geomtri analitik lecture 2

Geometri Analitik (lecture 2)

M. Januar Ismail, M.Si.

UIN SGD

Juli 2012

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 1 / 31

Outline

1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutubElips dan HiperbolPersamaan Baku ElipsContoh 1 dan 2

Persamaan Baku HiperbolContoh 3 dan 4

Latihan soal lecture 1 dan 2

2 Daftar pustaka

Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.

Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.

3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.

Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.

Pendahuluan

Dalam kasus Elips dan hiperbol, kedua konik tersebut memiliki duapuncak yang kita namakan A0 dan A.

Sebutlah titik tengah antara A0 dan A yang terletak pada sumbupanjang sebagai pusat konik.

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elipsdan hiperbol dinamakan konik terpusat.

Akan kita buktikan bahwa Elips dan Hiperbol letaknya simetristerhadap pusatnya.

Pendahuluan

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya

Untuk menurunkan persamaan konik yang terpusat ini, akan dilakukanbeberapa langkah berikut :

1 Letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya dan titik asal kitapilih sebagai pusat konik.

2 pilih c , k, dan a bernilai positif3 Kita misalkan F (c , 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,puncak konik tersebut kita pilih A0 (�a, 0) dan A (a, 0).

4 Jelas bahwa A berada antara F (c , 0) dan x = k.

2 pilih c , k, dan a bernilai positif

3 Kita misalkan F (c , 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,puncak konik tersebut kita pilih A0 (�a, 0) dan A (a, 0).

Ilustrasi formula sebelumnya

Elips dan Hiperbol

Apabila dalam syarat jPF j = e jPLj kita pilih terlebih dahulu P = Adan kemudian P = A0, maka kita peroleh berturut-turut

a� c = e (k � a) = ek � eaa+ c = e (k + a) = ek + ea

bila kedua persamaan di atas kita selesaikan untuk c dan k, makadiperoleh

c = ea dan k =ae

Elips dan Hiperbol

Apabila dalam syarat jPF j = e jPLj kita pilih terlebih dahulu P = Adan kemudian P = A0, maka kita peroleh berturut-turut

a� c = e (k � a) = ek � eaa+ c = e (k + a) = ek + ea

bila kedua persamaan di atas kita selesaikan untuk c dan k, makadiperoleh

c = ea dan k =ae

Akibat terhadap dua kasus tersebut

Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k = ae > a. Jadi untuk kasus

Elips, F berada di kiri titik puncak A dan garis arah x = k berada dikanan A

Jika e > 1, maka c = ea > a dan k = ae < a. Jadi untuk kasus

hiperbol, garis arah x = k berada di kiri A dan fokus F berada dikanan A.

Akibat terhadap dua kasus tersebut

Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k = ae > a. Jadi untuk kasus

Elips, F berada di kiri titik puncak A dan garis arah x = k berada dikanan A

Jika e > 1, maka c = ea > a dan k = ae < a. Jadi untuk kasus

hiperbol, garis arah x = k berada di kiri A dan fokus F berada dikanan A.

Ilustrasi kedua kasus tersebut

Persamaan baku Elips dan Hiperbol

Misalkan P (x , y) adalah sebuah titik pada elips, maka L (a/e, y)adalah proyeksinya pada garis arah. Jadi syarat jPF j = e jPLj menjadiq

(x � ae)2 + y2 = er�

x � ae

Ilustrasi,

Misalkan P (x , y) adalah sebuah titik pada elips, maka L (a/e, y)adalah proyeksinya pada garis arah. Jadi syarat jPF j = e jPLj menjadiq

(x � ae)2 + y2 = er�

x � ae

�2Ilustrasi,

Setelah dikuadratkan dan disederhanakan kita peroleh

x2 � 2aex + a2e2 + y2 = e2�x2 � 2a

��1� e2

�x2 + y2 = a2

�1� e2

Jika kita bagi kedua ruas dengan a2�1� e2

�, maka diperoleh

a2 (1� e2) = 1 ((1))

Oleh karena dalam persamaan terakhir ini terdapat hanya suku-sukux dan y yang genap pangkatnya, elips (atau hiperbol) letaknyasimetris terhadap sumbu x , sumbu y , dan titik asal.

x2 � 2aex + a2e2 + y2 = e2�x2 � 2a

��1� e2

�x2 + y2 = a2

�1� e2

�Jika kita bagi kedua ruas dengan a2

�1� e2

�, maka diperoleh

a2 (1� e2) = 1 ((1))

x2 � 2aex + a2e2 + y2 = e2�x2 � 2a

��1� e2

�x2 + y2 = a2

�1� e2

�Jika kita bagi kedua ruas dengan a2

�1� e2

�, maka diperoleh

a2 (1� e2) = 1 ((1))

Catatan

1 Karena kesimetrisan ini, harus ada fokus kedua (�ae, 0) dan adagaris arah kedua x = �a/e.

2 Sumbu yang memuat kedua puncak (dan kedua fokus) dinamakansumbu panjang dan sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus padasumbu panjang dinamakan sumbu pendek.

Catatan

1 Karena kesimetrisan ini, harus ada fokus kedua (�ae, 0) dan adagaris arah kedua x = �a/e.

2 Sumbu yang memuat kedua puncak (dan kedua fokus) dinamakansumbu panjang dan sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus padasumbu panjang dinamakan sumbu pendek.

