geometria, ympyrä
DESCRIPTION
Suunnikkaaseen ja ympyrään liittyviä lauseitaTRANSCRIPT
Nelikulmioihin ja ympyrään liittyviä lauseita
Hannu LehtoLahden Lyseon lukio
Suunnikas
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovatyhdensuuntaiset.
Suunnikas
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovatyhdensuuntaiset.
A B
CD
Suunnikas
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovatyhdensuuntaiset.
A B
CD
1. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.
Suunnikas
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovatyhdensuuntaiset.
A B
CD
1. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.2. Vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät.
Suunnikas
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 2 / 9
Määritelmä. Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovatyhdensuuntaiset.
A B
CD
E
1. Vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret.2. Vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät.3. Lävistäjät puolittavat toisensa eli AE=EC ja BE=ED.
Neljäkäs
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Määritelmä. Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.
Neljäkäs
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 3 / 9
Määritelmä. Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä.
Lause. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
AB
D C
E
Todistus harjoitustehtävänä.
Nelikulmion sisäkulmien summa
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on ???
Nelikulmion sisäkulmien summa
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on 360◦.
Nelikulmion sisäkulmien summa
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on 360◦.
Lause. N-kulmion kulmien summa on ???, n ∈ N, n ≥ 3.
Nelikulmion sisäkulmien summa
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 4 / 9
Lause. Nelikulmion (sisä)kulmien summa on 360◦.
Lause. N-kulmion kulmien summa on (n − 2) · 180◦, n ∈ N, n ≥ 3.
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
O
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
OA
B
C
∢ABC on kehäkulma
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
OA
B
C
∢ABC on kehäkulma∢AOC on kehäkulmaa vastaava keskuskulma
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 5 / 9
Lause 1. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
OA
B
C
a
2a
∢ABC on kehäkulma∢AOC on kehäkulmaa vastaava keskuskulma
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
OA
B
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
OA
B
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 6 / 9
Seuraus 1. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.
OA
B
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Seuraus 2. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Seuraus 2. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.
O
A
B
Kehäkulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 7 / 9
Seuraus 2. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.
O
A
B
P
Tangenttikulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 8 / 9
O
A
B
P
∢APB on tangenttikulma∢AOB on tangenttikulmaa vastaava keskuskulmakaari AB on tangenttikulmaa vastaava kaari
Tangenttikulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
O
A
B
P
Tangenttikulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
O
A
B
P
∆OAP∼= ∆OBP (Miksi?)Mitä seurauksia tästä on?
Tangenttikulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
O
A
B
P
∆OAP∼= ∆OBP (Miksi?)Mitä seurauksia tästä on?
1. Tangenttikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.
Tangenttikulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
O
A
B
P
∆OAP∼= ∆OBP (Miksi?)Mitä seurauksia tästä on?
1. Tangenttikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.2. Tangenttikulman kärjen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana puolittaa
tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman.
Tangenttikulma
Hannu Lehto 21. helmikuuta 2008 Lahden Lyseon lukio – 9 / 9
O
A
B
P
∆OAP∼= ∆OBP (Miksi?)Mitä seurauksia tästä on?
1. Tangenttikulman kyljet kärjestä sivuamispisteisiin ovat yhtä pitkät.2. Tangenttikulman kärjen ja ympyrän keskipisteen yhdysjana puolittaa
tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman.Lisäksi tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensasupplementtikulmia.