1

Università degli Studi di TeramoFacoltà di Scienze Politiche

Corso di Laurea in Statistica

Lezioni del Corso di Matematica

a cura di

D. Tondini

a.a. 2003/2004

2

CAPITOLO IGLI INTEGRALI

1. GENERALITÀ

Definizione di integrale definito per una funzione di una variabile (secondo Cauchy-Riemann). Sia ( )y f x= una funzione definita nell'intervallo chiuso [ ], a b . Si suddividatale intervallo in un numero n qualunque di intervalli parziali mediante gli 1n − punti

1 2 1, , ..., nx x x − con

0 1 2 1 ... n na x x x x x b−≡ < < < < < ≡

Si indichi con rf uno qualunque dei valori assunti dalla funzione ( )f x nell'intervalloparziale [ ]1 , r rx x− per 1, 2, ..., r n= . Posto:

1r r rx x h−− =si costruisca la somma:

1

n

r rr

h f=

∑Si consideri ora il seguente limite:

01

limn

r rr

h fθ →

=∑

dove θ è il massimo degli rh .

Se tale limite esiste ed è finito allora si dice che la ( )f x è integrabile nell'intervallo[ ], a b . Il limite considerato rappresenta proprio l'integrale definito della ( )f x in [ ], a b elo si indica con il simbolo:

(1) ( )

b

a

f x dx∫Gli estremi a e b dell'intervallo sono detti rispettivamente estremo inferiore ed estremosuperiore dell'integrale definito; la funzione ( )f x è detta funzione integranda ed xrappresenta la variabile di integrazione .Osservazione 1. La funzione ( )f x non è integrabile in [ ], a b se il predetto limite nonesiste oppure se è infinito (uguale a ± ∞).Osservazione 2. La variabile di integrazione x può essere sostituita da una qualsiasi altralettera, ad esempio t, u, v , etc. a patto che il simbolo (1) venga sostituito rispettivamente da:

3

( )

b

a

f t dt∫ , ( )b

a

f u du∫ , ( )b

a

f v dv∫ , etc.Condizione necessaria per l'integrabilità. Condizione necessaria (non sufficiente)affinché una funzione ( )f x definita in un intervallo [ ], a b sia ivi integrabile è che la

( )f x sia limitata in [ ], a b . In altre parole se la funzione ( )f x non è limitata in [ ], a bessa non è integrabile in [ ], a b ; se, invece, è limitata allora essa può essere integrabile in[ ], a b .

ESEMPILa funzione di Dirichlet definita da:

( )1 per razionale

0 per irrazionale

xf x

x

=

con 0 2x≤ ≤ , non è limitata e non è integrabile secondo Riemann.Analogamente la funzione definita da:

( )1

0

25 0

xf x x

x

≠= =

non è né limitata né integrabile secondo Riemannn.

Condizione necessaria e sufficiente di integrabilità. Condizione necessaria e sufficienteaffinché una funzione ( )f x definita e limitata in un intervallo [ ], a b sia ivi integrabile èche, fissato ad arbitrio un numero 0ε > si possa determinare in corrispondenza un numero

0εθ > tale che, qualunque sia la decomposizione di [ ], a b in intervalli parziali [ ]1 , r rx x− ,con 1, 2, ..., r n= ed 0 1 2 1 ... n na x x x x x b−≡ < < < < < ≡ (tutti di lunghezza minore di

εθ ) e denotati con re ed rE rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore della

( )f x in [ ]1 , r rx x− , risulti:

1

n

r rr

h ε=

Ω

4

Dalla condizione di integrabilità di Riemann discendono i seguenti Teoremi.Teorema 1. Se la ( )f x è continua in [ ], a b allora è ivi integrabile secondo Riemann(condizione sufficiente e non necessaria di integrabilità).Teorema 2. Se la ( )f x è limitata in [ ], a b ed ivi presenta un numero finito di punti didiscontinuità allora è integrabile secondo Riemann (condizione sufficiente e non necessariadi integrabilità).Teorema 3. Se la ( )f x è monotona in [ ], a b allora è ivi integrabile secondo Riemann(condizione sufficiente e non necessaria di integrabilità).

