geotecnia 1 parte iii
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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GEOTECNIA I
Año Académico 2015-2016
Dr. Lorenzo BorselliInstituto de Geología
Fac. De Ingeniería, UASLP
www.lorenzo-borselli.eu
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
mailto:[email protected]://www.lorenzo-borselli.eu/http://www.lorenzo-borselli.eu/mailto:[email protected]
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Parte III
Propiedades mecánicasde los geomateriales
Objetivo: Stress - strain, stress total, presión neutral y stress eficaz definición de estrés y de deformación, módulo
de elasticidad y deformación, tensiones principales.Variables características y sus correlaciones. Circulo deMohr y stress en cualquier plano. Ámbito de aplicación:todas las áreas de la geotecnia
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A) Stress, Strain
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Se vea también…
http://facul
ty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html
Presión hidrostáticaEn un punto, adentroen un masa liquida
(kPa) 81.9γσ ≡σ z z whv
!La presión esigual en todaslas direcciones!zZ (m)
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http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.htmlhttp://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html
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Los Componentes de tensión opresión se pueden ilustrargráficamente, respecto a losejes de coordenadas
(x, y, z), cuyo origen es O.Se usa comúnmente una formavectorial (dirección yintensidad).
En un cuerpo realCualquier material solido
Los esfuerzos pueden serdiferentes Dependiendoda la orientación en elespacio
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Simplificación en dos direcciones
En un elipsoide biaxial sólo haydos ejes principales. El eje vertical(v) y el eje horizontal (h).En otras palabras, el planoecuatorial del elipsoide es un
círculo.Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
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En rocas y suelosa veces la presión verticalpuede ser menorde la horizontal…
v
h2
h1
21 σσσ
hhv >>
21 σσσ
hhv ><
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(kPa) γσ z v=
(kPa) γσ z k oh=
stress (o presión)geostatico
( presión entro loscuerpos rocosos y
suelos )
Stress (o presión) Vertical
Stress (o presión) Horizontal
K0 = Lateral stress coefficient en condición estática.
Este varia entre 0.3 y 2.0 .. En media es 0.3-0.5
)(kN/munitario peso γ 3
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Stress geostatico verticala grandes profundidades
http://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPG
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Simbulo ellipsoide de los stress
Distribución de stress
Cuando la superficie no es horizontalLa dirección de estrés mayor no siempreEs vertical…
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(kP )
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(kPa) )](-[γγγγσ 2132211∑ d d z d d d i
iiv +++==
A cualquier profundidad z, en suelo o rocas estratificadas lapresión total vertical es la suma de la contribución de carga detodos lo estratos arriba el punto considerado
Z(m)
(kPa)σv
http://environment.uwe.ac.uk/ geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
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http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
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http://environment.uwe.ac.uk/ geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
(kPa) )γγσ w sat wunsat v (z-z z +=
Presión total vertical en un suelo con porción satura de agua abajode porción no satura .
Z(m)
(kPa)σv
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVk
γγ sat un sat
<
γ
γ
sat
unsat Peso de unitario porcion insatura
Peso de unitario porcion satura
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Concepto de stressefectivo o eficaz
En un medio poroso esequivalente a la presiónPromedia de contacto entre
Partícula y partícula.Si hay una presión de poro(hidrostática ) la presión decontacto disminuye.Efecto del principio deArchimedes ..
W =mg
W’ =W-Ww = mg-mw gPrincipio de Archimedes
W =mg
Ww =mwg
Cuerpo solido sumergido enun liquido
Spinta hidrostatica
'σv
'σv
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http://environment.uwe.ac.uk /geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
Presión total vertical en un suelo con falda de agua abajo de una porción no
satura Y su relación con la presión hidrostática de poros u en el mismo punto.
