geometrie raspunsuri
DESCRIPTION
cursTRANSCRIPT
-
1.Fie punctele A(2,4,1), B(3,7,5) si C(4,10,9). Sa se calculeze .
2. Fie punctele A(1,-1,2), B(5,-6,2) si C(1,3,-1).
3. Determinati scalarii astfel incat punctele A(2, ,1), B(3,7,5), C( ,10,9) sa fie coliniare.
4. Fie punctele A(1,2,-1), B(0,1,5),C(-1,2,1), D(2,1,3). Sa se calculeze produsul mixt .
5. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8). Sa se calculeze produsul mixt .
6. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7). Sa se calculeze distanta de la C la AB, notata d(C,AB).
7. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8). Sa se calculeze distanta de la C la planul (ABC), notata d(C,(ABC)).
8. Fie punctele A(1,1,-3), B(2,-1,1),C(3,3,1), D(-1,4,2). Sa se calculeze produsul mixt .
9.Fie punctele A(1,1,-3), B(2,-1,1),C(3,3,1). Sa se calculeze aria triunghiului ABC
10. Fie punctele A(-1,1,2), B(2,3,-1),C(1,-2,0). Sa se calculeze aria triunghiului ABC
11. Fie punctele A(-1,1,2), B(2,3,-1),C(1,-2,0). Sa se calculeze cosinusul unghiului A.
12. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1). Sa se calculeze aria triunghiului ABC
13. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1).
Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC
14. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1). Sa se calculeze cosinusul unghiului A.
15. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1),D(4,1,3) Sa se calculeze distanta de la D la planul (ABC).
16. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4), Sa se calculeze modulul produsului vectorial .
17. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4), Sa se calculeze aria triunghiului ABC
18. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4), Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.
19. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4), Sa se calculeze aria triunghiului ABC.
=0=15i+12j+16k
= prima=4 , adoua=1
=0
=308
=1
-
20. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4), Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.
21. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4), Sa se calculeze modulul produsului vectorial
22. Fie punctele A(1,-1,2), B(5,-6,2),C(1,3,-1), Sa se calculeze modulul produsului vectorial
23. Fie vectorii si , . Determinati . astfel incat vectorii si sa fie coliniari .
24.Fie vectorii
,
unde sunt necoplanari. Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt adevarate:
25. Fie trei vectori . Notam prin
.Sa se calculeze
26. Vectorii formeaza intre ei un unghi de masura si au lungimile egale
respectiv cu . Caculati .
27. Vectorii formeaza intre ei un unghi de masura si au lungimile egale
respectiv cu .Caculati .
28. Vectorii formeaza intre ei un unghi de masura si au lungimile egale
respectiv cu .
.Caculati .
=25
29. Fie a.i. . Sa se calculeze .
30. Fie a.i. . Sa se calculeze .
=0=0
31. Se dau vectorii avand lungimile respectiv . Sa se
calculeze .
32. Se dau vectorii avand lungimile respectiv . Sa se
calculeze
33. Se dau vectorii avand lungimile respectiv . Sa se
calculeze
34. Se dau vectorii avand lungimile respectiv . Sa se
calculeze
=22
=24
=20
=22
-
35. Fie vectorii . Sa se calculeze proiectia vectorului pe axa Ox .
36. Fie vectorii . Sa se calculeze proiectia vectorului pe axa Ox .
37. Fie vectorii . Sa se calculeze proiectia vectorului pe planul yOz .
38. Fie vectorii . Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe laturile vectorilor .
39. Sa se determine scalarii , pentru care vectorii sunt coliniari.
=1=5
40.Sa se determine scalarii , pentru care vectorii
sunt necoliniari.
41.Sa se determine scalarii , pentru care vectorii
coplanari. Atunci:
42. Sa se determine scalarii , , pentru care vectorii sa fie coplanari.
43. Fie vectorii .
Sa se determine relatia dintre , , astfel incat vectorii sa fie
necoplanari
44. Fie vectorii . Sa se descompuna vectorul dupa directiile vectorilor .
45. Fie vectorii . Sa se descompuna vectorul dupa directiile vectorilor .
46. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si . Sa se calculeze AM.
47. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si bisectoarea unghiului A unde . Sa se calculeze AD .
AD= b2
_____
a+b
48. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si a.i .
Sa se calculeze AM.
49. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si a.i .