2. PROPRIETÀ DELL'INTEGRALE DEFINITO

Sia ( )f x una funzione integrabile in [ ], a b . Allora:

(1) ( ) 0a

a

f xdx =∫(2) ( ) ( )0 0

b

a

f x dx f x= ⇔ ≡∫(3) ( ) ( )

a b

b a

f x dx f xdx= −∫ ∫(4)

b

a

dx b a= −∫(5) ( )

b b

a a

c dx c dx c b a⋅ = = −∫ ∫ con c costante

(6) ( ) ( ) ( )

b b

a a

c f x dx c f x dx c b a⋅ = = −∫ ∫ con c costante

(7) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ con a < c < b(8) Se ( )f x è integrabile in [ ], a b allora tale risulta anche la funzione ( )f x erisulta:

5

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫(9) Se ( ) ( ) ( )1 2, , ..., nf x f x f x sono funzioni integrabili in [ ], a b allora anche lafunzione:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 + ... nF x f x f x f x= + +è integrabile in [ ], a b e risulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 ... ... b b b b

n n

a a a a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx+ + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫(10) Se ( )f x e ( )g x sono funzioni integrabili in [ ], a b allora anche la funzione:

( ) ( ) ( )F x f x g x= ⋅è integrabile in [ ], a b .Osservazione. Non esiste una regola analoga a quella della somma che consenta dicalcolare immediatamente l'integrale di un prodotto. In tal caso, infatti, occorrerà ricorreread alcune formule di integrazione che verranno analizzate nel seguito.(11) Se ( )f x e ( )g x sono funzioni integrabili in [ ], a b allora anche la funzione:

( ) ( )( )

f xF x

g x= , ( ) 0g x ≠

è integrabile in [ ], a b .

ESEMPI

α)

11

2 3 3 3

11

1 1 11 1 0

3 3 3x dx x == ⋅ − ⋅ =∫

β)

1

1

0 0dx

+

−

⋅ =∫ qualunque siano gli estremi a e b dell'intervallo di partenza

γ) ( )

2 2

43 4 4

11

1 1 1 1 1 1 152 1 16 1 4

4 4 4 4 4 4 4x dx x

−−

= = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − =∫

6

Scambiando gli estremi d'integrazione si ha:

( )

11

43 4 4

22

1 1 1 1 1 1 151 2 1 16 4

4 4 4 4 4 4 4x dx x

−−

= = ⋅ − − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = −∫δ)

1

1

2

2

1 2 1dx x= = − = −∫δ')

1

1

1

1

1 1 2dx x−

−

= = + =∫ε)

1

1

2

2

2 2 2 1 2 2 2 4 2dx x⋅ = = ⋅ − ⋅ = − = −∫ζ) ( ) ( ) ( )

1 113

12 2 3 3 3

22

2 2

2 2 2 2 2 2 2 141 2 1 8 7

5 5 5 3 15 15 15 15 15x

x dx x dx x == = ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = −∫ ∫η)

12 22 1 22 22

11 211 12

1 1 1 11 4

2 2 2 4 2 4x x

xdx xdx xdx = + = + = ⋅ − + ⋅ − = ∫ ∫ ∫

1 3 1 15 3 15 12 32 4 2 4 8 8 8 2

= ⋅ − + ⋅ = − + = = Si poteva pervenire allo stesso risultato procedendo più semplicemente come segue:

222

11

4 1 32 2 2 2x

x dx⋅ = = − =∫θ)

1 113

2 2

22 2

2 2 2 14 145 5 5 3 15 15

xx dx x dx= = ⋅ = − =∫ ∫

1 113

2 2

22 2

2 2 2 14 145 5 5 3 15 15

xx dx x dx= = ⋅ = − =∫ ∫

7

Osservazione. Si noti che può essere integrabile ( )f x e non la ( )f x , come accade per lafunzione:

( )1 per razionale

1 per irrazionale

xf x

x

= −con a x b≤ ≤ .

