geometriya 8 rozvyazuvannya_pryamokutnih_trikutnikiv
TRANSCRIPT
РОЗ’ЯЗАТИ ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК ОЗНАЧАЄ:
За відомими його елементами, знайти невідомі елементи.
Існує 4 типи задач.
1. За двома катетами.
2.За гіпотенузою і катетом.
3.За гіпотенузою і гострим кутом.
4.За катетом і протилежним кутом.Для розв’язання цієї задачі треба знати: теорему Піфагора і співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.
Розглянемо окремо ці задачі.
Розв’язати прямокутний трикутник:
Задача1Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за двома катетами: a=3, b=4.
Розв’язання
Хай АС=3, ВС=4. Треба знайти:
гіпотенузу АВ та гострі кути А і В.
Гіпотенузу знайдемо за теоремою Піфагора:
АВ2=АС2+ВС2. Звідси АВ2=32+42;
АВ2=9+16; АВ2=25; ,525 ==АВ АВ=5.
Кут А знайдемо із співвідношення: ;6,05
3 ===AB
ACSinA
Тоді ∠А=36052/.
Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 900, то ∠В=900-36052/=5308/.
Задача2Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за гіпотенузою с=13 і катетом а=5.
Розв’язання
Хай АВ=13 і ВС=5.Треба знайти катет АС та гострі кути: А та В.
За теоремою Піфагора: АС2=АВ2-ВС2;
АС2=132-52; АС2=169-25; АС2=144; АС=12.
Кут А знайдемо із співвідношення: ;3846,013
5 ===AB
BCSinA
Тоді ∠А=22037/; Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 900, то:
∠В=900-22037/=67023/.Відповідь: 12, 22037/, 67023/.
Задача3Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за гіпотенузою с=2 та гострим кутом α=200.
Розв’язання
Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 900, то:
∠В=900-200=700. ∠В=700.
АС будемо шукакти із співвідношення: ,SinBАВ
АС =,700SinАВАС ⋅=
АС=2*0,9397=1,8794 ≈ 1,88; АС=1,88.
ВС шукаємо із співвідношення: ;SinAАВ
ВС = ВС=АВSin200;
BC=2*0,3420=0,6840 ≈ 0,68. ВС=0,68.
Відповідь: 700, 1,88, 0,68.
Задача4Знайти невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за катетом а=3 і гострим кутом α=30 027 / .
Розв’язання
Хай ВС=3 і α=30027/. Треба знайти АС, АВ, ∠В.
АВ знайдемо із співвідношення:
;SinAАВ
ВС = .92,55068,0
3
'27300≈==
Sin
ВСАВ АВ=5,92.
АС знайдемо із співвідношення: ;tgAАС
ВС =
.10,55879,0
3
'27300≈==
tg
ВСАС АС=5,10.
Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника 900, то:
∠В=900-30027/=59033/. Відповідь: 5,92; 5,10; 59033/.
Для тих, хто хоче знати більше:
Задача1 Знайти Х за даними зображеними на малюнку.
Розв’язання
Треба знайти висоту AD проведену до сторони трикутника АВС.
Тобто треба знайти AD.
Розглянемо ∆ABD. Він прямокутний.
;SinBAB
ADенняспіввідношізТоді = Знаходимо, що AD=AB*SinB;
Тобто AD=a Sinα.
Задача2 Треба знайти сторону прямокутника AD та його діагональ АС.
Розв’язання
Так як протилежні сторони прямокутника рівні, тобто: AB=CD=a.
Розглянемо прямокутний трикутник ACD.
AC знайдемо із співвідношення:
,αSinAC
CD =;
αSin
CDAC = .
αSin
aAC =
.,,αα
αtg
aAD
tg
CDADtg
AD
CD ===
Задача3Знайти Х та У за даними на малюнку.
Розв’язання
Розглянемо прямокутний трикутник ACD.
Знайдемо АС:
;,, ααα lCosACADCosACCosAD
AC ===
Знайдемо DC:
;,, ααα lSinDCADSinDCSinAD
DC === Розглянемо ∆ АВС:
.22
,2
,2αα
αα
αSin
l
Sin
lCosAB
Sin
ACABSin
AB
AC ====
.2
2.2
2.2.2 α
αααα
ααα Cosl
Sin
CosSinlBCSin
Sin
lBCABSinBCSin
AB
BC ⋅=⋅⋅=⋅===
BD=BC-DC BD=l*Cosα − – l*Sinα = l*(Cosα – Sinα)
∠DAC=∠BAD=α
Задача4 Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо ∆ CDB:
,,, βββ bCosDBCBCosDBCosCB
DB ===
Розглянемо ∆АСВ:
.,, βββ btgACCBtgACtgCB
AC ===
Задача5 Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо ∆ АВС: ,αtgAC
AB =.
αα tg
a
tg
ABAC ==
Розглянемо ∆ ADC: ,βSinAC
DC =
,βACSinDC = .α
ββα tg
aSinSin
tg
aDC =⋅=
,βCosAC
AD = ,βACCosAD =
.α
ββα tg
aCosCos
tg
aAD =⋅=
Задача6Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Проведемо ВК ⊥ AD.
K
Тоді BC=KD=6. BK=CD= 32
∠ABK=300. Тоді ,300tgBK
AK =
.23
332300 =⋅== BKtgAK
AD=AK+KD, AD=2+6=8.
Відповідь: 8.
Задача7Знайти Х за даними малюнка.
Так як трапеція ABCD рівнобічна, то:
AD=BC+2ED.
Розв’язання
Знайдемо ED.
Розглянемо ∆ CDE. ∠CDE=600.
Тоді ,600tgED
CE = ;600tg
CEED =
.13
3 ==ED Тоді AD=5+2*1=7.
Відповідь: 7.
Задача8Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо ∆ ADC: Він прямокутний
Катет DC лежить проти кута 300, а тому дорівнює половині гіпотенузи АС.
Отже АС=8. Розглянемо ∆ АВС.
Він рівнобедрений. Тому АЕ=ЕС=4.
Розглянемо трикутник АВЕ. Він прямокутний.
,300tgАЕ
ВЕ = ,300tgAEBE ⋅= .3
34
3
34 =⋅=BE