godina/predmeti...predstavljanje realnih brojeva obična preciznost. oblik broja: 1,f * 2 e -0,8 =...

Aritmetičke i logičke osnove

Fakultet zaštite na radu, Niš

Računarska tehnika

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Prevođenje celobrojnog dela broja

Zadatak 1.1: Broj (44,625)10 prevesti iz dekadnog brojnog sistema u binarni korišćenjem tablica za prevođenje.

Posebno se prevodi celobrojni , a posebno razlomljeni deo broja.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Broj (44)10 se deli sa dva, dok se ne dođe do 0.

Celobrojni količnik

Ostatak

Celobrojni količnik i ostatak pri deljenju polaznog broja (u osnovi 10) sa vrednošću odredišne osnove (2) ! Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


Zadatak 1.1: Broj (44)10 prevesti iz dekadnog brojnog sistema u binarni korišćenjem tablice.

Celobrojni količnik

Ostatak

Celobrojni količnik i ostatak pri deljenju polaznog broja (u osnovi 10) sa vrednošču odredišne osnove (2) ! Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y



Ovo nije kraj !!! Radi se dok Xi ne bude 0 ! Najčešća greška na ispitu je da se prekine ovde sa daljim

radom...

Authors

' com

plimen

tary c

opy


zapis broja


Rešenje: (101100)2

Ne može nikada da prva cifra broja bude 0...to je greška. Kako da proverite rešenje?

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Provera rešenja (1 0 1 1 0 0)2 =

20

21

22

23

24

25

1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22

+ 0*21 + 0*20 = 44

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Prevođenje razlomljenog dela broja

(0,625)10 prevesti u binarni brojni sistem korišćenjem tablice za prevođenje razlomljenog dela broja.

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Broj (0,625)10 prevesti u binarni brojni sistem korišćenjem tablice.


(0,5)10 x 2 = 1, 0 Najčešća greška: zaboravi se zadnja cifra dole.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Broj (0,625)10 prevesti u binarni brojni sistem korišćenjem tablice.

Čitanje broja u desnu stranu! Rešenje: (0,101)2

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Provera rešenja (0, 1 0 1)2 =

2-1

1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = 0,625

2-3

2-2

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1.2. Broj (118)10 prevesti iz dekadnog brojnog sistema u binarni korišćenjem tablice.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Broj (118)10 prevesti iz dekadnog brojnog sistema u binarni korišćenjem tablice.

Rešenje: (1110110)2 Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


Provera rešenja (1 1 1 0 1 1 0)2 =

20

21

22

23

24

25

26

1*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23

+ 1*22 + 1*21 + 0*20 = 118

Authors

' com

plimen

tary c

opy

1.3. Broj (0,84375)10 prevesti u binarni brojni sistem korišćenjem tablice.


0,84375 x 2 = 1, 6875 0, 6875 x 2 = 1, 375 0, 375 x 2 = 0, 75 0, 75 x 2 = 1, 5 0, 5 x 2 = 1, 0

1 0, 6875 0, 375

1 0, 75 0

0, 5 1 1

0, 0

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1.3. Broj (0,84375)10 prevesti u binarni brojni sistem korišćenjem tablice.

zapis broja (redosled čitanja)

Rešenje: (0,11011)2 Authors

' com

plimen

tary c

opy


Provera rešenja (0, 1 1 0 1 1)2 =

2-1

1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 1*2-4 +

1*2-5 = 0,84375

2-3

2-2 2-4

2-5

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Prevođenje brojeva deljenjem na klase

1.4. Deljenjem na klase prevesti broj (101101110)2 u oktalni i heksadekadni brojni sistem.

Kada se prevodi broj iz osnove 2 u osnovu 8 =23 izdvajaju

se klase od 3 broja u levu stranu od decimalnog zareza.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


23 = 8 s = 3

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Deljenjem na klase prevesti broj (101101110)2 u oktalni i heksadekadni brojni sistem.

Kada se prevodi broj iz osnove 2 u osnovu 8 =23 izdvajaju

se klase od 3 broja u levu stranu od decimalnog zareza. redosled izdvajanja klasa

Ukoliko nema dovoljno cifara, dodaju se nule na početku broja (vodeće nule), kako bi se dobila puna trijada.

(101 101 110)2

Authors

' com

plimen

tary c

opy



Prevođenje u oktalni brojni sistem (101 101 110)2 =

(5 5 6)8

Authors

' com

plimen

tary c

opy

24 = 16 s = 4

Authors

' com

plimen

tary c

opy



Prevođenje u hesadekadni brojni sistem vodeće nule

(0001 0110 1110)2 = (1 6 E)16

redosled izdvajanja klasa

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1.4. Broj (ABC)16 prevesti u binarni, a zatim u oktalni sistem deljenjem na klase, a iz oktalnog u dekadni brojni sistem.

(A B C)16 =

Authors

' com

plimen

tary c

opy



(A B C)16 = (1010 1011 1100)2

Authors

' com

plimen

tary c

opy



(A B C)16 = (1010 1011 1100)2 = =(101 010 111 100)2 = =( 5 2 7 4 )8 Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


1.5. Broj (11001100,001)2 prevesti u oktalni i heksa-dekadni.

Posebno se izdvajaju klase za celobrojni i razlomljeni deo (11001100,001)2 = (011 001 100 , 001)2

redosled izdvajanja klasa

= ( 3 1 4, 1 )8

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1.5. Broj (11001100,001)2 prevesti u oktalni, heksadekadni i dekadni brojni sistem.