ι) ( ) ( )2 2 2 2

2 23 222 21

1 11 1 1 1

2 1 2 23 2x x

x x dx x dx x dx dx x =− + = + − + = − ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫ ( )8 1 1 7 3 7 12 2 2 1 2 1 2

3 3 2 3 2 3 3 = − − ⋅ − + − = − ⋅ + = − =

κ) Poniamo:( ) 2f x x= e ( )g x x=

Ne segue che:

( ) ( ) ( )2 2

242 3

00 0

4 0 44

b

a

xf x g x dx x x dx x dx =⋅ = ⋅ = = − = ≠∫ ∫ ∫

( ) ( )

2 22 23 2

2

0 00 0

8 162

3 2 3 3

b b

a a

x xf x dx g x dx x dx xdx≠ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

In generale, quindi, l'integrale del prodotto è diverso dal prodotto degli integrali.κ') Analogamente, se poniamo:

( ) 2f x x= e ( )g x x=allora si ha:

( )( )

( )

( )

2

2232 2

22 20 02 22

00 0 0

0

83 8322 2 6

2

b

b

ab

a

a

f x d x x dxx

f x x xdx dx xdx

g x x xg x dx xdx

= = = = ≠ = = = =∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫

ovvero l'integrale del quoziente di due funzioni è diverso dal quoziente degli integrali.

Sussistono, inoltre, per gli integrali definiti i seguenti Teoremi.Teorema della media. Se ( )f x è una funzione integrabile in [ ], a b allora risulta:

(α) ( ) ( )

b

a

f x dx b aµ= −∫

8

essendo µ un opportuno valore compreso tra l'estremo inferiore e e l'estremo superiore Edella ( )f x in [ ], a b .

Il precedente Teorema può essere anche generalizzato come segue:Teorema della media generalizzato. Se ( )f x e ( )g x sono due funzioni integrabili in[ ], a b ed è ( ) 0g x ≥ oppure ( ) 0g x ≤ , allora risulta:

(β) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f x g x dx g x dxµ⋅ = ∫ ∫essendo µ un opportuno valore compreso tra l'estremo inferiore e e l'estremo superiore Edella ( )f x in [ ], a b .Osservazione. Se nella (α) si pone ( ) 1g x = si ottiene proprio la (β).Corollario 1. Se ( )f x è una funzione integrabile in [ ], a b ed è ivi positiva (negativa),allora risulta:

( ) ( )0b

a

f x dx ≥ ≤∫Corollario 2. Se ( )f x e ( )g x sono due funzioni integrabili in [ ], a b ed è ( ) ( )f x g x≥allora:

( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫Definizione. Sia ( )y f x= una funzione integrabile nell'intervallo [ ], a b , ovverointegrabile in ogni intervallo [ ], a x , essendo x un generico punto di [ ], a b . Allora lafunzione:

( ) ( )

x

a

F x f t dt= ∫è detta funzione integrale della ( )f x in [ ], a b relativa al punto a.Osservazione. In luogo dell'estremo a è possibile considerare un altro punto qualunque 0x

di [ ], a b .Teorema. Se la funzione ( )f x è integrabile in [ ], a b allora la ( )F x risulta continua in[ ], a b .

9

Teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione ( )F x è derivabile in ogni puntox dove la ( )f x è continua ed in tali punti risulta:

( ) ( )'F x f x=Osservazione. Se la ( )f x è continua allora la ( )'F x esiste sempre.

3. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL'INTEGRALE DEFINITO

Sia ( )y f x= una funzione definita nell'intervallo [ ], a b ed ivi continua e non negativa.Sia inoltre Γ la sua rappresentazione grafica in un riferimento cartesiano ortogonale Oxy:

La curva Γ , le retta x a= , x b= ed il segmento a x b≤ ≤ dell'asse x delimitano una partedi piano T che, per la sua forma, si chiama trapezoide o rettangoloide.Ci proponiamo ora di determinare l'area di T. Dividendo l'intervallo [ ], a b in un numeroqualunque n di intervalli parziali di uguale lunghezza mediante i punti 1 2 1, , ..., nx x x − con

0 1 2 1 ... n na x x x x x b−≡ < < < < < = . Osserviamo, in primo luogo, che la lunghezza di

ciascun intervallo parziale è uguale a b a

n−

.

xnx2x1x0 = a xn−1An−1 AnA2A1AO

A'n−1 A'nA'2A'1

A'A'' A1'''

A2''A1'' A''n−1 A''n

T

Γ

y

x

10

Posto b a h

n− = e denotati con rm ed rM rispettivamente il minimo ed il massimo

assoluto della ( )f x nell'intervallo [ ]1 , r rx x− ( )1, 2, ..., r n= , consideriamo le seguentisomme:

1 21

... n

n n rr

S m h m h m h m h=

= + + + =∑(somma delle aree dei rettangoli ' '' ' ' ' '1 1 1 1 2 2 1 1, , ..., n n n nA A A A A A A A A A A A− − )

'1 2

1

... n

n n rr

S M h M h M h M h=

= + + + = ∑(somma delle aree dei rettangoli '' ''' '' '' '' ''1 1 1 1 2 2 1 1, , ..., n n n nA A A A A A A A A A A A− − )

Si indichi inoltre con 1T il plurittangolo inscritto in T e con 2T quello circoscritto a T.

