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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Riassunto della prima lezione
• La fisica è una scienza sperimentale! E’ necessario misurare le grandezze fisiche.
• Ogni volta che si fa una misura si commettono errori (casuali e sistematici).
• Attenzione alla propagazione degli errori: in una somma o differenza l’errore assoluto del risultato non può essere più piccolo del più grande degli errori di partenza, in un prodotto o divisione l’errore relativo del risultato non può essere più piccolo del più grande degli errori di partenza.
• Campioni e metodi di misura fissati da accordi internazionali.
• Noi usiamo il SI (7 unità fondamentali, tutte le altre derivate).
• La scelta dei campioni è una questione delicata, da essi dipende la precisione delle misure.
• Sottolineato l’evoluzione dei campioni del metro e del secondo, sempre più precisi e sempre più accessibili ed invariabili
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• Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono derivate da quelle fondamentali attraverso le relazioni che legano ciascuna grandezza a quelle fondamentali.
• Per esempio la relazione che lega la velocità allo spazio percorso ed al tempo impiegato è data da
Grandezze derivate - Dimensioni
• Si dice anche che la velocità ha le dimensioni di una lunghezza diviso un tempo ([v]=[d][t]-1 =[L][T]-1 equazione dimensionale)
• Per “dimensioni” si intendono gli esponenti a cui bisogna elevare le grandezze fondamentali per ottenere la grandezza in esame.
• L’unità di misura della velocità sarà (SI): m/s (metri al secondo)
v dt
• Il campione della velocità è la velocità di quell’oggetto che percorre un metro in un secondo.
• NB: la distinzione tra grandezze fondamentali e grandezze derivate è del tutto arbitraria, è solo una questione di scelta.
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L’accelerazione
• Tra le prestazioni di una automobile, viene citato il tempo necessario per far passare la velocità della vettura da 0 a 100 Km/h, per vetture sportive questo tempo è al di sotto dei 10 s.
• L'accelerazione è una misura della rapidità con cui cambia la velocità. Essa è definita come:
a v
t
vf v i
tf t i
a v T 1 L T 2 ms2
• Le dimensioni sono:
• Nel SI l'accelerazione si misura in metri al secondo al quadrato
a v
t
100km
1h
10s
100 1000m
3600s
10s2.78
m
s2
• Nel caso di una vettura che passa da 0 a 100 Km/h in 10 s, l'accelerazione media è:
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Grandezze derivate dalla lunghezza:aree, volumi e angoli
• aree• Triangolo: 1/2 base x altezza
• Parallelogramma: base x altezza
• Cerchio: x raggio al quadrato
– Le dimensioni [S] = [L2]– L’unità di misura il m2.
– Il campione: un quadrato di lato 1 m.
• Volumi• Parallelepipedo:Area di base x altezza
• Sfera: 4/3 x raggio al cubo
– Le dimensioni [V] = [L3]– L’unità di misura il m3.
– Il campione: un cubo di spigolo 1 m.
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Angolo piano
• L’angolo
lunghezza dell' arco
raggio della circonferenzar
360 : 2 = gradi : 1rad gradi 360 1
257.35
x
yr
r L L 1 L0
• Le dimensioni
– L’angolo è un numero puro (radiante)
2r
r2 (rad)• L’angolo giro:
360 : 2 = gradi :radianti
• Fattore di
conversione:
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Angolo solido
• L’angolo solido area della calotta
raggio della sfera al quadrato
Sr2
r
S
S r2 L 2 L 2 L0
• Le dimensioni– È un numero puro
(steradiante).
tot area della sfera
raggio della sfera al quadrato
4r2
r24 (sr, steradianti)
• L’angolo solido totale
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Grandezze derivate dal tempo: Frequenza
• La frequenza si riferisce ad un fenomeno periodico e si definisce come: f
numero di ciclit
• Poiché il numero di cicli è un numero privo di dimensioni, si dirà che la frequenza ha le dimensioni di un tempo alla meno uno ( [f]=[T]-1) e si misurerà in cicli al secondo (s-1).
• Questa unità nel SI si chiama hertz (Hz)
f numero di cicli
t
1T
• Se l’intervallo t è uguale ad un periodo (T) allora il numero dei cicli è uguale a 1, pertanto
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Alcuni motori di vetture di formula 1 raggiungono 18000 giri al minuto. Con che frequenza gira l’albero motore? Qual è l’angolo percorso in un secondo da un punto sulla periferia dell’albero motore?Quanto dura un giro?
f numero di cicli
t
18000
1 min passando ad unità del SI
T 1
f
1
300 s 1 0.0033 s = 3.3 ms
f 18000
60s300 s-1 300 Hz
1 giro = 2 rad =300giri2 rad
giro600 rad
Applica-zione
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Densità o massa volumica
• Si definisce densità di un corpo il seguente rapporto:
questa è la densità media• le cui dimensioni sono:• e si misura in Kg/m3
m
V
M L 3 Vm
(P) m
V
con V molto piccolo (tendente a zero).
