, y en consecuencia π tambien lo es.

Nota 5.2.5.– Vamos a comprobar que si S1 y S2 son disjuntos, toda recta deisomorfismos de S1 en S2 es una perspectividad.

Dado que una recta de isomorfismos queda unıvocamente determinada porla imagen de una referencia y toda perspectividad es una recta de isomorfismos,el resultado que tenemos que probar es el siguiente:

Si S1 y S2 son subespacios disjuntos de un espacio proyectivo P y R1 ={P0, . . . , Pr; U}, R2 = {Q0, . . . , Qr; V } son referencias en S! y S2 respecti-vamente, existe una perspectividad que lleva R1 a R2. A la hora de cons-truir esta perspectividad podemos suponer S1 + S2 = P, y en consecuencian = dim(P) = dim(S1)+dim(S2)+1 = 2r+1 como hemos senalado mas arriba(ver 2.4.11)

Construimos:T2 = [u0 + v0] + · · · [ur + vr]

donde {u0, . . . ,ur} y {v0, . . . ,vr} son respectivamente bases normalizadas aso-ciadas a R1 y R2. Obviamente dim(T ) = r = n−r−1 por ser {u0+v0, · · · ,ur +vr} linealmente independientes.

Ademas T ∩ S1 = ∅ pues en caso contrario como S1 = [u0] + · · · , [ur],∃λ0, . . . , λr, µ0, . . . , µr, no todos cero, con:

λ0u0 + · · ·+ λrur = µ0(u0 + v0) + · · ·+ µr(ur + vr) ⇒

⇒ (λ0 − µ0)u0 + · · ·+ (λr − µr)ur = µ0v0 + · · ·+ µrvr

en contradiccion con S1 ∩ S2 = ∅; del mismo modo T ∩ S2 = ∅.Ahora la perspectividad de vertice T , pT : S1 −→ S2 verifica que:

pT ([ui]) = ([ui] + T ) ∩ S2 3 [vi]


S R0 = [u0]

T2 + [u0]

R1 = [u1]

T2 + [u1] W = [u0 + u1]

T2 + [u0 + u1]

T2 [u0 + u1 + v1 + v2] [u1 + v1] [ u2 + v2]

V = [v0 + v1] Q1 = [v1] Q0 = [v0]

Figura 5.4: Toda recta de isomorfismos entre dos subespacios disjuntos es una perspectividad

ya que [vi] ∈ S2 y vi = ui +vi−ui ⇒ [vi] ∈ [ui]+T y como pT ([ui]) es un solopunto, pT ([ui]) = [vi]. El mismo razonamiento prueba que pT ([u0 + · · ·+un]) =[v0 + · · ·+ vn].

Podemos definir ahora mas generalmente una proyectividad de Poncelet dela forma siguiente:

Si P1 y P2 son espacios proyectivos sobre el mismo cuerpo K con dim(P1) <dim(P2) y P1 = P(V1) y P2 = P(V2), llamamos inmersion de P1 en P2 a todacorrespondencia

i : P1 −→ P2

[v] 7→ [ϕ(v)]

donde ϕ : V1 −→ V2 es un homomorfismo inyectivo. Es claro que dar unainmersion equivale a fijar una referencia R = {P0, . . . , Pn; U} en P1 y puntosR′ = {Q0, . . . , Qn;V } de P2 que sean una referencia de un subespacio S dedimension n de P2 e identificar el punto P de coordenadas [α0, . . . , αn] en Rcon el punto de P2 con las mismas coordenadas en S respecto deR′. Obviamenteuna inmersion esta definida salvo rectas de isomorfismos, es decir si i1, i2 soninmersiones de P1 en P2, existe una recta de isomorfismos de i1(P1) en i2(P2),α, tal que αi1 = i2.

Entonces dados los espacios proyectivos P1 y P2 de la misma dimension, sellama proyectividad de Poncelet de P1 en P2 a toda correspondencia π : P1 −→P2 tal que existen inmersiones i1 : P1 −→ P, i2 : P2 −→ P y una proyectividadde Poncelet α entre los espacios i1(P1) e i2(P2) de P tales que π = i−1

2 αi1.Obviamente por el caso (1) de la demostracion del teorema anterior, si

[ϕ] : P1 −→ P2 es una recta de isomorfismos, tomando un espacio P condim(P) = 2dim(P1)+1, [ϕ] es una proyectividad de Poncelet y como el recıprocoes trivial, proyectividades de Poncelet, con esta definicion mas general, y rectasde isomorfismos coinciden.

5.3. COLINEACIONES 169

5.3. Colineaciones

Como hemos senalado en os dos primeros capıtulos, la geometrıa lineal pro-yectiva consiste en el estudio de las propiedades de los subespacios relacionadascon las operaciones basicas: contenido, interseccion y suma, es decir con las pro-piedades caracterısticas de la estructura de retıculo del conjunto de subespacios.Una aplicacion entre espacios proyectivos π : P→ P′, lleva subconjuntos de P asubconjuntos de P′ es decir induce una aplicacion a la que para evitar confusionllamaremos Π : P −→ P ′ por:

Π(C) = π(C) = {π(X) | X ∈ C}que conserva el contenido, es decir: C1 ⊂ C2 ⇒ Π(C1) ⊂ Π(C2). Si ademas πes biunıvoca Π lo es tambien y es isomorfismo de retıculos, esto es: C1 ⊂ C2 ⇔Π(C1) ⊂ Π(C2). Pero una aplicacion no lleva en general subespacios a subespa-cios y esta es realmente la propiedad caracterıstica de las proyectividades. Lasproposiciones siguientes recogen resultados que se presentaron ya en el capıtu-lo tres, pero ahora en el contexto de espacios proyectivos asociados a espaciosvectoriales.

Proposicion 5.3.1.– Si P y P′ son espacios proyectivos, π : P −→ P′ esuna aplicacion, y Π : P −→ P ′ es la aplicacion inducida entre los retıculos desubconjuntos de P y P′, las condiciones siguientes son equivalentes:

1. La aplicacion π es sobre y tal que ∀P1, . . . , Pr ∈ P: {P1, . . . , Pr} lineal-mente dependientes ⇔ {π(P1), . . . , π(Pr)} linealmente dependientes.

2. La aplicacion π : P −→ P′ es biunıvoca y tal que: S subespacio de P⇔ π(S)subespacio de P′.

3. La aplicacion Π lleva subespacios a subespacios e induce por tanto unaaplicacion: Π : L(P) −→ L(P′). Esta aplicacion es biunıvoca y tal queS1 ⊂ S2 ⇔ Π(S1) ⊂ Π(S2) (es decir es isomorfismo de retıculos).

4. La aplicacion Π lleva subespacios a subespacios e induce por tanto unaaplicacion: Π : L(P) −→ L(P′). Esta aplicacion es biunıvoca y verificaque:

Π(S1 ∩ S2) = Π(S1) ∩Π(S2)Π(S1 + S2) = Π(S1) + Π(S2)

Demostracion:

(1) ⇒ (2) Si se verifica la condicion (1), π es biunıvoca pues es sobre por hipote-sis y es inyectiva porque:

π(P ) = π(P ′) ⇔ {π(P ), π(P ′)} lin.dep. ⇔ {P, P ′)} lin.dep. ⇔ P = P ′

. Por tanto existe π−1 y transforma puntos dependientes en dependientese independientes e independientes por la equivalencia que aparece en el


enunciado, ası que basta probar que la imagen por π de un subespacio essubespacio, y automaticamente π−1 tendra esta misma propiedad.

Observemos que S ⊂ P es subespacio de P si y solo si existen P1, . . . , Pr

linealmente independientes en S tales que

∀P ∈ P : {P, P1, . . . , Pr} lin. dep. ⇒ P ∈ S

, ya que al ser independientes P1, . . . , Pr, la condicion {P, P1, . . . , Pr} de-pendientes, equivale a P depende linealmente de {P1, . . . , Pr} Con estahipotesis, π(P1), . . . , π(Pr) ∈ π(S) son linealmente independientes y ∀P ′ ∈P′, como π es sobre, ∃P ∈ P, con π(P ) = P ′ y {P ′, π(P1), . . . , π(Pr)} l.dependientes ⇒ {π(P ), π(P1), . . . , π(Pr)} l. dependientes ⇒ P ∈ S ⇒P ′ = π(P ) ∈ π(S). Luego π(S) es subespacio de P′

(2) ⇒ (3) Obvio porque al ser π biunıvoca ella y su inversa conservan el conte-nido

(3) ⇔ (4) Por definicion de isomorfismo de retıculos

(4) ⇒ (1) Veamos en primer lugar que π es sobre. Como Π es biunıvoca:

∀Q ∈ P′, ∃S ∈ L(P) | Π(S) = {Q}

Hay que probar que S se reduce a un punto y esto se hace como sigue:

P ∈ S ⇒ P + S = S ⇒ π(P ) + π(S) = π(S) ⇒

⇒ π(P ) + Q = Q ⇒ π(P ) ⊂ Q ⇒ π(P ) = Q = π(S) ⇒ {P} = S

Ahora solo queda reducir la condicion de dependencia lineal a operacionesde retıculos, pero es claro que:

{P1, . . . , Pr} lin.dep. ⇔ ∃ i Pi dep. lin.{P1, . . . , Pi, . . . , Pr}

⇔ ∃ i π(Pi) dep. lin.{π(P1), . . . , π(Pi, . . . , π(Pr)} ⇔{π(P1), . . . , π(Pr)} lin.dep.

Notas 5.3.2.– 5.3.2.1. - Si α : L(P) −→ L(P′) es un isomorfismo de retıculos,

es decir α es biunıvoca y S1 ⊂ S2 ⇔ α(S1) ⊂ α(S2), se verifica que:

1. α aplica puntos en puntos.

En efecto, como ∅ ∈ L(P) es el unico subespacio contenido en todos lossubespacios, α(∅) = ∅ y si P es un punto {P} es un atomo, es decirS ⊂ {P}, S 6= P ⇔ S = ∅, y α(P ) es tambien un punto


2. Si π : P −→ P′ es la aplicacion definida por {π(P )} = α({P}), π esbiunıvoca.

En efecto π es inyectiva por serlo α y el mismo argumento de (4) ⇒ (1)de la proposicion anterior indica que es sobre.

3. ∀S ∈ L(P), α(S) = π(S)

En efecto ∀Q ∈ P′ ∃P ∈ P unico con α({P}) = {π(P )} = {Q}, entonces

Q ∈ α(S) ⇔ α({P}) ⊂ α(S)⇔ P ∈ S ⇔ Q = π(P ) ∈ π(S)

luego α(S) = π(S)

5.3.2.2. - (i) Si π : P −→ P′ verifica una de las propiedades equivalentes de laproposicion anterior, π transforma referencias proyectivas en referencias proyec-tivas.

(ii) Si dim(P) = 1, las condiciones de la proposicion anterior equivalen sim-plemente a que π es biunıvoca

(iii) Si dim(P) > 1 y π : P → P′ verifica las condiciones de la proposicionanterior, si {A,B,C, D} es una cuaterna armonica {π(A), π(B), π(C), π(D)}tambien lo es.

En efecto, {A,B,C, D} es cuaterna armonica si y solo si existe un cua-drivertice {P,Q, R, S} que tiene a A y B por puntos diagonales y cuyas diago-nales cortan a AB en C, D. Entonces, el cuadrivertice

{π(P ), π(Q), π(R), π(S)}

tiene por puntos diagonales a π(A) y π(B), y sus diagonales cortan a la rectaπ(A)π(B) en π(C) y π(D), luego {π(A), π(B), π(C), π(D)} es una cuaternaarmonica .

Definicion 5.3.3.– Si dim(P) > 1, llamaremos colineacion o proyectividad deStaudt a toda aplicacion que cumpla una de las condiciones equivalentes de laproposicion 5.3, Si dim(P) = 1 diremos que π : P −→ P′ es una proyectividadde Staudt si es una biyeccion y conserva las cuaternas armonicas

Observese que toda recta de isomorfismos semilineales es una proyectividadde Staudt, y ahora probaremos la afirmacion recıproca, aunque debido a lafalta de homogeneidad de la definicion de estas proyectividades, para comprobaresta afirmacion, es preciso distinguir entre la dimension 1 y el resto de lasdimensiones.

Teorema 5.3.4.– Teorema de Staudt en dimension 1 (charactK 6= 2) Siπ : P −→ P′ es una proyectividad de Staudt y dim(P) = 1,es decir si π esbiunıvoca y transforma cuaternas armonicas en cuaternas armonicas existe unautomorfismo τ de cuerpos y un isomorfismo τ - semilineal ϕ entre los espaciosvectoriales asociados, tal que π = [ϕ]


Demostracion: Teniendo en cuenta 2, si el teorema es cierto y tomamos unareferencia de P R = {A0, A1; U} y su imagen por π R′ = {A′0, A′1;U ′}, estospuntos forman una referencia de P′ y si un punto X tiene en R las coordenadas[x0, x1], π(X) tiene en R′ las coordenadas [τ(x0), τ(x1)].

Entonces la forma de construir el automorfismo solo puede ser la siguiente:Fijas R = {A0, A1;U} como antes y su imagen R′ = {A′0, A′1; U ′}, utilizandocoordenadas en estas referencias definimos una correspondencia τ : K −→ Kpor :

∀λ ∈ K, π([1, λ]) = [1, τ(λ)]

La correspondencia τ es una aplicacion biunıvoca que transforma cero encero y uno en uno y usando que π conserva las cuaternas armonicas podemosprobar que es homomorfismo de cuerpos. Para ello necesitamos las dos igualda-des siguientes:

1. ∀α, β ∈ K, β 6= 0, α 6= β, [[1, α], [1, β], [0, 1], [1, (α + β)/2] = −1

2. ∀α, β ∈ K, {α, β} ∩ {0, 1} = ∅, α + β 6= 0

[[1, α], [1, β], [1, 0], [1, 2αβ/(α + β)] = −1

Las dos igualdades se prueban por calculo directo, pero son esencialmente lamisma, la primera establece simplemente en la carta afın x0 6= 0 que el cuartoarmonico de dos puntos de la recta respecto del infinito es su punto medio(baricentro), la segunda es la primera pero en la otra carta afın, en ella elinfinito es [0, 1] y :

[[a, 1], [b, 1], [1, 0], [(a + b)/2, 1] = −1

Entonces, si : α = 1/a, β] = 1/b

[[1, α], [1, β], [1, 0], [1, 2αβ/(α + β)] = −1

Ahora solo hay que repetir el mismo proceso tres veces, suponiendo siempre{α, β} ∩ {0, 1} = ∅, estos casos son triviales:

τ(α

2) =

τ(α)2

En efecto,[[1, 0], [1, α], [0, 1], [1, α/2]] = −1

luego[π[1, 0], π[1, α], π[0, 1], π([1, α/2]] = −1

ahora bien, π[0, 1] = π(A1) = A′1 = [0, 1], π[1, α] = [1, τ(α)], π[1, α/2] =[1, τ(α/2)], luego

[[1, 0], [1, τ(α)], [0, 1], 1, τ(α/2)]] = −1


y como[[1, 0], [1, τ(α)], [0, 1], [1, τ(α)/2]] = −1

debe ser

τ(α

2) =

τ(α)2

Veamos ahora que τ(α + β) = τ(α) + τ(β)Si α 6= β, por el razonamiento anterior:

[[1, α], [1, β], [0, 1], [1, (α + β)/2] = −1

Entonces aplicando π es:

[1, τ(α)], [1, τ(β)], [0, 1], [1, τ((α + β)/2)] = −1

luego al ser:

[1, τ(α)], [1, τ(β)], [0, 1], [1, (τ(α) + τ(β))/2] = −1

es:

τ(α + β

2) =

τ(α) + τ(β)2

Pero,

τ(α + β

2) =

τ(α + β)2

luego τ(α + β) = τ(α) + τ(β)Si α = β, es

τ(2α)2

= τ(2α

2) = τ(α) ⇒ τ(2α) = 2τ(α) = τ(α) + τ(α)

Para probar que τ transforma producto en producto, necesitamos un resul-tado adicional: τ(α2) = (τ(α))2. Usando la segunda igualdad y el razonamientousado ya dos veces:

En efecto, ∀α, β ∈ K, α + β 6= 0, se cumple que

(?)2τ(α)τ(β)

τ(α) + τ(β)= τ(

2αβ

α + β)

Tomando α + β = 1 (con lo que α + β 6= 0) y para α 6= 1/2, es τ(α + β) =τ(α) + τ(β) = τ(1) = 1, y de (?) se tiene

2τ(α)(1− τ(α)) = 2(τ(α)− (τ(α))2) = τ(2α(1− α)

1) = 2(τ(α)− τ(α2))

de donde se deduce que (τ(α))2 = τ(α2) como querıamos demostrar.Si α = 1/2, se tiene

τ((1/2)2) = τ(1/4) = τ(1/22

) =τ(1/2)

2=

1/22

= 1/4 = (τ(1/2))2


Entonces (τ(α + β))2 = τ((α + β)2) y:

(τ(α) + τ(β))2 = (τ(α))2 + (τ(β))2 + 2τ(α)τ(β) = τ(α2 + β2 + 2αβ)= τ(α2) + τ(β2) + τ(2αβ)

de donde se deduce

2τ(α)τ(β) = τ(2αβ) ⇒ τ(α)τ(β) =τ(2αβ)

2= τ(αβ)

Por tanto τ es automorfismo de cuerpos y en consecuencia si el punto X tienecoordenadas [α1, α2] en la referencia {A0, A1;U}, si α1 = 0, X = A0 = [1, 0]y π(X) es A′0 y tiene tambien coordenadas [1, 0], y si α1 6= 0, X = [α0/α1, 1],entonces π(X) es [τ(α0/α1), 1] = [τ(α0)/τ(α1), 1] = [(τ(α0), τ(α1)], luego laaplicacion τ - semilineal ϕ que tiene matriz

(1 00 1

)

respecto de las bases normalizadas asociadas a las referencias {A0, A1; U}, y{A′0, A′1;U ′} verifica que [ϕ] = π. Y queda probado el teorema.

Observemos que el automorfismo depende en principio de la referencia ele-gida, la prueba de que no lo hace es la siguiente:

Proposicion 5.3.5.– El automorfismo τ del teorema anterior no depende dela eleccion de {A0, A1; U} en P,

Demostracion: Elijamos dos referencias en P, {A0, A1;U}, {B0, B1; V } y lla-memos π(Ai) = A′i, π(Bi) = B′

i, π(U) = U ′, π(V ) = V ′ y si P ∈ P tiene coor-denadas [x0, x1], [t0, t1] en las referencias {A0, A1; U} y {B0, B1; V } respectiva-mente y π(P ) tiene coordenadas [y0, y1]y[z0, z1] en las referencias {A′0, A′1;U ′}y{B′

0, B′1;V

′} respectivamente, se verifica que, si los automorfismos asociados aπ en las dos parejas de referencias son τ y σ,

[y0, y1] = π[x0, x1] = [τ(x0), τ(x1)]

[z0, z1] = π[t0, t1] = [σ(t0), σ(t1)]

por otra parte, por las formulas de cambio de referencia en P es

ρ

(t0t1

)= M

(x0

x1

)

y aplicando las formulas de cambio de referencia en P′ en sentido contrario aπ(P ), se tiene

µ

(y0

y1

)= N

(z0

z1

)

y aplicando σ a la primera de las ecuaciones, y sustituyendo las y y z en lasegunda se obtiene:


σ(ρ)(

σ(t0)σ(t1)

)= σ(M)

(σ(x0)σ(x1)

), µ

(τ(x0)τ(x1)

)= N

(σ(t0)σ(t1)

)

Substituyendo y agrupando los factores de proporcionalidad:

λ

(τ(x0)τ(x1)

)= P

(σ(x0)σ(x1)

)

(con λ variable segun el punto y P = Nσ(M) ). Como τ y σ son automorfismos,es τ(1) = σ(1) = 1 , τ(0) = σ(0) = 0 , luego si

P =(

a bc d

)

es

λ1

(10

)= P

(10

)=

(ac

)⇒ c = 0, a = λ1

λ2

(01

)= P

(01

)=

(bd

)⇒ b = 0, d = λ2

λ3

(11

)= P

(11

)⇒ λ1 = λ2 = λ3

luego P se puede tomar como(

1 00 1

)

y

λ

(τ(y0)τ(y1)

)=

(σ(y0)σ(y1)

)

de dondeτ(y0)τ(y1)

=σ(y0)σ(y1)

⇒ τ(y0

y1) = σ(

y0

y1), ∀y0, y1 ⇒ τ = σ

Para probar el teorema general demostraremos tres resultados previos, elprimero establece que toda colineacion induce colineaciones entre las rectas ysus imagenes, y los dos ultimos prueban que los automorfismos asociados aestas colineaciones entre rectas coinciden. Utilizando la proposicion anteriorpodrıamos suprimir uno de los lemas, pero no merece la pena porque al nohacerlo tenemos ası otra prueba geometrica de dicha proposicion cuando larecta en que trabajamos se sumerge en un espacio de dimension mayor que uno.

Lema 5.3.6.– Si π : P −→ P′ es una colineacion y dim(P) > 1,y si r es unarecta de P la aplicacion restringida: π|r : r −→ π(r) es una proyectividad deStaudt.


Demostracion: π|r es biyeccion y conserva las cuaternas armonicas comohemos visto en 2 de 5.3.2

Lema 5.3.7.– Sea π : P −→ P′ una proyectividad de Staudt, sean r y s dosrectas de P con un punto comun, y sean R = {A,B; C}, R′ = {A′, B′;C ′}dos referencias de r y s, ninguna de las cuales contiene a r ∩ s, y tales queA + A′, B + B′, C + C ′ concurren en un punto O, entonces las proyectividadesπ|r : r −→ π(r), π|s : s −→ π(s) tienen el mismo automorfismo asociadorespecto a las referencias R y R′ respectivamente.

Demostracion:Sea E = r + s, E es un plano de P y tomando la perspectividad de r en s

de vertice 0 en E, φO, un punto X de coordenadas [x0, x1] en R se transformaen φO(X) = (O + X) ∩ s de coordenadas [x0, x1] en R′.

Por otra parte si τ es el automorfismo asociado a π|r, π(X) tiene coordenadas[τ(x0), τ(x1)] en π(R), y si σ es el automorfismo asociado a π|s, π(φO(X)) tienecoordenadas [σ(x0), σ(x1)] en π(R′).

Pero

∀ Y ∈ r, π(φO(Y )) = π((O + Y ) ∩ s) = (π(O) + π(Y )) ∩ π(s) = φπ(O)(π(Y ))

Donde φπ(O) es la perspectividad en π(E) de vertice π(O), por tanto esta pers-pectividad transforma la referencia π(R) en la π(R′), y el punto π(X) de coorde-nadas [τ(x0), τ(x1)] en π(R) en el φπ(O)(π(x)) = π(φO(X)) cuyas coordenadasen π(R′) deben ser al tiempo, [τ(x0), τ(x1)] y [σ(x0), σ(x1)], entonces:

∀x0, x1 ∈ K, [τ(x0), τ(x1)] = [σ(x0), σ(x1)] ⇒⇒ ∃ρ ∈ K, τ(x0) = ρσ(x0), τ(x1) = ρσ(x1)

Tomando x0 = 1, x1 = x, se sigue ahora que τ = σ

Lema 5.3.8.– Sea π : P −→ P′ una proyectividad de Staudt, sean r y s dosrectas de P y sean R = {A,B; C}, R′ = {A′, B′; C ′} dos referencias de r y s,entonces las proyectividades π|r : r −→ π(r), π|s : s −→ π(s) tienen el mismoautomorfismo asociado respecto a las referencias R y R′ respectivamente.