Concepto de Stress efectivo:
wwvv hu γσ'σ =<
hw
Z(m)
(kPa) ',vv
σ , uσ
vσ'
σv
u
Estress
efectivo
Presion
Neutra
Presiontotal
0σ'σ == uvv
uvv
-σ'σ =Zona satura
Zona no satura
'σv
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-3
-8
-10
-14
-5.5
16γ,19γ ==unsat sat
5.15γ,5.18γ ==unsat sat
18γ,21γ ==unsat sat
5.17γ,5.20γ ==unsat sat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
Calcular perfil completo de: )('σ ),( ),(σ z z u z vv
Problema da resolver 1
)/( 81.9γ 3mkN w=
PerfilGeotecnicode 4estratos
diferentes
Recordando que :
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1 -3 3 19 16
2 -8 5 18.5 15.5
3 -10 2 21 18
4 -14 4 20.5 17.5
-5.5
1 -3 3 16 48 48
2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75
2B -8 2.5 18.5 46.25 133
3 -10 2 21 42 175
4 -14 4 20.5 82 257
datos perfil geotecnico
strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)
Desarrollo ejercicio 1 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio1 - parte III.odsEn el material didáctico adicional
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ejercicio 1 Grafico final
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Stress vertical
(total, neutro, eficaz)
u
Sigma tot
Sigma eff
vertical stress (kPa)
z(m)
-3
-8
-10-14
-5.5
16γ,19γ ==unsat sat
5.15γ,5.18γ ==unsat sat
18γ,21γ ==unsat sat
5.17γ,5.20γ ==unsat sat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
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-0 -0 -0 0
-0.5 0 8 8
-1 0 16 16
-1.5 0 24 24
-2 0 32 32
-2.5 0 40 40
-3 0 48 48
-3.5 0 55.75 55.75
-4 0 63.5 63.5
-4.5 0 71.25 71.25
-5 0 79 79
-5.5 0 86.75 86.75
-6 4.905 96 91.095
-6.5 9.81 105.25 95.44
-7 14.715 114.5 99.785
-7.5 19.62 123.75 104.13
-8 24.525 133 108.475
-8.5 29.43 143.5 114.07
-9 34.335 154 119.665
-9.5 39.24 164.5 125.26
-10 44.145 175 130.855
-10.5 49.05 185.25 136.2
-11 53.955 195.5 141.545
-11.5 58.86 205.75 146.89
-12 63.765 216 152.235
-12.5 68.67 226.25 157.58
-13 73.575 236.5 162.925
-13.5 78.48 246.75 168.27
-14 83.385 257 173.615
Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)
ejercicio 1columnas
de calculo
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-3
-8
-10
-14
-5.5
No saturo !!
16γ,19γ ==unsat sat
5.15γ,5.18γ ==
unsat sat
18γ,21γ ==unsat sat
5.17γ,5.20γ ==unsat sat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
Calcular perfil completo de: )('σ ),( ),(σ z z u z vv
Problema da resolver 2(casi como ejercicio 1 pero el estrato 4 es no saturo (aquicludoimpermeable) )
)/( 81.9γ 3mkN w=
PerfilGeotecnicode 4estratosdiferentes
Recordando que :
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datos perfil geotecnico
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1 -3 3 19 16
2 -8 5 18.5 15.5
3 -10 2 21 18
4 -14 4 20.5 17.5
-5.5
1 -3 3 16 48 48
2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75
2B -8 2.5 18.5 46.25 133
3 -10 2 21 42 175
4 -14 4 17.5 70 245
datos perfil geotecnico
strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)
Desarrollo ejercicio 2 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales
3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio2 - parte III.odsEn el material didáctico adicional
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ejercicio 2: Grafico final
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Stress vertical
(total, neutro, eficaz)
u
Sigma tot
Sigma eff
vertical stress (kPa)
z(m)
Insaturo !!