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Tabella di densità
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Densità superficiale e densità lineare
• A volte i corpi si presentano con una delle dimensioni uniforme e molto più piccola delle altre due (un foglio di carta, una lastra di ferro, etc.). In tal caso si parla di densità superficiale:
• Le dimensioni sono:
• e si misura, nel SI, kg/m2.
s m
S M L 2
• Se il corpo presenta un aspetto filiforme, si parla di densità lineare:
• Le dimensioni sono • e si misura in kg/m.
m
M L 1
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L’oro che ha un massa di 19.32 g per ogni centimetro cubo di volume, è il materiale più duttile: può essere steso in fogli sottilissimi o tirato in lunghe fibre.a) se si stende in un foglio di 1.000 m di spessore la massa di 27.63 g, quale sarà l’area del foglio risultante? E la densità superficiale?b) Se invece si tira la stessa quantità in una fibra cilindrica di 2.500 m di raggio, quale sarà la sua lunghezza? E la densità lineare.
m
V
19.32g
1cm3 19.32 gcm3
passando ad unità del SI
19.32 gcm3 19.32
10 3 kg
10 6m3 19.32x103 kg
m3
Troviamo il volume V occupato da una massa pari a 27.63g
m
V V
m
27.63x10 -3kg
19.32x103 kg
m3
1.430x10 6 m3
ma il volume V = Ah A =Vh1.430x10 6 m3
1.000x10 6m1.430m2
Applica-zione
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La densità superficiale della lastra così ottenuta :
s m
A
27.63x10 3kg
1.430m2 19.32x10 3 kgm2
Nel caso del filo il volome V = S VS1.430x10 6m3
R2
1.430x10 6m3
3.141x 2.500x10 6 2m2 1.430x10 6m3
3.141x6.250x10 12 m2 72.84x103m
La densità lineare del filo vale :
m
27.63x10 3 kg
72.84x103m.3793x10 6 kg
m
Applica-zione
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Alcune grandezze fisicheGrandezza Definizione Unità di misura
Area A=base per altezza metri quadri m2
Vo lume V=area di base per altezza metri cubi m3
Densità =massa diviso volume occupato kilogrammi permetro cubo
kg/ m3
Velocità v=(Distanza percorsa)/(tempoimpiegato)
metri al secondo m/s
Accelerazione a=(Variazione di velocità)/(tempoimpiegato)
metri al secondoquadrato
m/s2
Forza F=massa per accelerazione newton N kg m/s2
Pressione P=(forza normale)/area pascal Pa N/ m2
Lavoro Lavoro=forza per spostamento joule J Nm
Energiacinetica
K= 1/2 massa per velocità al quadrato joule J Nm
Potenza P=(lavoro effettuato)/(tempoimpiegato)
watt W J/s
Quantità dimoto
p=massa per velocità kilogrammi permetri al secondo
kg m/s
Momento diuna forza
M=r x F (erre vettor F) prodottovettoriale tra il vettore posizione elaForza
Nm
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Entrambi i membri devono averele stesse dimensioni
Relazioni tra grandezze
F ma
M L T 2 F ma M L T 2
Se la relazione contiene la somma di più termini, tutti i termini devono avere le stesse dimensioni
x xo vot 12
at2
xo posizione iniziale
vo velocità iniziale
a accelerazione
x L xo L
vot LT 1 T L 12
a ot2
LT 2 T2 L
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Unità di misura nelle relazioni fisiche• Le unità di misura possono essere usate come un qualsiasi
altro termine nell’equazione algebrica– Determinare la distanza x dall’origine al tempo t=5 s sapendo che
la distanza dall’origine all’istante iniziale è 5 m, la velocità iniziale è 4 m/s, l’accelerazione costante è di 2 m/s2.
x xo vot 12
at2
xo = 5 m
vo = 4 m/s
a = 2 m/s2
x 5m 4ms
5s 12
2ms2 25s2
5m 20m 25m 50m
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Cambiamento di unità di misuraEquazioni dimensionali
• Esprimere la velocità di 110 km/h in unità del sistema SI.– 1km=1000m
– 1h = 3600 s
110kmh
1101km1h
1101000m3600s
30, 5ms
1 2z
0 y
0 x z
z 1
2y 0
x z 12
t h1
2g 1
2 h
g
t 2h
gLa verità
• Quanto tempo impiega un corpo di massa m a cadere da un’altezza h?
• t=khxmygz [T]=[k][L]x[m]y[LT-2]z=[Lx+zmyT-2z]
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Una sferetta P viene posta in una conca semisferica di raggio R in un punto diverso da quello più basso.La sferetta rotola e l’angolo indicato in figura varia con la legge:
Quali sono le dimensioni di e S? Qual è l’interpretazione geometrica di S?
t S
Rcos(t)
R
P
L’argomento della funzione coseno è un angolo, cioè una grandezza adimensionale. t deve essere adimensionale.
[t]= [] []= []Risulta
[] = []L’angolo non ha dimensioni: pertanto [S] [R-1][cos]=[L0M0T0]La funzione coseno è adimensionale, il raggio R ha le dimensioni di lunghezza [R]=[L]. Pertanto:
[S]=[L]S è l’arco di cerchio tra P e il punto più basso della conca.
Applica-zione