geometrija i smer - deo 1: vektori i transformacije...
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/1.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
UNIVERZITET U BEOGRADU
MATEMATIQKI FAKULTET
Geometrija I{smerdeo 1: Vektori i transformacije koordinata
Tijana Xukilovi�
11. oktobar 2016
![Page 2: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/2.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Definicija vektora
Definicija 1.1
Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih du�i koje imajuisti
pravac, smer i intentzitet.
A
B
#«v
C
D
#«v
X
Y
#«v
Slika 1: Ekvivalentne usmerene du�i
![Page 3: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/3.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Definicija vektora
Definicija 1.1
Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih du�i koje imajuisti pravac,
smer i intentzitet.
A
B
#«v
C
D
#«v
X
Y
#«v
Slika 1: Ekvivalentne usmerene du�i
![Page 4: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/4.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Definicija vektora
Definicija 1.1
Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih du�i koje imajuisti pravac, smer
i intentzitet.
A
B
#«v
C
D
#«v
X
Y
#«v
Slika 1: Ekvivalentne usmerene du�i
![Page 5: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/5.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Definicija vektora
Definicija 1.1
Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih du�i koje imajuisti pravac, smer i intentzitet.
A
B
#«v
C
D
#«v
X
Y
#«v
Slika 1: Ekvivalentne usmerene du�i
![Page 6: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/6.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Definicija vektora
Definicija 1.1
Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih du�i koje imajuisti pravac, smer i intentzitet.
A
B
#«v
C
D
#«v
X
Y
#«v
Slika 1: Ekvivalentne usmerene du�i
![Page 7: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/7.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 8: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/8.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 9: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/9.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 10: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/10.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 11: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/11.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 12: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/12.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 13: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/13.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osnovni pojmovi i oznake
primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza�e, sila,moment sile...
vektor predstavnik
nula vektor#«0
suprotan vektor
kolinearni vektori
koplanarni vektori
skup svih vektora V, odnosno Vn
![Page 14: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/14.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Operacije sa vektorima
Definicija 1.2 (Sabira�e vektora)
#«u = # «
AB, #«v = # «
BC : #«u + #«v := # «
AC.
A
B
C
#«u
#«v
#«u + #«v
Slika 2: Sabira�e vektora
![Page 15: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/15.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Operacije sa vektorima
Definicija 1.3 (Mno�e�e vektora skalarom)
#«u ∈ V, α ∈ R\{0} : α #«u := #«v .
#«u
α #«u , α > 0
α #«u , α < 0
Slika 3: Mno�e�e vektora skalarom
![Page 16: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/16.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Operacije sa vektorima
Definicija 1.4 (Razlika vektora)
#«u − #«v := #«u + (−1) #«v .
#«u
#«v
(−1) #«v#«u − #«v
Slika 4: Razlika vektora
![Page 17: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/17.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Operacije sa vektorima
Definicija 1.5 (Linearna kombinacija vektora)
#«v1, . . . ,#«vk ∈ V, α1, . . . , αk ∈ R : #«v := α1
#«v1 + . . .+ αk#«vk.
Definicija 1.6 (Jediniqni vektor)
#«u ∈ V, | #«u | 6= 0 : #«v := 1| #«u |
#«u .
![Page 18: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/18.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Operacije sa vektorima
Definicija 1.5 (Linearna kombinacija vektora)
#«v1, . . . ,#«vk ∈ V, α1, . . . , αk ∈ R : #«v := α1
#«v1 + . . .+ αk#«vk.
Definicija 1.6 (Jediniqni vektor)
#«u ∈ V, | #«u | 6= 0 : #«v := 1| #«u |
#«u .
![Page 19: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/19.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 20: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/20.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 21: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/21.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 22: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/22.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 23: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/23.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 24: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/24.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 25: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/25.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 26: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/26.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski prostor
Teorema 1.1
Ako su #«v , #«u , #«w ∈ V, a α, β ∈ R tada va�i:
(S1) #«u + ( #«v + #«w) = ( #«u + #«v ) + #«w, asocijativnost sabira�a
(S2) #«u + #«0 = #«u = #«0 + #«u , neutralni element
(S3) #«u + (− #«u ) = #«0 , suprotni element
(S4) #«u + #«v = #«v + #«u , komutativnost
(M1) α( #«u + #«v ) = α #«u + α #«v , distributivnost sabira�a vektora
(M2) α(β #«u ) = (αβ) #«u , asocijativnost skalarnog mno�e�a
(M3) (α+ β) #«u = α #«u + β #«u , distributivnost sabira�a skalara
(M4) 1 #«u = #«u . jediniqni element
![Page 27: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/27.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Dokaz (S1)
A
B
C
D
#«u
#«v
#«w
Slika 5: Asocijativnost sabira�a vektora
![Page 28: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/28.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Dokaz (S1)
A
B
C
D
#«u
#«v
#«w
#«v + #«w
Slika 5: Asocijativnost sabira�a vektora
![Page 29: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/29.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Dokaz (S1)
A
B
C
D #«v
#«w
#«v + #«w
#«u
#«u + ( #«v + #«w)
Slika 5: Asocijativnost sabira�a vektora
![Page 30: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/30.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Dokaz (S1)
A
B
C
D
#«w
#«v
#«u
#«u + #«v
Slika 5: Asocijativnost sabira�a vektora
![Page 31: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/31.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Dokaz (S1)
A
B
C
D #«v
#«u
#«w
#«u + #«v( #«u + #«v ) + #«w
Slika 5: Asocijativnost sabira�a vektora
![Page 32: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/32.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Definicija 1.7
Vektori #«v1, . . . ,# «vn su linearno nezavisni ako relacija:
α1#«v1 + · · ·+ αn
# «vn = #«0
va�i samo za α1 = · · · = αn = 0.
