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GEOMETRY

Helico curiosities

¡Veamos!

Un polígono es la reunión de tres o más segmentos que se intersecan solo en los ex-tremos y cada dos segmentos consecutivos no son colineales. Un polígono se puede dibujar en el plano o en el espacio.

Una de los múltiples aplicaciones de polígonos es la instalación de postes de luz de un determinado distrito, dibujando primero en un plano los puntos donde se hará la excavación.

Otros polígonos

Otra aplicación de los polígonos es para limitar dos distritos consecutivos trazando en el plano los polígonos.

Responda.

1. ¿Cuántos lados tiene el distrito B?

_____________________________________________________________________

2. ¿Cómo se llama el polígono del distrito A?

_____________________________________________________________________

En el plano En el espacio

Distrito A

Distrito B

APRENDIZAJES ESPERADOS

CHAPTER

POLÍGONOS10 ¾ Reconoce a los polígonos convexos y no convexos.

¾ Resuelve los problemas utilizando los teoremas en los polígo-nos convexos.

99

•

Definición

Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos coplanares tal que cada dos segmentos consecutivos solo se intersecan en un extremo y sean no colineales.

C

D

E

FG

A

BNotación:Polígono ABCDEFG

Recuerda

Los elementos del polígono son

¾ Vértices: A, B, C, D, E, F y G

¾ Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA

Ángulos y líneas en el polígono

¾ Medida de los ángulos internos: α, β, θ, φ, γ, ω, ψ

βθ

φ

ωγ

α

ψ

¾ Medida de los ángulos externos: α, β, θ, φ, γ, ω

θ

φ

γ

ωα

β

¾ Diagonal

Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

C

D

EF

A

B

En el polígono ABCDEF, FC es una diagonal.

¾ Diagonal media

Segmento que une los puntos medios de dos lados de un polígono.

A

B

C

D

E

FG

M

N

n

n

En el polígono ABCDEFG, MN es una diagonal media.

POLÍGONO

Helico theory

MATHEMATICS • VOLUME 4 • 1st GRADE OF SECONDARY

99

•

GEOM

ETRY

Clasificación de los polígonos planos

¾ Según el número de lados

Nombres de los polígonos

Triángulo 3 lados

Cuadrilátero 4 lados

Pentágono 5 lados

Hexágono 6 lados

Heptágono 7 lados

Octágono 8 lados

Eneágono o nonágono 9 lados

Decágono 10 lados

Endecágono o undecágono 11 lados

Dodecágono 12 lados

Pentadecágono 15 lados

Icoságono 20 lados

Recuerda

Si un polígono tiene n la-

dos, entonces presenta n

vértices, n ángulos inter-

nos y n ángulos externos.

Los demás polígonos no presentan nombre específi-co; son: polígono de 13 lados, polígono de 14 lados, polígono de 16 lados, etc.

Teorema de un polígono convexo de n lados

n =Número de lados = Número de vértices= Número de ángulos internos

1. Suma de medidas de los ángulos internos (Smi)

β

α

θ

ω

γ

φ

ψ

Sm i = 180º(n – 2)

2. Suma de medidas de los ángulos externos (Sme)

θ

α

β

ψω

φ

En todo polígono convexo dicha suma es

Sm e = 360º

3. Número total de diagonales (D)

D =

n(n – 3)2


99

•

GEOMETRY

POLÍGONOS

TeoremasClasificación de los polígonos según el número de lados

3 lados : Triángulo

4 lados : Cuadrilátero

5 lados : Pentágono

6 lados : Hexágono

7 lados : Heptágono

8 lados : Octágono

9 lados : Eneágono o nonágono

10 lados : Decágono

11 lados : Endecágono

12 lados : Dodecágono

15 lados : Pentadecágono

20 lados : Icoságono

Smi: suma de las medidas de los ángulos internos

Smi= 180°(n – 2)

D: número total de diagonales

D = n(n – 3)2

Sme: suma de las medidas de los ángulos exteriores

Sme= 360°

Notación

Polígono ABCDE

Elementos

A E

D

C

B

¾ Vértices: A, B, C, D y E

¾ Lados: AB, BC, CD, DE y AE

n: número de lados

Helico synthesis


99

•

GEOM

ETRY

1. ¿Cuántas diagonales se podrán trazar como máximo en un dodecágono?

Resolución

¾ Se pide: D = n(n – 3)2

¾ En el dodecágono: n = 12

12(12 3)

D2−=

∴ D= 54

Rpta.: 54

2. Halle el valor de x en la figura mostrada.

2x

3x

2x

3x

Resolución

¾ Se pide: x

¾ En el pentágono: n = 5

¾ Sm i = 180º(n – 2)

90º + 2x + 3x + 2x + 3x = 180º(5 – 2)

10x = 450º

∴ x = 45º

Rpta.: 45°

3. En la figura, halle el valor de x.

x

x

x

x

x120º

2x

Resolución

x

x

x

x

x

2x

2x

2x3x

120º

60º

¾ Se pide: x

¾ Sm e = 360º

2x + 2x + 90º + 3x + 60º = 360º

7x = 210º

∴ x = 30°

Rpta.: 30°

Solved problems


99

•

GEOMETRY

Nivel I

1. En la figura se muestra un parque que se limita por listones formando un polígono irregular, calcule el valor de x.

120° 140°

x

Resolución


x

x

x

60°

70°

50°

Resolución

4. En la figura, halle el valor de x si el polígono mos-trado es equiángulo.

6x

x + 90°

Resolución

Piden el valor de x.

1.º Polígono equiángulo: ángulos interiores con-

gruentes

2.º 6x = x + 90°

6x – x = 90°

5x = 90°

x = 90°5

∴ x = 18°

Rpta.: 18°

5. En la figura mostrada, halle el valor de x si el polí-gono mostrado es equilátero.

21

4x – 3

Resolución

Piden el valor de x.

1.º Polígono equilátero: ángulos congruentes

2.º 4x – 3 = 21

4x = 21 + 3

4x = 24

x = 244

∴ x = 6

Rpta.: 6

Helico practice


111

•

GEOM

ETRY

Nivel II

3. Halle el número total de diagonales que se puede trazar en el siguiente polígono.

Resolución

4. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un octágono.

Resolución

5. Halle el número total de diagonales de un pentade-cágono.

Resolución

Nivel III

6. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos internos es 900°?

Resolución


111

•

GEOMETRY

Nivel I

1. En la figura se muestra un parque que se cerca con listones de madera como se muestra formando un polígono irregular, halle el valor de x.

140°140°

140°

x

x

x

Resolución


3x

80°

70°

60°

x

2x

Resolución

7. ¿En qué polígono se cumple que el número total de diagonales es igual al doble del número total de la-dos?

Resolución

8. En la figura se muestra el techo en V de una casa, si un lado del techo formara 140° con una pared lateral. Halle la medida del ángulo del techo en V.

Resolución

GRADE

Helico workshop


111

•

GEOM

ETRY

Nivel II

3. Halle el número total de diagonales que puede tra-zarse en el siguiente polígono.

Resolución

4. Calcule la suma de las medidas de los ángulos inte-riores de un heptágono.

Resolución

5. Halle el número total de diagonales de un decágono.

Resolución

Nivel III

6. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las me-didas de los ángulos internos es 1800°?

Resolución


111

•

GEOMETRY

7. ¿En qué polígono se cumple que el número total de diagonales es igual al triple del número total de lados?

Resolución

8. Si el techo en V forma un ángulo recto, ¿qué ángulo forma el techo y la pared lateral?

Resolución

1. ¿En qué polígono se cumple que la suma del total de lados y el número total de vértices es igual al número total de diagonales?

A) Triángulo B) Cuadrilátero C) Pentágono

D) Hexágono E) Heptágono

2. Calcule la suma de las medidas de los ángulos inter-nos de un polígono cuyo número total de diagonales es el triple del número de lados.