Osservato che 1T è contenuto in T e che 2T contiene T risulta naturale considerare,

qualunque sia n, nS ed 'nS come valori approssimati rispettivamente per difetto e per

eccesso dell'area A di T, cioè:'

n nS S≤ ≤Aper cui poniamo, per definizione:

(1) ( )

b

a

f xdx= ∫ASe, invece, la ( )f x , definita in [ ], a b , è ivi continua e non positiva allora:

(2) ( )

b

a

f x dx= −∫A

A

B

y

xO

ab

A' B'

Γ

T

11

Se, poi, la ( )f x , definita in [ ], a b , è ivi continua ed inoltre è non negativa in [ ], a c e nonpositiva in [ ], c b ( )a c b< < , allora:

(3) ( ) ( )

c b

a c

f x d x f x dx= −∫ ∫A

Se ( )f x e ( )g x sono due funzioni definite in [ ], a b ed ivi continue e se [ ], x a b∀ ∈risulta ( ) ( )f x g x≥ , allora:

(4) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x d x g x d x f x g x dx= − = − ∫ ∫ ∫A

avendo indicato con 1Γ e 2Γ rispettivamente le curve di equazione ( )y f x= ed( )y g x= .

O a c bx

B

A

C B'A' T

T

T

Γ

y

x

y

O a b

B

A

D

CT

Γ1

Γ2

12

Se, inoltre, ( )f x e ( )g x sono funzioni definite e continue in [ ], a b e se ( ) ( )f x g x≥ ,[ ], x a c∀ ∈ , ed ( ) ( )f x g x≤ , [ ], x c b∀ ∈ ( )a c b< < , allora:

( ) ( ) ( ) ( )

c b

a c

f x g x dx g x f x dx= − + − ∫ ∫A

4. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE: INTEGRALE INDEFINITO

Sia ( )y f x= una funzione definita nell'intervallo [ ], a b .Definizione. Una funzione ( )xΦ , definita in [ ], a b e tale che ( ) ( )' x f xΦ = , [ ], x a b∀ ∈ ,si dice primitiva della ( )f x in [ ], a b .Osservazione 1. Se ( )xΦ è una primitiva di ( )f x , allora lo è anche ( )x cΦ + , dove c èuna costante arbitraria; viceversa, una qualsiasi primitiva ( )1 xΦ di ( )f x ènecessariamente del tipo ( )x cΦ + (la derivata di ( ) ( )1 x xΦ Φ− è nulla [ ], x a b∀ ∈ per cuitale differenza è costante in tutto [ ], a b ).Osservazione 2. Se ( )y f x= è continua, allora:a) la funzione integrale ( )F x che, per definizione esiste sempre, è integrabile;b) la funzione primitiva ( )xΦ esiste (si osservi che qualora la ( )f x non sia

continua non è detto che la primitiva esiste);c) ( )'F x e ( )' xΦ sono uguali a meno di una costante

Γ1

Γ2

y

x

O a c b

ADC

E

B

13

Osservazione 3. Alle volte si pone la seguente:

Definizione. Se la funzione ( )f x è dotata di primitiva ( )xΦ in [ ], a b , allora l'insiemedelle funzioni ( )x cΦ + , con c costante arbitraria, primitive della ( )f x in [ ], a b ,rappresenta proprio l'integrale indefinito della ( )f x e lo si indica con il simbolo:

(1) ( )f xdx∫Per definizione risulta, quindi:

( ) ( )f x dx x cΦ= +∫Pertanto se ( )f x è continua oppure è dotata di primitiva ed è integrabile in [ ], a b , ilsimbolo (1) è esattamente quello di cui ci siamo occupati fino ad ora; se, invece, ( )f x èdotata di primitiva ma non è integrabile in [ ], a b , allora la (1) non è altro che l'insieme

( )x cΦ + .

5. TABELLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

(1) 0 dx c⋅ =∫ con c = costante(2) dx x c= +∫(3) 1

11

n nx dx x cn

+= ++∫ con n ≠ −1

(4) 2dx

x cx

= +∫(5) sin cosxdx x c= − +∫(6) cos sinxdx x c= +∫(7) 2 tgcos

dxx c

x= +∫

14

(8) 2 ctgsindx

x cx

= − +∫(9)

2

arcsinarccos1

x cdxx cx

+= − +−∫

(10) 2 arctgarcctg1

x cdxx cx

+= − ++ ∫

(11) logdx

x cx

= +∫(12) x xe dx e c= +∫(13)

log

xx aa dx c

a= +∫

6. PRINCIPALI REGOLE DI INTEGRAZIONE

(14) ( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ = ⋅∫ ∫(15) ( ) ( ) ( ) 11'

1n n

f x f x dx f x cn

+⋅ = ⋅ + +∫ con n ≠ −1

(16)( )( )

( )'

2f x

dx f x cf x

= +∫(17) ( ) ( ) ( )sin ' cosf x f x dx f x c⋅ = − +∫(18) ( ) ( ) ( )cos ' sinf x f x dx f x c⋅ = +∫(19)

( )( ) ( )2

'tg

cos

f xdx f x c

f x= +∫

(20)( )

( ) ( )2'

ctgsin

f xdx f x c

f x= − +∫

15

(21)( )

( )( )( )2

arcsin'arccos1

f x cf xdx

f x cf x

+= − +− ∫(22)

( )( )

( )( )2

arctg'arcctg1

f x cf xdx

f x cf x

+= − ++ ∫(23)

( )( ) ( )'

logf x

dx f x cf x

= +∫(24) ( ) ( ) ( )'f x f xe f x dx e c⋅ = +∫(25) ( ) ( )

( )'

log

f xf x aa f x dx c

a⋅ = +∫

ESEMPI

(3)

α) 3 3 1 41 1

3 1 4x dx x c x c+= + = +

+∫β)

2 2 3 3 512 12 2 2 21

2

1 13 5

12 2

x xdx dx x dx x dx x c x c

x x

− += = = = + = + =

+∫ ∫ ∫ ∫

55 222 2 2

5 5 5x c x c x x c= + = + = +

γ) ( ) ( ) 71 122 23 3 3 3x x dx x x dx x dx x dx+⋅ = ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫

7 101 3 10 3 33 31 1 3 37 10 10 1013 3

x c x c x c x x c+

= + = + = + = ++

(14)

α) 4 4

3 32 2 24 2x x

x dx x dx c c= = ⋅ + = +∫ ∫ risultando 2k = ed ( ) 3f x x=

β) 4 1

4 4 2 8dx dx x c x cx x

= = ⋅ + = +∫ ∫ essendo 4k = ed ( ) 1f x

x=

16

(15)

α) ( ) ( ) ( )4 4 1 51 11 1 14 1 5

x dx x c x c++ = + + = + ++∫

essendo 4 1n = ≠ − , ( ) 1f x x= + ed ( )' 1f x =

β) ( ) ( ) ( ) 31 1 12 2 21 12 2 1 2 2 1 2 1 2 11 31

2 2

x dx x dx x c x c++ = + = + + = + + =+∫ ∫

( ) ( )32 22 1 2 1 2 13 3

x c x x c= + + = + + +

essendo 1 12n = ≠ − , ( ) 2 1f x x= + ed ( )' 2f x =

γ) 21

sin cos sin2

x xdx x c= +∫ essendo 1 1n = ≠ − , ( ) sinf x x= ed ( )' cosf x x=

δ) ( ) ( )4 4 14 51 1sin cos sin cos sin sin4 1 5

x xdx x xdx x c x c+= = + = ++∫ ∫

essendo 4 1n = ≠ − , ( ) sinf x x= ed ( )' cosf x x=

ε) ( ) ( )2 2 12 31 1cos sin cos sin cos cos2 1 3

x xdx x xdx x c x c+= = − + = − ++∫ ∫

essendo 2 1n = ≠ − , ( ) cosf x x= ed ( )' sinf x x= −(16)

