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Triangles Gog et Magog
Philippe Biane
Ecole Polytechnique
12 avril 2017
Philippe Biane Gog et Magog
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Determinants∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
det(aij) =∑p∈Pn
ε(p)∏ij
apijij
Pn est l’ensemble des matrices de permutation
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L’identite de Jacobi∣∣∣∣∣∣∣∣• • • •• • • •• • • •• • • •
∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣∣∣∣∣. . . .. • • .. • • .. . . .
∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣
• • • .• • • .• • • .. . . .
∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣∣∣∣∣. . . .. • • •. • • •. • • •
∣∣∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣∣∣. • • •. • • •. • • •. . . .
∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣∣∣∣∣
. . . .• • • .• • • .• • • .
∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc
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L’algorithme de Lewis Carroll
Il permet de calculer un determinant d × d en ne calculant que desdeterminants 2× 2.
Exemple
1 4 6 0
2 1 −3 1
3 2 1 5
3 2 2 0
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I on initialise deux matrices:
A =
1 4 6 0
2 1 −3 1
3 2 1 5
3 2 2 0
B =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
I
1 4 6 0−7/1
2 1 −3 1
3 2 1 5
3 2 2 20
1 1 1
11 1 1
1 1 1
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I on initialise deux matrices:
A =
1 4 6 0
2 1 −3 1
3 2 1 5
3 2 2 0
B =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
I
1 4 6 0−7/1
2 1 −3 1
3 2 1 5
3 2 2 20
1 1 1
11 1 1
1 1 1
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I
1 4 6 0−7 −18 6
2 1 −3 11 7 −16
3 2 1 50 2 −10
3 2 2 0
1 1 1
1 −31 1 1
2 11 1 1
I −7 −18 6
1 7 −16
0 2 −10
1 −3
2 1
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I
1 4 6 0−7 −18 6
2 1 −3 11 7 −16
3 2 1 50 2 −10
3 2 2 0
1 1 1
1 −31 1 1
2 11 1 1
I
−7 −18 6
1 7 −16
0 2 −10
1 −3
2 1
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I −7 −18 6
−31 −821 7 −16
1 −380 2 −10
1 −3
72 1
I −31 −82
1 −38
(7)
I
det(A) =(−31).(−38)− (1).(−82)
7= 180
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I −7 −18 6
−31 −821 7 −16
1 −380 2 −10
1 −3
72 1
I −31 −82
1 −38
(7)
I
det(A) =(−31).(−38)− (1).(−82)
7= 180
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I −7 −18 6
−31 −821 7 −16
1 −380 2 −10
1 −3
72 1
I −31 −82
1 −38
(7)
I
det(A) =(−31).(−38)− (1).(−82)
7= 180
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On peut appliquer cet algorithme a une matrice
M = (Mij)
dont les coefficients sont des indeterminees.
Le resultat est un polynome.
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Le λ-determinant
Invente par David Robbins en 1983.
Dans l’algorithme de L. Carroll on remplace∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc
par ∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣λ
= ad + λbc
Le resultat est surprenant: c’est un polynome de Laurent en lescoefficients de la matrice.
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∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣λ
= a11a22a33 + λ2a12a23a31 + λ2a13a21a32
+λa11a23a32 + λa12a21a33 + λa13a22a31
+λ(1 + λ)a12a21a23a32a22
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Theoreme:
(Mills, Robbins, Rumsey)
detλ(A) =∑
M∈ASM(d)
(1 + λ)s(M)λi(M)∏ij
AMij
ij
La somme porte sur l’ensemble des matrices a signes alternants quisont a coefficients dans {−1, 0, 1}
i(M)=nombre d’inversions.s(M)=nombre de −1.
C’est un exemple du “phenomene de Laurent”, au coeur de latheorie des algebres amassees.
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Matrices a signes alternants
I Matrices a coefficients dans {−1, 0, 1}0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0
I dans chaque rangee et chaque colonne, les 1 et les −1alternent, en commencant et terminant par 1.
11 −1 1
11
1
En particulier, les ASM sans coefficient −1 sont lespermutations.
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Matrices a signes alternants
I Matrices a coefficients dans {−1, 0, 1}0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0
I dans chaque rangee et chaque colonne, les 1 et les −1
alternent, en commencant et terminant par 1.1
1 −1 11
11
En particulier, les ASM sans coefficient −1 sont lespermutations.
