gibanje tijela i svjetlosti u …mdjumic/uploads/diplomski/vin04.pdfanamarija vincetiĆ leŠiĆ...
TRANSCRIPT
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
ANAMARIJA VINCETIĆ LEŠIĆ
GIBANJE TIJELA I SVJETLOSTI U
GRAVITACIJSKOM POLJU ODREĐENIM
SCHWARZSCHILDOVOM METRIKOM
Diplomski rad
Osijek, 2009
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
ANAMARIJA VINCETIĆ LEŠIĆ
GIBANJE TIJELA I SVJETLOSTI U
GRAVITACIJSKOM POLJU ODREĐENIM
SCHWARZSCHILDOVOM METRIKOM
Diplomski rad
predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja profesora fizike i tehničke kulture s informatikom
Osijek, 2009
Sadržaj:
Uvod ii
Sažetak iii
1 Schwarzschildovo rješenje Einsteinovih jednadžbi 1
1.1 Einsteinove jednadžbe.......................................................................................1
1.2 Schwarzschildovo rješenje Einsteinovih jednadžbi...........................................2
2 Gibanje masa u Schwarzschildovom polju 7
2.1 Geodezijske.........................................................................................................7
2.2 Gibanje masa u Schwarzschildovom polju........................................................8
2.3 Stabilne i nestabilne staze..................................................................................10
2.4 Padanje u centar.................................................................................................17
3 Gibanje zrake svjetlosti u Schwarzschildovom polju 20
3.1 Gibanje zrake svjetlosti.....................................................................................20
3.2 Gibanje prema (i od) centra...............................................................................22
3.3 Gravitacijski crveni pomak................................................................................24
4 Crne rupe 26
Literatura 32
Zaključak 33
Životopis 34
Napomena: Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Josip Brana u
sklopu Sveučilišta diplomskog studija fizike, tehničke kulture s informatikom na Odjelu za
fiziku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku.
i
Uvod
Schwarzschildovo rješenje Einsteinovih jednadžbi kao prvo točno rješenje odigralo je
vrlo značajnu ulogu u razvitku opće teorije relativnosti. Naime, iz gibanja tijela i svjetlosti na
temelju tog rješenja mogla se eksperimentalno testirati opća teorija relativnosti – Einsteinova
teorija gravitacije.
Kao prvi test poslužio je ranije uočeni pomak Merkurova perihela kojeg je Einstein
izračunao (1915) na osnovu svoje teorije i koji se izvrsno slagao sa opažanjima. Druga dva
temeljna testa predložena Einsteinom (1915) odnosila su se na gibanje svjetlosti u području
velikih masa (crveni pomak i skretanje zrake svjetlosti u blizini Sunca). Dok je skretanje
zrake svjetlosti u blizini Sunca opaženo Edingtonom (1922), učinilo Einsteinovu teoriju
vjerodostojnom, a Einsteina slavnim, dotle gravitacijski crveni pomak nije eksperimentalno
potvrđen sve do 1960-e godine u čuvenim Pound – Repka – Sniderovim pokusima.
Zbog svega navedenog uočava se važnost proučavanja gibanja čestica i svjetlosti u
Schwarschildovom polju što i jest tema ovog diplomskog.
U prvom djelu razmatramo Schwarzschildovo rješenje Einsteinovih jednadžbi. U
drugom djelu razmatramo gibanje masa u Schwarzschildovom polju. U trećem dijelu
razmatramo gibanje zrake svjetlosti u Schwarzschildovom polju.
ii
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
GIBANJE TIJELA I SVJETLOSTI U
GRAVITACIJSKOM POLJU ODREĐENIM
SCHWARZSCHILDOVOM METRIKOM
ANAMARIJA VINCETIĆ LEŠIĆ
Sažetak
Većina eksperimentalnih testova opće teorije relativnosti temelji se na
Schwarzschildovoj geometriji u području 2/2 cGMr . Neki se temelje na ispitivanju gibanja
masivnih (golemih) čestica, a neki drugi na ispitivanju staza fotona. Većina „klasičnih“
testova je u granici slabih polja, ali novija zapažanja i testovi odnose se i na slučajeve jakih
polja. Testovi povezani sa Schwarzschildovom metrikom temeljni su i prvi testovi OTR (opće
teorije relativnosti).
iii
1. Schwarzschildovo rješenje Einsteinovih jednadžbi
1.1 Einsteinove jednadžbe
Riemannov tenzor krivine je mjerilo zakrivljenosti prostora, ako je jednak nuli:
0R prostor je ravan, a ako je različita od nula samo jedna njegova komponenta prostor
je zakrivljen. Kontrahirani Riemannov tenzor krivine ili Ricci – ev tenzor možemo napisati u
obliku:
R , (1.1)
gdje su Christoffelovi simboli :
gggg
2
1 . (1.2)
Vidimo da na prvi pogled jednostavan izraz:
0R ,
koji predstavlja Einsteinove jednadžbe u prostoru bez materije upućuje na prilično
komplicirani skup diferencijalnih jednadžbi za komponente metričkog tenzora g .
Einsteinove jednadžbe gravitacijskog polja za prostor s materijom su:
TRgR 2
1 ,
gdje je: 4
8
c
G .
U 4D prostor – vremenu g ima deset neovisnih komponenti i zato u općoj teoriji
relativnosti imamo deset neovisnih jednadžbi polja. Einsteinove jednadžbe su nelinearne u
g i komplicirane su za rješavanje pa postoji samo nekoliko egzaktnih rješivih slučajeva.
1
1.2 Schwarzschildovo rješenje Einsteinovih jednadžbi
Nekoliko mjeseci nakon što je Einstein formulirao jednadžbe gravitacijskog polja,
Karl* ildSchwarzsch je 1916. godine našao njegovo točno rješenje u važnom slučaju
centralnosimetričnog polja. Koje nastaje od centralnosimetrične razdiobe masa, što je vrlo
čest slučaj u Svemiru. Dakle Schwarzschild je našao metriku g za vrlo važan slučaj sferno
simetričnog gravitacijskog polja u praznom prostoru oko masivnih sfernih objekata, kao što su
npr.: zvijezde, planeti itd.
Treba pronaći koordinate x u kojima g ne ovisi o vremenskoj koordinati 0x i
interval 2ds je invarijantan kod 00 xx , tj. metrika je statična i 2ds ovisi samo o
rotacijskoj invarijantnosti prostornih koordinata ix i njihovim diferencijalima, tj.da je metrika
izotropna.
Porebno je da funkcije g budu neovisne o vremenskoj koordinati, što znači da
jednostavno A i B moraju biti funkcije samo od r , stoga imamo:
2222222 sin ddrdrrBdtrAds . (1.3)
Osim toga, vidimo odmah da je 2ds invarijantan kod transformacija tt , to znači da
je to dobar oblik opće metrike za statičko prostorno izotropno prostor – vremena.
Funkcije A(r) i B(r) u općoj statičko izotropnoj metrici određuju rješenja Einsteinovih
jednadžbi. Naše zanimanje usmjereno je na geometriju prostor – vremena izvan područja
sferne raspodjele masa, mi moramo rješiti jednadžbe „praznog“ - prostora, koji jednostavno
zahtijeva da Ricci – ev tenzor isčezava:
0R .