α) 22 2 2

2 1 2 12 1

2 21 2 1 1

x x xdx dx dx x c

x x x= = = ⋅ − + =

− − −∫ ∫ ∫ 2 1x c= − + osservando che x risulta, a meno del fattore 2, la derivata di ( ) 2 1f x x= −

β) 2 2

3 3

3 3

3 1 3 12 1 1

2 22 1 1

x xdx dx x c x c

x x= = − ⋅ − + = − − +

− −∫ ∫osservando che 23x risulta, a meno del fattore −1, la derivata di ( ) 31f x x= −

(17) + (18)

α) ( ) ( )2 2sin 2 4 cos 2x xdx x c⋅ = − +∫ dove ( ) 22f x x= ed ( )' 4f x x=

17

β) 2cos2 1 1

cos2 2cos2 sin22 2 2

xxdx dx xdx x c= = = +∫ ∫ ∫

dove ( ) 2f x x= ed ( )' 2f x =

γ) 3 4

3 4 3 4 44 cos 1 1cos 4 cos sin4 4 4

x xx x dx dx x x dx x c= = = +∫ ∫ ∫

dove ( ) 4f x x= ed ( ) 3' 4f x x=

δ) 3 4

3 4 3 4 44 sin 1 1sin 4 sin cos4 4 4

x xx x dx dx x x dx x c= = = − +∫ ∫ ∫

dove ( ) 4f x x= ed ( ) 3' 4f x x=(19) + (20)

α) 23

tg3cos 3

dx x cx

= +∫ essendo ( ) 3f x x= ed ( )' 3f x =

β) 2 2 21 3 1 3

tg33cos 3 3cos 3 cos 3

dx x cx x x

= = = +∫ ∫ ∫ osservando che 1 risulta, a meno del fattore 3, la derivata di ( ) 3f x x=

γ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1

ctgsin sin sin

dx dx dx x cx x x

− −= = − = − − − + = − − − −∫ ∫ ∫

( )=ctg x c− + osservando che 1 risulta, a meno del fattore −1, la derivata di ( )f x x= −

(21) + (22)

α) ( ) ( )

2

4 2 22 2

2 1 2 1arcsin

2 21 2 1 1

x x xdx dx dx x c

x x x= = = +

− − −∫ ∫ ∫ essendo x, a meno del fattore 2, la derivata di ( ) 2f x x=

β) ( )2 2 2

1 1 1

2 2 1 1 1 2 1dx dx dx

x x x x x x= = =

− − + − − − +∫ ∫ ∫

( )( )

2

1arcsin 1

1 1dx x c

x= = − +

− −∫ essendo ( ) 1f x x= − ed ( )' 1f x =

18

γ) ( ) ( )2 2 2

1 1 51 25 1 5 5 1 5

dx dx dxx x x

= = =+ + + ∫ ∫ ∫

( )2

1 5 1arctg5

5 51 5dx x c

x= = +

+∫ essendo 1, a meno del fattore 5, la derivata di ( ) 5f x x=

δ) ( )2 2 22

1 9 1 9 1 19 99 99 9

13

dx dx dx dxx xx x

= = = =+ ++ +

∫ ∫ ∫ ∫

2

11 13 arctg3 3 3

13

xdx c

x= = +

+ ∫

essendo ( )3xf x = ed ( ) 1'

3f x =

(23)

α) 2 2 2

33 3 3

3 1 3 1log 3

3 33 3 3 3x x x

dx dx dx x cx x x

= = = + ++ + +∫ ∫ ∫

con ( ) 3 3f x x= + ed ( ) 2' 3f x x= ( 2x rappresenta, a meno del fattore 3, la derivata, di ( )f x )

β)

11 log log

log logxdx dx x c

x x x= = +∫ ∫

con ( ) logf x x= ed ( ) 1'f x x=

γ) sin sin sin

tg logcoscos cos cos

x x xxdx dx dx dx x c

x x x− −

= = = − = − +−∫ ∫ ∫ ∫

con ( ) cosf x x= ed ( )' sinf x x= −

δ) ( )