Sa se calculeze AM
(1-k)a+kb->->
a+bkk+1
_________
->->
-
50. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si a.i .
Sa calculeze AM.
51. Se da triunghiul ABC in care AB si AC si a.i .
Sa se calculeze AM
52. Se dau vectorii care fac intre ei doi cate doi un unghi de masura . Sa se determine modulul vectorului stiind ca .
53. Se dau vectorii care care satisfac conditia . Sa se calculeze stiind ca .
54. Se dau vectorii unitate care care satisfac conditia . Sa se calculeze .
55. Ce conditie trebuie sa indeplineasca vectorii din 3 diferiti de vectorul pentru ca sa existe egalitatea
56. Fie vectorii necoliniari. Sa se stabileasca pozitia vectorului fata
de vectorii si .
57. Fie vectorii necoplanari. Sa se stabileasca pozitia vectorului fata de vectorii
si .
58. Fie vectorii , Sa se determine determine proiectia vectorului pe dreapta suport a vectorului .
59. Fie punctele , , si . Sa se determine distanta h de la punctul D la planul utilizand doar operatiile cu vectori.
60. Fie punctele , , si . Sa se determine distanta h de la punctul D la planul utilizand doar operatiile cu vectori.
61. Sa se determine sinusul unghiului format de vectorii
si .
62. Sa se determine parametrul real pentru care vectorii
si sunt perpendiculari.
63. Sa se determine parametrii reali pentru care vectorii
si sunt perpendiculari.
64. Sa se gaseasca un vector coliniar cu vectorul astfel incat
AM= 2ak-bk+a_____k+1
=ka+(1-k)b
alfa=-13
alfa = -3/2Vectori independenti a,b,c aparitn V3
Coliniar cu a
Se vor intersecta
= 18/5Radical din 3 / 32 radical 3 / 3
sinx = (4 radical 26) / 21= - 6
beta = alfa ; beta = (x-6) /2 ; alfa apartine R
X=i + (1/2)j-(1/2)k
-
65. Se dau vectorii . Determinati vectorul stiind ca este ortogonal pe axa Oz si verifica relatiile:
66. Se dau vectorii . Determinati vectorul stiind ca verifica relatiile:
67. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta de ecuatie .
68. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta avand cosinusii directori .
69. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz respectiv unghiurile iar, cu axa Oy un unghi ascutit.
70. Sa se determine proiectia vectorului a i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz respectiv unghiurile iar, cu axa Oy un unghi ascutit .
71. Sa se determine proiectia vectorului determinat de punctele pe dreapta care face cu axele Ox, Oy respectiv unghiurile iar, cu axa Oz un unghi obtuz .
72. Calculati proiectia vectorului pe dreapta suport a vectorului .
73. Se dau vectorii . Calculati
74. Se dau vectorii . Calculati
75. Se dau punctele . Sa se calculeze proiectia vectorului AB pe directia vectorului CD.
76. Se dau vectorii care formeaza intre ei un unghi de masura . Sa se determine
stind ca .
77. Se dau si . Calculati
78. Se dau si . Calculati
79. Vectorii sunt ortogonali. Sa se calculeze
stiind ca .
80. Vectorii formeaza intre ei un unghi de masura . Calculati numerele:
stiind ca .
stiind ca .
x=2i-3jx=2i+3j-2k
=3
= 0
=-6/radical 7=(radical 2 + 8 ) / (radical 7 )
=(2 radical 82)/41=6
=(- 60) / 13
=5
ab = - 47 / 7
a x b = 15a x b = 16
a . b = 30
=radical 7081
p=3;q=39;r = 3999/4
-
81. Fie vectorii necoliniari a.i. . Sa se calculeze .
82. Fie vectorii si . Sa se calculeze p.
83. Fie vectorii a.i . Sa se stabileasca pozitia vectorului a fata de
vectorul b
.
84. Se dau vectorii oarecare . Sa se demonstreze ca vectorii
sunt coplanari.
85. Se dau vectorii oarecare care verifica egalitatea . Sa se demonstreze ca
86. Se dau vectorii oarecare care verifica egalitatile:
.
Sa se verifice daca vectorii sunt coliniari, respectiv coplanari.
87. Se dau vectorii oarecare care verifica egalitatile:
.
Sa se verifice daca vectorii sunt coliniari, respectiv coplanari.