A) 850° B) 1000° C) 1210°

D) 1100° E) 1260°

Helico trial


114

•

GEOM

ETRY

Nivel I

1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos inte-riores de un icoságono.

Resolución

Nivel II

2. Halle el valor de x.

2x

40°

50°

60°

3x

Resolución

3. Halle el número total de diagonales de un dodecágono.

Resolución

Nivel III

4. Calcule el número de diagonales del polígono mostrado.

Resolución

5. Se construye una mesa para cinco personas como se muestra en la figura, halle el valor de x.

140°

x

x x

x

Resolución

GRADE

Helico challenge


119

•

GEOMETRY

Nivel I

1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos inter-nos del siguiente polígono.

A) 720° B) 1440° C) 1260°

D) 1620° E) 1080°


4x

x 80°

60° 4x

40°

A) 10° B) 20° C) 30°

D) 40° E) 50°

3. En el siguiente polígono, halle el número total de diagonales.

A) 6 B) 8 C) 10

D) 12 E) 14

Nivel II

4. Calcule la suma de las medidas de los ángulos inter-nos de un decágono.

A) 180° B) 360° C) 1440°

D) 540° E) 720°

5. Halle el número total de diagonales de un icoságono.

A) 130 B) 140 C) 150

D) 160 E) 170

6. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las me-didas de los ángulos internos es 1260°?

A) Heptágono B) Octágono

C) Nonágono D) Decágono

E) Endecágono

Nivel III

7. ¿En qué polígono se cumple que el número total de diagonales es igual al número total de lados?

A) Octágono B) Heptágono

C) Hexágono D) Pentágono

E) Cuadrilátero

8. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las me-didas de los ángulos interiores es igual al doble de la suma de las medidas de los ángulos exteriores?

A) Pentágono B) Heptágono

C) Decágono D) Hexágono

E) Octágono


130°

120°

5x

3x

4x

110°

A) 10° B) 20° C) 30°

D) 40° E) 50°

10. Se construye una malla metálica poligonal de mane-ra que la suma de las medidas de su ángulos internos es 1080°, si se quiere reforzar con fierros uniendo cada dos vértices no consecutivos. ¿Cuántos fierros más se necesitan?

A) 5 B) 10 C) 15

D) 20 E) 25

Helico homework


119

•

GEOM

ETRY

Helico curiosities

¡Veamos!

Los polígonos regulares son polígonos convexos equiángulos y equiláteros. Existen muchos usos de los polígonos regu-lares incluso en la naturaleza, las abejas construyen su panal en forma de hexágonos regulares teseleados en sus vértices.

Una mesa para 5 personas Panal de abejas Un letrero

Se pueden teselar polígonos regulares de diferentes números de lados.

Un espejo

Responda.

1. ¿Cuántos pentágonos regulares se colocaron alrededor del espejo mostrado?

_________________________________________________________________________________________


CHAPTER

POLÍGONOS REGULARES11 ¾ Reconoce un polígono regular según la medida de sus lados y sus

ángulos.

¾ Resuelve problemas utilizando los teoremas en un polígono regular.

119

•

1. Polígono equiángulo

Es aquel polígono que tiene sus ángulos internos de igual medida.

αα

α

α α

α

Hexágono equiángulo

α

α

α

α

α

Pentágono equiángulo

2. Polígono equilátero

Es aquel polígono que tiene sus lados de igual longitud.

l

l

l

l

l

3. Polígono regular

Es aquel polígono que es equiángulo y equilátero.

