g.m. - edile a 2002/03 fluidi i corpi in natura gli oggetti che ci circondano si presentano come...
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G.M. - Edile A 2002/03
Fluidi
I corpi in natura
• Gli oggetti che ci circondano si presentano come aggregati di punti materiali (sistemi di punti materiali)
• Tre stati– Solido
– Liquido
– Gassoso• (c’è anche un quarto stato (plasma) )
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Le proprietà dei corpi solidi• Corpo solido <-----> corpo rigido• In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole
deformazioni• Molti solidi hanno una struttura cristallina, altri sono amorfi• Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e
dalle forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo
• È l’intensità elevatissima delle forze tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi.
• Gli atomi occupano posizioni definite all’interno della struttura
• sono in continua oscillazione attorno alla posizione di equilibrio
• con una ampiezza che dipende dalla temperatura
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I moti del corpo rigido
• Traslazione– Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello
stesso intervallo di tempo• Il moto si può studiare attraverso il moto del centro di massa
• Rotazione attorno ad un asse fisso– I diversi punto del CR subiscono spostamenti diversi
• In particolare esistono dei punti allineati lungo un asse che non sibiscono alcuno spostamento (asse di rotazione)
• Rototraslazione– è la combinazione dei due moti elementari precedentemente
elencati• Il moto del centro di massa ci permette di descrivere la traslazione• A questo moto si sovrappone la rotazione attorno ad un asse passante
per il centro di massa la cui orientazione può variare con il tempo.
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Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
• E’ possibile determinare la posizione del CR con la sola conoscenza dell’angolo
• Un CR in rotazione attorno ad un asse fisso ha un solo grado di libertà
• È sufficiente una sola equazione scalare per determinare il suo moto.
• Facciamo riferimento all’anta di una porta
Asse di rotazione
Vista dall’alto
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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso
• Nel caso della rotazione la forza non è direttamente responsabile dell’effetto prodotto.
• Supponiamo di applicare forze perpendicolari al piano della porta:
• Se applichiamo una forza a distanza nulla d’asse di rotazione:
• l’effetto è nullo: non c’è nessun moto
• Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e l’accelerazione (angolare) prodotta.
• Man mano che ci allontaniamo dall’asse di rotazione, a parità di forza, l’effetto (l’accelerazione angolare della porta ) è sempre più vistoso
• Ecco perché la maniglia si mette il più lontano possibile dall’asse di rotazione
Vista dall’alto
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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso
• L’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, sembra dipendere dal momento della forza rispetto al polo O
• Il modulo del momento vale infatti:
• Sembra quindi che l’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, dipende dal prodotto della forza per il braccio
• Braccio=distanza della retta di azione della forza d’asse di rotazione
Vista dall’alto
b
O
O r
F
M o r
F Frsen Fb
rF
• Si osservi che in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione
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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso
• L’effetto è maggiore quando l’angolo è 90°• È nullo quando è 0° o 180°• Questa osservazione ci conferma che la causa
delle rotazioni è il momento della forza. • Infatti:
• Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare l’angolo della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione
Vista dall’alto
O
O r
M o r
F Frsen Fb
r F
• Che è massimo quando è 90°, è nullo quando è 0° o 180°
• Si osservi che anche in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione
bF
b
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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso
• Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendicolare al piano della porta
• Ma in questo caso l’effetto prodotto è nullo!!• Non si verifica alcun moto della porta.
• Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta.• Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r
• Il modulo del momento è
O r
F
M o r
F Frsen Fb
• Cosa c’è di diverso nei due casi??• Osserviamo che in questo caso il momento Mo è
perpendicolare all’asse di rotazione• In precedenza esso era parallelo all’asse di
rotazione• Possiamo concludere:
• Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dalla componente del momento della forza lungo l’asse di rotazione (Momento assiale)
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Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
• Abbiamo dedotto:– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal
momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione)
• Si trova infatti che:I Mz
Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso
• I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione
• accelerazione angolare
• Mz componente assiale del momento delle forze esterne
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I diversi tipi di sollecitazione• Trazione
– Produce un allungamento del campione• Compressione
– Produce una accorciamento del campione• Taglio
– Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra
• Compressione idrostatica– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del
campione ed è perpendicolare alla superficie stessa– Produce una diminuzione del volume del campione
L
F
F
F
F
F
F a) b) c)
L
F
F
F
F
F
F
LL
L
a) b) c)
• Sforzo– Forza applicata diviso per la sezione del campione
• Deformazione relativa– La deformazione prodotta diviso per il valore della
grandezza originaria
F
A
L
L
sforzo modulo di elaticità deformazione relativa
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Il comportamento dei materiali
• I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2
F
AE
L
LE modulo di Young (trazioni o compressioni)
F
AG
L
LG modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)
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Il comportamento dei materiali
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Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso
• Abbiamo dedotto:– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal
momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione)
• Si trova infatti che:I Mz
Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso
• I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione
• accelerazione angolare
• Mz componente assiale del momento delle forze esterne
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I diversi tipi di sollecitazione• Trazione
– Produce un allungamento del campione• Compressione
– Produce una accorciamento del campione• Taglio
– Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra
• Compressione idrostatica– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del
campione ed è perpendicolare alla superficie stessa– Produce una diminuzione del volume del campione
L
F
F
F
F
F
F a) b) c)
L
F
F
F
F
F
F
LL
L
a) b) c)
• Sforzo– Forza applicata diviso per la sezione del campione
• Deformazione relativa– La deformazione prodotta diviso per il valore della
grandezza originaria
F
A
L
L
sforzo modulo di elaticità deformazione relativa
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Il comportamento dei materiali
• I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2
F
AE
L
LE modulo di Young (trazioni o compressioni)
F
AG
L
LG modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)
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Il comportamento dei materiali
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Applicazione
• Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino?
• Quanto l’allungamento e la sua deformazione?
• La sezione del tondino è data da:
A R2 3.14 9.5 10 3 2 283 10 6 m2
• Lo sforzo: F
A
6.2 104
283 10 6 2.19 108 N
m2
• La deformazione:L
L
E
2.19 108
200 109 0.0011
• L’allungamento:
L E
L 2.19 108
200 109 0.81 0.00110.81 0.00089m 0.9mm
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Risonanza• Per realizzare una qualunque struttura
meccanica, dalla più semplice alla più complicata, si utilizzano corpi solidi collegati insieme
• poiché i corpi solidi hanno un comportamento elastico, ci aspettiamo altrettanto da una qualunque struttura meccanica.
• Sottoponendo la struttura ad una sollecitazione rapida (un impulso),
– Essa entrerà in vibrazione
– Le vibrazioni si smorzeranno più o meno rapidamente a causa degli attriti
• Però se le sollecitazioni sono periodiche – le vibrazioni potranno sostenersi
• Per avere un’idea di quello che succede si può studiare l’oscillatore armonico sottoposto ad una forza variabile nel tempo.
d2y
dt2 b
m
dy
dt
k
my
Fcos f t m
F cos f t
d2x
dt2 b
m
dx
dt
k
mx
Fcos f t m
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I fluidi• Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi
• le distanze tra le molecole sono in media più grandi rispetto ai solidi, – le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le
molecole sono debolmente legate l’una all’altra
– esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido
– ma possono muoversi al suo interno.
• I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio– Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile
far scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra.
– Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido.
• Conseguenza:– Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le
forze che una parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete normale alla superficie.
– Questo vale per qualunque superficie.
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La pressione idrostatica• Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il
fluido in due parti prendiamo una piccola area, A, attorno al punto P
• Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza scalare attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che una delle due parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area A, diviso per l’area A (eventualmente si fa il limite per A che tende a zero) :
P Fn
A
• Le dimensioni P Fn A 1 MLT 2L 2 • Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata
“pascal”, Pa.