Koeficijente afine veze koji odgovaraju statističnoj izotropnoj metrici
izračunavamo izravno iz metričkog tenzora g korištenjem izraza (1.2). Komponente
metričkog tenzora g i g iz izraza za interval (1.3) su:
)(00 rAg )(
100
rAg , (1.4)
)(11 rBg )(
111
rBg , (1.5)
Karl* ildSchwarzsch rođen je 9. listopada 1873 u Frankfurtu na Majni u Njemačkoj
Svoja prva dva rada o teoriji orbite dvostrukih zvijezda napisao je u dobi od 16. god. dok je još uvijek bio u frankfurtskoj
gimnaziji. Radovi su objavljeni u Astronomische Nachrichten 1890. god.Studirao je na Sveučilištu u Strasbourgu tijekom
dvije godine 1891 - 1893 gdje je i naučio mnogo praktične astronomije, a zatim na Sveučilištu u Münchenu, gdje je
doktorirao. Nakon dodjele doktorata, Schwarzschild je imenovan asistent na Von Kuffner Observatoriju u Ottakringu u
predgrađu Beča. Na opservatoriju je radio na koje načine odrediti prividni sjaj zvijezda pomoću fotografskih ploča. Napušta
opservatorij u lipnju 1899.god. i nastavlja svoj rad na Sveučilištu u Münchenu.Od 1901. do 1909. bio je izvanredni profesor u
Göttingenu i direktor tog opservatorija. Imao je priliku proučavati fotografije povratka Halleyeva kometa 1910. Također je
napravio veliki doprinos u spektroskopiji, koja je zbog njega postala tema od velikog interesa u to vrijeme.U Rusiji je
Schwarzschild napisao dva rada prvi u svezi Einsteinove teorije relativnosti a drugi u svezi Planckove kvantne teorije. Prvi
spomenuti rad je osnova za kasnije proučavanje crnih rupa.
Karl Schwarzschild umro je 11. svibnja 1916. u Potsdamu u Njemačkoj u 42. god. života od teške kožne bolesti.
2
2
22 rg 2
22 1
rg , (1.6)
22
33 sinrg 22
33
sin
1
rg , (1.7)
gdje su kontravarijantne komponente recipročna vrijednost kovarijantnih komponenti, dok je
metrički tenzor dijagonalan. Uvrštavajući gornje komponente metričkog tenzora u izraz (1.2),
dobijemo koeficijente afine veze (različite od 0) koji se nalaze u tablici:
0000
0000
2
1gg ii
dr
rdA
rB
)(
)(2
100
1
00
00
000
00
0
2
1
2
1gggggg iipiii
dr
rdA
rA
)(
)(2
101
0
00 ij
iii
ii
iipiiii
iii
i gggggg 2
1
2
1
dr
rdB
rB
)(
)(2
111
1
221122122
1122
1
2
1gggg
)(22
1
rB
r
331
1133
1
2
1gg
)(
sin 2
331
rB
r
221
2221
2
2
1gg
r
121
2
332
2233
2
2
1gg cossin33
2
331
3331
3
2
1gg
r
131
3
332
3332
3
2
1gg
sin
cos32
3
3
Od svih 40 nezavisnih koeficijenata afine veze vidimo da je samo njih devet različito od nule,
a to su:
A
A
201
0 ,
B
A
200
1 ,
B
B
211
1 ,
B
r 22
1 , B
r 2
331 sin
, r
112
2 ,
cossin332 ,
r
113
3 , cot233 .
Uvrštavanjem ovih koeficijenata u izraz (1.1) dobivamo komponente Riccijevog tenzora
R . Srećom, komponente koje nisu na dijagonali za su jednake nula. A to znači da su
samo dijagonalne komponete različite od nula:
rB
A
B
B
A
A
B
A
B
AR
42
00 , (1.8a)
rB
B
B
B
A
A
A
A
A
AR
42
11 , (1.8b)
B
B
A
A
B
r
BR
21
122 , (1.8c)
2
2233 sinRR . (1.8d)
Iz Einsteinovih jednadžbi slijedi da (1.8a) – (1.8c) moraju biti jednake 0. Od ove četiri
jednadžbe, samo prve tri su korisne, jer četvrta ponavlja informacije sadržane u trećoj, te je:
042
rB
A
B
B
A
A
B
A
B
A , (1.9a)
042
rB
B
B
B
A
A
A
A
A
A , (1.9b)
02
11
B
B
A
A
B
r
B . (1.9c)
4
Pomnožimo li jednadžbu (1.9a) s B/A:
A
B
rB
A
B
B
A
A
B
A
B
A
/042
,
042
rA
A
B
B
A
A
A
A
A
A ,
i zbrojimo sa (1.8b) slijedi:
0
rB
B
rA
A 0
1
AB
ABBA
r ,
tj.:
0 ABBA ,
što znači da je AB=const. Označili smo konstantu sa , neka je AB = B = /A.
Uvrstimo li ovo u (1.8c) dobijemo da je ArA što može biti napisano i kao:
dr
rAd .
Intrgrirajući ovu jednadžbu dobili smo rA = (r + k), gdje je k neka druga konstanta
integriranja. Odavde proizlazi da su A(r) i B(r) oblika:
r
krA 1 ,
1
1
r
krB .
U nalaženju A i B koristili smo zbroj jednadžbi (1.8a) i (1.8b), a ne odvojene
jednadžbe. No, može se provjeriti da i u ovakvom obliku A i B zadovoljavaju jednadžbe
(1.8a) – (1.8d). Konstante integriranja k i našli smo iz graničnog uvjeta slabog polja, u
kojem je:
22
21
cc
rA ,
gdje je Newtonov gravitacijski potencijal. U granici slabog polja, kao dobru aproksimaciju,
r označava kao radijalnu udaljenost. Za sferno simetričnu masu M imali smo r
GM , te
zaključujemo da je 2
2
c
GMk i 2c .
Dakle, Schwarzschild-ova metrika za „prazan“ prostor izvan nekog sfernog tijela mase
M je:
22222
1
2
2
2
22 sin2
12
1 ddrdrrc
GMdt
rc
GMcds
.
5
Koristiti ćemo ovu metriku u blizini nekog sfetrnog objekta mase M. Kvadrat
elementa luka je beskonačan za polumjer 2
2
c
GMr , koji je poznat kao Schwarzschildov
polumjer. Ako je površina masivnog tijela unutar ovog polumjera tada objekt postaje
Schwarzschildova crna rupa.
6
2. Gibanje masa u Schwarzschild - ovom polju
2.1 Geodezijske
Tijela se u zakrivljenom prostoru gibaju stazama najkraćeg puta – geodezijskim, a
svijetlost duž tzv. nul – geodezijskim. Tražimo jednadžbe geodezijskih u zakrivljenom
Riemannovom prostor – vremenu:
dxdxgds 2
22
dd
dx
d
dxgds
dd
dx
d
dxgds 2
Udaljenost između dvaju točaka a i b, u takvom prostoru određena je sa:
b
a
b
a
ab dd
dx
d
dxgdsS
, (2.1)
02
2
d
dx
d
dx
d
xd jednadžba geodezijskih
Čestica se giba po takvim krivuljama px u prostoru duž kojih je abS najmanji.