60°

60° 60°

108°

l

l

l

l

l

108°

108°

108° 108°

Pentágono regular

l

l

l

l

l l

120° 120°

120° 120°

120° 120°

Hexágono regular

Teoremas

1. Medida de un ángulo interior en un polígono regular o equiángulo

α α

α α

α α

α: medida del ángulo interior

α = 180 ( 2)n

n° −

POLÍGONOS REGULARES

Helico theory


119

•

GEOM

ETRY

2. Medida de un ángulo exterior en un polígono regular o equiángulo

ee

e

ee

e

e: medida del ángulo exterior

e = 360

n°

Anotación

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Clasificación de los polígonos según las medidas de los lados y ángulos Teoremas

α: medida de un ángulo interior

n: número de lados

α = 180 ( 2)nn

° −

e: medida de un ángulo exterior

n: número de lados

e = 360

n°

Polígono equilátero

Polígono equiángulo

αα

α

α α

α

α

α

α

α

α

Polígono regular

α

α

α α

α

POLÍGONOS REGULARES

Helico synthesis


119

•

GEOMETRY

1. Si las medidas del ángulo interior y exterior de un polígono equiángulo están en relación de 3 a 1. Halle el número de lados de dicho polígono.

Resolución

x

3xC

B A

D

Polígonoequiángulo

¾ En C: 3x + x = 180º 4x = 180º x = 45º

¾360

n° = 45º, n: número de lados

∴ n = 8Rpta.: 8

2. La medida del ángulo exterior de un polígono es 36º. Halle el número de diagonales de dicho polígono.

Resolución

¾ 360n° = 36º → n = 10

¾ D = 10(10 3)

2−

∴ D= 35

Rpta.: 35

3. Halle el valor de α si el polígono es regular.

3α

Resolución

180 (5 2)3

5° −α =

3α = 36°(3) α = 36°

Rpta.: 36°

4. Calcule el perímetro del polígono regular mostrado.

4 m

Resolución

Perímetro = 7 veces

4 4 4 ... 4+ + + +

Perímetro = 7(4)

Perímetro = 28 m

Rpta.: 28 m

5. Si el polígono mostrado es regular, halle el valor de x.

2x + 30

8x

Resolución

El polígono regular tiene lados de igual longitud.

2x + 30 = 8x

6x = 30

x = 5

Rpta.: 5

Solved problems


111

•

GEOM

ETRY

Nivel I

1. En el polígono equiángulo, halle el valor de α.

120°

15α

Resolución

2. En el polígono equilátero, halle el valor de x.

15

4x + 3

Resolución

Nivel II

3. En el polígono regular, halle el valor de α.

α

Resolución

4. Calcule el perímetro del siguiente polígono regular.

5

Resolución

Helico practice


111

•

GEOMETRY

5. Halle la medida de un ángulo interior de un octágo-no regular.

Resolución

Nivel III

6. Halle la medida de un ángulo exterior de un hexágono regular.

Resolución

7. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida de un ángulo exterior es de 24°?

Resolución

8. Se muestra una mesa hexagonal regular. Halle la medida del ángulo α, que forman dos lados continuos de la mesa.

α

Resolución


111

•

GEOM

ETRY

Nivel I


5α150°

Resolución


16

3x + 1

Resolución

Nivel II

3. En el polígono regular, halle el valor de α.

4α

Resolución

4. Calcule el perímetro del siguiente polígono regular.

8

Resolución

GRADE

Helico workshop


111

•

GEOMETRY

5. Halle la medida de un ángulo interior de un decágono regular.

Resolución

Nivel III

6. Halle la medida de un ángulo exterior de un dodecá-gono regular.

Resolución

7. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida de un ángulo exterior es de 36°?

Resolución

8. Se muestra un espejo formado en la parte central por un polígono regular de 12 lados y a su alrededor 12 espejos de forma de trapecio isósceles. Halle el valor de α.

α

Resolución


114

•

GEOM

ETRY

1. ¿Como se llama el polígono regular en el cual la medida de un ángulo interno y externo miden igual?