16γ,19γ ==unsat sat
5.15γ,5.18γ ==unsat sat
18γ,21γ ==unsat sat
5.17γ,20γ ==unsat sat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
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-0 -0 -0 0
-0.5 0 8 8
-1 0 16 16
-1.5 0 24 24
-2 0 32 32
-2.5 0 40 40
-3 0 48 48
-3.5 0 55.75 55.75
-4 0 63.5 63.5
-4.5 0 71.25 71.25
-5 0 79 79
-5.5 0 86.75 86.75
-6 4.905 96 91.095
-6.5 9.81 105.25 95.44
-7 14.715 114.5 99.785
-7.5 19.62 123.75 104.13
-8 24.525 133 108.475
-8.5 29.43 143.5 114.07
-9 34.335 154 119.665
-9.5 39.24 164.5 125.26
-10 44.145 175 130.855
-10 0 175 175
-10.5 0 183.75 183.75-11 0 192.5 192.5
-11.5 0 201.25 201.25
-12 0 210 210
-12.5 0 218.75 218.75
-13 0 227.5 227.5
-13.5 0 236.25 236.25
-14 0 245 245
Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)
ejercicio 2columnas decalculo
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material audiovisual : http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related
Sugerencias:
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.1 y ejercicio 6.1
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B) St d f ió
http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related
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B) Stress y deformación
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
26/80
Stress en elemento tri-dimensional (3D) en solidos
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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En condición de equilibrioLas parejas de stress tangenciales
deben ser equivalentes… (pero con signo cambiado )
Stress en elementobi-dimensional (2D)
Stress en elementotri-dimensional (3D)
3D 2D
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Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
28/80
Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)
Deformaciones normal(Linear strain): (adimensional)
Deformacion de corte
(Shear strain) : (en radianes )γ
ε
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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Shear modulus
o modulo dedeformación
por esfuerzohorizontal
Elastic modulus
o modulo dedeformacióno modulo deYoung’s
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm
Definición de modulo de elasticidad y de deformación tangencial
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htmhttp://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
30/80
Los dominios de stress vs. Strain• Region elastica• Region plastica• Roptura
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
El comportamiento de materiales
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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material audiovisual:http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_video
pen términos de stress y strain sepuede poner en forma grafica…
Elastic modulus
o modulo dedeformacióno modulo de Young’s
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http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videohttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videohttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_videohttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=related
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
32/80
Definición dePoisson’s ratio
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
33/80
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
34/80
Incrementomodulo deelasticidadDebido a un
incremento de lapendiente deLa porción inicial
Caso ideal de unconcreto
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
Modulo elástico y coeficiente de
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
35/80
Modulo elástico y coeficiente dePoisson’s de varios tipos de suelos
Nota:1x103 kN/m2=1 MPa
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
Modulo elástico estatico y
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
36/80
Modulo elástico estatico ycoeficiente de Poisson’s porvarios tipos de rocas ..
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.4 Last update 14-09-2015
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
37/80
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 ,6.2,6.3
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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C) Distribución de tensiones en el
terreno bajo de áreas cargadas
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Tensión debida a una carga
-
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gpuntual en un semi-espacioElástico.(teoria de BUSSINESQ)
P =carga puntual (dimensiónde una presión)Z,r,L: parámetros geométricospara posicionar el punto, oelemento, adonde se necesitacalcular la tensión adicional
(delta sigma) inducida da lacarga P.
Nota: en este caso se usa un sistema decoordenadas coordinada cartesianas XYZ
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En el caso de áreas cargadas uniformemente se necesita una integración de la
-
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solución de Bussinesq (integral de superficie de la solución puntual )
Ejemplo de solución por una área rectangular:
q = presión uniforme
L,B= lados del rectángulo
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Solución de Newmark
-
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Solución de Newmark( por áreas rectangular cargada uniformemente)
Incremento de tensión vertical
Factores de escala (adimensionales)
Coeficiente de influencia que depende dafactores geométricos
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S l ió d N k
-
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Solución de Newmark(carta de Fadum, 1948)
Solución aproximada porEsquina de un área cargadaUniformemente carta de Fadum.Nota: esto coeficiente incluyeya el divisor 4 p
Dz=q x I Fadum)
I
Fadum) I Newmark) /4 p
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S l i Á i l d
-
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Solucion Área circular cargadauniformemente
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Bulbo de presión bajo superficies uniformemente cargadas
-
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Area Rectangularcon lado L infinito
(area circular )
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Principio de superposición (Ejemplo aplicado a área rectangular cargada
-
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uniformemente)
[1][2]
[3][4]
z
4321 ΔσΔσΔσΔσΔσ
z z z z z
L1 L2
L2=L3L1=L4
B3
B3=B4
B1=B2B1
En cualquier punto
interno se suman los
efectos a la esquina de 4
rectángulos cargados
uniformemente
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Principio de superposición:Presión inducida bajo de Terrapleno con sección trapecio o triangular
q1
= Δσ
n I q I q I q n z σσ2σ1 ....Δσ 21 +++=
q2
q3
q4q5
Z
i
I σ
Cada depende de la geometría de carga de cada sub-elemento
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Principio de superposiciónOtro ejemplo : efecto de carga concentrada a lado de una excavación con barrerade contención
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Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974) para evaluar la presiónadicional al centro de un área con una carga distribuida:
B
Zf
Zapatas circular
Zf
B
L
Zapatas rectangular
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-
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Métodos aproximados llamado 1:2 , para evaluar la presiónadicional al centro de un área con una carga distribuida :
Los métodos aproximadodan una solución con unerror Promedio de 5%respecto a la solucione deBussinesq-Newmark
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Esercicio 3 - Ejemplo de aplicación: comparación de métodos
-
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Stress vertical inducido da una área uniforme cargada uniformemente de q=200 kPa.El área tiene lados B=4 m y L=7 m. calcular el stress adicional a laprofundidad de 5 m debajo el centro del área cargada.
