geometrie computationala 2. preliminarii...
TRANSCRIPT
Platformă de e-learning și curriculă e-contentpentru învățământul superior tehnic
Geometrie computationala
2. Preliminarii geometrice
Preliminarii geometrice
Spatiu Euclidean: Ed
• Spatiu de d-tupluri, p = (x1,…,xd), de numere reale xi
inR numite puncte, unde d este dimensiunea spatiului.
• Metrica: o functie m: Ed × Ed R cu 3 proprietati:
1. m(p,p) = 0 identitate2. m(p1,p2) = m(p2,p1) simetrie3. m(p1,p3) ≤ m(p1,p2) + m(p2,p3) inegalitatea
triunghiurilor• Metrica distantei: functie in Ed × Ed
R astfel incat
2
2112121 ))()((||||),( pxpxppppd ii
d
i
Primitive geometrice
• Punct: tuplurile p = (x1,…,xd) sunt definite in raport cu un sistem de axe cu aceeasi origine. Pot fi interpretate si ca vectori.
• Linie: o combinatie liniara de doua puncte distincte.
• Segment: o linie marginita
• Plan: o combinatie liniara de d puncte
• Varietate liniara: o multime V pentru care orice combinatieliniara de doua puncte din V apartine multimii V.
Rpp 21 )1(
]1,0[)1( 21 pp
11
)...1(... 11112211
dj
pppp
j
dddd
Multimi
• O multime de puncte S este conexa daca nu este reuniunea a doua multimi disjuncte nenule.
• Granita unei multimi S este o submultime a punctelor pentru care exista un punct vecin la distanta ε 0 ce nu se afla in S.
• Teorema lui Jordan: orice curba simpla inchisa (nu se intersecteaza cu ea insasi) partitioneaza planul in doua regiuni disjuncte. Exteriorul este nemarginit, iar interiorul este marginit.
exterior
interiorp1
p2
Multime convexa
• O multime S a lui Ed este convexa daca si numai daca pentru toate p1, p2 din S toate punctele din segmentul p1p2 sunt in S.
(convexa) (nu este convexa)
• Teorema: intersectia a doua multimi convexe este convexa.
p1
p2
p1
p2
p1
p2
Infasuratoare convexa
• Infasuratoarea convexa CH(P) a unui set de puncteP in Ed este cea mai mica multime convexa ce contine P.
Echivalent: intersectia tuturor multimilor convexe ce contin P.
• In plan, infasuratoarea convexa este marginita de segmente liniare. In spatiu este marginita de planuri.
CH(P)
P
Poligoane
• Definitie: un poligon este o regiune a unui plan, marginita de o colectie finita de segmente liniare (muchii) ce formeaza curbe simple inchise unde fiecare punct final de segment (varf) este impartit de exact doua muchii.
muchii mij= (vi,vj)
varfuri vi = (xi,yi)
granite
Complexitatea poligonului: numarul de varfuri
Poligon simplu: o singura curba inchisa:1. Nici o pereche de muchii neconsecutive nu impart un varf.
2. Muchiile neadiacente nu se intersecteaza.
Poligon convex: Nici o linie intre oricare doua varfuri nu este inafara poligonului.
Tipuri de poligoane
P
diagonale
Tipuri de poligoane
Poligon stelat: un poligon simplu P astfel incat exista un punct p in interiorul sau astfel incat toate liniile din p catreorice punct q in P se afla in interiorul lui P.
Poligon monoton: un poligon P este monoton de-a lungul unei linii L daca si numai daca proiectia varfurilor sale pelinie pastreaza o ordine data a punctelor.
p
1
2
3
4
56
7
Poliedre
• Fetele neadiacente nu se intersecteaza
• Fetele adiacente impart un punct sau un segment
• Poligoanele definesc o suprafata inchisa
fete
muchii
varfuri
Definitie :
O multime finita de poligoane (numite fete) in
spatiu astfel incat fiecare muchie a unui poligon
este impartita de exact doua poligoane.
Exemple de non-poliedre
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Procesarea structurilor poligonale
▫ Reducerea/Simplificarea Mesh-urilor
▫ Generarea si simplificarea terenurilor
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Vizualizarea structurilor N-Dimensionale
▫ Proiectii N => N-1, Transformari N-Dimensionale
▫ Hiper-Primitive grafice
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Sistem de detectie a coliziunilor
▫ Detectie a coliziunilor volumelor de incadrare
▫ Structuri de incadrare ierarhice
▫ Detectie a coliziunilor componentelor
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Sistem de simulare interactiuni fizice
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Triangularizari Delaunay
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Diagrame Voronoi
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Curbe/Volume de Incadrare/Aproximare
▫ Variatii Alpha-Shape parametrizabile
▫ Constrangeri de ocolire/excludere
▫ “Infrumusetari” ale volumelor rezultate
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Caracteristici geometrice pentru clasificare
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Regiuni/Segmentare “Watershed”
Posibile arii de dezvoltare proiect
• Morfologie matematica