A) Triángulo

B) Cuadrado

C) Pentágono

D) Hexágono

E) Heptágono

2. En los siguientes polígonos regulares, halle el valor de x.

A) 102°

B) 144°

C) 135°

x

D) 120°

E) 108°

Nivel I

1. En el polígono equiángulo, halle el valor de β.

160°

3β+10°

Resolución

Nivel II

2. Halle el valor de x si el polígono es equilátero.

14

5x −1

Resolución

Helico trial

GRADE

Helico challenge


119

•

GEOMETRY

Nivel I


α

A) 10° B) 20° C) 30°

D) 40° E) 50°


94x + 1

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

3. En el polígono equiángulo, halle el valor de x.

5x

Resolución

Nivel III

4. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida de un ángulo interior es de 135°?

Resolución

5. Se construye un espejo de forma de decágono re-gular y alrededor exteriormente se pegan polígonos regulares, ¿cuántos lados tienen los polígonos regu-lares que se pegaron alrededor?

Resolución

Helico homework


119

•

GEOM

ETRY


α

A) 20° B) 30° C) 40°

D) 50° E) 60°

Nivel II

4. Calcule el perímetro del octágono regular.

6

A) 42 B) 44 C) 46

D) 48 E) 50

5. Halle la medida de un ángulo interior de un decágono

regular.

A) 136° B) 140° C) 144°

D) 148° E) 152°

6. Halle la medida de un ángulo exterior de un icoságono

regular.

A) 16° B) 18° C) 20°

D) 22° E) 24°

Nivel III

7. ¿En qué polígono regular se cumple que la medida

de un ángulo interior es 150°?

A) Decágono B) Endecágono

C) Dodecágono D) Pentadecágono

E) Icoságono

8. Se desea cercar un jardín de forma de polígono regu-

lar, de manera que cada dos lados forman un ángulo

que mide 162°, ¿cuántos lados se necesita para cer-

car el jardín?

A) 10 B) 8 C) 12

D) 15 E) 20

9. En los polígonos regulares mostrados, halle el valor de x.

A

B C

D

E

x

A) 120° B) 140° C) 100°

D) 150° E) 160°

10. Se construye una pileta hexagonal regular y en su interior una piscina cuadrada. Halle el valor de x.

A F

B

C D

EG H

x

A) 10° B) 20° C) 30°

D) 40° E) 50°


119

•

GEOMETRY

Helico curiosities

Formas geométricas

Desde la Antigüedad, el hombre al hacer demarcaciones de terrenos, les dio ciertas formas geométricas, entre las que destaca la forma rectangular por la facilidad de realizarlas y medirlas.

Con los antecedentes históricos podemos concebir que el estudio de los cuadriláteros nos ayudará a entender por qué muchos objetos que apreciamos en nuestro entorno (paredes, puertas, ventanas, pizarras, cuadernos, etc.) son de forma cuadrangular.

Terrenos de cultivo Una mesa y cuatro sillas

Al igual que los terrenos de cultivo, cuya forma rectangular les permite una mejor distribución del sistema de riego y una facilidad al medirlos, las mesas y sillas tienen tableros y respaldares de forma cuadrangular, para una mejor estabilidad y ofrecer comodidad en su uso.

En la imagen, observamos el uso de la forma rectangular en los bloques de adobe, que for-man paredes y la forma trapecial de la puerta.

Un tablero de ajedrez, tiene forma cuadrada y a su vez está formado por 64

casilleros de forma cuadrada.


CHAPTER

CUADRILÁTERO - TRAPEZOIDE12 ¾ Define el cuadrilátero indicando sus elementos y sus teoremas.

¾ Utiliza correctamente los teoremas en la resolución de problemas.

119

•

Definición

Es un polígono de cuatro lados.

Cuadrilátero convexo

B

A D

C

β

θ

φα

α + β + θ + φ = 360°

Cuadrilátero no convexo (cóncavo)

B

D

C x

A α θ

β

x = α + β + θ

Para ambos cuadriláteros sus elementos son:

¾ Vértices: A, B, C y D

¾ Lados: AB, BC, CD y AD

Anotación

w

x

y z

La suma de las medidas de los ángulos externos es 360º.

x + y + z + w = 360°

Observando el siguiente cuadrilátero convexo podremos encontrar

¾ Lados opuestos: AB y CD, BC y AD

¾ Diagonales: AC y BD

B

A D

C

Clasificación del cuadrilátero convexo

El cuadrilátero convexo se clasifica según el paralelismo de sus lados opuestos en trapezoide, trapecio y paralelogramo.

