Un plano es un objeto ideal que solo posee dos

dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un

concepto fundamental de la geometría junto con el

punto y la recta.

un plano es un objeto ideal que solo posee dos

dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un

concepto fundamental de la geometría junto con el

punto y la recta.

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos

hallar los siguientes hechos, (los cuales no son

necesariamente válidos para dimensiones mayores).

Dos planos o son paralelos o se interceptan en una línea.

Una línea es paralela a un plano o intercepta al mismo en

un punto o es contenida por el plano mismo.

Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son

necesariamente paralelas entre sí.

Dos planos perpendiculares a una misma línea son

necesariamente paralelos entre sí.

Entre un plano cualquiera y una línea no perpendicular al

mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es

perpendicular al plano .

Entre un plano cualquiera y una línea perpendicular al

mismo existe un número infinito de planos tal que

contienen a la línea y son perpendiculares al plano

Un plano queda definido por los siguientes

elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x1, y1, z1)

Vector u = (ux, uy, uz)

Vector v = (a2, b2, c2)

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y

también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y

el punto A pertenece al plano 2.

Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales

y el punto A no pertenece al plano 2.

Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma

dirección.

la recta o la línea recta se extiende en una misma

dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene

infinitos puntos; se puede considerar que está

compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta

también se puede describir como una sucesión

continua e indefinida de puntos extendidos en una sola

dimensión

Características de la recta

La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.

En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos

puntos es la línea recta.

La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados

a lo largo de la intersección de dos planos.

Ecuación de la recta en el plano

En un plano cartesiano, podemos

representar una recta mediante una

ecuación general definida en dicho plano

ya sea mediante coordenadas usando

puntos y vectores, o bien funciones que

especifican dichas coordenadas.

Ecuación vectorial de la recta

paramétricas ecuación en forma continua de la recta

ecuaciones cartesianas o implícitas de la recta

Ecuación vectorial de la rectaSea P(x1, y1) es un punto de la recta r y su vector director, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos

denominadores y pasamos todo al primer miembro,

obtenemos también las ecuaciones implícitas

Ejemplos

Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es