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Modeles de lacets compacts / Modele a six sommets
• • • • • •
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Triangles Gog
I Une ASM 0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0
I Sommes partielles sur les colonnes1 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 0 00 0 1 0 0
Un seul 1 par ligne
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Triangles Gog
I Une ASM 0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0
I Sommes partielles sur les colonnes
1 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 0 00 0 1 0 0
Un seul 1 par ligne
Philippe Biane Gog et Magog
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1 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 0 00 0 1 0 0
On note les positions des 1
1 2 3 4 51 2 3 5
2 3 42 3
3
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1 2 3 4 51 2 3 5↘ 2 3 4 ↗
2 33
I Triangle Gog = triangle de Gelfand-Tsetlin = les lignes sontentrelacees
I strictement croissant sur chaque ligne
I la ligne du haut est 1, 2, 3, . . . , n.
Philippe Biane Gog et Magog
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1 2 3 4 51 2 3 5↘ 2 3 4 ↗
2 33
I Triangle Gog = triangle de Gelfand-Tsetlin = les lignes sontentrelacees
I strictement croissant sur chaque ligne
I la ligne du haut est 1, 2, 3, . . . , n.
Philippe Biane Gog et Magog
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1 2 3 4 51 2 3 5↘ 2 3 4 ↗
2 33
I Triangle Gog = triangle de Gelfand-Tsetlin = les lignes sontentrelacees
I strictement croissant sur chaque ligne
I la ligne du haut est 1, 2, 3, . . . , n.
Philippe Biane Gog et Magog
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Enumeration des matrices a signes alternants
Le nombre de matrices a signes alternants de taille n est
An =n−1∏j=0
(3j + 1)!
(n + j)!
An = 1 2 7 42 429 7436 218348
Conjecture par Mills, Robbins, Rumsey (1986).
Demontre par D. Zeilberger (1995).
Il y a d’autre preuves par G. Kuperberg, I. Fischer . . .
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Partitions
Ce sont des empilements de carres dans un coin.
8 = 4 + 3 + 1
Enumeration (formule d’Euler):
∑λ∈P
q|λ| =∞∏n=1
1
(1− qn)= 1 + q + 2q2 + 3q3 + 5q4 + 7q5 + . . .
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Partitions planes
Ce sont des empilements de cubes dans un coin.
Formule de Mac Mahon
∑π∈PP
q|π| =∞∏n=1
1
(1− qn)n= 1 + q + 3q2 + 6q3 + . . .
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Partitions planes totalement symetriques, auto-complementaires
Partitions planes, avec toutes les symetries de l’hexagone, etegales a leur complementaire dans le cube.
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Les TSSCPPs sont codees par des chemins non intersectants.
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On peut utiliser la methode de Lindstrom Gessel Viennot pourcalculer le nombre de ces chemins sous la forme d’un determinantde coefficients binomiaux.
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Enumeration des TSSCPP
Bn =n−1∏j=0
(3j + 1)!
(n + j)!
Bn = 1 2 7 42 429 7436 218348
Bn = An
G. Andrews, 1994
Probleme: trouver une preuve bijective.
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Proofs and confirmations.The story of the alternating sign matrix conjecture.
de David M. Bressoud
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Triangles Magog
1 1 2 2 4 ≤ 51 1 2 3 ≤ 4↘ 1 1 3 ↗ ≤ 3
1 2 ≤ 21 ≤ 1
Ils codent les TSSCPPs.
1
1
2
1
2
1
1 1 21 2
1
Probleme: trouver une bijection entre triangles Gog et Magog.
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 34: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/34.jpg)
1 2 3 4 51 2 3 5
2 3 42 3
3
Triangles Gog: strictement croissants sur chaque rangee, la rangeedu haut est 1, 2, 3, . . . , n.
1 1 2 2 4 ≤ 51 1 2 3 ≤ 4
1 1 3 ≤ 31 2 ≤ 2
1 ≤ 1
Triangles Magog
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 35: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/35.jpg)
1 2 31 2
1
1 2 31 3
1
1 2 31 2
2
1 2 31 3
2
1 2 31 3
3
1 2 32 3
2
1 2 32 3
3
Triangles Gog
1 1 11 1
1
1 1 21 1
1
1 1 31 1
1
1 1 21 2
1
1 1 31 2
1
1 2 21 2
1
1 2 31 2
1
Triangles Magog
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 36: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/36.jpg)
Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler, 1596
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 37: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/37.jpg)
Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler, 1596
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 38: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/38.jpg)
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 39: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/39.jpg)
Trapezes Gog et Magog.
Les k diagonales SO-NE (a droite) d’un triangle Gog (ou Magog)forment un trapeze.
3 4 52 3 5
2 3 42 3
3
2 2 41 2 3
1 1 31 2
1
Trapezes Gog et Magog de taille (5, 3).
D’apres Zeilberger (1995), pour chaque (n, k) les trapezes Gog etMagog sont equienumeres.
