geschichte der mathematik zahlen und rechentechnik der Ägypter christiane beller
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Geschichte der Mathematik
Zahlen und Rechentechnik der Ägypter
Christiane Beller
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Agenda
Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik
Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Ägyptische Zahlzeichen Ägyptische
Zahlzeichen Rechentechnik
Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1 1 Merkstrich oder Zählfinger
10 2 Henkel, Bügel
100 3 Spirale
1000 4 „Lotosblume“
10 000 5 großer Finger, eine „große Eins“
100 000 6 „Kaulquappe“
1000 000 7 Genius
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Ägyptische Zahlzeichen
Ziffernsystem beruht auf additivem Prinzip: Zur Darstellung einer bestimmten Zahl
mussten Ziffern wiederholt werden Identische Zeichen werden gruppiert
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik
Additiver Charakter der ägyptischen Mathematik an verwendeten Fachwörtern und Methoden zu sehen
Bei Notation wird mit größten Zehnerpotenz begonnen
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Addition
Fachwort für addieren: „vereinigen“ oder „hinzulegen“
Erhält Ergebnis durch Hinschreiben der zu addierenden Zahlen und anschließendem Anpassen der Symbole für Zehnerpotenzen
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Addition
„Berechnung“
Anpassung der Zehnerpotenzen
Beispiel: 1 202 416 + 352 745 Ägyptische
Zahlzeichen Rechentechnik
Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
111111
23333
44
66
7111111
23333
44
66
7 +44
11111
22 22
3333 333
55555
666
44
11111
22 22
3333 333
55555
666
4444
11111111111
22222
3333333333
3
55555
66666
74444
11111111111
22222
3333333333
3
55555
66666
7=
=
1 555 161
55555
1222222
344444
66666
7
1 555 161
55555
1222222
344444
66666
7
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Rechentechnik – Subtraktion
Fachwort für subtrahieren: „abbrechen“ oder „ergänzen“ (als Addition umschrieben)
Erhält Ergebnis durch Wegstreichen
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Subtraktion
Entbündelung von 1 202 416:
Beispiel: 1 202 416 - 352 745
Ausrechnen der Differenz durch Wegstreichen:
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
111111
23333
44
66
7111111
23333
44
66
744
11111
22 22
3333 333
55555
666
44
11111
22 22
3333 333
55555
666
-
555555555
111111
2222222222
2
3333333333333
44444444444
6666666666
6
555555555
111111
2222222222
2
3333333333333
44444444444
6666666666
6
849 671
5555
12222222
333333
444444444
66666666
849 671
5555
12222222
333333
444444444
66666666
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Rechentechnik – Multiplikation
Entstehung aus Addition deutlich Fachwort für multiplizieren: „Hinzulegen“
Ist das gleiche wie bei Addition
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Multiplikation
Multiplikation mit 10 im Kopf Bedeutet Veränderung des
Individualzeichens
Einmaleins fehlt ihnen Verdopplung ist als eigene
Rechenoperation bekannt Berechnung einer schwierigeren
Aufgabe mittels Additionsschemas
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Multiplikation
Beispiel: 15 · 13 Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten
In rechte Spalte Multiplikator 15 eintragen In linken Spalte Multiplikand 1 eintragen
1 15
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Multiplikation
1 15
2 30
4 60
8 120
In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Multiplikand nicht größer ist als 13
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Multiplikation
Markieren der Zeilen, die bei Addition der linken Spalte 13 ergeben
1 + 4 + 8 = 13
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1208/
604/
302
151/
1208/
604/
302
151/
1208
604
302
151
1208
604
302
151
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Rechentechnik – Multiplikation
Durch Addition der rechten Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis
/ 1 15
2 30
/ 4 60
/ 8 120
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
Also erhält man 15 · 13 durch: 15 + 60 + 120 = 195
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Rechentechnik – Division
Ist umgekehrte Multiplikation und sieht gleich aus
Wird mit zwei „Fragen“ formuliert: „Rechne mit x bis (zum) Finden (von) y“
oder „Rufe y hervor aus x“
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Division
Beispiel: „Rechne mit 15 bis (zum) Finden (von) 195“ [195 : 15]
Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten In rechte Spalte Divisor 15 eintragen In linken Spalte 1 eintragen In nachfolgenden Zeilen jeweils das
doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Divisor nicht größer ist als 195
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Division
Markieren der Zeilen, die bei Addition der rechten Spalte 195 ergeben
/ 1 15
2 30
/ 4 60
/ 8 120
15 + 60 + 120 = 195
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1 15