Ukoliko za parametar p odaberemo luk s, to se svodi na traženje minimuma funkcionala
(2.1). Odnosno da je 0abS . Minimiziranje funkcionala (2.1) ekvivalentno je rješavanju
Euler – Lagrangeovih jednadžbi:
0
x
L
x
L
ds
d
;
ds
dxx
xxxg
xxx
g
x
L
2
1
xxxg
xx
gxx
x
g
x
L
ds
d
2
1
0
xxx jednadžbe geodezijskih u zakrivljenom prostor – vremenu
7
2.2 Gibanje masa u Schwarzschildovom polju
Schwarzschildov interval zadan je s:
22222
1
2
2
2
22 sin2
12
1 ddrdrrc
GMdt
rc
GMcds
. (2.2)
Prvo izračunavamo koeficijente afine veze
za ovu Schwarzschildovu metriku. Zatim
možemo napisati jednadžbe geodezijskih za Schwarzschildovo rješenje:
02
2
d
dx
d
dx
d
xd ,
gdje je afini parametar duž geodezijskih x . Da bi se dobila jednadžba geodezijskih
koristimo Lagrangov postupak. Za Lagrangian uzimamo xxgL , gdje je
ddxx / . Koristeći jednadžbu (2.2) L je:
22222
1
2
2
2
2 sin2
12
1
rrrc
GMt
rc
GMcL , (2.3)
2c
GM ; 22222
1
22 sin2
12
1
rrr
tr
cL .
Jednadžbe geodezijskih dobijemo uvrštavanjem ove jednadžbe u Euler-Lagrangeove
jednadžbe:
0
x
L
x
L
d
d
.
Izračunom dobijamo da su četiri jednadžbe geodezijskih za = 0,1,2,3:
ktr
2
1 , (2.4)
0sin2
12
1 2222
2
2
2
2
21
rrrr
tr
cr
r , (2.5)
0cossin2 2 rr
, (2.6)
hr 222 sin . (2.7)
8
U (2.4) i (2.7), veličine k i h su konstante. Ove dvije jednadžbe izvedene su odmah
jer L nije eksplicitna funkcija od t ili . Jednadžba geodezijskih (2.6) biti ce zadovoljena ako
je 2/ . Jednadžbe geodezijskih reduciramo na:
ktr
2
1 , (2.8)
02
12
1 22
2
2
2
2
21
rrrr
tr
cr
r , (2.9)
hr 2 . (2.10)
Ove jednadžbe vrijede za nul i ne-nul afine parametre geodezijskih. U ovim
slučajevima možemo zamijeniti kompliciranu r-jednadžbu (2.9) s prvim integralom
geodezijskih jednadžbi. Za ne – nul geodezijske:
2cxxg
, (2.11)
što je za Schwarzschildovu metriku:
2222
22
21
21 cr
r
rtc
r
, (2.11a)
dok je za nul geodezijske:
0 xxg . (2.12)
Zbog jednostavnosti za masivne čestice, uzimamo da čestica ima jediničnu masu a
afini parametar neka bude vlastito vrijeme čestice, tako da je xp . Isto tako kao za
masivne čestice, sada odabiremo odgovarajući parametar za nul geodezijske, tako da je xp . Tako da za 2/ možemo pisati:
2
2
2
000
21 kct
rc
GMctgp
, (2.13)
hrgp 2
333 , (2.14)
gdje imamo definirane konstante na način da se podudaraju sa (2.8) i (2.10). Prvo razmotrimo
konstantu k . Ako u nekom trenutku, promatrač s 4 – brzinom u susretne česticu s
4 – impulsom p , tada će on mjeriti energiju čestica kao:
upupE .
Za promatrača u beskonačnosti imamo da je 0,0,0,1u a zbog toga je 2
0 kcpE . Odavde uzimamo da je 2/ cEk , gdje je E ukupna energija čestica u svojoj
orbiti. Budući da za masivne čestice pretpostavljamo da imaju jediničnu masu, u općem
slučaju imamo da je 2
0/ cmEk , gdje je 0m masa mirovanja čestice. Za konstantu h
vidimo iz (2.14) da je jednaka zakretnom momentu količine gibanja.
9
2.3 Stabilne i nestabilne staze
a) Stabilne staze:
Pri istraživanju gibanja planeta u gravitacijskom polju Sunca također koristimo
Schwarzschild – ovo rješenje. Možemo reći da je gravitacijsko polje Sunca sferno –
simetrično a gravitacijska polja planeta su zanemariva u odnosu na Sunčevo, dakle planeti
predstavljaju masivne čestice i kreću se po geodezijskim.
Jednadžba gibanja u Newton - ovoj teoriji je:
22
2
h
GMu
d
ud
,
a njeno rješenje je:
cos12
eh
GMu . ( 2.15)
Možemo nacrtati stazu planeta oko Sunca kao na slici 2.1. Udaljenosta kad je planet
najbliže Suncu zovemo „perihel“ i tu udaljenost označavamo sa ear 11 , kada je
udaljenosta najdalja „afel“ označavamo ju sa ear 12 . Jednadžba gibanja onda zahtijeva
da polu – glavna os (a) glasi:
2
2
1 eGM
ha
. (2.16)
Slika 2.1 Staza planeta oko Sunca eliptičnog oblika.
Opća – relativistička jednadžba gibanja je:
2
222
2 3u
c
GM
h
GMu
d
ud
. (2.17)
10
Ako je gravitacijsko polje slabo, kao što je za staze planeta oko Sunca, onda
očekujemo da će Newtonova teorija gravitacije pružiti odličnu aproksimaciju za gibanje
planeta u općoj relativnosti. Dakle, Newtonovo rješenje (2.15) možemo smatrati kao rješenje
nultog – reda za opću – relativističku jednadžbu gibanja. Relativistička jednadžba gibanja je:
ueh
GMu cos1
2 ,
gdje je u perturbacija (otklon). Uvrštavamo ovaj izraz u opću – relativističku jednadžbu
(2.17) i nalazimo da je, do prvog reda u u ,
cos2cos1 22
2
2
eeAud
ud
,
gdje je konstanta 423/3 hcGMA vrlo mala. Rješenje za ovu jednadžbu lako utvrdimo da
je:
sin2cos
6
1
2
11 2 eeAu . (2.18)
Zatim dobijemo približno rješenje:
sincos12
eh
GMu , (2.19)
gdje je
13
22
2
ch
GM . Koristeći relaciju:
sincossinsincoscos1cos za 1 , (2.20)
možemo napisati:
1cos12
eh
GMu . (2.21)
Iz ovog izraza vidimo da je staza periodična, ali s periodom 1/2 , tj.
r – vrijednost ponavlja se kružno po stazi koja je veća od 2 . Rezultat toga je da se staza ne
može 'zatvoriti', i zbog toga se elipsa zakreće (vidi sliku 2.2). Tijekom jedne revolucije, elipsa
će rotirati oko fokusa prema iznosu:
22
26
221
2
ch
GM
.
221
6
cea
GM
zakretanje perihela (2.22)
11
Slika 2.2 Precesija (zakretanje) eliptične staze (uvelike pretjerana).