U suprotnom, ako postoji i n-torka (α1, . . . , αn) u kojoj jebar jedan od brojeva αi razliqit od nule, vektori senazivaju linearno zavisnim.
![Page 33: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/33.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Definicija 1.7
Vektori #«v1, . . . ,# «vn su linearno nezavisni ako relacija:
α1#«v1 + · · ·+ αn
# «vn = #«0
va�i samo za α1 = · · · = αn = 0.U suprotnom, ako postoji i n-torka (α1, . . . , αn) u kojoj jebar jedan od brojeva αi razliqit od nule, vektori senazivaju linearno zavisnim.
![Page 34: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/34.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Teorema 1.2
Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo akosu kolinearni.
Teorema 1.3
U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svakatri vektora ravni su linearno zavisna.
Teorema 1.4
U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svakaqetiri vektora su linearno zavisna.
![Page 35: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/35.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Teorema 1.2
Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo akosu kolinearni.
Teorema 1.3
U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svakatri vektora ravni su linearno zavisna.
Teorema 1.4
U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svakaqetiri vektora su linearno zavisna.
![Page 36: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/36.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Teorema 1.2
Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo akosu kolinearni.
Teorema 1.3
U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svakatri vektora ravni su linearno zavisna.
Teorema 1.4
U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svakaqetiri vektora su linearno zavisna.
![Page 37: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/37.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 1
A
B
C
# «AB + # «
BC + # «CA = #«0
Slika 6: Vektori odre�eni stranicama trouglasu linearno zavisni
![Page 38: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/38.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 2
A B
D C
A1 B1
C1D1
Slika 7: Da li su vektori# «
AC1 i# «
BD kolinearni?
![Page 39: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/39.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 2
A B
D C
A1 B1
C1D1
Slika 7: Da li su vektori# «
BC1,# «
A1D1 i# «
CD koplanarni?
![Page 40: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/40.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 2
A B
D C
A1 B1
C1D1
Slika 7: Da li su vektori# «
BC1,# «
CD i# «
D1B koplanarni?
![Page 41: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/41.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Baza i dimenzija vektorskog prostora
Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearnonezavisnih vektora.
Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
Posledica 2.1
Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V2 je dva.
Svaki vektor #«v ∈ V2 mo�e da se napixe u obliku:
#«v = x1#«e1 + x2
#«e2, (1)
gde je e = ( #«e1,#«e2) baza vektorskog prostora V2.
Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da subrojevi x1, x2 ∈ R jedinstveni.
![Page 42: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/42.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Baza i dimenzija vektorskog prostora
Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearnonezavisnih vektora.
Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
Posledica 2.1
Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V2 je dva.
Svaki vektor #«v ∈ V2 mo�e da se napixe u obliku:
#«v = x1#«e1 + x2
#«e2, (1)
gde je e = ( #«e1,#«e2) baza vektorskog prostora V2.
Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da subrojevi x1, x2 ∈ R jedinstveni.
![Page 43: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/43.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Baza i dimenzija vektorskog prostora
Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearnonezavisnih vektora.
Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
Posledica 2.1
Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V2 je dva.
Svaki vektor #«v ∈ V2 mo�e da se napixe u obliku:
#«v = x1#«e1 + x2
#«e2, (1)
gde je e = ( #«e1,#«e2) baza vektorskog prostora V2.
Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da subrojevi x1, x2 ∈ R jedinstveni.
![Page 44: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/44.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Baza i dimenzija vektorskog prostora
Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearnonezavisnih vektora.
Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
Posledica 2.1
Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V2 je dva.Svaki vektor #«v ∈ V2 mo�e da se napixe u obliku:
#«v = x1#«e1 + x2
#«e2, (1)
gde je e = ( #«e1,#«e2) baza vektorskog prostora V2.
Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da subrojevi x1, x2 ∈ R jedinstveni.
![Page 45: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/45.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Baza i dimenzija vektorskog prostora
Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearnonezavisnih vektora.
Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
Posledica 2.1
Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V2 je dva.Svaki vektor #«v ∈ V2 mo�e da se napixe u obliku:
#«v = x1#«e1 + x2
#«e2, (1)
gde je e = ( #«e1,#«e2) baza vektorskog prostora V2.
Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da subrojevi x1, x2 ∈ R jedinstveni.
![Page 46: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/46.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Koordinate vektora
Baza e = (e1, e2) vektorskog prostora V2.
Koordinate vektora #«v ∈ V2 u bazi e:
[ #«v ]e =(x1x2
)
Lako se uopxtava na proizvonu dimenziju.
![Page 47: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/47.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Koordinate vektora
Baza e = (e1, e2) vektorskog prostora V2.
Koordinate vektora #«v ∈ V2 u bazi e:
[ #«v ]e =(x1x2
)
Lako se uopxtava na proizvonu dimenziju.