88. Fie vectorii Sa se calculeze:
89. Se dau punctele Calculati:
90. Se dau punctele Calculati aria triunghiului .
91. Se dau punctele Calculati lungimea inaltimii duse din pe latura
92. Calculati sinusul unghiului format de vectorii si .
93. Vectorul este ortogonal pe vectorii si si formeaza cu axa un unghi obtuz. Determinati coordonatele vectorului stiind ca
94. Un vector , ortogonal pe axa si pe vectorul , formeaza cu axa un unghi ascutit. Determinati coordonatele vectorului stiind ca .
95. Determinati un vector , perpendicular pe vectorii si , care satisface conditia
.
96. Fie vectorii Sa se calculeze
97. Fie vectorii Sa se calculeze
=1
= | a . b | la puterea 2
a=|p| * |s| * sinf1 ;b=|g| * |s| * sinf2 c=|r| * |s| * sinf3
=Adevarat
=Colinari
=Colinari
p = si+j+7k ;q=(7i-5k) * b ; i = 20i +4j+28kp=6i-4j-6kq=12i+8j+12k
=28
h=(14 radical 13 )/ 13sinf =( 5 radical 17) / 21
x=6i-24j+8kx=45i-24j
x=7i+5j+k
p= -42 ; q = 42
p=-7i+14j-7kq=10i+13j+19k
-
98. Fie un triedru avand ca directii vectorii , ortogonali doi cate doi. Calculati produsul mixt stiind ca .
99. Vectorul este ortogonal pe vectorii care formeaza intre ei un unghi de masura .
Calculati produsul mixt stiind ca .
100. Fie trei vectori si produsul mixt al lor. Notam:
.
Sa se stabileasca semnul lui p.
101. Fie trei vectori iar, produsul scalar, respectiv produsul mixt al lor. Sa se calculeze
, .
102. Fie trei vectori iar . Stabiliti ce implica .
103. Sa se dea o conditie necesara si sufucienta ca vectorii sa fie fie coplanari .
104. Fie trei vectori arbitrari iar
.
Sa se arate ca =
105. Fie trei vectori . Sa se determine
106. Sa se verifice daca punctele sunt coplanare. 107. Fie vectorii
.
Stabiliti pozitiile vectorilor . 108.Fie vectorii
.
Stabiliti pozitiile vectorilor .
109.Fie vectorii .
Stabiliti pozitiile vectorilor .
111. Fie punctele . Sa se calculeze distanta de la punctul D la planul .
112. Se da un tetraedru de volum . Se dau coordonatele varfurilor , ,
Sa se determine coordonatele punctului D stiind ca este situat pe axa .
113. Sa se determine scrierea vectorului in functie de vectorii si .
114. Sa se determine descompunerea vectorului dupa directiile vectorilor
si .
115. Sa se determine descompunerea vectorului dupa directiile vectorilor
si .
=8
= (27 radical 7) / 2
p > 0
p=|a|*|b|*sinf*a+|a|*|b|*sinf*ub+|a|*|b|*sinfc
a || b || c => a,b,c coincida*b+b*c+a*c=0
=Fals
=-7=Adevarat
a || b || ca,b,c Necomplementarea || b || c
=11d=( (3 radical 5 ) / 2 , 0, 0 )
a=3b-2cc=(1/2)a+(3/4)b
v=a+2b+4c
-
1.Fie , spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R . Sa se scrie scrie ecuatia planului care trece prin originea reperului i are subspatiul director determinat de vectorii 1 1 2 3v e e e= + + i 2 1 2 3v e e e= + .
2. Fie , spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R .Sa se scrie ecuatia generala a planului ce trece prin punctul ( )0 2,1, 1P i are directia determinata de vectorii
1 1 2 33v e e e= + + i 2 1 2 32v e e e= +.
3. Fie , spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R .Sa se scrie ecuatia generala a planului ce trece prin punctul ( )0 5, 3, 2Q i este paralel cu planul
1 3x Ox .
4. In spatiul afin real , spatiul afin real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R , se considera dreptele afine:
( )1 2 3
1 1 2 3
2 4 0:
2 2 0x x x
dx x x
+ = + + =
i ( )1 2 3
22 3 1
:2 2 5
x x xd + += =
Sa se scrie ecuatiile generale ale dreptelor care se sprijina pe ( )1d i ( )2d i au subspatiul director, vectorul 1 2 32v e e e= + + .
