geometry a

EΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΩΡΓΟΣ ΦΡΑΝΤΖΕΣΚΟΣ

1

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ:

πλευρές γωνίες

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

· Με κριτήριο τις πλευρές ΣΚΑΛΗΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

‘Εχει όλες τις πλευρές του ‘Εχει δύο ίσες πλευρές. ‘Εχει όλες τις πλευρές

άνισες. του ίσες.

· Με κριτήριο τις γωνίες ΟΞΥΓΩΝΙΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ ‘Εχει όλες τις γωνίες ‘Εχει μία ορθη και ‘Εχει μία αμβλεία και οξείες. δύο οξείες γωνίες. δύο οξείες γωνίες.


2

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΥΨΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ Είναι το ευθυγραμμο Είναι το κάθετο ευθύ- μίας γωνίας τριγώνου τμήμα που ενώνει μία γραμμο τμήμα που φέρεται λέγεται το ευθύγραμμο κορυφή με το μέσο της από μία κορυφή προς την τμήμα της γωνίας,από απέναντι πλευράς. απέναντι πλευρά. την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά.

Συμβολισμοι

· Οι πλευρές ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ μπορούν να συμβολιστούν αντίστοιχα και με ένα μικρό γράμμα γ,β,α από τις απέναντι κορυφές.

· Η διάμεσος ΑΜ μπορει να συμβολιστεί και με μα.Ομοίως οι άλλες δύο είναι μβ,μγ.

· Το ύψος ΑΕ μπορεί να συμβολιστεί και υα.Ομοίως τα άλλα δύο ύψη είναι υβ,υγ. · Η διχοτόμος ΑΔ μπορεί να συμβολιστεί και δαΟμοίως οι άλλες δύο διχοτόμοι

είναι δβ,δγ.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Γ-Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες ,τότε είναι ίσα.

Προσοχή: ‘Οταν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες,δεν αρκεί να βρούμε ένα οποιαδήποτε ζεύγος γωνιών ίσο ,για να τα βγάλουμε ίσα,οι ίσες γωνίες πρέπει να είναι οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές.

2ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Γ-Π-Γ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μί προς μία,τότε είναι ίσα.

Προσοχή: ‘Οταν δύο τρίγωνα εχουν μία πλευρά ίση,όπως και παραπάνω δεν αρκούν δύο οποιεσδήποτε γωνίες ίσες,πρέπει να είναι οι προσκείμενες στις ίσες πλευρές.


3

3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Π-Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,τότε είναι ίσα.

Παρατήρηση: Σε ίσα τρίγωνα,απέναντι από τις ίσες πλευρές βρίσκονται οι ίσες γωνίες και αντίστροφα απέναντι από τις ίσες γωνίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές. Αύτη η παρατήρηση μας βοηθάει να βρίσκουμε όλα τα ίσα στοιχεία δύο ίσων τριγώνων.

Προσοχή: Δύο τρίγωνα που έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία δεν είναι ίσα αλλά όμοια.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

· Οι προσκείμες στη βάση γωνίες είναι ίσες(βάση στο ισοσκελές ονομάζεται η πλευρά που δεν είναι ίδια με τις δύο ίσες).

· Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ύψος και διάμεσοςς. · Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση είναι ύψος και διχοτόμος. · Το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος.

‘Οταν μας ζητείται να αποδείξουμε ένα τρίγωνο ισόσκελές:

Αποδυκνείουμε ή ότι έχει δύο πλευρές ίσες ή καάποια από τις παραπάνω ιδιότητες.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

· ‘Ολες οι γωνίες του είναι ίσες. · ‘Ολες οι διχοτόμοι είναι ύψη και διάμεσοι. · ‘Ολες οι διάμεσοι είναι ύψη και διχοτόμοι. · ‘Ολα τα ύψη είναι διάμεσοι και διχοτόμοι.

Μεσοκάθετος Ευθυγράμμου Τμήματος

Ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος(ένα σύνολο σημείων με κοινή ιδιότητα)των σημείων του επίπέδου,που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος.

Ιδιότητα των Σημείων της Μεσοκαθέτου

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άρα του ευθυγράμμου τμήματος και αντίστροφα κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στην μεσοκάθετό του.


4

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

· Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ,όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρές ίσες μία προς μία.

· Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ,όταν έχουν μία πλευρά και μία οξεία γωνία ίσες.

ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ-ΧΟΡΔΕΣ-ΤΟΞΑ-ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΑ Αν έχουμε στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους,δύο:

· ίσες επίκεντρες γωνίες,τότε και οι αντίστοιχες χορδες,τα αντίστοιχα τόξα και αποστήματα θα είναι ίσα.

· ίσες χορδές,τότε και οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες, τα αντίστοιχα τόξα και αποστήματα θα είναι ίσα.

· ίσα τόξα,τότε και οι αντίστοιχες χορδες, οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες και τα αποστήματα θα είναι ίσα.

· ίσα αποστήματα,τότε και οι αντίστοιχες χορδες, οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες και τα τόξα θα είναι ίσα.

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ

Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Ιδιότητα των Σημείων της Διχοτόμου μιας Γωνίας:

Κάθε σημείο που ανήκει στην διχοτόμο μίας γωνίας,ισαπέχει από της πλευρές της γωνίας και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει απο τις πλευρές μίας γωνίας τότε βρίσκεται στην διχοτόμο της.


5

Θέματα για Λύση

1.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ, και έστω Κ,Λ,Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές.

2.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ.Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά ΓΔ=ΑΓ και τη ΓΒ κατά τμήμα ΒΕ=ΓΒ.Να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΒΔ.

3.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ.Προεκτείνουμε την βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ.Να αποδείξετε ότι:

α)Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

β)Κάθε σημείο της διχοτόμου της γωνίας ˆΒΑΓ ισαπέχει από τα σημεία Δ και Ε.

4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ.

α)Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ.

β)Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ κατά ίσα τμήματα ΑΖ και ΑΗ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι ΗΕ=ΖΔ

5.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Αβ<ΑΓ.Η μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο Δ και την προέκταση της ΒΑ στο Ε.Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΓΕΔ είναι ίσα.

6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και Ρ σημείο της διαμέσου ΑΔ.Αν η ΒΡ τένμει την ΑΓ στο σημείο Ζ και η ΓΡ την ΑΒ στο Ε,να αποδείξετε ότι:

α)ΒΡ=ΓΡ.

β)τα τρίγωνα ΒΕΡ και ΓΖΡ είναι ίσα.

γ)η ΑΔ είναι κάθετη στην ΕΖ.

7.Δίνεται οξεία γωνία ˆxOy ,η διχοτόμος της Οδ και τα σημεία Α και Β των Οχ και

Οy αντίστοιχα,με ΟΑ=ΟΒ.Θεωρούμε επίσης σημείο Μ της Οδ με ΟΜ<ΟΑ.Προεκτείνουμε τις ΜΑ και ΜΒ κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΜΓΔ είναι ισοσκελές.

β) το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.

γ)τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ είναι ίσα.


6

8.Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ=ΒΑ και την πλευρά ΓΑ κατά τμήμα ΑΕ=ΓΑ.

α)Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΒΓ.

β)Προεκτείνουμε την διάμεσο ΒΜ του ΑΒΓ,κατά τμήμα ΜΝ=ΒΜ.Να αποδείξετε ότι ΑΝ=ΔΕ.

9.Δίνεται οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνοΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ.Στα σημεία Β και Γ φέρνουμε αντίστοιχα ευθείες ε και ζ κάθετες στη ΒΓ.Η ε τέμνει την προέκταση της ΓΑ στο Δ και η ζ τέμνει την προέκταση της ΒΑ στο Ε.

α)Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ.

β)Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής των ΔΝ και ΜΕ,να αποδείξετε ότι:

ι)τα τρίγωνα ΔΜΝ και ΕΝΚ είναι ίσα.

ιι)η ευθεία ΑΚ είναι μεσοκάθετη της ΒΓ

10.Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και έστω Μ το μέσο της ΒΓ.Από το Μ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΓ,που τέμνει την ΑΓ στο Δ και την προέκταση της ΑΒ στο Ε.Επίσης από το Μ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΒ,που τέμνει την ΑΒ στο Ζ και την προέκταση της ΑΓ στο Η.Να αποδείξετε ότι:

α)τα τρίγωνα ΑΖΗ και ΑΔΕ είναι ίσα.