Demostracion: Si r y s son rectas distintas, tomamos un punto P ∈ r yotro Q ∈ s no incluidos en las referencias seleccionadas y distintos de r ∩ s(dejamos al lector las sutilezas del cuerpo base Z/(3)) y llamamos t = P +Q, porproyeccion desde un punto del plano t+ r no contenido ni en t ni en r, podemosconstruir una referencia en t R′′ = {A′′, B′′;C ′′}, entonces los automorfismoscorrespondientes a r, R y t, R′′ coinciden por el lema anterior, ası solo faltademostrar que coinciden tambien con el asociado a s, R′, aquı la situacion es lasiguiente:

Dos rectas s y t con un punto comun Q y una referencia en cada recta,R′ = {A′, B′;C ′}, R′′ = {A′′, B′′; C ′′} ninguna de las cuales contiene a Q, peroahora no hay una perspectividad que lleve una a la otra. Ahora bien si llamamos

u = (A′ + B′′) ∩ (A′′ + B′) + (A′ + C ′′) ∩ (A′′ + C ′)


C’

A’

B’

s

A’’

B’’

C’’ t

Q

u

Figura 5.5: Dadas dos rectas s y t con un punto comun Q referencias en ellas, R′ =

{A′, B′; C′}, R′′ = {A′′, B′′; C′′} ninguna de las cuales contiene a Q, existe una composi-

cion de dos perspectividades que lleva R′ sobre R′′

el producto de las perspectividades de s en u de vertice A′′ y de u en t de verticeA′ si las lleva (ver la figura 5.5), luego los automorfismos asociados coinciden.

Teorema 5.3.9.– Teorema de Staudt en dimension > 1 (charactK 6= 2) Siπ : P −→ P′ es una proyectividad de Staudt y dim(P) > 1,es decir si π induce unisomorfismo entre los retıculos de subespacios de P y P′ existe un automorfismoτ de cuerpos y un isomorfismo τ - semilineal ϕ entre los espacios vectorialesasociados, tal que π = [ϕ]

Demostracion:En efecto, tomamos una referencia R = {P0, . . . , Pn; U} en P y su imagen

por π, R′ = {P ′0, . . . , P ′n; U ′}, que es una referencia en P′. Veremos que existeun automorfismo τ de K tal que si el punto P tiene coordenadas [α0, . . . , αn]en R, π(P ) tiene coordenadas [τ(α0), . . . , τ(αn)] en R′.

Para ello, observemos que π induce una proyectividad de Staudt entre Pi+Pj

y P ′i +P ′j , luego existe τij ∈ Aut(K) tal que si Q ∈ Pi +Pj tiene en la referencia{Pi, Pj ;Uij} las coordenadas [α0, α1], π(Q) tiene, en la referencia {P ′i , P ′j ;U ′

ij},las coordenadas [τij(α0), τij(α1)]. Pero τij es independiente de i, j, es decir τij =τ ∀i, j, entonces se verifica que:

P tiene coordenadas [α0, . . . , αn] en R si y solo si ∀i, j Pij tiene coordenadas[αi, αj ] en {Pi, Pj ; Uij} (ver 4.3) ; entonces si P ′ = π(P ), P ′ij tiene coordenadas[τ(αi), τ(αj)] en {P ′i , P ′j ; U ′

ij} , condicion equivalente a que P ′ = π(P ) tenga porcoordenadas [τ(α0), . . . , τ(αn)] en R′.

De lo visto en esta seccion es claro que el teorema anterior se puede enunciar


tambien diciendo que:Dado un espacio proyectivo P sobre un cuerpo K y una referencia R de P,

hay tantas colineaciones de P que dejan invariante R como automorfismos deK

Vistos los resultados de esta seccion omitiremos en lo sucesivo mencionar lasrectas de isomorfismos semilineales y hablaremos de proyectividades de Ponce-let para designar indistintamente las composiciones de perspectividades y lasrectas de isomorfismos y de colineaciones ´o proyectividades de Staudt parasenalar las rectas de isomorfismos semilineales y los isomorfismos de retıculosde subespacios.

5.4. Afinidades y Proyectividades

Hemos comprobado (v. 3.5) que un espacio afın A se puede sumergir en unespacio proyectivo, que se obtiene anadiendo a A su subespacio de direcciones,al que designamos por A∞ y que no es otra cosa que el espacio proyectivoasociado al espacio vectorial asociado a A. Comprobaremos en esta seccion, quelas afinidades se extienden , de modo natural, a proyectividades que conservanel hiperplano del infinito.

Para ello, si (f, ϕ) es una afinidad del espacio A, espacio afın de espaciovectorial asociado V , recordemos que f : A −→ A es una biyeccion, ϕ : V −→ Ves un isomorfismo y se verifica que

∀A,B ∈ A−→

f(A)f(B)= ϕ(−→AB)

Tomemos en los espacios A y P = A referencias asociadas, esto es RP ={P0, . . . , Pn; U}, referencia en P de base normalizada asociada {v0, . . . ,vn} yRA = {P0;v1, . . . ,vn}, referencia asociada en A. De este modo, el punto deA de coordenadas (x1, . . . , xn) tiene en P las coordenadas [1, x1, . . . , xn] y elhiperplano del infinito es el x0 = 0.

Entonces, si f(P0) tiene coordenadas (α0, . . . , αn) en la referencia RA yM = (aij) es la matriz de ϕ en la base {v1, . . . ,vn} de V , (fϕ) tiene comoecuaciones:

1x′1...x′n

=

1 0 . . . . . . . . . 0α1

...αn

α11 . . . α1n

......

αn1 . . . αnn

1x1

...xn

Si consideramos el endomorfismo del espacio W = K × V de matriz

M =

1 0 . . . . . . . . . 0α1

...αn

α11 . . . α1n

......

αn1 . . . αnn

5.4. AFINIDADES Y PROYECTIVIDADES 179

este endomorfismo, al que llamaremos ϕ, es un automorfismo e induce por tantouna proyectividad [ϕ] que verifica las propiedades siguientes:

1.∀P ∈ A ⊂ P = A, [ϕ](P ) = f(P )

En efecto, si P tiene coordenadas (a1, . . . , an) en A, sus coordenadas en Pson [1, a1, . . . , an] y las de [ϕ](P ) son [1, a′1, . . . , a

′n] con

ρ

1a′1...

a′n

= M

1a1

...an

que son exactamente las de f(P ) en virtud de las ecuaciones de la afinidad.

2. ∀v ∈ V, [ϕ][v] = [ϕ(v)]

En efecto, v ∈ V se identifica a (0,v) ∈ K × V = W y [ϕ(v)] tiene decoordenadas

M

0b1

...bn

si v tiene coordenadas (b1, . . . , bn). Luego [ϕ(v)] = [(0, ϕ(v))] (que seidentifica a [ϕ(v)]).

3. En consecuencia, [ϕ] extiende a ϕ a una proyectividad con [ϕ](A∞) ⊂A∞ y lo hace de modo intrınseco ya que , aunque hemos construido [ϕ]usando una referencia, en (1) y (2) se prueba que [ϕ] no depende de suconstruccion.

Recıprocamente, si π : A −→ A es una proyectividad y π(A∞) ⊂ A∞ y enconsecuencia π(A) ⊂ A , π induce una afinidad . Podemos hacer una pruebaintrınseca, pero tambien se puede proceder (y es mas facil) como sigue:

Tomando las referencias senaladas al principio, π tiene una ecuacion:

ρ

y′0...

y′n

=

a00 . . . a0n

......

an0 . . . ann

y0

...yn

Como π(y0 = 0) = (y′0 = 0) y es y′0 = a01y1 + · · · + a0nyn, al ser π(0, . . . ,i1

, . . . , 0) ∈ (y0 = 0) ⇒ a0i = 0 ∀i 1 ≤ i ≤ n. Dado que la matriz de π es regular,es a00 6= 0 y como esta definida salvo un factor de proporcionalidad, se puede


dividir por a00 con lo cual la ecuacion de π es tambien

ρ

1 0 . . . 0a10 a11 . . . a1n

......

an0 an1 . . . ann

y0

...yn

Entonces, si P ∈ A y tiene coordenadas afines (x1, . . . , xn), P tiene coordena-das proyectivas [1, x1, . . . , xn] y π(P ) tiene coordenadas proyectivas [y′0, . . . , y

′n]

dadas por

ρ

y′0...

y′n

=

a00 . . . a0n

......

an0 . . . ann

1x1

...xn

de donde se deduce ρy′0 = 1 y si llamamos x′i = ρy′i se tiene

1x′1...

x′n

=

a00 . . . a0n

......

an0 . . . ann

1x1

...xn

que son las ecuaciones de una afinidad, luego π : A −→ A es una afinidadcon lo cual hemos probado que si A ⊂ A, las afinidades de A son exactamentelas proyectividades de A que dejan invariante el hiperplano del infinito.

Se pueden definir de modo obvio las transformaciones semiafines, como pa-

res (f, ϕ) donde f : V −→ V es un automorfismo τ - semilineal y−→

f(A)f(B)=ϕ( ~AB). Entonces, teniendo en cuenta la relacion entre dependencia lineal ydependencia afın, se puede probar que f es semifinal si y solo si conserva la de-pendencia e independencia afines (Teorema fundamental de la Geometrıa afın).

Capıtulo 6

Clasificacion deproyectividades

6.1. Equivalencia lineal de endomorfismos

Sea K un cuerpo llamaremos, como es usual, GLn(K) al grupo de matricescon elementos en K y determinante distinto de cero; tambien llamaremos gln(K)a la K-algebra de matrices n× n con elementos en K (inversibles o no).

Si V es un espacio vectorial de dimension n, la eleccion de una base en V ,B, induce un isomorfismo de K-algebras:

End(V )ϕB' gln(K)

que asocia a cada endomorfismo su matriz en la base B, y que se restringe a unisomorfismo de grupos:

Aut(V )ϕB' GLn(K)

Si B y B′ son dos bases de V y M es la matriz cuyas columnas son lascoordenadas de los vectores de B′ en la base B, tenemos un diagrama conmuta-tivo: (ver figura 6.1 (I)) donde ψM (P ) = M−1PM . Ası: matrices conjugadas engln(K) (o en GLn(K)) son matrices del mismo endomorfismo (o automorfismo)de V , pero calculadas en distintas bases.

Recıprocamente, podemos considerar tambien el diagrama conmutativo dela figura 6.1(II), donde δBB′(f ′) = δf ′δ−1, siendo δ el automorfismo de V quetransforma la base B en la B′. Entonces: endomorfismos (o automorfismos) con-jugados de V tienen la misma matriz respecto a bases adecuadamente elegidas.

Diremos que dos endomorfismos f, g de V son linealmente equivalentes cuan-do verifican una de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Son conjugados, es decir existe un automorfismo de V , h, tal que : g =h−1fh

181

182 CAPITULO 6. CLASIFICACION DE PROYECTIVIDADES

gln(K) End(V)

ϕΒ ϕΒ

−1

End(V) ψΜ gln(K) δBB’

ϕΒ’ ϕΒ’

−1 gl

n(K)

End(V)

(I) (II)

Figura 6.1: Cambios de base y matrices de endomorfismos

2. Si P y Q son las matrices de f y g respecto a una base B, existe unamatriz inversible M tal que: Q = M−1PM

3. Existen bases B1, B2 tales que la matriz de f en B1 coincide con la matrizde g en B2

Vamos a recordar aquı la caracterizacion numerica de la equivalencia lineal deendomorfismos y a describir las clases de equivalencia lineal en Aut(V ) cuandoel cuerpo base es arbitrario.

Para ello dado un automorfismo ϕ de V ; vamos a buscar una base en lacual ϕ tenga una matriz que sea lo mas simple posible, y que sea calculable enterminos de propiedades algebraicas de ϕ.

Consideramos la aplicacion

δ : K[x] −→ End(V )

dada por δ(x) = ϕ, y en general para cada polinomio p(x) = a0+a1x+· · ·+asxs

por: δ(p(x)) = p(ϕ) = a01V + a1ϕ + · · · + asϕs. Respecto de ella, senalaremos

lo que sigue:

Notas 6.1.1.–

6.1.1.1. - End(V ) es una K-algebra no conmutativa, pero pese a ello un homo-morfismo de K-algebras, K[x] −→ End(V ) queda unıvocamente determinadopor la imagen de x. Como K[x] es conmutativo, Im(δ) es una subalgebra con-mutativa de End(V ), cuyos elementos tienen la expresion general:

a01V + a1ϕ + · · ·+ arϕr

En lo sucesivo, omitiremos 1V y escribiremos a0 + a1ϕ + · · · + arϕr o mas

generalmente p(ϕ) si p(x) es el polinomio a0 + a1x + · · ·+ arxr.

6.1.1.2. - Dado que End(V ) es de dimension finita como K - espacio vectorialy K[x] tiene dimension infinita, Ker(δ) 6= (0), Ker(δ) es un ideal principalde K[x] (pues K[x] es dominio de ideales principales) luego Ker(δ) = (m(x)),donde m(x) es el polinomio monico de mınimo grado tal que m(ϕ) = 0, estepolinomio recibe el nombre de polinomio mınimo de ϕ. Ası

K[x]/(m(x)) ' Im(δ)

6.1. EQUIVALENCIA LINEAL DE ENDOMORFISMOS 183

En lo sucesivo, se representara a Im(δ) por K[ϕ]. K[ϕ] es un cuerpo si y solo sim(x) es un polinomio irreducible en K[x] y en este caso, V es tambien espaciovectorial sobre K[ϕ] con la operacion

p(ϕ).v = p(ϕ)(v), en particular, ϕ.v = ϕ(v)

6.1.1.3. - Observemos que si L es un subespacio de V como K- espacio vectorial,en general L no es subespacio de V considerado como K[ϕ] - espacio vectorial;para que esto suceda es necesario y suficiente que

∀p(x) ∈ K[x], ∀v ∈ L p(ϕ).v ∈ L

En particular, como x ∈ K[x] debe ser ϕ(v) ∈ L, ∀v ∈ L ⇒ ϕ(L) ⊂ L.Recıprocamente si ϕ(L) ⊂ L es ∀v ∈ L, ∀n, ϕn(v) ∈ L y, por tanto, p(ϕ).v ∈L, ∀v ∈ L, ∀p(x) ∈ K[x].

En consecuencia L es K[ϕ] - subespacio de V si y solo si L es invariante porϕ.

6.1.1.4. - Si el polinomio mınimo m(x) de ϕ factoriza en factores irreduciblesm(x) = q1(x)r1 . · · · .qt(x)rt es:

1. V = Ker(q1(ϕ)r1) + · · ·+ Ker(qt(ϕ)rt) y la suma es directa.

2. Los subespacios Ker(qi(ϕ)ri), son invariantes por ϕ.

3. Si Bi es una base de Ker(qi(ϕ)ri , 1 ≤ i ≤ t, los conjuntos {Bi}1≤i≤t sondisjuntos, y B = B1 ∪ · · · ∪Bt, es una base de V

4. La matriz de ϕ en la base B es de la forma

M = diag(M1 . . . Mt)

donde Mi es la matriz de ϕ restringido a Ker(qi(ϕ)ri)

Teniendo en cuenta este resultado, nos podemos limitar al caso en que V =Ker(qi(ϕ)ri), es decir, al caso en que el polinomio mınimo de ϕ sea qi(x)ri osea, suprimiendo el subındice, m(x) = q(x)r, con q(x) irreducible.

Distinguiremos el caso en que r = 1 y por tanto m(x) = q(x) es irreducible,K[ϕ] es un cuerpo y V es un K[ϕ] - espacio vectorial, y el caso en que r > 1. En elprimero en el que el polinomio mınimo de ϕ, q(x) = a0+a1x+· · ·+ar−1x

r−1+xr

es irreducible, se verifica que:

1. Si {v1, . . . ,vm} es una base de V como K[ϕ] - espacio vectorial

B = {v1, ϕ(v1), . . . , ϕr−1(v1), . . . ,vm, ϕ(vm), . . . , ϕr−1(vm)}

es una base de V como K - espacio vectorial.


2. La matriz de ϕ en B es:

M = diag(N1, . . . , Nm)

con

Ni =

0 0 . . . 0 −a0

1 0 . . . 0 −a1

0 1 . . . 0 −a2

......

......

0 0 . . . 1 −ar−1

6.1.1.5. - Si el polinomio mınimo de ϕ es q(x)t, con q(x) = a0 + a1x + · · · +ar−1x

r−1 + xr irreducible y t > 1 ,entonces existe una base de V en la cual lamatriz de ϕ es de la forma:

M = diag(P1 . . . Ps)

donde cada matriz Pi es de la forma:

A 0 . . . 0 0E A . . . 0 0...

......

...0 0 . . . A 00 0 . . . E A

Con:

A =

0 0 . . . 0 −a0

1 0 . . . 0 −a1

......

......

0 0 . . . 1 −ar−1

, E =

0 0 . . . 0 10 0 . . . 0 0...

......

...0 0 . . . 0 0

Definicion 6.1.2.– La base U1 ∪ . . . ∪ Ut1+...+tt se llama base de Jordan de ϕy la matriz de ϕ en esta base se llama matriz de Jordan de ϕ

Si llamamos orden de P al numero de cajas r × r, el orden de P es h si Pcorresponde a un vector de Ker(q(ϕ)h).

Entonces como:

dimΣ(V/Ker(q(ϕ)t−1) = dimΣ(V )− dimΣ(Ker(q(ϕ)t−1))

y por la relacion entre Σ - bases y K - bases que es dimK(L) = r.dimΣ(L),podemos afirmar que el numero de matrices P de orden t es

dimK(V )− dimK(Ker(q(ϕ)t−1))r

6.1. EQUIVALENCIA LINEAL DE ENDOMORFISMOS 185

el de matrices de orden t− 1 es

dimΣ(V/Ker(q(ϕ)t−1)− dimΣ(Ker(q(ϕ)t−1)/Ker(q(ϕ)t−2) =dimK(V/Ker(q(ϕ)t−1))− dimK(Ker(q(ϕ)t−1/Ker(q(ϕ)t−2))

r

y ası sucesivamente; por tanto si llamamos

pi = dimK(Ker(ϕ)i)qi = dimK(Ker(ϕ)i)/Ker(ϕ)i−1 = pi − pi−1

ti = qi−qi−1r

La matriz de Jordan de ϕ, queda unıvocamente determinada por el polinomioq(x) y los numeros {r, t1, t2, . . . , tt}.

Volviendo al caso general, separando cada uno de los factores qi(x)ri , la ma-triz de Jordan de ϕ queda unıvocamente determinada por la sucesion de poli-nomios q1(x), q2(x), . . . , qs(x) y los numeros {(t11, . . . , t1r1), . . . , (ts1, . . . , tsrs

)}.Dos endomorfismo son entonces equivalentes cuando tienen la misma matrizde Jordan, es decir cuando coinciden para ellos los factores irreducibles de suspolinomios mınimos y los numeros tij .

El problema es la imposibilidad, en general, de calcular los factores irredu-cibles del polinomio mınimo, por ello explicaremos como construir otro sistemacompleto de invariantes que sean calculables.

Se prueba que si ϕ es un endomorfismo de un K-espacio vectorial V , existeuna base de V en la cual ϕ tiene una matriz de la forma: diag(R1, . . . , Rm dondecada Rj es de la forma:

Rj =

0 0 . . . 0 −cj0

1 0 . . . 0 −cj1

0 1 . . . 0 −cj2

......

......

0 0 . . . 1 −cjtj−1

verificando ademas que si: Φj(x) = cj0 +cj1x+ · · ·+cjtj−1x+xtj , ∀j 1 ≤ j ≤ s.

1. Φ1(x) es el polinomio mınimo de ϕ

2. Φj(x) | Φj−1(x), ∀j 2 ≤ j ≤ s

3. Φ1(x).Φ2(x) . . . Φs(x) es el polinomio caracterıstico de ϕ

Definicion 6.1.3.– Los polinomios Φj(x) se llaman factores invariantes deϕ. Y la matriz diag(R1, . . . , Rs) se llama segunda matriz de Jordan de ϕ

Los Φi(x) se pueden calcular a partir de la matriz de ϕ, del modo siguiente:Si M es la matriz de ϕ en una base dada, y sean:

∆i(x) = ∆i(M − xIn), ∀i, 0 ≤ i ≤ n + 1


los maximos comunes divisores de los menores de orden i de la matriz (M−xIn).Entonces los factores invariantes Φj(x) de ϕ son:

Φj(x) =∆n+1−j(x)∆n−j(x)

, ∀j 1 ≤ j ≤ n

En resumen:

1. Dado un endomorfismo ϕ del espacio vectorial V de dimension n + 1 dematriz M , si formamos la matriz M−xI, calculamos para cada i el m.c.d.∆i de los menores de orden i de M − xI, construimos todos los cocientes∆i/∆i−1 y llamamos Φ1(x) = det(M − xI)/∆n, Φ2(x) = ∆n/∆n−1, etc,y cada Φi(x) = ci0 + ci1x+ · · ·+ cini−1x

ni−1 +xni , entonces hay una basede V respecto de la cual la matriz de ϕ es diag(R1, . . . , Rs) con

Ri =

0 0 . . . 0 −ci0

1 0 . . . 0 −ci1

0 1 . . . 0 −ci2

......

......

0 0 . . . 1 −cini−1

2. En consecuencia los endomorfismos ϕ1 y ϕ2 son conjugados en End(V ) (las matrices M1 y M2 son conjugadas en gln(K) ) si y solo si tienen losmismos factores invariantes Φi(x)

3. A la familia de factores invariantes le corresponde una descomposicionV = L1 + · · · + Lh donde la suma es directa, cada Li es invariante yϕ|Li tiene polinomio mınimo a Φi(x). (Observese que no es cierto queLi = Ker(Φi(ϕ)), puesto que Φ1(x) = m(x), es V = Ker(Φ1(ϕ))).

4. El hecho de que Li 6= Ker(Φi(x)) hace que desgraciadamente no sea facilencontrar la base en la cual la matriz de ϕ es la matriz N . No conocemosotro metodo que seguir el camino indicado por el metodo teorico. Noso-tros usaremos el teorema solo a efectos de clasificacion y por ello no nospreocupamos aquı de este tipo de problemas.

5. El teorema de Jordan sobre un cuerpo algebraicamente cerrado propor-ciona, para cada matriz M , una descomposicion

M = D + N

donde D es diagonalizable, N es nilpotente y DN = ND; este resultadohace que se pueda utilizar para calcular la exponencial de M . Las formascanonicas descritas aquı no tienen la propiedad anterior, no obstante siK = R o K = Z/(p), se pueden usar para efectuar calculos similares a losefectuados con cuerpos algebraicamente cerrados

6.2. GRUPO LINEAL DE UN CUERPO FINITO 187

6.2. Grupo lineal de un cuerpo finito

Si Fq es el cuerpo finito de q elementos y V un espacio vectorial de dimensionn sobre Fq, V ' Fn

q , y por tanto tiene #(V ) = qn vectores. Fijada una base deV , B = {v1, . . . ,vn}, un automorfismo de V queda unıvocamente determinadopor las imagenes de los vectores de B, que necesariamente deben formar otrabase, por tanto el numero de automorfismos de V coincide con el numero de susbases. Veamos cuantas bases B′ se pueden construir en V :

El primer vector de B′, w1, solo tiene que ser distinto de cero; se puedepues elegir de qn − 1 formas. Elegido el primero, hay q vectores proporcionalesa el, luego el segundo w2 se puede elegir de qn− q formas distintas, Ası elegidosw1, . . . ,wr el vector wr+1 hay que elegirlo fuera de L(w1, . . . ,wr); como esteespacio tiene qr vectores, hay qn − qr posibilidades de elegir wr+1), luego

#(GLn(Fq) = (qn − 1).(qn − q). · · · .(qn − qn−1))= (qn − 1).(qn−1 − 1). · · · .(q − 1).q.q2. · · · .qn−1

= qn(n−1)

2

n∏

i=1

(qi − 1)

Ası por ejemplo #(GL2(F3) = 3.(3− 1).(9− 1) = 48; #(GL3(F3) = 11,232.Se llama Grupo lineal especial n-dimensional y se representa por SLn(K),

al compuesto por las matrices n× n de determinante uno . Como la aplicacion:

det : GLn(K) −→ K∗

tiene por nucleo Ker(det) = SLn(K), el grupo especial es un subgrupo inva-riante del lineal, y como esta aplicacion es sobre :

GLn(K)/SLn(K) = K∗

y en consecuencia

#(GLn(K) = #(K∗).#(SLn(K)) ⇒ #(SLn(K) = qn(n−1)

2

n∏

i=2

(qi − 1)

Calculemos ahora los centros de estos grupos

1. El centro de GLn(K), ∀K 6= F2, es Z(GLn(K)) = {a.In|a ∈ K∗}.En efecto, para demostrarlo veamos el siguiente resultado:

Si dim(V) ≥ 2, v y w son vectores l.i. de V y ϕ, ψ son dos endomorfismosde V tales que ϕ(v) = λv, ϕ(w) = µw (λ 6= µ), ψ(v) = w, ψ(w) = v,entonces ϕ y ψ no conmutan.

En efecto:

ϕψ(v) = ϕ(w) = µw ; ψϕ(v) = ψ(λv) = λw


Entonces si ψ ∈ Aut(V ) y existe v ∈ V con ψ(v) y v linealmente inde-pendientes, ψ /∈ Z(Aut(V )), puesto que si llamamos w = ψ(v), podemosconstruir otro automorfismo ϕ tal que ϕ(v) = λv, ϕ(w) = µw (λ 6= µsalvo si K = F2 ) y ϕ no conmuta con ψ.

Por tanto, si ψ ∈ Z(Aut(V )) se verifica que, ∀v, ψ(v) depende linealmentede v, luego ψ(v) = λv.v: pero si λv 6= λw, ψ /∈ Z(Aut(V )) por lo vistoantes, luego ψ ∈ Z(Aut(V )) ⇒ ∃λ con ψ(v) = λv ∀v ⇒ ψ = λ1V .

2. Tambien si K 6= F2, Z(SLn(K)) = {aIn|an = 1} ya que se pude repetirla demostracion anterior para este grupo, y comprobar que los elementosde Z(SLn(K)) son de la forma aIn, y como su determinante ha de ser 1,aIn esta en SLn(K) si 1 = det(aIn) = an.

Se verifica por tanto que si q 6= 2, Z(GLn(Fq)) ' F∗q y Z(SLn(Fq)) es el grupode raıces n - esimas de 1 en Fq.

Ahora bien : #(Fq) = q − 1, luego ∀t ∈ F∗q , tq−1 = 1. Entonces, si llamamosd = m.c.d.(n, q−1), se verifica que : xn = 1 ⇒ xd = 1 y ademas todas las raıcesde xd = 1 son distintas. En efecto:

Por definicion de maximo comun divisor d = nα + (q− 1)β y para cada raızn-sima de la unidad,

an = 1 ⇒ ad = (an)α.(aq−1)β = 1.

Recıprocamente:ad = 1 ⇒ an = (ad)

nd = 1.

Observemos ahora que xq−1

= 1 tiene como soluciones a todos los elementosde Fq, luego tiene q − 1 soluciones distintas, y como d|q − 1 xd − 1 es un factorde xq−1 − 1, luego xd − 1 tiene d soluciones distintas en F∗q .

Por tanto:

#(SLn(Fq)/ZSLn(Fq) = d = m.c.d.(q − 1, n)

⇒ #(ZSLn(Fq))) =1dq(

n2)

n∏

i=2

(qi − 1)

El numero de clases de conjugacion en GLn(Fq) o en gln(Fq) se puede compu-tar calculando los polinomios de cada grado que aparecen en Fq[x] ya que elconjunto de clases de conjugacion esta en correspondencia biunıvoca con lasfamilias de polinomios (Φ1(x), . . . , Φr(x)) tales que

Φr(x) | Φr−1(x) | . . . | Φ1(x)grado(Φ1(x)) + · · ·+ grado(Φr(x)) = n

Por ejemplo, si n = 2 hay solo dos posibilidades

1.

grado(Φ1(x)) = grado(Φ2(x)) = 1Φ2(x) | Φ1(x)

}⇒

{Φ1(x) = Φ2(x) = x + aa ∈ Fq

6.2. GRUPO LINEAL DE UN CUERPO FINITO 189

de este tipo hay q clases de matrices(

a 00 a

)

2. grado(Φ1(x)) = 2 ⇒ (Φ1(x)) = x2 + ax + b De este tipo hay q2 clases dematrices (

0 −b1 −a

)

En el caso de n = 3 hay tres posibilidades

1.

grado(Φ1(x)) = grado(Φ2(x)) = grado(Φ3(x)) = 1Φ3(x) | Φ2(x) | Φ1(x)

}⇒ Φ1(x) = Φ2(x) = Φ3(x)

y hay q clases de matrices

a 0 00 a 00 0 a

2.

grado(Φ1(x)) = 1grado(Φ2(x)) = 2Φ2(x) | Φ1(x)

⇒

{Φ2(x) = x− aΦ1(x) = (x− a)(x− b) = x2 − (a + b)x + ab

de este tipo hay q2 clases de matrices

a 0 00 0 ab0 1 a + b

3.grado(Φ1(x)) = 3 ⇒ Φ1(x) = x3 + ax2 + bx + c

hay q3 clases de matrices

0 0 −c1 0 −b0 1 −a

Se puede ver facilmente que, en general, el numero de clases no es q+q2+· · ·+qr.Ya que en el caso n = 4, el numero de clases es q + 2q2 + q3 + q4.


6.3. El grupo general proyectivo

Dado un cuerpo K representaremos por PGLn(K) al grupo de las proyec-tividades de Poncelet de Kn+1 y en general si P(V ) es un espacio proyectivo,designaremos con P (P(V )) al grupo de las proyectividades de Poncelet de P(V ).Igual que en el caso vectorial, es claro que:

1. Cada referencia R de P(V ), dim(V ) = n + 1, induce un isomorfismo

P(V )δR' PGLn(K)

2. Si tenemos dos referencias distintas R y R′, existe una proyectividad πtal que

[P (P(V ))‘P (P(V ))‘PGLn(K)′; δR ∼ ‘δRR′ ‘ ∼ δR′ ]

donde δRδRR′ = δR′ y δRR′(τ) = πτπ−1. Es decir la conjugacion enP (P(V )) significa geometricamente coincidencia de matrices respecto ados referencias adecuadamente elegidas.

Ademas, de la construccion de las proyectividades como rectas de automorfis-mos, se deduce que si consideramos la aplicacion

GLn+1(K) ∆−→ PGLn(K)ϕ 7→ [ϕ]

∆ es homomorfismo de grupos y Ker(∆) = {λ,1Kn+1 |λ ∈ K∗} y segun hemosvisto en ??, Z(GLn+1(K)) = {λ,1Kn+1 |λ ∈ K∗}, luego

PGLn(K) ' GLm+1(K)/Z(GLn+1(K))

Entonces si π1 = [ϕ1] y π2 = [ϕ2], π1 y π2 son conjugados si y solo si ∃π = [ϕ]con

[ϕ2] = π2 = ππ1π−1 = [ϕ][ϕ1][ϕ]−1 = [ϕϕ1ϕ

−1]⇔ ∃λ ∈ K∗ con λϕ2 = ϕϕ1ϕ

−1

como las matrices de π1 y π2 en la referencia R son las de ϕ1 y ϕ2 en la basenormalizada asociada, llamando M1 y M2 a estas matrices, se verifica que:

π1 y π2 son conjugados si y solo si existe un λ ∈ K∗, tal que las matricesM1 y λM2 tienen los mismos factores invariantes.

Por tanto, para clasificar proyectividades, solo tenemos que calcular los fac-tores invariantes de λM en funcion de los de M y para ello, comenzaremosdando la siguiente definicion:

Definicion 6.3.1.– Si p(x) y q(x) son polinomios de grado r en K[x], se diceque son semejantes si y solo si ∃λ ∈ K∗ con

λ−rq(λx) = p(x) ⇔ q(x) = λrp(x

λ)

6.3. EL GRUPO GENERAL PROYECTIVO 191

Es decir, si p(x) = p0 + p1x + · · ·+ prxr, q(x) = q0 + q1x + · · ·+ qrx

r

λ−rq(λx) = λ−r(q0 + q1λx + · · ·+ qrλrxr) =

q0

λr+

q1

λr−1x + · · ·+ qrx

r

= p0 + p1x + · · ·+ prxr ⇔ qi = λr−ipi ∀i

Claramente esta relacion es de igualdad en K[x] y se verifica que:

Proposicion 6.3.2.– Si los factores invariantes de la matriz M son Φi(x),con grado(Φi(x)) = gi, los de la matriz λM son λgiΦi(x/λ) y por tanto losfactores invariantes de M y λM son semejantes. Recıprocamente si los factoresinvariantes de M y N son semejantes, con un factor de semejanza comun, existeun β ∈ K∗ tal que M y βN son equivalentes.

Demostracion: En efecto

λM − xI = λ(M − x

λI) = λ(M − yI) con y =

x

λ

Entonces si ϕr(x) es un menor de orden r de M − xI, ϕr(y) es un menor deorden r de M − yI y λrϕr(y) es un menor de orden r de λ(M − yI), luego losmenores de orden r de M − xI y λM − xI son semejantes (con el mismo factorde semejanza λ) y en consecuencia lo son sus maximos divisores comunes queson los factores invariantes.

Recıprocamente, si los factores invariantes de M y N son semejantes, conun factor de semejanza comun λ, los factores invariantes de M y 1

λN coincideny por tanto ambas matrices son equivalentes.

En estas condiciones, si dado π ∈ P (P(V )) llamamos factores invariantesde π a los de una cualquiera de sus automorfismos representantes, los factoresinvariantes estan determinados salvo un factor de semejanza comun y se verificaque: π1 y π2 son conjugados si y solo si tienen factores invariantes semejantescon un factor de semejanza comun.

Observese que si el cuerpo es algebraicamente cerrado y Φ(x) y Ψ(x) sonpolinomios semejantes, como Ψ(x) = λ−rΦ(λx), es Ψ(x) = 0 ⇔ Φ(λx) = 0luego λα es raız de Φ(x) si y solo si α lo es de Ψ(x) y ademas ambas tienenla misma multiplicidad. Por tanto sobre cuerpos algebraicamente cerrados, lla-mando valores propios y particion de multiplicidades de la proyectividad a losde uno cualquiera de sus representantes, podemos afirmar que:

Si π1 y π2 son proyectividades con valores propios (α1, . . . , αh) y (β1, . . . , βl),π1 y π2 conjugadas ⇔ es h = l y existen un λ ∈ K∗ y una biyeccion:

σ : {1, . . . , h} −→ {1, . . . , l}tal que ασ(i) y βi tienen la misma particion de multiplicidades ∀i y ασ(i) = λβi.

6.3.1. Proyectividades de P1K y P2

K

Hay que distinguir los casos de K algebraicamente cerrado y no algebraica-mente cerrado, en el primer caso podemos usar valores propios y en el segundohay que recurrir a los factores invariantes.


Proyectividades de P1K , con K algebraicamente cerrado

1. Dos valores propios distintos α y β. Aparece el tipo:(

α 00 β

)∼

(1 00 λ

)λ =

β

α

De este tipo hay tantas proyectividades distintas como valores de λ ∈ K,λ 6= 0, λ 6= 1,

2. Un valor propio doble con una sola caja de tamano dos(

α 01 α

)∼

(1 01 1

)

Hay pues un solo tipo.

3. Un valor propios doble y dos cajas(

α 00 α

)∼

(1 00 1

)

que es la identidad.

En este caso todas las proyectividades tienen puntos invariantes, por serel cuerpo base algebraicamente cerrado, una proyectividad es de tipo 1 si ysolo si tiene dos puntos invariantes distintos, si estos puntos son A y B y laproyectividad se representa por π, el numero λ aparece como:

[A,B,X, π(X)] = λ, ∀X ∈ P1K − {A, B}

Todas las proyectividades involutivas (de cuadrado igual a la identidad) son deeste tipo y son conjugadas de la correspondiente a λ = −1.

Una proyectividad es del tipo 2 si y solo si tiene un unico punto doble.

Proyectividades de P1K con K no algebraicamente cerrado

Recurrimos a los factores invariantes

1. Φ1(x) = Φ2(x) = x− a. La matriz es(

a 00 a

)∼

(1 00 1

)

que es la identidad.

2. Φ1(x) = x2 − ax− b. La matriz es(

0 b1 a

)

Podemos distinguir dos casos


a) a 6= 0. Entonces Φ1(x) es semejante a (a−2)Φ1(ax) = x2 − x − b/a2

y la matriz es (0 b/a2

1 1

)

y hay tantos tipos como valores de b/a2, es decir como elementos nonulos de K pues si b = 0 la matriz

(0 01 a

)

no corresponde a una proyectividad.

b) a = 0. Entonces Φ1(x) = x2 − b es semejante a λ−2Φ1(λx) = x2 −b/λ2 = x2 − ε2b con ε = 1/λ. La matriz es

(0 b1 0

)

y hay tantos tipos como clases de b modulo cuadrados, es decir comoelementos del grupo K∗/K∗2 .

En el caso K = R es #(K∗/K∗2) = 2 luego solo hay dos clases deproyectividades de este tipo.

Proyectividades de P2K con K algebraicamente cerrado

1. Tres valores propios distintos, las matrices son

αβ

γ

∼

1β/α

γ/α

2. Dos valores iguales y uno distinto, con dos cajas en el valor propio doble.La matriz es

α

αβ

∼

11

β/α

3. Dos valores iguales con una caja, y un valor distinto. La matriz es

α1 α

β

∼

11 1

β/α

4. Un valor triple y una caja. La matriz es

λ1 λ

1 λ

∼

11 1

1 1


5. Un valor triple y dos cajas. La matriz es

λ1 λ

λ

∼

11 1

1

6. Un valor triple y una caja. La matriz es

λλ

λ

∼

11

1

Proyectividades de P2K con K no algebraicamente cerrado

1. Φ1(x) = Φ2(x) = Φ3(x) = x− a.

La matriz es

aa

a

∼

11

1

2. Φ1(x) = (x− a)(x− b), Φ2(x) = x− a.

La matriz es

a 0 00 0 −ab0 1 a + b

Como a 6= 0, Φ1(x) ∼ (x−1)(x−a/b) = x2−(a+b/a)x+b/a Φ2(x) ∼ x−1y llamando λ = b/a queda

1 0 00 0 −λ0 1 1 + λ

3. Φ1(x) = x3 − ax2 − bx− c.

Si a 6= 0, Φ1(x) ∼ a−3Φ1(x/a) = x3 − x2 − (b/a2)x − c/a3 y llamandoα = b/a2, β = c/a3 queda

0 0 β1 0 α0 1 1

Si a = 0, b = 0, Φ1(x) ∼ λΦ1(λx) = x3 − c/λ3 si c ∈ K3 queda

0 0 11 0 00 1 0

En los casos en que b /∈ K3 o c /∈ K3 solo se puede quitar los factores “de grado dos y tres” de b y c. En el caso de K = R, ∀c ∈ K, c ∈ R3 y∀b ∈ K, b ∈ R2 o −b ∈ R2.


6.3.2. Elementos invariantes de una proyectividad

Si π : P −→ P es una proyectividad de matriz M en una referencia R ycorrespondiente a una recta de automorfismos [ϕ], un punto P = [v] de coorde-nadas [x0, . . . , xn] en R es invariante por π si y solo si:

π(P ) = P ⇔ [ϕ][v] = [v] ⇔ [ϕ(v)] = [v] ⇔ ∃λ, ϕ(v) = λv

⇔ ∃λ, (ϕ− λ)(v) = 0 ⇔ ∃λ{

ϕ− λ no automorfismov ∈ Ker(ϕ− λ)

⇔ ∃λ{

det(ϕ− λ) = 0v ∈ Ker(ϕ− λ)

Por tanto para la determinacion de los puntos invariantes por π se procedecomo sigue:

1. Hay que calcular los valores propios de π, es decir las soluciones en K dela ecuacion , det(M − λI) = 0, λ1, . . . , λr.

2. Para cada valor λi se resuelve el sistema (M−λiI)(x0, . . . , xn)t = (0, . . . , 0)t

y los puntos cuyas coordenadas pertenecen al espacio solucion son inva-riantes por π.

Observemos que puesto que π conserva la suma, si los puntos P1, . . . , Pr son in-variantes por π, el subespacio P1+· · ·+Pr es invariante por π. Ahora bien, puedeser que un subespacio S sea invariante por π sin contener puntos invariantes.

Para el estudio de hiperplanos invariantes, podemos proceder por dos vıas:Trabajando en forma intrınseca, si P = P(V ) y π = [ϕ], el automorfismo ϕ

induce un automorfismo

ϕ∗ : V ∗ −→ V ∗, ϕ∗(f) = f.ϕ

que genera una proyectividad

π∗ : P(V ∗) −→ P(V ∗)

Recordemos que P(V ∗) representa al espacio de hiperplanos de P(V ) via lasiguiente identificacion:

Si H es un hiperplano de P(V ), H = P(T ) con T hiperplano de V , entoncesH se representa en P(V ∗) por el punto [α∗] donde α∗ es un generador de:

ω(T ) = {v∗ ∈ V ∗ | v∗(v) = 0 ∀v ∈ T}es decir:

α∗(v) = 0 ⇔ [v] ∈ H.

Entonces:π∗([α∗]) = [ϕ∗(α∗)] = [α∗.ϕ]

y el hiperplano correspondiente a π∗([α∗]) en V es

ω(α∗.ϕ) = {v | α∗ϕ(v) = 0} = {v | ϕ(v) ∈ T} = ϕ−1(T )


luego π∗(H) = π−1(H) por tanto

π(H) = H ⇒ π−1(H) = H ⇒ π∗(H) = H

es decir, los hiperplanos invariantes por π son los puntos invariantes por π∗.Podemos tambien trabajar en coordenadas, eligiendo una referencia en P(V ),

π tiene una matriz M y unas ecuaciones ρyt = Mxt. Si H es un hiperplano,tiene una ecuacion α0x0+· · ·+αnxn = 0 que en terminos matriciales es αxt = 0,entonces

[y] ∈ π(H) ⇔ ∃[x] ∈ H con π([x]) = [y]

⇔ ∃x ∈ H

{ρyt = Mxt

αxt = 0

Eliminando x es xt = ρM−1yt y

ραM−1yt = 0 ⇔ αM−1yt = 0

Es decir π(H) tiene por ecuacion en R βxt = 0 con β = αM−1 o equivalen-temente βt = M t−1

αt, lo cual repite el resultado π∗(H) = π−1(H) ya que lamatriz de π∗ en R∗ es exactamente M t y π∗

−1(H) = π(H).

Entonces el hiperplano H es invariante si y solo si esta definido indistinta-mente por las ecuaciones αxt = 0 y αM−1xt = 0 y estas ecuaciones definen elmismo hiperplano si y solo si existe λ ∈ K tal que

α = λαM−1 ⇔ ∃λ ∈ K | αM = λα

⇔ ∃λ ∈ K∗ | α(M − λI) = 0 ⇔{

det(M − λI) = 0α(M − λI) = 0

Es decir, para calcular los hiperplanos invariantes por π es necesario hacer losiguiente:

1. Se calculan los valores propios de π, λ1, . . . , λr como soluciones e K dedet(M − λI) = 0

2. Se calculan las soluciones de los sistemas α(M − λiI) = 0

3. Para cada solucion (α0, . . . , αn), el hiperplano de ecuacion (α0x0 + · · · +αnxn = 0 es invariante.

Observemos que puesto que π conserva la interseccion, se verifica que si H1, . . . , Hr

son hiperplanos invariantes, su interseccion H1 ∩ · · · ∩Hr es tambien un hiper-plano invariante. Sin embargo no todo subespacio invariante esta necesariamentecontenido en un un hiperplano invariante.

Observemos tambien que puesto que existe una unica proyectividad quetransforma una referencia en otra dada, si un subespacio L de dimension rcontiene r + 2 puntos invariantes tales que r + 1 cualesquiera de ellos son in-dependientes, (resp. esta contenido en r + 2 hiperplanos invariantes tales que

6.4. HOMOLOGIAS 197

r + 1 cualesquiera de ellos son independientes), π es la identidad sobre ese sub-espacio y el subespacio esta compuesto de puntos invariantes. (resp. todos loshiperplanos que contienen al subespacio son invariantes):

Para el calculo de subespacios invariantes en general, se observa que si exister con πr(A) = A, el subespacio generado por A, π(A), . . . , πr−1(A)) es invariantepues

π(A + π(A) + · · ·+ πr−1(A)) = π(A + · · ·+ πr(A) = A

Este metodo da una condicion suficiente, que claramente no es necesaria,para que un subespacio sea invariante. Se puede dar un metodo de construcciongeneral de todos los subespacios invariantes por π, pero para ello necesitaremosutilizar el algebra exterior y las coordenadas de subespacios.

6.4. Homologıas

Recordemos que una Homologıa de P es una proyectividad de Ponceletcon un hiperplano e de puntos invariantes al que se llama su eje. Vamos a haceraquı un estudio de las homologıas con los metodos del algebra lineal que duplicaalgunos de los resultados obtenidos en el capıtulo 2 por medios geometricos. Lashomologıas tienen un interes especial porque generan el grupo proyectivo.