Ako primijenimo jednadžbu (2.22) na stazu Merkura, koji ima sljedeće parametre:
T = 88 dana, ma 10108.5 , e = 0.2. Korištimo masu Sunca kgM 30102 , dobijemo da
je zakretanje:
34
Stvarna izmjerena precesija (odnosno zakretanje) iznosilo je:
4.07.9559
ali cijeli ovaj rezultat je uzrokovan smetnjama drugih planeta. Ostatak, nakon uzimanja u
obzir smetnje drugih planeta, u izvanrednom je slaganju s općom teorijom relativnosti.
Zakretanje se može računati i za neke druge planete i asteroide ( kao što je Ikar, koji je veliki
asteroid čiji perihel leži unutar Merkurove staze),također možemo izračunati i:
Rezultati dobiveni promatranjem Rezultati koje predviđa OTR
Merkur 43.1 0.5 43.03
Venera 8 5 8.6
Zemlja 5 1 3.8
Ikar 10 1 10.3
Rezultati se slažu s predviđanjem opće teorije relativnosti.
12
b) Nestabilne staze:
Analiza pokazuje da je najbliža kružna orbita oko golemog okruglog tijela na 4r .
Međutim, još nismo utvrdili da li je ova orbita stabilna. U Newtonovoj dinamici jednadžba
gibanja čestica u centralnom potencijalu može biti zapisana kao:
ErVdt
dreff
2
2
1 ,
gdje je rVeff efektivni potencijal i E je ukupna energija čestice po jedinici mase. Za orbitu
oko sferne mase M, efektivni potencijal je:
2
2
2r
h
r
GMrVeff , (2.23)
gdje je h zakretni momenta čestice. Efektivni potencijal prikazan je na slici 2.3. Vidimo da
imamo dvije prekretnice orbite i da kružnoj orbiti odgovara poseban slučaj gdje čestica leži na
minimumu efektivnog potencijala. Nadalje se vidi da u Newtonovoj dinamici konačna
vrijednost zakretnog momenta spriječava česticu da postigne r = 0. To nije istinito u općoj
teoriji relativnosti.
Slika 2.3 Newtonov efektivni potencijal za h 0, pokazuje kako kutni moment čestićne barijere
sprečava dostizanje r = 0.
U općoj teoriji relativnosti, jednadžba za gibanje čestica oko središnjih masa može biti
prema (2.11a) zapisana kao:
12
21
22
1 222
2
22
k
c
r
c
rr
h
d
dr
,
13
gdje je konstanta 2
0/ cmEk . Tako bi u općoj teoriji relativnosti efektivni potencijal po
jedinici mase bio:
3
2
2
22
2 r
h
r
h
r
crVeff
, (2.24)
koji ima dodatni član razmjeran s 1/ 3r u usporedbi s Newtonovim slučajem (2.23).
Podsjetimo li se da je 2/ cGM vidimo da se (2.24) reducira na oblik (2.23) u
nerelativističkoj granici c .
Slika 2.4 pokazuje opći relativistički efektivni potencijal za nekoliko vrijednosti
chh / . Točke pokazuju mjesto stabilnih kružnih orbita, koje se javljaju na lokalnom
minimumu potencijala. Lokalni maksimumi kod potencijalne krivulje su mjesta nestabilnih
kružnih orbita. Za bilo koju vrijednost h , kružne su orbite one u kojima se pojavljuje
d effV / dr = 0. Nadalje jednadžbu (2.24) pišemo kao:
4
2
3
2
2
2 3
r
h
r
h
r
c
dr
dVeff ,
i tako, ekstremi efektivnog potencijala su na mjestima rješenja kvadratne jednadžbe:
03 2222 hrhrc ,
Slika 2.4 Opći relativistički efektivni potencijal nacrtan za nekoliko vrijednosti
zakretnog momenta tj. parametra h .
14
koji se javljaju na:
222
212
2chh
c
hr
.
Posebno primjetimo, ako je cch 3212 onda postoji samo jedan ekstrem, i ne
postoje prekretnice u orbitama za niže vrijednosti od h. Najdublja stabilna kružna orbita je:
2min
66
c
GMr .
Ova staza s 6r i h/( c) 32 , jedinstveno zadovoljava obje jednadžbe
0/ drdVeff i 0/ 22 drVd eff , a zadnji biva uvjetom granične stabilnosti orbite.
Postojanje najdublje stabilne orbite ima nekih zanimljivih astrofizičkih posljedice. Na
primjer plin akrecijskog diska oko golemog središnjeg tijela na kružnim je orbitama oko
kompaktnog objekta. Međutim, plin polako gubi zakretni moment zbog turbulentne
viskoznosti. Kako plin gubi orbitalni moment, kreće se polako prema unutra, gubeći
gravitacijsku potencijalnu energiju i pri tome se zagrijava. Na kraju je izgubio toliko
zakretnog momenta da više ne može slijediti stabilne kružne orbite, i spiralno se giba prema
središnjem objektu.
Slika 2.5 Spiralna orbita za česticu projiciranu na 2/ ravninom r=20GM/ 2c
s h=3.5GM/c. Kružna orbita zahtijeva cGMh /17/20 .
Točkice su crtane za ista vlastita vremena.
15
Procijenimo efektivnu energiju zračenja u akrecijskom disku. Njezin maksimum je
reda gravitacijske energije veze na zadnjoj stabilnoj kružnoj orbiti podijeljenoj s energijom
mirovanja čestica.
Postavljanjem 6r u (2.22) i prisječajući se da je 2
0/ cmEk , nalazimo da je:
943.03
222
0
cm
E .
Maksimalna učinkovitost zračenja akrecijskog diska je:
%7.5943.01 acc .
Dakle, akrecijski disk oko jako kompaktnog astrofizičkog objekta može pretvoriti u
zračenje možda nekoliko postotaka energije mirovanja plina. Ovo bi mogli usporediti sa
učinkovitošću nuklearnih pretvorbi vodika u helij, koje iznose:
nuclear 0.7% .
Prema tome akrecijski disk je u stanju pretvarati energiju mirovanja u zračenje s
učinkovitošću 10 puta većom od one u nuklearnom sagorjevanju vodika (u zvijezdama).
Snaga zračenja akrecijskog diska vrlo kompaktnih objekata (kao što su crne rupe) uzrokom je
fenomena s najvećim energijama u Svemiru.
Intuitivnu fizičku sliku ne – kružne orbite i zahvat čestice sa zakretnim momentom h
mogli bi dobiti diferenciranjem jednadžbe za energiju
1221 22
22
22
kc
r
GM
rc
GM
r
hr , ( 2.25 )
orbita masivnih čestica po vlastitom vremenu.
Uporabom početne jednadžbe (2.25) možemo ukloniti prve derivacije dr/d , te dobivamo da
je:
42
2
3
2
22
2 3
rc
GMh
r
h
r
GM
d
rd
.
Prva dva člana na desnoj strani su vrlo slična Newtonovom izrazu kod djelovanja
gravitacijske sile i odbojne 'centrifugalne sile' proporcionalne sa 2h . Treći član je također
proporcionalan sa 2h , ali ovaj put djeluje prema unutra. To pokazuje da u neposrednoj blizini
vrlo kompaktnog objekta, unutar radijusa r = 3GM/ 2c , centrifugalna sila 'mijenja znak' i
usmjerena je prema unutra. To dovodi do spiralne orbite kao na slici 2.5.
