GLI INSIEMI

Dispensa a cura del prof.

Vincenzo Lo Presti

CONCETTO DI INSIEME

In matematica si chiama insieme un raggruppamento di cose, persone o entità che rispettano un determinato

criterio, mediante il quale si può stabilire con assoluta certezza quali sono gli elementi che compongono l’insieme.

RAGGRUPPAMENTI CHE COSTITUISCONO INSIEMI

RAGGRUPPAMENTI CHE NON COSTITUISCONO INSIEMI

Le città italiane con più di 500.000 abitanti Gli alunni della classe che pesano sino a 60 kg I rettangoli che hanno la base di 10 cm

Le città italiane grandi Gli alunni simpatici della classe I rettangoli piccoli

SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto

italiano: A , B, C, D, E, ………

Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere

minuscole dell’alfabeto italiano: a,b,c,d,e, ………

In matematica alcune lettere maiuscole sono riservate a

particolari insiemi numerici:

N Insieme dei numeri naturali

P Insieme dei numeri naturali pari

D Insieme dei numeri naturali dispari

Z Insieme dei numeri interi relativi

Q Insieme dei numeri razionali

SIMBOLOGIA DEGLI INSIEMI

Nello studio degli insiemi si utilizzano particolari simboli

c B

Simbolo di appartenenza

L’elemento c appartiene all’insieme B

4 N Il 4 appartiene all’insieme dei numeri naturali

Simbolo di non appartenenza

-3 N Il -3 non appartiene all’insieme dei numeri

Naturali

TIPI DI INSIEMI

Gli insiemi possono essere:

Esempi:

Finiti – se hanno un numero ben preciso di elementi

Infiniti – se hanno infiniti elementi

L’insieme dei divisori di 12 è un insieme

finito in quanto ha un numero ben preciso

di elementi (sei ed esattamente 1,2,3,4,6,12)

L’insieme dei multipli di 6 è un insieme

infinito in quanto ha infiniti elementi

(6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72………)

INSIEME VUOTO

Un insieme si dice vuoto se non ha elementi

Esempi:

L’insieme vuoto si indica con o con {}

L’insieme dei multipli di 4 che sono dispari

L’insieme dei quadrati con tre lati

L’insieme dei divisori di 13 che sono pari

RAPPRESENTAZIONE

Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi.

Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme delle vocali dell’alfabeto

italiano che chiameremmo “A”

Con il diagramma di Eulero Venn:

1

A

e i a

o

2

Attraverso la rappresentazione tabulare o per elencazione:

3

Enunciando la proprietà caratteristica :

A = a;e;i;o;u

A = xx è una vocale dell’alfabeto italiano}

u

SOTTOINSIEME

A a

b

B

c

e

d

f

A = a; b; c, d; e; f

B = b; d

Si dice che l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A se tutti

gli elementi di B appartengono anche ad A

B A

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ” B è un SOTTOINSIEME

IMPROPRIO di A

C è un SOTTOINSIEME

DI A

Ogni insieme è un

SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di sé stesso

A a

b

B

c

d

B A

C B

A A, B B,…..

L’insieme vuoto è un

SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di ogni

insieme

C, B, …..

C

APPARTENENZA e INCLUSIONE

INCLUSIONE APPARTENENZA

b A

b A

L’elemento b

appartiene

all’insieme A

L’insieme b è

strettamente

incluso

nell’insieme A

b

A

d

L’insieme d;b

è uguale ad A

d;b A

oppure

d;b = A

INTERSEZIONE “A B”

A

B

A B

E’ l’insieme degli elementi

che appartengono sia ad A

sia a B A B = xx A e x B

INSIEMI DISGIUNTI

Due insiemi si dicono disgiunti se la loro

intersezione è vuota

Se A B = allora A e B si dicono DISGIUNTI

A B

CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE

A A = A

A = Se B A allora

A B = B

A

B

A

UNIONE “A B”

A

B

A B

E’ l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B,

cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

A B = xx A o x B

UNIONE DI INSIEMI DISGIUNTI

A B

L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che

appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due

insiemi dati.

A B

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE

A A = A

A = A Se B A allora

A B = A

A B A

A B A B

A B

a d

c

b e f

g

h

l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”

A B

A - B

Si tolgono ad A tutti gli elementi

che appartengono a B

E’ costituito dagli elementi di A

che NON appartengono a B

E’ l’insieme formato da tutti gli

elementi di A che non appartengono a B A - B = xx A e x B

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

A B

a d

c

b e f

g

h

l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

A B a d

c b e

f

g

h

l

i

A - B = a; b; c

B - A = g; h; i; l A B

a d

c b e

f

g

h

l

i

A

B a d

c b e

f

g

h

l

i

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA

TRA INSIEMI

A - A =

A - = A

Se A B = allora A - B = A e B - A = B

Se B A allora B - A =

INSIEME COMPLEMENTARE

BA= A-B = xx A e x B

Dati due insiemi A e B con BA si chiama

complementare di B rispetto ad A la differenza A-B

INSIEME COMPLEMENTARE

A

B

a

b

c e

f

g

d

BA =a; b; g

E’ l’insieme degli

elementi di B

Che non appartengono

ad A

PRODOTTO CARTESIANO

Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica

A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove

il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B

A x B = (x;y)x A e y B

Si legge A cartesiano B

Dati gli insiemi: A = a; b; c;

e B = 1;2

A a

b

c

B

1

2

A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1),

(b ;2), (c ;1), (c ;2)

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO

L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)

può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:

A a

b

c

B

1

2

Rappresentazione SAGITTALE

1 (a;1) (b;1) (c;1)

2 (a;2) (b;2) (c;2)

B/A a b c

Rappresentazione mediante

tabella a DOPPIA ENTRATA

a b c

1

2

Rappresentazione CARTESIANA

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO

La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)

Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie

A x A = A2

A x B B x A

Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi,

l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

A a

c

b

A = a; b; c;

a; b; c

Dato un insieme A, l’insieme di

tutti i suoi SOTTOINSIEMI

propri e impropri, si definisce

insieme delle parti di A e si indica

con P(A)

I possibili SOTTOINSIEMI di A

sono:

a b c a; b a; c b; c

P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c

Gli elementi di P(A) sono

INSIEMI

Se A contiene n elementi,

P(A) ne contiene 2n

L’insieme delle parti di A è:

INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

Gli elementi di P(A) sono INSIEMI ed esattamente tutti

i sottoinsiemi propri e i due sottoinsiemi impropri

(l’insieme stesso e l’insieme vuoto)

REGOLA PER DETERMINARE IL N. DI

ELEMENTI DELL’INSIEME DELLE PARTI

Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n

Esempi:

-Se n=3 (esempio precedente) 23=8

-Se n=5 (esempio precedente) 25=32

-Se n=1 (esempio precedente) 21=2

PARTIZIONE DI UN INSIEME

A Si consideri un numero “n” di

sottoinsiemi di A.

Si chiama PARTIZIONE di un insieme A un gruppo di sottoinsiemi di A se

risultano verificate le seguenti condizioni:

A1 A2

A3 A4

A5

Ogni sottoinsieme è proprio

I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti

L’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A

1

2

3

ESERCIZIO N. 1…..

A B

a d

c

b e f

g

h

l

i

Trova: A B C

A B C = g; h; i; l

C

m

n

A B C = d; e; f

A B C = d

A B C = e; f

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corretta

Esercizio

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