Proposicion 6.4.1.– Si π es una proyectividad de Poncelet de un espacio pro-yectivo P de dimension n ≥ 2 distinta de la identidad, las condiciones siguientesson equivalentes:

1. π es una homologıa

2. Existe un punto C ∈ P tal que todos los hiperplanos que pasan por O soninvariantes por π

3. Existe un punto C ∈ P tal que todas las rectas que pasan por O soninvariantes por π

4. O bien π es diagonalizable y tiene dos valores propios distintos, uno delos cuales tiene multiplicidad n, o bien π tiene un unico valor propio y suforma de Jordan tiene una caja de tamano 2 y el reto de tamano 1

Demostracion: Como toda recta por C es interseccion de hiperplanos que con-tienen a C, y todo hiperplano que contiene a C es suma de rectas que contienena C, las condiciones 2 y 3 del enunciado son equivalentes.

Sea π 6= todohiperpl1P una homologıa de eje e y sea M una matriz de π enuna referenciaR = {P0, . . . , Pn;U} construida tomando los puntos P0, . . . , Pn−1 ∈


e, como π(Pi) = Pi, ∀i, 0 ≤ i ≤ n− 1 la matriz M debe ser de la forma:

M =

ρ0 . . . 0 α0

0 . . . 0 α1

......

...0 . . . ρn−1 αn−1

0 . . . 0 αn

como ademas [1, . . . , 1, 0] ∈ e y en consecuencia es invariante:

ρ(1, . . . , 1, 0)t = M(1, . . . , 1, 0)t ⇒ ρ0 = · · · = ρn−1 = ρ

luego dividiendo por ρ

M =

1 . . . 0 a0

0 . . . 0 a1

......

...0 1 an−1

0 0 an

Entonces buscando los hiperplanos invariantes correspondientes al valor pro-pio 1

α(M − I) = (α0, . . . , αn)

0 . . . 0 a0

0 . . . 0 a1

......

...0 0 an − 1

= 0

⇒ a0α0 + · · ·+ (an − 1)αn = 0

Si π 6= 1, (a0, . . . , an) 6= (0, . . . , 1). Luego, el hiperplano de ecuacion α0x0+ · · ·+αnxn = 0 es invariante si y solo si α0a0 + · · ·+ αn−1an−1 + αn(an − 1) = 0, esdecir si y solo si pasa por el punto C de coordenadas [a0, . . . , an−1, an − 1]. Enconsecuencia 1 ⇒ 2

El razonamiento dual prueba que 2 ⇒ 1. Y si observamos la matriz M ,vemos que se pueden dar dos casos:

1. an 6= 1, entonces la matriz M es diagonalizable con los valores propios1, an 6= 1 y el segundo de ellos tiene multiplicidad 1.

2. an = 1, entonces M tiene el valor propio 1 con multiplicidad n + 1 ysu forma de Jordan es la indicada en la proposicion. Luego 1 ⇒ 3 y laimplicacion recıproca es trivial.

Definicion 6.4.2.– El hiperplano e de puntos invariantes se llama eje dela homologıa . El punto C vertice del haz de hiperplanos invariantes se llama

6.4. HOMOLOGIAS 199

centro de la homologıa . Si C /∈ e la homologıa se llama no degenerada , y siC ∈ e se llama degenerada .

Como hemos visto en la proposicion anterior las homologıas se pueden ca-racterizar en terminos de sus valores propios y en la demostracion hemos vistotambien la caracterizacion de las homologıas degeneradas y no degeneradas:Proposicion 6.4.3.– La proyectividad π es una homologıa no degenerada si

y solo si tiene un valor propio con multiplicidad n y otro con multiplicidad 1 yπ es diagonalizable, y es una homologıa degenerada si y solo si tiene un valorpropio con multiplicidad n + 1, una caja de tamano 2 y el resto de tamano 1

Demostracion: Por lo que hemos visto en la prueba de la proposicion anterior,si π es una homologıa se pueden dar dos casos:

1. an 6= 1, entonces tiene un valor propio con multiplicidad n y otro conmultiplicidad 1 y O no esta en e, que en la referencia elegida es xn = 0.

2. an = 1, entonces tiene un valor propio con multiplicidad n + 1, una cajade tamano 2 y el resto de tamano 1 y O ∈ e

Consecuencia 6.4.4.– Fija una referencia del espacio proyectivo, las proyec-tividades representadas en ella por matrices elementales son homologıas y enconsecuencia toda proyectividad es producto de homologıas.

Demostracion: Aunque ya hemos probado esta afirmacion en ??, usando elcriterio anterior es trivial el resultado

Consecuencia 6.4.5.– Dado un hiperplano H de un espacio proyectivo P unaproyectividad de Poncelet π de H en si mismo es una homologıa si y solo siexiste otro hiperplano H ′ 6= H y dos puntos A, B fuera de H y H ′ y π escomposicion de las perspectividades de H en H ′ de vertice A y de H ′ en H devertice B

Demostracion: Claramente la composicion de las dos perspectividades dejainvariantes todos los puntos de H ∩H ′ luego es una homologıa. El recıproco lohemos probado en la seccion anterior

Proposicion 6.4.6.– Todas las homologıas degeneradas son conjugadas, y haytantas clases de conjugacion de homologıas no degeneradas como elementos deK∗r{1}. Mas aun si λ y µ son los valores propios con multiplicidades respectivasn y 1 de una homologıa degenerada de eje e y centro C ,

∀ P 6= C, P /∈ e, [C, (C + P ) ∩ e;P, π(P )] = µ/λ

Y en consecuencia r = µ/λ es un invariante ( razon de la homologıa ) quedetermina la clase de conjugacion de la homologıa.

Demostracion:


Si π es una homologıa degenerada, hemos visto que admite una matriz

α 1 . . . 00 α . . . 0...

......

0 0 . . . α

pero esto significa que admite tambien la matriz

1 1 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

cuyos valores propios son proporcionales a los de la primera y tienen la mismaparticion de multiplicidad. Luego todas las homologıas degeneradas admiten lamisma matriz y son conjugadas.

Si π es una homologıa no degenerada, podemos elegir siempre una refe-rencia en la que π tenga la matriz diag(λ, . . . , λ, µ) o lo que es lo mismo,diag(1, . . . , 1, r) donde r = λ/µ, en esta referencia:

C es [0, . . . , 1], si P es [a0, . . . , an],T = (C + P ) ∩ e = [a0, . . . , an−1, 0]e es xn = 0

y π(P ) es [a0, . . . , an−1, ran] luego

[C, T ; P, π(P )] =

∣∣∣∣0 a0

1 an

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣a0 a0

0 ran

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 a0

1 ran

∣∣∣∣ .

∣∣∣∣a0 a0

0 an

∣∣∣∣=

(−a0)a0ran

(−a0)a0an= r

En consecuencia r esta unıvocamente determinado por la clase de conju-gacion de π ya que las proyectividades de Poncelet conservan la razon doble.Recıprocamente, es obvio que dos homologıas no degeneradas con la mismarazon son conjugadas pues tienen la misma forma de Jordan. Como r toma va-lores en Kr {0, 1}, hay tantas clases distintas de conjugacion de homologıas nodegeneradas como elementos en este conjunto.

Proposicion 6.4.7.– Si π es una homologıa de centro C y eje e

1. ∀S subespacio de P si S pasa por C, S es invariante (y por supuestotambien si S ⊂ e).

2. ∀P /∈ e, P 6= C, la recta P + π(P ) pasa por C.

6.4. HOMOLOGIAS 201

3. No hay mas subespacios invariantes que los que contienen a C y los queestan contenidos en e y ∀S subespacio de P tal que C /∈ S y S no contenidoen e, es S ∩ π(S) ⊂ e.

Demostracion: La primera afirmacion esta probada en 6.4.1. La segunda sesigue de que la recta C +P pasa por C luego es invariante y π(P ) ∈ C +P y deP 6= C,P /∈ e se deduce que P 6= π(P ) luego P + π(P ) ⊂ C + P y como ambasson rectas, coinciden y C ∈ P + π(P ).

Por ultimo, como e es un hiperplano, S ∩ e es un hiperplano de S y como ees de puntos invariantes

S ∩ e = π(S ∩ e) = π(S) ∩ π(e) = π(S) ∩ e

luego S ∩ e ⊂ π(S) y si existiese algun punto Q ∈ S ∩ π(S) invariante tal queQ /∈ e tendrıa que ser Q = C que es el unico posible punto invariante de πfuera de e y C ∈ S que no es posible por hipotesis, luego S ∩ π(S) = S ∩ e =π(S) ∩ e ⊂ e, y en consecuencia, con estas condiciones S no es invariante.

Vamos a estudiar ahora algunas relaciones entre las homologıas como genera-dores del grupo proyectivo, en particular vamos a comprobar cuando conmutany vamos tambien a buscar subgrupos del grupo proyectivo.

Proposicion 6.4.8.–

1. Si π, π1, π2 son proyectividades y π2 = ππ1π−1, un subespacio S es inva-

riante por π si y solo si π(S) es invariante por π1.

2. Si π1 y π2 son homologıas no degeneradas de vertices C1 y C2, ejes e1 ye2 y con la misma razon r, una proyectividad π verifica que π2 = ππ1π

−1

si y solo si π(C1) = C2 y π(e1) = e2.

3. Si π1 es una homologıa no degenerada de centro C1 y eje e1 y π es unaproyectividad, ππ1 = π1π ⇔ π(C1) = C1 π(e1) = e1

4. Si π1 y π2 son homologıas no degeneradas π1π2 = π2π1 si y solo si o bienambas tienen el mismo centro y el mismo eje, o bien el centro de cada unade ellas esta sobre el eje de la otra.

Demostracion: La primera afirmacion es trivial pues

π2(π(S)) = π(S) ⇔ ππ1π−1(π(S)) = π(S)

⇔ ππ1(S) = π(S)⇔ π1(S) = S

Para probar la segunda observemos que si π2 = ππ1π−1, como C1 es inva-

riante por π1, π(C1) es invariante por π2 y como todos los puntos de e1 soninvariantes por π1, todos los puntos π(e1) son invariantes por π2; pero π(e1) es


un hiperplano y por ser π2 una homologıa tiene un hiperplano unico de pun-tos invariantes, ee2, ya que si tuviera mas de uno serıa la identidad; entoncesπ(e1) = e2 y como π(C1) es invariante por π2 y no esta en su eje, π(C1) = C2.

Recıprocamente, ππ1π−1 tendrıa el hiperplano e2 de puntos invariantes, lue-

go seria una homologıa, π(C1) = C2 /∈ e2 serıa un punto invariante y comoconsecuencia ππ1π

−1 tendrıa como centro a C2 y como la razon es invariante,esta seria tambien r, por tanto π2 = ππ1π

−1.El punto tercero se sigue del segundo porque ππ1 = π1π ⇒ π1 = ππ1π

−1.Para probar el cuarto se aplica el tercero y

π2π1 = π1π2 ⇔{

π2(C1) = C1

π2(e1) = e1

entonces se pueden dar dos casos:C1 es el centro de π2, es decir C1 = C2 entonces como e1 no pasa por C1 y

es invariante por π2, tiene que ser el hiperplano de puntos invariantes de π2 ycomo consecuencia es e1 = e2.

C1 no es el centro de π2, entonces como C1 es invariante por π2 y no es sucentro C1 ∈ e2; como π2(e2) = e1 y e1 no puede coincidir con e2 ya que en esecaso C1 ∈ e2 = e1 y π1 seria degenerada, e1 debe ser un hiperplano que pasapor el centro C2 de π2, luego C2 ∈ e2.


1. Si π1 y π2 son homologıas, π1 es no degenerada de centro C1 y eje e1 yπ2 es degenerada de de centro C2 y eje e2

π1π2 = π2π1 ⇔{

C1 ∈ e2

C2 ∈ e1

2. Si π1 y π2 son homologıas degeneradas de centros respectivos C1 y C2 yejes e1 y e2, π1 y π2 conmutan si y solo si C1 y C2 estan en e1 ∩ e2.

Demostracion: El primer punto se prueba como (4) de la proposicion 6.4.8,pero de los dos casos que aparecen allı, no puede presentarse el de C1 = C2 ye1 = e2 porque C1 /∈ e1 y C2 ∈ e2.

Para la segunda afirmacion, si π1 y π2 conmutan, como en (4) de la proposi-cion 6.4.8, debe ser C1 = C2 y e1 = e2 o C1 ∈ e2 y C2 = e1; dado que C1 ∈ e1

y C2 ∈ e2 ambas cosas en conjunto equivalen a {C1, C2} ⊂ e1 ∩ e2.Recıprocamente si {C1, C2} ⊂ e1 ∩ e2 podemos tomar un hiperplano H con

e1 ∩ e2 ⊂ H, entonces π1 y π2 dejan invariantes todos los puntos de e1 ∩ e2

luego π1|H y π2|H son homologıas y como todo hiperplano de H que pase porC1 es seccion de H por un hiperplano que contiene a C1 y que es entonces, aligual que H, invariante por π1, dicho hiperplano es invariante por π1|H , comoconsecuencia π1|H es una homologıa degenerada de eje e1 ∩ e2 y centro C1 ydel mismo modo π2|H es una homologıa degenerada de eje e1 ∩ e2 y centro C2.Dado que una homologıa degenerada esta determinada por su eje y la imagen

6.4. HOMOLOGIAS 203

de un punto, si π1|Hπ2|Hπ1|−1H = π2|H , es π1π2π

−11 = π2 ya que claramente

π1π2π−11 es una homologıa degenerada. Ahora bien, como π1|H y π2|H tienen el

mismo eje, si consideramos el espacio afın sumergido en el proyectivo de modoque el eje sea el hiperplano del infinito, π1|H y π2|H son traslaciones y por tantoconmutan.


1. Todas las homologıas de eje e forman un grupo Ge, subgrupo del grupoproyectivo, dos de estos subgrupos son conjugados.

2. Todas las homologıas degeneradas de eje e forman un subgrupo invarianteSe de Ge y Ge/Se ' K∗.

3. Todas las proyectividades que dejan e invariante forman un grupo Pe yGe es un subgrupo invariante de Pe.

4. Dos homologıas de eje e y razones r y s respectivamente, tienen comoproducto una homologıa no degenerada de razon r.s si r.s 6= 1, y, si r.s = 1el producto es una homologıa degenerada.

Demostracion:

1. El que Ge sea un grupo es obvio, pues si π1 y π2 son homologıas de ejee, todos los puntos de e son invariantes por π1 y π2 por tanto lo son porπ1π2 y π1π2 es una homologıa de eje e.

2. La aplicacion

Geδ−→ K∗

definida por δ(π) = razon de π si π es no degenerada y δ(π) = 1 si π esdegenerada, es homomorfismo de grupos y Ker(δ) = Se.

3. Es trivial.

4. Si llevamos e al plano del infinito, eligiendo una inmersion del espacio afınen el proyectivo, las homologıas no degeneradas dan lugar a homotecias ylas degeneradas a traslaciones, entonces este resultado es consecuencia delas propiedades de traslaciones y homotecias.

Observemos por ultimo que las homologıas degeneradas no pueden ser idem-potentes pues si la homologıa π es degenerada admite una matriz

M =

1 1 0 . . . 00 1 0 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1


y en esa referencia la matriz de π2 es

M2 =

1 2 0 . . . 00 1 0 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1

que como la caracterıstica del cuerpo K es distinta de dos, no es la identidad. Lasproyectividades no degeneradas son idempotentes si su razon r verifica r2 = 1;en particular, esto sucede si r = −1. Este tipo de proyectividades se llamanhomologıas armonicas y corresponden, cuando el centro esta en el infinito, a lassimetrıas respecto de hiperplanos.

No es cierto que, en general, las homologıas armonicas generen el grupoproyectivo pero esto sucede en los espacios de dimension uno.

Capıtulo 7

Cuadricas proyectivas

7.1. Geometrıa de las cuadricas proyectivas

Dedicaremos esta seccion a introducir el lenguaje de cuadricas proyectivascomo lenguaje geometrico del algebra bilineal, introduciremos los conceptos pro-yectivos recordando al mismo tiempo los algebraicos, aunque estos se suponenconocidos por el lector. Haremos una excepcion probando con detalle los teo-remas de Witt que no se encuentran en los textos de algebra lineal elemental.Supondremos tambien que la caracterıstica del cuerpo base es distinta de dos

7.1.1. Cuadricas y formas cuadraticas

Recordemos que una forma bilineal simetrica en un espacio vectorial V sobreun cuerpo K es una aplicacion

F : V × V −→ K

que verifica las dos propiedades siguientes:

1. F (v,w) = F (w,v) ∀v,w ∈ V

2. ∀a, b ∈ K, ∀v1,v2,w ∈ V , F (av1 + bv2,w) = aF (v1,w) + bF (v2,w)

La propiedad (b) se expresa diciendo que F es lineal en la primera componente ypor la propiedad (a), F debe ser tambien lineal en la segunda componente.En losucesivo omitiremos la palabra simetrica y hablaremos simplemente de formasbilineales.

Llamaremos forma cuadratica sobre un espacio vectorial V a toda aplicacionQ : V −→ K que verifique las dos propiedades siguientes:

i) ∀v ∈ V ∀λ ∈ K, Q(λv) = λ2Q(v)ii) La aplicacion FQ : V × V −→ K definida por

FQ(v,w) = 1/2(Q(v + w)−Q(v)−Q(w))

205

206 CAPITULO 7. CUADRICAS PROYECTIVAS

es una forma bilineal.Claramente la forma bilineal FQ, que se llama forma bilineal asociadaa Q,

permite recuperar Q, pues:

FQ(v,v) = 1/2(Q(v + v)−Q(v)−Q(v)) = Q(v)

La correspondencia que asocia a cada forma cuadratica su forma bilineal aso-ciada establece una correspondencia biunıvoca entre los conjuntos de formas deambos tipos.

Es inmediato comprobar que:

Q(V ) = {Q : V −→ K | Q forma cuadratica}es un espacio vectorial (subespacio del espacio de aplicaciones de V en K)

Definicion 7.1.1.– Sea P = P(V ) un espacio proyectivo, llamaremos Cuadricaen P a todo conjunto de formas cuadraticas sobre V

[Q] = {λQ |Q : V −→ K forma cuadratica, λ ∈ K∗}es decir a todo punto del espacio proyectivo

P(Q(V ))

Una cuadrica no es por tanto una aplicacion, pero dados una cuadrica [Q]y un punto [v] en P(V ), el hecho de que Q(v) = 0 es independiente de losrepresentantes elegidos.

Definicion 7.1.2.– Diremos que un punto P pertenece a una cuadrica [Q]si y solo si P = [v] y Q(v) = 0. Al conjunto de puntos de una cuadrica [Q]se le llama cuadrica de puntos . En general, usaremos la misma notacion parasenalar la cuadrica y su cuadrica de puntos, pero cuando pueda haber confusion,usaremos para la segunda la notacion [[Q]].

Notas 7.1.3.–

7.1.3.1. - Es claro que la cuadrica de puntos esta determinada por la cuadrica,pero en general no determina a esta. Como ejemplo, considerense en P2

R lascuadricas [x2

0 +x21] y [x2

0 +2x21], que son distintas pero tienen la misma cuadrica

de puntos, {[0, 0, 1]}. la cuadrica de puntos de una cuadrica puede ser vacıa, comolo es la de la cuadrica, tambien de P2

R, [x20+x2

1+x22]. Se puede demostrar que si el

cuerpo base es algebraicamente cerrado dos cuadricas con la misma cuadrica depuntos son iguales, y en particular la cuadrica de puntos de cualquier cuadricaes no vacıa.

7.1.3.2. - Fijada una base B = {v0, . . . ,vn} de V , una forma bilineal F definidasobre V determina y queda unıvocamente determinada por la matriz M =(F (vi,vj)) ∈M(n+1)×(n+1)(K), llamada matriz de F en B, que es obviamentesimetrica. Dada una forma cuadratica en V , Q, se llama matriz de Q en B a lade FQ.

7.1. GEOMETRIA DE LAS CUADRICAS PROYECTIVAS 207

La formula que relaciona F y M es:

F (v,w) = (x)M(y)t

donde (x) e (y) representan las coordenadas de los vectores v y w, en la baseB. En consecuencia si M es la matriz de Q y (x) es el vector de coordenadasde un vector v :

Q(v) = FQ(v,v) = (x)M(x)t

Si M = (aij) es:

Q(v) = (x0, . . . , xn)

a00 . . . a0n

......

a0n . . . ann

x0

...xn

=∑n

i=0 aiix2i + 2

∑0≤i<j≤n aijxixj

Por tanto Q(v) es un polinomio homogeneo de segundo grado en n + 1variables, correspondientes a las coordenadas de v. Recıprocamente, fija unabase en V , todo polinomio homogeneo de segundo grado en n + 1 variables

f(x0, . . . , xn) =∑

0≤i≤j≤n

bijxixj

representa, en forma matricial, una forma cuadratica, sin mas que hacer aii =bii, aij = 1

2bij = aji, ∀i, j, y tomar la forma cuadratica que tiene matriz (aij) enla base fijada. En consecuencia, cada base induce una correspondencia biunıvocaentre formas cuadraticas y polinomios homogeneos de segundo grado.

Si [Q] es una cuadrica en P(V ), R es una referencia de P(V ) y B es una basenormalizada asociada, un representante Q de la cuadrica tiene una matriz en Bque se llama matriz de la cuadrica . La matriz M de [Q] esta por tanto determi-nada salvo un factor de proporcionalidad. La ecuacion: Q(x) = (x)M(x)t = 0esta unıvocamente determinada por la cuadrica (el factor de proporcionalidadno interviene en la ecuacion) y se llama ecuacion de la cuadrica. Claramenteun punto P pertenece a la cuadrica de puntos si sus coordenadas verifican laecuacion de la cuadrica.

7.1.3.3. - Una forma bilineal, F induce aplicaciones lineales

Fi : V −→ V ∗ Fd : V −→ V ∗

donde V ∗ = Hom(V, K), dadas por

Fi(v) : V −→ V ∗ Fd(v) : V −→ V ∗

w 7→ F (v,w) w 7→ F (w,v)

El hecho de que F sea simetrica lleva consigo que Fi = Fd. Si fijamos una baseB en V y tomamos su base dual B∗ en V ∗, la matriz de F en B es la mismaque la matriz de Fi respecto a las bases B y B∗.

