glava 2 kinematikatesla.pmf.ni.ac.rs/.../biologija/2008z/fizika2.pdf · 2017-05-19 · 28 glava 2....

Glava 2

Kinematika

Gde god da pogledamo oko nas, mozemo da uocimo tela u kretanju (u fizici jeuobicajeno a se kaze ”u stanju kretanja”). Cak i kada smo u stanju mirovanja,nase srce kuca i na taj nacin tera krv da struji kroz krvne sudove. Proucavanjei razumevanje kretanja je interesantno cesto iz potpuno prakticnih razloga.Na primer, mozemo da se zapitamo gde ce fudbalska lopta pasti ako se sutnepod odredjenim uglom u odnosu na horizontalu i nekom pocetnom brzinom.Osim ovih, prakticih, razloga postoje i drugi zbog kojih se, pre nego sto sekrene u druge oblasti fizike, mora posvetiti odredjena paznja upravo kretanjutela. Odredjeni pojmovi, koji se uvode kada se proucava kretanje, kao sto jena primer ubrzanje, su osnova za kasnije uvodjenje drugih velicina, recimosile.1

Iz svakodnevnog iskustva mi imamo predstavu o kretanju kao o neprekid-noj promeni u polozaju nekog tela. Sva kretanja u fizici, mozemo da kat-egorisemo u tri tipa kretanja: translatorno, rotaciono i vibraciono (oscila-torno). Automobil koji se krece auto putem je primer translatornog kretanja,Zemljina rotacija oko sopstvene ose je primer rotacionog kretanja, a kretanjeklatna vibracionog.

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

Formalno izucavanje fizike stoga obicno krece od oblasti koja se naziva kine-matika, koja se moze definisati kao oblast fizike koja se bavi proucavanjem

1Moze da se kaze da zapravo postoji odredjeni logicki niz pojmova koji se uvode uokviru fizike.

27

28 GLAVA 2. KINEMATIKA

kretanja, bez uzimanja u obzir masa tela i sila koje deluju medju njima.2

Proucavanje kretanja tela je nesto sto je oduvek zanimalo ljudski rod isvakako je predstavljalo predmet interesovanja i u vremena koje istorija nijezabelezila. Prvi zapisani tragovi posveceni proucavanju kretanja se odnose nakretanje Sunca i planeta po nebu. Interesovanje koje je pobudjivalo njihovokretanje je, puno vekova kasnije, dovelo do ideje o postojanju gravitacije i dorevolucionarne ideje da Zemlja nije centar Vasione.

Pozabavimo se za pocetak, najprostijim tipom kretanja, translatornimkretanjem po pravoj liniji, odnosno jednodimenzionalnim kretanjem.

Pri proucavanju translatornog kretanja koristicemo cesticni model, odnosnomodel materijalne tacke, prema oome se dimenzije tela zanemaruju odnosnotela smatramo geometrijskim tackama. Ako na primer, opisujemo kretanjeZemlje oko Sunca, i pri tom ne uzimamo u obzir njihove dimenzije vec ih tre-tiramo kao materijalne tacke, mogli bi da pomislimo da na taj nacin cinimovelike greske. Medjutim, rezultati koji se na taj nacin dobijaju su ipak veomatacni, a razlog je taj sto je poluprecnik Zemljine orbite mnogo veci od dimen-zija Zemlje i Sunca.3 Ukoliko pak proucavamo kretanje tela u blizini Zemljinepovrsine, Zemlju ocigledno ne mozemo smatrati materijalnom tackom.

Na osnovu ovih primera namece se zakljucak da telo mozemo smatratimaterijalnom tackom jedino onda, ukoliko je njegova putanja takva, da seono krece po prostoru koji je mnogo veci od dimenzija samog tela.

2.1.1 Putanja, put i pomeraj

Kretanje materijalne tacke se smatra u potpunosti poznatim, ukoliko se znanjen polozaj u prostoru za svaki momenat vremena. Da bi medjutim moglida odgovorimo na ovo pitanje, odnosno da bi mogli da se bavimo opisivanjempromena polozaja tela, prvo moramo da budemo u stanju da definisemo sampolozaj, odnosno da umemo da definisemo gde se telo, u datom momentu,

2Rec kinematika potice iz grckog jezika i odnosi se na kretanje, a takodje je ima iu drugim jezicima, na primer engleskom cinema-film, ili pak kinesiology - proucavanjeljudskog kretanja.

3Drugi primer je posmatranje kretanja molekula gasa koji se nalaze u nekom sudu iobjasnjenje pritiska koji se na taj nacin stvara, kao posledica njihovih udara u zid suda. Uovom prilazu se molekuli gasa tretiraju kao materijalne tacke, iako je rec o molekulima kojiimaju odgovarajucu unutrasnju strukturu. Rezultati ovakvog modela su dobroj saglasnostisa eksperimentom, sto i opravdava njegovu primenu.

2.1. KINEMATIKA JEDNODIMENZIONOG KRETANJA 29

nalazi. Polozaj tela odredjujemo uvek u odnosu na neki referentni sistem.4

Kada proucavamo kretanje tela na Zemlji, najcesce se za nepokretno telouzima upravo Zemlja i za nju vezuje referentni sistem. Ponekad je zgodnijeda se koristi neki drugi referentni sistem, npr, sistem reference vezan za vozkoji se krece po pruzi (slika 2.1).

Slika 2.1: Putnik se krece od prednjeg ka zadnjem kraju vagona. Njegov(relativan) polozaj u odnosu na vagon je oznacen sa x. Pomeraj putnika uodnosu na vagon je - 10 m i predstavljen je strelicom usmerenom ka zadnjemkraju vagona.

Ako povezemo niz tacaka u kojima je materijalna tacka bila u datim vre-menskim intervalima, dobijamo neprekidnu krivu koja predstavlja putanjuili trajektoriju tela. Deo putanje tela, koji je ono preslo za posmatrani vre-menski interval se naziva put.

Ako se neko telo krece u odnosu na sistem reference (na primer nastavnikkoji se na slici krece na desno u odnosu na Zemlju (slika 2.2) i putnik kojise krece ka zadnjoj strani vagona (slika 2.1)), to znaci da mu se polozaj uprostoru menja sa vremenom. Pomeraj se definise kao promena polozajatela.5 SI jedinica za pomeraj je metar (m), ali se ponekad, iz prakticnihrazloga koristi kilometar (km), ili neke druge jedinice duzine. Ukoliko jese telo iz polozaja cija je koordinata x1 pomerilo u polozaj u kome mu je

4Obicno se kaze da se prati promena polozaja datog tela u odnosu na neko, takozvano,referentno telo, za koje se a priori pretpostavlja da je nepokretno. Koordinanti sistem kojismo postavili tako da je fiksiran (vezan) za to referentno telo se naziva sistem reference.

5Termin pomeraj implicira da se telo pri promeni polozaja u prostoru na neki nacinkrece ili pomera.


koordinata x2, pomeraj ∆x je odredjen relacijom6

∆x = x2 − x1. (2.1)

Valja primetiti da je pomeraj odredjen i smerom i intenzitetom. Nastavnikovopomeraj je 2,0 m na desno, a pomeraj putnika je 10 m ka zadnjem deluvagona. Kada je rec o jednodimenzionalnom kretanju, smer ce biti odredjenpredznakom plus ili minus. Nastavnikov polozaj je u pocetku bio x1 = 1, 5 m,a konacan x2 = 3, 5 m, pa je pomeraj ∆x = x2−x1 = 3, 5 m−1, 5 m = +2, 0m. Pomeraj na desno (u pravu pozitivnog dela x ose koja nam sluzi zaodredjivanje polozaja tela) je pozitivan, dok je pomeraj na levo negativan.Na slican nacin je, ako je pocetni polozaj putnika (u odnosu na vagon)bio x1 = 12 m, a konacan x2 = 2, 0 m, njegov pomeraj ∆x = x2 − x1 =2, 0 m− 12 m = −10 m. Dakle, njegovo kretanje ka zadnjem delu vagona, usistemu reference vezanom za vagon i sa x osom usmerenom u smeru kretanjavagona, ima negativan pomeraj.

Slika 2.2: Nastavnik se krece na desno dok drzi predavanja.

Pri ovim razmatranjima je neophodno praviti razliku izmedju predjenogputa i pomeraja tela. To svakako nisu iste velicine a u to se mozemo uveritina sledecem primeru. Kada ujutro krenemo od kuce na fakultet, a uvece sevratimo kuci, nas pomeraj je nula (jer smo se vratili u istu polaznu tacku), alipredjeni put svakako nije, vec je jednak makar dvostrukom rastojanju kuce ifakulteta.

6Napomenimo da ce, skoro uvek, u tekstu ove knjige velikim grckim slovom ∆ bitioznacena promena neke velicine ciji ce simbol biti napisan uz njega. U tom smislu, ∆xznaci da je rec o promeni polozaja koji je, prilikom kretanja u jednoj dimenziji, odredjenpoznavanjem koordinate x.

2.2. VREME I BRZINA 31

2.1.2 Vektori i skalari

Velicine koje su odredjene intenzitetom, pravcem i smerom nazivaju se vek-tori. Pomeraj je takva velicina a drugi primeri su: brzina koja, da bi sepotpuno poznavala mora da bude zadata na, recimo sledeci, nacin - telo sekrece brzinom 90 km/h na istok, sila od 400 N je usmerena na nize, ...7 Naslikama 2.2 i 2.1 je prekazano kako vektorske velicine mogu da se predstavestrelicom. Strelica imaju duzinu proporcionalnu intenzitetu vektora a pravaci smer im se poklapaju sa pravcem i smerom date fizicke velicine.

Za neke fizicke velicine nije potrebno poznavati pravac i smer delovanjajer ih - nemaju. Svaka takva velicina, za cije poznavanje je dovoljno da sezna samo njena brojcana vrednost (ne i pravac i smer) se naziva skalar. Naprimer: temperatura vazduha je 200 C, visina coveka je 1,8 m. Primetimoda, iako skalar moze da bude negativan (na primer dobro poznate negativnetemperature u stepenima Celizijusa), taj predznak ne oznacava smer datevelicine vec govori samo o tome gde se na datoj skali nalazi ocitana temper-atura.

2.2 Vreme i brzina

Da bi se u potpunosti poznavalo kretanje nekog tela, nije dovoljno znati nje-gov pomeraj. Osim pomeraja potrebno je znati koliko dugo i kojom brzinomse telo kretalo pri pomeranju sa jednog mesta na drugo. Na ovakva pitanjane moe da se odgovori bez uvodjenja novih fizickih velicina.

2.2.1 Vreme

U vezi vremena postoji mnogo pitanja na koja ne postoje odgovori. Naprimer, da li je moguce promeniti mu smer? Da li vreme ima apsolutnipocetak, a ako ga ima da li ima i kraj? Bez obzira na to sto za sada ne postojezadovoljavajuci odgovori na ova pitanja, to ne umanjuje nasu sposobnost dasa vremenom operisemo u prakticnom smislu.

Svako merenje vremena podrazumeva zapravo merenje promene nekefizicke velicine. To moze biti broj na digitalnom satu, otkucaji srca ili pakpolozaj Sunca na nebu..., odnosno, sve to je izazvano promenama nekih

7Podsetimo se jos jednom da je smer vektora u jednodimenzionalnom kretanju odredjensamo predznakom (koji moze biti plus ili minus).


fizickih velicina koje se ispoljavaju u tim efektima koje uocavamo.8 SI je-dinica za vreme je, kao sto je napomenuto u prethodnoj glavi, sekunda (s).

Kakva je uloga vremena prilikom kretanja? Obicno nas zanima inter-val proteklog vremena u toku odredjenog kretanja.9 Da bi nasli intervalproteklog vremena, mi moramo da odredimo pocetni i krajnji trenutak ida ih oduzmemo. Na primer, ako cas pocinje u 9.00 pre podne i zavrsavase u 9.45 takodje pre podne, interval proteklog vremena je 45 minuta. For-malno, obzirom da koristimo simbol t za vreme, interval vremena ∆t je razlikaizmedju krajnjeg vremenskog trenutka t2 i pocetnog t1, odnosno

∆t = t2 − t1. (2.2)

Sve biva znatno prostije ukoliko pocetni vremenski trenutak proglasimo zanulti, odnosno ako za merenje vremenskog intervala iskoristimo stopericu.Ukoliko je t1 = 0, vremenski interval se obicno zapisuje kao ∆t = t2 = t.

2.2.2 Brzina

Intuitivno poimanje brzine je prakticno istovetno naucnom. Naime, ukolikotelo za male vremenske intervale dozivljava velike pomeraje, znaci da se krecevelikom brzinom. U tom smislu, jedinica brzine se dobija kada jedinicu zarastojanje podelimo jedinicom vremena (na primer km/h). Kako telo nemora stalno da se krece jednakom brzinom na nekom putu, potrebno je uvestipojam srednje brzine. Srednja brzina, v, se definise kao pomeraj podeljenintervalom vremena za koji se desio10

v =∆x

∆t=

x2 − x1

t2 − t1. (2.3)

Ovakva definicija ukazuje na to da je i brzina vektorska velicina. Ako sepocetni trenutak nulti, srednja brzina je v = ∆x/t.

8Vreme je u fizici povezano sa promenama u sistemu. To iskazuje cinjenicu da jenemoguce znati da li vreme prolazi ukoliko se nesto ne menja. Kolicina proteklog vremenaje kalibrisana poredjenjem sa standardima vremena. Na primer, matematicko klatno kojeizvrsi jednu punu oscilaciju za 0,75 s moze da se koristi za merenje vremena tako sto sebroje njegove oscilacije ili se pak ono poveze na neki satni mehanizam koji bi na brojcanikupokazao iznos proteklog vremena.

9Na primer, moze da nas interesuje koliko vremena je potrebno putniku prikazanom naslici 2.1, da ode od prednjeg do zadnjeg kraja vagona.

10Srednja brzina, kao vektorska velicina, u skladu sa ovom definicijom ima isti pravac ismer kao i pomeraj.


Ukoliko pretpostavimo da je, u ranije razmatranom primeru (slika 2.1)putniku u vozu bilo potrebno 20 s da dodje do zadnjeg kraja vagona, tadaje njegova srednja brzina v = ∆x/t = (−10 m)/(20 s) = −0, 50 m/s. Minusznak ukazuje na to da je brzina usmerena ka zadnjem kraju vagona. SIjedinica za brzinu je m/s, ali se cesto koriste i jedinice km/h, cm/s, a unekim zemljama i mi/h (milja na cas).

Poznavanje srednje brzine nije dovoljno za potpuno poznavanje kretanjajer na osnovu njene vrednosti ne mozemo reci nista o tome sta se desavalo satelom izmedju pocetne i krajnje tacke. Da bi se dobila dodatna informacija,potrebno je razmatrati sve manje delove ukupnog pomeraja a onda njih deliti,sve manjim i manjim, intervalima vremena za koje su se desili (slika 2.3).

Slika 2.3: Detaljnija slika kretanja putnika kroz vagon (u sistemu referencevezanom za vagon, koja pokazuje manje segmente njegovog puta i odgo-varajuce pomeraje. Svaki od tih segmenata ima sopstvenu srednju brzinu.

Sto su manji ovi segmenti, to je dobijena potpunija slika o kretanju.Ako taj proces nastavimo tako sto cemo intervale smanjiti jako puno, dobi-jamo takozvani infinitezimalni interval. U tom slucaju srednja brzina postajetrenutna, odnosno odnosi se na neki vremenski trenutak.11 Tacnije receno,

11Trenutna brzina kretanja automobila se, na primer, ocitava na njegovom brzinomeru.


trenutna brzina v je srednja brzina za infinitezimalno mali vremenski inter-val.12

2.2.3 Ubrzanje

U svakodnevnoj komunikaciji termin ubrzanje se odnosi na povecanje brzine.Sto je vece ubrzanje, to je veca promena u brzini tela za dati interval vremena.Formalna definicija ubrzanja, kao fizicke velicine, je u skladu sa ovom pred-stavom ali je malo sadrzajnija. Ubrzanje je fizicka velicina koja pokazujeiznos promene brzine za posmatrani interval vremena. Srednje ubrzanje je,prema tome,

a =∆v

∆t=

v2 − v1

t2 − t1. (2.4)

Jedinica za ubrzanje direktno proistice iz njegove definicije i iznosi m/s2.Ubrzanje je vektorska velicina (kao i brzina), i ima isti pravac i smer kaopromena brzine ∆v. Medjutim, posto je brzina vektor, to znaci da, osimpromene intenziteta, ona moze da se menja i po pravcu i smeru.13 Sto jetelo naglije promenilo svoju brzinu to je vece ubrzanje. Prema tome, teloposeduje ubrzanje uvek kada se brzina menja, bilo po intenzitetu, bilo popravcu, ili na oba nacina.

P r i m e r X. U trci konja na hipodromu, konji ubrzavaju iz stanjamirovanja do brzine 15,0 m/s, za 1.80 s, u smeru istok-zapad. Izracunatisrednje ubrzanje.

R e s e nj e. Kako se brzina konja menja od 0 do 15,0 m/s, u smeru zapada,promena brzine je jednaka konacnoj brzini, odnosno ∆v = v2−0 = 15, 0 m/s.Srednje ubrzanje je, prema tome,

a =∆v

∆t=

15, 0 m/s

1, 80 s= 8, 33 m/s2,

i usmereno je ka zapadu.Napomenimo da ovaj rezultat kazuje da se brzina konja, u proseku, svake

sekunde poveca za 8,33 m/s.

12Odredjivanje trenutne brzine v u nekom momentu vremena t se svodi zapravo naizracunavanje granicne vrednosti odnosa pomeraja i vremenskog intervala za koji jeizvrsen.

13Kada automobil skrene na raskrsnici ne menjajuci intenzitet brzine, ipak postojiubrzanje jer se brzina tela promenila po pravcu.


Uvodjenje srednjeg ubrzanja, slicno kao i kada je bilo reci o brzini i njenojsrednjoj vrednosti, ukazuje na to da je rec o fizickoj velicini koja u realnostimoze da varira.

P r i m e r X. Grafik ubrzanja u zavisnosti od vremena za slucaj kada seubrzanje veoma malo menja i u vek je usmereno u isto smeru. Srednja vred-nost ubrzanja po celom vremenskom intervalu je priblizno jednaka ubrzanjuu bilo kom momentu vremena.

Slika 2.4:

Trenutno ubrzanje a, je ubrzanje u odredjenom trenutku vremena idobija se na analogan nacin kao i trenutna brzina, razmatranjem promenebrzine u malom - infinitezimalnom intervalu vremena. Da li je, medjutimmoguce odrediti trenutno ubrzanje koriscenjem samo algebre? Tacnije da linam je neophodno da ga poznajemo uvek i da li je, makar ponekad, moguceodrediti ga, bez koriscenja metoda vise matematike.

U tu svrhu je dobro razmotriti primere dva, veoma razlicita, kretanja cijesu zavisnosti ubrzanja od vremena predstavljene na slikama (2.4) i (2.5). Kodprvog kretnja, ubrzanje se veoma malo menja sa vremenom, i njegova srednjavrednost po celom vremenskom intervalu predstavljenom na ovom grafiku,je pribliznoj jednako trenutnoj vrednosti ubrzanja u bilo kom momentu vre-mena. Na drugoj slici je prikazan slucaj kada se ubrzanje drasticno menjasa vremenom. U takvom slucaju je potrebno da se razmatraju, relativnomali vremenski intervali (reda sekunde), unutar kojih je ubrzanje pribliznokonstantno.

2.2.4 Pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem

Pretpostavimo sada, da posmatramo kretanje tela konstantnim ubrzanjem.Ako je to tako, znaci da nam nije neophodan infinitezimalni racun jer ce i


Slika 2.5: Primer grafika zavisnosti ubrzanja od vremena na osnovu izmerenihvrednosti ubrzanja datih tabelarno.


srednje i trenutno ubrzanje biti jednaki, odnosno vazice

a = a. (2.5)

Uvedimo, kao i ranije, neke pretpostavke koje ce uprostiti dalja razma-tranja. Neka je, pocetni vremenski trenutak t1 = 0 s, odnosno da vremenskiintervali merimo stopericom. Tada ce vremenski interval ∆t = t2 − t1 bitipredstavljen kao ∆t = t2 = t, gde je t vreme koje je pokazala stoperica.Ako smo pocetno vreme definisali kao nulto, onda i pocetna koordinata ipocetna brzina imaju u oznakama indekse koji ukazuju na to. Tako je, naprimer, pocetna koordinata x0 a pocetna brzina v0, dok se finalne vrednostioznacavaju prosto sa x, v, t.

Na osnovu ovih uproscavanja jednacina (2.3) glasi

v =x− x0

t,

koju, kada resimo po koordinati x, daje

x = x0 + vt, (2.6)

(za konstantno ubrzanje), gde je srednju brzinu moguce odrediti na osnovuizraza

v =v0 + v

2. (2.7)

P r i m e r X. Dzoger trci srednjom brzinom 4,00 m/s2 oko 2,00 minuta.Koja mu je konacna pozicija nakon tog vremena ako se u pocetku nalazio ukoordinatnom pocetku?

R e s e nj e. Konacni polozaj je dat jednacinom (2.6)u kojoj je x0 = 0,v = 4, 00 m/s2 a vremenski interval je t = 120 s, tako da je konacna pozicijadzogera

x = x0 + vt = 0 + (4, 00 m/s)(120 s) = 480 m.

Na slican nacin, jednacina (2.4) postaje a = v−v0

t, odakle je

v = v0 + at. (2.8)

P r i m e r (Usporavanje aviona pri sletanju) Avion slece pocetnom brzi-nom 70,0 m/s i usporava 1,50 m/s2 narednih 40,0 s. Kolika mu je konacnabrzina na kraju tog vremenskog intervala?


R e s e nj e. Konacna brzina aviona nakon navedenog intervala je nalazina osnovu jednacine (2.8) u koju treba za pocetnu brzinu v0 zameniti 70,0m/s, dok je ubrzanje jednako -1,5 m/s2, obzirom da avion usporava (stou stvari znaci da je ubrzanje suprotno usmereno od brzine), dok je vremejednako 40 s

v = v0 + at = 70, 0 m/s + (−1, 50 m/s2)(40 s) = 10 m/s.

Primetimo da je ova brzina znantno manja od pocetne ali se avion i nakonisteka 40 s jos uvek krece.14

Slika 2.6: Avion pri sletanju ima pocetnu brzinu od 70 m/s i usporava dobrzine 10 m/s. Ubrzanje je negativno jer je suprotno usmereno od brzine,odnosno smera kretanja.

Kombinovanje jednacina (2.6), (2.7) i (2.8) dovodi do jos jedne korisnejednacine na sledeci nacin. Ako jednacini (2.8) dodamo v0 sa (to znaci daobema stranama jednacine moramo dodati ovu vrednost) i podelimo sa 2,dobija se

v0 + v

2= v0 +

1

2at,

pri cemu je (v0 + v)/2, odredjeno izrazom (2.7) i predstavlja v, sto prethodniizraz prevodi u

v = v0 +1

2at.

Ako se sada ovaj izraz zameni u jednacinu (2.6), dobija se

x = x0 + v0t +1

2at2. (2.9)

14Da bi avion nakon sletanja stao, potrebno je ili duze vreme kocenja ili vece ubrzanje(suprotno usmereno od pocetne brzine). Na osnovu iste relacije moze da se izvrsi analizaoba nacina zaustavljanja aviona, sto se ostavlja citaocu za samostalnu vezbu.


Jos jedna vazna jednacina moze da se dobije ako se (2.8) resi po vremenu,i rezultat zameni u jednacinu (2.9) sto daje

v2 = v20 + 2a(x− x0), (2.10)

koja, vazi samo za slucaj kada je ubrzanje konstantno.P r i m e r. Na suvom asfaltu automobil, prilikom kocenja, usporava

7,00 m/s svake sekunde, dok kada je asfalt mokar brzina mu se, kada zakoci,smanjuje 5,00 m/s svake sekunde. Odrediti nakon koliko predjenih metara se,prilikom kocenja, automobil koji se kretao brzinom od 108 km/h, zaustavlja(a) ako se krece po suvom, (b) ako se krece po vlaznom kolovozu.

R e s e nj e. Domaci.

2.2.5 Slobodni pad tela u gravitacionom polju

Padanje tela u gravitacionom polju je veoma interesantan tip kretanja. Naprimer, na osnovu bacanja kamena u dubok bunar i merenja vremena kojemu je potrebno da padne do povrsine vode, moze da se proceni put koji jeon pri tome presao odnosno da se odredi na kojoj se dubini nalazi voda.Primenjujuci kinematicke jednacina na ovaj i slicne slucajeve, moze dosta dase nauci o delovanju gravitacije.

Verovatno najznacajnija i mozda neocekivana cinjenica vezana za pad telau gravitacionom polju, je da, ako zanemarimo uticaj vazduha na kretanje tela(odnosno trenje koje se pri tome javlja), sva tela koja padaju ka centru Zemljepri tome imaju isto ubrzanje koje je nezavisno od njihove mase (vidi slike 2.7i 2.8).15

Ova eksperimentalno utvrdjena cinjenica je bila neocekivana, jer smo mipriviknuti na efekat otpora vazduha i trenja koje se pri tome javlja, tako daocekujemo da laksa tela sporije padaju od tezih. Za tela koja padaju bezuticaja otpora vazduha, odnosno odgovarajuceg trenja, se kaze da slobodnopadaju.

Kako padanje tih tela izaziva gravitaciona sila, ubrzanje koje se pri tomejavlja se naziva gravitaciono ubrzanje. Ovo ubrzanje je konstantno, sto

15Ovo je inace opsta karakteristika gravitacije i nije vezana samo za Zemlju. To je prviput u praksi provereno na Mesecu, kada je astronaut Dejvid Skot (David R. Scott), izveoogled koji je pokazao da i pero i cekic na isti nacin padaju, sto znaci da pri tome imajuisto ubrzanje koje za Mesec iznosi 1,67 m/s2. Napomenimo da na Mesecu, s obzirom nato da on skoro da nema atmosferu, otpor padanju tela prakticno ne postoji.


Slika 2.7: Padanje knjige, cekica i buketa cveca u vazduhu. Usled postojanjatrenja pri kretanju kroz vazduh, za jednake vremenske intervale ova tela necepreci iste puteve.

Slika 2.8: Ista tela, u situaciji kada nema otpora vazduha (kada bi se naslau vakuumu) bi za jednake vremenske intervale presla iste puteve.


znaci da se na slobodni pad mogu primeniti sve kinematicke jednacine dobi-jene u prethodnoj sekciji. Gravitaciono ubrzanje koje se pri slobodnom padujavlja je toliko znacajno da se oznacava posebnim slovom g. Za dato mestona Zemlji ono je konstantno a njegova srednja vrednost je16

g = 9, 80 m/s2. (2.11)

Smer ovog ubrzanja je na dole a njegov pravac nam u stvari sluzi da definisemopojam vertikalnosti.17

Odredjivanje g iz posmatranja padanja tela

Ubrzanje Zemljine teze moze da se odredi na vise nacina18 a ovde ce bitiopisan jedan od najjednostavnijih. Neko telo, najzgodnije je da to bude met-alna lopta za koju je otpor vazduha zanemarljiv se pusta da pada i da, zaizmereno vreme, predje neko poznato rastojanje (slika 2.9). Pazljiva merenjavremena potrebnog za ovakvo kretanje mogu da posluze da se ubrzanjeZemljine teze odredi na veoma precizan nacina.

Neka je posmatrano telo, za 0,45173 s preslo pri ovakvom kretanju put od1,000 m (pri cemu pri merenju ovih vrednosti postoji nesigurnost u odred-jivanju poslednjih cifara u smislu u kojem je to navedeno u prvoj glavi).Jednacina (2.9), za kretanje tela bez pocetne brzine (v0 = 0), pri cemu sepolozaj tela opisuje koordinatom y, je

y = y0 +1

2at2.

16Iako g varira od 9,78 do 9,83 m/s2, u zavisnosti od geografske sirine i visine, i uzavisnosti od sastava Zemlje, lokalne topografije, srednja vrednost 9,80 m/s2 se koristi akonije drugacije naglaseno.

17Galileo Galilei (1564-1642.), jedan od najvecih naucnika svih vremena, je prvi pokazaoda tela koja slobodno padaju imaju isto ubrzanje. Legenda kaze da je Galilej tu karakter-istiku gravitacije demonstrirao pustajuci tela razlicitih masa da padaju sa Krivog Tornjau Pizi, mada nema ni jednog istorijskog podatka koji bi to potvrdio. U svakom slucaju onje prvi izvrsio u laboratoriji eksperimente koji su pokazali da u vazduhu, pri postojanjuotpora odnosno trenja, razna tela padaju na razne nacine, u zavisnosti od njihove mase.Medjutim, u uslovima kada su ovi efekti mogli da se zanemare (kada bi vakuumirao cevkroz koju su se kretala tela) sva tela su padala na isti nacin.

Vaznije od ovog otkrica u vezi gravitacije je cinjenica da je on prvi uveo eksperimentkao osnovni metod za proveru i utvrdjivanje zakonitosti koje vladaju u prirodi.

18Dva nacina za odredjivanje vrednosti g su opisana u Praktikumu eksperimentalnihvezbi iz fizike, navedenom u literaturi. Jedan se zasniva na osnovnim karakteristikamakretanja matematickog klatna a drugi na osnovu kretanja tela niz Galilejev zleb.


Slika 2.9: Uzastopni polozaji tela pri slobodnom padu u polju Zemljine teze.

Resi li se ova jednacina po ubrzanju, dobija se

a =2(y − y0)

t2.

Kako je pocetni polozaj tela bio na visini y0 = 1, 0000 m, a konacni na y = 0m, na osnovu izmerenog vremena padanja tela, za ubrzanje se dobija

a =2(−1, 0000 m)

(0, 45173 s)2= −9, 801 m/s2.

Znak minus koji je dobijen pri izracunavanju gravitacionog ubrzanja ukazujena njegov smer na dole.

2.3 Kinematika kretanja u dve dimenzije

U prirodi se retko srecemo sa, do sada opisivanim, kretanjima duz pravelinije. Drugim recia, mnogo su cesca kretanja po krivim linijama. Kre-tanje tela po krivoj liniji na nekoj ravnoj povrsi (bilijarska lopta na stolu,klizanje tela po ledu, ...) je kretanje u dve dimenzije, i prema tome opisuje se

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 43

odgovarajucom dvodimenzionalnom kinematikom. Kretanje tela u prirodi,u principu ne moraju da budu ogranicena na ravan (na primer automobilikoji se krece putem sa serpentinama, osim kretanja po krivoj liniji, menjai svoju nadmorsku visinu), i u tom slucaju se opisuju trodimenzionalnomkinematikom.19

U cemu se ogleda glavna razlika kretanja tela u jednoj i dve dimenzije? Dabi odgovorili na ovo pitanje proanalizirajmo neke primere dvodimenzionalnihkretanja.

Pretpostavimo da, u gradu koji se sastoji iz identicnih blokova zgrada,kao na slici 2.10 treba da dodjemo iz mesta oznacenog sa A u drugu mesto,odnosno tacku oznacenu sa B. Ako bi smo za kretanje koristili helikopteronda bi mogli da iz jedne u drugu tacku dodjemo najkracim mogucim putemkoji bi bio prava linija ( ~AB). Medjutim ako pesacimo ili idemo atuomobilom,jedna od mogucnosti za kretanje bi mogla da bude ona prikazana na slici 2.10,preko tacke P .

