GEOMETRIJSKI VEKTORJI

OSNOVNE OPERACIJE NAD VEKTORJI, LINEARNANEODVISNOST

1. V sestkotniku ABCDEF naj bo M razpolovisce stranice AB,tocka N

pa razpolovisce daljice CD. Vektorje⇀

BC,⇀

DC,⇀

DF,⇀

MN in⇀

FN izrazi

kot linearno kombinacijo vektorjev⇀a :=

⇀

AB in⇀

b :=⇀

AF.

2. Dan je enakokraki trapez ABCD s podatki: ]α = π3, BC = CD =

AD = 2. Na stranici AB naj bo enotski vektor⇀m, na stranici AD pa

enotski vektor⇀n. Tocka M naj bo razpolovisce daljice AB, tocka N pa

naj deli daljico CD v razmerju CN : ND = 2 : 1. Z vektorjema⇀m in

⇀n izrazi vektorje

⇀

BC,⇀

AN,⇀

MN.

3. Dani so vektorji⇀a = (0, 1, 0) ,

⇀

b = (1, 0,−1),⇀c = (3, 1, 0) in

⇀

d =(2, 1, 1) v prostoru.

(a) Dokazi, da so vektorji⇀a,

⇀

b in⇀c linearno neodvisni.

(b) Dokazi, da so vektorji⇀a,

⇀

b ,⇀c in

⇀

d linearno odvisni.

(c) Ali se da vektor⇀a izraziti z vektorji

⇀

b ,⇀c in

⇀

d?

4. V kaksnem razmerju razdeli daljica MN iz naloge 2 daljico AC?

5. Dokazi, da so linearno neodvisni vektorji⇀x +

⇀y ,

⇀x +

⇀z in

⇀y +

⇀z , ce so

linearno neodvisni vektorji⇀x,

⇀y in

⇀z .

Resitve:

1.⇀

BC =⇀a +

⇀

b ,⇀

DC = −⇀

b ,⇀

DF = −2⇀a −

⇀

b ,

⇀

MN = 32

(⇀a +

⇀

b)

in⇀

FN =

2⇀a + 1

2

⇀

b .

2.⇀

BC = 2(⇀m− ⇀

n),

⇀

AN = 2⇀n − 2

3

⇀m ,

⇀

MN = −43

⇀m+ 2

⇀n,

3. a) α⇀a + β

⇀c + γ

⇀c = 0⇒ α = β = γ = 0,

b) α⇀a + β

⇀c + γ

⇀c + δ

⇀

d = 0⇒ α = 0, β = δ, γ = −δ, δ lahko izberemo

1

npr. 1.c) ne, ker smo v racunu iz tocke b) dobili α = 0.

4. AS : SC = 3 : 2.

5. α(⇀x +

⇀y)

+ β(⇀x +

⇀z)

+ γ(⇀y +

⇀z)

= 0⇒ . . .

SKALARNI PRODUKT

1. Med enotskima vektorjema⇀p in

⇀q je kot 60◦. Doloci kot med vektor-

jema⇀a = 3

⇀p − 2

⇀q in

⇀

b = −2⇀p +

⇀q , dolzino projekcije vektorja

⇀a na

vektor⇀

b in ploscino paralelograma, napetega na vektorja⇀a in

⇀

b .

2. Vektorja⇀a in

⇀

b sta enake dolzine. Vektorja⇀p =

⇀a+2

⇀

b in⇀q = 5

⇀a−4

⇀

b

sta pravokotna. Doloci kot med vektorjema⇀a in

⇀

b .

3. Doloci kot med vektorjema⇀a =

⇀m +

⇀n in

⇀

b =⇀m − ⇀

n, ce sta⇀m in

⇀n

enako dolga.

4. Izrazi ostri kot med teziscnicama na kateti pravokotnega trikotnika zdolzinami stranic.

5. Iz podatkov(

2⇀a −

⇀

b)⊥(⇀a +

⇀

b)

in(⇀a − 2

⇀

b)⊥(

2⇀a +

⇀

b)

izracunaj

kot med vektorjema⇀a in

⇀

b .

6. V trikotniku ABC poznamo: c = 2, b = 3, α = π3. Doloci kot med va

in ta.