(11001100,001)2 = (011 001 100 , 001)2 = ( 3 1 4, 1 )8

= (1100 1100 , 0010)2 = redosled izdvajanja klasa

( C C, 2 )16

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Kombinovani zadaci

1.6.Prevesti broj (12,6)10 u binarni brojni sistem korišćenjem tablice, sa tačnošću od četiri decimale, a zatim odrediti apsolutnu i relativnu grešku prevođenja.

Rešenje: posebno prevodimo celobrojni, a posebno

razlomljeni deo broja…

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Kombinovani zadaci

(12,6)10 = (1100 , 1001)2 Prevođenje se obavlja pomoću tabele, posebno celobrojni,

a posebno razlomljeni deo… (uraditi za domaći celobrojni deo)…

(0,8)10 x 2 = 1, 6

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Kombinovani zadaci

(12,6)10 = (1100 , 1001)2

23 22 2-1 2-4 Svaka cifra ima svoju težinu. Prevođenje u dekadi brojni sistem (1100 , 1010)2 = 1 * 23 + 1 * 22 + 1 * 2-1 + 1 * 2-4 = 12,5625

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Kombinovani zadaci

Greške se javljaju usled odbacivanja određenog broja cifara. Apsolutna greška je apsolutna vrednost razlike između tačne

i dobijene vrednosti broja. Apsolutna greška: ΔA =I 12,6 – 12,5625 I = 0,0375 Relativna greška je odnos apsolutne greške i tačne vrednosti,

izraženo u procentima (pomnoži se sa 100%) Relativna greška: ΔR = ( ΔA /12,6 )*100% = 0,2976%

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Predstavljanje negativnih brojeva

2.1. Negativne dekadne brojeve (-201)10, (-129)10 , (-87)10, predstaviti u obliku nepotpunog i potpunog komplementa u binarnom, heksadekadnom i oktalnom brojnom sistemu. Napomena: Na ispitu je neophodno da napišete celu tablicu za prevođenje brojeva. Deljenjem na klase se prevodi broj iz binarnog u oktalni i heksadekadni sistem. Tablice prevođenja morate da napišete sami. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


(-201)10 = (- 1100 1001)2 = (- C 9)16 = (- 3 1 1)8 Nepotpuni komplement (NK) Binarni brojni sistem “-” se predstavlja kao 1, Ostale cifre se dopunjavaju do jedan: 0 -> 1, 1 -> 0

(- 1100 1001)2 = (1 0011 )NK (1 0011 0110 )NK

Potpuni komplement (PK) Za sve sisteme Dodaje se 1 na poziciji najmanje težine

+ 1 (1 0011 0111 )PK

Kako se sabira u binarnom sistemu 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = (10)2

Authors

' com

plimen

tary c

opy


(-201)10 = (- 1100 1001)2 = (- C 9)16 = (- 3 1 1)8 Nepotpuni komplement (NK) Oktalni brojni sistem: “-” se predstavlja kao 7 Sve cifre se dopunjavaju do 7 0 -> 7, 1->6, 2->5, 3->4, 4->3, 5->2, 6->1, 7->0 (- 3 1 1)8 = (7 4 )NK (7 4 6 6 )NK


+ 1 (7 4 6 7 )PK

Kako se sabira u oktalnom sistemu 0+1 = 1 1+1 = 2 2+1 = 3 ... 7+1 = (10)8

Authors

' com

plimen

tary c

opy


(-201)10 = (- 1100 1001)2 = (- C 9)16 = (- 3 1 1)8 Nepotpuni komplement (NK) Heksadekadni brojni sistem: “-” se predstavlja kao F 0 -> F, 1 -> E, 2->D, 3->C, 4->B, 5->A, 6->9, 7->8, 8->7, 9->6, A->5, B->4, C->3, D->2, E->1, F->0 Sve cifre se dopunjavaju do F (čija je vrednost 15)

(- C 9)16 = (F 3 )NK (F 3 6 )NK


+ 1 (F 3 7 )PK

Kako se sabira u oktalnom sistemu 0+1 = 1 1+1 = 2 2+1 = 3 ... 9+1 = (A)16

A+1 = (B)16

... F+1 = (10)16

Authors

' com

plimen

tary c

opy


b) (-129)10 = (- 1000 0001)2 = (- 8 1)16 = (- 2 0 1)8

(- 8 1)16 = (F 7 E )NK

+ 1 (F 7 F )PK

(- 1000 0001)2 = (1 0111 1110 )NK

+ 1 (1 0111 1111 )PK

(- 2 0 1)8 = (7 5 7 6 )NK

+ 1 (7 5 7 7 )PK

Authors

' com

plimen

tary c

opy


c) (-87)10 = (- 101 0111)2 = (- 5 7)16 = (- 1 2 7)8

(- 5 7)16 = (F A 8 )NK

+ 1 (F A 9 )PK

(- 101 0111)2 = (1 010 1000 )NK

+ 1 (1 010 1001 )PK

(- 1 2 7)8 = (7 6 5 0 )NK

+ 1 (7 6 5 1 )PK

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Predstavljanje realnih brojeva

2.2. Predstaviti broj (+ 101,111)2 u nepokretnom zarezu (zapeti), sa po 1 bajtom za celobrojni i razlomljeni deo broja. Cifra najveće pozicije označava znak.