2 1 2 1 2 12 1

2 1 2 12 1

2 1 2 1log 4

2 24 42 4

x x xx

x xx

e e edx dx dx e c

e ee

+ + ++

+ ++= = = + +

+ ++∫ ∫ ∫ con ( ) 2 1 4xf x e += + ed ( ) 2 1' 2 xf x e +=

(24) + (25)

α) 2 2x xe dx e c+ += +∫ essendo ( ) 2f x x= + ed ( )' 1f x =

19

β) 3

3 3 32 1

2 1 2 1 13 1 133 3 3

xx x xx ex e dx dx x e dx e c

++ + += = = +∫ ∫ ∫

essendo 2x , a meno del fattore 3, la derivata di ( ) 3 1f x x= +

γ) 2 25 5

32 3 3 logx xx dx e c+ +⋅ = +∫

essendo 3a = , ( ) 2 5f x x= + ed ( )' 2f x x=

δ) 1 2 s i n 1 2 s i n 1 2 s i n2cos 1

cos 2 2 2cos 22 2

x x xxx dx dx x dx+ + +⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ 1 2sin 2

12 log

2x e c+= ⋅ ⋅ +

essendo 2a = , ( ) 1 2sinf x x= + ed ( )' 2cosf x x=

7. INTEGRALE INDEFINITO ED INTEGRALE DEFINITO

Sia ( )f x una funzione continua nell'intervallo [ ], a b e sia:

( ) ( )

x

a

F x f t dt= ∫la funzione integrale. Per il Teorema Fondamentale del calcolo integrale, quindi, risulta:

( ) ( )'F x f x=Indichiamo, inoltre, con ( )x cΦ + l'integrale indefinito, cioè poniamo:

( ) ( )f x dx x cΦ= +∫ed in particolare consideriamo, per 0c = , la primitiva ( )xΦ di ( )f x . In virtùdell'Osservazione 2. c) riportata in ¶ 4. la derivata della funzione integrale è uguale aquella della funzione primitiva, ovvero:

( ) ( )' 'F x xΦ=da cui si ha:

( ) ( ) 1F x x cΦ= + ⇒ ( ) ( ) ( )1 1

x

a

x F x c f t dt cΦ = − = −∫Per x a= , quindi:

( ) ( ) 1F a a cΦ= + ⇒ ( ) ( ) 1 1a F a c cΦ = − = − ⇒ ( ) 1a cΦ = −

20

essendo:

( ) 0a

a

f t dt =∫Pertanto si può scrivere:

( ) ( ) ( )

x

a

x f t dt aΦ Φ= +∫ ⇒ ( ) ( ) ( )x

a

x a f t dtΦ Φ− = ∫da cui segue, in particolare:

(1) ( ) ( ) ( )

b

a

b a f t dtΦ Φ− = ∫che rappresenta proprio la:Formula fondamentale del calcolo integrale. L'integrale definito di una funzione continua

( )f x in [ ], a b è uguale alla differenza dei valori che una primitiva della ( )f x assumerispettivamente nell'estremo superiore b e nell'estremo inferiore a dell'integrale. In simbolisi ha:

( ) ( ) ( ) ( )

b

b

a

a

f t dt x b aΦ Φ Φ= = −∫Osservazione. La (1) esiste anche se la ( )f x è dotata di primitiva ed è integrabile in[ ], a b .

ESEMPI

α) ( )

1

0

1x dx+∫In primo luogo occorre calcolare l'integrale indefinito:

( )2

12x

x dx xdx dx x c+ = + = + +∫ ∫ ∫Ne segue, quindi, che:

( )

1 1 112

00 0 0

1 0 1 31 1 0 1

2 2 2 2 2

x

x

xx dx xdx dx x

=

=

+ = + = + = + − + = + = ∫ ∫ ∫

21

β)

2

1

1dx

x∫Essendo:

1logdx x c

x= +∫

risulta:

( )2

2

1

1

1log log 2 log1 log2 log1 log2 0 log2

x

xdx x

x=

== = − = − = − =∫

γ) ( )1

1

x xe e dx−

−

+∫Poiché:

( )x x x x x xe e dx e dx e dx e e c− − −+ = + = − +∫ ∫ ∫segue che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2211 1 1 1

1

1

2 12 2 22x x x x

eee e dx e e e e e e e

e e e− − − −

−

−

−−+ = − = − − − = − = =∫