![Page 48: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/48.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primer
Primer 3
Dat je paralelogram ABCD. Neka je E sredixte straniceBC i S presek dijagonala AC i BD. Odrediti koordinate
vektora# «
BC u bazi e =(
# «
AE,# «
AS).
A B
D C
ES
Slika 8:[
# «
BE]
e= (−1, 2)T
![Page 49: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/49.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Koordinate taqke
Baza e = (e1, . . . , en) vektorskog prostora V.Fiksirana taqka O ∈ E naziva se koordinatni poqetak.
Oe se naziva koordinatnim sistemom ili reperomprostora E.
Definicija 2.1
Koordinate taqke X ∈ E u reperu Oe definixemo kaokoordinate vektora
# «
OX u bazi e:
[X]Oe := [ # «
OX]e. (2)
![Page 50: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/50.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Koordinate taqke
Baza e = (e1, . . . , en) vektorskog prostora V.Fiksirana taqka O ∈ E naziva se koordinatni poqetak.
Oe se naziva koordinatnim sistemom ili reperomprostora E.
Definicija 2.1
Koordinate taqke X ∈ E u reperu Oe definixemo kaokoordinate vektora
# «
OX u bazi e:
[X]Oe := [ # «
OX]e. (2)
![Page 51: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/51.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Veza koordinata vektora i taqaka
U praksi se qesto koristi qi�enica da se koordinatevektora
# «
MN dobijaju ”oduzima�em koordinate taqke M odkoordinata taqke N."
Korektnost:
[ # «
MN ]e = [ # «
MO + # «
ON ]e= [ # «
ON ]e − [ # «
OM ]e= [N ]Oe − [M ]Oe.
Primer 4
Odrediti koordinate temena paralelograma iz Primera 3 ureperu Ae.
![Page 52: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/52.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Veza koordinata vektora i taqaka
U praksi se qesto koristi qi�enica da se koordinatevektora
# «
MN dobijaju ”oduzima�em koordinate taqke M odkoordinata taqke N."Korektnost:
[ # «
MN ]e = [ # «
MO + # «
ON ]e= [ # «
ON ]e − [ # «
OM ]e= [N ]Oe − [M ]Oe.
Primer 4
Odrediti koordinate temena paralelograma iz Primera 3 ureperu Ae.
![Page 53: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/53.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Veza koordinata vektora i taqaka
U praksi se qesto koristi qi�enica da se koordinatevektora
# «
MN dobijaju ”oduzima�em koordinate taqke M odkoordinata taqke N."Korektnost:
[ # «
MN ]e = [ # «
MO + # «
ON ]e= [ # «
ON ]e − [ # «
OM ]e= [N ]Oe − [M ]Oe.
Primer 4
Odrediti koordinate temena paralelograma iz Primera 3 ureperu Ae.
![Page 54: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/54.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Arhimedov zakon poluge
![Page 55: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/55.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar masa taqaka
|AT | : |TB| = m2 : m1 ⇐⇒ m1# «
TA+m2# «
TB = #«0
A(m1) B(m2)T
O { proizvona taqkaCentar masa taqaka A(m1) i B(m2):
# «
OT = 1m1 +m2
(m1
# «
OA+m2# «
OB)
![Page 56: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/56.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar masa taqaka
|AT | : |TB| = m2 : m1 ⇐⇒ m1# «
TA+m2# «
TB = #«0
A(m1) B(m2)T
O { proizvona taqkaCentar masa taqaka A(m1) i B(m2):
# «
OT = 1m1 +m2
(m1
# «
OA+m2# «
OB)
![Page 57: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/57.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Te�ixte i centar mase trougla
A(m1), B(m2), C(m3)
A1 { centar masa taqaka B,C:AA1 { te�ixna du� (iz A)
T { centar masa taqaka A,B,C:
# «
OT = 1m1 +m2 +m3
(m1
# «
OA+m2# «
OB +m3# «
OC)
Teorema 3.1
Te�ixne du�i se seku u centru masa.
Za m1 = m2 = m3 = m: centar masa = te�ixte trougla!
![Page 58: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/58.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Te�ixte i centar mase trougla
A(m1), B(m2), C(m3)A1 { centar masa taqaka B,C:AA1 { te�ixna du� (iz A)
T { centar masa taqaka A,B,C:
# «
OT = 1m1 +m2 +m3
(m1
# «
OA+m2# «
OB +m3# «
OC)
Teorema 3.1
Te�ixne du�i se seku u centru masa.
Za m1 = m2 = m3 = m: centar masa = te�ixte trougla!
![Page 59: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/59.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Te�ixte i centar mase trougla
A(m1), B(m2), C(m3)A1 { centar masa taqaka B,C:AA1 { te�ixna du� (iz A)
T { centar masa taqaka A,B,C:
# «
OT = 1m1 +m2 +m3
(m1
# «
OA+m2# «
OB +m3# «
OC)
Teorema 3.1
Te�ixne du�i se seku u centru masa.
Za m1 = m2 = m3 = m: centar masa = te�ixte trougla!