KerFi es un subespacio vectorial de V , de dimension igual a dimV − r(M)al que se llama Nucleo o Radical de F y se representa por rad(F ). Ası si M esuna matriz de F :


1. rad(F ) queda descrito por el sistema M(x)t = (0)t

2. El rango de la matriz M verifica que:

r(M) = dim(V )− dim(rad(F ))

luego es intrınseco, es decir es independiente de la base elegida para cal-cular la matriz de F .

r(M) se llama rango de F representandolo por r(F ). En particular:

r(F ) = dim(V ) ⇔ rad(F ) = {0}

y en este caso se dice que F es no degenerada.Dada una forma cuadratica Q, al radical de FQ le llamaremos radical de Q

y lo representaremos por rad(Q), al rango de FQ le llamaremos rango de Q y lorepresentaremos por r(Q) . Como antes :

rad(Q) = {0} ⇔ r(Q) = dimV

y en este caso se dice que Q es no degenerada.Dada una cuadrica [Q] el rango de uno de sus representantes es un invariante

de [Q], se le llama rango de la cuadrica y se representa por r[Q]. Se llama verticede [Q] al subespacio proyectivo asociado al radical de Q y se le representa porV[Q]. De la definicion, se sigue que si M es una matriz de [Q] en una referenciaR, se verifica que

1. Las ecuaciones de V[Q] en la referencia R son

(x0, . . . , xn)M = (0, . . . , 0)

2. dim(V[Q]) = dimP− r(M) = dimP− r[Q]

La cuadrica [Q] se llama no degenerada si Q lo es, es decir, si V[Q] = ∅ o lo quees lo mismo si r[Q] = dimP+ 1

Proposicion 7.1.4.– Si [Q] es una cuadrica en un espacio proyectivo P severifica que

1. V[Q] ⊂ [[Q]]

2. Si P ∈ [[Q]] es V[Q] + P ⊂ [[Q]]

Demostracion: El apartado (a) es trivial, veamos el (b).R ∈ V[Q] + P ⇔ R = [w] y w = t + v, con [t] ∈ V[Q], [v] = P . Entonces

Q(w) = Q(t) + Q(v) + 2FQ(t,v)

y como t ∈ rad(Q), Q(t) = FQ(t,v) = 0, y dado que [v] ∈ [[Q]], es Q(v) = 0,luego Q(w) = 0, y R ∈ [[Q]]


Definicion 7.1.5.– Dado un subespacio S de P(V ) llamamos [Q] ∩ S a lacuadrica [Q] definida en S = P(L) por la forma cuadratica sobre L:

Q = Q |L: L −→ K

Se verifica lo siguiente:

Proposicion 7.1.6.– Sea [Q] una cuadrica en P, sea S = P(L) un subespaciode P y sea [Q] ∩ S[Q]

1. [[Q]] = [[Q]] ∩ S

2. Si S es un complementario de V[Q], entonces [Q] ∩ S es no degenerada y

[[Q]] = (⋃

R∈[[Q]]∩S

(V[Q] + R)) ∪ V[Q]

3. Si V[Q] = P(L0) y representamos por [Q]/V[Q] a la cuadrica inducida enP/V[Q] por la forma cuadratica

Q′ : V/L0 −→ K, Q′(v + L) = Q(v)

entonces [Q]/V[Q] es no degenerada.

Demostracion: El primer apartado es trivial. En el segundo, [Q] ∩ S es nodegenerada pues [v] ∈ V[Q]∩S ⇒ FQ(v,w) = 0, ∀w ∈ L, y como FQ(v, t) =0, ∀t ∈ rad(Q) y L + rad(Q) = V se deduce que v ∈ V[Q] y como v ∈ L, esS ∩ V[Q] 6= ∅, en contradiccion con ser S y V[Q] complementarios.

Teniendo en cuenta el apartado (2) de la proposicion 7.1.4, es⋃

R∈[[Q]]∩S

(V[Q] + R) ⊂ [[Q]]

Recıprocamente, si A ∈ [[Q]] y formamos V[Q] + A, se pueden dar dos casos:i) Que A ∈ V[Q], entonces A esta en el segundo miembro de la igualdad en el

que figura V[Q]. Observese que es necesario poner este termino pues la cuadrica[[Q]] puede reducirse a V[Q], como sucede por ejemplo con la cuadrica de P2

R,[x2

0 + x21].

ii) Que A /∈ V[Q], entonces V[Q] ⊂ A+V[Q], estrictamente, luego (A+V[Q])∩S 6= ∅ y si R ∈ (A+V[Q])∩S, A+V[Q], con lo que A esta en el segundo miembrode la igualdad.

Para probar el tercer punto observemos en primer lugar que Q′ esta biendefinida, pues si v−w ∈ L0, es Q(v) = Q(w), luego Q′(v + L0) = Q′(w + L0).Ademas [Q]/V[Q′] es no degenerada pues

[v + L0] ∈ V[Q] ⇒ v + L0 ⊥Q′ w + L0 ∀w ∈ V ⇒FQ(v,w) = 0 ∀w ∈ V ⇒ [v] ∈ V[Q] ⇒ v ∈ L0


S V

[Q]

[Q]

[Q] ∩S

Figura 7.1:

luego [v+L0] = [0] no define un punto. La diferencia entre las cuadricas descritasen (b) y en (c) es que la cuadrica no degenerada [Q] ∩ S es una cuadrica en elsubespacio S y los puntos de los subespacios resultantes de sumar sus puntos conV[Q] son los puntos de [[Q]] (ver figura 7.1), mientras que la cuadrica : [Q]/V[Q]

esta en el espacio P(V )/V[Q] es decir, sus puntos son precisamente subespaciosde dimension igual a dim(V[Q]) + 1 que contienen a V[Q]. En la figura 7.2, lospuntos de la cuadrica serıan las rectas que pasan por V[Q] y estan contenidas en[Q]. Claramente la proyeccion desde V[Q] de [Q]∩ S es [Q]/V[Q] o la seccion porS de [Q]/V[Q] es [Q] ∩ S.

7.1.2. Ortogonalidad y polaridad

Recordemos que dos vectores v y w se llaman ortogonales respecto de unaforma bilineal F y se escribe v ⊥F w o simplemente v ⊥ w, si F (v,w) = 0.Claramente v ⊥ w ⇒ w ⊥ v. Si Q es una forma cuadratica, a la ortogonalidadrespecto de FQ le llamaremos ortogonalidad respecto de Q, un vector v se llamaisotropo respecto de Q si es ortogonal a si mismo es decir si Q(v) = 0

Si v tiene coordenadas (a0, . . . , an) en la base B, el conjunto de vectoresortogonales a v, que se representa por v⊥ esta compuesto por los vectores cuyascoordenadas verifican la ecuacion:

(a)M(x)t = 0

Por tanto, v⊥ puede ser un hiperplano de V , o todo V , segun que sea (a)M 6= (0)o (a)M = (0) ⇔ v ∈ rad(F ).

La relacion de ortogonalidad se extiende a subconjuntos de V por

∀E ⊂ V E⊥ =⋂

v∈E

v⊥ = {w ∈ V | F (v,w) = 0, ∀ v ∈ E}


V[Q]

[Q]/V

[Q]

Figura 7.2:

Obviamente, si w ⊥ vi, 1 ≤ i ≤ r, es w ⊥ ∑r1 λivi, ∀λi ∈ K, por tanto se

verifica que E⊥ es un subespacio de V y que si L(E) es el subespacio generadopor E, es (L(E))⊥ = E⊥. En particular, si {v1, . . . ,vr} generan un subespacioL, se verifica que L⊥ =

⋂r1 v⊥i .

Si [Q] es una cuadrica en el espacio proyectivo P = P(V ), [Q] determina,salvo una constante, una forma cuadratica Q. La ortogonalidad no varia con esaconstante. Entonces se puede establecer una correspondencia entre subespaciosde P por:

Definicion 7.1.7.– Sea [Q] una cuadrica en un espacio proyectivo P, para todoS = P(L) subespacio de P, llamamos polar de S respecto de [Q] a:

S⊥ = P(L⊥) = {[v] ∈ P | FQ(v,w) = 0 ∀ [w] ∈ S}

.Si Q es degenerada, la polaridad no es biunıvoca, pues si S ⊂ V[Q], S⊥ = P,

pero si [Q] es no degenerada, la polaridad verifica obviamente que:

1. Es una correspondencia biunıvoca.

2. dim(S⊥) = dim(P)− dim(S)− 1

3. (S1 + S2)⊥ = S⊥1 ∩ S⊥2 ; (S1 ∩ S2)⊥ = S⊥1 + S⊥2

4. (S⊥)⊥ = S

Estas propiedades se comprueban inmediatamente eligiendo una referencia ycalculando las ecuaciones de S⊥.


Si S = P(L) y {v0, . . .vr} es una base de L, entonces, si en una referenciaR, [Q] tiene la matriz M y vi las coordenadas ai = (ai0, . . . , ain), las ecuacionesde S⊥ son:

(ai)Mxt = 0, 0 ≤ i ≤ r

Si [Q] es no degenerada, det(M) 6= 0 y los vectores (ai)M son linealmenteindependientes, luego dim(S⊥) = n + 1 − (r + 1) − 1 = dimP − dimS − 1(La dimension vectorial es igual al numero de incognitas menos el numero deecuaciones y la dimension proyectiva, una unidad menor ). Como obviamenteS ⊂ S⊥⊥ y

dim(S⊥⊥) = n− dim(S⊥)− 1 = n− (n− dimS − 1)− 1 = dim(S)

es S = S⊥⊥ y en consecuencia, al ser la polaridad autoinversa es una biyeccion.La propiedad (3) es trivial.

Sabemos ademas que si P ∈ P, P⊥ es un hiperplano o el espacio completo,verificando esto ultimo si y solo si P ∈ V[Q]. Ademas es obvio que S ⊂ T ⇒T⊥ ⊂ S⊥ y que S ⊂ S⊥⊥, sea o no degenerada la cuadrica [Q], luego se verificasiempre que:

S ⊂ T⊥ ⇒ T ⊂ T⊥⊥ ⊂ S⊥

.

Proposicion 7.1.8.– Dadas una recta r y una cuadrica [Q] con r 6⊂ [Q], sidenotamos tambien por [Q] a la cuadrica de puntos, se verifica que r ∩ [Q] es obien el vacıo, o bien un punto unico, o bien dos puntos.

Demostracion: Sean P = [v] y R = [w] dos puntos arbitrarios de r, y supon-gamos r ∩ [Q] 6= ∅, entonces se puede suponer P ∈ [Q] es decir Q(v) = 0.

La recta r = P + R tiene como punto generico a [αv + βw]; si buscamos lospuntos de corte de r y la cuadrica [Q], debemos resolver la ecuacion:

(?) Q(αv + βw) = 0 ⇒ α2Q(v) + 2αβFQ(v,w) + β2Q(w) = 0

Que, como Q(v) = 0, es la ecuacion :

2αβFQ(v,w) + β2Q(w) = 0

que tiene la solucion β = 0, que corresponde al punto P , y 2αFQ(v,w) +βQ(w) = 0, ecuacion en la que pueden suceder dos cosas:

1) Que FQ(v,w) 6= 0. Entonces α = tQ(w), β = 2tFQ(v,w) 6= 0 definen unpunto de corte diferente de P y la recta corta en dos puntos a la cuadrica.

2) Que FQ(v,w) = 0. Entonces, si Q(w) 6= 0 se repite la solucion β = 0 y rcorta a [Q] en un unico punto, y si Q(w) = 0 , la ecuacion se verifica para todosα, β y r ⊂ [Q].

Definicion 7.1.9.– Dadas una recta r y una cuadrica [Q], se dice que r essecante a [Q], si la corta en dos puntos, exterior si no la corta y tangente sicorta a [Q] en un solo punto o esta contenida en [Q].


Notas 7.1.10.–

7.1.10.1. - Si P ∈ [Q], P⊥ es el lugar geometrico de todas las rectas tangentes ala cuadrica o contenidas en ella y que pasan por P .

En efecto: una recta r por P o esta contenida en la cuadrica, o la corta enotro punto o es tangente a ella en P . Como P ∈ [Q] estamos en el caso descritoen la demostracion anterior y R ∈ P⊥ ⇒ FQ(v,w) = 0 y por (2), la recta P +Res necesariamente tangente a la cuadrica o contenida en ella, y recıprocamentesi P + R es tangente a la cuadrica o contenida en ella, como (1) se da solo encaso de recta secante, estamos en el caso (2), FQ(v,w) = 0 y R ∈ P⊥.

7.1.10.2. - si P /∈ [Q] ⇒ Q(v) 6= 0 y queremos encontrar el lugar geometricode las rectas que pasan por P y son tangentes a [Q]. Considerando como antesla recta P + R = r donde R es un punto arbitrario del espacio, la interseccionde r y [Q] viene dada como antes por la ecuacion (?), pero ahora Q(v) 6= 0 ypodemos considerar la ecuacion (?) como ecuacion en α, su discriminante es:

∆ = β2(FQ(v,w)2 −Q(v)Q(w))

y r es tangente si y solo si la ecuacion tiene solucion unica es decir: ∆ = 0. Portanto la ecuacion del lugar buscado es:

FQ(v,w)2 −Q(v)Q(w) = 0

Si en una referencia [Q] tiene matriz M y P tiene coordenadas [a], la ecuaciondel lugar en ella es:

((a)Mxt)2 − aMat.xMxt = 0

Definicion 7.1.11.– Si [Q] es una cuadrica y P ∈ [Q], P /∈ V[Q], se llamahiperplano tangente a [Q] por P al hiperplano P⊥ que es el lugar geometrico delas rectas tangentes a P ∈ [Q] o contenidas en [Q]) y que pasan por P .Si P /∈ [Q] el lugar geometrico CP ([Q]) de las rectas tangentes a [Q] por P sellama cono circunscrito a [Q] con vertice P o cono tangente a [Q] desde P .

Vamos a estudiar algunas propiedades del hiperplano tangente y el conocircunscrito, para ello necesitaremos algunos resultados previos.

Si Q es una cuadrica en un espacio proyectivo P y S = P(L) es un subespaciode P, entonces [Q] ∩ S = [Q|L] es una cuadrica en S. De esta manera, si T ⊂ Ses un subespacio proyectivo de S y por tanto de P, se pueden construir lossubespacios polares de T en P respecto de [Q] y de T en S respecto de [Q] ∩ S.La relacion entre estos dos espacios, se deduce del hecho siguiente:

Lema 7.1.12.– Si Q es una forma cuadratica en un espacio vectorial V , L esun subespacio de V , Q|L : L −→ K es la restriccion de Q a L y R ⊂ L es unsubespacio:Los subespacios ortogonales a R respecto de Q, R⊥, y respecto de la restriccionde Q a L, R⊥L verifican que:

R⊥L = R⊥ ∩ L


P

P

Figura 7.3:

Demostracion:

v ∈ R⊥L ⇔ F (v,w) = 0 ∀w ∈ R ⇒ v ∈ R⊥

luego R⊥L ⊂ R⊥ y como R⊥L ⊂ L de aquı se deduce que R⊥L ⊂ R⊥ ∩ L.Veamos el contenido contrario:Sea v ∈ R⊥ ∩ L, de donde es v ∈ L y F (v,w) = 0, ∀w ∈ R, luego v ∈ R⊥L

y tenemos la otra inclusion.

Proposicion 7.1.13.– Sea [Q] una cuadrica en el espacio proyectivo P

1. Si [Q] es no degenerada, la correspondencia P 7→ P⊥ es una proyectividadentre los espacios P y P∗ (espacio dual de P)

2. Si [Q] es no degenerada, el conjunto de hiperplanos tangentes a [Q] esla cuadrica de puntos de una cuadrica en P∗ ( que se llama cuadrica dehiperplanos asociada a [Q]).

3. Si [Q] es no degenerada y H es un hiperplano, H es tangente a [Q] si ysolo si H ∩ [Q] es una cuadrica degenerada (figura 7.3).

Demostracion:

1. Como hemos visto en la nota 3 una forma cuadratica Q representante dela cuadrica induce una aplicacion lineal:

Fi : V −→ V ∗; Fi(v)(w) = F (v,w)


cuyo nucleo es rad(Q), y por tanto, como Q es no degenerada, es unisomorfismo, luego define una proyectividad de Poncelet de P en P∗.Teniendo en cuenta la relacion entre P∗ y el espacio de hiperplanos, laimagen del punto P = [v] es el hiperplano:

P(ω(Fi(v)) = {z | Fi(v)(z) = 0} = P⊥

Podemos repetir el resultado en terminos de coordenadas: Si fijamos unareferencia R en P y tomamos la referencia dual R∗ en P∗, el punto P decoordenadas [a] tiene como polar el hiperplano P⊥ de ecuaciones (a)Mxt =0, es decir las coordenadas de este hiperplano en R∗ son [b] con bt = Mat

(M = M t). Es decir, la proyectividad de la proposicion, tiene como matrizla de la cuadrica, que es la de Fi.

2. El hiperplano H de ecuacion b0x0+· · ·+bnxn = 0 o en terminos matriciales(b)(x)t = 0, es tangente a [Q] si existe un punto P de coordenadas [a] talque

{[a] ∈ [Q] ⇔ aMat = 0P⊥ = H ⇔ aMxt = λbxt ⇔ aM = λb

Eliminando a entre las ecuaciones anteriores, a = λbM−1, at = λM−1bt,se tiene

0 = aMat = λ2bM−1MM−1bt = λ2bM−1bt ⇔ bM−1bt = 0

Es decir, son tangentes a la cuadrica los hiperplanos que, como puntos deP∗, pertenecen a la cuadrica de matriz M−1 (o multiplicando por det(M)la de matriz Ad(M)).

3. El hiperplano H es tangente a [Q] si y solo si ∃P ∈ [Q] con P⊥ = Hluego P es ortogonal respecto de [Q] a todos los puntos de H, luego P esortogonal a todos los puntos de H respecto de [Q]∩H y como consecuencia,P ∈ V([Q]∩H) y [Q] ∩H es degenerada

Veamos ahora la implicacion contraria. Supongamos [Q] ∩H degenerada,es decir ∃P ∈ V ([Q] ∩ H) condicion equivalente a que P es ortogonal atodos los puntos de H respecto de la cuadrica [Q] ∩H, luego

P⊥[Q]∩H = H = P⊥ ∩H

donde la segunda igualdad se verifica por el lema 7.1.12.

Ahora bien, si P es un punto , o bien P⊥ es todo el espacio, cosa imposiblepor ser [Q] no degenerada, o bien es un hiperplano, luego P⊥ = H y H estangente a [Q] como querıamos demostrar.

Proposicion 7.1.14.– Sea [Q] una cuadrica en un espacio proyectivo P yP ∈ [Q], P /∈ V[Q] (ver la figura7.5), se verifica que:


P

R P = R

Figura 7.4:

1. Si S es un subespacio del espacio P tal que P ∈ S ⊂ [Q], es S ⊂ P⊥

2. Si el punto R esta en P⊥ ∩ [Q], es P + R ⊂ [Q]

3. Si R es otro punto, R 6= P , R ∈ [Q], se verifica que

P⊥ = R⊥ ⇔ (R + P ) ∩ V[Q] 6= ∅

En particular, si dos puntos distintos de [Q] tienen el mismo plano tan-gente, [Q] es degenerada

4. P + V[Q] ⊂ P⊥ y ∀R ∈ P + V[Q], R⊥ = P⊥

Demostracion:

1. Si S ⊂ [Q] y es S = P(L), es Q|L = 0, y en consecuencia ∀v,w ∈L FQ(v,w) = 0. Entonces si P = [v] y R ∈ S, R = [w], es FQ(v,w) =0 ⇒ R ∈ P⊥

2. Si P = [v], R = [w], por estar ambos puntos en la cuadrica y ser R ∈ P⊥,es Q(v) = Q(w) = FQ(v,w) = 0 luego Q(αv+βw) = α2Q(v)+β2Q(w)+2αβFQ(v,w) = 0 de donde se deduce que P + R ⊂ [Q]


PR

T

P

R

T

Figura 7.5:

3. Elegimos una referencia en la cual [Q] tenga la matriz M ; si en ella, lospuntos P y R tienen coordenadas [a] y [b] respectivamente, P⊥ y R⊥

tendran por ecuaciones

aMxt = 0 bMxt = 0

estas ecuaciones definen el mismo hiperplano si y solo si ∃λ con aM =λbM ⇔ (a− λb)M = 0 ⇔ [a− λb] ∈ V[Q]

4. Como V[Q] ⊂ P⊥ y P⊥ es un subespacio de P que contiene a P , esP + V[Q] ⊂ P⊥. Ademas R ∈ P + V[Q] ⇔ (P + R) ∩ V[Q] 6= ∅ ⇔ P⊥ = R⊥

Proposicion 7.1.15.– El hiperplano polar del punto P respecto a una cuadricano degenerada [Q] corta a la cuadrica en los mismos puntos que el cono tangente

Demostracion: Dado un punto R = [w], se verifica que:

R ∈ CP ([Q]) ∩ [Q] ⇔{

FQ(v,w)2 −Q(v).Q(w) = 0Q(w) = 0 ⇔

⇔{

FQ(v,w) = 0Q(w) = 0 ⇔ R ∈ P⊥ ∩ [Q]

Nota 7.1.16.– La proposicion anterior nos permite dibujar la recta polar deun punto respecto de una conica real.


P t⊥ R⊥ s⊥ P

P1 P

1

P⊥ R R

t s P

2

P2

(I) (II) (III)

Figura 7.6:

Si el punto P es .exterior.a la conica, el cono tangente CP ([Q]) es real y cortaa [Q] en dos puntos, P1 y P2; entonces P⊥ = P1 + P2 (ver la figura 7.6(I)).

Si R es un punto ”interior.a la cuadrica (ver la figura 7.6(II)), el cono CR[Q]es imaginario, pero si tomamos dos rectas s y t tales que s ∩ t = R, se puedendibujar s⊥ y t⊥ y:

R = s ∩ t ⇒ R⊥ = s⊥ + t⊥

Proposicion 7.1.17.– Si [Q] es una cuadrica no degenerada y P /∈ [Q], en-tonces P⊥ es el hiperplano que contiene al conjunto de puntos R tales que (verla figura 7.6(III))

(P + R) ∩ [Q] = {P1, P2} y [P1, P2, P,R] = −1

Demostracion: Si P1 = [v1], P2 = [v2], es P = [α1v1 + α2v2], R = [β1v1 +β2v2] (siempre se pueden elegir v1 y v2 de modo que P = [v1 + v2]. Entonces

R ∈ P⊥ ⇔ FQ(v1 + v2, β1v1 + β2v2) = 0 ↔β1Q(v1) + β2Q(v2) + (β1 + β2)F (v1,v2) = 0 ↔β1 + β2 = 0 ⇔ β1 = −β2 ⇔ [P1, P2, P, R] = −1

ya que Q(v1) = Q(v2) = 0 y FQ(v1,v2) 6= 0.

Notas 7.1.18.–

7.1.18.1. - Como ya hemos indicado, si [Q] es una cuadrica en el espacio pro-yectivo P y R es una referencia en dicho espacio, de base normalizada asociada{v0, . . . ,vn}, y M es la matriz de [Q] en esta referencia representaremos porQ(x) al polinomio de segundo grado (x0, . . . , xn)M(x0, . . . , xn)t = xMxt


El hiperplano polar del punto P de coordenadas [a0, . . . , an] = [a] viene dadopor aMxt = 0. Observese que puesto que:

∂x∂xi

= (0, . . . , 1, . . . , 0) = ei

Se verifica que :

∂Q(x)∂xi

=∂x∂xi

Mx + xM(∂xxi

)t = eiMxt + xMeit = 2eiMxt

pues M es simetrica. Entonces:

n∑

i=0

(∂Q(x)∂xi

)P xi =n∑

i=0

2eiMatxi = 2xMat = 2aMxt

luego la ecuacion del hiperplano polar de P se puede escribir como

n∑

i=0

(∂Q(x)∂xi

)P xi = 0

Y esta ecuacion sirve para cualquier cuerpo K ya que la derivada de unpolinomio es puramente formal. En el caso en que P sea un punto de la cuadrica,esta es la ecuacion de P⊥ que es el plano tangente a la cuadrica por el punto P .