Slika 2.10: Da bi pesak dosao od tacke A do tacke B preko tacke P treba daprodje 9 + 5 = 14 blokova zgrada. Kada bi mogao da ide pravom linijom odtacke A do tacke B prosao bi kraci put.

Koliko bi, medjutim, bilo rastojanje koje bi trebalo preci helikopterom

19I kretanje tela u dve a i u tri dimenzije se moze smatrati prosirenjem jednodimen-zionalne kinematike koja je uvedena u prethodnom poglavlju. Takva generalizacija namomougucuje da primenimo fizicke zakonitosti na realisticnije situacije ali nas takodjedovodi i do nekih novih zakljucaka.


po pravoj liniji20 od jedne do druge tacke? Ona se moze dobiti primenomPitagorine teoreme na pravougli trougao APB, sto daje

√92 + 52 = 10, 3

blokova zgrada. Uocavamo da je ovo rastojanje naravno manje od rastojanjakoje je presao pesak a koje iznosi 14 blokova.21

Proanalizirajmo sada kretanje dve kugle u gravitacionom polju koje saiste visine pocinju kretanje. Pri ovome, jedna slobodno pada (bez pocetnebrzine), a drugoj je saopstena pocetna brzina u horizontalnom pravcu.22

Slika 2.11: Skica kretanja dve lopte u polju Zemljine teze. Tamno osencenapocinje da pada iz stanja mirovanja, dok druga ima pocetnu brzinu u hori-zontalnom pravcu. Sve sukcesivne pozicije lopti se razlikuju za isti vremenskiinterval.

20Odnosno po liniji duz koje je rastojanje od tacke A do tacke B najmanje.21Ovaj rezultat je primer generalne karakteristike vektorskih velicina koja se sastoji u

tome da se takve velicine, ukoliko nisu istog pravca i smera, ne sabiraju kao obicni brojevi. Naime, ova dva pomeraja koja su nacinjena pri kretanju na jedan, odnosno drugi, nacinjesu vektori za koje vazi −→AP + −−→

PB = −−→AB. Duzina strelica kojima predstavljamo vektore

je proporcionalna njihovoj duzini sto je jasno naznaceno na slici 2.10.22Kako je pravac ubrzanja Zemljine teze, ~g, upotrebljen za definisanje vertikalnog pravca,

pravac koji zovemo horizontalnim se nalazi pod pravim uglom u odnosu na pravac grav-itacionog ubrzanja.


Ukoliko bi fotografisali polozaje lopti pri njihovom istovremenom padu, ujednakim vremenskim intervalima, dobili bi niz fotografija koje bi izgledalekao na slici 2.11. Na prvi pogled iznenadjuje cinjenica da su se obe loptestalno nalazile na istim vertikalnim rastojanjima u jednakim vremenskim in-tervalima. Medjutim, posto je to tako, moramo da zakljucimo da je vertikalnokretanje nezavisno od horizontalnog (koje nije isto za obe lopte). Razlog je utome sto se obe lopte nalaze u istom gravitacionom polju i sto su obe krenulesa istom vertikalnom pocetnom brzinom (jednakom nuli). I kako pri praduimaju isto ubrzanje g iz toga proizilazi i da ce prelaziti jednake puteve.

Kada je rec o kretanju druge lopte u horizontalnom pravcu, merenja hor-izontalnih pomeraja bi pokazala da su oni jednaki za jednake vremenskeintervale. I ovo nije sasvim neocekivana cinjenica ako se ima u vidu da jejedino ubrzanje usmereno vertikalno a da je komponenta brzine lopte u hor-izontalnom pravcu stoga stalno konstantna i jednaka pocetnoj brzini.

Putanja druge lopte nije prava vec kriva linija23 jer je njeno kretanjesastavljeno iz dva nezavisna jednodimenzionalna kretanja.24

2.3.1 Kosi hitac

Kada se telo krece kroz vazduh, nekom pocetnom brzinom ~v0, koja zaklapaugao θ0 u odnosu na horizontalu i samo pod uticajem gravitacije, kaze se dase krece kao kosi hitac. Tipican primer ovakvog kretanja je kretanje lopte,nakon sutiranja iz slobodnog udarca u fudbalu, let skijasa pri skoku, ..., cijaputanja je, do njihovog pada na Zemlju, karakteristicna kriva linija. Da bismo uspeli da ovaj tip kretanja dobro proucimo, iskoristicemo cinjenicu dasu kretanja duz dve uzajamno normalne ose nezavisna. U tom smislu je,pocetak u u analizi kosog hica, dekomponovanje njegovog kretanja na jednokoje se odvija duz horizontalne i drugo koje se odvija duz vertikalne ose.25

Uobicajeno je da horizontalna osa bude oznacena kao x a vertikalna kao yosa.

Komponente ubrzanja tela pri ovakvom kretanju su, ax = 0 i ay = −g =−9, 80 m/s2. Obe komponente ubrzanja su konstantne pa se jednacine (2.8)

23Ona se moze dobiti ako spojimo linijom njene uzastopne polozaje. Nije tesko pokazatida je ova linija u stvari parabola.

24U stvari ova dekompozicija kretanja na dva nezavisna, u dva medjusobno ortogonalnapravca, je kljucni korak koji se veoma cesto primenjuje u analizi krivolinijskog kretanja.

25Ovo je najprirodniji izbor koordinatnih osa jer ubrzanje Zemljine teze u tom slucajuima pravac vertikalne ose, dok u pravcu horizontalne nema nikakvog ubrzanja.


Slika 2.12: Parabolicna putanja tela izbacenog nekom brzinom ~v0 i pod nekimuglom θ0 u odnosu na horizont.

do (2.9) mogu primenjivati i na x i na y komponentu kretanja.Kao sto je vec napomenuto, prvi korak u analizi krivolinijskog kretanja je,

njegovo dekomponovanje na dva, pogodno izabrana, uzajamno ortogonalnapravca. U ovom slucaju su to x i y pravac (slika 2.12). Komponente pomerajaduz tih osa ce biti takodje oznacene sa x i y. Komponente brzine ~v suvx = v cos θ i vy = v sin θ, gde je v intenzitet vektora brzine a θ je ugao kojion zaklapa sa x osom. Pocetne vrednosti ugla i brzine su oznacene indeksom0.

Kinematicke jednacine za horizontalnu komponentu kretanja (ax = 0) suprema tome

x = x0 + vxt, vx = v0x = const. (2.12)

dok su za vertikalnu (ay = −g)

vy = v0y − gt (2.13)

y = y0 + v0yt− 1

2gt2 (2.14)

v2y = v2

0y − 2g(y − y0). (2.15)


Primetimo da je vreme t u obe grupe jednacina isto jer je rec o istom kretanjukoje smo, iz prakticnih razloga, dekomponovali na horizontalno i vertikalno.

U skladu sa cinjenicom da su ose, kao i komponente brzina pod pravimuglom, ukupni pomeraj ∆r i intenzitet ukupne brzine ce biti

∆r =√

x2 + y2

v =√

v2x + v2

y

P r i m e r . Tokom vatrometa, raketa je izbacena u vazduh pocetnombrzinom od 70 m/s pod uglom od 75 ◦ prema horizontu. Fitilj je tako napravl-jen da, kada raketa dostigne najvisu tacku, eksplodira. Odrediti visinu dokoje ce raketa doci, kao i vremenski interval izmedju lansiranja rakete i njeneeksplozije.

R e s e nj e. Ako zanemarimo otpor koji vazduh pruza neeksplodiranojraketi pri njenom kretanju na vise, mogu se primeniti rezultati analize kre-tanja kosog hica. Koordinatni pocetak mozemo da postavimo u mesto sakoga je poletela raketa pa ce onda biti x0 = y0 = 0.

Slika 2.13: Putanja rakete koja eksplodira na najvecoj visini koju moze dadostigne pri kretanju.