• Altre unità di misura della pressione:– Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del
mare
– torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di mercurio
– 1 bar= 105 Pa 1atm 1.013 105Pa 760torr
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La pressione sulle pareti del recipiente• Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una
superficie reale– la parete del contenitore
• Possiamo usare la stessa definizione per valutare al pressione sulle pareti del contenitore
P Fn
A
• A è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole misurare la pressione
• Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola porzione A della parete
• A cosa è dovuta questa forza normale?– Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti
– Per un urto elastico su una parete liscia
v
v '
F
x
y
1
2m vx
2 vy2 1
2m v' x
2 vy2 vx
2 v' x2 v' x vx
v' x vx
La molecola subisce la forza F dalla paretePer il principio di azione e reazione esercita sulla parete
una forza uguale e contraria.
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La densità• Si definisce densità media del fluido
P
m M
V
• Si definisce densità del fluido nel punto P
lim V 0M
V
– Il limite in senso “fisico”
dM
dV
• I fluidi si distinguono in – Comprimibili– Incomprimibili
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La legge di Stevino• Consideriamo in fluido incompribile
• è uniforme in tutto il volume del fluido
• Consideriamo un fluido stazionario
• Isoliamo idealmente una porzione di fluido racchiusa in un cilindro di area di base A orizzontale e altezza h (h=y1-y2)
• Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è ferma
• Applichiamo la secondo legge della dinamica– In particolare la sua componente verticale
P2A P1A A(y1 y2)g 0
P2 P1 (y1 y2 )g P1 gh • h profondità
• Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione
• Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità– La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale
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Applicazione
• A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a quella in superficie
• Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po.
• Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da:
• Da cui:
P Po gh
h
2Po Po gh* h* Po
g
h* Po
g
1atm
1.024 103 kg
m3 9.81 ms2
1.01 105 Pa
1.024 103 kg
m3 9.81 m
s2
10.05m
• Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera
• Se al posto dell’acqua c’è un gas,– la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua
• Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1 millesimo di atmosfera
• Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare la pressione costante in tutto il recipiente.
P Po gh
se h 0
P Po cos tan te
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La misura della pressione
• Barometro– Per la misura assoluta della
pressione atmosferica
• Manometro a tubo aperto– Misura la differenza di
pressione tra due ambienti
– Misura relativa di pressione
0 Po g h
Po gh
P Po gh
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Il principio di Pascal• Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro
racchiuso da un pistone mobile
• Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal pistone sul fluido
• La pressione in tutti gli altri punti sarà: P Pest gh
• Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per esempio variando il carico sul pistone.
• Sia Pest la variazione di Pest.
• In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una variazione di pressione:
P Pest gh se il liquido èincomressibile gh 0
P Pest
• Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si ripercuote su tutto il fluido.
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La leva idraulica• Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio)• In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione
del fluido subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica
• Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la pressione del fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà dappertutto della stessa quantità
P Fi
A i
• Il secondo pistone sarà quindi in grado di esercitare sull’ambiente esterno una forza
Fo PAo FiAo
Ai
• La forza risulta amplificata per un fattore pari al rapporto tra le aree
• Si osservi che lo spostamento del secondo pistone è ridotto rispetto a quello del primo dello stesso fattore.
• Il lavoro da fare per sollevare un oggetto pesante è sempre lo stesso
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Il principio di Archimede• La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un
corpo quando è immerso nel fluido
• Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di fluido racchiusa in una superficie chiusa che riproduce perfettamente la superficie esterna di un corpo.
• Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido stazionario)
• La risultante delle forze che la porzione di fluido all’esterno del contorno esercita su quella all’interno del contorno è proprio uguale al peso del fluido racchiuso all’interno del contorno.
• Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare sempre la stessa forza:
• La spinta di Archimede è pari al peso della massa di acqua spostata dal corpo