16
2.4 Padanje u centar
Kod radijalnog gibanja je konstantno što povlaći da je h = 0. Tako se (2.25) svodi na:
r
GMkcr
21222 . (2.26)
Diferenciranje ove jednadžbe po vlastitom vremenu i djeljenjem r dobivamo:
2
2
r
GMr , (2.27)
što točno ima isti oblik kao pripadajuča jednadžba gibanja u Newtonovoj teoriji gravitacije.
Ovo međutim ne povlači da opća relativnost i Newtonova teorija gravitacije predviđaju isto
fizikalno vladanje. Valja se sjetiti da u (2.27) koordinata r nije radialna udaljenost i da točkice
označavaju derivacije u odnosu na vlastito vrijeme a ne u odnosu na univerzalno vrijeme.
Kao specifičan primjer razmotrimo česticu koja pada iz mirovanja s udaljenosti r = R.
Iz (2.26) s mjesta je vidljivo da je RcGMk 22 /21 tako da (2.26) može biti zapisano kao:
RrGM
r 11
2
2 . (2.28)
Ova jednadžba ima isti oblik kao Newtonova formula koja izjednačava povečanje
kinetičke energije na osnovu gubitka gravitacijske potencijalne energije čestice (jedinične
mase), koja pada iz točke r = R u kojoj je mirovala. No valja imati na umu različita značenja r
i točkice iznad njega.
Mogli bi nastaviti našu analizu ove opće situacije ali ćemo ilustrirati glavne fizikalne
točke razmatrajući česticu koja pada iz beskonačnosti gdje je mirovala. U ovom slučaju k = 1
stavljajući ovu vrijednost u geodezijske jednadžbe (2.8) i (2.26) dobivamo:
1
21
rd
dt
, (2.29)
2/1
22
r
c
d
dr
, (2.30)
gdje smo u (2.30) uzeli negativni korijen. Ove jednadžbe formiraju osnovu naše diskusije
radijalnog padanja čestica iz mira u beskonačnost. Iz ovih jednadžbi s mjesta je vidljivo da su
komponente četvero brzine ove čestice u koordinatnom sustavu ,,,rt jednostavno ove:
0,0,2
,2
1
2/121
r
c
rd
dxu
. (2.30a)
17
Jednadžba (2.30) određuje stazu r . Integriranjem (2.30) smjesta dobivamo:
2
3
2
3
0
23
2
23
2
c
r
c
r
, (2.30b)
gdje smo zapisali integrirajuču konstantu u takvom obliku da je za 0 , 0rr . Tako da je
vlastito vrijeme čestice koja pada iz 0rr do koordinatnog polumjera r .
Umjesto parametriziranja svjetske staze preko vlastitog vremena možemo
alternativno opisivati njenu putanju kao tr tako da kartiramo stazu čestice u koordinatnoj
ravnini rt, . To je lako ostvarivo ako pišemo:
rr
c
dt
d
d
dr
d
dr
21
22/1
2
. (2.31)
Integriranjem nalazimo:
12/
12/
12/
12/ln
2
22
4
223
2
0
00
2
3
2
3
0
r
r
r
r
c
rr
cc
r
c
rt , (2.31a)
gdje izbor integrirajuče konstante daje 0t , u 0rr .
Posebno primjetimo da je:
2
3
0
23
2
c
r
kad je 0r , (2.31b)
t kad je 2r . (2.31c)
Evidentno je da će čestica doseći u konačnom vlastitom vremenu točku 0r . Kada je
svjetska staza iskazana u obliku tr vidimo da će r asiptotski dosegnuti 2 kada t .
Kako koordinatno vrijeme t odgovara vlastitom vremenu stacionarnog motritelja na velikim
udaljenostima moramo zaključiti da će se takom opažaću učiniti da je potrebno beskonačno
vrijeme da bi čestica dosegla 2r .
Interesantno se zapitati koju brzinu opaža stacionarni motritelj na mjestu r padajuće
čestice koja prolazi pored njega. Iz Schwarzschildove metrike (2.2) vidimo da za stacionatnog
motritelja na mjestu koordinatnog polumjera r koordinatni vremenski interval dt odgovara
intervalu vlastitog vremena:
dtr
td
2/12
1
. (2.31d)
18
Slično, razmak dr radialne koordinate koja odgovara vlastitom radialnom razmaku
mjerenim od strane opažaća jednak je:
drr
rd
2/12
1
. (2.31e)
Tako da je brzina radialno padajuće čestice mjerena od strane stacionarnog opažaća u
r data sa: 2/1
2122
1
r
c
dt
dr
rtd
rd . (2.32)
Dobili smo prilično iznenađujući rezultat, koji pokazuje kada čestica doseže 2r .
Stacionarni opažać na tom polumjeru opaža da brzina čestice teži c . Primjetimo da jednadžba
(2.32) je fizikalno ispravna samo za 2r , dok je nemoguće postojanje stacionarnog opažaća
2r .
19
3 Gibanje zrake svjetlosti u Schwarzschildovom polju
3.1 Gibanje zrake svjetlosti
Masivni objekti mogu imati značajan učinak na širenje fotona. Na primjer, fotoni
mogu putovati po kružnoj stazi na 2/3 cGMr . Ne možemo očekivati da ćemo ovaj efekt
izravno promatrati, ali mnogi drugi oblici skretanja svjetlosti mogu se promatrati. Za
istraživanje blagog otklona svjetlosti u gravitacijskom polju, na primjer Sunca, najlakše je
pratiti aproksimacije analogne tehnike koju koristimo u predviđanju pomaka Merkurova
perihela. Oblik jednadžbe fotona staza u ekvatorijalnoj ravnini Schwarzschildove geometrije
je:
2
22
2 3u
c
GMu
d
ud
, (3.1)
Slika 3.1 Kutovi i koordinire u zakretanju svjetlosti kraj sferne mase.
Gdje je u ≡ 1 / r. U odsutnosti od mase (npr. Sunca), desna strana isčezava, a rješenje možemo
pisati kao:
b
usin
, (3.2)
što predstavlja linearni pravac s koeficijentom b (vidi sliku 3.1). Jednadžbu (3.2) smatrat
ćemo kao rješenje jednadžbe gibanja nultog - reda. Zatim možemo opće – relativističko
rješenje napisati kao:
ub
u sin
,
gdje je u otklon. Uvrštavanje ovog izraza u jednadžbu (3.1), nalazimo da je:
2
222
2
sin3
bc
GMu
d
ud
2cos
3
11
2
322bc
GMu . (3.3)
Zbrajanjem jednadžbe (3.3) i (3.2) dobijemo:
2cos
3
11
2
3sin22bc
GM
bu , (3.4)
20
Sada razmotrimo granični slučaj kada r → , tj. u → 0. Jasno vidimo da za mali
otklon možemo uzeti da je u beskonačnost sin i 12cos , za dobivanje
bcGM 2/2 . Ukupno odstupanje (vidi sliku 3.1) je:
bc
GM2
4 . (3.5)
To je poznata formula gravitacijskog otklona ( tj. formula za skretanje svjetlosti u
polju velikih masa). Uvrštavanjem podataka za svjetlost u blizini Sunca dobjemo 75.1 .