U najvisoj tacki putanje rakete, njena brzina je usmerena horizontalnopa je vy = 0. U skladu sa time, jednacina (2.15) postaje

0 = v20y − 2gy,


gde je y ima smisao visine h na koju se popela raketa. Kada ovu jednacinuresimo po y, odnosno h za visinu penjanja rakete se dobija

h =v2

0y

2g.

Da bi iz ove relacije odredili visinu penjanja moramo da znamo y komponentupocetne brzine, odnosno v0y. Ona je data sa v0y = v0 sin θ0, gde je v0 pocetnavrednost brzine od 70 m/s a pocetni ugao je θ0 = 75 ◦, tako da je

v0y = v0 sin θ0 = (70 m/s)(sin 75 ◦) = 67, 6 m/s.

Visina penjanja rakete je sada

h =(67, 6 m/s)2

2(9, 80 m/s2)= 233 m.

Vreme penjanja rakete se moze odrediti pomocu jednacine (2.13) koristeciopet cinjenicu da je u najvisoj tacki putanje veritkalna komponenta brzinenula, tako da je trazeno vreme

t =v0y

g=

67, 6 m/s

9, 80 m/s2 = 6, 903 s.

P r i m e r. Vulkan Kilauea na Havajima je najpoznatiji neprekidnoaktivan vulkan na svetu. Poznato je da vulkani koji su, kao on, veoma aktivnicesce iz kratera izbacuju vrelo stenje i lavu nego dim i prasinu. Pretpostavioda je vulkan izbacio veliku stenu pocetnom brzinom 25,0 m/s i pod uglom35 ◦ u odnosu na horizont. Stena pada na povrsinu Zemlje koja je na 20,0m manjoj nadmorskoj visini od vrha kratera. Odrediti vreme potrebno stenida predje ovaj put.

R e s e nj e. Nakon izbacivanja iz vulkana, stena se prvo penje u vis,dostize maksimalnu mogucu visinu i zatim pada ka Zemlji. Vreme koje jojje potrebno za prelazenje tog puta moze da se nadje iz jednacine

y = y0 + v0yt− 1

2gt2.

Ako je koordinatni pocetak sistema u mestu izbacivanja stene, to znaci daje y0 = 0 a da je y = −20, 0. Vertikalna komponenta pocetne brzine jev0y = v0 sin θ0 = (25, 0 m/s)(sin 35 ◦) = 14, 3 m/s.


Slika 2.14: Putanja stene izbacene iz vulkana Kilauea.

Zamenjujuci ove vrednosti i pisuci vreme kao t = t s (to ce dovesti do togada ce se sve jedinice skratiti i da cemo dobiti jednacinu po bezdimenzionojvelicini t), koja nakon sredjivanja moze da se zapise kao

4, 90t2 − 14, 3t− 20, 0 = 0.

Ova jednacina ima formu kvadratne jednacine26 koja ima dva resenja t = 3, 96i -1,03, sto znaci da je od momenta izbacivanja stene iz vulkana do njenogpada na opisano mesto proslo t = 3, 96 s, odnosno -1,03 s. Negativna vrednostza vreme bi znacila da se to dogodilo pre nego sto je kretanje uopste pocelo,tako da je trazeno vreme

t = 3, 96 s.

Primetimo da analiza kretanja kosog hica ilustruje nezavisnost vertikalne ihorizontalne komponente kretanja pri cemu se ne sme zaboraviti da je vremeisto i za jednu i za drugu komponentu. Galilej je verovatno bio prvi kojije pravilno razumeo te cinjenice i iskoristio ih da odredi domet odnosnohorizontalno rastojanje na koje ce pasti telo koje se izbaci kao kosi hitac.27

Kako pocetna brzina utice na domet hica? Uglavnom tako da povecanjepocetne brzine dovodi do povecanja dometa hica (slika 2.15).

26Kvadratna jednacina, po promenljivoj t, ima opsti oblik at2 + bt + c = 0 (u ovomslucaju su konstante a = 4, 90, b = −14, 3 i c = −20, 0), sa resenjem

t =−b±√b2 − 4ac

2a.

27Galilej i ostali koji su se bavili time su se za domet interesovali pre svega iz cisto vojnihrazloga. Pokazalo se, medjutim, da proucavanje dometa projektila moze da pomogne urazumevanju drugih interesantnih fenomena, na primer orbita Zemljinih satelita.


Slika 2.15: Veca pocetna brzina tela za isti pocetni ugao dovodi do vecegdometa.

Pocetni ugao pod kojim se hitac izbacuje takodje jako utice na njegovdomet (slika 2.16). Za konstantnu pocetnu brzinu, koju moze da saopsti topgranatama, maksimalna domet se dobija kada je ugao izbacaja projektilaθ0 = 45 ◦.28

Slika 2.16: Efekat promene ugla pod kojim se izbacuje telo, Primetimo da jedomet hica koji se izbacuje istom pocetnom brzinom, jednom pod uglom od15 ◦ a drugi put pod uglom od 75 ◦ isti, iako visine i trajektorije to nisu.

Domet takodje zavisi od intenziteta ubrzanja Zemljine teze g i odredjujese prema formuli

D =v2

0 sin 2θ0

g, (2.16)

gde je v0 pocetna brzina a θ0 ugao koji vektor brzine zaklapa sa horizontom.Kada smo do sada govorili o dometu kosog hica, smatrali smo da je njegov

domet D mnogo manji od obima Zemlje. Ako je, medjutim, domet veliki,

28Interesantno je da za, bilo koji pocetni ugao osim za ugao od 45 ◦, postoje dva uglaza koje hitac ima isti domet. Oni su takvi da njihov zbir iznosi 90 ◦.


povrsina Zemlje iznad koje se hitac krece nece biti ravna vec zakrivljena tece se i pravac ubrzanja Zemljine teze menjati. U tom slucaju ce domet bitiveci nego sto bi bio ako se racuna po jednacini (2.16), jer telo mora da padnenize da bi doslo do (zakrivljene) povrsine Zemlje nego kada bi povrs ispodnjega ravna (slika 2.17).

Slika 2.17: Izbacivanje satelita kao kosoh hica dovoljno velike brzine.

Ako je pocetna brzina hica dovoljno velika projektil uopste nece pasti naZemlju vec ce poceti da se oko nje krece na odredjenoj visini, odnosno ponekoj orbiti. Ta cinjenica je uocena vekovima pre nego sto je i ostvarena.Kada se telo nalazi u orbiti, Zemlja i dalje stalno zakrivljuje njegovu putanjuna isti nacin kao i kada ono pada.29 Ono se, prema tome, nalazi u stalnompadu na Zemlju ali nikada nece dodirnuti njenu povrsinu.

2.3.2 Sabiranje brzina

Ako camcem pokusamo da predjemo reku, usmeravajuci ga pod pravimuglom u odnosu na tok vode, jasno je da necemo uspeti da dodjemo di-rektno na drugu obalu, vec ce nas vodeni tok odneti nizvodno. Slicno, kadaavion prilikom leta naidje na jaku vazdusnu struju, nece se kretati tamo gdeje usmeren vec pravcem koji je odredjen, osim njegovog pravca i smera i,pravcem i smerom duvanja vetra.

29Prema iznetoj analizi jedina razlika ovakvog kretanja i onoga gde je telo dodirnulopovrsinu Zemlje je samo u njihovoj pocetnoj brzini.


Slika 2.18: Primer sabiranja brzina.

U oba slucaja, telo se krece u odnosu na sredinu brzinom ~vt (reka ilivazduh), a data sredina se takodje krece ali u odnosu na povrsinu Zemljebrzinom ~vs. Brzina tela u odnosu na posmatraca koji se nalazi na Zemlji jeu tom slucaju vektorski zbir ove dve brzine30

~v = ~vt + ~vs. (2.17)

Intenzitet ukupne brzine je, kada su one medjusobno normalne,

v =√

v2t + v2

s , (2.18)

dok joj je pravac odredjen uglom θ koji se moze izracunati iz jednacine

tan θ =vt

vs

. (2.19)

P r i m e r. Odrediti intenzitet i pravac brzine broda u odnosu na pos-matraca na obali, ako je brzina broda, u odnosu na reku 0,750 m/s, brzinareke 1,20 m/s. Pri tome smatrati da su ove dve brzine jedna u odnosu nadrugu pod pravim uglom.