5. In spatiul afin real , spatiul afin real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R , se considera dreptele de ecuatii:
( )1 2 31 2 1
: 1 1 2
x x xd += =
i ( )1 2 31 3 1
: 2 2 4
x x xd + + = =
Sa se determine distanta antre dreptele ( ) ( ) i d d
6. Ce reprezinta ecuatia in ?
7. In spatiul afin real raportat la reperul cartezian { }1 2 3; , ,O e e e=R , se considera dreptele de ecuatii:
( )1 2 31 2 1
: 1 1 2
x x xd += =
i
Sa se determine pozitia relativa a dreptelor ( ) ( ) i d d
8. Ce reprezinta ecuatia in ?
9. Ce reprezinta multimea punctelor care verifica:
?
10. Ce reprezinta multimea punctelor care verifica:
?
x prim - x la puterea 3 = 0
=x la puterea 3 - 2 =0
distanta = ( radical 103 ) / 4Ecuatia plonului paralel cu axa oz
d || d primEcuatia plonului paralel cu axa ozUn plan in R la puterea 3
Doua planeMultima punctelor comploane ce apratin planului
ax+by+cz+d=0 11. Este situat in plan punctul care verifica ecuatia
Adevarat Un punt ce apartine planului
-
12. Este situat in plan punctul care verifica ecuatia
13. Ce reprezinta multimea punctelor care verifica ecuatia
14. Care dintre ecuatiile urmatoare reprezinta ecuatiile parametrice ale planului ce trece prin punctul si are directiile :
(1) (2)
.
15. Sa se precizeze ecuatia planului sub forma de determinant ce trece prin prin punctele , si este paralel cu vectorul .
16. Sa se precizeze ecuatia planului sub forma de determinant ce trece prin prin punctul si are directiile
.
17. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul si este paralel cu planul
.
18. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctul si este paralel cu planul .
19. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctele si si este paralel cu vectorul .
20. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctele si si este perpendicular pe planul .
21. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctele .
22. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:
23. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:
24. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:
si
25. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:
si
26. Sa se determine intersectia planelor:
si
27. Sa se determine unghiul diedrul al planelor:
si
28. Sa se determine unghiul diedru al planelor:
si
29. Sa se determine unghiul diedrul al planelor: si
30. Sa se determine unghiul diedru al planelor: si
31. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele:
si sa fie paralele.
32. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele: si sa fie paralele.
Adevara Pct M aparteine planului
Multitudian pct. apartin planuluia(x-x0)+b(y-y0)+c(z+z0)=0
=1
z-2=0Y=Y0
-9x+y+7z-40=0
4x-y-2z-9=03x+3y+z-8=0
n=2i-j-2kn=2i-k
Sunt paraleleNu se intersecteaza
M=((-7)/4,1,5/2) = Multime vidaFals,Planele sunt paralele
sunt perpediculareSunt paraleleSunt perpendiculare
l=3 , m=-4
l=3 , m=-2/3
-
33. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele:
si
sa fie perpendiculare.
34. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele:
si
sa fie perpendiculare.
35. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:
si .
36. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:
si .
37. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este paralel cu planul:
.
38. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este paralel cu planul:
39. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este paralel cu planul .
40. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si are normala data de directia dreaptei:
00
x
y=
=
.
41. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si are normala data de directia dreaptei:
42. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si are normala data de directia dreaptei:
43. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:
44. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:
.
45. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe planele:
, .
46. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este perpendicular pe planele:
si .
47. Care este pozitia relativa a planelor: , ,
48. Care este pozitia relativa a planelor:
, ,
49. Care este pozitia relativa a planelor: , ,
50. Determinati valorile parametrilor reali si a.i. planele: , ,
m= -27-6 ; l= -2
l=1 ; l=2 ;m= -(1/2) ; m= -1alfa=2 pi / 3 = 60g
alfa=(radical 2) / 20 = 45 G5x-3x+2z=0
2x-3z-27=0z+1=0
z+1=0
x-2y-5=0
2x-2z=0
Y=0zx-y-5z=0
2x+2z=0
x-y-z=0
Au un punct comun
Au o dreapta comuna
a 7 ; b= -8sa aibe un punct comun.
-
51. Determinati valorile parametrilor reali si a.i. planele: , ,
sa aibe o dreapta comuna.