Resitve:

1.⇀p · ⇀q = 1

2,⇀a ·

⇀

b = −92,∥∥∥⇀a∥∥∥ =

√7,∥∥∥⇀b∥∥∥ =

√3,

cosα = − 92√

21= −. 981 98, α=170◦, proj⇀

b

⇀a =

∣∣∣∣∣⇀a ·

⇀b

⇀b

∣∣∣∣∣ = 32

√3

2. α = π3.

3. α = π2.

4. cosα = a√4b2+a2 .

2

5.∥∥∥⇀b∥∥∥2

= 85

∥∥∥⇀a∥∥∥2

,⇀a ·

⇀

b = −25

∥∥∥⇀a∥∥∥2

, cosα = −√

1010.

6. Tocka A1 naj bo razpolovisce daljice BC, tocka A2 pa presecisce daljice

BC z visino na a. Potem je⇀

AA2 =⇀

AB + t⇀

BC, izracunamo t = 17,

cosα = 92√

21.

3

VEKTORSKI PRODUKT, MESANI PRODUKT

1. Izracunaj⇀a×

⇀

b ,⇀

b ×⇀a,(

2⇀a + 3

⇀

b)×(⇀a −

⇀

b)

,⇀a(⇀b · ⇀c

),⇀a(⇀b × ⇀

c)

in⇀a ×

(⇀b × ⇀

c), ce je

⇀a = (1, 1, 1) ,

⇀

b = (−1, 2, 3) in⇀c = (1, 2, 3) .

FORMULE (⇀a ×

⇀

b)× ⇀c =

(⇀a⇀c)⇀b −

(⇀b⇀c)⇀a

⇀a ×

(⇀b × ⇀

c)

=(⇀a⇀c)⇀b −

(⇀a⇀

b)⇀c(

⇀a,

⇀

b ,⇀c)

: =(⇀a ×

⇀

b)⇀c(

⇀a ×

⇀

b)(

⇀c ×

⇀

d)

=

∣∣∣∣∣⇀a⇀c

⇀a⇀

d⇀

b⇀c

⇀

b⇀

d

∣∣∣∣∣2. Vektorji

⇀a = (1, 2,−1) ,

⇀

b = (1,−3, 2) in⇀c = (−2, 0, 1) dolocajo

tetraeder. Izracunaj prostornino in telesno visino na osnovno ploskev,

ki lezi v ravnini vektorjev⇀a in

⇀

b .

3. S pomocjo mesanega produkta dokazi, da iz nekomplanarnosti vektor-

jev⇀a,

⇀

b in⇀c sledi nekomplanarnost vektorjev

⇀a +

⇀

b ,⇀

b +⇀c in

⇀c +

⇀a.

4. Naj bodo vektorji⇀a,

⇀

b in⇀c z dolzinami

∥∥∥⇀a∥∥∥ = 2,∥∥∥⇀b∥∥∥ = 3 in

∥∥∥⇀c∥∥∥ = 1.

Kot med vektorjema⇀a in

⇀

b je enak π3, kot med ravnino, ki jo razpen-

jata vektorja⇀a in

⇀

b in vektorjem⇀c pa π

6. Izracunaj prostornino par-

alelepipeda napetega na vektorje

⇀m =

⇀a −

⇀

b +⇀c

⇀n = 2

⇀a +

⇀c

⇀s =

⇀a +

⇀

b +⇀c .

Nasvet: upostevaj lastnosti mesanega produkta.

5. Vektorji⇀a,

⇀

b ,⇀c tvorijo stikajoce se robove piramide s prostornino 3

dm3. Izracunaj prostornino piramide, ki ima za ustrezne robove vektorje⇀a ×

⇀

b ,⇀

b × ⇀c in

⇀a × ⇀

c .

4

6. Naj bosta⇀

b in⇀s sta dana nenicelna vektorja. Poisci splosno resitev

enacbe:⇀x × ⇀

s =⇀

b .

Pri kaksnem pogoju je naloga sploh resljiva? Potem se prepricaj, da

tvorijo vektorji⇀

b ,⇀s in

⇀

b × ⇀s bazo prostora in isci resitev za

⇀x kot

linearno kombinacijo teh baznih vektorjev.

7. Resi enacbo:(⇀a · ⇀x

)⇀b =

⇀a × ⇀

x.

