BD001 - Základy stavebńı mechaniky Řešený př́ıklad COVID #5: šikmý lomený nosńık

Výpočet a vykreslováńı vnitřńıch sil na prutech lomeného nosńıku se šikmým prutem.

Geometrie konstrukce a zat́ıžeńı

Spojité zat́ıžeńı na p̊udorysný pr̊umět:

Svislé zat́ıžeńı (např. sněhem) na p̊udorysný pr̊umětje standardńı rovnoměrné spojité zat́ıžeńı s intenzitouq = 4 kN/m, které p̊usob́ı na š́ı̌rce 5 m. Jeho náhradńıbřemeno je tedy Q = 4 · 5 = 20 kN a p̊usob́ı v těžǐstizatěžovaćıho obrazce.Spojité zat́ıžeńı q ale nereprezentuje skutečný sńıh(např. lež́ıćı na střeše). Tento je znázorněn spojitýmzat́ıžeńım qs, které je již ale rozprostřeno na š́ı̌rcestřechy ls, na kterou sńıh napadl.Samozřejmě, že spojité zat́ıžeńı q i qs znázorňuje tensamý sńıh: q udává sṕı̌se intenzitu sněžeńı, qs repre-zentuje již vrstvu sněhu lež́ıćı na střeše.Je zřejmé, že náhradńı břemeno Qs muśı být rovnoQ. Neznáme ale intenzitu qs - ta bude evidentně nižš́ınež q, nebot’ Qs je rozprostřeno na větš́ı š́ı̌rce než Q.

V zadáńı vid́ıme dva podobné pravoúhlé trojúhelńıky:(1) pod šikmou část́ı a-c (š́ı̌rka 6 m, výška 3 m) a (2)pod spojitým zat́ıžeńım a-d (š́ı̌rka 5 m, výška 3 · 5/6,přepona ls).Tedy ls =

√52 + (3 · 5/6)2 = 5,590 m.

Intenzitu qs źıskáme ze znalosti Q=Qs a ls.Tedy Qs = 20 = qs · ls ⇒ qs = 3,578 kN/m.Pro řešeńı reakćı můžeme bez rozd́ılu použ́ıt Q neboQs, obě maj́ı stejnou velikost, směr i p̊usobǐstě (vevodorovném směru). Zat́ıžeńı qs ale budeme pozdějipotřebovat pro pr̊uběhy vnitřńıch sil.

Rozklad šikmých sil na pravoúhlé složky:

F1,x = F1 · sin(20◦) = 0,684 kN→F1,z = F1 · cos(20◦) = 1,879 kN ↓

Řešeńı reakćı: Ra,x →, Ra,z ↑, Rb,z ↑:∑Fi,x = 0

Ra,x + F1,x = 0Ra,x = −0,684 kN∑Fi,z = 0

−Ra,z −Rb,z +Q+ F1,z = 0Ra,z +Rb,z = 21,879 kN∑Mi,a = 0

Rb,z · 10− F1,z · 8 +pozor!︷ ︸︸ ︷F1,x · 3−Q · 2,5 = 0

Rb,z = 6,708 kN∑Mi,b = 0

−Ra,z · 10 +pozor!︷ ︸︸ ︷Ra,x · 3 +Q · 7,5 + F1,z · 2 = 0

Ra,z = 15,171 kN

Kontrola: Ra,z +Rb,z = 21,879 kN

Jan Mašek, STM FAST Dotazy nebo nalezené chyby neváhejte psát na: jan.masek1@vut.cz

BD001 - Základy stavebńı mechaniky Řešený př́ıklad COVID #5: šikmý lomený nosńık

Výpočet vnitřńıch sil, rozklad do směr̊ukonvence:Při výpočtu vnitřńıch sil budeme postupovat,jak bylo vysvětleno v př́ıkladu pravoúhléholomeného nosńıku. Pro každý prut budemepouž́ıvat jeho odpov́ıdaj́ıćı konvenci vnitřńıchsil podle určených dolńıch vláken. Při výpočtubude proto zapotřeb́ı zat́ıžeńı, které neńı př́ımove směru konvence vnitřńı sil, rozložit na složkuve směru prutu (normálovou) a kolmo na prut(posouvaj́ıćı), a to pro každý prut.

Toto plat́ı zejména v př́ıpadě šikmého prutua-c. Každou z osamělých sil je zapotřeb́ı rozložitdo směru ve směru šikmého prutu (složka N)a kolmo na šikmý prut (složka V). Protožebudeme vnitřńı śıly na šikmém prutu řešitzleva, postač́ı nám takto rozložit pouze śılyRa,x a Ra,z.

