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Die Geometrie des Universums
Max Camenzind
Akademie Heidelberg
November 2014
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Komet 67P: Perihel: 1,2432 AE Aphel: 5,689 AE a = 3,463 AE e = 0,6412 P = 6,44 a i = 7,04 PRot = 12,4 h
Komet 67P
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67P Kometenbahn 2015
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Zusammenfassung der
5 Axiome Einsteins von 1915 • Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch
Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP) es existiert ein ds² zur Messung der Länge (= Eigenzeit) von Weltlinien.
• Einstein2: Gravitation wird durch den metrischen Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion).
• Einstein3: Testkörper (auch Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0 SEP erfüllt.
• Einstein4: Materieverteilung T in der RaumZeit be-stimmt die Krümmung Ricc – R g/2 = k T
• Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT EEP erf.
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Materie & Energie krümmen
die RaumZeit (Einstein 1915)
G: Newtonsche Konstante
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Energie-Impuls Tensor im
Ruhsystem der Materie Matrix
r: totale Massen-Energiedichte (Baryonen, Phot) p: totaler Druck; Photonen, ns: p = rc²/3
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Riemann-Tensor der RaumZeit
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Ricci-Tensor der RaumZeit
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ikikikik TcGgRgR )/8( 4
2
1
Krümmung Kosmol. Konstante Materie
Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)
+ Kosmologische Konstante 1917
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Ex1: RaumZeit eines Sterns
Sonne, Erde, Neutronensterne, SL
Symmetrie lässt
nur 2 Funktionen
frei:
F(r): „Gravitations-
potenzial“
B(r): Krümmung
des 3-Raumes
B(r) > 1: Volumen
größer als
Euklidisch
(r,f)-Fläche
ds² = exp(2F(r)) c²dt² - B²(r) dr² - r² (dq² + sin²q df²)]
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Gra
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Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbeson-dere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitations-wellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).
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Wie stellen Sie sich
unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur?
Antike Vorstellung
Van Gogh 1889 Das Moderne Universum
Einstein 1917
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H.P. Robertson
Amerikaner
A.G. Walker
Britisch
W. de Sitter
Holländer
Albert Einstein
Deutsch
A. Friedmann
Russe
G. Lemaître
Belgier
Allgemeine Herleitung der Metrik eines
isotropen und homogenen Universums in
ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)
Allgemeine
Relativität (1915);
Statisches, geschl.
Universum (1917)
Vakuum-Energie-
gefülltes expand.
Universum
“de Sitter” (1917)
Entwicklung eines homogenen,
expandierenden Universums
“Friedmann Modelle”
(1922/1924)
„Ur-Atom“ 1927 / 1931
hat den Big Bang erfunden
Väter des Modernen Universums
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Weder Erde noch Sonne
im Zentrum des Universums !
Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)
1. Wir befinden uns an keiner
ausgezeichneten Position des
Universums ( kein Zentrum).
2. Das Universum ist isotrop. Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!
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Iso
tro
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n-
ve
rte
ilu
ng
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f S
ph
äre
n
1998 –
2007 S
DS
S D
R7
420 M
pc
600 M
pc
Jeder Punkt
ist eine Galaxie
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Isotropie der CMB-Strahlung
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COBE 1993 – T-Anisotropien
2006
Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der
Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,
aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)
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WMAP Photosphäre isotrop Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´ 80 Mpc
DT < +-100 micro-Kelvin um <T> = 2,725 Kelvin
510T
T
D
Rot: wärmer
Blau: kühler
X
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Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells !
Jeder Beobachter sieht einen andern Teil
Galaxien-
Sphären
Kuiper-Gürtel
Planeten-Sphären
Photo-
Sphäre
Fixstern-
Sphären
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Wir sind
scheinbar
im Zentrum
des
Universums
r = 0
Jede
Kugel-
Schale:
r = const
Dr = 100 Mpc
Kugel-
schalen
expandieren
mit der Zeit
r a(t) r
Photosphäre des
Universums
3000 K
2,725 K
Galaxien-
Sphären
Big Bang Kosmische Sphären
r
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Ph
oto
sph
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Un
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C
MB
1965
Alter des Universums in Mrd. Jahren
Stra
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ngs-S
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381000 a 0
r = 0
? Modernes Universum
Kosmische Sphären je tiefer umso jünger
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• Wie sieht der Raum aus ds2 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Isotropie um jeden Punkt)
räumliche Krümmung
überall konstant.
• Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sattel – negative
Krümmung: K < 0
• 3-Sphäre – positive
Krümmung: K > 0
• Flacher E3 – keine
Krümmung: K = 0
Welche Geometrie hat Kosmos?
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RaumZeit expandierendes Universum
3 Friedmann-Lemaître Weltmodelle
Metrik ist diagonal (aus Symmetriegründen)!
a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes
R(t) : Radius des Universums zeitabhängig
Streckung des 3-Raumes in der Minkowski RaumZeit: r a(t) r ;
ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)]
Expansion der 3-Sphäre + Erweiterung auf RaumZeit / Friedmann 1922
ds² = c²dt² - a²(t) [dr² + r²(dq² + sin²q df²)]
Expansion der 3-Hyperboloid-RaumZeit / Friedmann 1924
ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)]
k = +1
k = -1
k = 0
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Die Geometrie des Universums
r,q,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).
t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren
im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).
dr = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).
Räumliche Krümmung {+1,0,-1}
Kugelschalen mit Radius a(t)r Abstand der Kugelschalen
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Der Krümmungsparameter
Wk = - kc²/(H0²R0²)
c/H0: Hubble Radius Falls R0 >> c/H0 Wk ~ 0
so erscheint das Universum fast flach! Konsequenz aus Inflation
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• Dieses Friedmann-Modell des expandier-enden Universums erklärt folgendes:
• 1. wie Photonen im Universum propagieren globale Lichtkegelstruktur;
• 2. die kosmische Rotverschiebung z;
• 3. das Hubble-Gesetz und seine nicht-lineare Erweiterung für z > 0,1;
• 4. Distanzen im Universum als Func(z);
• 5. Winkeldurchmesser als Func(z).
• 6. Alter des Universums als Func(z).
Das Friedmann-Universum erklärt
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• Das Universum ist eine 4 dim. Mannigfaltigkeit, sprich RaumZeit, salopp „eine 4D Fläche“.
• Die Isotropie der Materieverteilung lässt nur 3 Modelle zu: E³, 3-Sphäre & 3-Hyperboloid. Dies kann mathematisch genau erschlossen werden.
• zum sog. Krümmungsparameter k = 0,+1,-1.
• Es existiert eine ausgezeichnete Zeit t, eine sog. geodätische Zeit.
• Galaxien werden durch ihren Abstand r und 2 Winkel bestimmt: Rektaszension und Deklination.
• Der einzige Freiheitsgrad: Expansionsskalar a(t)
Fazit