![Page 60: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/60.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Te�ixte i centar mase trougla
A(m1), B(m2), C(m3)A1 { centar masa taqaka B,C:AA1 { te�ixna du� (iz A)
T { centar masa taqaka A,B,C:
# «
OT = 1m1 +m2 +m3
(m1
# «
OA+m2# «
OB +m3# «
OC)
Teorema 3.1
Te�ixne du�i se seku u centru masa.
Za m1 = m2 = m3 = m: centar masa = te�ixte trougla!
![Page 61: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/61.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Te�ixte i centar mase trougla
A(m1), B(m2), C(m3)A1 { centar masa taqaka B,C:AA1 { te�ixna du� (iz A)
T { centar masa taqaka A,B,C:
# «
OT = 1m1 +m2 +m3
(m1
# «
OA+m2# «
OB +m3# «
OC)
Teorema 3.1
Te�ixne du�i se seku u centru masa.
Za m1 = m2 = m3 = m: centar masa = te�ixte trougla!
![Page 62: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/62.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 5
Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u komodnosu centar mase deli te�ixne du�i 4ABC.
A(2)
B(3)
C(7)
B1(9)2
7
![Page 63: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/63.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 5
Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u komodnosu centar mase deli te�ixne du�i 4ABC.
A(2)
B(3)
C(7)
A1(10)
C1(5)
3
7
23
B1(9)2
7
![Page 64: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/64.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 5
Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u komodnosu centar mase deli te�ixne du�i 4ABC.
A(2)
B(3)
C(7)
A1(10)
C1(5)
3
7
23
B1(9)2
7 T
10
2
9
3
5
7
![Page 65: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/65.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
PrimeriPrimer 6
Dat je 4ABC i na �egovim ivicama taqke A1 i B1 takve da|AB1| : |B1C| = 3 : 4, |BA1| : |A1C| = 2 : 5.a) Ako je {P} = AA1∩BB1, u kom odnosu P deli AA1 i BB1?b) Ako je {C1} = CP ∩AB, u kom odnosu C1 deli AB?
A
B
C
B1
3
4
A1
2
5
P
C1
?
?
?
?
? ?
![Page 66: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/66.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
Slika 9: Petougao ABCDE
![Page 67: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/67.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
Slika 9: Centar mase le�i na osi simetrije
![Page 68: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/68.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
C
A
E D
B
T11
Slika 9: Centar mase T11 qetvorougla ABDE
![Page 69: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/69.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
T12T11
Slika 9: Centar mase T12 trougla BCD
![Page 70: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/70.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
T12T11
T1
Slika 9: Centar mase T1 petougla ABCDE je centarmasa taqaka T11 i T12
![Page 71: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/71.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
T1
P
S R
Q
Slika 9: Petougao ABCDE sa rupom PQRS
![Page 72: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/72.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
T1
P
S R
Q
T2
Slika 9: Centar mase T2 qetvorougla PQRS
![Page 73: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/73.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Centar mase proizvonog objekta
A
E
C
D
B
T1
P
S R
Q
T2
T
Slika 9: Centar mase T petougla ABCDE sa rupom PQRSje centar masa taqaka T1 i T2, gde se masa u taqkiT2 uzima sa predznakom "−\
![Page 74: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/74.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Skalarni proizvod
Definicija 4.1 (Skalarni proizvod)
#«v , #«u ∈ V : #«v · #«u := | #«v | | #«u | cos∠( #«v , #«u ),
Primene skalarnog proizvoda:
Du�ine:
| #«v | =√
#«v · #«v ;
Uglovi:
∠( #«v , #«u ) = arccos#«v · #«u
| #«v | | #«u |
![Page 75: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/75.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Skalarni proizvod
Definicija 4.1 (Skalarni proizvod)
#«v , #«u ∈ V : #«v · #«u := | #«v | | #«u | cos∠( #«v , #«u ),
Primene skalarnog proizvoda:
Du�ine:
| #«v | =√
#«v · #«v ;
Uglovi:
∠( #«v , #«u ) = arccos#«v · #«u
| #«v | | #«u |
![Page 76: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/76.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine skalarnog proizvoda
Teorema 4.1 (Osobine skalarnog proizvoda)
Neka su #«v , #«u , #«w ∈ V i α ∈ R. Tada va�i:
#«u · #«v = #«v · #«u , simetriqnost#«u · (α #«v + β #«w) = α( #«u · #«v ) + β( #«u · #«w), linearnost#«u · #«u = | #«u |2 ≥ 0, nenegativnost#«u · #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0 . nedegenerisanost
![Page 77: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/77.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine skalarnog proizvoda
Teorema 4.1 (Osobine skalarnog proizvoda)
Neka su #«v , #«u , #«w ∈ V i α ∈ R. Tada va�i:#«u · #«v = #«v · #«u , simetriqnost
#«u · (α #«v + β #«w) = α( #«u · #«v ) + β( #«u · #«w), linearnost#«u · #«u = | #«u |2 ≥ 0, nenegativnost#«u · #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0 . nedegenerisanost
![Page 78: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/78.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine skalarnog proizvoda
Teorema 4.1 (Osobine skalarnog proizvoda)
Neka su #«v , #«u , #«w ∈ V i α ∈ R. Tada va�i:#«u · #«v = #«v · #«u , simetriqnost#«u · (α #«v + β #«w) = α( #«u · #«v ) + β( #«u · #«w), linearnost
#«u · #«u = | #«u |2 ≥ 0, nenegativnost#«u · #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0 . nedegenerisanost
![Page 79: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/79.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine skalarnog proizvoda
Teorema 4.1 (Osobine skalarnog proizvoda)
Neka su #«v , #«u , #«w ∈ V i α ∈ R. Tada va�i:#«u · #«v = #«v · #«u , simetriqnost#«u · (α #«v + β #«w) = α( #«u · #«v ) + β( #«u · #«w), linearnost#«u · #«u = | #«u |2 ≥ 0, nenegativnost
#«u · #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0 . nedegenerisanost
![Page 80: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/80.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine skalarnog proizvoda
Teorema 4.1 (Osobine skalarnog proizvoda)
Neka su #«v , #«u , #«w ∈ V i α ∈ R. Tada va�i:#«u · #«v = #«v · #«u , simetriqnost#«u · (α #«v + β #«w) = α( #«u · #«v ) + β( #«u · #«w), linearnost#«u · #«u = | #«u |2 ≥ 0, nenegativnost#«u · #«u = 0 ako i samo ako je #«u = #«0 . nedegenerisanost
![Page 81: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/81.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi
Ortonormirana baza = baza e = ( #«e1, . . . ,#«en) : #«ei · #«ej = δij .