β)το τρίγωνο ΜΕΗ είναι ισοσκελές.

11.Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ.Φέρνουμε τη BE AΔ^ ,η οποία τέμνει την ΑΓ στο Ζ.Να αποδείξετε ότι:

α)ΑΒ=ΑΖ

β)το τρίγωνο ΒΔΖ είναι ισοσκελές.

12. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ.Προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ.Φέρνουμε τις ΔΖ ΑΒ και ΕΗ ΑΓ^ ^ .


α)ΜΔ=ΜΕ

β)τα σημεία Ζ και Η ισαπέχουν απο την ΒΓ.

γ)τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΑΕΗ είναι ίσα.


7

13.Σε κύκλο κέντρου Κ θεωρούμε την χορδή ΑΒ και την ΚΝ ΑΒ^ .Η προέκταση της ΚΝ,προς το Ν,τέμνει τον κύκλο στο Μ.Φέρνουμε και την ΜΓ ΚΑ^ .


α) ΑΒ2ΜΓ=

β)αν η ΜΓ τέμνει την ΑΒ στο Δ,τότε η ΚΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆΑΚΜ .

γ)τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΜΝΒ είναι ίσα.

14. Σε κύκλο κέντρου Κ θεωρούμε χορδή ΒΓ και έστω ΚΜ το απόστημά της.Η προέκταση του ΜΚ,προς το Κ,τέμνει τον κύκλο στο Α.

α)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

β)Θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα,ώστε ΒΔ=ΓΕ.

ι)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα.

ιι)Αν η ευθεία ΔΜ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Ζ,Η και η ευθεία ΕΜ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Θ,Ι,να αποδείξετε ότι ΗΖ=ΘΙ.


8

ΑΝΙΣΩΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΑΘΕΤΑ-ΠΛΑΓΙΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

Σχέση Εξωτερικής-Απέναντι Εσωτερικής Γωνίας

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου.

Ανισωτικές Σχέσεις Πλευρών-Γωνιών Τριγώνου

Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται όμοια άνισες πλευρές.

Τριγωνική Ανίσωση

Κάθε πλευρά τριγώνου ειναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την διαφορά τους.

Παρατήρηση: Η τριγωνική ανίσωση είναι ένας τρόπος για να ελεγχουμε αν είναι κατασκευάσιμο ένα τρίγωνο,όταν μας δίνουν τις πλευρές του.’Ετσι αν ισχύει η τριγωνική ανίσωση και για τις τρείς πλευρές του,το τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί.

Ανισωτικές Σχέσεις σε Δύο Τρίγωνα

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες,τότε και οι τρίτες πλευρές είναι όμοια άνισες και αντίστροφα.


9

ΚΑΘΕΤΑ-ΠΛΑΓΙΑ ΤΜΗΜΑΤΑ

‘Εστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α εκτός αυτής,τοτε:

· το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ ονομάζεται κάθετο. · το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ονομάζεται πλάγιο. · το Μ ονομάζεται προβολή του α στην ε ή ίχνος της καθέτου. · το Β ονομάζεται ίχνος του πλάγιου τμήματος ΑΒ. · το μήκος του ευθυγρα΄μμου τμήματος ΑΜ ονομάζεται απόσταση του Α από

την ε.

Θεωρήματα

· Αν δύο πλάγια τμήματα που άγονται από ένα σημείο προς την ίδια ευθεία είναι ίσα,τότε και τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου.

· Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα,τότε:

1. Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. 2. Αν τα δύο πλάγια είναι άνισα,τότε και οι αποστάσεις των ιχνών

τους από το ίχνος της καθέτου είναι όμοια άνισες.


10


1.Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 15 και είναι ΑΒ=χ,ΒΓ=2χ-3 και ΓΑ=2χ-2.Να διατάξετε τις γωνίς του τριγώνου.

2.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ<ΑΓ.Αν οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ,να αποδείξετε ότι ΔΒ<ΔΓ.

3.Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R θεωρούμε χορδή ΑΒ>R ,που δεν είναι διάμετρος.Αν Μ είναι σημείο της ακτίνας ΟΑ,να αποδείξετε ότι:

α)ΜΑ<ΜΒ β)ΜΒ<ΑΒ

4.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ.Αν οι διχοτόμοι των γωνιών εξΒ και

Γεξ τέμνονται στο Δ,να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές.

β)η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετη του τμήματος ΒΓ.

γ)αν Μ το μέσο του ΒΓ,τότε ΒΜ<ΜΔ.

5.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ,Ε των πλευρών ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα,ώστε ΒΔ=ΓΕ.Να αποδείξετε ότι ΔΕ<ΒΓ.

6.Να αποδείξετε ότι η ημιπερίμετρος ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη απο κάθε πλευρά του.

7.Να αποδείξετε ότι μία χορδή κύκλου που δεν διέρχεται από το κέντρο του,είναι μικρότερη από την διάμετρο του κύκλου.

8.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ.Από το Δ φέρουμε κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ που τις τέμνουν στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι ΕΖ<ΒΓ

9.Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές:

α)α=4 ,β=6 ,γ=8.

β)α=3 ,β=5 ,γ=9


11

ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ-ΚΥΚΛΟΥ

· Κανένα Κοινό Σημείο Σε αυτή την περίπτωση η ευθεία ονομάζεται εξωτερική του κύκλου και ισχύει η σχέση:

δ>ρ όπου δ η απόσταση ΟΑ και ρ η ακτίνα του κύκλου.

· ‘Ενα Κοινό Σημείο

Σε αυτή την περίπτωση η ευθεία ε ονομάζεται εφαπτομένη του κύκλου,το σημείο Α ονομάζεται σημείο επαφής και ισχύει η σχέση:

δ=ρ

· Δύο Κοινά Σημεία

Σε αυτη την περίπτωση η ευθεία ε ονομάζεται τέμνουσα του κύκλου,τα σημεία Μ,Ν ονομάζονται σημεία τομής και ισχύει η σχέση:

δ<ρ

Συμπέρασμα: Η σχετική θέση μίας ευθείας και ενός κύκλου καθορίζεται από την σχέση μεταξύ ακτίνας του κύκλου και απόστασης του κέντρου από την ευθεία. Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ 2 κοινά σημεία Η έκφραση το πολύ δύο κοινά σημεία σημαίνει ότι η ευθεία και ο κύκλος έχουν 2 ή 1 ή κανένα κοινό σημείο,δηλαδή δεν μπορούν να έχουν 3 κοινά σημεία.


12

Εφαπτόμενα Τμήματα Από ένα σημείο Μ εξωτερικό του κύκλου (ο,ρ) φέρνουμε δύο εφαπτομένες και Α,Β τα κοινα τους σημεία με τον κύκλο,τότε:

ι)τα τμήματα ΜΑ,ΜΒ ονομάζονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Μ. ιι)ηευθεία εΟΜ ονομάζεται διακεντρική ευθεία του σημειο Μ.

Θεώρημα: Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. ΜΑ=ΜΒ

Πόρισμα

Αν Μ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου,

τότε η διακεντρική ευθεία του:

· είναι μεσοκάθετη της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής. · διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και την γωνία των ακτίνων

που καταλήγουμ στα σημεία επαφής.


13


1.Δίνεται κύκλος κέντρου Ο,σημείο Μ εκτός αυτού και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ του κύκλου.Στη χορδή ΑΒ θεωρούμε σημεία Γ κσι Δ,με ΑΓ=ΒΔ.



β)τα τρίγωνα ΜΓΟ και ΜΔΟ είναι ίσα.

2. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο,σημείο Μ εκτός αυτού και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ του κύκλου.Φέρουμε τη διάμετρο ΓΔ,που είναι κάθετη στη ΜΟ.Αν οι ευθείες ΜΑ και ΜΒ τέμνουν την ευθεία ΓΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΒΖ και ΕΓ=ΖΔ

3. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο,σημείο Μ εκτός αυτού και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ του κύκλου.Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΓ=ΜΑ και την ΟΜ κατά τμήμα ΜΔ=ΟΜ.Να αποδείξετε ότι:

α) οˆΔΓΜ=90 .