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 40: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/40.jpg)
StatistiquesGog
1 2 3 4 51 2 3 5
2 3 42 3
3
Magog
1 1 2 2 41 1 2 3
1 1 31 2
1
1 + 1 + 2 + 2 + 4− (1 + 1 + 2 + 3) = 3
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 41: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/41.jpg)
Completion d’un triangle Gog
1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 7
1 2 3 4 71 2 4 7
1 4 74 7
4
Completion d’un triangle Magog
1 1 1 3 41 1 1 4
1 1 11 1
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 42: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/42.jpg)
On peut trouver une bijection qui preserve les statistiques:
si a < c
a bc
−→ a ba + b − c
sinon
a ba
−→ a b − 1b − 1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 43: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/43.jpg)
La bijection est obtenue en deux etapes:1.
a bc
→ a bc
a < c
ou
a ba
→ a b − 1a
2.
a bc
→ a ba + b − c
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 44: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/44.jpg)
Generalisation
1 amene a considerer les inversions.
2 amene a considerer l’involution de Schutzenberger.
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 45: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/45.jpg)
L’Involution de Schutzenberger
•• •
a c
x• •
b d
•• •
•• •
a c
a ∨ b − x + c ∧ d•
•
b d
•• •
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 46: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/46.jpg)
On applique cette transformation dans la rangee i
1 1 2 2 41 1 2 3
1 1 3rangee 2 → 1 2
1
c’est si
L’involution de Schutzenberger est
S = (s1s2s3 . . . sn−1)(s1s2 . . . sn−2) . . . (s1s2)s1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 47: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/47.jpg)
Inversions d’un triangle Gog
1 2 3 4 5 6
1 2 3 5 6
1 2 5 6
2 4 5
2 5
2
Pour les permutations ce sont exactement les inversions de lapermutation
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 48: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/48.jpg)
La bijection: on part d’un triangle Magog
I Etape 1: pour chaque inversion, on enleve 1 aux coefficients
au nord-est.
∗ ∗ ∗ b
a
b − 1
a− 1
∗∗ x ∗∗ x ∗∗ ∗∗
I Etape 2: on applique Schutzenberger
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 49: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/49.jpg)
La bijection: on part d’un triangle Magog
I Etape 1: pour chaque inversion, on enleve 1 aux coefficients
au nord-est.
∗ ∗ ∗
b
a
b − 1
a− 1
∗∗ x ∗∗ x ∗∗ ∗∗
I Etape 2: on applique Schutzenberger
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 50: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/50.jpg)
La bijection: on part d’un triangle Magog
I Etape 1: pour chaque inversion, on enleve 1 aux coefficients
au nord-est.
∗ ∗ ∗
b
a
b − 1
a− 1
∗∗ x ∗∗ x ∗∗ ∗∗
I Etape 2: on applique Schutzenberger
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 51: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/51.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
5
3
4
42
3
31
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 52: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/52.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
5
3
4
42
3
31
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 53: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/53.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
5
3
4
42
3
31
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 54: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/54.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
5
3
4
42
3
31
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 55: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/55.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
5
3
4
4
2
3
31
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 56: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/56.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
5
3
4
4
2
3
31
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 57: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/57.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
53
4
4
2
3
3
1
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 58: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/58.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
53
4
4
2
3
3
1
3
31 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 59: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/59.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
53
4
42
3
3
1
3
3
1 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 60: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/60.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
53
4
42
3
3
1
3
3
1 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 61: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/61.jpg)
cela marche pour les trapezes (n, 1):
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
2
1
1
2
4
5
53
4
42
3
31
3
3
1 1 1 1 3
1 1 1 2
1 1 2
1 2
1
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 62: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/62.jpg)
On peut modifier cette bijection pour les trapezes (n, 2).
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 63: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/63.jpg)
Triangles GOGAm
Ce sont les images par Schutzenberger des triangles Magog.
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 64: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/64.jpg)
Pentagones
on les extrait en prenant des diagonales a droite, a gauche et leslignes du bas.
1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 5 6 7 8 9
1 3 4 5 6 7 91 3 4 6 8 9
2 3 5 6 83 4 6 7
3 5 64 6
5
Un (9, 4, 6, 7) pentagone Gog
Philippe Biane Gog et Magog
![Page 65: Gog et Magog - RÉMYbremy.perso.math.cnrs.fr/X_ELEVES_2017.pdfOn peut appliquer cet algorithme a une matrice M = (M ij) dont les coe cients sont des ind etermin ees. Le r esultat est](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042319/5f08b1417e708231d4234263/html5/thumbnails/65.jpg)
Conjecture:
Les pentagones Gog et GOGAm de la meme taille sontequienumeres.
Philippe Biane Gog et Magog
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Preuves pour les trapezes avec deux diagonales:a droite:
4 5
4 5
3 4
1 3
2
Philippe Biane Gog et Magog
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ou a gauche:
1
1
1
2
3
3
3
2
2
4
4
4
4
Philippe Biane Gog et Magog
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Merci de votre attention
Philippe Biane Gog et Magog