Trapezoide

Trapezoide asimétrico ABCD

El trapezoide asimétrico es aquel cuadrilátero que no pre-senta lados opuestos paralelos.

AB // CD y BC // AD

α + β + θ + φ = 360°

B

A D

C

β

θ

φα

Trapezoide simétrico ABCD

La diagonal mayor QS biseca perpendicular a la diagonal menor PR.

Q

RP

S

a

αα m m

a

bb

CUADRILÁTERO

Helico theory


119

•

GEOMETRY

Trapezoide asimétrico ABCD

A

B

C

D

Trapezoide simétrico PQRS

P R

Q

S

a

α α

a

b b

m m

D

C

B

Aα

β

θ

φ

x

yz

w

CUADRILÁTERO - TRAPEZOIDE

Clasificación Teoremas

α + β + θ + φ = 360°

x + y + z + w = 360°

Helico synthesis


111

•

GEOM

ETRY

1. Según el gráfico, calcule α + β.

B

A D

C

100°

50°

3α

3β

Resolución

¾ Incógnita: α + β

¾ En el cuadrilátero ABCD

50º + 100º + 3β + 3α = 360º

β + α = 70º

Rpta.: 70º

2. Si el perímetro del trapezoide simétrico ABCD mos-trado es igual a 50, halle el valor de x.

B

D

CA

x 4x

Resolución

x

B

D

CA

x 4x

4x

¾ AB = AD = x y BC = CD = 4x

¾ 10x = 50

∴ x = 5

Rpta.: 5

3. En la figura, halle la medida del ángulo BAD.

3α

2α α

2α

A

C

B

D

Resolución

2α + 3α + 2α + α = 360°

8α = 360°

2α = 90°

mBAD = 90°

Rpta.: 90º


4x

6x

Resolución

Por teorema

4x + 6x + 90° + 90° = 360°

10x + 180° = 360°

10x = 180°

x = 18°

Rpta.: 18°

Solved problems


111

•

GEOMETRY

5. En el trapezoide simétrico mostrado, halle el valor de x.

Q

R

P

S60° 40°

xa

a

b

b

Resolución

1.º Por teoría, la mR = mP = x

2.º

Q

R

P

S60° 40°

x

x

Luego

60° + 40° + 2x = 360°

2x = 260

x = 130°

Rpta.: 130°

Nivel I

1. En el trapezoide, halle el valor de x.

A70°

B

C

D

x

80°

Resolución

2. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoide son 2α, 5α, 3α, y 2α. Halle el valor de α.

Resolución

Helico practice


111

•

GEOM

ETRY

Nivel II


5x

3x 4x

6x

Resolución

4. Se construye un techo de madera de forma de tra-pezoide simétrico ABCD, AB=AD y BC=CD. Calcule la medida del ángulo que debe cortarse la madera en la esquina.

100° 50°

x

AC

B

D

Techo de madera

Resolución

5. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoi-de son α, 3α, 5α y 6a. Halle el valor de α.

Resolución

Nivel III


60°

x

Resolución


111

•

GEOMETRY

Nivel I

1. En el trapezoide mostrado, halle el valor de x.

B C

A D2x

3x 4x

x

Resolución

2. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoi-de son 5α, 11α, 8α, 3α. ¿Cuánto mide el menor ángulo interno?