#«v = v1e1 + v2e2 + . . .+ vnen,#«u = u1e1 + u2e2 + . . .+ unen:
#«v · #«u = v1u1 + v2u2 + . . .+ vnun
= (v1, . . . , vn) ·
u1...un
= [ #«v ]Te · [ #«u ]e
Primer 7
Dati su vektori #«v = (1,−2, 2) i #«u = (−3, 0, 4) iz V3 svojimkoordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti:(a) | #«v |; (b) ∠( #«v , #«u ).
![Page 82: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/82.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi
Ortonormirana baza = baza e = ( #«e1, . . . ,#«en) : #«ei · #«ej = δij .
#«v = v1e1 + v2e2 + . . .+ vnen,#«u = u1e1 + u2e2 + . . .+ unen:
#«v · #«u = v1u1 + v2u2 + . . .+ vnun
= (v1, . . . , vn) ·
u1...un
= [ #«v ]Te · [ #«u ]e
Primer 7
Dati su vektori #«v = (1,−2, 2) i #«u = (−3, 0, 4) iz V3 svojimkoordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti:(a) | #«v |; (b) ∠( #«v , #«u ).
![Page 83: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/83.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Orijentacija ravni
Pojam orijentacije uvodimo intuitivno.Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xtanegativnom orijentacijom.
A
B
C
+A
B
C−
Slika 10: Trougao pozitivne i negativne orijentacije
Baza e = ( # «
OA,# «
OB) je pozitivne orijentacije, ako jetrougao OAB pozitivne orijentacije.
![Page 84: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/84.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Orijentacija ravni
Pojam orijentacije uvodimo intuitivno.Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xtanegativnom orijentacijom.
A
B
C
+A
B
C−
Slika 10: Trougao pozitivne i negativne orijentacije
Baza e = ( # «
OA,# «
OB) je pozitivne orijentacije, ako jetrougao OAB pozitivne orijentacije.
![Page 85: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/85.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Orijentacija ravni
Pojam orijentacije uvodimo intuitivno.Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xtanegativnom orijentacijom.
A
B
C
+A
B
C−
Slika 10: Trougao pozitivne i negativne orijentacije
Baza e = ( # «
OA,# «
OB) je pozitivne orijentacije, ako jetrougao OAB pozitivne orijentacije.
![Page 86: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/86.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Orijentacija prostora
Baze e = ( #«e1,#«e2,
#«e3) je pozitivne orijentacije ako va�ipravilo ruke:
”ako ispru�eni ka�iprst ruke predstavavektor #«e1, sred�i prst vektor #«e2, a palacvektor #«e3, onda je baza e = ( #«e1,
#«e2,#«e3) pozitivne
orijentacije".
![Page 87: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/87.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primer
Primer 8
Data je kocka ABCDA1B1C1D1. Odrediti orijentacijuortonormirane baze e = ( #«e1,
#«e2,#«e3), #«e1 = # «
A1B1,#«e2 = # «
A1D1,#«e3 = # «
A1A ako je baza f =(
# «
BD,# «
BA,# «
BC1)pozitivne
orijentacije.
A B
D C
A1 B1
C1D1
#«
f1
#«
f2
#«
f3
#«e1
#«e2
#«e3
Slika 11: Orijentacija prostora
![Page 88: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/88.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski proizvod
Definicija 4.2 (Vektorski proizvod)#«v , #«u ∈ V3 : #«v × #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima:
Intenzitet: | #«w| = | #«v | | #«u | sin∠( #«v , #«u );Pravac: #«w ⊥ #«v , #«u ;
Smer: Baza ( #«v , #«u , #«w) je pozitivne orijentacije.
#«v
#«u h = | #«u | sinφ
φ
Slika 12: | #«v × #«u | = P( #«v , #«u )
![Page 89: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/89.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski proizvod
Definicija 4.2 (Vektorski proizvod)#«v , #«u ∈ V3 : #«v × #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima:
Intenzitet: | #«w| = | #«v | | #«u | sin∠( #«v , #«u );Pravac: #«w ⊥ #«v , #«u ;
Smer: Baza ( #«v , #«u , #«w) je pozitivne orijentacije.