7.1.18.2. - Un punto esta en el vertice de [Q] si su polar es todo el espacio, esdecir las ecuaciones del vertice son

xM = 0

o lo que es lo mismo∂Q(x)∂xi

= 0, 0 ≤ i ≤ n

7.1.18.3. - Un hiperplano H de ecuacion b0x0 + · · ·+ bnxn = 0 es tangente a [Q]si existe un punto P tal que P⊥ = H es decir si y solo si el sistema

λ(b0, . . . , bn) = (x0, . . . , xn)M

tiene solucion con xMxt = 0.La ecuacion de todos los planos tangentes a una cuadrica no degenerada es

entonces:

(y0, . . . , yn)M−1(y0, . . . , yn)t = 0 ⇔ (y0, . . . , yn)Adj.(M)(y0, . . . , yn)t = 0

Esta ultima ecuacion se llama ecuacion tangencial de la cuadrica

7.1.18.4. - Dado un punto P de coordenadas [a] = [a0, . . . , an]), la recta quepasa por P y por un punto generico [(α0, . . . , αn)], es tangente a la cuadrica siy solo si el discriminante ∆ = FQ(aα)2 −Q(a)Q(x) = 0 (V. 7.1.8)

Por tanto el cono tangente desde el punto P a la cuadrica, tiene la ecuacion:

(1/2∑

(∂Q(x)∂xi

)P xi)2 −Q(x)Q(a) = 0


7.2. Correlaciones y polaridad

Hemos visto anteriormente como una forma bilineal F : V ×V −→ K inducehomomorfismos Fi, Fd : V −→ V ∗ (ver 3), y que F es no degenerada si y solosi Fi y Fd son isomorfismos Recıprocamente un homomorfismo f : V −→ V ∗

induce formas bilineales:

fi : V × V −→ K, fi(v,w) = f(v)(w)

fd : V × V −→ K, fd(v,w) = f(w)(v)

y f es isomorfismo si y solo si fi y fd son no degeneradas, lo cual es claro porquees un ejercicio simple comprobar que (fi)i = (fd)d = f .

La forma F es simetrica si y solo si Fi = Fd, y podemos preguntarnos cuales la propiedad a requerir a f para que fi y fd sean iguales y en consecuenciasimetricas. La forma mas simple de responder a esta pregunta de modo alge-braico, es fijar una base B de V y su base dual B∗ en V ∗, en estas condicionessabemos que si la matriz en B de F es M , las matrices en B y B∗ de Fi yFd son respectivamente M y M t, y que si la matriz de f en B y B∗ es P , lasmatrices de las formas bilineales fi y fd en la base B son respectivamente Py P t. Entonces fi = fd si y solo si P = P t, es decir si solo si la matriz P essimetrica.

Recordemos que:

1. Toda aplicacion lineal g : V −→ W induce una aplicacion dual g∗ : W ∗ −→V ∗ por la formula:

∀α ∈ W ∗, g∗(α) = αg

2. Si B1 y B2 son bases de V y W respectivamente y B∗1 y B∗

2 son sus basesduales, la matriz de g en B1 y B2 es M si y solo si la matriz de g∗ en B∗

1

y B∗2 es M t

3. (V ∗)∗ es canonicamente isomorfo a V , luego ambos espacios se puedenidentificar, y si B∗ es la base dual de B, B es la base dual de B∗

Entonces la condicion buscada para que fi = fd es que f = f∗. Pero estacondicion algebraica tiene una interpretacion geometrica en terminos proyectivosen el caso no degenerado que dio lugar a la definicion geometrica de cuadricadada por Staudt en la forma que veremos en lo que sigue.

Definicion 7.2.1.– Llamaremos correlacion sobre un espacio proyectivo P atoda proyectividad de automorfismo identidad π : P −→ P∗

De la definicion se desprende que si P = P(V ) una correlacion en P essimplemente una recta de isomorfismos [f ] generada por un isomorfismo f :V −→ V ∗. En lo sucesivo llamaremos matriz de la correlacion a una cualquierade sus matrices en dos referencias duales de P y P∗. Si M es una matriz dela correlacion en las referencias R y R∗ y cambiamos la referencia en P a unareferencia T , con matriz de cambio P , la matriz de cambio de referencia de

7.2. CORRELACIONES Y POLARIDAD 221

R∗ a T ∗ es (P t)−1 y en consecuencia la matriz de la correlacion en las nuevasreferencias es: ρ.P tMP .

Consecuencia de este resultado es que la clasificacion de correlaciones es unanueva clasificacion de matrices, hasta ahora hemos clasificado las matrices porlos criterios:

1. M ∼ N ⇔ ∃P,Q inversibles N = PMQ Clasificacion de aplicacioneslineales

2. M ∼ N ⇔ ∃P inversible N = P−1MP . Clasificacion de endomorfismos

3. Si M y N son matrices inversibles M ∼ N ⇔ ∃P, inversible , ∃ρ ∈K, N = ρP−1MP .Clasificacion de proyectividades

4. Si M y N son matrices simetricas M ∼ N ⇔ ∃P, P tMP .Clasificacion deformas cuadraticas.

5. Si M y N son matrices simetricas M ∼ N ⇔ ∃P, inversible , ∃ρ ∈K, N = ρP tMP . Clasificacion de cuadricas.

Ahora la clasificacion de correlaciones proporciona otra clasificacion de matricesinversibles.

M ∼ N ⇔ ∃P, inversible , ∃ρ ∈ K, N = ρP tMP

Encontrar los invariantes y las formas canonicas para esta clasificacion no esfacil, el lector interesado puede encontrar estos resultados en el texto de Hodge- Pedoe [26]

Otra consecuencia es que si una matriz M de una correlacion es simetrica,todas lo son, porque:

(ρ.P tMP )t = ρ.P tM t(P t)t = ρ.P tMP

luego el hecho de que la matriz de una correlacion sea simetrica es intrınseco.Un ejemplo de correlaciones con matriz simetrica es el siguiente:

Si [Q] es una cuadrica no degenerada en P, la polaridad asociada a [Q]induce una correlacion en P (ver 7.1.13)que hace corresponder a cada punto suhiperplano polar respecto de la cuadrica. Si tomamos en el espacio y su dualreferencias duales, la matriz de la polaridad en esas referencias es, como hemosvisto en 7.1.18, la matriz de la cuadrica. Ası se comprende que la formula decambio de referencia, para la matriz de una correlacion sea la misma que para lamatriz de una cuadrica, y tambien que una correlacion es la polaridad asociadaa una cuadrica si y solo si su matriz es simetrica.

Pero la simetrıa no es la unica propiedad que es intrınseca de la matriz deuna correlacion. Lo mismo sucede con el hecho de que la matriz de la correlacionsea hemisimetrica, es decir M t = −M , ya que entonces:

(ρ.P tMP )t = ρ.P tM t(P t)t = −ρ.P tMP

Este resultado nos permite dar una nueva definicion:


Definicion 7.2.2.– Llamaremos sistema nulo sobre un espacio proyectivo P atoda correlacion π : P −→ P∗ cuya matriz sea hemisimetrica

Incidentalmente observemos que solo puede haber sistemas nulos en espaciosde dimension impar, porque una matriz hemisimetrica de orden impar tienedeterminante cero.

El problema geometrico contrapartida del algebraico planteado al principiode la seccion es el de caracterizar las polaridades entre las correlaciones y eso eslo que hacemos en la siguiente proposicion.

Proposicion 7.2.3.– Una correlacion π definida sobre un espacio proyectivoP induce un antiisomorfismo de retıculos π : L(P) −→ L(P) y las condicionessiguientes son equivalentes:

1. π es una polaridad o un sistema nulo.

2. ∀P ∈ Pπ2(P ) = P

3. π2 = Id. es decir π es involutiva.

Demostracion: Hemos visto (ver 3.4.1) que existe un antiisomorfismo canonico

ϕ : L(P) −→ L(P∗), ϕ(P(L)) = P(w(L))

Si π es una correlacion, π induce un isomorfismo π : L(P) −→ L(P∗) la compo-sicion:

π = ϕ−1π : L(P) −→ L(P)

es entonces un antiisomorfismo de reticulos.Si elegimos en P y P∗ referencias asociadas y si en ellas una matriz de π es

M , la imagen de un punto P de coordenadas [a] = [a0, ..., an], es el hiperplanode ecuacion:

(x0, ..., xn)M(a0, ...an)t = 0

y en general si:

S ⊂ P, S = P1 + ... + Pr, Pi : [ai0, ..., ain]

el subespacio π(S) esta dado por el sistema de ecuaciones:

(x0, ..., xn)M(ai0, ..., ain)t = 0, 1 ≤ i ≤ r

En particular si H es el hiperplano π(P ) siendo P un punto de coordenadas[a0, ..., an], H esta generado por n puntos independientes: {Pi}1≤i≤n, repre-sentados por vectores de coordenadas bi = (bi0, ..., bin), 1 ≤ i ≤ n, que sonsoluciones del sistema: (x0, ..., xn)M(a0, ...an)t = 0, es decir:

(bi0, ..., bin)M(a0, ...an)t = 0, 1 ≤ i ≤ n

Trasponiendo es:

(a0, ...an)M t(bi0, ..., bin)t = 0, 1 ≤ i ≤ n

7.2. CORRELACIONES Y POLARIDAD 223

Luego si M es simetrica o hemisimetrica M = ±M t y

(a0, ...an)M t(bi0, ..., bin)t = 0 ⇒ (a0, ...an)M(bi0, ..., bin)t = 0

Luego π(H) = P , y,π2(P ) = PSi ahora suponemos que:

π2(P ) = P, ∀P ∈ P

y tenemos en cuenta que al ser π un antisomorfismo, π2 es un isomorfismo deretıculos, se verifica que:

S ⊂ P, S = P1 + ... + Pr ⇒ π2(S) = π2(P1) + ... + π2(Pr) = P1 + ... + Pr = S

Por ultimo si π es una correlacion de matriz M respecto a referencias duales,partiendo de un punto P de coordenadas [a0, ..., an], π(P ) es el hiperplano Hde ecuacion: (x0, ..., xn)M(a0, ...an)t = 0, y si el punto π(H) tiene coordenadas[c0, ..., cn], para todo punto de H [x0, ..., xn] debe ser:

(c0, ..., cn)M(x0, ..., xn)t = 0 ⇔ (x0, ..., xn)M t(c0, ..., cn)t = 0

En consecuencia y para un cierto factor de proporcionalidad ρ, debe ser:

M(a0, ...an)t = ρM t(c0, ..., cn)t

y si π2 es la identidad, los vectores (a0, ...an) y (c0, ..., cn) son proporcionales,luego para un cierto factor de proporcionalidad, que en principio depende delpunto, pero que, segun hemos visto al hablar de referencias, se prueba facilmenteque es constante, es:

∀[a0, ..., an], M(a0, ...an)t = ρM t(a0, ..., an)t ⇒ M = ρM t

Entonces:

M = ρM t ⇒ M t = ρM ⇒ M = ρ2M ⇒ ρ2 = 1 ⇒ ρ = ±1

y π es una polaridad o un sistema nulo.

En dimension dos no hay sistemas nulos, por tanto las correlaciones involu-tivas son exactamente las polaridades asociadas a conicas. En dimension imparlas polaridades y los sistemas nulos se diferencian por una propiedad geometricaque describimos a continuacion.

Definicion 7.2.4.– Si π es una correlacion, un punto P se dice autoconjugadopara π si y solo si P ∈ π(P )

Proposicion 7.2.5.– Una correlacion es un sistema nulo si y solo si todos lospuntos del espacio son autoconjugados respecto e ella.


Demostracion: Si la matriz de la correlacion en referencias duales es M = (aij)decir que el punto P de coordenadas (c0, ..., cn) es autoconjugado equivale a que:

(c0, ..., cn)M(c0, ..., cn)t = 0 ⇔∑

i<j

(aij + aji)cicj +∑

i

aiic2i = 0

Entonces todos los puntos son autoconjugados si y solo si:

∀(c0, ..., cn),∑

i<j

(aij + aji)cicj +∑

i

aiic2i = 0 ⇔ aij + aji = aii = 0 ∀i, j

es decir si M es hemisimetricaEntonces una cuadrica (no degenerada) se puede definir de la manera si-

guiente:

Definicion 7.2.6.– [Staudt] Un subconjunto propio [Q] de un espacio proyectivose dice que es una cuadrica si y solo si es el conjunto de puntos autoconjugadospara una correlacion involutiva.

7.3. Clasificacion de las cuadricas proyectivas

Nos podemos plantear, como hemos hecho con otros objetos geometricos elproblema de clasificacion de cuadricas, haremos la clasificacion modulo la ac-cion del grupo proyectivo, y usaremos dos medios distintos, el algebra lineal paradescribir unos invariantes obtenidos por la reduccion del problema al de clasi-ficacion de formas cuadraticas, y la geometrıa para interpretar los invariantesalgebraicos de la clasificacion.

Si Q es una forma cuadratica sobre W y φ : V −→ W es un isomorfismo,la composicion Q.φ : V −→ K es una forma cuadratica, en particular podemostomar V = W y ası el grupo Gl(V ) de automorfismos de V actua sobre elespacio Q, y el problema es describir las orbitas de esta accion.

Definicion 7.3.1.– Dos formas cuadraticas Q1 y Q2 definidas en el mismoespacio vectorial V se dicen linealmente equivalentesemphLinealmente equiva-lentes y se escribe Q1 ∼ Q2, si difieren en un automorfismo, es decir si existeun automorfismo de V , φ, tal que Q2 = Q1.φDadas en un espacio proyectivo P una cuadrica [Q] y una proyectividad de Pon-celet π = [φ] : P −→ P′, llamaremos π([Q]) a la cuadrica de P′:

π([Q]) = [Q.φ−1]

Dos cuadricas [Q1] y [Q2] definidas en el mismo espacio proyectivo P se di-cen proyectivamente equivalentesemphProyectivamente equivalentes y se escribe[Q1] ∼ [Q2] si difieren en una proyectividad de Poncelet, es decir si existe unaproyectividad π de P, tal que π([Q1]) = [Q2]

Notas 7.3.2.–

7.3. CLASIFICACION DE LAS CUADRICAS PROYECTIVAS 225

7.3.2.1. - Si fijamos una base B en V y las matrices en dicha base de Q1 y φ−1

son respectivamente M1 y P , la matriz de Q1.φ−1 es P t.M1.P , en consecuencia

si M2 es la matriz de Q2 en B:

Q1 ∼ Q2 ⇔ M2 = P t.M1.P

Esta formula coincide con la de cambio de base para la matriz de una formacuadratica. Si B1 y B2 son bases de V y P es la matriz del cambio de base, laformula anterior establece tambien la relacion entre las matrices M1 y M2 deuna forma cuadratica en ambas bases, en consecuencia:

Dos formas cuadraticas Q1 y Q2 definidas en el mismo espacio vectorial Vson linealmente equivalentes si y solo si difieren en un cambio de base, es decirsi existen bases, B1 y B2 en V , tales que la matriz de Q1 en B1 coincide con lamatriz de Q2 en B2.

Ası para caracterizar la equivalencia lineal de formas cuadraticas construire-mos para cada forma cuadratica una base (base canonica) en la cual su matrizsea lo mas simple posible (matriz canonica). Entonces dos formas cuadraticasseran linealmente equivalentes si tienen la misma matriz canonica

7.3.2.2. - La razon de la construccion de π([Q] con la inversa de la proyectividadse entiende cuando buscamos los puntos de esta cuadrica:

P = [v] ∈ [[Q]] ⇔ Q(v) = 0 ⇔ Q.φ−1.(φ(v)) = 0 ⇔ π(P ) = [φ(v] ∈ π([[Q]]

Luego la cuadrica de puntos de π([Q]) es la imagen por π de la cuadrica de puntosde [Q]. Del mismo modo, si S es un subespacio de P es inmediato tambien que:

π([Q] ∩ S) = π([[Q]]) ∩ π(S)

7.3.2.3. - Si F es una forma bilineal asociada a la cuadrica [Q] una forma bilinealasociada a π([Q]) es F.φ−1 donde:

F.φ−1(v,w) = F (φ−1(v), φ−1(w))

Entonces: π(V[Q]) = Vπ([Q]). En efecto:

P = [v] ∈ V[Q] ⇔ F (v,x) = 0, ∀x ∈ V ⇔ F.φ−1.(φ(v, φ(x)) = 0, ∀x ∈ V

⇔ π(P ) = [φ(v] ∈ Vπ([Q]

Donde la ultima equivalencia se debe a que φ es sobre.

7.3.2.4. - Dos cuadricas [Q1] y [Q2] definidas en el mismo espacio proyectivo Pson proyectivamente equivalentes si, con las notaciones de la definicion:

[Q2] = π([Q1]) = [Q1.φ−1] ⇔ ∃ρ ∈ K∗ | ρQ1.φ

−1 = Q2 ⇔ ρQ1 ∼ Q2

Si fijamos una referencia y tomamos matrices en ella de Q1 y Q2, M1 y M2

respectivamente, el resultado anterior significa que:

[Q1] ∼ [Q2] ⇔ ∃P ∈ Gln+1(K), ρM1 = P t.M2.P

Hay dos casos en que este resultado se puede mejorar


1. Si K es cuadraticamente cerrado, es decir si ∀α ∈ K, ∃ β ∈ K, β2 = αnormalmente se llama β =

√α. En este caso:

ρM1 = P t.M2.P ⇔ M1 = Rt.M2.R, R =1√ρ

y se verifica que:[Q1] ∼ [Q2] ⇔ Q1 ∼ Q2

es decir: dos cuadricas son proyectivamente equivalentes si y solo si doscualesquiera de sus representantes son formas cuadraticas linealmenteequivalentes.

2. Si K verifica que ∀α ∈ K, ∃ √α o ∃ √−α En este caso la misma cons-truccion anterior establece que:

[Q1] ∼ [Q2] ⇔ Q1 ∼ Q2 o Q1 ∼ −Q2

Proposicion 7.3.3.– Dos cuadricas [Q1] y [Q2] de un espacio proyectivo P sonproyectivamente equivalentes, si y solo si sus vertices tienen la misma dimensiony existen subespacios complementarios de V[Q1] y V[Q2], S1 y S2 respectivamentey una proyectividad de Poncelet δ : S1 −→ S2 tales que :

δ(S1 ∩ [Q1])) = S2 ∩ [Q2]

Demostracion: Si [Q1] y [Q2] son proyectivamente equivalentes, existe unaproyectividad π = [φ] de P tal que π([Q1]) = [Q2 ⇒ π(V[Q1]) = V[Q2] y ambostienen la misma dimension. Tomando un complementario cualquiera S de V[Q1]

,π(S) es un complementario de V[Q2] y δ = π |S verifica la proposicion.Recıprocamente si P = P(V ), S1 = P(L1), S2 = P(L2), δ = [ψ] con ψ :

L1 −→ L2 isomorfismo y Q2 |L2 .ψ−1 = Q1 |L1 , como V = rad(Q1) + S1 =rad(Q2) + S2, las sumas son directas, y rad(Q1) y rad(Q2) tienen la mismadimension, podemos construir un isomorfismo σ : rad(Q1) −→ rad(Q2) y definirφ : V −→ V por:

∀ v ∈ V, v = v1 + v2, v1 ∈ rad(Q1), v2 ∈ L1, φ(v) = σ(v1) + ψ(v2)

φ es un isomorfismo y Q1.φ−1 = Q2. En efecto, veamos que Q2.φ = Q1 que es

claramente una afirmacion equivalente:

(Q2φ)(v) = Q2(φ(v1 + v2)) = Q2(σ(v1) + ψ(v2)) =

= Q2(σ(v1))+Q2.ψ(v2)+2F (σ(v1), ψ(v2) = Q2(ψ(v2)) = (Q2ψ)(v2) = Q1(v2)

Donde hemos usado que σ(v1) ∈ rad(Q2) y la ultima igualdad se debe a quese puede cambiar Q1 por Q2 en toda la cadena de igualdades anteriores (supri-miendo σ y ψ).


Como consecuencia de este resultado siempre podremos suponer sin perdidade generalidad, y a efectos de clasificacion que trabajamos con cuadricas nodegeneradas.

Establecemos ahora un resultado bien conocido de algebra lineal que lleva ala clasificacion de cuadricas en muchos casos.

Definicion 7.3.4.– Llamaremos espacio vectorial cuadraticoemphEspacio vec-torial cuadratico a un par (V,Q) donde V es un espacio vectorial y Q una formacuadratica en V .Un subconjunto E del espacio vectorial cuadratico V , se llama ortogonal emph-Conjunto ortogonal si ∀v,w ∈ E,v 6= w es v ⊥ w

Proposicion 7.3.5.– Todo espacio vectorial cuadratico de dimension finita,admite una base ortogonal

Demostracion: La demostracion es inmediata y se obtiene mediante el algo-ritmo siguiente:

1. Partimos de (V, F ), con dim(V ) = n + 1 ; se pueden presentar dos casos:

i) Que ∀v ∈ V , F (v,v) = 0, entonces ∀v,w ∈ V es

F (v,w) = 1/2(F (v + w,v + w)− F (v,v)− F (w,w)) = 0

de este modo, toda base de V es ortogonal y hemos terminado.

ii) Que exista v0 ∈ V con F (v0,v0) 6= 0. En este caso, v0 /∈ v⊥0 de dondese deduce que L0 = v⊥0 6= V luego L0 es un hiperplano de V y podemostomar el par (L0, F |L0) con dim(L0) = n

2. Repetimos el proceso con (L0, F |L0) observando que v0 /∈ L0, y en con-secuencia podemos obtener una base ortogonal de V como union de v0 yuna base ortogonal de L0.

En terminos matriciales, el resultado se puede enunciar diciendo que existeuna base de V en la cual Q tiene matriz diagonal, y se puede leer en terminosproyectivos como sigue:

Si [Q] es una cuadrica en el espacio P existe una referencia R en la cual [Q]tiene matriz diagonal. Esta referencia R = {P0, . . . , Pn;U}, al verificar que subase normalizada asociada {v0, . . . ,vn} es ortogonal, verifica que ∀i, j, i 6= j, esPi ∈ P⊥j y se llama tambien Referencia autopolar asociada a la cuadrica (ver lafigura 7.7).

Entonces la matriz diagonal se puede refinar segun el tipo de cuerpo base.Veremos ahora que se puede hacer con los cuerpos algebraicamente cerrados yen la siguiente seccion con el cuerpo real.

