golden elin i en
TRANSCRIPT
Horst Steibl 1
Die goldenen Linien auf dem Geobrett und das ägyptische Dreieck
Horst Steibl, TU Braunschweig
GDM-Tagung Berlin 2007
Wie Tim und Tom, die Winkelwichtel, helfen, den Durchblick zu behalten
Horst Steibl 2
Die Aufgabe:
Falten Sie in einem quadratischen Blättchen die gezeichneten Linien exakt durch Punkt-auf-Punkt-Faltung und beweisen Sie, dass die gefärbten Dreiecke ägyptische Dreiecke sind.
Erlaubte Hilfsmittel: Winkelsumme im Dreieck, Strahlensätze, Ähnlichkeit,
A B
C
PM
Q
L
Horst Steibl 3
Die Diagonale im Doppelquadrat
Halbiere das Quadrat längs einer Mittellinie. Du erhältst zwei Rechtecke, deren lange Seiten doppelt so lang sind wie die kurzen. Man bezeichnet es auch als Doppelquadrat.
In Jedem Rechteck gilt:
Um die Diagonale zu falten, faltet man zunächst die Mittelsenkrechte der Diagonale. Bringt man dann die Endpunkte dieser Faltlinie aufeinander, so erhält man die Diagonale.
Die diagonale Raute im Rechteck
B
S
M
P
Horst Steibl 4
Die goldenen Linien im Quadrat
Dies Verbindungslinie eine Seitenmitte des Quadrates mit einem nicht benachbarten Eckpunkt bezeichne ich als goldene Linie im Quadrat.
Berechnet man die Länge dieser Strecke im Einheitsquadrat , so ergibt sich:
1²
(1/2)²
5/4
g = ½*5
= ½ + ½*5
Somit lässt sich hiermit die Konstante des goldenen Schnittes konstruieren
= 1,618...
Horst Steibl 5
Das 3. Elementardreieck
Dieses Dreieck, dessen Katheten im Verhältnis 1 : 2 stehen heißt auch nach Platon: Elementardreieck Nr 3
Man kann sie zum Quadrat mit Loch umlegen und damit etwa ausgehen vom 10 * 10 Quadrat die Länge von g elementar berechnen ~:
5,2 cm 2,3 cm
A = (1 + ¼)Beim Versuch, solche Quadrate mit Loch zu legen (es gibt noch eine 2. Möglichkeit), kann sich folgendes ergeben:
Horst Steibl 6
Das goldene Rechteck
5,2 cm 2,3 cm
4,6 cm
Es entsteht ein Rechteck mit Loch, dessen Seiten im Verhältnis des goldenen Schnittes stehen. Für das Loch gilt das gleiche.
Hans Walser´s
goldene Spirale
Horst Steibl 7
Figuren aus vier Dreiecken
Grundfiguren:
Quadrat, Rechteck.
Raute, Trapez
ParallelogrammSpiegelachsen
Figuren mit Loch
Drehsymmetrie
Horst Steibl 8
Die Knautsche Figur
Zeichnet (oder faltet) man alle 8 goldenen Linien im Quadrat, so entsteht eine ansprechende Sternfigur: die
Knaut´sche Figur
5,2 cm 2,3 cm
4,6 cm
Wie viele goldene Linien
sind das?
Horst Steibl 9
Die Knaut´sche Figur auf dem Geobrett
Horst Steibl 10
Das Parallelogramm und der Drachen als erzeugende Elemente der Knaut´schen Figur
Horst Steibl 11
Vierecke aus den goldenen Linien
1/5 1/3 1/4
1 – 3* 1/8 – 2* 4/20 = 9/40
½ - 1/12 –3/20= 4/15
½ - 1/12 –1/8 = 7/24
Horst Steibl 12
Diagonalen des Rechtecks
Es gibt drei Klassen von Schnittpunkten
Schnittpunkte
In welchem Verhältnis schneiden sich diese
goldenen Linien hier ?
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
x
y
Die Diagonalen im Trapez teilen einander im Verhältnis der parallelen Seiten
Das Verhältnis heißt hier 1 : 2
Der Punkt drittelt jede Querlinie , die von einer Seite zur Gegenseite geht
Damit können wir das Blatt in 9
Quadrate zerlegen-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
x
y
1
2
Der Drittelpunkt
Horst Steibl 13
g1 und g2 schneiden sich im rechten Winkel
5
10
5
10
1 2
4Im rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die Hypotenuse dieses in zwei zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke
Sie teilt diese im Verhältnis der Quadrate der Katheten
3
Der Fünftel-Punkt
Falten Sie ein 5 + 5 Feld ohne aufzurollen! Nicht durch den Punkt, sondern auf den Punkt falten
3
4
5 Damit haben wir gezeigt, dass diese 3 g-Linien ein ägyptisches Dreieck bestimmen. Später dazu mehr.
Horst Steibl 14
Die Höhe im rechtwinkligen Dreieck
Der Höhensatz lautet:h² = p * q
q² + h² = a²; p² + h² = a²
q² + p*q = a²P² + p*q = b²
q(q + p) = a²p(p + q) = b²
q : p = a² : b²
Horst Steibl 15
Das 25-er Feld
2´ 3´2´ 3´4
4
Der Schnittpunkt bestimmt lotrecht einen 2-er-
Streifen und einen 3-er-Streifen.