β)αν οι ευθείες ΔΓ και ΟΒ τέμνονται στο Ε,τότε το τρίγωνο ΕΔΟ είναι ισοσκελές.

4. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο,σημείο Μ εκτός αυτού και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ του κύκλου.’Εστω ότι το τμήμα ΜΟ τέμνει τον κύκλο στο Λ και η εφαπτομένη του κύκλου στο Λ τέμνει τα ΜΑ και ΜΒ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα.



β)η περίμετρος του τριγώνου ΜΓΔ είναι 2ΜΑ


14

Σχετικές Θέσεις Δύο Κύκλων

· Κανένα Κοινό Σημείο

Περίπτωση 1: Ο ένας κύκλος εξωτερικός του άλλου

δ>R+ρ όπου δ=ΚΛ η διάκεντρος των δύο κύκλων

Περίπτωση 2 : Ο ένας εσωτερικός του άλλου δ<R-ρ όπου δ=ΚΛ η διάκεντρος των δύο κύκλων

· ‘Ενα κοινό σημείο

Περίπτωση 1: Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά

δ=R-ρ

Περίπτωση 2: Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά

δ=R+ρ


15

· Δύο Κοινά Σημεία Οι κύκλοι ονομάζονται τεμνόμενοι και η χορδή ΑΒ ονομάζεται κοινή χορδή των δύο κύκλων.

R-ρ<δ<R+ρ

Θεώρημα: Ηδιάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετη της κοινής χορδής τους. Προσοχή:Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά,δηλαδή η κοινή χορδή δεν είναι μεσοκάθετη της διακέντρου. Αυτό ισχύει μόνο στην περίπτωση των ίσων κύκλων.

Κοινές Εφαπτομένες Δύο Κύκλων

· O ένας εξωτερικός του άλλου Δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες ε1,ε2 και δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες ε3,ε4.(Συνολικά 4)

· Ο ένας στο εσωτερικό του άλλου

Καμία κοινή εφαπτομένη.


16

· Εφάπτονται Εσωτερικά Μία κοινη εξωτερική εφαπτομένη.

· Εφάπτονται Εξωτερικά Δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες ε1,ε2 και μία κοινή εσωτερική εφαπτομένη την ε3 που είναι κάθετη στην διάκεντρο.

· Τεμνόμενοι Κύκλοι

Δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες.


17


1.Δίνονται δύο κύκλοι (Κ,3) και (Λ,5).Να βρείτε το μήκος της διακέντρου των δύο κύκλων,αν αυτοί:

α)εφάπτονται εσωτερικά

β) εφάπτονται εξωτερικά

2. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ,4) και (Λ,7).Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο κύκλων,όταν:

α)δ=13 β)δ=11 γ)δ=6 δ)δ=3 ε)δ=1.

3.Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Κ,ρ) και (Λ,ρ),με ΚΛ>2ρ.’Εστω Μ ένα σημείο της μεσοκάθετης της διακέντρου ΚΛ.Να αποδείξετε ότι από το Μ άγονται ίσα εφαπτόμενα τμήματα προς τους δύο κύκλους.

4.Δύο κύκλοι με κέντρα Κ,Λ, εφάπτονται στο σημείο Α και έστω Μ ένα σημείο της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης.Από το Μ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΒ και ΜΓ των κύκλων με κέντρα Κ και Λ αντίστοιχα.


α)ΜΒ=ΜΓ β) ˆˆΚΒΓ=ΛΓΒ

5.Δίνονται δύο τεμνόμενοι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) κια έστω Α,Β τα κοινά τους σημεία.Προεκτείνουμε την κοινή χορδή ΑΒ κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ.

α)Αν τα τμήματα ΚΓ και ΚΔ τέμνουν τον κύκλο (Κ,R) στα σημεία Ε και Ζ

αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι º ºΕ= ΖA B

β)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΓΛ και ΚΔΛ είναι ίσα.

6. Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Κ,ρ) και (Λ,ρ),με ΚΛ>2ρ.Μία τυχαία ευθεία διέρχεται από το μέσο της διακέντρου ΚΛ και τέμνει τον κύκλο (Κ,ρ) στα σημεία Α,Β και τον κύκλο (Λ,ρ) στα σημεία Γ,Δ.Να αποδείξετε ότι ΑΒ=ΓΔ.


18

Παράλληλες ευθείες

Ορισμός: Δύο ευθείες ε1 και ε2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο ονομάζονται παράλληλες και συμβολίζονται ε1//ε2.

Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών

· ‘Ενα κοινό σημείο Οι εύθείες ονομάζονται τεμνόμενες και το κοινό τους σημείο ονομάζεται σημείο τομής.

· Κανένα κοινό σημείο Οι ευθείες ονονμάζονται παράλληλες.

· ‘Απειρα κοινά σημεία Οι ευθείες λέμε ή ότι ταυτίζονται ή ότι συμπίπτουν.

Παρατήρηση :Αν αναφερόμαστε σε ευθείες που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα,αυτές δεν μπορεί να ταυτίζονται.

Γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες και μία τεμνουσα τους

· Οι γωνίες γ,δ,ζ,κ που βρίσκονται μεταξύ των παραλλήλων ε1,ε2 ονομάζονται εντός.

· Οι γωνίες α,β,η,θ που βρίσκονται εξωτερικά των παραλλήλων ε1,ε2 ονομάζονται εκτός.

· Οι γωνίες α,δ,κ,θ που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε ονομάζονται επί τα αυτά μέρη.

· Οι γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της ε ονομάζονται εναλλάξ.

Ζεύγη Γωνιών

· Τα ζεύγη γωνιών γ-κ και δ-ζ λέγονται εντός εναλλάξ.


19

· Τα ζεύγη γωνιών δ-κ και γ-ζ λέγονται εντός και επί τα αυτά μέρη. · Τα ζεύγη γωνιών α-κ, δ-θ ,β-ζ ,γ-η λέγονται εντός εκτός και επί τα

αυτά μέρη.

Θεώρημα: Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες τους ίσες τότε είναι παράλληλες και αντίστροφα δύο ευθείες παράλληλες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες τους ίσες.

Πορίσματα

· Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους ίσες τότε είναι παράλληλες και αντίστροφα δύο ευθείες παράλληλες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους ίσες.

· Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους παραπληρωματικές τότε είναι παράλληλες και αντίστροφα δύο ευθείες παράλληλες τεμνόμενες από μία τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους παραπληρωματικές.

· Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία,σε διαφορετικά της σημεία είναι μεταξύ τους παραλληλες.

· Δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε,είναι και μεταξύ τους παράλληλες.

Παρατήρηση: ‘Οταν μας ζητείται να αποδείξουμε την παραλληλία δύο ευθειών,έχουμε 5 διαφορετικούς τρόπους με βάση τα πορίσματα και το θεώρημα.

Αίτημα Παραλληλίας

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς την ευθεία.


20

Γωνίες Με Πλευρές Παράλληλες

· Αν είναι και οι δύο γωνίες οξείες,είναι ίσες

· Αν είναι και οι δύο γωνίες αμβλείες,είναι ίσες

· Αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία,είναι παραπληρωματικές

Αξιοσημείωτοι Κύκλοι Τριγώνου

· Περιγεγραμμένος Κύκλος

Είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις 3 κορυφές του τριγώνου.Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του τριγώνου και ονομάζεται περίκεντρο.


21

· Εγγεγραμμένος Κύκλος

Είναι ο κύκλος που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και εφάπτεται και

στις 3 πλευρές του.Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των

γωνιών του τριγώνου. και ονομάζεται έγκεντρο .

· Παρεγεγραμμένοι Κύκλοι

Είναι 3 για κάθε τρίγωνο και βρίσκονται όλοι εξωτερικά του τριγώνου.Καθένας από αυτούς εφάπτεται σε μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των άλλων δύο πλευρών,Το κέντρο του καθενός είναι το σημείο τομής μίας διχοτόμου εσωτερικής γωνίας του τριγώνου και δύο διχοτόμων εξωτερικών γωνιών και ονομάζεται παράκεντρο.