52. Determinati valorile parametrilor reali si a.i. planele: , ,
sa fie secante doua cate doua.
53. Sa se determine planul care taie axele de coordonate in punctele in care planele , intersecteaza respectiv, aceste axe.
54. Sa se scrie ecuatia planului perpendicular pe planul si taie axele si
in punctele respectiv, .
55. Sa se stabileasca pozitia punctului fata de planul .
56. Sa se stabileasca pozitia punctului fata de planul .
57.Sa se stabileasca pozitia dreptei
fata de planul
.
58. Sa se stabileasca pozitia dreptei
fata de planul
.
59. Sa se stabileasca pozitia dreptei
fata de planul
60. Sa se calculeze distanta de la punctul la planul
.
61. Sa se calculeze unghiurile formate de normala la planul
cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan.
62. Sa se calculeze unghiurile formate de normala la planul
cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan.
63. Sa se calculeze unghiurile formate de normala la planul
cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan.
64. Sa se calculeze distanta d de la punctul la planul ce trece prin punctele , .
65. Sa se calculeze distanta d dintre planele:
, .
66. Sa se calculeze distanta d dintre planele:
,
67. Doua fete ale unui cub coincid cu planele
si .
Calculati volumul V al cubului.
Calculati volumul V al cubului.
68. Sa se determine un punct pe axa situat la distanta de planul
69. Sa se determine un punct pe axa echidistant cu punctul si cu planul
70. Sa se determine un punct pe axa echidistant cu planele si
a 7 ; b= -8
a=7 ; b3x+y+z-1=0
x=3y-2z+2=0M Nu apartine palnului
M apartine planului
Drepata nu este paralela cu planul
Dreapta este paralele
Drepata nu este paralela cu planul
d=16/(radical 14)
Alfa=60g;beta=45g;gama=60g;p=5
Alfa=60g;beta=120g;gama=135g;p=8
Alfa=45g;beta=90g;gama=45g;p=3rad2d=4 d=2
d= 7/2v=8
a= (0,7,0)
A(0,0,-2) ; B(0,0,-(82/13))x=640/3609
-
71.Sa se scrie ecuatiile dreptelor de intersectie ale planului
cu planele de coordonate.
72. Ce axa de coordonate contine dreapta
73. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor
,
si este paralela cu axa .
74. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor ,
si este paralela cu axa .
75. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor ,
si este paralela cu axa .
76. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor
,
si contine punctul .
77. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor
,
,
una din directiile sale fiind vectorul
.
78. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor
,
si este perpendiculara pe planul
.
79. Se da ecuatia unui plan 2 3 6 0x y z+ =
Sa se scrie ecuatia sa prin taieturi.
80. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta
si este perpendiculara vectorul , de extremitati
.
81. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor
,
una din directiile sale fiind vectorul
.
83. Sa se scrie proiectiile dreptei
pe planul
.
84.Sa se scrie ecuatia planului care trece prin dreapta si este paralel
cu dreapta
85. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei
86. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei
87. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si are ca directie vectorul .
A=(0,-2,0) => contine axa oyy-z-12=0
x+z-3=015z-45=0
23x-2y+21z-33=0
5x-5z-8-0
7x-14y+7z-23=0(x/6)+(y/3)-(z/2)-1=0
9y+7y+8z+7=0
x+3y-2z+5=0 82. Sa se scrie proiectiile dreptei
pe planele de coordonate.
(x-2)/(-1)=(y+2)/1=(z-2)/(-1)r =(i-(2/3)k)+2(i+k)
(x-2)/(-2)=Y/3=(z+3)/(-5)
-
88. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu dreapta
89. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu dreapta
.
90. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu axa
91. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu axa
92. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul si este paralela cu axa
93. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctele si .
94. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei
.
95. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei
.
96. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale planului
97. Fie triunghiul de varfuri sa se scrie ecuatiile parametrice ale medianei dusa din varful C.
98. Fie triunghiul de varfuri sa se scrie ecuatiile canonice ale bisectoarei interioare unghiului B.
99. Sa se determine cosinusul unghiului format de dreptele
si
100. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta
si este paralela cu dreapta
canonica a unei conice este prezentata in [ 1].