Halbiere zuerst den 2-er-Streifen
Nun hast du ein Feld, das 4 Streifen breit ist. Halbiere dieses. Du bekommst zwei 2-er-Streifen. Halbiere zunächst den äußeren. Als letztes knickst du die Linie durch den Teilungspunkt (4-er-Streifen halbieren)!
Quer: Halbiere die Viererstreifen; dann den unteren 2-er-Streifen. Falte von oben auf die unteren Knick(4=2 +2). Halbiere den untere 2.er-Streifen. Die letzte Faltlinie geht wieder durch den Teilungspunkt.
Horst Steibl 16
Bruchteile
1/6 * ½= 1/12 1/10 * ½= 1/201/3 * 1/4 = 1/12
Horst Steibl 17
Lage im Punktgitter?
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
y
Woran erkennt man sie?
3 : 4 : 5 R; 3 : 4 R; 4 : 5
R und einen zweiten ägyptischen Winkel!!
arctan(4/3) = 53,130...°
arctan(3/4) = 36,869...°
Die ägyptischen Dreiecke
sehr krumm
Horst Steibl 18
Tim und Tom in ihren Kammern
5, 11, 14 - Kammer
5, 10, 11 - KammerTom: Der spitzere Winkel im diagonal halbierten Doppelquadrat
Tim + Tom = ½ R
tan (Tom) = ½
Horst Steibl 19
Die DoppelkammernTim hat einen Zwillingsbruder, Timm mit zwei m. Wenn der zu Besuch kommt, schlafen sie in der Tim-Timm Ecke.
Der Zwillingsbruder von Tom kommt auch ab und zu. Jetzt kann man gut sehen,dass sie etwas breitere Hüte haben als die Tims.
Das ist also die Tom-Tom-Ecke
m
Horst Steibl 20
oiio
oi
iooi
o
ii
oiiooi
oo
oiioo
iio
ooi
NK
A
US A
T
I
R
P
I
P
A
N
K
R
A
T
U
S
Zerlege und du findest das Zauberwort
ES
Horst Steibl 21
Die Winkel des ägyptischen Dreiecks
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
y
-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
Das (10,11,11- Das (7,11,11)-
-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y306,8699 °
53,1301 ° o i i
o
-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
o
ii
o oi
io
ii
oo
Genau dann ist ein rechtwinliges Dreieck ein pythagoräisches 3,4,5 –Dreieck, wenn es einen oo-Winkel oder einen ii-winkel hat.
oo
ii
Horst Steibl 22
Lösung unserer Aufgabe
Augenscheinlich!
Zwei lotrecht aufeinander stehende Geradenpaare schneiden sich unter gleichen Winkeln
Horst Steibl 23
Trigonometrischer Einschub
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
o o
arc tan 4/3 = 2* arc tan 1/2
3
4
1
2
= arc tan (4/3)
o = arc tan (1/2)
= 2 * o
Horst Steibl 24
Das pythagoräische Dreieck aus dem Doppelquadrat
Hier ist in einem Doppelquadrat, also einem Rechteck mit den
Seitenverhältnissen 1 : 2 eine Ecke auf die Gegenecke gefaltet. Damit haben wir die Mittelsenkrechte der Diagonale gefaltet.
Betrachten wir den Rechteckwinkel unten links:
Für den Dreieckswinkel bleibt ein Tim-Tim-Winkel übrig!
Also muss des blaue Dreieck ein ägyptisches Dreieck sein
Nach einem Vorschlag von Hans Walser
oo ii
o
Horst Steibl 25
Der Satz von HagaFaltet man in einem Quadrat eine Ecke auf eine gegenüberliegende Seitenmitte, so sind die drei überstehenden Dreiecke pythagoräische (3,4,5)-Dreiecke
ii
ii
oo
ii
ii
Falte die Mittelsenkrechte der Diagonale des rechten Doppel-quadrates und die Diagonale
Horst Steibl 26
Pyth aus dem Doppelquadrat
2 : 1 = 1 : ½
4 : 2 = 2 : 1a
a= ½ (4 – 1) = 1 ½
8 : 4 = 4 : 2
´
a´ = ½ (8 – 2) = 3
b´
b´= 4c´ = a´+ 2 = 5
c ´
Vertauschen der Funktion:
Diagonale Mittelsenkrechte
Horst Steibl 27
Faltet man in einem Rechteck mit Seitenverhältnis u : v (u > v) die Diagonale und ihre Mittelsenkrechte (in umgekehrter Reihenfolge) und vertauscht ihre Funktion, so kommt man zu einem ähnlichen Rechteck.