22

Θέματα για Λύση 1.Στο παρακάτω σχήμα: α)να βρείτε το χ β)να αποδείξετε ότι ε1//ε2.

2.Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ε1//ε2. α)Να βρείτε το χ β)Να αποδείξετε ότι ε3//ε1.

3.Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ.Από το Β φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΔ,που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Από το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ,που τέμνει τη ΒΓ στο Ζ.Να αποδείξετε ότι η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας

ˆAEZ . 4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε//ΒΓ,που διέρχεται από το Α.Αν οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνουν την ε στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι: α)το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές β)ΖΗ=ΑΒ+ΑΓ 5. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ<ΑΓ) και η διχοτόμος του ΑΔ.Από το Δ δέρουμε ευθεία κάθετη στη ΔΑ,που τέμνει την ΑΓ στο Ε και από το Ε φέρνουμε παράλληλη στην ΑΒ,που τέμνει τη ΒΓ στο Ζ και την ΑΔ στο Η. Να αποδείξετε ότι: α)το τρίγωνο ΕΑΗ είναι ισοσκελές β)το Δ είναι μέσο του ΒΖ 6.Δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ,ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α.Φέρουμε ευθεία ε,που διέρχεται από το Α και τέμνει τον κύκλο (Κ,R) στο σημείο Β και τον (Λ,ρ) στο Γ.Να αποδείξετε ότι οι ακτίνες ΚΒ και ΛΓ είναι παράλληλες.


23

7.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ 90oA < ,και η διχοτόμος του ΒΔ.Από το Δ φέρουμε ευθεία κάθετη στη ΔΓ,που τέμνει την ΒΓ στο Ε. α)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ισοσκελές.

β)Αν η διχοτόμος της γωνίας ΔBE τέμνει την ΑΒ στο Κ,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΚ είναι ισοσκελές. 8.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,η διάμεσος του ΑΜ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΑΒ.’Εστω ο κύκλος (Δ,ΔΑ) τέμνει την ΑΜ στο Ε. α)Να αποδείξεται ότι ΔΕ//ΑΓ β)Αν η προέκταση της ΔΕ τέμνει την ΒΓ στο Ζ,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΒΖ είναι ισοσκελές. 9. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ και Δ τυχαίο σημείο στην προέκταση της ΑΓ,προς το μέρος του Γ.Ο κύκλος (Δ,ΔΓ) τέμνει την ΒΓ στο σημείο Ε. α)Να αποδείξετε ότι ΔΕ//ΑΒ

β)ΑΝ η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την ευθεία ΔΕ στο Ζ,να αποδείξετε ότι ΔΖ-ΕΒ=ΔΓ 10. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,το μέσο Μ της ΒΓ,τυχαίο σημείο Δ του ΒΜ και Ε το μέσο του ΒΔ.Από το Ε φέρουμε ευθεία κάθετη στη ΒΓ,που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. α)Να αποδείξετε ότι ΔΖ//ΑΓ β)Αν οι ευθείες ΖΔ και ΑΜ τέμνονται στο Κ,να αποδείξετε ότι ΒΖ+ΖΚ=ΑΓ. 11. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,το μέσο Μ της ΒΓ.Μία ευθεία ε//ΒΓ τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματαΑΒ,ΑΜ και ΑΓ στα σημεία Δ,Κ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α)το Κ είναι μέσο της ΔΕ. β)τα τρίγωνα ΔΒΚ και ΕΓΚ είναι ίσα.

γ) ˆˆΔΜΒ=ΔΕΜ 12.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ΒΓ>ΑΓ,και έστω Ι το σημείο τομής των διχοτόμων

των γωνιών Α και Β .Προεκτείνουμε την ΓΑ κατά τμήμα ΑΕ,ώστε ΓΕ=ΓΒ και θεωρούμε σημείο Δ της ΑΒ,ώστε ΒΔ=ΑΕ.Να αποδείξετε ότι: α)ΙΕ=ΙΒ β)η ευθεία ΓΙ είναι μεσοκάθετη του τμήματος ΕΒ. γ)το τρίγωνο ΙΑΔ είναι ισοσκελές.


24

‘Αθροισμα Γωνιών Τριγώνου

Θεώρημα: Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με 180ο

Πορίσματα

· Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου.

· Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία,τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.

· Κάθε γωνία ισοπλεύρου τριγώνου είναι 60ο . · Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές

Γωνίες με Πλευρές Κάθετες

· Αν είναι και οι δύο οξείες ,τότε είναι ίσες.

· Αν είναι και οι δύο αμβλείες ,τότε είναι ίσες.

· Αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία,τότε είναι παραπληρωματικές.


25

‘Αθροισμα Γωνιών Κυρτού ν-γώνου Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γωνου είναι 2ν-4 ορθές,δηλαδή (2ν-4)90ο ή (ν-2)180ο .

‘Αθροισμα Εξωτερικών Γωνιών Κυρτού ν-γώνου Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γωνου είναι πάντα 360ο .

Παρατήρηση: Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου εξάρτάται από το πλήθος των πλευρλων του ενώ το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του είναι πάντα σταθερό και ίσο με 360ο .


26


1.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με οA=75 και ˆˆ B=2Γ

α)Να βρείτε τις γωνίες ˆ B και Γ

β)Αν τα ύψη ΑΔ και ΓΕ τέμνονται στο Κ,να βρείτε τη γωνία ˆΑΚΓ

2.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 0ˆΑ+Γ=120 και ˆΑ=3Γ .

α)Να βείτε όλες τις γωνίες του τριγώνου.

β)Αν οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ B εξ και Γ εξ τέμνονται στο Ι,να βρείτε την γωνία ˆΒΙΓ .

3.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,στο οποίο ισχύει ότι οˆΑ=Β+30 .

α)Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

β)Αν οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ τέμνονται στο Ι,να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΙΓΔ.

4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ και οΑ=40 .Προεκτείνουμε την ΒΓ κατά τμήμα ΒΔ=ΒΑ και από το Γ φέρουμε ευθεία κάθετη στη ΒΓ,που τέμνει την ΔΑ στο Ε.Να βρείτε τις γωνίες των τριγώνων:

α)ΑΒΓ β)ΒΔΑ γ)ΑΕΓ

5.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ότι:

ˆˆΑ Β Γεξ εξ εξ=2 3 4=

α)Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ

β)Αν το ύψος ΑΔ και η διχοτόμος ΒΕ τέμνονται στο Κ,να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΚΕ.

6.Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ.Από το Δ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΓ,που την τέμνει στο Ε.Από το Ε φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΒ,που τέμνει την ΑΒ στο Ζ και την ΑΔ στο Η.Να αποδείξετε ότι οτι το τρίγωνο ΕΗΔ είναι ισοσκελές.


27

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ<ΑΓ,η διχοτόμος του ΑΔ και ένα σημείο Ε της πλευράς ΑΒ.Από το Ε φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΔ,που τέμνει την ΑΔ στο Ζ και

την προέκταση της ΒΓ στο Η.Να αποδείξετε ότι ˆΒ-Γ

2ˆΕΗΒ= .

8.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με οΑ=90 .Προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά τμήμα

ΓΔ=ΓΑ.Αν η διχοτόμος της ˆ B τέμνει την ΑΔ στο Ε,να αποδείξετε ότι 0ˆBEA=45 .

9.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ<ΑΓ.Από το σημείο Β φέρουμε ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο της Αεξ ,η οποία τέμνει τηνΑΓ στο Δ.

α)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές.

β)Να εκφράσεται τις γωνίες ˆΔΒΓκαι ˆΒΔΓ συναρτήσει των γωνιών ˆ B και Γ .

10.Σε κύκλο (Ο,R) θεωρούμε την χορδή ΑΒ,την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα ΒΓ=R .Το τμήμα ΓΟ τέμνει τον κύκλο στο Δ και η προέκταση του ΓΟ τέμνει τον κύκλο στο Ε.Να αποδείξετε ότι:

ˆ ˆΕΟΑ=3ΒΟΓ

11.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και σημείο Δ στην προέκταση του ΒΓ προς το Γ.Η μεσοκάθετη του ΓΔ τέμνει την ΑΔ στο Ε.