Resitve:

1.⇀a ×

⇀

b = (1,−4, 3) ,⇀

b × ⇀a = (−1, 4,−3) ,(

2⇀a + 3

⇀

b)×(⇀a −

⇀

b)

= (−5, 20,−15) ,

⇀a(⇀b · ⇀c

)= 12 (1, 1, 1) ,

⇀a ·(⇀b × ⇀

c)

= 2,

⇀a ×

(⇀b × ⇀

c)

= (−10, 4, 6) .

2. V = 76, v = 7√

35

3. Uporabi aditivnost mesanega produkta.

4. V = 3√

3.

5. V = 54.

6.⇀x = t

⇀s +

⇀s×

⇀b

‖⇀s‖2

7.⇀x = α

(⇀a − ⇀

a ×⇀

b), α ∈ R.

5

ANALITICNA GEOMETRIJA V PROSTORU

1. Zapisi enacbo premice, ki gre skozi tocki A (0, 0,−2) in B (−1, 0, 1) v:

a) vektorski parametricni obliki (⇀r =

⇀r0 + t

⇀s )

b) kanonski obliki (x−x0

s1= y−y0

s2= z−z0

s3)

c) parametricni obliki ( x = x0 + s1t, y = y0 + s2t, z = z0 + s3t, t ∈ R).Izracunaj se oddaljenost tocke C (1, 1, 1) od te premice.

2. Doloci razdaljo med premicama:a) x−2

3= 1−y

5= z+2

2in 3x = −2y = 6z

b) 2 (x− 2) = y + 1, y − z = 2 in x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = −1 + 2t.

3. Zapisi enacbo ravnine, ki gre skozi tri dane tocke v splosni, normiraniin odsekovni obliki:A (4, 3, 0) , B (4, 0,−1) , C (0, 3, 2) .Doloci se oddaljenost tockeD (1, 1, 1)od dobljene ravnine.

4. a) Katero ravnino (imenujmo jo∑

) dolocata premica p : x = 2 + t,y = 3 + 2t, z = −1 + 3t in tocka A (3, 4, 0)?b) Zapisi enacbo ravnine Π, ki vsebuje tocko A in je pravokotna napremico p.c) Katera premica je presecnica ravnin

∑in Π?

Odgovor na zadnje vprasanje poisci na dva nacina:

1. Izrazi iz sistema enacb obeh ravnin dve neznanki; tako dobis parametricnoobliko.

2. Iz relacije pravokotnosti normalnih vektorjev ravnin in smernegavektorja izracunaj smerni vektor iskane premice.

5. Doloci presek ravnin:a) x+ 2y + 3z = 4, 2x+ y − z = 3, 3x+ 3y + 2z = 7b) 2x− 4y + 3z = 1, x− 2y + 4z = 3, 3x− y + 5z = 2

6. Kaj je presek premice in ravnine:a) x−1

2= y+3

5= z − 1, 2x+ 3y + z = 14

b) x = z = 1− y, 2x+ 3y + z = 14.

7. Dane so tocka A (2,−1, 0) , premica p :⇀r × (5, 0, 2) = (0,−4, 0) in

ravnina∑

: 2x− y + z − 7 = 0.a) Doloci projekcijo tocke A na ravnino

∑.

b) Doloci projekcijo premice p na ravnino∑.

c) Zapisi koordinate pravokotne projekcije tocke A ( oziroma zrcalnetocke k tocki A glede) na premico p.d) Zapisi koordinate k tocki A zrcalne tocke glede na ravnino

∑.

6

Resitve:

1. a)⇀r = (0, 0,−2) + t (−1, 0, 3) b) x

−1= z+2

3, y = 0, c) x = −t, y = 0,

z = −2 + 3t.

2. a) d =√

33

b) d = 4√

23

3. splosna: 3x − 2y + 6z = 6, odsekovna: x2− y

3+ z = 1, normirana:

3x−2y+6z−67

= 0, d = 17.

4. a) x− 2y + z + 5 = 0, b) x+ 2y + 3z = 11, c) x+134

= y = z−8−2.

5. a) x−45

= y+3−7

= z−23

b) T (−1, 0, 1) .

6. a) prebodisce T (3, 2, 2) , b) ∅

7. a) A′(

83,−4

3, 1

3

)b) x = 3 + t, y = −1

2+ 2t, z = 1

2

c) A′ (2, 0, 0) , (A′′ (2, 1, 0)) d) A′′(

103,−5

3, 2

3

)

7