(+ 1 0 1 , 1 1 1 )2

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepokretna zapeta

2.3. Brojeve (0)10, (7)10, (-7)10, (32767)10, (-32767)10, (1)10, (-1)10, (AAAA)16, (-AAAA)16 predstaviti u formatu nepokretne zapete u 2 bajta (bez razlomljenog dela). Negativne brojeve predstaviti u obliku potpunog komplementa.

Napomena: binarni brojevi se prevode korišćenjem tablice !!!

1B = 8 b

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepokretna zapeta

Svaka „ćelija” ima svoju težinu.

215 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

(0)10 se predstavlja pomoću nula… (7)10 = (111)2 ali se dodaje odgovarajući broj vodećih nula.

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepokretna zapeta

(-7)10 = (-111)2 neophodno je da napravite potpuni komplement

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepokretna zapeta

(32767)10 = (0111111111111111)2 najveći označeni pozitivan broj

(-32767)10 = (1000000000000001)PK najveći označeni

negativan broj

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepokretna zapeta

(1)10 = (000000000000001)2 (-1)10 = (1111111111111111)PK

Authors

' com

plimen

tary c

opy

( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 )NK

+ 1

Nepokretna zapeta

(AAAA)16 = (1010 1010 1010 1010)2 (-AAAA)16

= (0101 0101 0101 0110)PK

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Množenje i deljenje pomeranjem sadržaja registra

2.4. Broj x = (10101)2 predstavljen je u formatu nepokretnog zareza u osmobitnom registru kao neoznačeni broj sa osam bitova, bez razlomljenog dela. Izračunati z=x*16, a zatim w=z:64 pomeranjem sadržaja registara.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


16 = 24 pa se pomera sadržaj registra za 4 pozicije ulevo

Javilo se prekoračenje. „Prazna“ mesta popunjavaju se nulama.

0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

Authors

' com

plimen

tary c

opy


64 = 26 pa se pomera sadržaj registra za 6 pozicije udesno Javilo se potkoračenje. Nedostajuće cifre sa leve strane popunjavaju se nulama Dobijeni rezultat je 1.

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Napomena: Nekada se u ovim zadacima traži relativna i apsolutna greška. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


2.5. Negativan dekadni broj (-135)10 , predstaviti u obliku nepotpunog i potpunog komplementa u binarnom, heksadekadnom i oktalnom brojnom sistemu.

Napomena: Na ispitu je neophodno da napišete celu tablicu za prevođenje brojeva. Deljenjem na klase se prevodi broj iz binarnog u oktalni i heksadekadni sistem. Tablice prevođenja morate da napišete sami. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


d) (-135)10 = (- 1000 0111)2 = (- 8 7)16 = (- 2 0 7)8

(- 8 7)16 = (F 7 8 )NK

+ 1 (F 7 9 )PK

(- 1000 0111)2 = (1 0111 1000 )NK

+ 1 (1 0111 1001 )PK

(- 2 0 7)8 = (7 5 7 0 )NK

+ 1 (7 5 7 1 )PK

Authors

' com

plimen

tary c

opy

2.6. U formatu sa pokretnom zapetom odrediti mantisu i eksponent i predstaviti sledeće brojeve u običnoj tačnosti: (8)10, (-8)10, (100)10, (-0,8)10

Napomena: Prevođenje binarnih brojeva obavlja se pomoću

tablice za celobrojni i razlomljeni deo….

Pokretna zapeta

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Predstavljanje realnih brojeva obična preciznost Broj se predstavlja u obliku: 1,f * 2E

8 = 23 = 1,0 * 23

Mantisa f = (0,0)10 = (0,0)2 Pomereni eksponent e = E+127 = 3+127 =(130)10 = (10 000 010)2

Znak z = 0, pošto je broj pozitivan (1 je ako je broj negativan)

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 Authors

' com

plimen

tary c

opy

Predstavljanje realnih brojeva obična preciznost

Broj se predstavlja u obliku: 1,f * 2E

- 8 = - 23 = - 1,0 * 23


Razlika ! Znak z = 1, pošto je broj negativan

1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 . . . 0 0 Authors

' com

plimen

tary c

opy

Predstavljanje realnih brojeva obična preciznost Broj se predstavlja u obliku: 1,f * 2E

100 = 1,5625 * 26


Znak z = 0, pošto je broj pozitivan

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 . . . 0

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...