α)Να αποδείξετε ότι ˆ ˆΑΓΕ=ΒΑΔ

β)Από το Β φέρνουμε παράλληλη στη ΓΕ,που τέμνει την ΑΓ στο Ζ.Να αποδείξετε ότι

ˆ ˆΑΒΖ=ΓΑΔ

12.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΝ.Να αποδείξετε ότι:

α)ΓΜ=ΒΝ

β)Αν τα ΓΜ και ΒΝ τέμνονται στο Κ,τότε οˆΒΚΓ=120


28

13.Για τις γωνίες ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ισχύει ότι:

ˆˆˆΑ Β Γ Δ= = =

3 4 5 6

Να βρείτε τις γωνίες του ΑΒΓΔ.

14.Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ,με ˆΒ>Δ .Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των

γωνιών Α και Γ τέμνονται υπό γωνία ˆΒ-Δ

2 .

15.Να βρείτε το πλήθος των πλευρών ενός κυρτού πολυγώνου που έχει άθροισμα γωνιών:

α)12 ορθές β)720ο

16.Καθεμία από τις γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίση με 144ο .Να βρείτε το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου.


29

Παραλληλόγραμμο

‘Ορισμός: Παραλληλόγραμμο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Διαγώνιος Παραλληλογράμμου: ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο απέναντι κορυφές.(Σχήμα 1)

Το σημείο τομής των διαγωνίων ονομάζεται κέντρο του παραλληλογράμμου.

‘Υψος Παραλληλογράμμου: ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών και είναι κάθετο σε αυτές.(Σχήμα 2)

Οι απέναντι πλευρές ονμάζονται βάσεις ως προς το αντίστοιχο ύψος.

π.χ οι ΑΒ,ΓΔ είναι βάσεις για το ύψος ΚΛ και οι ΒΓ,ΑΔ για το ύψος ΜΝ.

(Σχήμα 1) (Σχήμα 2)

Ιδιότητες Παραλληλογράμμου

· Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. · Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. · Οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο

· Οι απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες. · Δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες. · Οι απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες. · Οι διαγώνιο του διχοτομούνται. · Οι διαδοχικές του γωνίες παραπληρωματικές.

‘Οταν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο,θα αποδεικνύουμε ένα από τα παραπάνω κριτήρια ή τον ορισμό του παραλληλογράμμου.


30

Θέματα για Λύση 1.Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι : oA=x , oˆ B=(2x+30 ), 0ˆ Γ=(2χ-50 ),

0ˆ και Δ=(3χ-20 ). Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 2.Αν σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει: ΑΒ=2χ+1, ΒΓ=χ+1, ΓΔ=4χ-3 και ΔΑ=5y-χ,να βρείτε τα χ,y.

3.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,στο οποίο ΑΒ>ΑΔ.Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την ΓΔ στο Ε και την προέκταση της ΑΔ στο Ζ.Να αποδείξετε ότι ΒΓ+ΔΖ=ΑΒ. 4.Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,να αποδείξετε ότι:

α)οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Β τέμνονται κάθετα.

β)οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Γ ,αν δεν ταυτίζονται,είναι παράλληλες. 5.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.Προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ κατά ίσα τμήματα ΒΕ και ΔΖ.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο.

6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,με Α >90ο .Φέρνουμε τις ΑΕ^ ΓΔ και ΓΖ^ ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α)τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΖΒ είναι ίσα. β)το τετράπλευρο ΒΖΔΕ είναι παραλληλόγραμμο. 7. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ κατά τμήματα ΒΕ και ΔΖ αντίστοιχα,με ΒΕ=ΔΖ.Να αποδείξετε ότι: α)το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο β)οι ευθείες ΑΓ,ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν. 8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ κατά τμήματα: ΒΕ=ΑΒ, ΓΖ=ΒΓ, ΔΗ=ΓΔ, ΑΘ=ΑΔ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι : α)ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμο β)τα παραλληλόγραμμα ΕΖΗΘ και ΑΒΓΔ έχουν το ίδιο κέντρο. 9.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και σημείο Δ της πλευράς ΑΓ.Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ=ΓΔ και φέρνουμε τα ΔΗ^ ΒΓ και ΕΖ^

ΒΓ. α)Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΗΕΖ είναι παραλληλόγραμμο

β)Αν η ΔΕ τέμνει την ΒΓ στο Κ,να αποδείξετε ότι ΒΓΚΗ= 2 .

10. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και σημείο Δ της πλευράς ΑΒ.Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΓΕ=ΒΔ.Αν ο κύκλος (Δ,ΔΒ) τέμνει την ΒΓ στο Ζ,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΓΔΖΕ είναι παραλληλόγραμμο.


31

11. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ.Οι μεσοκάθετες των ΒΔ και ΔΓ τέμνου τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α)ΑΕΔΖ παραλληλόγραμμο β)ΕΔ+ΔΖ=ΑΒ 12. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ.Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΕ=ΑΜ.Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Γ και Ε είναι συνευθειακά και το Γ είναι μέσο του ΔΕ. 13. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΝΒ και ΓΜΔ είναι ίσα. β)Αν ΑΝ,ΔΜ τέμνονται στο Κ και οι ΒΝ,ΓΜ τέμνονται στο Λ,να αποδείξετε ότι η ΚΛ διέρχεται από το μέσο της ΜΝ. 14. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,με κέντρο του το σημείο Ο και τα σημεία Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα.Η προέκταση της ΚΟ τέμνει την ΓΔ στο Μ και η προέκταση της ΛΟ τέμνει την ΒΓ στο Ν.Να αποδείξετε ότι: α)τα τρίγωνα ΚΟΑ και ΟΜΓ είναι ίσα. β)το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο.

15. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,με Α >90ο,και έστω Ε το μέσο της ΑΔ.Από το Ε φέρνουμε ευθεία κάθετη στη ΒΕ,που τέμνει τις ευθείες ΓΔ και ΒΑ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι: α)το τετράπλευρο ΗΑΖΔ είναι παραλληλόγραμμο β)ΒΖ=ΑΒ+ΔΖ.


32

Είδη Παραλληλογράμμων

Ορθογώνιο Ορισμός: Ορθογώνιο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία ορθή γωνία. Ιδιότητες Ορθογωνίου

· Οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Κριτήρια για να είναι ένα παραλληλόγραμμο ορθογώνιο

· Είναι παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία. · Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του είναι ίσες. · ‘Εχει τρεις γωνίες ορθές. · ‘Ολες οι γωνίες του είναι ίσες.

‘Οταν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο,τότε δείχνουμε ένα από τα παραπάνω κριτήρια(τα δύο τελευταία δεν απαιτούν να αποδείξουμε πρώτα ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο)

Ρομβος

Ορισμός: Ρόμβος ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Παρατήρηση: Ο ρόμβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Ιδιότητες Ρόμβου

· Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. · Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του.

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος

· ‘Εχει όλες τις πλευρές του ίσες. · Είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές του να είναι ίσες. · Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι τεμνονται κάθετα. · Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του.

‘Οταν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος,τότε δείχνουμε ένα από τα παραπάνω κριτήρια(τα πρώτο δεν απαιτεί να αποδείξουμε πρώτα ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο).


33

Τετράγωνο

Ορισμός: Τετράγωνο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. Ιδιότητες Τετραγώνου

· Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. · Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. · Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. · Οι διαγώνιές του είναι ίσες,τέμνονται κάθετα,διχοτομούνται και διχοτομούν

τις γωνίες του.

Το τετράγωνο συνδιάζει όλες τις ιδότητες των παραλληλογράμμων,ορθογωνίων και των ρόμβων.

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο

· Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. · Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του. · Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του είναι κάθετες. · Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. · Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και μία από αυτές διχοτομεί μία γωνία του. · Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες.

Παρατήρηση: Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο όπως επίσης είναι και ρόμβος ,το αντίστροφο όμως δεν ισχύει.


34

Θέματα για Λύση 1.Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με 0ˆAΓΒ=35 .Να βρείτε όλες τις γωνίες του ρόμβου.

2.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2χ+1,ΒΓ=χ+3,ΓΔ=3χ-1, Α=2ω καιΒ=ω . α)Να βρείτε το ω. β)Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. γ)Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΑΓ. 3.Μέσα σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΓΔΕ. α)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. β)Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΒΕ και ΑΕΓ 4.Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. α)Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΓΕ=ΑΒ.Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΒΓΕ. β)Αν Ζ σημείο της πλευράς ΑΒ,ώστε ΑΖ=ΑΟ,να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΟΖΒ. 5.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και τα μέσα Μ και Ν των ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα.Προεκτείνουμε την ΜΝ κατά τμήμα ΝΚ=ΜΝ.Να αποδείξετε ότι το ΑΜΓΚ είναι ορθογώνιο.

6.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ,στο οποίο ΑΒ>ΑΔ.Η διχοτόμος της γωνίας Ατέμνει την ΓΔ στο Ε.Από το Δ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΕ,που τέμνει την ΑΕ στο Κ και την ΑΒ στο Ζ.Να αποδείξετε ότι: α)τα τρίγωνα ΚΑΖ και ΚΔΕ είναι ίσα. β)το τετράπλευρο ΑΔΕΖ είναι ρόμβος. 7.Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ και έστω Ε,Ζ,Η,Θ σημεία των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ αντίστοιχα,με ΑΕ=ΓΖ=ΓΗ=ΑΘ.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο. 8.Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Εξωτερικά του ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ,ΒΓΖ,ΓΔΗ και ΔΑΘ.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο. 9.Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και σημεία Ε,Ζ των πλευρών ΑΒ,ΔΓ αντίστοιχα ,ώστε ΑΕ=ΔΖ.Να αποδείξετε ότι: α)τα τετράπλευρα ΑΕΖΔ και ΕΒΓΖ είναι ορθογώνιο. β)τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΓΔΕ είναι ίσα. 10.Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ .Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ και την ΒΓ κατά τμήμα ΓΖ=ΑΕ.Να αποδείξετε ότι: α)το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

β)αν η ΑΓ τέμνει τη ΔΕ στο Κ,τότε ˆˆΑΚΔ=ΑΕΖ .


35

11.Δύο ίσοι κύκλοι (Ο,ρ) και (Κ,ρ) τέμνονται στα σημεία Α και Β.Να αποδείξετε ότι: α)το τετράπλευρο ΟΑΚΒ είναι ρόμβος. β)αν Γ το αντιδιαμετρικό σημείο του Β στον κύκλο (Κ,ρ),τότε η ΟΓ διέρχεται από το μέσο της ΑΚ. 12.Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και μία ακτίνα του ΟΑ.Η μεσοκάθετη του ΟΑ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Γ. α)Να απιδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΒΑΓ είναι ρόμβος. β)αν Δ το αντιδιαμετρικό σημείο του Β,να αποδείξεται ότι το τετράπλευρο ΟΑΓΔ είναι ρόμβος. 13.Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ κατά ίσα τμήματα ΑΕ και ΒΖ αντίστοιχα. α)Να αποδείξετε ότι ΑΖ=ΕΔ. β)’Εστω ότι η ΖΑ τέμνει την ΕΔ στο Μ.Θεωρούμε σημείο Θ του ΜΔ,ώστε ΜΘ=ΜΕ και προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΗ=ΑΜ.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΗΘ είναι ρόμβος. 14.Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ και έστω Ο το κέντρο του.Φέρνουμε ΟΕ^ ΑΒ και ΟΖ^ ΒΓ. α)Να αποδείξετε ότι ΟΕ=ΟΖ. β)Από το Ζ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΒ,η οποία τέμνει την ΟΒ στο Η.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΕΗΖ είναι ρόμβος. 15.Μέσα σε ένα τεράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΖ και έξω από το τετράγωνο κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. α)Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε,Ζ,Δ είναι συνευθειακά. β)Αν οι προεκτάσεις των ΕΑ και ΓΖ τέμνονται στο Η,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΗΕΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.


36

Εφαρμογές των Παραλληλογράμμων στα Τρίγωνα Θεώρημα Ι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την Τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Θεώρημα ΙΙ: Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του ,τότε αυτή διέρχεται απο το μέσο της τρίτης πλευράς του. Θεώρημα ΙΙΙ: Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα,θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. Μεσοπαράλληλος Δύο Παράλληλων Ευθειών: Ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες (ε1) και (ε2),και είναι μία ευθεία παράλληλη προς τις (ε1) και (ε2),η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δύο παράλληλες. Βαρύκεντρο Τριγώνου: Ονομάζεται το σημείο τομής των διαμέσων των πλευρών του τριγώνου(το βαρύκεντρο είναι πάντα εσωτερικό σημείο του τριγώνου). Θεώρημα ΙV: Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου

η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 23 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου.

Παρατηρήσεις:

· ΑΘ= 23 ΑΔ , ΒΘ= 2

3 ΒΕ, ΓΘ= 23 ΓΖ.

· ΘΔ= 13 ΑΔ, ΘΕ= 1

3 ΒΕ, ΘΖ= 13 ΓΖ.

· ΑΘ=2ΘΔ, ΒΘ=2ΒΕ, ΓΘ=2ΘΖ.


37

Oρθόκεντρο Τριγώνου: ονομάζεται το σημείο τομης των φορέων των υψών του τριγώνου. Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο το ορθόκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου.(Σχήμα 1) Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο το ορθόκεντρο είναι σημείο του τριγώνου και μάλιστα είναι η κορυφή της ορθής γωνίας. (Σχήμα 2) Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο το ορθόκεντρο είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου. (Σχήμα 3)

(Σχήμα 1) (Σχήμα 2) (Σχήμα3)

Οι κορυφές Α,Β,Γ και το ορθόκεντρο Η ενός τριγώνου ΑΒΓ αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα,δηλαδή καθένα από τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζουν τα άλλα τρία.

Θεώρημα V: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου,που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας,είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα VΙ: Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί,τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.

Πόρισμα: Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία ισούται με 30ο ,τότε η απέναντι πλευρά του ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα αν μία πλευρά ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το μισό της υποτείνουσας,τότε η απέναντι γωνία ισούται με 30ο .


38


1.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 12.Αν Κ,Λ,Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα,να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΚΛΜ.

2.Να βρείτε το χ στα παρακάτω σχήματα:

3.Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΒΓ.’Εστω Ε,Ζ οι προβολές του Δ στις ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Αν Κ,Λ,Μ,Ν είναι τα μέσα των ΒΔ,ΔΓ,ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι ΕΚ+ΖΛ=ΜΝ.

4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ,Ν τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Αν Δ,Ε είναι

τα μέσα των ΑΜ,ΑΝ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι ΒΓΔΕ= 4

5.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με οΑ=90 και οΓ=30 .Φέρουμε το ύψος ΑΔ και έστω Μ,Ν τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι ΜΝ=ΑΔ

6.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με οΑ=90 ,το ύψος ΑΕ,η διχοτόμος του ΑΔ και η

διάμεσος του ΑΜ.Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ˆΕΑΜ

7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με οΑ=90 ,στο οποίο ισχύει ΒΓ=2ΑΓ.

α)Να βρείτε τις γωνίες Β και Γ .

β)Αν ΓΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας Γ ,να αποδείξετε ότι ΕΒ=2ΑΕ.

8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με οΑ=90 και Γ =2 Β .

α)Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ .

α)Από το Α φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο Γδ της Γ εξ, που τέμνει τη Γδ στο Κ και τη ΒΓ στο Μ.Να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΑΓΜ είναι ισοσκελές

β)ΑΜ=ΑΒ γ)ΒΓ=4ΓΚ


39

9.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ΒΓ=2ΑΒ,τα μέσα Μ και Ν των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα και

σημείο Δ της ΒΓ,ώστε ΒΔ= ΒΓ4 .Αν Ε είναι το μέσο του ΜΝ,να αποδείξετε ότι:

α)το τετράπλευρο ΒΔΕΜ είναι ρόμβος.

β) οˆΜΔΝ=90 .