(x-1)/(-5)=y/(-2)=(z+3)/(+1)
(x-1)/(-3)=(y+1)/2=(z+3)/(-3)
(x-2)/(-1)=y/0=(z+3)/0(x-2)/0=y/(-1)=(z+3)/0(x-2)/0=y/0=(z+3)/(-1)
(x-1)/2=(y+2)/3=(z-1)/2r=(i+2t)i+(-2+3t)j+(i+2t)k
r=(0,0,1)+gama(0,0,1) ; r=K
x=5t+4 ;y=-11t-7 ;z=-2
(x-1)/(-1)=(y-2)/3=(z+3)/8
cosf=-+(4/21)
x-y+z+1=0
-
1. Fie conica
Sa se precizeze natura conicei, sa se reduca la forma canonica si sa se calculeze centrul ei.
2. Fie conica
Sa se precizeze natura conicei, sa se reduca la forma canonica si sa se calculeze centrul ei.
3. Fie conica
Sa se precizeze natura conicei si sa se reduca la forma canonica
4. Sa se reduca la forma canonica conica
.
5. Sa se reduca la forma canonica conica
.
6. Sa se reduca la forma canonica conica
.
7. Sa se reduca la forma canonica conica
.
8. Sa se reduca la forma canonica conica
.
9. Sa se reduca la forma canonica conica
.
10. Sa se reduca la forma canonica conica
.
11. Sa se reduca la forma canonica conica
.
12. Sa se reduca la forma canonica conica
.
13. Sa se reduca la forma canonica conica
.
14. Sa se reduca la forma canonica conica
.
15. Sa se reduca la forma canonica conica
.
16. Sa se precizeze natura conicei
si sa scrie ecuatiile tangentelor paralele cu dreapta
.
17. Sa se determine centrul conicei
daca exista si sa se determine punctele de intersectie cu axele de coordonate.
18. Determinati punctele de intersectie ale parabolelor
;
19. Sa se precizeze natura conicelor
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(5)
=> hiperbola ;(x la put. 2)/13/8-(y la put. 2)/13/2=1 ;C(0,0)
=> elipsa=> parabola
=> elipsa ;(x la put. 2 )+(y la put. 2)/1/9-1=0(x la put. 2)/248/9+(y la put 2)/248/27=1
(x lap ut. 2 )/4 + (y la put 2) /5 = 1Nu are solutie
(x la put 2 )/72 + y/8=1 (x la put 2)/248/9+(y la put. 2/248/24) = 1
(x lap ut. 2 )/4 + (y la put 2) /5 = 1Imposibil(x la put. 2)/14 +4/14/3-1=0
(x la put 2)/35+(y la put. 2/35/4) = 0
(x la put 2 )/4 + (y la put.2)/16=1 Imposibil
=> CercT=2x+y-1=0
=> Elipsac(-1,2) (+-5,0),(0,+-4)
(0,12),(-1,4)=> elipsa reala=> hiperbola nedecenerata
=>Elipsa imaginara=> hiperbola degenerata
-
20. Sa se precizeze centrul fiecareia dintre urmatoarele conice, daca acesta exista:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) .
21. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt cu centru
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) .
22. Sa se reduca la forma canonica conica
.
23. Sa se reduca la forma canonica conica
.
24. Sa se reduca la forma canonica conica
.
26. Sa se reduca conica la forma canonica
.
27. Sa se precizeze natura conicei
.
28. Sa se precizeze natura conicei
.
29. Sa se precizeze natura conicei .
30. Sa se precizeze natura conicei
.
Sa se reduca conica la forma canonica:
.
31.
32. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice, sa se precizeze natura conicelor:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
= c(5,-2)= c(3,-2)
= -c(-1,-1)c(0,0)
1 ,2 ,4,5(x la 2)/9-(y la 2 )/4 + 1 = 0( x la 2 ) / 16 - (y la 2)/9 = 0( x la 2 ) / 16 - (y la 2)/9 = 0
(x la 2 )/1/4-(y la 2)/1=12x la 2 + 3y la 2 = 1
25. Sa se reduca conica la forma canonica
.
hiperbola degenerata in doua drepte
elipsa degenerata intr-un punct
hiperbola reala
Elipsa reala (x la 2) /9 +(y la 2 ) /4 + 1 = 0
(x la 2) /9 +(y la 2 ) /4 = 1
=Hiperbola
=Elipsa
Parabola
Elipsa
parabola
(6) hiperbola
-
33. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre urmatoarele conice este cu centru
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) .
34. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt fara centru
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
35. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip parabolic:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
36. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip eliptic:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 , 2 ,4,6
3 , 5
1,2,3,4,5
niciuna
-
37. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip hiperbolic:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
38. Sa se precizeze tipul conicei care poate fi scrisa sub forma:
.
39. Sa se precizeze ce defineste pentru o conica de tip parabola, numarul
40. Sa se determine parametrul fiecareia dintre urmatoarele parabole:
(1)
(2)
(3)
(4)
41. Matricea asociata unei conice este o matrice simetrica sau antisimetrica ?
42. Sa se calculeze invariantii conicei .
43. Sa se calculeze invariantii conicei
.
44. Sa se precizeze tipul conicei
.
45. Sa se precizeze natura conicei
.
1 ,2 ,5
parabolic
parabola parabolei
p=-3p=-3
p=(radical 3)/10p = Radical 2
simetricaD = -100 ; gama=0
D = 0 ; gama=-1
parabola
este degenerata prin doua drepte care trec prin centrul conicei
-
1.Sa se reduca la forma canonica cuadrica
si sa se specifice tipul ei.
2. Sa se reduca la forma canonica cuadrica
si sa se specifice tipul ei.
3. Sa se reduca la forma canonica cuadrica xy-yz-xz+2z=2
si sa se specifice tipul ei.
4. Sa se reduca la forma canonica cuadrica
si sa se specifice tipul ei.
5. Sa se reduca la forma canonica cuadrica
si sa se specifice tipul ei.
6. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
7. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
8. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
9. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
10. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
11. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
12. Sa se precizeze tipul cuadricei
.
13. Precizati natura conicei de intersectie dintre cuadrica
si planul
.
15. Precizati pozitia planului
fata de cuadrica
ecuatiua unui elipsoidun centru hiperboloid
elipsoid
hiperboloid
elipsoidun hipeboloid cu o panta
o sfera
un baraboloid eliptic
un hipeboloid cu o panta
un hipeboloid cu o panta
un parabolar hiperbolica
elipsa de centru c(-1,1,3)
un baraboloid eliptic
plan exterior
-
16. Pentru ce valori ale parametrului real planul
este tangent la elipsoidul
17. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului
fata de elipsoidul
.
18. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului
fata de cuadrica
.
19. Sa se determine o valoare a parametrului real pentru care planul
este tangent la elipsoidul
.
20. Sa se precizeze natura cuadricei
21. Sa se precizeze natura cuadricei
22. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata
si dreapta
23. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata
si dreapta
.
24. Sa se scrie ecuatia planului tangent la parabolidul
in punctul .
25. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze invariantul corespunzator si sa decida natura cuadricei.
26. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze invariantul corespunzator si sa decida natura cuadricei.
27. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Determinati invariantul si precizati daca cuadrica este cu centru.
m = +-15
9x - 12y-2z+9=0
d=441/4 couadrica nedegenerata
d=0 ; cuadrica generata
alfa = -(25/2) cuadrica de centru
-
28. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa stabileasca pozitia punctelor si .
29. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa stabileasca pozitia punctelor si .
30. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista.
31. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze invariantii , ,
32. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie matricea formei patratice asociate.
33. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie matricea formei patratice asociate.
34. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie matricea formei patratice asociate.
35. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie matricea corespunzatoare.
36. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie matricea corespunzatoare.
37. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze invariantul corespunzator si sa stabileasca natura cuadricei.
38. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista.
39. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie forma patratica asociata.
40. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se scrie forma patratica asociata.
41. Sa se precizeze daca cuadrica de ecuatie generala
.
este degenerata si daca are centru.
a= interior ; b= exterior
a= interior ; b= exterior
c ( 1 ,20)
alfa=-162;i=2,j=54
c=(-(21/50),3/25,147/50)
Cudrica degenerata fara centru
-
42. Fie cuadrica de ecuatie generala
.
Sa se calculeze invariantii si corespunzatori.
43. Matricea asociata unei cuadrice este simetrica sau antisimetrica ?
44. Sa se precizeze natura cuadricei
.
45. Daca A si sunt matricele asociate unei cuadrice, sa se precizeze formulele dupa care se calculeaza invariantii , si corespunzatori in functie de aceste matrice.
J=0 , I=21Simetrica
Cuadrica degenerata in centru ( elipsoid )