1919 god. ekspedicija za pomrčine pod vodstvom Eddington dala je dva rezultata:
16.098.1 ,
4.061.1 ,
oba su u skladu s OTR. Neki povjesničari su tvrdili da je Eddington namjestio rezultate da se
slažu s teorijom. Kasnije visoko – precizni testovi koriste radio izvore, koji mogu promatrati u
blizini Sunca čak i kada ne postoji pomrčina Mjeseca, pokazuju da nema sumnje da je opća -
relativistička prognoza precizna s točnošću od 1%. Moderni radio eksperiment koristeći vrlo
dugačke bežične interferometre (VLBI) bili su namjenjeni za mjerenje gravitacijsko
zakretanje položaja radio kvazara kada su zahvaćeni pomrčinom Sunca. Takvi eksperimenti
mogu se obavljati na točnost boljoj od ~ 410 lučnih sekundi.
U slučaju ako je zakretanje svjetlosti veće, onda naše prijašnje jednadžbe nisu
prikladne. U tom slučaju je prikladnije koristiti jednadžbu za d / dr ,koja glasi:
2/1
222
21
111
rrbrdr
d ,
Ako je 33b onda foton nije zarobljen od strane mase, što znači da će staza izgledati kao
na slici 3.3. Sa slike vidimo da će kut skretanja biti:
drrrbrr
2/1
222
21
1112
0
, (3.6)
gdje je 0r najbliža udaljenost.
Slika 3.3 Kutovi i koordinate kod jačeg zakretanja svjetlosti u
gravitacijskom polju sferne mase.
21
3.2 Gibanje prema (i od) centra
Za radialno gibanje 0 i :
02
12
1 222
1
22
rrr
tr
c , (3.7)
se svodi na:
02
12
1 2
1
22
rr
tr
c , (3.7a)
odakle dobivamo:
rc
dt
dr 21 . (3.8)
Integriranjem imamo:
.12
ln2 constr
rct
, (izlazeći foton) (3.8a)
.12
ln2 constr
rct
. (ulazeći foton) (3.8b)
Primjetimo da pri transformaciji tt ulazeće i izlazeće fotonske staze mjenjaju
mjesta kao što je i za očekivati. No, diferencijalna jednadžba (3.8) je puno zgodnija za
analize. U rct, dijagramu vidimo da fotonske svjetske staze imaju nagib 1 kada r
formirajući (standardne svjetlosne stožce u STR), ali njihovi nagibi dostižu u ako
2r . To znaći da one bivaju sve više vertikalne a stožci se sve više sužavaju.
22
Slika 3.4
Puna krivulja na slici je svjetska staza masivne čestice koja pada iz mirovanja iz
mjesta Rr gdje je smješten i opažać. Kako je svjetska staza masivne čestice uvijek
zatvorena unutar svjetlosnog stožca (djela usmjerenog prema tijeku vremena) sužavanje
svjetlosnih stožaca uzrokuje da svjetske staze masivnih čestica bivaju sve vertikalnije kada
2r . Tako, čestica doseže 2r samo za t . Nadalje, pretpostavimo da u nekoj
točki duž staze čestica emitira radijalno odlazeći foton u smjeru opažaća. Tangenta na
svjetsku stazu tog fotona mora u svakom slučaju ležati duž vanjske strane svjetlosnog stožca u
toj točki. Ovo je prikazano iscrtkanom linijom na slici 3.4. Tako, u graničnom slučaju kada
čestica doseže 2r početni pravac fotonske svjetske staze doseže vertikalnu crtu i tako bi
foton došao opažaću za t . Tako da će čestica za vanjskog opažaća doseći obzor događaja
2r za beskonaćno vrijeme. No, kako je prodiskutirano ranije vlastito vrijeme potrebno
masivnoj čestici da padne do 2r je konačno.
Ovaj paradoks ukazuje da sustav koordinata rct, nije adekvatan za područje 2r
no tim se problemom nećemo baviti.
23
3.3 Gravitacijski crveni pomak
Razmotramo fenomen gravitacijskog crvenog pomaka. Specifičan primjer je odašiljač,
uz fiksne prostorne koordinate EEEr ,, , koji šalje foton, kojeg prima promatrač sa fiksnim
prostornim koordinatama RRRr ,, . Ako je Et vremenska koordinata emisije i Rt
vremenska koordinata prijema tada foton putuje od događaja EEEE rt ,,, do događaja
RRRR rt ,,, duž nul geodezijskih 02 ds u Schwarzschildovom prostorvremenu:
0sin2
12
1 22222
1
2
2
2
2
ddrdrrc
GMdt
rc
GMc ,
gdje je:
2c
GM ; 0sin
21
21 22222
1
22
ddrdrr
dtr
c ,
U oba slučaja imamo da su vlastita vremena:
22222 21 dt
rcdsdc
. (3.9)
U ovim slučajevima r je konstantna duž svjetske linije, tako da jednadžba (3.9) vrijedi i za
konačne intervale vremena:
E
E
E tr
2/1
21
i R
R
R tr
2/1
21
.
Kako je ER tt jer je t „svjetsko“ vrijeme, dobivamo da je:
2/1
/21
/21
E
R
E
R
r
r
,
koja čini osnovnu formulu za gravitacijskog crvenog pomaka u Schwarzschildovom polju.
Ako su E i R period titranja elektromagnetskog vala na mjestu predaje i prijema, tada je
omjer frekvencija fotona:
2/1
2
2
21
/21
crGM
crGM
R
E
E
R
,
što pokazuje da je ER ako je ER rr .
24
Crveni pomak fotona z definiran je sa:
1/1
ERz .
To možemo vrlo lako generalizirati na bilo koji prostorvrijeme u kojem možemo odabrati
putujuće koordinate za koje je: 00 g i 00 xg t
. U ovom slučaju:
ji
ij dxdxxgdtxgds
2
00
2 ,
gdje su sve metričke komponente neovisne o t . Ukoliko su prostorne koordinate odašiljača i
prijemnika fiksne analogno zaključujemo da vrijedi:
2/1
00
00
R
E
E
R
xg
xg
. (3.10)
Pri izvođenju (3.10) pretpostavlja se da su odašiljač i prijemnik prostorno fiksni.
Međutim, to nije često fizički realno. Na primjer, želimo li izračunati gravitacijski crveni
pomak fotona ako su odašiljač ili prijemnik (ili oboje) u slobodnom padu ili se kreću na neki
proizvoljan način. Kako bismo koristili ovaj formalizam trebamo znanje staza tog slobodnog
pada čestica i fotona, što se dobiva iz geodezijskih u Schwarzschildovoj geometriji. No, taj
slučaj nećemo dalje razmatrati.
25
4 Crne rupe
Kada je površina masivnog tijela unutar polumjera 2/2 cGMr tada objekt postaje
Schwarzschildova crna rupa. A kada zvijezda potroši svoje termonuklearno gorivo, u njoj
prevagne gravitacija i ona se ovisno o početnoj masi uruši u bijelog patuljka ili neutronsku
zvijezdu. Zvijezda masivnija od 3,2 Sunčeve mase na kraju svog životnog puta, nakon
katastrofalnog sažimanja, pretvori se u crnu rupu - najčudesniji i najneshvatljiviji objekt u
poznatom svemiru. Takve objekte predvidjela je Einsteinova opća teorija relativnosti. Osim
crnih rupa mase ravne masi zvijezda, u novije vrijeme otkrivene su i supermasivne crne rupe
u središtima galaksija.