Es handelt sich um ein Drehstreckung = 90° und p = v/u.
Wie kann ich die Maße des Rechteckes aus den gegebenem Verhältnis berechnen? Geht das auch bei anderen Rechtecken? Ergeben sich da auch pythagoräische Dreiecke?
Maße des Rechtecks?
Die Seiten des entsprechenden Dreiecks stehen bei ganzzahligem Verhältnis der Rechteckseiten dann immer im Verhältnis eines pytagoräischen Zahlentripels.
Horst Steibl 28
Das indische Dreieck 3 : 2
3 : 2 = 2 : x
x = 4 / 3
3 : 2 = 2 : 4 / 3
9 / 6 = 6 / 4
xy
x + y
y = 5/2
18 : 12 = 12 : 8
(9 – 4)/2 = 5/2
Tauschen der Funktion: Diagonale - Mittelsenkrechte
a = 5b = 12
c = 5 + 8 = 13
Ist u : v das ganzzahlige Verhältnis der Rechteckseiten, u > v und u – v ungerade, so erweitere man die Verhältnisse der Rechtecke mit 2u. Auf diese Weise erhält man die Maße des gesuchten Rechteckes.
x ´= 8y´ = 5x´+y´= 13
25 + 144 = 169
Horst Steibl 29
Rechteck 7 : 4
7 : 4 = (7 * 2*7) : (4 * 2*7) = 98 : 56
56 * (4 /7) = 32(98 – 32) /2 = 33
32 + 33 = 65
33² + 56² = 65²1089 + 3136 = 4225
98
56
32
33
„erweitere“ mit 2 * u = 2 * 7
Rechtecksmaße
kurze S. kl. Re.
HypotenuseKathete
65
Sind u und v die Parameter des Seitenverhältnis mit u > v und u, v gekürzt und u – v nicht gerade so gilt
a : b : c = (u² - v²) : 2u : (u² - v²)
Horst Steibl 30
Berechnung der Zahlentripel: Verhältnis u : v
x y
v
u
z
Die kurze Seite x des drehgestreckten Rechtecks berechnet sich zu
x = v * v / u = v²/u
Damit ergibt sich für den Abschnitt y y = 1/2 ( u - x) = 1/2 ( u - v²/u)
Setzen wir die Seiten y, v und z des pythagoräischen Dreiecks ins Verhältnis: y : v : z = 1/2 ( u - v²/u) : v : (v²/u) + 1/2 ( u - v²/u)
"erweitern" wir diese Terme mit 2u so ergibt sich
y : v : z = (u² - v²) : (2*u*v ) : (u² + v²)
Horst Steibl 31
Hans Walserhttp://www.math.unibas.ch/~walser/Miniaturen
Hans Walser, (20060812) Trigonometrie im Schachbrett,
Hans Walser, pythagoräische Dreiecke, 8th International Conferenc on Geometrie
Part 2´
Hans Walser, (20060408b) Falten von Rechtecken
Alfred Hoehn, Der wiedergefundene Schatz
Horst Steibl, Das Geobrett im Unterricht, Franzbecker, 2006
Horst Steibl, Geometrie aus dem Zettelkasten, Franzbecker, 1999
http://www.alfredhoehn.ch/wiedergefundene%20Schatz.pdf
http://www.madin.tu-bs.de/homepage/steibl/Startseite.html
http/Miniaturen/
Horst Steibl 32
Rechtecke mit irrationalen Seitenverhältnissen
1/4
2
1/2
2
1
3/4
2
Horst Steibl 33
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Horst Steibl 34
Ein Achteck?
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
x
y
126,8699 °
3 cm
143,1301 °
3 cm
143,1301 °
126,8699 °
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
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14
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16
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18
x
y
126,8699 °
3 cm
143,1301 °
3 cm
143,1301 °
126,8699 °
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
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8
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13
14
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x
y
126,8699 °
3 cm
143,1301 °
3 cm
143,1301 °
126,8699 °
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
16
17
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x
y
126,8699 °
3 cm
143,1301 °
3 cm
143,1301 °
126,8699 °
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
x
y
126,8699 °
3 cm
143,1301 °
3 cm
143,1301 °
126,8699 °
180°:
o
ii
oo
ii
o
Horst Steibl 35
Dreiecksmetamorphosens. Hans Walser