Authors

' com

plimen

tary c

opy


oblik broja: 1,f * 2E

-0,8 = -1,6 /2 = -1,6 * 2-1 Mantisa f = (0,6)10

½=0.5, a to je 2-1 ¼ = 0.25, a to je 2-2 1/8 =0.125, a to je 2-3

0,2

1

0,4

0

0,8

0

0,6

1

0,2

1

0,4

0

0,8

0

0,6

1

0,2

1

= (0,1001 1001 1001 1001 1001 100)2

niz od 4 cifre koje se periodično ponavljaju - nama trebaju 23 cifre u mantisi, što znači 5 puta 1001 i još tri cifre 100, odnosno = (0,1001 1001 1001 1001 1001 100)2 Perioda ne mora da počne od prve cifre iza zareza (npr. kod 0,3) !

Authors

' com

plimen

tary c

opy


oblik broja: 1,f * 2E

-0,8 = -1,6 /2 = -1,6 * 2-1 Mantisa f = (0,6)10 = (0,1001 1001 1001 1001 1001 100)2

Pomereni eksponent e = E+127 = -1+127 =(126)10 = (01 111 110)2

Kako postoji 8 bitova za prikazivanje eksponenta, a dobili smo broj od 7 cifara, upisuje se vodeća nula !

Znak z = 1, pošto je broj negativan

0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 . . . 1 0 0

Ako Vas ne mrzi, napišite sve cifre broja u f delu !!!

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Osnovni stavovi prekidačke algebre Pravila za logičke operacije 1. Konstantne vrednosti

aa =+0 00=⋅a11=+a aa =⋅1

2. Ponovljene vrednosti

aaa =+ aaa =⋅3. Komplementarne vrednosti

1=+aa 0=⋅aa4. Dvostruko komplementiranje

aa=

Zakoni i teoreme

abba +=+abba ⋅=⋅2. Asocijativnost

1. Komutativnost

( ) ( ) cbacba ++=++( ) ( ) cbacba ⋅⋅=⋅⋅3. Distributivnost

( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅

( ) ( ) ( )cabacba +⋅+=⋅+

4. Zakon apsorpcije abaa =⋅+babaa +=+

5. De Morganove teoreme

baba +=⋅baba ⋅=+

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Algebarsko dokazivanje (minimizacija)

3.1. Dokazati primenom osnovnih stavova prekidačke algebre da u Bulovoj algebri važe sledeći zakoni apsorpcije: a b

AABA =+

BABAA +=+

Dokazivanje se ovde obavlja primenom pravila i zakona Bulove algebre !

Authors

' com

plimen

tary c

opy


a

A A B+ ⋅ =

(1 )A B= ⋅ + =

1A A B= ⋅ + ⋅ =

1A= ⋅ =

aa =⋅1

( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅

A=

1 1a+ =

1a a⋅ =

Authors

' com

plimen

tary c

opy


b

A A B+ ⋅ =aa =⋅1

1A A B= ⋅ + ⋅ =( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅

1=+aa

aaa =+( )A B B A B= ⋅ + + ⋅ =

A B A B A B= ⋅ + ⋅ + ⋅ =A B A B A B A B= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅

( ) ( )A B B B A A= ⋅ + + ⋅ + =1=+aa

1 1A B= ⋅ + ⋅ =aa =⋅1A B= +

Authors

' com

plimen

tary c

opy


3.2. Dokazati zakon generalnog sažimanja na identitetu:

CBACCBABAC +=++

Dokazati za domaći…. (slično primeru sa predavanja) Savet: „stvoriti“ C u drugom članu, a zatim izvući iz prva dva i poslednja dva člana zajedničke elemente.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


3.3. Dokazati da važi identitet:

1X Y X Y+ + ⋅ =

Authors

' com

plimen

tary c

opy


X Y X Y+ + ⋅ =

11=+a

1=+aa

a a b a b+ = +

Y X Y= + + =x x y+ =x y+

1 X= + =

1=Napomena: Ako izraz treba da ima vrednost 1, onda je neophodno samo nekako naći deo izraza čija je vrednost 1, pošto 1 + bilo_šta daje 1 !!

Authors

' com

plimen

tary c

opy



A B B C A B A B+ + ⋅ + ⋅ = +

Authors

' com

plimen

tary c

opy


(1 )

A B B C A B

A B C A

+ + ⋅ + ⋅ =

= + ⋅ + + =1A B= + ⋅ =

( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅

1a a⋅ =

A B= +

Authors

' com

plimen

tary c

opy



( ) ( )A B A C A B C+ ⋅ + = + ⋅

Savet: Pomnožiti članove u zagradama, a zatim izvući ispred zagrade zajedničke članove. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


( ) ( )A B A C+ ⋅ + =

A A A B A C B C= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =aaa =⋅

1 1x+ =

Množi se svaki sa svakim

A A B A C B C= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =Izvlači se A

(1 )A B C B C= ⋅ + + + ⋅ =

A B C= + ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy



1)()( =+++⋅+ CBCABA

Savet: Pomnožiti članove u zagradama, a zatim izvući ispred zagrade zajedničke članove. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


( ) ( )A B A C B C+ ⋅ + + + =

A B C B C= + ⋅ + + = x x y x y+ = +

b b c b c+ = +A B C C= + + + =

1=+aa1A B= + + =1=

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Isključivo ILI operacija (XOR, suma po modulu 2)

Važe sledeće jednakosti:

BABABA +=⊕

A B A B A B⊕ = +

1 A A⊕ =

Authors

' com

plimen

tary c

opy


3.7. Dokazati da važi identitet: AA =⊕1

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1 A⊕ = X Y X Y X Y⊕ = +

1 1A A= ⋅ + ⋅ =1 01 X X=⋅ =

0 A A= ⋅ + =0 0X⋅ =

A=

Authors

' com

plimen

tary c

opy


3.8. Dokazati da važi identitet: 212121 xxxxxx ⊕=⊕=⊕

Savet: Primeniti formulu za „isključivo ILI“ operaciju

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1 2x x⊕ =A B A B A B⊕ = +

1 2 1 2x x x x= + =1 2 1 2 1 2x x x x x x⊕ = +

1 2 1 2x x x x= + =

1 2x x⊕ =

A B A B A B⊕ = +

1 2 1 2 1 2x x x x x x⊕ = +

1 2 1 2x x x x= + =

1 2 1 2x x x x= + =

aa=Authors

' com

plimen

tary c

opy


1 2 1 2 1 2x x x x x x⊕ = + =

1 1 1 2 1 2 2 2x x x x x x x x= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

A B A B A B⊕ = +Komplementira se ceo izraz za „isključivo ili“ i primeni De Morganova formula

baba ⋅=+1 2 1 2x x x x= ⋅ = baba +=⋅

1 2( )x x= + ⋅ 1 2( )x x+ =0=⋅aa

1 2 1 2x x x x= ⋅ + ⋅Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y

Osnovne logičke operacije – logička kola

3.9. Algebarski dokazati da sledeće logičke šeme realizuju “isključivo ili” logičku funkciju. (a)

yAB

Authors

' com

plimen

tary c

opy


yAB

BABABAY ⊕=+=

BA

BAAuth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


yAB

BA+

BA+

( )( )Y A B A B= + + =

(b)

AA AB AB BB A B+ + + = ⊕Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


yAB

( )( )Y A B AB= + =

BA+

BA

(c)

( )( )A B A B A B+ + = ⊕Authors

' com

plimen

tary c

opy


yAB

Y AB A B AB A B= + = ⋅ =

AB

BA⋅ (d)

( ) ( )A B A B A B= + ⋅ + = ⊕

De Morganove formule !!!

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Kreiranje PDNF i PKNF

4.1. Funkcija je zadata tabelarno:

a) Napisati funkciju u obliku PKNF

b) Napisati funkciju u obliku PDNF

c) Algebarski odrediti minimalnu PDNF

formu funkcije.

1 2 3( , , )y x x x

Authors

' com

plimen

tary c

opy


(a) PKNF (potpuna konjunktivna normalna forma) je proizvod potpunih suma na vektorima na kojima funkcija y ima vrednost 0.

1x +

)()()()( 321321321321 xxxxxxxxxxxxyPKNF ++⋅++⋅++⋅++=

U potpunoj sumi promenljiva koja ima vrednost 0 je bez komplementa

1x + 2x + 3x1x +

2x +3x

1x + 2x + 3x

2x + 3x

0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

Authors

' com

plimen

tary c

opy


(b) PDNF (potpuna disjunktivna normalna forma) je suma potpunih proizvoda na vektorima na kojima funkcija y ima vrednost 1.

1x ⋅

U potpunom proizvodu promenljiva koja ima vrednost 1 je bez komplementa

1x ⋅ 2x ⋅ 3x

1x ⋅ 2x ⋅ 3x

1x ⋅2x ⋅ 3x

2x ⋅ 3x

0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 11 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3PDNFy x x x x x x x x x x x x= + + +Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


(c)

1 2 3 3 1 3 2 2( ) ( )x x x x x x x x= + + + =

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3MDNFy x x x x x x x x x x x x= + + + =

1 3 1 2x x x x= +

1 1

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

4.2. Realizovati mrežu za funkciju: a zatim izvršiti konverziju strukture mreže:

a) faktorizacijom (izvlačenjem zajedničkih činilaca)

b) tako da se mreža realizuje samo sa “NI” kolima.

Y A B C B C D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Y A B C B C D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅y

A

C

D

B

Mreža se realizuje identično mreži u prethodnom zadatku.

Crtaju se dva I kola, dovode na ulaze tri signala na svaki (promenljive A, B i C na ulaz prvog kola, odnosno B, C i D na ulaz drugog kola).

Izlazi kola se povezuju pomoću jednog ili kola.

A B C⋅ ⋅

B C D⋅ ⋅Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y

Sinteza mreža

Faktorizacija podrazumeva izvlačenje ispred zagrade zajedničkih članova ili delova izraza.

Y A B C B C D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ B C= ⋅ ⋅( )A D+

( )Y B C A D= ⋅ ⋅ +

ILI kolo

Tri člana množimo jednim I kolom (sa tri ulaza)

C

A D+

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Y A B C B C D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

Mreža se realizuje pomoću NI kola tako što se funkcija u PDNF ili DNF formi (suma potpunih proizvoda ili suma proizvoda) dva puta komplementira !!!

A B C B C D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

Dva puta komplementiramo CEO izraz

A B C B C D= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Primeni se De Morganova formula da se eliminiše + između izraza

Dalje se izrazi ne diraju !!!

x y x y+ = ⋅

ABC BC D ABC BC D+ = ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Y ABC BC D= ⋅

y

A

C

D

B

Šta smo dobili ?