Sam naziv crna rupa novijeg je datuma, osmislio ga je američki fizičar Jochn Archibald
Weeler 1967. godine i odmah je postao opće prihvaćen.
Za kuglaste objekte, graničnu vrijednost njihova polumjera gr , gdje pri manjim polumjerima
više ni svjetlost ne može napustiti zvijezdu, možemo odrediti iz relacije:
2
2
c
GMrg Schwarzschildov polumjer ili gravitacijski polumjer ili obzor događaja
gdje je c brzina svjetlosti, G gravitacijska konstanta i M masa objekta. Pretpostavimo da
Zemlju smanjimo do kritičnog polumjera koji bi udovoljio kriteriju crne rupe, njezin polumjer
bio bi jedva 8 milimetara. Sunce bi trebalo smanjiti za 250 000 puta kako bi poprimilo
promjer od 2,95 kilometra.
Crne rupe su jedan od mogućih posljednjih stadija evolucije zvijezde tj. jedan od
načina kako ona završava svoj život. Unatoč golemim količinama tvari koja je skupljena u
zvijezdama, nuklearno gorivo se s vremenom potroši. Dok je zvijezda imala dovoljne količine
vodika, golema energija koja se oslobađala prilikom fuzije bila je dovoljna za održavanje
tlaka koji je držao ravnotežu s gravitacijskim silama koje nastoje materiju koncentrirati u
jednu točku. Kada se izvori energije iscrpe, zvijezda gubi svoju sudbonosnu bitku s
gravitacijom i počinje se urušavati sama u sebe. Što će od zvijezde ostati nakon urušavanja,
ovisi isključivo o njezinoj početnoj fizičkoj masi.
Ako zvijezda koja se urušava ima masu do 1,4 Sunčeve (tzv. Chandrasekharova
granica), tada će na određenom stupnju skupljanja tlak degeneriranih elektrona moći
zaustaviti daljnje urušavanje, zvijezda će postati bijeli patuljak. Višak energije i mase
oslobodit će se u vidu planetarne maglice. U zvijezda mase između 1,4 i 2 Sunčeve mase
urušavanje će se nastaviti uslijed silnoga tlaka, negativno nabijeni elektroni prodiru u atomske
jezgre, gdje se spajaju s protonima i nastaju neutroni. Snažne nuklearne sile između tih
čestica, koje su doslovno u dodiru, uspiju zaustaviti daljnje skupljanje - nastaje neutronska
zvijezda. Njihov je polumjer 10 do 20 km a masa veća od mase Sunca.
26
Premda neutroni u neutronskoj zvijezdi mogu izdržati masu iznad Chandrasekharove
granice, ni nuklearna sila nije beskonačno snažna. Masa veća od 3,2 Sunčeve mase, uspije
probiti najjači otpor koji može pružiti materija i više ne postoji ništa što bi urušavanje moglo
zaustaviti. Tako nastaju crne rupe, najčudesniji i najneshvatljiviji objekti u poznatom svemiru
(Slika 4.1.). Proračuni pokazuju da se "samo" 2 % zvijezda na kraju života pretvori u crne
rupe.
Slika 4. 1. Umjetnička vizija crne rupe: prikazan je akrecijski disk i strujanje čestica duž magnetskog polja (The
Laboratory for High Energy Astrophysics / NASA)
Slika 4. 2. Lijevak prikazuje gravitacijsko djelovanje crne rupe koje izaziva zakrivljenost prostor-vremena
U gravitacijskom polju crne rupe prostor-vrijeme je potpuno zakrivljen, pa nikakvo
energetsko zračenje ne može prodrijeti u vanjski svijet (Slika 4. 2.).
27
Slika 4. 3. Shematski prikaz okolice crne rupe nastale urušavanjem zvijezde triput masivnije od Sunca. Velika
masa usredotočena u malom prostoru ima veoma jako gravitacijsko djelovanje: crna rupa okolnu tvar uvlači u
sebe kao vir (Harvard-Smithsonian Cenfer for Astrophysics).
Nakon formiranja crne rupe, tj. nakon urušavanja zvijezde, ona se vrlo brzo smjesti u
stacionarno stanje, jer pri svakoj kretnji emisija gravitacijskih valova odnosi energiju. U
vrijeme urušavanja zvijezde i nastajanja crne rupe sva materija se kreće jako brzo, tako da se i
energija brzo gubi (Slika 4.3.).
Svojstva crne rupe veoma su jednostavna. To je najjednostavnije fizičko tijelo. Ako
ima neutralan električni naboj i ne rotira, crna rupa je objekt koji se može opisati samo jednim
parametrom - svojom masom. Prema tome, tvar crne rupe je jezikom fizike najjednostavnija
tvar: sve individualnosti u njoj se gube i nema smisla govoriti o tijelima i česticama. To znači
da nije bitno je li crna rupa uvukla kilogram željeza i kilogram platine ili kilogram grožda i
kilogram jabuka, nego je bitno da je to masa od dva kilograma, jer se vrste materije ne mogu
razlikovati.
S ulaskom u crnu rupu sve se razgrađuje, gube se razlike među tijelima. među
atomima i molekulama, među česticama.U takvim okolnostima dvije crne rupe jednakih masa
jednake su i u svim ostalim pogledima. Međutim crna rupa može uz masu imati još dva
fizikalna svojstva: električni naboj i moment vrtnje.
Einstein i Rosen pokazali su kako postoji mogućnost da crna rupa bude izlaz, vrata u
drugi svemir koji postoji paralelno s našim. Materija koja upada u rotirajuću crnu rupu
teorijski bi mogla negdje ponovno izaći.
Slika 4.4. Einstein-Rosenov most
28
Ne moramo se bojati crne rupe u središtu naše galaksije jer je od nas udaljena otprilike
24 000 svjetlosnih godina. Istraživanje gravitacijskog urušavanja i formiranja crne rupe.
Zvijezda sadrži mješavinu plina i tlaka, relativni doprinos ovisi o njezinoj masi. Energija
podržava tlak koji je izvedeno iz fuzije lakih jezgri, pretežno vodika u helij, što realizira oko
26MeV za svaki atom He koji je formiran. Kada koristimo sve nuklearno gorivo, zvijezda
počinje da se hladi i sažima pod vlastitom gravitacijom. Za većinu zvijezda, urušavanje
završava visokom gustoćom zvjezde poznatom kao bijeli patuljak. Očekujemo da će se u oko
5 milijarda godina Sunce urušiti u obliku bijelog patuljka s radijusom od oko 5000 km i
spektakularno visoke srednje gustoće od oko 3910 kgm .