R e s e nj e. Intenzitet brzine broda u odnosu na posmatraca na obali je,prema jednacini (2.18)

v =√

v2t + v2

s =√

(1, 20 m/s2) + (0, 750 m/s2) = 1, 42 m/s.

30U dosadasnjem radu smo takodje sabirali brzine, na primer kod kosog hica, ukupnabrzina je bila zbir dveju komponenti, horizontalne i vertikalne.


Pravac i smer ukupne brzine je odredjen kao

θ = arctan(

vt

vs

)= arctan

(0, 750

1, 20

)= 32, 0 ◦.

2.3.3 Relativne brzine i klasicna relativnost

Videli smo da kada sabiramo brzine, moramo da budemo sigurni u odnosu nakoji referentni sistem su one zadate. U tom smislu su sve brzine relativne.31

Pojam relativnosti brzine je jedan od aspekata relativnosti, koja se bavitime kako razliciti posmatraci koji se krecu jedan u odnosu na drugog, merekarakteristicne fizicke velicine nekog tela ili procesa koji se na njemu desavaju.

Skoro svako kada cuje rec relativnost, ima asocijaciju na Alberta Ajnstajna32

koji je izvrsio pravu revoluciju u poimanju prostora i vremena. Kada se uovom poglavlju govori o relativnosti, misli se na klasicnu relatvnost cije suosnovne postavke dali Galilej i Njutn.33 Klasicna relativnost se odnosi nasituacije u kojima su brzine tela manje od 1% brzine svetlosti u vakuumu,odnosno manje od 300 000 km/s. Vecina tela koje vidjamo svakog dana sekrecu brzinama koje su naravno manje od ove.

Da bi bio jasniji znacaj pojma (klasicne) relativnosti, razmotrimo kakodva razlicita posmatraca vide jednu istu situaciju koju je jos Galilej anal-izirao. Pretpostavimo da se mornar nalazi na katarci broda koji se krecenekom brzinom u odnosu na obalu i da je ispustio svoj noz. Da li ce on pastiodmah pored jarbola ili ce zaostati iza broda, usled njegovog kretanja?

Odgovor je da ce, ako je otpor vazduha zanemarljiv, noz pogoditi mestona palubi koje se nalazi ispod tacke u kojoj je on ispusten. Proanalizirajmosada kako razliciti posmatraci vide putanju noza. Neka je jedan od njih nabrodu a drugi na obali. Noz nema horizontalnu komponentu brzine u odnosuna brod, odnosno posmatraca na njemu, pa ce stoga vertikalno pasti i zabitise u palubu pored jarbola. Za posmatraca na obali, i noz, ali i brod imajuistu horizontalnu komponentu brzine, te ce stoga, za vreme dok noz pada,oba preci jednako rastojanje u horizonatalnom pravcu. Posmatrac sa obalece zato videti da noz ima zakrivljenu putanju (slika 2.19).34

31Na primer kada sedimo i citamo ovu knjigu nasa brzina u odnosu na Zemlju je nula,ali je brzina naseg kretanja po orbiti oko Sunca oko 30 km/h.

32Albert Einstein (1879-1955), jedan od najvecih fizicara dvadesetog veka.33Isaac Newton ...34Brzina broda je, da bi se istakao efekat registrovanja razlicitih putanja noza, pri crtanju

slike smatrana vecom nego sto je u realnosti.


Slika 2.19: Bez obzira sto razliciti posmatraci vide drugaciju putanju nozaon ce uvek pasti pored jarbola, vertikalno ispod mesta sa koga je ispusten.

Svejedno sto putanja noza izgleda razlicito kada se posmatra iz razlicitihsistema reference, na kraju se dobija isti rezultat, odnosno on pada na brodpored jarbola.

Z a d a t a k z a d o m a c i. Galeb leti brzinom 9,00 m/s u odnosu navazduh, u susret vetru. Ako mu je potrebno 20,0 minuta da preleti rastojanjeod 6,00 km u odnosu na Zemlju, kolika je brzina vetra? Ako se galeb, nakonsto preleti tih 6,00 km okrene i pocne da leti nazad, koliko vremena ce mutrebati da predje isto rastojanje?

2.4 Kinematika rotacionog kretanja

Rotaciono kretanje je kretanje prilikom koga se sve tacke tela krecu pokruznim putanjama ciji centri leze na osi rotacije. Ukoliko je, pri ovakvomkretanju, linijska brzina konstantna, kretanje se naziva uniformno kruznokretanje.

2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 55

2.4.1 Ugao rotacije i ugaona brzina

Ugao rotacije

Kada telo rotira oko neke ose - na primer kompakt disk (slika 2.20) kojirotira oko ose koja prolazi vertikalno kroz njegov centar - svaka njegova tackaopisuje kruznu putanju. Ako od centra diska povucemo pravu liniju ka obodu,

Slika 2.20: Sve tacke diska opisuju kruzne putanje. Za isto vreme ∆t svaudubljenja na disku, koja se nalaze na istoj liniji koja spaja centar diska sanjegovim obodom, zarotiraju se za isti ugao ∆θ.

tako da prati poluprecnik diska, svako udubljenje35 na koje ce ta linija naici,pri rotaciji diska, opisuje jednak ugao za jednak vremenski interval. Ugaorotacije se pri ovakvom kretanju koristi da se opise pomeranje tela za datiinterval vremena. Ugao rotacije ∆θ je, kao sto se vidi sa slike 2.21, jednakodnosu duzine luka ∆s i poluprecnika krivine r

∆θ =∆s

r. (2.20)

Duzina luka ∆s je zapravo jednaka putu koji je tacka diska presla duz kruzneputanje (slika 2.21). Kad posmatrana tacka opise pun krug, duzina luka jejednaka obimu kruznice poluprecnika r, odnosno 2πr. U tom slucaju je ugao

35Svako takvo udubljenje sluzi zapravo za zapis podataka.


Slika 2.21: Posmatrane tacke su zarotirane za isti ugao ∆θ ali su im putevirazliciti, pa prema tome i linijske brzine.

rotacije

∆θ =2πr

r= 2π.

Ova formula je osnovna za definisanje jedinice za ugao rotacije u radijanima,jer je

2π rad = 1 pun obrtaj. (2.21)

Kada je ∆θ = 2π rad, kompakt disk je napravio jedan pun obrtaj, i svakanjegova tacka se, pri tom, vratila u pocetni polozaj. Kao sto je dobro poznato,to znaci da je ugao rotacioje 3600, pa je veza radijana i stepena

2π rad = 3600,

odakle je

1 rad =3600

2π= 57, 30.

Ugaona brzina

Kojom fizickom velicinom moze da se predstavi brzina tela koje rotira okoneke ose? Ta velicina ne moze biti ranije uvedena brzina v date tacke, jerje razlicita za tacke koje su na razlicitoj udaljenosti od ose rotacije (sto jetacka dalja, njena brzina je veca). Medjutim, svaka tacka ce, za isti intervalvremena, preci isti ugao, pa zato ima smisla preko ova dve velicine, definisatinovu velicinu koja ce reprezentovati brzinu rotiranja tela. Ta nova fizicka


velicina se zove ugaona brzina ω, a definise se kao odnos ugla rotacije iintervala vremena za koji je ta rotacija izvrsena

ω =∆θ

∆t. (2.22)

Sto je veci ugao rotacije za dati interval vremena, veca je i ugaona brzina.Njena jedinica je radijan u sekundi (rad/s). Ugaona brzina ω je velicinaanalogna, ranije uvedenoj, takozvanoj linijskoj brzini v. Da bi se dobila di-rektna veza ove dve velicine, razmotrimo ponovo rotiranje jednog udubljenjana kompakt disku. Ono se krece po luku duzine ∆s za vreme ∆t, tako da jenjegova linijska brzina

v =∆s

∆t.

Prema jednacini (2.20), je ∆s = r∆θ. Zamena ove relacije u prethodni izrazdaje

v =r∆θ

∆t= rω. (2.23)

Ovu jednacinu mozemo da napisemo i u obliku

ω =v

r. (2.24)

Prva od ove dve relacije pokazuje da je linijska brzina v proporcionalna ras-

Slika 2.22: Automobil se krece sa leva na desno brzinom v jer tockovi rotirajuugaonom brzinom ω. Linijska brzina tocka u odnosu na osovinu je takodjev. Posto je v = rω, sto je veca ugaona brzina i sto su veci tockovi, automobilse brze krece.

tojanju od centra rotacije, sto je tacka za koju je odredjujemo dalja od njega


(vece r), veca je njena linijska brzina. Relacija (2.24) se moze razumeti akoposmatramo rotiranje tocka na kolima (slika 2.22). Ukoliko nema prokliza-vanja izmedju guma tocka i podloge, sto se automobil brze krece, brze jerotiranje tockova oko osovina ω i veca je linijska brzina v, jer su to velicinekoje su direktno proporcionalne. Slicno, sto je veci poluprecnik tocka, prinjegovom rotiranju istom ugaonom brzinom, automobil se brze krece (odnosv/r mora da bude jednak ugaonoj brzini pa povecanje poluprecnika tockadovodi do povecanja linijske brzine).

I v i ω, osim intenziteta, imaju i odredjen pravac i smer, jer je rec o brzi-nama, dakle vektorskim velicinama. Ugaona brzina ima pravac ose rotacije,a smer joj zavisi od smera rotiranja oko nje, u smeru kazaljke na casovnikui obrnuto. Linijska brzina je tangenta na putanju (slika 2.23).

P r i m e r. Izracunati ugaonu brzinu automobilskog tocka poluprecnika0,300 m, ukoliko je njegova brzina 15,0 m/s.

R e s e nj e. Kako je...

ω =v

r=

15, 0 m/s

0, 300 m= 50, 0 rad/s.

Domaci: Prevesti ovaj rezultat u stepene u sekundi.

2.4.2 Centripetalno ubrzanje

Uvek kada se brzina menja sa vremenom, postoji odredjeno ubrzanje. Kakoje brzina vektorska velicina, cak iako nema promene brzine po intenzitetu,i sama promena po pravcu znaci da postoji neko ubrzanje. U slucaju uni-formnog kruznog kretanja, brzina se menja samo po pravcu, sto znaci da pos-toji ubrzanje koje ce opisivati ovu promenu. Ovo ubrzanje osecamo pri voznjiautomobila po zakrivljenoj putanji (okretanje u krivini, ...). Ukoliko drzimovolan stalno u jednom polozaju i ne povecavamo intenzitet brzine, kretacemose uniformno po kruznici (zapravo delu kruznice). Ubrzanje koje se pri tompoljavljuje ima pravac normalno na putanju. Sto je zakrivljenija putanja(sto smo vise zakrenuli volan) i sto je veca linijska brzina, vise osecamoubrzanje. Slika 2.23 prikazuje telo koje se krece brzinom konstantnog in-tenziteta po kruznici. Pravac brzine je prikazan u dve proizvoljne tacke naputanji. Ubrzanje je u smeru promene brzine, a kako je ona usmerena kacentru kruznice, i smer ubrzanja je identican. Ovo je prikazano vektorskimdijagramom na slici. Ubrzanje koje se javlja pri uniformnom kretanju telapo kruznici, zbog svog smera, se naziva centripetalno ubrzanje, ~ac.


Slika 2.23: Brzina je tangenta na putanju. Promena brzine izmedju dve tacke∆~v je usmerena ka centru putanje.

Koliki je intenzitet ovog ubrzanja? Primetimo da je trougao koji cinevektori brzine ~v1, ~v2 i njena promena ∆~v (u matematickom smislu) slicanonom koji cine vektori polozaja i njegova promena ∆~r (trougao ABC naslici 2.23). Oba su jednakokraka (imaju po dve jednake stranice), jer je zboguniformnosti kretanja v1 = v2. Posledica njihove slicnosti je da vazi sledecajednakost

∆v

v=

∆r

r.

Da bi dobili intenzitet trazenog ubrzanje (ac = ∆v/∆t), moramo prvo daresimo gornji izraz po ∆v

∆v =v

r∆r,

odakle je ubrzanje∆v

∆t=

v

r

∆r

∆t.

Kako je ∆r/∆t = v, intenzitet centripetalnog ubrzanja je

ac =v2

r.

Ovo je dakle ubrzanje koje mora da postoji ukoliko zelimo da se telo krecebrzinom konstantnog intenziteta v po kruznici poluprecnika r. Centripetalnoubrzanje je, kao sto je i ocekivano utoliko vece ukoliko je veca brzina kojomse telo, na primer automobil, krece po kruznoj putanji (ili jednom njenomdelu). Novina je to sto je ubrzanje ac proporcionalno ne brzini na prvom


stepenu, vec njenom kvadratu. Posledica toga je, da je na primer, cetiri putataze da, prateci kruznu putanju, skrenemo pri brzini od 80 km/h nego kadaje brzina 40 km/h. Ostrija krivina, sa druge strane, ima manji poluprecnik,pa ce i centripetalno ubrzanje biti vece, sto je vec napomenuto.

Interesantno je napisati izraz za ac preko ugaone brzine. Zamenjujuciv = rω u prethodni izraz on postaje ac = (rω)2/r = rω2, pa se centripetalnoubrzanje moze dati u sledeca dva oblika

ac =v2

r, ac = rω2. (2.25)

P r i m e r. Koliki je intenzitet centripetalnog ubrzanja potrebnom da sekola voze po kruznom toku poluprecnika 500 m brzinom od 25,0 m/s (slika2.24)? Uporediti to ubrzanje sa ubrzanjem Zemljine teze.

Slika 2.24: Vozilo koje se u kruznom toku krece uniformno.

R e s e nj e. Kako su date linijska brzina i poluprecnik zakriveljeneputanje, centripetalno ubrzanje je

ac =v2

r=

(25 m/s)2

500 m= 1, 25 m/s2.

Da bi uporedili ovo ubrzanje sa gravitacionim, izracunacemo njihovoodnos

ac

g=

1, 25 m/s2

9, 80 m/s2 = 0, 128.

Ovaj rezultat pokazuje da je, kao sto znamo iz svakodnevnog iskustva, rec oubrzanje koje moze da se oseti.


P r i m e r. Izracunati centripetalno ubrzanje tacke koja se nalazi 7.50cm od ose rotacije ultracentrifuge (slika 2.25), koja pravi 75 000 obrtaja uminuti. Odrediti odnos tog ubrzanja i ubrzanja gravitacije.

Slika 2.25: Cestica mase m u ultracentrifugi koja rotira brzinom ω.

R e s e nj e. U ovom primeru nam nije poznata linijska brzina tako dacemo centripetalno ubrzanje izracunati iz relacije ac = rω2. Da bi 75 000obrataja u minuti konvertovali u radijane u sekundi, iskorisitceo cinjenicu dajedan obrataj iznosi 2π radijana i da 1 minut ima 60 sekundi, odnosno

ω = 75000obrtaj

minut· 2π rad

obrtaj· 1 minut

60, 0 s= 7854 rad/s.

Centripetalno ubrzanje ce, prema tome, biti

ac = (0, 0750 m)(7854 rad/s)2 = 4, 63× 106 m/s2.

Odnos ovog ubrzanja i gravitacionog je

ac

g= 4, 72× 105.

Ovaj rezultat znaci da centripetalno ubrzanje u ultracentrifugi iznosi 472 000gravtacionog, sto opravdava njeno ime. Izuzetno veliko ubrzanje potrebno


za ovakvo kretanje po kruznici znacajno smanjuje vreme potrebno da seizazove sedimentacija celija krvi, ili nekog drugog materijala koji se nalazi uultracentrifugi.

glava 2 kinematikatesla.pmf.ni.ac.rs/.../biologija/2008z/fizika2.pdf · 2017-05-19 · 28 glava 2....

Documents