Z=5 m
B=4m
L=7mComparar 3 métodos1) Método de newmark-fadum2) Método de poulos y davis (1974)
3) Método 1:2
q
q
q
q
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Método de newmark-fadum
-
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1)Se subdivide el área cargada en 4 rectángulos iguales de lado B=2m y L=3.5m
2)Se calculan los factores m y n relativos a la profundidad Z=5m y con B=2m , L=3.5m
Z=5 m
L=3.5 m
B=2mm=L/z=3.5/5=0.7
n= B/z=2/5=0.4
Con los valores (m,n)= (0.7,0.4)Se deriva el valore I=0.09 en la carta deFadum.Ósea a 5 m tenemos en profundidad un 9%adicional a la presión normal, debido ala carga uniforme q en superficie.
Aplicando el principio de superposición al centrodel área cargada se tiene que considerar elacción combinada de los 4 rectángulos chiquitoy iguales. Entonces el factor de influencia final
es Ifadum =4 X 0.09=0.36 (nota que esto
coeficiente incluye ya el divisor 4 p)
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q x I 200x0.36=72 (kPa )
q
q
q
q
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Uso de carta
-
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Uso de cartade Fadum, (1948)
D
z=q x I Fadum)
0.7m=0.7n=0.4
I Fadum)0.09
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Mé d i d (P l D i 1974)
-
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Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974)
Zf
B
L
Zapatas rectangularSe obtiene al fin a z=5 m
Dz=q X I200 x 0.326 65 kpa
Con las constantes a=2.1212b=1.7334
Con el metodo 1:2
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q X I200 x 0.283 56.56 kpa
q
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Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.6,6.11 y 6.12 -ejercicios 6.7 y 6.20
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D) stress en cualquier plano
-
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D) stress en cualquier plano
z
y
y’
z’
' y
' yz
' z
' zy
' yz
' zy
' z
' y
90
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Concepto de stress-1 Stress UNIAXIAL
-
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p
stress normalal plano PQ
Fuerza normalal plano PR
Fuerza tangencia
al plano PR
Ensayo cilíndricocon compresiónuniaxial
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Concepto de stress-2 Stress UNIAXIAL
-
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pstress tangencialy normal a plano
orientado de
cualquier Angulotheta
Variación de sigmaN y Tau en un ensayo cilíndrico porCualquier ángulo theta
Cual es el ángulocon max Tau y max SigmaN?
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Concepto de stress-3 Stress BIAXIAL
-
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pStress biaxial en una plataformaRectangular y stress en su elemento
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Concepto de stress-4 Stress BIAXIAL
-
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p
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta
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Concepto de stress-5 Stress BIAXIAL generalizado
-
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p
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Concepto de stress-6 Stress BIAXIAL generalizado
-
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pConvenciones en geo-mecanica !
Nota importante:In geotecnia la convención de los signos
se usa una manera diferente queen otras área de mecánica de losmateriales (donde los si gnos soninvertidos).
1) tensiones normales compresivas son
positivos Y tensiones normales detracción son negativo.
2) Orientación shear stress (Tau) sigue lala regula siguiente:
Orientacion Anti-clockwise
-+Orientacion clockwise
En condicionde equilibiro
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Concepto de stress-7 Stress BIAXIAL generalizado
-
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p
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta
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Concepto de stress-8 Stress BIAXIAL generalizado
-
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p
shear stress máximo en un planoorientado según este ángulo:
0 si 45
0 si 2
arctan2
1
max
max
τ
τ
yz
yz
yz
z y
θ
θ
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E i i 4
-
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agua
-35°
2m
3m
2.5m
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3k0=0.6
k0=0.6
Exercicio 4Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto A, enun plano a -35° como en el dibujo.
A
En el punto A …
sigmaV = 9.81*3+19*2+21*2.5=29.4+38+52.5=119.9 (kPa) (presion vertical)
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 (kPa) (presion horizontal)
Con tauZY=0 (kPa)SigmaN ?
Tau?
[1]
[2]
[w]
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-
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Esfuerzo normal y e tangencialA un plano orientado con sigmaOrientada de un Angulo teta respectoA la horizontal
Nuestro caso:
SigmaZ=SigmaVSigmaY=SigmaH
-35°
35°
55°
Sigma N
tau
Sigma 1=sigmaV
Sigma 3=sigmaH
el plano hace -35 grados respecto a el eje horizontal y sigma NEs orientada a 55° al mismo eje horizontal
Con tauZY=0 (kPa)
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-
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= [119.9*0.671 + 71.9*0.329 ] = 104.1 kPa
= [-24* -0.9397 ] = 22.6 kPa
-35°
35°
55°
Sigma N = 104.1 kPa
Tau 22.6 kPa
sigmaV=119.9
sigmaH =71.9
Con tauZY=0 (kPa)
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-
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Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:• Parry (2002) – capitulo 1- secciones 1.1, 1.2 y 1.3
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E) Círculos de Mohr
-
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E) Círculos de Mohr
2
21
2min
1max
p 2
zy z ,
max
zy y ,
2
,n
Circulo demohrStress
principales,normales ytangencialesy maximos
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12 yz
Circulo de MohrEj l di i d
Centro y rayo del circulo de stress plano
-
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22
12
y z
medio
2
2
2max zy
y z r
Ejemplo en condiciones destress plano. Parámetros
circulo de Mohr
El circulo de Mohr permiten derepresentare y calcular gráficamente todasla condiciones de stress en un punto y encualquier plano
0n
0
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Zoom del anterior…..
-
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Determinación de orientación(ángulo ThetaP) de los
Cuando xy es diverso da0 l t i i l
-
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2
2
2,122
zy
y z y z
2arctan
2
1
y z
zy
pθ
stress principales(máximo y mínimo )
0 los stresses principalesnon son perfectamenteverticales y horizontales.En esto caso los estress
indicados como 1 y 2tienen una orientaciónthetap con la vertical.
z
Y
y’
z’
1
1
2
p
p
2
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2
21
2min
1max
p 2
zy z
,
max
zy y ,
2
,n
Circulo demohrStressprincipales,normales ytangenciales ymaximos
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2
Shear stress
-
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45
0 si 45
0 si 2
arctan2
1
max
max
max
τ
τ
τ
p
xy
zy
zy
y z
θ θ
z θ
θ
Angulo Theta donde hay el shear
stress máximo y su relación con
ThetaP
22
212
max
zy
y z maximo y su orientacion ,cuando xy es diverso da 0
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Exercicio 4
Recuerdo el ejemplo de el ejercicio 4…
-
8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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agua
-35°
2m
3m
2.5m
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3k=0.6
k=0.6
Exercicio 4Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto enun plano a -35° como en el dibujo. Pero con TauZY=30 kPa
A
En el punto A …
sigmaV = 29.4+38+52.5=119.9 kPa
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 kPa
tauZY=30 kPaSigmaN ?
Tau?
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8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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= [119.9*0.671 + 71.9*0.329+(30*-0.93) ] = 76.2 kPa
= [ -24* -0.9397 + 30*0.34] = 32.8 kPa
-35°
35°
55°
Sigma N = 76.2 kPa
Tau 32.8 kPa
sigmaV=119.9
sigmaH =71.9
TauZY =30
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zz’
-
8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
77/80
2sin2cos22
' zy
y z y z
z
Determinación de estrés en uncualquier plano rotado de unángulo teta
y
y’
' y
' yz
' z
' zy
' yz
' zy
' z
' y
90
2sin2cos22
' zy
y z y z
y
2cos2sin2
' zy y z
zy
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Circulo de Mohr para el stress eficaz : el stress eficaz se calculasolamente para los stress principales y los stress normales pero no para el shear stress
-
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p p p y p p
'
2'
'
2
11
u
u
2 '
2
Entonces la corrección debida a la presión neutra hace que semueva a la izquierda todo el circulo
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-
8/18/2019 Geotecnia 1 Parte III
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http://www.t
ecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#online
http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#onlinehttp://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#onlinehttp://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#online
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Ejecutable Java software (.JRE)Circulo de Mohr con convenciones de ingenieríamecánica (importante…para aplicaciones geomecanicases necesario invertir los signos!!!)