Astronomiji su poznati bijeli patuljci još od 1915 (najraniji primjer bio je pratilac
svijetle zvijezde Sirius, poznata kao Sirius B), ali nitko u to vrijeme nije znao kako ih
objasniti. Mehanizam koji pruža unutarnji tlak takve gustoće objekta bio je misterij. Odgovor
je morao čekati 1926 godinu i razvoj kvantne mehanike i formulaciju Fermi – Diracove
statistike. Elektroni bijelog patuljka ponašaju se poput slobodnog elektrona u metalima, ali
elektronska stanja su široko razmaknute u energiji zbog male veličine zvijezde u bijelom
patuljku. Zbog Paulijevog principa, elektroni potpuno napune ova stanja do visokih
karakteristika Fermijeve energije. To je taj visoki elektron energije koji čuva zvijezdu od
urušavanja.
1930 godine Chandrasekhar je shvatio da masivniji bijeli patuljak mora biti gušći i
jačeg gravitacijskoh polja. Kritična masa za bijelog patuljka je od oko 1,4 M (to zovemo
Chandrasekharovom granicom), gravitacija bi nadvladala izrođenost tlaka i stabilno rješenje
ne bi bilo moguće. Dakle, gravitacijsko urušavanje objekta mora se nastaviti. Isprva je mislio
da se bijeli patuljak mora urušiti. Tada je otkrio neutron, međutim, shvatio je da u nekoj fazi
urušavanja ekstremno visoka gustoća uzrokuje interakciju elektrona s protonom preko
- raspada te formira neutroni (i neutrin, koji jednostavno pobjegne). Nastaje nova stabilna
konfiguracija - neutronska zvijezda. Neutronska zvijezda od jedne solarne mase imati će
radijus od samo 30 km, s gustoćom od oko 31610 kgm . Budući da se u neutronskoj zvijezdi
stvara nuklearna gustoća, gravitacijske sile unutar zvijezde su vrlo jake.
S obzirom na ekstremne gustoće unutar neutronske zvijezde, i dalje postoje
neizvjesnosti u jednadžbama stanja materije. Ipak, vjeruje se da (kao i za bijele patuljke),
postoji maksimalna masa iznad koje nema stabilne neutronske zvijezde. Ta maksimalna masa
bi mogla biti negdje oko 3 M (koja je poznata kao Oppenheimer – Volkoffova granica).
Dakle, vjerujemo da bi se masivnija zvijezda od tog ograničenja trebala sažeti u obliku crne
rupe. Osim toga, ako je urušavanje sferno simetrično onda mora proizvesti Schwarzschildovu
crnu rupu.
Schwarzschildovo rješenje vrlo je posebno - to je točno sferno simetrična izgradnja. U
stvarnosti, zvijezda neće biti savršeno simetrična jer se urušava, a simetrije će se povećavati i
izbjeći formiranje horizonta događaja. U ranim 1960-ima, Penrose primjenjuje globalnu
tehniku geometrije da se dokaže serija „singularnosti teorema“. Oni su pokazali da u realnim
situacijama horizont događaja (zatvorena zarobljena površina) će se formirati i da mora
postojati singularitet unutar ove površine, tj. točka u kojoj zakrivljenost divergira i opća
teorija relativnosti prestaje biti važeća.
29
Singularnost teorema bila je važna za uvjeravanje ljudi da se crne rupe moraju
oblikovati u prirodi. U budućnosti bi trebalo biti moguće mjerenje mase crnih rupa i mjerenje
njihovog zakretnog momenta, i to pomoću X-zraka snažnim teleskopima!
Klasa Ishodište
Dokazi
* * * M87 zvijezde i optički disk
* * NGC 3115 zvijezde
* * NGC 4594 ( Sombrero ) zvijezde
* * NGC 3377
zvijezde
* * * * * NGC 4258
masivni disk
* * M31( Andromeda ) zvijezde
* * M32 zvijezde
* * * * Galaktički centar
zvijezde i 3D gibanje
Table 4.2 Potencial supermasivnih crnih rupa
30
MM
bh/
9101
7104
6105.2
OH2
Crne rupe u dvojnim zvjezdanim sustavima mnogo su lakše, mase su im nekoliko puta
veće od Sunčeve a nastaju nakon eksplozije supernove. Takve crne rupe ne bi bilo moguće
uočiti da nisu u parovima s drugim zvjezdama. U takvih dvojnih sustava crna rupa usisava
materijal zvijezde pratilice. Taj materijal ne pada izravno prema crnoj rupi, već tvori tzv.
akrecijski disk (akrecija = srašćivanje) - golemi vir kojim materija spiralno pada prema crnoj
rupi. Materija se s približavanjem crnoj rupi ubrzava i sve više zagrijava, oslobađaju se
goleme količine energije u obliku rendgenskog zračenja (Slika 4.5.). Ovo smo opširnije
razmatrali u poglavlju 2.3b nestabilne staze.
Slika 4.5. Atmosfera zvijezde superdiva pretače se u akrecijski disk koji okružuje crnu rupu. Tvar se u disku
ubrzava i sve više zagrijava, pri čemu se oslobađaju goleme količine rendgenskog zračenja čiji intenzitet varira
u djeliću sekunde (Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics)
Slika 4.5. a) Slika 4.5. b)
31
Literatura
1. Bernard Schutz, Gravity from the ground up, Max Planck institute for
Gravitational Physics (The Albert Einstein Institute) Golm, Germany and
Department of Physics and Astronomy Cardiff University, UK, 2003
2. Ta – Pei Cheng, Relativity, Gravitation and Cosmology, Oxford master series
in particle Physics, Astrophysics and Cosmology, 2005.
3. M. P. Hobson, G. Efstathiou, A. N. Lasenby, General relativity: an
introduction for physicists, Cambridge University Press, Cambridge, 2006
32
Zaključak
U diplomskom radu razmotreno je nekoliko osnovnih slučajeva gibanja tijela i
svjetlosti u gravitacijskom polju izvan sferno simetričnih masivnih tijela. Takvo gravitacijsko
polje opisano je u okviru Einsteinove teorije Schwarzschildovim rješenjem.
Kao prvo gibanje istaknuto je upravo ono na kojem je zaživila opća teorija relativnosti,
tj. tumačenje pomaka merkurova perihela. U drugom slučaju razmotreno je padanje masivnih
tijela u takvom gravitacijskom polju i uočeno je postojanje važnosti obzora događaja koji se
nalazi na Schwarzschildovom polumjeru 2/2 cGMr .
Kod gibanja svjetlosti u Schwarzschildovom polju izložen je osnovni rezultat skretanja
zrake svjetlosti što je bila druga eksperimentalna potvrda Einsteinove teorije. U okviru
poglavlja o gibanju svjetlosti razmotren je još gravitacijski crveni pomak.
Na kraju je navedena nekolicina posljedica pri urušavanju tvari ispod obzora događaja
u izrazito gustim svemirskim objektima – zvanim crne rupe.
33
Životopis
Anamarija Vincetić Lešić rođena 15. lipnja 1983. godine u Vinkovcima.
U Županji završavam osnovnu, te 2002.godine i srednju Tehničku školu, kojom stičem zvanje
strojarski tehničar.
2002 godine po završetku srednje škole upisujem fakultet u Osijeku kao redovan
student smjera: FIZIKA I TEHNIČKA KULTURA S INFORMATIKOM na Odijelu za fiziku
Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera. Koji završavam 2009.godine.
Udana sam i majka sam trogodišnjeg sina.
34