2 30
4 60
8 120
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Rechentechnik – Division
Durch Addition der linken Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
/ 1 15
2 30
/ 4 60
/ 8 120
Also erhält man 195 : 15 durch: 1 + 4 + 8 = 13
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Rechentechnik – Division
Wenn Dividend kleiner als Divisor, muss mit Halbieren gerechnet werden Hierzu sind Brüche erforderlich
Beispiel: 2 : 8
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1 8
½ 4
/ ¼ 2
Also erhält man für 2 : 8 = ¼
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Rechentechnik – Bruchrechnung
Brüche werden wie ganze Zahlen geschrieben, aber mit Hieroglyphe „Mund“ darüber
Rechneten fast nur mit Stammbrüchen Für ½, ⅔ und ¾ eigene Zeichen:
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
½ ⅔ ¾
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Rechentechnik – Bruchrechnung
Darstellung von Brüchen durch Summe von Teilbrüchen
Keine Wiederholung des selben Bruchs erlaubt 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 keine zulässige
Aufteilung des Bruches
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
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Rechentechnik – Bruchrechnung
Bei der Übertragung schreibt man für 1/n
Z.B. wird ⅔ in dieser Schreibweise notiert
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
n
3
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Rechentechnik – Bruchrechnung
Addition von Stammbrüchen: Aufgabe aus Papyrus Rhind 37
Unter letzten 5 Stammbrüchen sind rote Hilfszahlen notiert Hilfszahlen geben den Faktor an, mit dem
die Brüche erweitert werden müssen
usw.
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
2 4 8 16 32 64 72 5
36 18
76
9 8 1
1 36=
16 576
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Rechentechnik – Bruchrechnung
Durch Addition der Hilfszahlen erhält man 72
Somit hat man errechnet, was sich
zu kürzen lässt
Zusammen mit den ersten drei Brüchen kann man leicht das Gesamtergebnis 1 berechnen
2 4 8 16 32 64 72 5
36 18
76
9 8 1
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift 72
5761
8
![Page 26: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/26.jpg)
Rechentechnik – Bruchrechnung
Subtraktion von Stammbrüchen Aufgabe aus Papyrus Rhind 21
Man errechnet das Ergebnis leicht, indem man 15 - 11 = 4 bestimmt
Somit ergibt
Dies können die Ägypter jedoch erst nach der Division von 4 : 15 notieren
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1- 3 15
10 1
1- 3 154
15
![Page 27: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/27.jpg)
Rechentechnik – Bruchrechnung
„Rechne mit 15 bis du 4 findest“
Zuerst wird 1 ½ als von 15 bestimmt
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1 15
1 ½ 10
1
10
![Page 28: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/28.jpg)
Rechentechnik – Bruchrechnung
Anschließend ist dann 3 von 15
Nun fehlt noch 1 bis zum gewünschten
Ergebnis, also
1
5
1
15
1 15
1 ½
3
1
10
5
15
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
1 15
1 ½
3
10
5
![Page 29: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/29.jpg)
Rechentechnik – Bruchrechnung
Somit muss die dritte und die vierte Zeile ergänzt werden, denn 3 + 1 = 4
Die gesuchte Notation von ist also:
1 15
1 ½
/ 3
/ 1
10
5
15
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
4
151 1
+5 15
![Page 30: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/30.jpg)
Hieroglyphen und hieratische Schrift
Hieratische Schrift ist Vereinfachung der Hieroglyphen Durch Schematisierung und
Reduzierung auf das Wesentliche entstanden
Charakteristische Merkmale hinzugefügt, um Verwechselungen zu vermeiden
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
![Page 31: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/31.jpg)
Hieroglyphen und hieratische Schrift
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
![Page 32: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/32.jpg)
Hieroglyphen und hieratische Schrift
Ägyptische Zahlzeichen
Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung
Hieroglyphen und hieratische Schrift
![Page 33: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/33.jpg)
Fragen
…???
Christiane Beller
![Page 34: Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022031701/55204d6749795902118bda29/html5/thumbnails/34.jpg)
Quellen
Vogel, Kurt: Vorgriechische Mathematik, Teil 1. Hannover: Hermann Schoedel Verlag, Paderborn: Verlag Ferdinand Schöningh, 1958
Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen. Frankfurt/Main, New York: Campus Verlag, 2. Auflage der Sonderausgabe 1991
Gericke, Helmut: Mathematik im Orient. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1984
http://www.meritneith.de/mathematik.htm http://home.fonline.de/fo0126//geschichte
/ges1.htm
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Ende
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit
Christiane Beller