Notas 7.3.6.– K algebraicamente cerrado


P1

P2

⊥

P0

P0

⊥

P1

⊥

P2

Figura 7.7:

7.3.6.1. - Dada la cuadrica [Q], podemos construir una referencia autopolar res-pecto de ella, es decir una referencia R = {P0, . . . , Pn; U} de base norma-lizada asociada {v0, . . . ,vn}}, en la cual la cuadrica [Q] tiene matriz M =diag.(ε0, . . . , εn). Si el rango de la cuadrica es r([Q]) = r+1, podemos cambiar elorden de los puntos de la referencia y obtener la matriz diag.(ε0, . . . , εr, 0, . . . , 0)con εi 6= 0 ∀i. Entonces, cambiando el punto unidad a:

U ′ =1√ε0

v0 + · · ·+ 1√εr

vr + vr+1 + · · ·+ vn

se puede conseguir una nueva base normalizada:

{w0, . . . ,wn}, wi =1√εi

vi, 0 ≤ i ≤ r, wj = vj , r + 1 ≤ j ≤ n

y en esta referencia [Q] tiene la matriz diag.(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)), donde el numerode unos es el rango de [Q]. Por tanto:

Dos cuadricas [Q] y [Q′] son proyectivamente equivalentes si y solo si tienenel mismo rango.

Como consecuencia, existen en PKn , n + 2 tipos de cuadricas o mas preci-

samente (ya que dos cuadricas del mismo tipo solo difieren en un cambio dereferencia), existen n + 2 cuadricas, de rangos, respectivamente, 0, 1, . . . , n + 1.Aunque como la cuadrica de rango cero, correspondiente a la ecuacion de se-gundo grado 0 = 0, no es propiamente una cuadrica (de hecho esta excluida connuestra definicion de cuadrica), hay realmente n + 1 cuadricas distintas.

La cuadrica no degenerada, es decir la de rango n + 1, tiene por ecuacion

x20 + · · ·+ x2

n = 0


y en el otro extremo la de rango 1 es el hiperplano doble x20 = 0, y la de rango

2 el par de hiperplanos x20 + x2

1 = (x0 +√−1x1)(x0 −

√−1x1) = 0.

7.3.6.2. - Las cuadricas en P1C son entonces las siguientes:

1. Rango 2 : matriz canonica M = diag.(1, 1), ecuacion reducida

x20 + x2

1 = (x0 +√−1x1)(x0 −

√−1x1) = 0

La cuadrica es no degenerada y consiste en dos puntos distintos.

2. Rango 1: matriz canonica M = diag.(1, 0), ecuacion reducida

x20 = 0

La cuadrica consiste en un unico punto (doble), es degenerada y coincidecon su vertice.

7.3.6.3. - Las cuadricas en P2C, que se llaman conicas proyectivas complejas, son

las siguientes:

1. Rango 3: matriz canonica M = diag.(1, 1, 1), ecuacion reducida

x20 + x2

1 + x22 = 0

La cuadrica es no degenerada y se llama conica no degenerada.

2. Rango 2 : matriz canonica M = diag.(1, 1, 0), ecuacion reducida

x20 + x2

1 = (x0 +√−1x1)(x0 −

√−1x1) = 0

La cuadrica consiste en un par de rectas que se cortan en el punto [0, 0, 1],que es el vertice de la cuadrica. Observemos que su seccion por un com-plementario del vertice, la recta x2 = 0, es exactamente la cuadrica nodegenerada sobre esa recta. Teniendo en cuenta las proposiciones 7.1.4,7.1.6, este resultado es general, y las cuadricas degeneradas son proyec-cion desde su vertice de una seccion no degenerada.

3. Rango 1 : matriz canonica M = diag.(1, 0, 0), ecuacion reducida

x20 = 0

La cuadrica consiste en una unica recta (doble), es degenerada y coincidecon su vertice.

7.3.6.4. - Las cuadricas en P3C, son las siguientes:

1. Rango 4: matriz canonica M = diag.(1, 1, 1, 1), ecuacion reducida

x20 + x2

1 + x22 + x2

3 = 0


La cuadrica es no degenerada y se llama cuadrica no degenerada. Obser-vemos que la ecuacion se escribe como:

(x0 +√−1x1)(x0 −

√−1x1) = −(x2 +√−1x3)(x2 −

√−1x3)

Por tanto la familia de rectas de ecuaciones:{

x0 +√−1x1 = λ(x2 +

√−1x3)λ(x0 −

√−1x1) = −(x2 −√−1x3)

esta contenida en la cuadrica, de hecho la cuadrica es exactamente la unionde las rectas de esta familia.


x20 + x2

1 + x22 = 0

La cuadrica es degenerada con vertice [0, 0, 0, 1], y esta compuesta porrectas que unen el vertice con los puntos de la conica seccion por x3 = 0,que es la conica no degenerada cuya ecuacion en la referencia inducida endicho plano coincide con la de la cuadrica. Su nombre es cono complejo.


x20 + x2

1 = (x0 +√−1x1)(x0 −

√−1x1) = 0

La cuadrica consiste en un par de planos que se cortan en la recta x0 =x1 = 0, que es el vertice de la cuadrica.


x20 = 0

La cuadrica consiste en un unico plano (doble), es degenerada y coincidecon su vertice.

7.3.1. Cuadricas reales

En el caso real, y mas generalmente cuando el cuerpo base es real-cerrado,se verifica que:

∀ a ∈ K,√

a ∈ K, o√−a ∈ K

entonces la eleccion de la referencia autopolar que hemos hecho en la seccionanterior se puede refinar en forma obvia: Si tomamos una referencia autopolarR = {P0, . . . , Pn; U} de base normalizada asociada {v0, . . . ,vn}, y en ella la ma-triz de la cuadrica es: M = diag.(ε0, . . . , εn), entonces si el rango de la cuadricaes r([Q]) = r + 1, podemos cambiar el orden de los puntos de la referencia yobtener la matriz diag.(ε0, . . . , εs, εs+1, . . . , εr, 0, . . . , 0) de modo que:

∃ √εi 6= 0, 0 ≤ i ≤ s, ∃ √−εj 6= 0, s + 1 ≤ j ≤ r


. Entonces, cambiando el punto unidad al:

U ′ =1√ε0

v0 + · · ·+ 1√εs

vs − 1√−εs+1vs+1 − · · · − 1√−εr

vr + vr+1 + · · ·+ vn

se puede conseguir una nueva base normalizada {w0, . . . ,wn}:

wi =1

(√

εi)vi, 0 ≤ i ≤ s, wj =

1(√−εj)

vj , s+1 ≤ j ≤ r, wt = vt, r+1 ≤ t ≤ n

y en esta referencia [Q] tiene la matriz diag.(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0), dondeel numero total de unos y menos unos es el rango de [Q]. El proceso seguido nogarantiza que el numero de unos y el de menos unos sean constantes, pero esose puede demostrar:

Proposicion 7.3.7.– Teorema de inercia de SylvesterEl numero de unos y el numero de menos unos de una matriz diagonal compuestapor unos y menos unos, de una forma cuadratica real no degenerada, no dependede la base ortogonal usada para construirla.

Demostracion: Supongamos que tenemos dos bases ortogonales {v0, . . . ,vn}y {w0, . . . ,wn} y que en ellas la forma cuadratica tiene matrices de unos ymenos unos, la primera con a1 unos y b1 menos unos y la segunda con a2 unosy b2 menos unos y que a1 > a2. Entonces, como a1 + b1 = a2 + b2 = n + 1, debese necesariamente b2 > b1.

Llamamos L1 = L(v0, . . . ,va1−1), L2 = L(wb2 , . . . ,wn). Ası dim(L1) +dim(L2) = a1 + b2 > n + 1 = dim(V ) luego L1 ∩ L2 6= {0} y existe un vector0 6= v ∈ L1 ∩ L2. Pero como v ∈ L1, es Q(v) > 0 y como v ∈ L2, es Q(v) < 0.Lo cual lleva a contradiccion.

Definicion 7.3.8.– La diferencia entre el numero de mas unos y el de me-nos unos de una matriz diagonal compuesta por unos, menos unos y ceros deuna forma cuadratica se llama signatura lineal. El valor absoluto de esta dife-rencia se llama signatura proyectiva de la cuadrica representada por la formacuadratica.

El teorema de inercia garantiza la coherencia de la definicion de signaturalineal. Como dos formas cuadraticas que difieren en el producto por un escalarno nulo representan la misma cuadrica, al multiplicar por menos uno la formacuadratica, sin variar la cuadrica, cambia el sino de la signatura, luego esta noes un invariante proyectivo, y si lo es la signatura proyectiva.

De la definicion es inmediato que dos formas cuadraticas reales son equi-valentes si y solo si tienen el mismo rango y la misma signatura lineal y doscuadricas proyectivas reales son equivalentes si y solo si tienen el mismo rangoy la misma signatura proyectiva.

Dada una matriz diagonal de una cuadrica compuesta por unos menos unosy ceros, como se puede multiplicar por −1, podemos suponer que el numero de+1 es mayor o igual que el de −1 y sp([Q]) = ](+1)− ](−1) y esta matriz estaunıvocamente determinada por rango y signatura. Si r([Q]) = r, los valores de


la signatura pueden ser, r si no hay ningun −1, r − 2, si hay r − 1 unos y 1menos uno etc. bajando de dos en dos hasta cero si r es par o hasta uno si esimpar.

Veamos a continuacion los tipos de cuadricas proyectivas reales en dimen-siones bajas:

Notas 7.3.9.–

7.3.9.1. -Cuadricas proyectivas reales en P1R

Rango 2 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag.(1,−1), y su ecuacion

x20 − x2

1 = (x0 − x1)(x0 + x1) = 0

Esta formada por dos puntos distintos ([1, 1] y [1,−1])

Rango 2 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag.(1, 1), y su ecuacion

x20 + x2

1 = 0

Es una cuadrica no degenerada y su cuadrica de puntos es vacıa, peropuesto que x2

0 + x21 = (x0 − ix1)(x0 + ix1) podemos decir que la cuadrica

consta de los puntos imaginarios conjugados [i, 1], [i,−1].

Rango 1 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag.(1, 0) y su ecuacion

x20 = 0

Esta compuesta por el punto doble [0, 1]

7.3.9.2. -Cuadricas proyectivas reales en P2R

Rango 3 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag.(1, 1,−1), y su ecua-cion

x20 + x2

1 − x22 = 0

Su nombre, conica proyectiva real no degenerada. Esta formada por pun-tos.

Rango 3 y signatura proyectiva 3 Su matriz es diag.(1, 1, 1) y su ecuacion

x20 + x2

1 + x22 = 0

Su nombre es conica imaginaria no degenerada. No tiene puntos.

Rango 2 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag.(1,−1, 0) y su ecuacion

x20 − x2

1 = 0

Se descompone en x0 − x1 = 0 y x0 + x1 = 0 y es por tanto un par derectas reales, es una cuadrica degenerada cuyo vertice es un punto y lasrectas resultan de proyectar desde el vertice la seccion de la conica por larecta x2 = 0, que es un par de puntos reales.


P

0

P

1 P

0 P

1

P2

P

0

Cónica real no degenerada Cónica imaginaria no degenerada

P

2

P2 P1

P

2

x2

= 0 P1

x2

= 0 x2

= 0 P

1 P0 P

0 P

0

Par de rectas reales Recta doble Par de rectas imaginarias

Figura 7.8:

Rango 2 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag.(1,−1, 0) y su ecuacion

x20 + x2

1 = 0

Contiene solo el punto [0, 0, 1] pero por analogıa con la anterior, se llamaparde rectas imaginarias conjugadas.

Rango 1 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag.(1, 0, 0) y su ecuacion

x20 = 0

y es unarecta doble (la de ecuacion x0 = 0) coincidiendo con su vertice.

7.3.9.3. - Cuadricas proyectivas reales en P3R

Rango 4 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag(1, 1,−1,−1). Su ecua-cion:

x20 + x2

1 − x22 − x2

3 = 0

Como esta ecuacion se escribe:

x20 − x2

2 = −x21 + x2

3 ⇒ (x0 − x2)(x0 + x2) = (−x1 + x3)(x1 + x3)

la familia de rectas de ecuaciones:{

x0 + x2 = λ(x1 + x3)λ(x0 − x2) = −x1 + x3


Cuadrica elíptica Cuadrica hiperbolica Cuadrica imaginaria

P3 P

3

x

3 = 0

x

3 = 0

Cono real Cono imaginario

x

3 = 0

x

3 = 0

x

3 = 0

Planos reales Plano doble Planos imaginarios

Figura 7.9:

esta contenida en la cuadrica, mas aun la cuadrica es la union de lasrectas de la familia. Las cuadricas compuestas por rectas se llaman de tipohiperbolico. Esta cuadrica se llama cuadrica hiperbolica

Rango 4 y signatura proyectiva 2 Su matriz es diag(1, 1, 1,−1). Su ecua-cion:

x20 + x2

1 + x22 − x2

3 = 0

Esta cuadrica no contiene rectas y esta compuesta por puntos. Las cuadri-cas compuestas por puntos se llaman de tipo elıptico, y esta se llamacuadrica elıptica

Rango 4 y signatura proyectiva 4 Su matriz es diag(1, 1, 1, 1). Su ecuacion:

x20 + x2

1 + x22 + x2

3 = 0

y obviamente su cuadrica de puntos es vacıa, se llama cuadrica imaginaria

Rango 3 y signatura proyectiva 1 Su matriz es diag(1, 1,−1, 0). Su ecua-cion

x20 + x2

1 − x22 = 0

El vertice es de dimension cero, es decir un punto (el [0, 0, 0, 1]). Su seccionpor el plano x3 = 0, es la conica real no degenerada, luego esta compues-ta por rectas que pasan por el vertice y cortan en una conica real no


degenerada a cualquier plano que no contenga al vertice. Se llama conoreal


x20 + x2

1 + x22 = 0

Esta cuadrica se reduce al punto [0, 0, 0, 1] pero por analogıa con la ante-rior, se llama cono imaginario

Rango 2 y signatura proyectiva 0 Su matriz es diag(1,−1, 0, 0). Su ecua-cion:

x20 − x2

1 = 0

Se descompone en el par de planos reales x0− x1 = 0, x0 + x1 = 0, que secortan en el vertice

x0 − x1 = 0x0 + x1 = 0

}⇔ x0 = x1 = 0


x20 + x2

1 = 0

Solo contiene a su vertice que es la recta x0 = x1 = 0, pero por analogıacon el tipo anterior, se le llama par de planos imaginarios


x20 = 0

Es el plano doble x0 = 0

7.3.2. Homogeneidad de las cuadricas. Teorema de Witt

Vamos a probar en esta seccion un teorema que establece la indistinguibilidadde los puntos de una cuadrica proyectiva no degenerada, y a obtener comoaplicacion la estructura dde las cuadricas y un teorema de Witt que permite laclasificacion de las cuadricas proyectivas sobre un cuerpo arbitrario

Teorema 7.3.10.– Si [Q] es una cuadrica en un espacio proyectivo P y P y Rson dos puntos de [Q] no situados en su vertice, existe una proyectividad π deP que deja [Q] invariante y tal que π(P ) = R.

Demostracion: Sea P = [u], R = [v]. Comenzaremos probando el teoremacuando P /∈ R⊥ y en consecuencia R /∈ P⊥. En este caso al ser P⊥ y R⊥

hiperplanos distintos es dim(P⊥ ∩ R⊥) = n − 2, y (P + R) ∩ (P⊥ ∩ R⊥) = ∅,porque si T = [t] ∈ (P + R) ∩ (P⊥ ∩ R⊥) entonces t = au + bv y F (t,u) =


P

R

R

P

Figura 7.10:

0 ⇒ F (v,u) = 0 ⇒ P ∈ R⊥. Por tanto podemos construir una referencia delespacio:

R = {P,R, P2, ..., Pn; U}, conP⊥ ∩R⊥ = P2 + .... + Pn

En esta referencia la matriz de [Q] es

M =

0 1 0 . . . 01 0 0 . . . 00 0 a22 . . . a2n

......

......

0 0 an2 . . . ann

Entonces la proyectividad π, dada por:

π(P ) = R, π(R) = P, π(Pi) = Pi, forall i, 2 ≤ i ≤ n, π(U) = U

es claramente la proyectividad buscada.En el caso en que R ∈ P⊥ y en consecuencia P ∈ R⊥(v. figura 7.11), los

dos hiperplanos no son necesariamente iguales (cuando esto sucede la cuadricaes degenerada) pero si se verifica que:

R ∈ P⊥ ∩R⊥, P ∈ P⊥ ∩R⊥

y no podemos usar el razonamiento anterior, pero si demostramos que:

(?) ∃T ∈ [Q], T /∈ P⊥ ∪R⊥


P

R

R

P

Figura 7.11:

aplicando el caso anterior a P y T primero y a T y R despues, se sigue elresultado.

Probemos ahora la afirmacion (?). Como el el espacio no es union de doshiperplanos, existe una recta r que pasa por P y no esta contenida en P⊥∪R⊥,entonces la recta no es exterior (pasa por P ) ni tangente (no esta contenida enP⊥, luego corta a la cuadrica en un segundo punto T /∈ P⊥ ∪ R⊥, porque si Testuviese contenido en uno de los dos hiperplanos, como P esta contenido enambos, la recta estarıa contenida en el hiperplano que contiene a T .

Consecuencia 7.3.11.– Si una cuadrica proyectiva [Q] contiene un subespacioS de dimension d, la cuadrica es union de espacios de dimension d

Demostracion: Si S esta contenido en el vertice de la cuadrica, la dimensionde este es mayor o igual que d y como la cuadrica es union de subespacios de laforma V[Q] + P se sigue el resultado.

Si S * V[Q] hay un punto de la cuadrica que no esta en el vertice por el quepasa un subespacio contenido en la cuadrica y el resultado se sigue del teoremade homogeneidad.

Teorema 7.3.12.– (Teorema de estructura de las cuadricas proyectivas). SiS1 y S2 son subespacios contenidos en una cuadrica proyectiva [Q], con r =dim(S1) < dim(S2) = d, existe un subespacio S de dimension d contenidoen [Q] y que contiene a S1. En consecuencia todos los subespacios maximalescontenidos en [Q] tienen la misma dimension y [[Q]] es union de subespaciosmaximales.


Demostracion: Como siempre hay que distinguir dos casos. Si S1 ⊂ V[Q],S1 + S2 ⊂ [[Q]] y

∃S, S1 ⊂ S ⊂ (S1 + S2 ⊂ [[Q]], dim(S) = d

y lo mismo sucede si S2 ⊂ V[Q].Si ninguno de los dos subespacios esta contenido en el vertice, existen puntos

P ∈ S1, P /∈ V[Q], R ∈ S2, R /∈ V[Q]

y aplicando el teorema de homogeneidad hay una proyectividad π que deja lacuadrica invariante y lleva R a P , entonces hay un subespacio T = π(S2) dedimension d que pasa por P , pero este subespacio no contiene necesariamentea S1. Tomamos ahora el hiperplano H = P⊥, en H tenemos la cuadrica [Q1] =[Q] ∩H, y S1 ⊂ H, T ⊂ H y como hemos bajado la dimension en una unidadel resultado se sigue por induccion.

La segunda afirmacion es trivial de la primera y de la consecuencia anterior.

Teorema 7.3.13.– (Teorema de descomposicion de Witt) Si [Q] es una cuadricaproyectiva en un espacio proyectivo de dimension n sobre un cuerpo K, existen,una referencia en la cual tiene la matriz:

M =

0 1 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 01 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

......

......

...0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 . . . 00 0 . . . 1 0 0 . . . 0 0 . . . 00 0 . . . 0 0 α2t . . . 0 0 . . . 0...

......

......

......

...0 0 . . . 0 0 0 . . . αr 0 . . . 00 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

......

......

...0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0

Donde r es el rango de la cuadrica, t es un entero con 0 ≤ t ≤ r/2 y {α2t, ..., αr}son elementos del cuerpo base tales que:

n∑2r

αix2i = 0 ↔ xi = 0, ∀i

Demostracion: Obviamente si [[Q]] = ∅ es r = n + 1, t = 0 y la matriz es lamatriz diagonal de Q en una base ortogonal.

Si [[Q]] 6= ∅, pero [[Q]] = V[Q], tomando un complementario S de V[Q],[Q] ∩ S = ∅ y en una referencia:

R = {P0, ..., Pn; U}, S = P0 + ... + Pr−1, V[Q] = Pr + ... + Pn


tenemos la matriz buscada con t = 0Si [[Q]] 6= ∅, [[Q]] 6= V[Q] tomamos P0 ∈ [[Q]] r V[Q], entonces P⊥0 es un

hiperplano y ∃P1 ∈ [[Q]]rP⊥0 . Como en la prueba del teorema de homogeneidad(P0 + P1) ∩ (P⊥0 ∩ P⊥1 ) = ∅ y existe una referencia:

R1 = {P0, P1, R2, ..., Rn;U}, conP⊥0 ∩ P⊥1 = R2 + .... + Rn

en la cual la matriz de [Q]es

M =

0 1 0 . . . 01 0 0 . . . 00 0 a22 . . . a2n

......

......

0 0 an2 . . . ann

Pasando ahora a [Q]∩ (P⊥0 ∩P⊥1 ) como la dimension del ambiente ha decre-cido en dos unidades y la situacion se repite, por recurrencia queda probado elteorema.

Definicion 7.3.14.– El numero de cajas M =(

0 11 0

)que aparecen en la

matriz de [Q] descrita en el teorema anterior se llama ındice de la cuadrica [Q].La cuadrica con matriz diag(α2t...αr) se llama resto definido de [Q]

Proposicion 7.3.15.– El ındice de una cuadrica menos una unidad es la di-mension de los subespacios maximales contenidos en la seccion de la cuadricapor un subespacio arbitrario complementario del vertice, y es por tanto un in-variante proyectivo.

Demostracion: Si tomamos dos complementarios S1 y S2 del vertice V[Q] deuna cuadrica, la perspectividad de vertice V[Q] transforma S1 ∩ [Q] en S2 ∩ [Q],luego los subespacios maximales contenidos en una seccion de la cuadrica porun complementario de su vertice no dependen de la seccion elegida, entoncespodemos tomar la seccion dada por la referencia elegida en el teorema anterior.Trabajando en esta seccion y con la referencia del teorema, la ecuacion de lacuadrica es:

2x0x1 + 2x2x3 + ... + 2x2t−2x2t−1 + α2tx22t + αrx

2r = 0

entonces el subespacio S de ecuaciones:

x0 = x2 = .... = x2t− 2 = x2t = .... = xr = 0

esta contenido en la cuadrica y tiene dimension t − 1, y si hay un espacio dedimension d > t − 1 contenido en la cuadrica, por el teorema de estructura delas cuadricas hay un tambien un subespacio T de dimension d contenido en lacuadrica y que contiene a S, En consecuencia T contiene a los puntos:

[0, 1, 0, 0, .., 0, 0, .., 0], [0, 0, 0, 1, .., 0, 0, .., 0], ..., [0, 0, 0, 1, .., 0, 1, .., 0]


como ademas S $ T existe un punto P ∈ T r S. Supongamos que este puntotiene coordenadas [a0, ..., ar], entonces el punto

[a0, 0, a1, 0, ..., a2t−2, 0, a2t, ..., ar]

esta tambien en la cuadrica, substituyendo en la ecuacion debe ser: α2ta22t+....+

αra2r = 0, y por la forma en que hemos seleccionado la matriz, es necesariamente

a2t = ... = ar = 0, luego el punto

[a0, 0, a1, 0, ..., a2t−2, 0, 0, ..., 0]

esta en T , y alguna de sus coordenadas es distinta de cero, porque hemos su-puesto que P /∈ S, si por ejemplo es a0 6= 0 (y lo mismo se harıa en otro casocualquiera), como [0, 1, 0, 0, .., 0, 0, .., 0] esta en T tambien estarıa en T y portanto en la cuadrica

[a0, 1, a1, 0, ..., a2t−2, 0, 0, ..., 0]

, que no verifica la ecuacion de esta. Luego se llega a contradiccion y S esmaximal.