NI kolo NI kolo

NI kolo

21 xxY ⋅=NI kolo

A B C⋅ ⋅

B C D⋅ ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

4.3. Projektovati pomoću elemenata «isključivo ili» logičku mrežu za generisanje bita parnosti za četiri promenljive.

Napomena: do sada ste imali tablicu ili opis funkcije.

U ovom zadatku samostalno kreirate tabelu !!!!

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Tabelu kreirati sami – definišete sve kombinacije promenljivih A, B, C, D (četiri promenljive).

0110

Bit parnosti (parna parnost)

Y ima vrednost takvu da je ukupan broj jedinica paran (ako se posmatra A, B, C, D i Y).

Nula se posmatra kao paran broj.

100110010110

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Na osnovu tabele pravimo PDNF ! Y = A BC D + A BCD + ABC D + ABCD +

ABC D+ +ABCD +ABCD +ABCD

Sada je neophodno odrediti minimalnu formu funkcije faktorizacijom (izvlačenjem ispred zagrade) !

Savet: posmatrati i udruživati susedne članove, a zatim izvlačiti članove sa zajedničkim članovima u „zagradama“

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Y A B C D A B C D A B C D A B C D

A B C D A B C D A B C D A B C D

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

A B= ⋅ ⋅

( )A B= ⊕ ⋅

A B⋅ ⋅

(C D⋅ + )C D⋅ +

(C D⋅ +

A B⋅ ⋅ (C D⋅ + )C D⋅ +

)C D⋅ + A B⋅ ⋅(C D⋅ + )C D⋅ =( )A B A B= ⋅ + ⋅ ⋅ ( )C D C D⋅ + ⋅ + ( )C D C D⋅ + ⋅ =( )A B A B⋅ + ⋅ ⋅

X Y X Y X Y⊕ = ⋅ + ⋅X Y X Y X Y⊕ = ⋅ + ⋅

( ) ( )A B C D= ⊕ ⊕ ⊕

( )C D⊕ + ( )A B⊕ ⋅( )C D⊕ =Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Izgled logičkog kola: A B⊕

C D⊕

Y

Za domaći: uraditi ovo isto, samo za bit neparnosti (neparnu parnost) – Y je takvo da ukupan broj jedinica bude neparan (tamo gde su nule kod bita parnosti, kod bita neparnosti su jedinice).

( ) ( )Y A B C D= ⊕ ⊕ ⊕

( ) ( )Y A B C D= ⊕ ⊕ ⊕ A B⊕

C D⊕

YAuthors

' com

plimen

tary c

opy

Standardni tablični metod (tablična tehnika)

4.4. Komisija od 3 člana glasa o izboru kandidata pritiskom na taster. Izbor članova prikazan je logičkim promenljivama A, B i C, a rezultat izbora funkcijom y. Formirati prekidačku mrežu za funkciju y, kojom se pali lampa u slučaju izbora. Primeniti standardni tablični i Quine-McClusky metod.

Napomena: Samostalno kreirate tabelu !!!

Authors

' com

plimen

tary c

opy


0

1

Kada dva ili tri člana komisije glasa za kandidata, tada je y=1.

A, B i C imaju vrednost 1 kada član glasa za kandidata.

00

0111

A B C⋅ ⋅A B C⋅ ⋅

A B C⋅ ⋅A B C⋅ ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy


A B C⋅ ⋅ +A B C⋅ ⋅ +A B C⋅ ⋅ +A B C⋅ ⋅PDNFy =

Štikliramo članove koji su u PDNF

Prešvrljamo ostale neštikli-rane vrste

Po kolonama štikliramo sve članove precrtane po vrstama

Authors

' com

plimen

tary c

opy


A B C⋅ ⋅ +A B C⋅ ⋅ +A B C⋅ ⋅ +A B C⋅ ⋅PDNFy =

Iz svake vrste biramo najjedno-stavniji izraz (po mogućnosti neki koji je već prethodno uzet)

A B⋅ + A B⋅ +MDNFy =

A B⋅A B⋅A C⋅

B C⋅

A C⋅ + B C⋅ = A B A C B C⋅ + ⋅ + ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy


MDNFy = A B A C B C⋅ + ⋅ + ⋅ Crtamo logičko kolo Postoje tri poizvoda (I kolo), koja su „sabrana“ (jedno ILI kolo)

A B⋅

B C⋅

A C⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy

McClusky metod

Indeksi na kojima funkcija ima vrednost 1 grupišu u grupe prema broju jedinica i formira tablica indeksa

Grupišemo indekse: Sa nula jedinica: nema Sa jednom jedinicom: nema Sa dve jedinice: 3, 5 i 6 Sa tri jedinice: 7 Pravimo tablicu indeksa. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y

McClusky metod Tablica indeksa

3 0 0 1 1 7 0 1 1 1 Formira se nova tabela i u njoj element nastao sažimanjem 3,7 0 x 1 1 na mestu razlikovanja piše se x, a štikliraju 3 i 7 u prethodnoj tabeli

Sažimamo indekse: Posmatramo indekse koji pripadaju susednim grupama i pronalazimo one koji se razlikuju na samo jednoj poziciji Nakon što ne može više da ništa sažme u prve dve grupe, prelazi se na posmatranje ostali grupa (tabela)

Authors

' com

plimen

tary c

opy

McClusky metod Tablica indeksa

Nastavlja se poređenje u drugom koraku, sve dok mogu da se sažimaju članovi ili dok ne dođemo do 1 grupe. Ostala je 1 grupa => to je kraj !