#«v
#«u h = | #«u | sinφ
φ
Slika 12: | #«v × #«u | = P( #«v , #«u )
![Page 90: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/90.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine vektorskog proizvoda
Posledica 4.1
Vektori #«v , #«u prostora V3 su linearno nezavisni ako i samoako #«v × #«u 6= #«0 .
Teorema 4.2 (Osobine vektorskog proizvoda)#«v , #«u , #«w ∈ V3, α, β ∈ R:
#«u × #«v = − #«v × #«u , antisimetriqnost
(α #«u + β #«v )× #«w = α( #«u × #«w) + β( #«v × #«w). linearnost
Teorema 4.3 (Dvostruki vektorski proizvod)
#«v , #«u , #«w ∈ V3 : #«v × ( #«u × #«w) = ( #«v · #«w) #«u − ( #«v · #«u ) #«w.
Teorema 4.3 =⇒ vektorski proizvod nije asocijativan.
![Page 91: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/91.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine vektorskog proizvoda
Posledica 4.1
Vektori #«v , #«u prostora V3 su linearno nezavisni ako i samoako #«v × #«u 6= #«0 .
Teorema 4.2 (Osobine vektorskog proizvoda)#«v , #«u , #«w ∈ V3, α, β ∈ R:
#«u × #«v = − #«v × #«u , antisimetriqnost
(α #«u + β #«v )× #«w = α( #«u × #«w) + β( #«v × #«w). linearnost
Teorema 4.3 (Dvostruki vektorski proizvod)
#«v , #«u , #«w ∈ V3 : #«v × ( #«u × #«w) = ( #«v · #«w) #«u − ( #«v · #«u ) #«w.
Teorema 4.3 =⇒ vektorski proizvod nije asocijativan.
![Page 92: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/92.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine vektorskog proizvoda
Posledica 4.1
Vektori #«v , #«u prostora V3 su linearno nezavisni ako i samoako #«v × #«u 6= #«0 .
Teorema 4.2 (Osobine vektorskog proizvoda)#«v , #«u , #«w ∈ V3, α, β ∈ R:
#«u × #«v = − #«v × #«u , antisimetriqnost
(α #«u + β #«v )× #«w = α( #«u × #«w) + β( #«v × #«w). linearnost
Teorema 4.3 (Dvostruki vektorski proizvod)
#«v , #«u , #«w ∈ V3 : #«v × ( #«u × #«w) = ( #«v · #«w) #«u − ( #«v · #«u ) #«w.
Teorema 4.3 =⇒ vektorski proizvod nije asocijativan.
![Page 93: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/93.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine vektorskog proizvoda
Posledica 4.1
Vektori #«v , #«u prostora V3 su linearno nezavisni ako i samoako #«v × #«u 6= #«0 .
Teorema 4.2 (Osobine vektorskog proizvoda)#«v , #«u , #«w ∈ V3, α, β ∈ R:
#«u × #«v = − #«v × #«u , antisimetriqnost
(α #«u + β #«v )× #«w = α( #«u × #«w) + β( #«v × #«w). linearnost
Teorema 4.3 (Dvostruki vektorski proizvod)
#«v , #«u , #«w ∈ V3 : #«v × ( #«u × #«w) = ( #«v · #«w) #«u − ( #«v · #«u ) #«w.
Teorema 4.3 =⇒ vektorski proizvod nije asocijativan.
![Page 94: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/94.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi
e = ( #«e1,#«e2,
#«e3) { ortonormirana baza pozitivneorijentacije
× #«e1#«e2
#«e3#«e1
#«0 #«e3 − #«e2#«e2 − #«e3
#«0 #«e1#«e3
#«e2 − #«e1#«0
#«v = v1e1 + v2e2 + v3e3,#«u = u1e1 + u2e2 + u3e3
#«v × #«u = (v2u3 − v3u2) #«e1 + (v3u1 − v1u3) #«e2 + (v1u2 − v2u1) #«e3
=
∣∣∣∣∣∣∣#«e1
#«e2#«e3
v1 v2 v3u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ .
![Page 95: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/95.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi
e = ( #«e1,#«e2,
#«e3) { ortonormirana baza pozitivneorijentacije
× #«e1#«e2
#«e3#«e1
#«0 #«e3 − #«e2#«e2 − #«e3
#«0 #«e1#«e3
#«e2 − #«e1#«0
#«v = v1e1 + v2e2 + v3e3,#«u = u1e1 + u2e2 + u3e3
#«v × #«u = (v2u3 − v3u2) #«e1 + (v3u1 − v1u3) #«e2 + (v1u2 − v2u1) #«e3
=
∣∣∣∣∣∣∣#«e1
#«e2#«e3
v1 v2 v3u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣∣ .
![Page 96: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/96.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Matriqna reprezentacija vektorskog mno�e�a
Mno�e�e vektorom #«p , [ #«p ]e = (p1, p2, p3):
#«p × #«v := p× · [ #«v ]e
=
0 −p3 p2p3 0 −p1−p2 p1 0
· v1v2v3
![Page 97: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/97.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
A,B,C ∈ E2 : A(a1, a2, 0), B(b1, b2, 0), C(c1, c2, 0):
# «
AB × # «
AC =∣∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2
∣∣∣∣∣ #«e3 =: DABC#«e3.