Ze zadáńı vid́ıme, že α = arctg(3/6) = 26,565◦.Ra,x,N = Ra,x · cos(α) = −0,611 kNRa,x,V = Ra,x · sin(α) = −0,306 kNRa,z,N = Ra,x · sin(α) = 6,785 kNRa,z,V = Ra,x · cos(α) = 13,569 kN

Pro řešeńı zprava a nebo pro kontrolu můžetevyzkoušet výpočet s rozkladem sil Rb,z, F1,x aF1,z, viz obrázek.

Spojité zat́ıžeńı qs je zapotřeb́ı rozložit na jehonormálovou složku qn a na posouvaj́ıćı složkuqv.Tedy:qs,n = qs · sin(26,565◦) = 1,6 kN/mqs,v = qs · cos(26,565◦) = 3,2 kN/m

Stejným zp̊usobem lze rozložit i náhradńıbřemeno Qs na:Qs,N = Qs · sin(26,565◦) = 8,944 kNQs,V = Qs · cos(26,565◦) = 17,889 kN

Jan Mašek, STM FAST Dotazy nebo nalezené chyby neváhejte psát na: jan.masek1@vut.cz

BD001 - Základy stavebńı mechaniky Řešený př́ıklad COVID #5: šikmý lomený nosńık

Výpočet normálových vnitřńıch sil:Začněme v bodě a na začátku šikmého prutu. Sečtěmevšechny normálové śıly p̊usob́ıćı ve směru prutu a-czleva (podle konvence zleva, viz výše):NLa = −Ra,x,N −Ra,z,N = −6,174 kN

Dále na prutu a-c p̊usob́ı konstantńı spojité normálovézat́ıžeńı qs,N na délce ls. Jeho p̊usobeńı je podle kon-vence zleva kladné. Intenzita qs,n = 1,6 kN/m. K hod-notě NLa se bude tedy postupně přič́ıtat normálová śıla1,6 kN na každý metr. Celkově se přičte celé náhradńıbřemeno Qs,N . Hodnota normálové śıly na v mı́stě dpotom bude:NLd = −Ra,x,N −Ra,z,N + qs,N · ls︸ ︷︷ ︸

Qs,N

= 2,770 kN

Normálová śıla na konci prutu zústává beze změnyNLc = −Ra,x,N −Ra,z,N + qs · ls︸ ︷︷ ︸

Qs,N

= 2,770 kN

Rovnováhu ve styčńıku c ověř́ıme později.Vnitřńı śıly na vodorovném prutu c-b budeme řešitjednodušeji zprava.Hodnota normálových sil na úseku b − F1 muśıbýt nulová, nebot’ v podpoře b nep̊usob́ı vodorovnáreakce. V p̊usobǐsti śıly F1,x se vnitřńı normálováśıla v prutu změńı na hodnotu 0,684 kN, protože F1,xp̊usob́ı v kladném směru konvence zprava, viz výše.

Výpočet posouvaj́ıćıch vnitřńıch sil:Opět začneme na v bodě a na začátku šikmého prutu.Sečteme všechny posouvaj́ıćı śıly podle konvencešikmého prutu zleva:V La = −Ra,x,V +Ra,z,V = 13,875 kN

Dále na prutu a-c p̊usob́ı spojité rovnoměrnézat́ıžeńı qs,v. Podle konvence p̊usob́ı záporně. Od hod-noty V La se bude tedy postupně odeč́ıtat posouvaj́ıćıśıla 3,2 kN na každý metr. Celkově se odečte celénáhradńı břemeno Qs,V . Hodnota posouvaj́ıćı śıly nav mı́stě d potom bude:V Ld = −Ra,x,V +Ra,z,V − qs,V · ls︸ ︷︷ ︸

Qs,V

= −4,014 kN

Posouvaj́ıćı śıla na konci prutu z̊ustává bezezměny:V Lc = −Ra,x,V +Ra,z,V − qs,V · ls︸ ︷︷ ︸

Qs,V

= −4,014 kN

Rovnováhu ve styčńıku c ověř́ıme později.Pr̊uběh posouvaj́ıćıch sil na prutu c-b je již snadný.Zde řeš́ıme zprava:V Pb = −Rb,z = −6,708 kNV PF1 = −Rb,z + F1,z = −4,829 kNV Pc = −Rb,z + F1,z = −4,829 kN

Jan Mašek, STM FAST Dotazy nebo nalezené chyby neváhejte psát na: jan.masek1@vut.cz

BD001 - Základy stavebńı mechaniky Řešený př́ıklad COVID #5: šikmý lomený nosńık

Zbývá ještě poloha přechodového pr̊uřezu xp.Zde použijeme pouze posouvaj́ıćı složku qs,V .Tedy: xp = 13,875/qs,V = 4,336 m.Jedná se o šikmou kótu podél prutu a-c!Jej́ı vodorovný pr̊umět lze dopoč́ıtat jako:xhorizp = xp · cos(α) = 3,878 m.Jej́ı svislý pr̊umět lze dopoč́ıtat jako:xvertp = xp · sin(α) = 1,939 m.