γ)η ευθεία ΑΕ διέρχεται από το μέσο της ΒΓ.

10.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ<ΑΓ.Προεκτείνουμε τη ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ=ΑΓ και τη ΓΑ κατά τμήμα ΑΕ=ΑΒ.΄Εστω Κ,Λ,Μ,Ν τα μέσα των ΒΕ,ΓΔ,ΒΔ,ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι :

α)ΒΓ=ΔΕ

β)το τρίγωνο ΜΚΛ είναι ισοσκελές

γ)τα τρίγωνα ΚΜΝ και ΛΜΝ είναι ίσα.

11.Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε στην προέκταση της πλευράς ΓΔ προς το Δ.Από το Ε φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΓ,που τέμνει την ΑΓ στο Ζ και τη ΓΒ στο Κ.’Εστω Μ και Ν τα μέσα των ΑΕ και ΑΚ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΜΖΔ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

β)το τετράπλευρο ΜΑΝΖ είναι ρόμβος.

12. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με οΑ=90 και οΓ=30 .Φέρουμε το ύψος ΑΔ.

α)Να αποδείξετε ότι ΒΔ= ΒΓ4 .

β)Αν Κ,Λ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα και Μ είναι το μέσο του ΚΛ,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΜΚ είναι ρόμβος.

13.Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με οΑ=90 και οΓ=30 .Φέρουμε το ύψος ΑΗ και τη διάμεσο ΑΜ του ΑΒΓ.Από το Γ φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΜ,η οποία τέμνει την ΑΜ στο Ε.

α)Να αποδείξετε ότι ΑΗ=ΓΕ.

β)Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΜΕΗ.

γ)Να αποδείξετε όυι ΕΗ//= ΑΓ2 .


40

14.Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε των πλευρών ΑΒ,ΒΓ

αντίστοιχα,ώστε ΑΔ=ΒΕ= ΑΒ3

.

α)Να αποδείξετε ότι ΔΕ ^ ΒΓ.

β)Αν ΕΖ ^ ΑΓ,να αποδείξετε ότι:

ι)ΖΓ=ΑΔ

ιι)το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

15.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.Προεκτείνουμε την ΚΛ κατά τμήμα ΛΜ=Κλ.Να αποδείξετε ότι :

α)το τετράπλευρο ΒΓΜΚ είναι παραλληλόγραμμο,

β)Αν οι ΒΜ και ΑΓ τέμνονται στο Ν,τότε η ΚΝ διέρχεται από το μέσο της ΓΜ.

16.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοι του ΑΜ και ΒΝ,που τεμνονται στο Θ.’Εστω επίσης Κ το μέσο του ΒΘ.

α)Αν η ΓΚ τέμνει την ΘΜ στο Π,να αποδείξετε ότι ΠΜ= ΑΜ9

β)Αν η ΓΘ τέμνει την ΑΒ στο Λ,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΘΜ είναι παραλληλόγραμμο.

17.Δίνεται ισοσκελές και οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ=ΑΓ,και έστω Μ το μέσο της ΒΓ.Προεκτείνουμε την ΒΓ κατά τμήμα ΓΔ=ΒΓ και έστω Ν το μέσο της ΑΔ.Αν η ΜΝ τέμνει την ευθεία ΑΒ στο Ε,να αποδείξετε ότι:

α)ΓΝ= ΑΓ2 ,

β)τα τρίγωνα ΓΜΝ και ΜΒΕ είναι ίσα,

γ)ΜΕ=ΝΔ

δ)το τετράπλευρο ΒΕΓΝ είναι παραλληλόγραμμο.


41

Τραπέζιο

Ορισμός: Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες.

‘Εστω ΑΒΓΔ ένα τραπέζιο .

· Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου. · Κάθε ευθύγραμμο τμήμα,κάθετο στις βάσεις,με τα άκρα του στους φορείς των

βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου.(π.χ ΑΗ) · Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ,που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών

ΑΔ και ΒΓ ονομάζεται διάμεσος του τραπεζίου.

Θεώρημα: Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμα τους.

ΕΖ//ΑΒ//ΓΔ και AB+ΓΔ

EZ=2

Πόρισμα: Η διάμεσος ΕΖ τραπεζίου ΑΒΓΔ διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεών του.

ΚΛ//ΑΒ//ΓΔ και AB-ΓΔ

EZ=2


42

Ισοσκελές Τραπέζιο

Ορισμός: Ισοσκελές ονομάζεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες.

Ιδιότητες Ισοσκελούς Τραπεζίου

· Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες. · Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

Κριτήρια για να είναι ένα Τραπέζιο Ισοσκελές

· Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες. · Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

Ορθογώνιο Τραπέζιο: ονομάζεται το τραπέζιο που έχει δύο ορθές γωνίες.

Παρατήρηση: ‘Εστω ένα ισόσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ<ΓΔ,Αν φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ το τραπ’εζιο χωρίζεται σε ένα ορθογώνιο ΑΒΖΕ και δύο ίσα και ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΖΓ.


43


1.Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ) του παρακάτω σχήματος,τα Ε και Ζ είναι μέσα των ΑΔ,ΒΓ αντίστοιχα και ισχύουν ΓΔ=8 και ΚΛ=2.Να βρείτε τα μήκη των ΑΒ και ΕΖ.

2.Στο παρακάτω σχήμα ισχύουν ΑΒ//ΚΛ//ΜΝ//ΔΓ,ΑΚ=ΚΜ=ΜΔ,ΑΒ=15 και ΜΝ=35.Να βρείτε τα μήκη των

ΚΛ και ΔΓ.

3. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΒ//ΓΔ) του παρακάτω σχήματος,τα Ε και Ζ είναι μέσα των ΑΔ,ΒΓ αντίστοιχα.Να βρείτε το χ

4.Να βρείτε τις γωνίες του παρακάτω ισοσκελούς τραπεζίου.

5.Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ,με ΑΒ//ΓΔ,στο οποίο ισχύουν A=72ο και ΑΔ=ΔΓ=ΓΒ.Να αποδείξετε ότι ΑΓ=ΑΒ


44

6.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με A=90ο .’Εστω Κ,Λ τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα και Μ,Ν τα μέσα των ΚΒ,ΛΓ αντίστοιχα.Αν Πείναι το μέσο του ΚΛ,να αποδείξετε ότι ΜΝ=3ΑΠ

7.Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ο το κέντρο του.Αν Κ,Λ είναι τα μέσα των ΟΓ,ΟΔ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

8.’Εστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο,με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ.Θεωρούμε τα μέσα Κ,Λ,Μ,Ν των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ αντίστοιχα.


α)το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόμβος

β)Αν η ΝΛ τέμνει τις διαγωνίους ΑΓ,ΒΔ στα Ε,Ζ αντίστοιχα,τότε το τετράπλευρο ΚΕΜΖ είναι ρόμβος.

9.Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ.Προεκτείνουμε τη πλευρά ΒΓ κατά τμήμα ΓΕ=ΒΓ,την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΖ=ΑΓ και το ύψος ΑΔ κατά τμήμα ΔΗ=ΑΔ.Να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΑΗΖ είναι ορθογώνιο.

β)το τετράπλευρο ΒΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

10. ’Εστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο,με ΑΒ//ΓΔ και Γ =135ο .Αν ΕΖ είναι η διάμεσός του και ΔΗ το ύψος του,να αποδείξετε ότι:

ΕΖ+ΔΗ=ΑΒ

11.Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ,με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ,και τα μέσα Μ,Ν των ΑΔ,ΒΓ αντίστοιχα.’Εστω ότι η ΜΝ τέμνει τις ΒΔ,ΑΓ στα σημεία Κ,Λ αντίστοιχα.Αν ΑΕ και ΒΖ τα ύψη του τραπεζίου,να αποδείξετε ότι:

α)το τετράπλευρο ΚΛΕΔ είναιπαραλληλόγραμμο.

β)ΕΛ=ΖΚ.


45

12. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ,με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ.’Εστω τα μέσα Μ,Λ των ΑΔ,ΒΓ αντίστοιχα και Ν το σημείο τομής των ΔΒ και ΜΛ.’Εστω επίσης Ε το σημείο τομής της ευθείας ΑΝ με τη ΔΓ.