Va�i:
P4ABC = 12 |DABC |;
A,B,C { kolinearne ⇐⇒ DABC = 0;4ABC { pozitivno orijentisan ako DABC > 0.
Primer 9
Odrediti povrxinu 4ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da lije trougao pozitivne orijentacije?
![Page 98: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/98.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
A,B,C ∈ E2 : A(a1, a2, 0), B(b1, b2, 0), C(c1, c2, 0):
# «
AB × # «
AC =∣∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2
∣∣∣∣∣ #«e3 =: DABC#«e3.
Va�i:
P4ABC = 12 |DABC |;
A,B,C { kolinearne ⇐⇒ DABC = 0;4ABC { pozitivno orijentisan ako DABC > 0.
Primer 9
Odrediti povrxinu 4ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da lije trougao pozitivne orijentacije?
![Page 99: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/99.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
A,B,C ∈ E2 : A(a1, a2, 0), B(b1, b2, 0), C(c1, c2, 0):
# «
AB × # «
AC =∣∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2
∣∣∣∣∣ #«e3 =: DABC#«e3.
Va�i:
P4ABC = 12 |DABC |;
A,B,C { kolinearne ⇐⇒ DABC = 0;
4ABC { pozitivno orijentisan ako DABC > 0.
Primer 9
Odrediti povrxinu 4ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da lije trougao pozitivne orijentacije?
![Page 100: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/100.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
A,B,C ∈ E2 : A(a1, a2, 0), B(b1, b2, 0), C(c1, c2, 0):
# «
AB × # «
AC =∣∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2
∣∣∣∣∣ #«e3 =: DABC#«e3.
Va�i:
P4ABC = 12 |DABC |;
A,B,C { kolinearne ⇐⇒ DABC = 0;4ABC { pozitivno orijentisan ako DABC > 0.
Primer 9
Odrediti povrxinu 4ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da lije trougao pozitivne orijentacije?
![Page 101: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/101.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
A,B,C ∈ E2 : A(a1, a2, 0), B(b1, b2, 0), C(c1, c2, 0):
# «
AB × # «
AC =∣∣∣∣∣ b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2
∣∣∣∣∣ #«e3 =: DABC#«e3.
Va�i:
P4ABC = 12 |DABC |;
A,B,C { kolinearne ⇐⇒ DABC = 0;4ABC { pozitivno orijentisan ako DABC > 0.
Primer 9
Odrediti povrxinu 4ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da lije trougao pozitivne orijentacije?
![Page 102: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/102.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
Teorema 4.4
Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako:sign(DABP ) = sign(DBCP ) = sign(DCAP ).
A B
C
P
Slika 13: Taqka unutar trougla
Primer 10
Da li taqka P (3, 2) pripada 4ABC iz Primera 9?
![Page 103: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/103.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
Teorema 4.4
Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako:sign(DABP ) = sign(DBCP ) = sign(DCAP ).
A B
C
P
Slika 13: Taqka unutar trougla
Primer 10
Da li taqka P (3, 2) pripada 4ABC iz Primera 9?
![Page 104: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/104.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene vektorskog proizvoda
Taqke C i D sa iste strane prave p ako i samo ako sutrouglovi ABC i ABD, A,B ∈ p, istih orijentacija:
sign(DABC) = sign(DABD).
A
B
p
C
D
E
Slika 14: Taqke sa iste/raznih strane prave
![Page 105: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/105.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Mexoviti proizvod
Definicija 4.3 (Mexoviti proizvod)#«v , #«u , #«w ∈ V3 : [ #«v , #«u , #«w] := ( #«v × #«u ) · #«w.
B
# «
w′
#«v × #«u
#«v
#«u
#«w
φ
Slika 15: |[ #«v , #«u , #«w]| = V( #«v , #«u , #«w)
![Page 106: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/106.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Mexoviti proizvod i orijentacija prostora
Posledica 4.2
Vektori #«v , #«u , #«w su linearno nezavisni ako i samo ako:
[ #«v , #«u , #«w] 6= 0.
Posledica 4.3
Vektori ( #«v , #«u , #«w) prostora, qine bazu pozitivneorijentacije ako je [ #«v , #«u , #«w] > 0, a negativne orijentacijeako je [ #«v , #«u , #«w] < 0.
![Page 107: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/107.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Mexoviti proizvod i orijentacija prostora
Posledica 4.2
Vektori #«v , #«u , #«w su linearno nezavisni ako i samo ako:
[ #«v , #«u , #«w] 6= 0.
Posledica 4.3
Vektori ( #«v , #«u , #«w) prostora, qine bazu pozitivneorijentacije ako je [ #«v , #«u , #«w] > 0, a negativne orijentacijeako je [ #«v , #«u , #«w] < 0.