Persamaan Baku Elips

Untuk elips 0 < e < 1, sehingga 1� e2 > 0.Misalkanb = a

p1� e2sehingga persamaan (1) menjadi

yang disebut persamaan baku elips.

Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang dan 2b garis tengahpendek.

Karena c = ae maka a, b, c memenuhi hubungan Pythagorasa2 = b2 + c2.

Ilustrasi

Catatan

1 Apabila e mendekati 1, maka b = ap1� e2 adalah kecil dibanding

dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.

2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebutgemuk dan hampir berbentuk lingkaran.

3 Persamaan x 2a2 +

b2 = 1 untuk elips mendatar dany 2

a2 +x 2b2 = 1 untuk

elips tegak.

Catatan

dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebutgemuk dan hampir berbentuk lingkaran.

3 Persamaan x 2a2 +

a2 +x 2b2 = 1 untuk

elips tegak.

Catatan

dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebutgemuk dan hampir berbentuk lingkaran.

3 Persamaan x 2a2 +

a2 +x 2b2 = 1 untuk

elips tegak.

Contoh 1

Gambar gra�k persamaan

dan tentukan fokus serta keeksentrikannya

Contoh 2

Buatlah Sketsa gra�k persamaan

dan tentukan fokus dan keeksentrikannya

Sketsa jawaban contoh

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 1

Contoh 2

Persamaan Baku Hiperbol

Untuk Hiperbol e > 1, sehingga e2 � 1 > 0.Misalkanb = a

pe2 � 1sehingga persamaan (1) menjadi

a2� y

yang disebut persamaan baku hiperbol.

Karena c = ae maka diperoleh c2 = b2 + a2.

Persamaan Baku Hiperbol

Untuk Hiperbol e > 1, sehingga e2 � 1 > 0.Misalkanb = a

pe2 � 1sehingga persamaan (1) menjadi

a2� y

yang disebut persamaan baku hiperbol.

Karena c = ae maka diperoleh c2 = b2 + a2.

Asimtot pada hiperbol

Untuk menafsirkan arti b, kita nyatakan y dalam x . Kita peroleh

y = �ba

px2 � a2.

Untuk nilai x yang besar, nilaipx2 � a2 hampir sama dengan x

(buktikan).

Sehingga

y = �bax .

Tepatnya, garis-garis tersebut adalah asimtot.

Asimtot pada hiperbol

Untuk menafsirkan arti b, kita nyatakan y dalam x . Kita peroleh

y = �ba

px2 � a2.

Untuk nilai x yang besar, nilaipx2 � a2 hampir sama dengan x

(buktikan).

Sehingga

y = �bax .

Tepatnya, garis-garis tersebut adalah asimtot.

Ilustrasi

Catatan

1 Pada ilustrasi gambar di atas ada segitiga penting yang dapatdigunakan untuk menentukan letak asimtot, diperoleh dari hubunganc2 = b2 + a2.

2 Bila x dan y kita pertukarkan maka persamaan y 2

a2 �x 2b2 = 1

merupakan persamaan hiperbol tegak.3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antarapuncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidakdiperhatikan.

Catatan

a2 �x 2b2 = 1

merupakan persamaan hiperbol tegak.

3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antarapuncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidakdiperhatikan.

Catatan

a2 �x 2b2 = 1

merupakan persamaan hiperbol tegak.3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antarapuncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidakdiperhatikan.

Contoh 3

Gambarlah gra�kx2

9� y

gambarlah juga asimtot, tentukan persamaan dan letak fokus hiperboltersebut.

Contoh 4

Tentukan fokus hiperbol

dan buatlah gra�knya.

Contoh 3

Contoh 4

Latihan soal parabol

Tentukan persamaan parabol yang puncaknya berada di titik asal, jikaparabol ini melalui titik (3,�1) dan sumbu simetrinya adalah sumbux . Buatlah sketsa gra�knya.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabol x2 = 4ydi titik (4, 4).

Buktikan bahwa kedua garis singgung parabol di ujung-ujungtalibusur fokus saling tegak lurus.

Talibusur yang melalui fokus (talibusur fokus) dan tegak lurus sumbuparabol disebut Latus rektum. Pada parabol y2 = 4px (gambar dibawah), F adalah fokus, R adalah sebarang titik pada parabol sisebelah kiri latus rektum, dan G adalah titik potong latus rektumdengan garis yang melalui R sejajar sumbu. Carilah jFR j+ jRG j.

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Gambarlah gra�k persamaan yang diketahui dengan menyebutkan puncak,fokus dan asimtot

x 210 +

4 = 1.

4x2 � 25y2 = 100.

Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggappusatnya berada di titik asal.

Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.

Hiperbol dengan asimtot 2x � 4y = 0 dan puncak di (8, 0) .

x 210 +

4 = 1.

4x2 � 25y2 = 100.Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggappusatnya berada di titik asal.

x 210 +

4 = 1.

x 210 +

4 = 1.

Diketahui elips x2

a2 +y 2

b2 = 1. Berapakah panajang latus rektum(talibusur fokus yang tegak lurus dengan sumbu panjang) elips?

Buktikan bahwa�p

x2 � a2 � x�! 0 apabila x ! ∞.

Diketahui elips x2

a2 +y 2

b2 = 1. Berapakah panajang latus rektum(talibusur fokus yang tegak lurus dengan sumbu panjang) elips?

Buktikan bahwa�p

x2 � a2 � x�! 0 apabila x ! ∞.

Daftar pustaka

Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2, Erlangga.

geomtri analitik lecture 2

Education