α)Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΔ είναι παραλληλόγραμμο,

β)Αν ΑΖ είναι το ύψος του τραπεζίου ΑΒΓΔ και Κ είναι το μέσο του ΕΓ,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΚΛΜ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

13.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ,με ˆΑ=Δ =90ο ,στο οποίο ισχύει ΒΓ=ΑΒ+ΓΔ.

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΒΓ εφάπτεται στην ΑΔ.

14.Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε το συμμετρικό της κορυφής Α ως προς ΒΔ.’Εστω Μ το σημείο τομής των ΑΕ και ΒΔ.Να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ορθογώνιο,

β)το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο,

γ)το ΒΜ είναι ίσο με τη διάμεσο του τραπέζίου ΒΓΕΔ.

15.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ,με ΑΒ//ΓΔ,για το οποίο ισχύει ΑΒ=ΑΔ= ΓΔ2 .’Εστω

επίσης Μ το μέσο της πλευράς ΓΔ.Να αποδείξετε ότι:

α)η ΔΒ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ ,

β)το τετράπλευρο ΑΒΜΔ είναι ρόμβος,

γ)ΔΒ ^ ΒΓ

δ)Αν οι ευθείες ΔΑ και ΓΒ τέμνονται στο Ε,τότε το τετράπλευρο ΑΜΒΕ είναι παραλληλόγραμμο.


46

Εγγεγραμμένη Γωνία

Ορισμοί:

· Επίκεντρη γωνία ενός κύκλου ονομάζεται η γωνία εκείνη που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου.

· Εγγεγραμμένη γωνία σε ένα κύκλο ονομάζεται η γωνία εκείνη που η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές τις είναι τέμνουσες του κύκλου.

· Γωνία χορδης και εφαπτομένης ονομάζεται η γωνία εκείνη που έχει κορυφή

ένα σημείο του κύκλου και οι πλευρές τις είναι η μία τέμνουσα του κύκλου και η άλλη εφαπτομένη του.

Θεώρημα : Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισο της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο. Πορίσματα:

1. Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστιχου τόξου της.

2. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 3. Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα του

ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα.


47

Θεώρημα: Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής.

Πορίσμα: Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο τόξο της χορδής.

Γωνία Δύο Τεμνουσών του Κύκλου

· Οι δύο τέμνουσες του κύκλου τέμνονται μεταξύ τους εσωτερικά

» »AΓ+BΔω= 2

· Οι δύο τέμνουσες του κύκλου τέμνονται μεταξύ τους εξωτερικά

» »AΓ BΔω= 2

,

Τόξα μεταξύ Παράλληλων Χορδών: Τα τόξα που περιέχονται μεταξύ δύο παράλληλων χορδών ενός κύκλου είναι ίσα και αντίστροφα.


48


1.Στο παρακάτω σχήμα το Κ είναι το κέντρο του κύκλου και ισχύει ότι ˆΑΓΒ =35ο.

Να βρείτε τη γωνία ˆΚΑΒ .

2. Στο παρακάτω σχήμα το Κ είναι το κέντρο του κύκλου και ισχύει ότι ˆΑΔΓ =50ο.

Να βρείτε τη γωνία ˆΑΓΒ .

3. Στο παρακάτω σχήμα είναι:

ºAB =80ο και º ΓΔ =60ο

Να βρείτε τη γωνία ˆΓΕΔ .


49

4. Στο παρακάτω σχήμα είναι:

ºΓB =100ο και ˆΑΕΔ =30ο

Να βρείτε το τόξο »AΔ .

5.Στο παρακάτω σχήμα η χχ’ είναι εφαπτομένη του κύκλου και ισχύουν ˆΒΑχ=38ο

και ºΓB =124ο .Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

6.Σε κύκλο διαμέτρου ΑΒ φέρουμε χορδή ΑΓ,ώστε ˆΓΑΒ =30ο.Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Δ.Να αποδείξετε ότι:

α)το τρίγωνο ΓΑΔ είναι ισοσκελές,

β)ΑΒ=2ΒΔ

7.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο.Η διχοτόμος της γωνίας

Α τέμνει τον κύκλο στο Δ και η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την ΑΔ στο Ε.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΒ είναι ισοσκελές.

8.Δίνεται κύκλος κέντρου Κ,μία ακτίνα του ΚΑ και μία χορδή του ΑΒ.Να αποδείξετε ότι ο κύκλος διχοτομεί τη χορδή ΑΒ.

9.Σε κύκλο διαμέτρου ΑΒ φέρουμε δύο παράλληλες χορδές ΑΓ και ΒΔ.Να αποδείξετε ότι:

α)ΑΓ=ΒΔ

β)η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου.


50

Εγγεγραμμένα Τετράπλευρα

Ορισμός: ‘Ενα τετράπλευρο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο ,αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου.

Ιδιότητες Εγγεγραμμένων Τετραπλεύρων

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ,που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R),έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

· Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, · κάθε πλευρά του φαίνεται από τις κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Πόρισμα: Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του,δηλάδή:

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆA=Γ , Β=Δ , Γ=Α και Δ=Βεξ εξ εξ εξ

Εγγράψιμο Τετράπλευρο

Ορισμός: ‘Ενα τετράπλευρο ονομάζεται εγγράψιμο,όταν μπορει γα γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του.

Παρατήρηση: ‘Οταν έχουμε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο και σχεδιάσουμε τον κύκλο που μπορεί να περάσει από όλες τις κορυφές του,τότε αυτό γίνεται εγγεγραμμένο.


51

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο εγγράψιμο

‘Ενα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο,αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις:

· Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, · Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. · Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του

τετραπλεύρου.

Περιγγεγραμμένο Τετράπλευρο

Ορισμός: ‘Ενα τετράπλευρο,του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο,λέγεται περιγεγραμμένο στον κύκλο αυτό και ο κύκλος εγγεγραμμένος στο τετράπλευρο.

Ιδιότητες Περιγεγραμμένου Τετραπλεύρου

‘Ενα περιγεγραμμένο τετράπλευρο έχει τις εξής ιδιότητες:

· Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο,το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

· Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

Περιγράψιμο Τετράπλευρο

Ορισμός: ‘Ενα τετράπλευρο λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο,όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που εφάπτεται και στις τεσσερις πλευρές του.

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο περιγράψιμο

· Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. · Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.


52


1.Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο.Να υπολογίσετε την γωνία ω.

2. Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο.Να υπολογίσετε τις γωνίες του.

3.Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ότι ΒΓ=ΒΑ.Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμμο και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις γωνίες α,β,γ,δ,ε,ζ.

4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε ένα σημείο του ύψους ΑΔ.Αν Ζ και Η είναι οι προβολές του Ε στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι:

α) ˆˆΖΑΕ=ΖΗΕ ,

β)το τετράπλευρο ΒΖΗΓ είναι εγγράψιμο.


53

5. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ,με ΑΒ<ΑΓ και η διχοτόμος του ΑΔ.Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Ε,ώστε ΑΕ=ΑΒ και έστω Λ η προβολή του Ε στη ΒΓ.Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΑΔ να αποδείξετε ότι:

α)το τετράπλευρο ΚΔΛΕ είναι εγγράψιμο,

β) ˆ ˆΚΔΕ=ΚΕΛ

6.Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΑΒ και την εφαπτομένη του ε στο Β.’Εστω Γ και Δ δύο σημεία του κύκλου που ανήκουν σε διαφορετικά από τα ημικύκλια που ορίζει η ΑΒ.Αν οι ΑΓ και ΑΔ τέμνουν την ε στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΓΔΗΖ είναι εγγραάψιμο.

7.Δίνεται κύκλος κέντρου Ο,μία χορδή του ΑΒ και το μέσο Μ του τόξου ºAB .Από το Μ φέρουμε δύο χορδές ΜΓ και ΜΔ που τέμνουν τη χορδή ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι:

α)το τετράπλευρο ΓΔΖΕ είναι εγγράψιμο,

β)Αν οι ΓΖ,ΔΕ τέμνουν του κύκλο στα Λ,Ν αντίστοιχα, τότε το Μ είναι το μέσο του

τόξου »ΛΝ .

geometry a

Documents