Posmatraju se svi neštiklirani indeksi (prosti implikanti) i označavaju slovima.

a b c

Pravi se tablica pokrivanja, da bi se odredili bitni prosti implikanti.

Authors

' com

plimen

tary c

opy

McClusky metod Tablica pokrivanja

Vrste su prosti implikanti (dobijeni u prethodnom koraku), a kolone su indeksi na kojima funkcija ima vrednost 1.

*

U tabelu se unose zvezdice * u kolone u kojima su indeksi za implikante. Npr. a je nastala od 3 i 7.

* * *

* *

Zaokružuju se „zvezdice“ koje su „same“ u koloni. Oni implikanti koji imaju takve „zvezdice“ su bitni prosti implikanti, koji se moraju uključiti u minimalnu formu.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


* * * *

* *

Označi se implikant koji ima „zvezdicu“ samu u koloni. Precrtaju se sve kolone u kojima taj član ima zvezdicu.

a „pokriva“ 3 i 7. b „pokriva“ 5 i 7. c „pokriva“ 6 i 7. Svi indeksi moraju biti „pokriveni“ (sve kolone precrtane).

Authors

' com

plimen

tary c

opy


* * * *

* *

Minimalna forma je suma bitnih prostih implikanata.

y a b c= + + =Minimalna forma: B C⋅ +

a x 1 1 x znači - promenljiva se ignoriše 1 znači – promenljiva BEZ komplementa 0 znači – promenljiva SA komplementom

A C⋅ + A B⋅

Zaključak: Dobili smo isti rezultat kao prilikom primene standardne tablične tehnike.

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Quine–McCluskey metod za kreiranje minimalne forme funkcije

5.1. Izvršiti McCluskey metodom minimizaciju prekidačke funkcije date skupom decimalnih indeksa:

)15,14,13,12,11,9,3,2(),,,( 4321)1( =xxxxf

0 0 1 00 0 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Tablica indeksa

Prvi korak Drugi korak Treći korak

Nije moguće sažimanje indeksa u prve dve grupe.

Zato posmatramo drugu i treću grupu.

Svi preostali neštiklirani prosti implikanti se označavaju.

A B

C C D D

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Tablica pokrivanja

* * * *

* * * * * * * *

Minimalna forma: y A C D= + + = 1 2 3 1 4 1 2x x x x x x x⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

1 2 3A x x x= ⋅ ⋅

1 4C x x= ⋅

1 2D x x= ⋅

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Karnaugh metod za kreiranje minimalne forme funkcije

5.2. Naći pomoću Karnaugh-ove mape sve minimalne DNF funkcije od 4 promenljive zadate skupom decimalnih indeksa na sledeći način:

)15,14,10,7,3,2(),,,( 4321)1( =xxxxf

Pišu se decimalni indeksi u binarnom obliku. Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


11 1

111

Zaokružuje se jedna jedinica ili paran broj jedinica (2, 4, 8 ili 16) u pravilnim geometrijskim oblicima (pravougaonik ili kvadrat). Susedne strane su i one koje su naspramne. Susedne ćelije su i one koje se nalaze u uglovima mape.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


11 1

111

Prva varijanta zaokruživanja

U svakoj grupi se gleda koja promenljiva NE MENJA vrednost. 0 znači da je promenljiva sa komplementom, a 1 da je promenljiva bez komplementa!

MDNFy = 1 2 3x x x⋅ ⋅ + 2 3 4x x x⋅ ⋅ + 1 3 4x x x⋅ ⋅Authors

' com

plimen

tary c

opy


11 1

111

Druga varijanta zaokruživanja

U svakoj grupi se gleda koja promenljiva NE MENJA vrednost. 0 znači da je promenljiva sa komplementom, a 1 da je promenljiva bez komplementa!

MDNFy = 1 3 4x x x⋅ ⋅ + 1 2 3x x x⋅ ⋅ + 2 3 4x x x⋅ ⋅Authors

' com

plimen

tary c

opy


5.3. Četiri bolesnika (x1, x2, x3, x4) mogu da pozivaju dve dežurne sestre S1 i S2. Svaka od njih može da odgovori na bilo koji poziv, ali bolesnici x1 i x2 ne žele usluge sestre S1. Odrediti funkciju mreže koja aktivira alarm dežurnom lekaru u slučaju da sestre nisu u mogućnosti da odgovore na poziv.

Tabelu samostalno kreiramo.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


Tabela xi ima vrednost 1 ako i-ti bolesnik poziva pomoć. y ima vrednost 1 ako je neophodno da se pozove lekar.