Výpočet ohybových moment̊u:Při řešeńı hodnot ohybových moment̊u postupujemezcela identicky jako doposud. Šikmost nosńık̊u nemána momentovou konvenci vliv. Jak jsme si ukázali vpředchoźım př́ıkladu, rotace prutu nemá na konvenciohybových moment̊u vliv.Hodnoty na prutu a-c vyřeš́ıme opět zleva:

MLa = 0 kNm

MLp = −Ra,x · xvertp +Ra,z · xhorizp −

pozor!︷ ︸︸ ︷q · xhorizp ·

xhorizp2

MLp = 30,082 kNm

nebo také:

MLp = −Ra,x · xvertp +Ra,z · xhorizp −

pozor!︷ ︸︸ ︷qs · xp ·

xhorizp2

MLp = 30,077 kNm

nebo také (pozor!):

MLp = −Ra,x,V · xp +Ra,z,V · xp − qs,V · xp ·xp

2MLp = 30,081 kNm

nebo také integrál po střednici prutu a-c:MLp =

∫ pa V (s)ds+ CM

MLp = 13,875 · xp/2 + 0MLp = 30,081 kNm

MLd = −Ra,x · (3 ·5

6) +Ra,z · 5− q · 5 ·

5

2MLd = 27,565 kNm

MLc = −Ra,x · 3 +Ra,z · 6− q · 5 · (2,5 + 1)MLc = 23,074 kNm

Hodnoty na prutu c-b vyřeš́ıme jednodušeji zprava:MPb = 0 kNmMPF1 = Rb,z · 2 = 13,416 kNmMPc = Rb,z · 4− F1,z · 2 = 23,074 kNm

Jan Mašek, STM FAST Dotazy nebo nalezené chyby neváhejte psát na: jan.masek1@vut.cz

BD001 - Základy stavebńı mechaniky Řešený př́ıklad COVID #5: šikmý lomený nosńık

Rovnováha ve styku prut̊u a-c a c-b:Jako posledńı ověř́ıme rovnováhu rámového styčńıkuc, kde se stýkaj́ı pruty a-c a c-b.Na konci šikmého prutu a-c jsme určili hodnotyvnitřńıch sil:NLc = 2,770 kNV Lc = −4,014 kNMLc = 23,074 kNm

Na začátku vodorovného prutu c-b jsme určilihodnoty vnitřńıch sil:Npc = 0,684 kNV Pc = −4,829 kNMLc = 23,074 kNm

Styčńık c muśı být v rovnováze, tedy na něm muśıplatit podmı́nky rovnováhy: vnitřńı śıly zleva vy-rovnávaj́ı vnitřńı śıly zprava. Narozd́ıl od př́ıméhoprutu nemůžeme ale př́ımo ř́ıci, že NLc = N

pc ,

V Lc = Vpc a MLc = M

pc , protože vnitřńı śıly zleva

a zprava jsou spoč́ıtány podle konvenćı r̊uzných směr̊u.

Rovnováhu styčńıku muśıme řešit v jednotnémsouřadném systému, např́ıklad x→ a z ↓.Śıly NLc , V

Lc , N

Pc a V

Pc rozlož́ıme na pravoúhlé složky:

NLc,x = NLc · cos(α) = 2,478 kN

NLc,z = NLc · sin(α) = 1,239 kN

V Lc,x = VLc · sin(α) = −1,795 kN

V Lc,z = VLc · cos(α) = −3,590 kN

NPc,x = NPc

V Pc,z = VPc

Nyńı můžeme zkontrolovat, zda plat́ı podmı́nkyrovnováhy svazku sil p̊usob́ıćıch ve styčńıku c:∑Fi,x = 0

NPc,x −NLc,x − V Lc,x = 00,684− 2,478− (−1,795) = 0∑Fi,z = 0

V Pc,z +NLc,z − V Lc,z = 0

(−4,829) + 1,239− (−3,590) = 0

Konvence ohybových moment̊u neńı rotaćı nosńık̊uovlivněna. Protože oba nosńıky maj́ı dolńı vlákna ve-spod, zde shodou okolnost́ı plat́ı MLc = M

pc . Obecně

však toto neplat́ı, např́ıklad kdyby nosńık c-b mělurčena dolńı vlákna nahoře.Pro pořádek zvolme jako kladný směr otáčeńı směrproti hodinám. Potom:∑Mi,c = 0

−McL +McP = 0−23,074 + 23,074 = 0

Jan Mašek, STM FAST Dotazy nebo nalezené chyby neváhejte psát na: jan.masek1@vut.cz

BD001 - Základy stavebńı mechaniky Řešený př́ıklad COVID #5: šikmý lomený nosńık

Jan Mašek, STM FAST Dotazy nebo nalezené chyby neváhejte psát na: jan.masek1@vut.cz