![Page 108: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/108.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine mexovitog proizvoda
Teorema 4.5 (Osobine mexovitog proizvoda)#«v , #«u , #«w ∈ V,α, β ∈ R:
[ #«v , #«u , #«w] = −[ #«u , #«v , #«w], antisimetriqnost
[ #«v , #«u , #«w] = [ #«u , #«w, #«v ] = [ #«w, #«v , #«u ], cikliqnost
[α #«u + β #«v , #«w, #«z ] = α[ #«u , #«w, #«z ] + β[ #«v , #«w, #«z ]. linearnost
U ortonormiranoj bazi:
[ #«v , #«u , #«w] =
∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3u1 u2 u3w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ .
![Page 109: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/109.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Osobine mexovitog proizvoda
Teorema 4.5 (Osobine mexovitog proizvoda)#«v , #«u , #«w ∈ V,α, β ∈ R:
[ #«v , #«u , #«w] = −[ #«u , #«v , #«w], antisimetriqnost
[ #«v , #«u , #«w] = [ #«u , #«w, #«v ] = [ #«w, #«v , #«u ], cikliqnost
[α #«u + β #«v , #«w, #«z ] = α[ #«u , #«w, #«z ] + β[ #«v , #«w, #«z ]. linearnost
U ortonormiranoj bazi:
[ #«v , #«u , #«w] =
∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3u1 u2 u3w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ .
![Page 110: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/110.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene mexovitog proizvoda
Zapremina tetraedra ABCA1 jednaka je xestini zapremineparalelepipeda odre�enog vektorima
# «
AB,# «
AC i# «
AA1.
A B
C
A1 B1
C1
A B
C
A1 B1
C1
A
A1 B1
C1
A B
B1
C
A
C
B1
C1
Slika 16: Podela trostrane prizme na tripiramide istih zapremina
Primer 11
Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0),B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).
![Page 111: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/111.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primene mexovitog proizvoda
Zapremina tetraedra ABCA1 jednaka je xestini zapremineparalelepipeda odre�enog vektorima
# «
AB,# «
AC i# «
AA1.
A B
C
A1 B1
C1
A B
C
A1 B1
C1
A
A1 B1
C1
A B
B1
C
A
C
B1
C1
Slika 16: Podela trostrane prizme na tripiramide istih zapremina
Primer 11
Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0),B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).
![Page 112: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/112.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije koordinata vektora
e = ( #«e1, . . . ,#«en) { stara baza
f = ( #«
f1, . . . ,# «
fn) { nova baza
C = Ce→f { matrica prelaska = matrica qije su kolonekoordinate vektora nove baze f u staroj bazi e, redom.
[ #«v ]e = C[ #«v ]f
![Page 113: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/113.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije koordinata taqaka
O
Q(q1, q2)
X
#«e1
#«e2
#«
f1
#«
f2
Slika 17: Transformacije koordinata taqaka
![Page 114: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/114.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije koordinata taqaka
Q(q1, q2)
#«
f1
#«
f2
#«e1
#«e2
X
O
Slika 17: Transformacije koordinata taqaka
x
x = [X]Oe = (x1, x2)T
= Cx′ + q
![Page 115: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/115.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije koordinata taqaka
O
#«e1
#«e2
X
Q(q1, q2)
#«
f1
#«
f2
Slika 17: Transformacije koordinata taqaka
x = C x′
x′ = [X]Qf = (x′1, x′2)T
+ q
![Page 116: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/116.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije koordinata taqaka
#«e1
#«e2
X
#«
f1
#«
f2
Q(q1, q2)
O
Slika 17: Transformacije koordinata taqaka
x = C
C = Ce→f
x′ + q
q = [Q]Oe = (q1, q2)T
![Page 117: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/117.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije koordinata taqaka
O
Q(q1, q2)
X
#«e1
#«e2
#«
f1
#«
f2
Slika 17: Transformacije koordinata taqaka
x = C
linearni deo
x′ + q
translatorni deo
![Page 118: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/118.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 12
O A
BC E
#«e1#«e2
#«
f1
#«
f2
Slika 18: Odrediti koordinate temena paralelogramau starom reperu Ae i novom reperu Of .Odrediti vezu izme�u koordinata.
![Page 119: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/119.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije ortonormiranih repera ravni
O #«e1
#«e2
#«
f1
#«
f2
φ
φQ
#«
f1
#«
f2
Slika 19: Ortonormirani reperi istih orijentacija
(xy
)=(
cosφ − sinφsinφ cosφ
)
matrica rotacije
(x′
y′
)+(q1q2
).
![Page 120: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/120.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Transformacije ortonormiranih repera ravni
O #«e1
#«e2
#«
f1
#«
f2
φ
Q
#«
f1
#«
f2
Slika 20: Ortonormirani reperi razliqitih orijentacija
(xy
)=(
cosφ sinφsinφ − cosφ
)
matrica refleksije
(x′
y′
)+(q1q2
).
![Page 121: Geometrija I smer - deo 1: Vektori i transformacije koordinatapoincare.matf.bg.ac.rs/~tijana/geometrija/slajdovi2016/vektori.pdf · Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021615/5e075f3b8fc427014577dd81/html5/thumbnails/121.jpg)
Vektori Koordinate Centar masa Proizvodi Transformacije
Primeri
Primer 13
B
D C
3
4
φ
A #«e1
#«e2
S
#«
f1
#«
f2
Slika 21: Odrediti vezu koordinata kao i koordinatetemena pravougaonika u novom reperu.