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Triângulos
Triângulos são figuras que possuem três pontos não-colineares ligados por segmentos de reta.
Os pontos são chamados de vértices e os segmentos de lados do triângulo.
A
BC
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Condição de existência
Para que saibamos se três segmentos de medidas a, b e c podem formar um triângulo é preciso que a soma de
quaisquer dois destes segmentos seja maior que a medida do terceiro lado, ou seja,
a < b + c b < a + c c < a + b
ab
c
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Ângulos internos
Todo triângulo ABC tem três ângulos internos, formados nos vértices A, B e C.
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Classificação por ângulos
Quanto aos ângulos, podemos classificar os triângulos da seguinte maneira:
Retângulo: possui um ângulo interno de 90º.
Acutângulo: possui todos os seus ângulos internos menores do que 90º.
Obtusângulo: possui um ângulo interno maior do que 90º.
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Soma dos ângulos internos
Teorema do Ângulo Interno
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
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Exemplo
EXEMPLO 9:
Os ângulos internos de um triângulo mede x + 5º,
8x – 10º e 50º. Qual é a medida de cada ângulo?
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Ângulos externos
Ângulo externo de um triângulo é todo ângulo suplementar aos seus ângulos internos.
Na figura acima, os ângulos marcados em vermelho são os ângulos externos do triângulo.
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Soma dos ângulos internos
Teorema do Ângulo Externo
A medida de um ângulo externo de um triângulo é a soma da medida dos ângulos
internos não-adjacentes.
Na figura acima, a soma das medidas dos ângulos rosas é igual à medida do ângulo verde.
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Exemplo
EXEMPLO 10:
Determine o valor de x na figura abaixo e classifique o triângulo quanto aos ângulos.
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Classificação por lados
Quanto aos lados, podemos classificar os triângulos da seguinte maneira:
Equilátero: tem os três lados de mesma medida.
Isósceles: possui dois lados de mesma medida, sendo que o lado de medida diferente chama-se base.
Escaleno: possui os três lados de medidas distintas.
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Propriedades importantes
Teorema do Triângulo Isósceles
Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm mesma medida.
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Propriedades importantes
Num triângulo equilátero, todos os ângulos medem 60º.
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Pontos notáveis do triângulo
Há três tipos de segmentos e uma reta relacionada com os triângulos que
muito nos chamam a atenção. São eles:
Mediana, bissetriz, altura e mediatriz.
Contribuindo para a magia da Matemática, algumas intersecções
relacionadas aos casos acima recebem nomes especiais por serem
especiais.
Baricentro, incentro, ortocentro e
circuncentro.
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Mediana
Mediana é o segmento que une um vértice do triângulo
com o ponto médio do seu lado oposto.
CM é mediana relativa ao lado AB do triângulo, pois
AM = MB
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Baricentro
O encontro das três medianas de um triângulo se dá em
um único ponto, chamado baricentro.
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Bissetriz
Bissetriz é o segmento que une um vértice do triângulo
com o seu lado oposto sendo bissetriz (como já definimos
na primeira aula) do ângulo do vértice.
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Incentro
O encontro das três bissetrizes de um triângulo se dá em
um único ponto, chamado incentro.
I representa o incentro do triângulo acima.
(repare na circunferência dentro do triângulo. Podemos voltar a esse assunto em outra aula mais oportuna).
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Altura
Altura é o segmento que une um vértice do triângulo com
o seu lado oposto sendo perpendicular a ele.
h é a altura do triângulo em relação à base b.
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Ortocentro
O encontro das três alturas de um triângulo se dá em um
único ponto, chamado ortocentro.
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Mediatriz
Mediatriz é a reta que intercepta algum lado do triângulo
em seu ponto médio perpendicularmente.
mediatriz
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Circuncentro
O encontro das três mediatrizes de um triângulo se dá em
um único ponto, chamado circuncentro.
O é o circuncentro do triângulo, cujas mediatrizes estão também indicadas.
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Resumo
Baricentro Medianas
Incentro Bissetrizes
Ortocentro Alturas
Circuncentro Mediatrizes
Substitua a acima pela frase “é o único ponto de encontro das”
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Mediatriz
Mediatriz é a reta que intercepta algum lado do triângulo
em seu ponto médio perpendicularmente.
mediatriz
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Observações
Fique atento!!!
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Observação 1
Num triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz, a altura
e a mediatriz em relação à base coincidem.
- PS é mediana, bissetriz, altura e mediatriz em relação ao lado QR.
Além disso, já sabiamos que
-PR = PQ, por definição;
-Q e R são ângulos congruentes.
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Observação 2
Num triângulo equilátero, a mediana, a bissetriz, a
altura e a mediatriz em relação ao mesmo lado
coincidem. Portanto, o baricentro, o incentro, ortocentro e
o circuncentro coincidem
- Os segmentos que se interceptam em C são a mediana, a bissetriz, a altura e a mediatriz de cada lado coincidindo-se.
-C é ponto de encontro do baricentro, do incentro, do ortocentro e do circuncentro.
Jà sabíamos que:
-Seus ângulos internos medem 60º;
-Seus lados são iguais, por definição.
C
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Observação 3
O baricentro de um triângulo cria uma proporção de 1:3
sobre cada mediana que a forma.
Sendo G o baricentro do triângulo acima, temos:
AG = 2.GN;
BG = 2.GP;
CG = 2.GM;
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Robson Ricardo de Araujo
Valeu, galera!
A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho,
mas sim um corpo de conhecimento naturalmente
desenvolvido por pessoas durante um período de 5000
anos.
Frank Swetz