Resolución


4x

80°

60°

x

Resolución

8. Se muestra un puente formado con estructuras trape-zoidales. Halle el valor de α.

70°140°

4αα

Resolución

GRADE

Helico workshop


114

•

GEOM

ETRY

Nivel II

3. En el trapezoide mostrado, halle el valor de x.

5x

3x4x

120°

Resolución

4. Se tiene un trapezoide ABCD, AB=AD, BC=CD, mBAD = 140°, m ABC = 5(m BCD). Halle la mBCD.

Resolución


80°

160°

2x

3xA

B

C

D

Resolución

Nivel III


x

4x

Resolución


119

•

GEOMETRY


3x 110°

2x60°

Resolución

8. Se muestra un puente formado con estructuras trape-zoidales. Halle el valor de α.

3α150°

130°α

Resolución


150°x E

α

2α

2β

β60°

A

B

C

D

A) 115° B) 120° C) 125°

D) 130° E) 105°


DA

B

C

αα

ββ

xx

80° 60°E

F

A) 115° B) 120° C) 125°

D) 130° E) 135°

Helico trial


119

•

GEOM

ETRY

Nivel I


4x

150°

2xx

Resolución

Nivel II

2. Se tiene un terreno de forma trapezoidal. En una esquina, dos bordes forman un ángulo que mide 60° y las medidas de los ángulos externos de los otros vértices son 7x, 8x y 9x. Halle el valor de x.

Resolución


80° 50°

7x

6x

Resolución

Nivel III

4. Calcule el perímetro del siguiente trapezoide.

A

B

α

α

β

β

4 9

D

C

Resolución

5. Se fabrica una compuerta ABCD como se muestra en la figura que está cortada de la siguiente forma mABC=140°, mBCD=100°. Halle el valor de x.

A4x 6x

B

C

D

Resolución

GRADE

Helico challenge


119

•

GEOMETRY

Nivel I


A

BC

D3x

5x6x

4x

A) 12° B) 14° C) 16°

D) 18° E) 20°

2. Se desea soldar una plancha metálica de la forma mostrada en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo ABC?

A

B

x

C

D50°

4x40°

A) 10° B) 15° C) 20°

D) 25° E) 30°

3. Las medidas de los ángulos externos de un trapezoi-de son 9x, 7x, 6x y 14x. Halle el valor de x.

A) 5° B) 10° C) 15°

D) 20° E) 25°

Nivel II

4. En el trapezoide simétrico ABCD, halle el valor de x.

80° 70°

x

A

B

C

D

a

a

b

b

A) 85° B) 90° C) 95°

D) 100° E) 105°


D

CB

A

140°

x 50°

A) 90° B) 100° C) 110°

D) 120° E) 80°


130°120°

140°

5x

A) 10° B) 20° C) 30°

D) 40° E) 22°

Nivel III


DA

B

C

x50°

70°140°

A) 20° B) 40° C) 60°

D) 80° E) 100°

8. En el trapezoide simétrico, calcule su perímetro.

7

13β

β

A) 50 B) 60 C) 20

D) 40 E) 36

Helico homework


119

•

GEOM

ETRY

9. Halle el valor de x.

x

110°

130°

80°

A) 40° B) 50° C) 45°

D) 36° E) 30°

10. Se muestra el plano de un distrito, limitado por un cua-drilátero ABCD, si mBAD=20°, mBCD=30° y mABC=40°. Halle el valor de x.

D

A

B

C3x

Plano del distrito

A) 30° B) 60° C) 40°

D) 36° E) 24°

Bibliography and web bibliographyChapters 10, 11 and 12

¾ ALVA GALLEGOS, Fernando. Geometría. Editorial San Marcos. Lima, 2007.

¾ SANTIVÁÑEZ MARÍN, José. Geometría plana y del espacio. Editorial Euclides. Lima, 1989.

¾ Polígonos

• https://www.youtube.com/watch?v=PW5DvDrPMjk

• https://www.youtube.com/watch?v=5l0DYJO8-XU

¾ Polígonos regulares

• https://www.youtube.com/watch?v=wUmqDz3o8Uo

• https://www.youtube.com/watch?v=4pmknc1gTFA

¾ Trapezoide

• https://www.youtube.com/watch?v=MpoJ1O8I6zQ

• https://www.youtube.com/watch?v=MIuTFEZquvw


119

•

GEOMETRY

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