0

1

000000

00011

Neophodno je zvati dežurnog lekara zato što oba bolesnika ne žele usluge sestre S1 1

11

Authors

' com

plimen

tary c

opy


1 1

11

11

MDNFy = 1 3 4x x x⋅ ⋅ + 2 3 4x x x⋅ ⋅ + 1 2x x⋅Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepotpuno definisane funkcije

5.4. Izvršiti minimizaciju nepotpuno definisane funkcije koja je data skupom decimalnih indeksa: McCluskey metodom i Karnaugh-ovim mapama.

)14,8,5,2,1,0(),,,( 4321)1( =xxxxf

)13,10,4(),,,( 4321)( =xxxxf X

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepotpuno definisane funkcije Karnaugh metod: Kod nepotpuno definisane funkcije Karnaugh-ove mape se popunjavaju sa jedinicama i x-ovima.

11

1

11

1

X

X

X

Sve jedinice moraju da budu zaokružene bar jednom, dok x-ovi mogu da se pridruže tamo gde je moguće formirati veću ćeliju.

Authors

' com

plimen

tary c

opy


11

1

11

1

X

X

X

Sve jedinice moraju da budu zaokružene bar jednom, dok x-ovi mogu da se pridruže tamo gde je moguće formirati veću ćeliju.

MDNFy = 1 3x x⋅ + 1 3 4x x x⋅ ⋅ + 2 4x x⋅Auth

ors' c

ompli

mentar

y cop

y


Kod minimizacije nepotpuno definisane funkcije primenom McCluskey metode: u tablici indeksa se koriste decimalni indeksi nedefinisanih stanja, ali se NE koriste u tablici pokrivanja.

Članovi druge i treće grupe ne mogu da se sažimaju, pa je to kraj poređenja !

A B

C

C D

D

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Nepotpuno definisane funkcije Tablica pokrivanja (NE STAVLJAJU se indeksi koji odgovaraju NEDEFINISANIM stanjima)

y B= +

Minimalna forma funkcije:

* *

* * * * * *

C + D = 1 3 4x x x⋅ ⋅ + 1 3x x⋅ + 2 4x x⋅

Za domaći: nacrtati logičko kolo

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza pomoću NILI kola

5.5. Odrediti minimalnu formu potpuno definisane funkcije Realizovati logičku mrežu pomoću NILI kola.

)15,14,13,11,7,5,3,1(),,,( 4321)1( =xxxxf

Authors

' com

plimen

tary c

opy

PKNF

Pošto se zahteva realizacija pomoću NILI kola, pogodnije je obaviti minimizaciju za slučaj PKNF (kada se traži realizacija sa NI kolima koristi se PDNF – to smo radili prošli put). Kod PKNF Karnaugh-ova karta se popunjava NULAMA i zaokružuju se nule.

)12,10,9,8,6,4,2,0(),,,( 4321)0( =xxxxf

)15,14,13,11,7,5,3,1(),,,( 4321)1( =xxxxf

Authors

' com

plimen

tary c

opy

PKNF

0

0

0

0

00

0

0

3 4x x+

1 2 3x x x+ +

2 4x x+

1 4x x+


1 4 2 4 1 2 3 3 4( ) ( ) ( ) ( )MKNFy x x x x x x x x x= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

Authors

' com

plimen

tary c

opy

PKNF


1 4 2 4 1 2 3 3 4( ) ( ) ( ) ( )MKNFy x x x x x x x x x= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

1 4 2 4 1 2 3 3 4( ) ( ) ( ) ( )MKNFy x x x x x x x x x= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

Dva puta se komplementira, i jedan komplement iskoristi za De Morganovu teoremu:

1 4 2 4 1 2 3 3 4x x x x x x x x x= + + + + + + + +

x y x y⋅ = +

NILI kolo

NILI kolo

NILI kolo

NILI kolo

NILI kolo

Authors

' com

plimen

tary c

opy

PKNF

1 4 2 4 1 2 3 3 4( ) ( ) ( ) ( )MKNFy x x x x x x x x x= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

1 4 2 4 1 2 3 3 4x x x x x x x x x= + + + + + + + +

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

5.6. Projektovati mrežu za uključivanje segmenta f sedmosegmentnog displeja.

Obavlja se sinteza u obliku nepotpuno definisane funkcije ! Gleda se za koje brojke se pali segment f. Samostalno se kreira tabela. Za cifre 10-15 u tabeli piše se X (nedelfinisano stanje).

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Segment f se pali za brojeve 0, 4, 5, 6, 8 i 9. Tada funkcija ima vrednost 1. Na indeksima 10-15 nije definisana. Ostali indeksi imaju vrednost 0.

01

00111011XXXXXX

Authors

' com

plimen

tary c

opy

Sinteza mreža

Segment f se pali za brojeve 0, 4, 5, 6, 8 i 9. Tada funkcija ima vrednost 1. Na indeksima 10-15 nije definisana. Ostali indeksi imaju vrednost 0.

01

00111011XXXXXX

1 1

1

1 X

X

X 1

1X

X

X

f A= + C D⋅ +BD+ BC

Authors

' com

plimen

tary c

opy

godina/predmeti...predstavljanje realnih brojeva obična preciznost. oblik broja: 1,f * 2 e -0,8 =...

Documents