Notas 7.3.16.– 7.3.16.1.

Sea V un espacio vectorial de dimension 2, Q : V −→ K una forma cuadrati-ca. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Existe una base de V {v1,v2} tal que la matriz de Q en esta base es(

0 11 0

)

2. Existe una base {u1,u2} ortogonal respecto de Q y tal que la matriz deQ en esta base es (

1 00 −1

)

Para probar que esta afirmacion es cierta basta tomar

u1 = 1/2(v1 + 2v2), u2 = 1/2(v1 − 2v2)

o en sentido contrario,

v1 = u1 + u2, v2 = 1/2(u1 − u2)

7.3.16.2. - Si K es algebraicamente cerrado hay una referencia en la cual lamatriz de la cuadrica es: diag(1, ..., 1, 0, ..., 0), donde el numero de unos es elrango. Ahora como K es algebraicamente cerrado, un cambio del punto unidadpermite construir una referencia en la que la matriz es de una dde las dos formas:

diag(1,−1, 1,−1, ..., 1,−1, 0, ..., 0), diag(1,−1, 1,−1, ..., 1,−1, 1, 0, ..., 0)

7.4. CUADRICAS AFINES. CLASIFICACION 241

segun sea el rango par o impar. Usando el resultado de la nota anterior se puedencambiar los pares de puntos de la referencia para que aparezcan, r/2 o (r−1)/2

(segun sea r par o impar) cajas del tipo(

0 11 0

)luego el ındice de la cuadrica

es la parte entera de r/2

7.3.16.3. - Si K = R, podemos elegir una referencia en la cual una matriz de lacuadrica es

diag(1,−1, 1,−1, ..., 1,−1, 1, ..,1, 0, ..., 0)

donde si el numero de unos es a y el de menos unos b, es r[Q] = a+ b, sp([Q]) =a − b, entonces por el mismo razonamiento de la nota anterior, el ındice de lacuadrica es:

i([Q]) =r[Q]− sp([Q])

2

7.3.16.4. - El problema de clasificacion de cuadricas sobre un cuerpo arbitrario sereduce, por un segundo teorema de Witt que no probaremos aquı, al de clasificarcuadricas sin puntos, problema que no esta aun completamente resuelto en todasu generalidad.

7.4. Cuadricas afines. Clasificacion

En lo que sigue, consideraremos una inmersion del espacio afın A en el es-pacio proyectivo P con plano del infinito H∞. Supondremos que P = P(V condim(V ) = n + 1 y que H∞ = P(L∞) con L∞ hiperplano vectorial de V .

Definicion 7.4.1.– Llamaremos cuadrica afın relativa a la inmersion A ↪→ Pa un par ([Q], [Q∞]), donde [Q] es una cuadrica en P y [Q∞]) = [Q] ∩H∞.

Recordemos que dada la inmersion A ↪→ P, para cada punto P ∈ A se fijaun representante unico v; ası, elegida una forma cuadratica representante de[Q], tenemos una aplicacion Q : A −→ K y, dos aplicaciones definen la mismaforma cuadratica si son proporcionales. La expresion analıtica de Q en terminosde una referencia, se obtiene facilmente, ya que si tomamos referencias afın yproyectivas asociadas

RA = {P0;v1, . . . ,vn} ; RP = {P0, P1, . . . , Pn; U}

donde Pi = [0,vi], U = [(1,0) + (0,v1) + · · ·+ (0,vn)], la expresion de Q:

Q(x0, . . . , xn) = (x0, . . . , xn)M(x0, . . . , xn)t

se puede escribir en coordenadas afines por

Q(1, y1, . . . , yn) = (1, y1, . . . , yn)M(1, y1, . . . , yn)t

= a00 +∑n

i=1 2a0iyi +∑n

i=1 aiiy2i + 2

∑1≤i<j≤n aijyiyj


Entonces la aplicacion Q determina la matriz M y por tanto determina ,tanto [Q] como [Q∞] ya que podemos escribir M en cajas como:

M =(

a00 aat M00

)

donde a = (a01, . . . , a0n) y M00 es la matriz de Q∞ en la base {v1, . . . ,vn}.Resumiendo, esencialmente las cuadricas afines son las ecuaciones completas

de segundo grado en y1, . . . , yn con coeficientes en K.

Definicion 7.4.2.– Dos cuadricas afines ([Q], [Q∞]) y ([Q′], [Q′∞]) se dicenafinmente equivalentes si existe una afinidad que transforma una en la otra.

Recordemos que una afinidad F : A −→ A es una proyectividad de P talque F (H∞) ⊂ H∞ entonces F es una recta de automorfismos F = [f ] conf(L∞) ⊂ L∞, (H∞ = P(L∞) y el hecho de que [Q]F = [Q′] significa queQf−1 = Q′ e implica por restriccion a L∞ que Q∞f−1 = Q′∞, o lo que es lomismo, que [Q∞]F = [Q′∞]. En terminos matriciales, si

M =(

a00 aat M00

)y M ′ =

(a′00 a′

a′t M ′00

)

son, respectivamente, las matrices de Q y Q′ en una cierta referencia, la equi-valencia afın significa que existe una matriz inversible:

N =(

1 0bt N00

)

tal que:N tMN = M ′

N t00M00N00 = M ′

00

La equivalencia afın lleva consigo que [Q] ' [Q′] y [Q∞] ' [Q′∞] como cuadricasproyectivas y veremos mas adelante que el recıproco es cierto. Esta observacionno es trivial, pues el recıproco del resultado establecerıa que si existen matricesA y B regulares verificando:

AtMA = M ′

BtM00B = M ′00

existe una matriz N de la forma

N =(

1 0bt N00

)

verificando que N tMN = M ′. Este resultado lo iremos probando en los distin-tos casos que estudiaremos a continuacion, en lugar de dar una demostraciongeneral.


7.4.1. Cuadricas con centro y sin centro

Definicion 7.4.3.– Dada la cuadrica afın QA = ([Q], [Q∞]), diremos que tienecentro si y solo si:

H⊥∞ ∩ A 6= ∅

y en este caso, llamaremos centro de la cuadrica a todo punto de H⊥∞ ∩ A.

Dado que H⊥∞ es un subespacio del espacio proyectivo P, H⊥

∞ ∩ A es unsubespacio afın de A (que puede reducirse a un punto).

Si fijamos una referencia afın en A y:

M =(

a00 aat M00

)

es la matriz de QA, como H∞ esta generado por los puntos [0, 1, . . . , 0], . . . , [0, 0, . . . , 1],H⊥∞ tiene como ecuaciones:

(0, 1, . . . , 0)Mxt = 0...

(0, 0, . . . , 1)Mxt = 0

ecuaciones que se pueden escribir en forma matricial:

0 1 0 . . . 0...

...0 0 0 . . . 1

(a00 aat M00

)xt = 0 ⇔ (at|M00)xt = 0

Entonces, la cuadrica tiene centro si este sistema tiene solucion con x0 6= 0, esdecir en A. Ahora bien, el sistema:

(S)

a10x0 + a11x1 + · · · + a1nxn = 0...

...an0x0 + an1x1 + · · · + annxn = 0

tiene solucion con x0 6= 0 si el sistema

(S′)

a10 + a11x1x0

+ · · · + a1nxn

x0= 0

......

an0 + an1x1x0

+ · · · + annxn

x0= 0

tiene solucion, es decir si:

r(at|M00) = r(M00)

Esta es la condicion necesaria y suficiente para que la cuadrica tenga centro ylos centros de QA son exactamente las soluciones del sistema (S′). En particular,QA tiene centro unico si y solo si det(M00) 6= 0.

Si QA es una cuadrica con centro, se puede elegir una referencia {P0;v0, . . . ,vn}de modo que


1. P0 sea un centro de QA

2. {v0, . . . ,vn} sea una base ortogonal de L∞

Entonces, como P⊥0 ∈ H∞, v0 es ortogonal a todos los vectores {v1, . . . ,vn} yla matriz de QA en esta referencia es

M = diag.(α0, α1, . . . , αn)

con αi = Q(vi), P0 = [v0].En consecuencia, si QA = ([Q], [Q∞]) es una cuadrica con centro, se pueden

dar dos casos:

1. α0 = 0 ⇔ r(Q) = r(Q∞)

2. α0 6= 0 ⇔ r(Q) = r(Q∞) + 1

Si QA no tiene centro, H∞ ∩A = ∅ ⇒ H⊥∞ ⊂ H∞ y como los puntos del vertice

son ortogonales a todos los del espacio, V[Q] ⊂ H⊥∞ ⊂ H∞.

Veamos que el primer contenido es estricto, para ello basta pasar a termi-nos vectoriales donde tenemos rad(Q) ⊂ L∞, tomar una base de rad(Q),{v1, . . . ,vr} y ampliar a una base

{v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn}de L∞, entonces:

L⊥∞ = v⊥1 ∩ . . . ∩ v⊥r ∩ v⊥r+1 ∩ . . . ∩ v⊥n = v⊥r+1 ∩ . . . ∩ v⊥n

pues vi ∈ rad(Q) ⇒ v⊥i = V, 1 ≤ i ≤ r. En consecuencia y como v⊥r+1 es unhiperplano, es:

dim(L⊥∞) ≥ (n + 1)− (n− r) = r + 1 > r = dim(rad(Q))

y como consecuencia, existe un vector v ∈ L⊥∞, v /∈ rad(Q) de donde se deduceque ∃[v] ∈ H⊥

∞, [v] /∈ V[Q]. Ademas como H⊥∞ ⊂ H∞, [v] ∈ H∞ y por tanto

v ⊥ v y [v] ∈ [Q].Llamemos P1 = [v1] al punto que acabamos de construir, que verifica P1 ∈

[Q] ∩ H∞, P1 /∈ V[Q] y puesto que v1 ∈ L⊥∞, L∞ ⊂ v⊥1 ⇒ v⊥1 = L∞ y elhiperplano tangente a [Q] por P1 es P⊥1 = H∞.

Dado que todas las rectas tangentes a [Q] por P1 estan en P⊥1 = H∞, si res una recta afın que pasa por P1, r no es tangente a [Q] y por tanto corta a[Q] en un segundo punto P0, ademas r = P(H) con H plano hiperbolico (yaque es secante a [Q]). Por otra parte P1 ∈ H ⇒ H⊥ ⊂ P⊥1 = H∞. EntoncesV = H ]H⊥ y tomando una base ortogonal en H⊥, {v2, . . . ,vn}, la matriz deQA es

M =

0 aa 0

0 . . . 00 . . . 0

0 0...

...0 0

α2 . . . 0...

...0 . . . αn


P1

= [ v1 ] x

0 = 0 P

2 = [ v2]

P2

= [ v2] P1

= [ v1 ] x

0 = 0

P0

= O

P1

= [ v1] A P2

= [ v2] B x0

= 0 P

0 = O

P1 P

0 = O

P1

P1

A B

P

0 = O P

2 P2 O

O P2

Figura 7.12:

con a = FQ(v0,v1) 6= 0, αi = Q(vi) 2 6= i 6= n.Como se puede tomar cualquier matriz proporcional a M , se puede siempre

suponer a = 1. En este caso,es trivial que

r([Q∞]) = r(diag.(0, α2, . . . , αn))

que a su vez es igual a

r

0 11 0

0 . . . 00 . . . 0

0 0...

...0 0

α2 . . . 0...

...0 . . . αn

− 2 = r([Q])− 2

En resumen, si [Q], [Q∞] es una cuadrica afın,se verifica que r([Q]) = r([Q∞])o r([Q]) = r([Q∞])+ 1 o r([Q]) = r([Q∞])+ 2, dandose uno de los dos primeroscasos si y solo si la cuadrica QA tiene centro y el tercero si y solo si QA es unacuadrica sin centro.

7.4.2. Clasificacion de las cuadricas afines (K algebraica-mente cerrado)

Si el cuerpo K es algebraicamente cerrado, se pueden elegir los vectores dela base de modo que Q(vi) = 1 o Q(vi) = 0 y entonces podemos concluir que:

1. Si QA es una cuadrica con centro y r(Q) = r(Q∞) = r, QA tiene pormatriz


01

. . .1

0. . .

0

donde r es el numero de unos.

2. Si QA es una cuadrica con centro, y r(Q) = r(Q∞) + 1 = r + 1 QA tienepor matriz

11

. . .1

0. . .

0

donde el numero de unos es r + 1.

3. Si QA no tiene centro, es r(Q) = r(Q∞)+2 = r +2 y QA tiene por matriz

0 11 0

1. . .

10

. . .0

con r unos e la diagonal principal

7.4.3. Clasificacion de las cuadricas afines (K = R)

Si el cuerpo K es R, en las tres formas basicas:

1. Cuadricas con centro


a)

ε0ε1

. . .εn

b)

0ε1

. . .εn

2. Cuadricas sin centro

0 11 0

ε1. . .

εn

Podemos elegir la parte vectorial de la referencia y la matriz de modo que

1. Si ε0 6= 0 sea ε0 = ±1

2. En el tipo (1), (ε1, . . . , εn) = (1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0) donde el nu-mero de ”+1.es mayor o igual que el numero de ”−1”

3. En el tipo (2), (ε2, . . . , εn) = (1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0) donde el nu-mero de ”+1.es mayor o igual que el numero de ”−1”

Entonces, si miramos rango y signatura de los tres tipos, encontraremos losiguiente:

(a) r(Q) = r(Q∞)+1 y segun que sea ε = +1 o ε = −1 es sp(Q) = sp(Q∞)+1o sp(Q) = sp(Q∞)−1 (si el numero de +1 y de −1 es el mismo, ε0 siemprepuede tomarse como +1).

(b) r(Q) = r(Q∞) y como el numero de elementos distintos de cero en la matrizdiagonal no se altera, sp(Q) = sp(Q∞)

(2) r(Q) = r(Q∞) + 2 y como se puede elegir una referencia en el ambiente enla que la matriz sea diag.(1,−1, ε1, . . . , εn), es sp(Q) = sp(Q∞)

Por tanto, la matriz queda unıvocamente determinada por los invariantes r(Q),sp(Q), r(Q∞), sp(Q∞), presentandose los siguientes tipos distintos:


1. r(Q) = r(Q∞)+1, sp(Q) = sp(Q∞)+1 y matriz diag.(1|1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0).

Si llamamos a al numero de +1 y b al de −1, es

a =r(Q) + sp(Q)

2b =

r(Q)− sP (Q)2

2. r(Q) = r(Q∞)+1, sp(Q) = sp(Q∞)−1 y matriz diag.(−1|1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0).

3. r(Q) = r(Q∞), sp(Q) = sp(Q∞), diag.(0|1, . . . , 1,−1, . . . ,−1, 0, . . . , 0)

Con los mismos valores de a y b que en el tipo (1).

4. r(Q) = r(Q∞) + 2, sp(Q) = sp(Q∞) y matriz

0 11 0

1. . .

1−1

. . .−1

donde el numero de +1 en la diagonal es a y el de −1 es b, con a ≥ b y

a =r(Q) + sp(Q)

2b =

r(Q)− sp(Q)2

Entonces en este caso, tambien es cierto que

QA = ([Q], [Q∞]) ' Q′A = ([Q′], [Q′∞]) ⇔ [Q] ' [Q′], [Q∞] ' [Q′∞]

Las figuras que siguen son los tipos principales de conicas y cuadricas afinesreales en dimension tres ya conocidas por el alumno,


P0

x0= 0

x0= 0x

o= 0

Elipse �� Parabola Hiperbola

Elipse imaginaria

Figura 7.13: Conicas afines no degeneradas


x0= 0 x

0= 0

x0= 0

Rectas reales secantes Rectas reales paralelas Recta única

P0

x0= 0

x0= 0 x

0= 0

O

Rectas imaginarias secantes Rectas imaginarias paralelas Recta doble

Figura 7.14: Conicas afines degeneradas


x0=0

x0=0

x0=0

Elipsoide Paraboloide eliptico

Hiperboloide eliptico

x0=0

x0=0

Paraboloide hiperbolico Hiperboloide hiperbolico

Elipsoide imaginario

Figura 7.15: Cuadricas afines no degeneradas


x0=0

x0=0

x0=0

Cono real Cilindro eliptico Cilindro parabolico

x0=0 x0=0

x0=0

P3

Cilindro hiperbolico Cono imaginario Cilindro imaginario

Figura 7.16: Conos y cilindros

Bibliografıa

[1] E.A. Abbot. Planilandia. Guadarrama, Madrid, 1976. Traduccion deFlatland (1884).

[2] P. Abellanas. Unas reflexiones sobre la biografıa de la Matematica. Univ.Complutense Madrid, 1979. Discurso de apertura del curso 1979-80.

[3] C.C. Adams. Knot Book: An elementary Introduction to the MathematicalTheory of Knots. Freeman, Nueva York, 1994.

[4] F. Apery. Models of the Real Projective Plane. Vieweg, Braunschweig, 1987.

[5] E. Artin. Geometric Algebra. Interscience. New York, 1957.

[6] R. Artzy. Linear Geometry. Addison-Wesley, Reading, 1974.

[7] L. Boi. Le probleme mathematique de l’espace. Springer-Verlag. Berlin,Heidelberg, 1995.

[8] C. B. Boyer. Historia de la Matematica. Alianza Universidad, Madrid,1986.

[9] E. Cartan. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann. Gauthier-Villars, Paris, 1928.

[10] N. Cornish and J. Weeks. Measuring the shape of the universe. NoticesAMS, 45:1461–1469, 1998.

[11] G. Desargues. Brouillon-projet d’une atteinte aux evenements des rencon-tres du cone avec un plane. (Version de J Coolidge 1940), 1639.

[12] R. Descartes. La Geometrie. J.Gabay, 1991. Reedicion del apendice alDiscurso del Metodo.

[13] S.K. Donaldson. The Geometry of four manifolds. Clarendon Press, Oxford,1990.

[14] F. Enriques. Encyclopedie des Sciences Mathematiques pures et appliquees,volume III,1, chapter Principes de la geometrie, pages 1–147. J. Gabay,Paris, 1991. Reedicion de Gauthier - Villars, Paris, B. G. Teubner, Leipzig1911.

253

254 BIBLIOGRAFIA

[15] A.I. Flores de Lemus. Uber die existenz n-dimensionaler komplexe, dienicht in den rn einbettbar sind. Erg. Math.Kolloq., 6, 1933. Traducido enTheoria vol VII (1993).

[16] G. Frege. Uber die grundlagen der geometrie. Jahresberichte der DeutschenMathematiker-Vereinigung, XII:319–324, 368–375, 1903.

[17] H. Freudenthal. Neuere fassungen des riemann-hemholz-lieschen raumpro-blem. Math. Zeitschrift, 63:374–405, 1956.

[18] V. de Guell. Espacio, relacion y posicion. Calpe, Madrid, 1924.

[19] J. Gray. Ideas de espacio. Mondadori, Madrid, 1992.

[20] R. Harsthorne. Foundations of Projective Geometry. Benjamin, NuevaYork, 1967.

[21] R. Harsthorne. Geometry: Euclid and Beyond. Springer-Verlag Nueva York,2000.

[22] T. L. Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (3 vol.). Dover,Nueva York, 1967.

[23] H. Hemholtz. Uber die tatschlischen grundlagen der geometrie. Verhand-lungen des nat. Vereins zu Heidelberg, 4:197–202, 1866.

[24] D. Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Teubner, Stuttgart, 1968. Reedicionde un original de 1899.

[25] D. Hilbert and S. Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea,Nueva York, 1952. Traduccion de un original de.

[26] W.V.D. Hodge and D. Pedoe. Methods of Algebraic Geometry vol. 1. Cam-bridge Univ. Press, Cambridge, 1994.

[27] S.A. Hugget, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, and N.M.J. Woodhouse. TheGeometric Universe. Science,Geometry and the Work of Roger Penrose.Oxford University Press,Oxford, 1998.

[28] D.R. Hughes and F.C. Piper. Projective Planes. Springer-Verlag, NuevaYork, 1973.

[29] F. Klein. Vergleichende betrachtungen uber neuere geometrische forschun-gen. Math. Ann., 43, 1893. Reedicion corregida del Programa de Erlangende 1872.

[30] F. Klein. Matematica elemental desde un punto de vista superior vol. 2Geometrıa. Biblioteca Matematica, Madrid, 1931. Traduccion de un origi-nal de.

[31] D. Laugwitz. Differential and Riemannian Geometry. Academic Press,Nueva York, 1965.

BIBLIOGRAFIA 255

[32] J.M. Montesinos. Numeros, combinatoria y nudos: de lo discreto a lo con-tinuo. Real Acad.de Ciencias, Madrid, 1996. Discurso inaugural del curso1996-97.

[33] J. Plucker. Analytisch-geometrische Entwicklungen.

[34] J. Plucker. Neue Geometrie des Raumes. 1868/69.

[35] H. Poincare. Des fondements de la geometrie. Chiron, Paris, 1921.

[36] J.-V. Poncelet. Traite des proprietes projectives des figures. J. Gabay, Paris,1994. Reedicion de un original de 1865.

[37] A.I. Ramirez-Galarza and J. Seade Kuri. Introduccion a la Geometrıa avan-zada. Fac. Ciencias UNAM, Mexico, 2000.

[38] B. Riemann. Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.Spriger-Verlag, Berlin, 1923.

[39] P. Samuel. Geometrie projective. PUF, Paris, 1986.

[40] R. San Agustin Chi. Dos representaciones del Hexagrama mıstico. TesisDoctoral, UNAM Mexico, 1996.

[41] J. Stillwell. Sources of Hyperbolic Geometry. History of Math. vol. 10,A.M.S. Providence, 1996. Contiene traducciones comentadas de los artıcu-los fundacionales de Beltrami (1868), Klein (1871) y Poincare (1881, 1882).

[42] K. G. Chr. von Staudt. Geometrie de Lage. F. Korn, Nuremberg, 1847.

[43] J.R. Weeks. The Shape of Space. Marcel Dekker, Nueva York, 2002.

[44] I.M. Yaglom. A simple Non-Euclidean Geometry and its Physical basis.Springer Verlag Nueva York, 1969.

geometria proyectiva (aroca - bermejo)

Documents