ESERCIZI  SULL’INSIEME  DI  DEFINIZIONE    Premettiamo  che  per  definire  l’insieme  di  definizione  di  una  funzione  f(x)  composta  di  funzioni  elementari  si  individuano  una  per  una  tutte  le  operazioni  che  bisogna  eseguire  per  calcolare  il  valore  f(x)  in  x  e  si  determina  l’insieme   X ⊆ R  nel  quale  tali  operazioni  hanno  significato.  Tale  procedimento  conduce,  in  generale,  allo  studio  delle  soluzioni  di  un  sistema  di  disequazioni.  1)   f (x) = log1

2

(2x2 + x +1)  

L’operazione   è  eseguibile  in[0,+∞[ ,  quindi  occorre  supporre    log1

2

(2x2 + x +1) ≥ 0  

L’operazione  log  è  eseguibile  in   ]0,+∞[  e  quindi  occorre  anche  supporre:  2x2 + x +1> 0  Perché  le  operazioni  di  somma  e  prodotto  sono  sempre  eseguibili  in  R  non  occorrono  ulteriori  limitazioni.  Raccogliendo  si  ha  che  l’insieme  di  definizione  di  f  è  l’insieme  delle  soluzioni  del  sistema:  log1

2

(2x2 + x +1) ≥ 0

2x2 + x +1> 0

⎧⎨⎪

⎩⎪  

Essendo    

log12

(2x2 + x +1) ≥ 0⇔ 2x2 + x +1≤ 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

= 1⇔ 2x2 + x ≤ 0  

tale  sistema  è  equivalente  al  sistema    2x2 + x ≤ 02x2 + x +1> 0

⎧⎨⎪

⎩⎪  

Essendo  2x2 + x = x(2x +1) ,  la  prima  di  tali  disequazioni  è  verificata  per   x ∈ − 12,0⎡

⎣⎢⎤⎦⎥  

Essendo  Δ = 1− 8 = −7 < 0 ,  la  seconda  disequazione  è  sempre  verificata.  

Si  conclude  che   X = − 12,0⎡

⎣⎢⎤⎦⎥.  

2)   f (x) = 1− x −15 − x

4  

L’operazione   4  è  possibile  se  supponiamo  1− x −15 − x

≥ 0 ,  e  l’operazione    sempre  possibile.  

Inoltre  l’operazione  di  divisione  comporta  la  condizione   x ≠ 5 .  Risolviamo  allora  tale  disequazione.  Si  ha:    

1− x −15 − x

≥ 0⇒ x −15 − x

≤1⇔ x −1 ≤ 5 − x  

D’altra  parte,  elevando  ambo  i  membri  al  quadrato  si  ha:  x −1 ≤ 5 − x ⇔ x −1( )2 ≤ 5 − x( )2 ⇔ x2 − 2x +1≤ 25 −10x + x2 ⇔ 8x ≤ 24⇔ x ≤ 3  Si  conclude  che   X = −∞, 3] ] .  

3)   f (x) = (x2 − 2 x − 3)π  L’operazione  ad  esponente  non  intero  è  possibile  se    x2 − 2 x − 3≥ 0  

Essendo   x2 = x 2  si  ha:  

x2 − 2 x − 3≥ 0⇔ x 2 − 2 x − 3≥ 0  Posto   t = x si  ottiene  la  disequazione  ausiliaria:  t 2 − 2t − 3≥ 0    Δ = 4;t = ±2 3

−1 ; Tale  disequazione  è  vera  per   t ≤ −1  oppure     t ≥ 3  Sostituendo  risulta  allora:  x2 − 2 x − 3≥ 0⇔ x ≤ −1    oppure   x ≥ 3  Si  conclude  che:  X = −∞,−3] ]∪ 3,+∞[ [    

4)   f (x) = log 2 log x +12 log x − 3

4                dove   log = loge  

L’insieme  di  definizione  è  l’insieme  delle  soluzioni  del  sistema:    

log 2 log x +12 log x − 3

≥ 0

2 log x +12 log x − 3

> 0

x > 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

 

con  la  condizione   x ≠ e32  

Tale  sistema  è  equivalente  al  sistema    2 log x +12 log x − 3

≥1

x > 0

⎧⎨⎪

⎩⎪  

Risolvendo  la  prima  disequazione  si  ha    2 log x +12 log x − 3

−1≥ 0; 42 log x − 3

≥ 0;x > e32  

Si  conclude  che  

X = e32 ,+∞

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢  

       

Insiemi  di  definizione  Determinare  l’insieme  di  definizione    delle  seguenti  funzioni  1)   f (x) = (24arcsen2x −10πarcsenx +π 2 )π  2)   f (x) = arctg log(π − 3arcsenx)  

3)   f (x) = log 153ar cos x −π6ar cos x −π

 

4)   f (x) = π 2 −16ar cos2 x  5)   f (x) = log(4arctgx −π )3  

6)   f (x) = 1− 36arctgx−π( )− 2  

7)   f (x) = ar cos x2 + x −1  

8)   f (x) = logar cos x − 2x + 3

 

9)   f (x) = 2arcsen log x  

10)   f (x) = ar cos(3x −1)  

11)   f (x) = x2 +1 − (x + 3)( )π  12)   f (x) = 1− 4sen2x4  

13)   f (x) = log(3senx − 3)3    Determinare  l’insieme  di  definizione    delle  seguenti  funzioni    

1)   f (x) = log(2 ⋅3x − 5)3                                         R. x > log352

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟  

2)   f (x) = 1+ log(2 ⋅3x − 5 ⋅4 x )                       R. x > log 45

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟  

3)   f (x) = 2x − log x + 3 − x −1( )               R. x > −1( )  

4)   f (x) =x + 3− 2x +14

1+ sen2x                                       R. - 4

3≤ x ≤ 2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟  

5)   f (x) =x2 + 3x − 4log x + 4

                                              R. x ≥1( )  

6)   f (x) = log x2 +1 − (x + 3)( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥3