gli insiemi
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GLI INSIEMI. Prof. Enrico Castello. LA STORIA COSA SONO APPARTENENZA E NON APPARTENENZA RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI. LA STORIA. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Prof. Enrico Castello
LA STORIA COSA SONO
APPARTENENZA E NON APPARTENENZA
RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI
LA STORIA• Il concetto di insieme è sicuramente nato con l’uomo,si pensi a un insegnante
che si rivolge agli alunni della propria classe come ad un unico soggetto .– Per una teoria organica bisogna giungere però a Georg Cantor (1845-
1918) matematico tedesco di origine russa, il quale intorno al 1870 fornì una trattazione sistematica della teoria degli insiemi e solo nel 1895 pubblicò l’opera «I CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE TRASFINITA DEGLI INSIEMI». In essa Cantor afferma che non ha importanza la natura degli elementi con cui si opera bensì le leggi delle operazioni a caratterizzare l’insieme risultato.
– Gli studi di Cantor diedero origine alla cosiddetta teoria ingenua degli insiemi che però non era priva di contraddizioni.
– Il primo a mettere in evidenza tali contraddizioni fu il matematico e filosofo inglese Bertrand Russel (1872-1970), con lui comincia il cosiddetto” periodo della crisi dei fondamenti “ della matematica che però fu superato grazie a studi successivi che limitavano e precisavano i criteri per comprendere un insieme.
– Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo (1871-1953)sviluppava una nuova teoria detta assiomatica che superava le contraddizioni della teoria ingenua e che è ancora oggi attuale.
COSA SONO
• Pare che una volta CANTOR per far conoscere la propria concezione degli insiemi abbia esclamato, guardando verso l’infinito: «Io mi raffiguro un insieme come un abisso»
• DEDEKIND, invece, si raffigurava un insieme come un sacco chiuso che contenesse degli oggetti determinati, che non si potevano né vedere, né conoscere salvo il fatto che erano determinati.
• UN GRUPPO DI NAVI FORMA UNA
«FLOTTA»
• UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO «STORMO»
…QUINDI UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI OGGETTI, CONSIDERATI NELLA LORO GLOBALITÀ
Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili e distinti fra loro.
Stabilisci quali delle seguenti frasi individuano un insieme
I libri di una biblioteca
I ragazzi studiosi
Gli uomini alti
I giorni della settimana
SI
SI
SI
SI
NO
NO
NO
NO
Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.
APPARTENENZA E NON APPARTENENZA
Indicheremo, in generale, gli insiemi con le lettere maiuscole A, B, C….. e gli elementi con quelle minuscole: a, b, c…..
Per affermare che S è un insieme e a un suo elemento useremo i simboli e
Il primo per indicare che a appartiene a S e il secondo per indicare che non vi appartiene.
Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false:
• a) 2 A V F
• b) c A V F
• c) 3 A V F
• d) 4 A V F
Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.
RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME
TABULARE
GRAFICA
PER CARATTERISTICA
La rappresentazione tabulare consiste nell’elencare se possibile tutti gli elementi di un insieme.Per esempio l’insieme A delle lettere della parola mare è:
A = { m, a, r, e }
• La rappresentazione grafica consiste nell’indicare gli elementi di un insieme con punti interni a una linea piana chiusa e non intrecciata.Tale rappresentazione si deve al logico inglese VENN che ideò il metodo più originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per la sua efficacia didattica.
.a .b
.c
La rappresentazione caratteristica consiste nello specificare un certo numero di proprietà, che servano a decidere, in modo inequivocabile, quali elementi appartengano all’insieme considerato e quali non vi appartengano.
L’insieme A = { 4, 5, 6, 7 } ha la seguente rappresentazione caratteristica:
A ={x|x N e 3 < x < 8}
SOTTOINSIEMI
Sottoinsiemi di un insieme
Dati due insiemi A e B si dice che B è sottinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A e si scrive : B AOppure che A include B e si scrive: A B.
A.2
.4 .6 .8
.10.12
B .14 .16
Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false?
a. A B V F
b. B C V F
c. B = C V F
d. B A V F
Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.
LE OPERAZIONI INTERSEZIONE
UNIONE
DIFFERENZA
PRODOTTO CARTESIANO
I simboli da ricordare
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplementA C
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplement A
niproposizio tranedisgiunzio di Simbolo
niproposizio tranecongiunzio di Simbolo
che Tale /
vuotoInsieme
insiemi tradifferenza di Simbolo -
insiemi traneintersezio di Simbolo
insiemi traunione di Simbolo
zaappartenennon di Simbolo
zaappartenen di Simbolo
U
INTERSEZIONE
Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicareche C è l’intersezione di A e B si scrive:
C = A B
1
3 6 8 4 5 7
A B
Può capitare che due insiemi non abbiano elementi comuni, ad esempio gli insiemi P = {a, b, c, d} e Q = { r, s, t}; in questo caso l’intersezione dei due insiemi è l’insieme vuoto e si dice che i due insiemi sono disgiunti. I due insiemi si rappresentano separatamente.
.a .b
.c .d .r .s .t
P Q
L’UNIONE
Dati due insiemi A e B, si dice loro unione l’insieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive:
D = A B
A1
23
B 4 5 6
D
1
2 34
5 6
LA DIFFERENZA
Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza A – B l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Quando B è un sottinsieme di A, allora l’insieme differenza viene anche detto insieme complementare di B rispetto ad A.
.e .f .g
.a .b
.c .dA – B = {a,c}
A B
A – B B – A
PRODOTTO CARTESIANO
COPPIE ORDINATE
PRODOTTO CARTESIANO
Coppie ordinate
Per coppia ordinata si intende un insieme di due
elementi nei quali è fissato chi deve essere il primo e
chi il secondo.
Se i due elementi della coppia sono x e y, si scrive
(x,y), se x è il primo elemento e y il secondo;
(y,x), se y è il primo elemento e x il secondo.
PRODOTTO CARTESIANO
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano
A B = {( x,y) | x A e y B }.
Si può rappresentare in vari modi,i più comuni sono: per
elencazione, i diagrammi di Venn, le tabelle a doppia entrata.
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
A B = {( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
1. 2 .
3..a .b
A B
.(1,a)
.(1,b).(2,a)
.(2,b)
.(3,a).(3,b)
A B
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
AB
1 2 3
a
b
( 1, a )
( 2, a ) ( 3, a )
( 1, b) ( 2, b ) ( 3, b )